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Cálculo Diferencial e Integral I: Sucesiones divergentes y sus propiedades

Introducción

Anteriormente estuvimos revisando el concepto de sucesiones convergentes así como varios ejemplos y sus propiedades. Hasta este punto, deberíamos sentirnos bastante cómodos con las sucesiones convergentes puesto que en esta entrada revisaremos con mayor detalle las sucesiones divergentes.

Sucesiones divergentes

Antes de iniciar a ver las propiedades de este tipo de sucesiones, vale la pena recordar la definición que se dio previamente.

Definición. Sea $\{a_n\}$ una sucesión en $\mathbb{R}$. Decimos que $\{a_n\}$ diverge a infinito si $\forall M \in \mathbb{R}$ existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_0$ entonces $M < a_n$.

Como lo habíamos mencionado antes, la definición nos indica que una sucesión diverge a infinito si para cualquier número real ($M$), existe un punto ($n_0$) en el que todos los valores subsecuentes en la sucesión son mayores que $M$. Cuando una sucesión $\{a_n\}$ diverge a infinito lo denotaremos como $$\lim_{n \to \infty} a_n = \infty.$$

Propiedades de las sucesiones divergentes

Ahora sí, estamos listos para indagar las propiedades de las sucesiones que divergen a infinito. La primera propiedad que probaremos será el hecho de que si multiplicamos una sucesión divergente a infinito por una constante positiva, la sucesión resultante también diverge a infinito.

Proposición. Sea $\{a_n\}$ en $\mathbb{R}$ tal que $$\lim_{n \to \infty} a_n = \infty $$ y sea $c > 0$ fijo, entonces $$\lim_{n \to \infty} c \cdot a_n = \infty$$

Demostración.
Sea $M \in \mathbb{R}$. Consideremos $\frac{M}{c} \in \mathbb{R}$
Como $\{a_n\}$ diverge a infinito, entonces existe $n_0$ tal que para todo $n \geq n_0$ se tiene

\begin{gather*}
\frac{M}{c} < a_n \\
\Rightarrow M < c \cdot a_n
\end{gather*}

$$\therefore \lim_{n \to \infty} c \cdot a_n = \infty$$

$\square$

Lo que se hizo en la demostración es dar un valor arbitrario de $M$ y se debía mostrar que existe un natural $n_0$ tal que para todos los valores subsecuentes de la sucesión $\{c \cdot a_n\}$, quedará por arriba de $M$ y nos aprovechamos del hecho de que $\{a_n\}$ es divergente y, particularmente, para el número real $\frac{M}{c}$ en efecto existe ese natural.

La siguiente proposición nos indica cómo se comporta la suma y la multiplicación de sucesiones divergentes que, como es de esperarse, el resultado de tales operaciones resulta en una sucesión divergente.

Proposición. Sean $\{ a_n \}$ y $\{ b_n \}$ dos sucesiones en $\mathbb{R}$ tales que $$\lim_{n \to \infty} a_n = \infty \quad \text{ y } \quad \lim_{n \to \infty} b_n = \infty $$

Entonces

$i$) $$\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \infty$$
$ii$) $$\lim_{n \to \infty} (a_n b_n) = \infty$$

Demostración.

$i$) Sea $M \in \mathbb{R}$. Como $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ divergen a infinito

\begin{gather*}
\exists n_1 \in \mathbb{N} \text{ tal que si } n \geq n_1 \Rightarrow \frac{M}{2} < a_n \\
\exists n_2 \in \mathbb{N} \text{ tal que si } n \geq n_2 \Rightarrow \frac{M}{2} < b_n \\
\end{gather*}

Consideremos $n_0 = max\{n_1, n_2 \}$. Si $n \geq n_0$, entonces se cumplen las dos expresiones de arriba y al sumarlas obtenemos que $M < a_n+b_n$
$$\therefore \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \infty$$

$ii$) Sea $M \in \mathbb{R}$.
Para $\{a_n\}$ consideremos el número real $\hat{M} = max\{M, 0\}$. Debido a que $\{a_n\}$ diverge, existe $n_1 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_1$, entonces $\hat{M} < a_n$, lo que implica que $M < a_n$ y $0 < a_n$.

Para $\{b_n\}$ consideremos el número real $1$. Debido a que $\{b_n\}$ diverge, existe $n_2 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_2$, entonces $1 < b_n$.

Sea $n_0 = max\{n_1, n_2 \}$. Si $n \geq n_0$, entonces se cumplen las condiciones anteriores. Como $a_n$ es positivo para todo $n \geq n_0$, podemos multiplicar la expresión $1 < b_n$ por $a_n$ y la desigualdad se preservará, es decir, $a_n < a_n b_n$ y además $M < a_n$, por transitividad concluimos que $M < a_n b_n$

$\square$

Después de haber revisado las propiedades anteriores y sabiendo que la sucesión generada por los números naturales, $\{n\}$, diverge, es posible ampliar nuestro repertorio de sucesiones divergentes, por ejemplo las siguientes sucesiones divergen por implicación directa de las proposiciones vistas: $\{5n\}$, $\{n+n^2+n^3\}$, $\{7n^2+4n\}$, etc.

La siguiente propiedad hace referencia a que si tenemos una sucesión $\{a_n\}$ divergente a infinito y otra sucesión $\{b_n\}$ para la cual existe un punto a partir del cual siempre es mayor que $\{a_n\}$, entonces $\{b_n\}$ también diverge a infinito

Proposición. Sean $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ sucesiones en $\mathbb{R}$ tales que
$i$) Existe $n_1 \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq n_1$ se cumple $a_n \geq b_n$
$ii$) $$\lim_{n\to \infty} a_n = \infty$$
Entonces $$\lim_{n\to \infty} b_n = \infty$$

La demostración de esta propiedad quedará como tarea moral.

