33. Material en revisión: viernes 06 de septiembre

Por Mariana Perez

Teorema 1:

La composición de funciones continuas es continua.

Demostración:

Usando la definición topológica.

Sean

$ f: A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$

$ g: D \subseteq \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^k$

Tales que $ f(A) \subseteq D $ y con $A$ y $D$ abiertos.

Hipótesis: $f , g$ continuas.

[ por demostrar: $gof$ es continua. ]

Basta ver que la imagen inversa de abiertos en $\mathbb{R}^k$ bajo $gof$ es abierta en $\mathbb{R}^n.$

Sea $ W \subseteq \mathbb{R}^k $ un abierto.

[ por demostrar: $(g of)^{-1} (W) \subseteq \mathbb{R}^n$ es abierto.]

Por hipótesis, $g^{-1} (W) $ es abierto en $\mathbb{R}^m.$

Como $f $ es continua, $ f^{-1}(g^{-1}(\mathcal{W}))$ es abierto en $\mathbb{R}^n.$

¿Coinciden $ f^{-1}(g^{-1}(\mathcal{W}))$ con $ (g of)^{-1}(\mathcal{W})$?

Por un lado tenemos que:

$(g of)^{-1}(\mathcal{W}) = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid (g of)(x) \in \mathcal{W}\} = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid (g(f(x))) \in \mathcal{W} \} … (1)$

Por otro lado:

$g^{-1}(\mathcal{W}) = \{ y \in \mathbb{R}^m \mid g(y) \in \mathcal{W} \}$

$f^{-1}(g^{-1}(\mathcal{W})) = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid f(x) \in g^{-1}(\mathcal{W}) \}$

$f^{-1}(g^{-1}(\mathcal{W})) = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid g(f(x)) \in \mathcal{W} \} … (2)$

Luego como $(1)$ y $(2)$ son iguales se tiene que $$ f^{-1}(g^{-1}(\mathcal{W})) = (g of)^{-1}(\mathcal{W}) \; _{\blacksquare}$$

Teorema 2:

Sean $f, g:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ continuas.

Entonces

(1) $ f + g$ es continua.

(2) $f . g$ es continua y en los puntos $x_0$ donde $g(x_0) \neq 0, \frac{f}{g} $ es continua.

Demostración:

Primer inciso:

Por hipótesis, $f, g:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ continuas.

(1) [ por demostrar: $ f + g : A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es continua.]

Sea $x_0 \in A.$

Sea $\epsilon > 0.$

Como $f$ es continua, existe $\delta_1 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_1}(x_0) $ entonces $ f(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}}(f(x_0))…….(1)$

También, como $g$ es continua, existe $\delta_2 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_2}(x_0) $ entonces $ g(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}}(g(x_0))…….(2)$

Luego, si $x \in B_{\delta_3}(x_0) \Rightarrow f(x) + g(x) \in B_{\epsilon}(f(x_0) + g(x_0))$ con $\delta_3 = mín\{ \delta_1 , \delta_2 \}$ ya que de $(1)$ y $(2)$:

Sumando $ \| f(x) – f(x_0) \| < \frac{\epsilon}{2}$ y $\| g(x) – g(x_0) \| < \frac{\epsilon}{2}$ se tiene que $$\| f(x) – f(x_0) + g(x) – g(x_0) \| \leq \| f(x) – f(x_0)\| + \| g(x) – g(x_0) \|\frac{\epsilon}{2} < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon $$

Segundo inciso.

Por hipótesis, $f, g:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ continuas.

(2) [ por demostrar: $f . g : A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es continua.]

Sea $x_0 \in A.$

Sea $\epsilon > 0.$

Sea $\delta_0$ tal que si $x \in B_{\delta_0}(x_0)$ entonces $ |f(x)| < 1 + |f(x_0)|$

Como $f$ es continua, existe $\delta_1 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_1}(x_0) $ entonces $ f(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}}(f(x_0))…….(1)$

También, como $g$ es continua, existe $\delta_2 > 0 $ tal que si $x \in B_{\delta_2}(x_0) $ entonces $ g(x) \in B_{\frac{\epsilon}{2}}(g(x_0))…….(2)$

Luego, si $x \in B_{\delta_3}(x_0)$ entonces $f(x).g(x) \in B_{\epsilon} (f(x_0).g(x_0)).$

Sea $ \delta_3 = mín \{ \delta_0 , \delta_1 , \delta_2 \}$

[ por demostrar: $ |f(x)g(x) – f(x_0)g(x_0)| < \epsilon.$ ]

$ |f(x)g(x) – f(x_0)g(x_0)|= |f(x)g(x) – f(x)g(x_0) + f(x)g(x_0) – f(x_0)g(x_0)| < |f(x)g(x) – f(x)g(x_0) | + | f(x)g(x_0) – f(x_0)g(x_0)| = |f(x)|.|g(x) – g(x_0) | + | f(x) – f(x_0)|.|g(x_0)| \leq |(1 + |f(x_0)|) |g(x) – g(x_0)| + |f(x) – f(x_0)|.|g(x_0)| \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$

Teorema 3:

Sean $f_1, f_2 , \dots , f_m:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$.

Sea $f : A \subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m$ tal que $x \longrightarrow (f_1(x), f_2(x), \dots , f_m(x))$

$$f \text{ es continua } \iff \text{ todas las funciones } f_1, f_2, \dots , f_m \text{ son continuas}$$

Demostración:

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