Teorema 1:
La composición de funciones continuas es continua.
Demostración:
Usando la definición topológica.
Sean
$ f: A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$
$ g: D \subseteq \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^k$
Tales que $ f(A) \subseteq D $ y con $A$ y $D$ abiertos.
Hipótesis: $f , g$ continuas.
$\big[$ por demostrar: $g \circ f$ es continua. $\big]$
Basta ver que la imagen inversa de abiertos en $\mathbb{R}^k$ bajo $g \circ f$ es abierta en $\mathbb{R}^n.$
Sea $ W \subseteq \mathbb{R}^k $ un abierto.
$\big[$ por demostrar: $(g \circ f)^{-1} (W) \subseteq \mathbb{R}^n$ es abierto.$\big]$
Por hipótesis, $g^{-1} (W) $ es abierto en $\mathbb{R}^m.$
Como $f $ es continua, $ f^{-1}(g^{-1}(\mathcal{W}))$ es abierto en $\mathbb{R}^n.$
¿Coinciden $ f^{-1}(g^{-1}(\mathcal{W}))$ con $ (g \circ f)^{-1}(\mathcal{W})$?
Por un lado tenemos que:
$(g \circ f)^{-1}(\mathcal{W}) = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid (g \circ f)(x) \in \mathcal{W}\} = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid (g(f(x))) \in \mathcal{W} \} … (1)$
Por otro lado:
$g^{-1}(\mathcal{W}) = \{ y \in \mathbb{R}^m \big| g(y) \in \mathcal{W} \}$
$f^{-1}(g^{-1}(\mathcal{W})) = \big\{ x \in \mathbb{R}^n \big| f(x) \in g^{-1}(\mathcal{W}) \big\}$
$f^{-1}(g^{-1}(\mathcal{W})) = \big\{ x \in \mathbb{R}^n \big| g(f(x)) \in \mathcal{W} \big\} … (2)$
Luego como $(1)$ y $(2)$ son iguales se tiene que $$ f^{-1}(g^{-1}(\mathcal{W})) = (g \circ f)^{-1}(\mathcal{W}) \; _{\blacksquare}$$
Teorema 2:
Sean $f, g:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ continuas.
Entonces
(1) $ f + g$ es continua.
(2) $f . g$ es continua y en los puntos $x_0$ donde $g(x_0) \neq 0, \frac{f}{g} $ es continua.
Demostración:
Primer inciso:
Por hipótesis, $f, g:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ continuas.
(1) $\big[$ por demostrar: $ f + g : A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es continua.$\big]$
Sea $x_0 \in A.$
Sea $\epsilon > 0.$
Como $f$ es continua, existe $\delta_1 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_1}(x_0) $ entonces $ f(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}}(f(x_0))…….(1)$
También, como $g$ es continua, existe $\delta_2 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_2}(x_0) $ entonces $ g(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}} \big( g(x_0) \big)…….(2)$
Luego, si $x \in B_{\delta_3}(x_0) \Rightarrow f(x) + g(x) \in B_{\epsilon} \big( f(x_0) + g(x_0) \big)$ con $\delta_3 = mín \big\{ \delta_1 , \delta_2 \big\}$ ya que de $(1)$ y $(2)$:
Sumando $ \big\| f(x) \, – \, f(x_0) \big\| < \frac{\epsilon}{2}$ y $\big\| g(x) \, – \, g(x_0) \big\| < \frac{\epsilon}{2}$ se tiene que $$\big\| f(x) \, – \, f(x_0) \, + \, g(x) \, – \, g(x_0) \big\| \leq \big\| f(x) \, – \, f(x_0) \big\| + \big\| g(x) \, – \, g(x_0) \big\| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon $$
Segundo inciso.
Por hipótesis, $f, g:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ continuas.
(2) $\big[$ por demostrar: $f . g : A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es continua.$\big]$
Sea $x_0 \in A.$
Sea $\epsilon > 0.$
Sea $\delta_0$ tal que si $x \in B_{\delta_0}(x_0)$ entonces $ \big| f(x) \big| < 1 + \big| f(x_0) \big|$
Como $f$ es continua, existe $\delta_1 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_1}(x_0) $ entonces $ f(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}} \big( f(x_0) \big)…….(1)$
También, como $g$ es continua, existe $\delta_2 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_2}(x_0) $ entonces $ g(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}} \big( g(x_0)\big)…….(2)$
Luego, si $x \in B_{\delta_3}(x_0)$ entonces $f(x).g(x) \in B_{\epsilon} \big( f(x_0).g(x_0) \big).$
Sea $ \delta_3 = mín \big\{ \delta_0 , \delta_1 , \delta_2 \big\}$
$\big[$ por demostrar: $ \big|f(x)g(x) \, – \, f(x_0)g(x_0) \big| < \epsilon.$ $\big]$
$\begin{align*} \big| f(x)g(x) \, – \, f(x_0)g(x_0) \big| &= \big| f(x)g(x) \, – \, f(x)g(x_0) \, + \, f(x)g(x_0) \, – \, f(x_0)g(x_0) \big| < \big| f(x)g(x) \, – \, f(x)g(x_0) \big| + \big| f(x)g(x_0) \, – \, f(x_0)g(x_0) \big| \\ \\ &= \big| f(x)|.|g(x) \, – \, g(x_0) \big| + \big| f(x) \, – \, f(x_0) \big|.\big| g(x_0) \big| \leq \big|(1 + \big| f(x_0) \big| \big) \big| g(x) \, – \, g(x_0) \big| + \big| f(x) \, – \, f(x_0) \big|. \big| g(x_0) \big| \\ \\ &\leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align*}$