Proposición. Sea $c > 1$, entonces $$\lim_{n \to \infty} c^n = \infty$$

Demostración.

Para realizar esta demostración haremos uso de la proposición anterior. Sea $n \in \mathbb{N}$. Como $c > 1$, entonces $c-1>0$ y por la desigualdad de Bernoulli, tenemos

\begin{gather*}
c^n = (1+c-1)^n \geq 1+n(c-1) > n(c-1) \\
\therefore c^n > n(c-1) \tag{1}
\end{gather*}

Además sabemos que la sucesión $\{n\}$ diverge a infinito y si multiplicamos esta sucesión por una constante positiva, en este caso $c-1$, la sucesión $\{(c-1)n\}$ también diverge a infinito y por $(1)$ podemos utilizar la proposición anterior y concluir que $$\lim_{n \to \infty} c^n = \infty.$$

$\square$

Como última propiedad, probaremos que una sucesión monótona no acotada es divergente. Probaremos el caso para las sucesiones crecientes no acotadas y veremos que divergen a $\infty$ y se dejará como tarea moral probar que las sucesiones decrecientes no acotadas divergen a $-\infty$.

Proposición. Si $\{ a_n \}$ es una sucesión creciente y no acotada, entonces $$\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$$

Demostración.
Sea $\{a_n \}$ una sucesión creciente y no acotada y sea $M \in \mathbb{R}$. Como la sucesión no está acotada, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $M < a_{n_0}$ y como la sucesión es creciente $a_n \geq a_{n_0}$ para todo $n \geq n_0$.

\begin{gather*}
\therefore M < a_n \text{, para todo } n \geq n_0 \\ \\
\therefore \lim_{n \to \infty} a_n = \infty
\end{gather*}

$\square$

En la demostración anterior hay una sutileza que vale la pena enfatizar: usamos el hecho de que la sucesión no está acotada para probar que existe al menos un elemento específico ($n_0$) que es mayor que un real arbitrario $M$, pero para probar que diverge a infinito, hay que probar que también todos los elementos subsecuentes de $n_0$ son mayores a $M$ y, en ese momento, es cuando usamos la hipótesis de monotonía.

Tarea moral

  • Sean $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ sucesiones en $\mathbb{R}$ tales que
    $i$) Existe $n_1 \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq n_1$ se cumple $a_n \geq b_n$
    $ii$) $\{a_n \}$ diverge a infinito
    Entonces $$\lim_{n\to \infty} b_n = \infty$$
  • Si $\{ a_n \}$ es una sucesión decreciente y no acotada , entonces $$\lim_{n \to \infty} a_n = – \infty$$
  • Sea $\{ a_n \}$ una sucesión divergente a infinito tal que para todo $n\in \mathbb{N}$ se cumple que $a_n \neq 0$. Entonces $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_n} = 0.$$
  • Prueba lo siguiente:
    $i$) $$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+1}{n+1} = \infty$$
    $ii$) $$\lim_{n \to \infty} (n – \sqrt{n} )= \infty$$
  • Demuestra que si $$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = L,$$ donde $L > 0,$ entonces $$\lim_{n\to \infty} a_n = \infty.$$

Más adelante…

En las entradas subsecuentes revisaremos conceptos derivados de las sucesiones: el concepto de subsucesión, las sucesiones de Cauchy y culminaremos con el estudio de una de las constantes más famosas dentro de matemáticas, el número de Euler.

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Cálculo Diferencial e Integral I: Propiedades de las sucesiones convergentes

Introducción

En la entrada anterior vimos la definición y algunos ejemplos de sucesiones convergentes y no convergentes. Ahora que ya estamos familiarizados con estos conceptos, revisaremos algunas de las propiedades que tienen las sucesiones convergentes.

Propiedades de las sucesiones convergentes

La siguiente propiedad nos indica que si todos los elementos de una sucesión convergente son no negativos, entonces el límite debe ser no negativo.

Proposición. Sea $\{a_n \}$ una sucesión convergente en $\mathbb{R}$, si $a_n \geq 0$ para toda $n \in \mathbb{N}$, entonces $$\lim_{n \to \infty} a_n \geq 0 $$

Esta proposición quedará como tarea moral, se sugiere proceder por contradicción, es decir, suponer que el límite de $\{a_n\}$ es menor a cero.

Podemos pensar en una especie de «generalización» de la proposición anterior: si tenemos dos sucesiones convergentes $\{a_n\}$, $\{ b_n \}$ y para todo natural se cumple la desigualdad $a_n \leq b_n$, entonces el límite de las sucesiones debe respetar esa misma relación de orden.

Proposición. Si $\{ a_n \}$ y $\{ b_n \}$ son sucesiones convergentes en $\mathbb{R}$ y si $a_n \leq b_n$ para toda $n \in \mathbb{N}$, entonces $$ \lim_{ n \to \infty} a_n \leq \lim_{ n \to \infty} b_n.$$

Demostración.

Definamos la sucesión $c_n = b_n – a_n$. Como $\{ a_n \}$ y $\{ b_n \}$ son convergentes, digamos a $L_1$ y $L_2$, entonces $\{ c_n \}$ es convergente a $L_2-L_1$. Además, sabemos que $a_n \leq b_n$ para toda $n \in \mathbb{N}$, entonces $b_n – a_n \geq 0$ para toda $n \in \mathbb{N}$ y utilizando la proposición anterior tenemos que

\begin{gather*}
\lim_{n \to \infty} c_n \geq 0 \\ \\
\Rightarrow \lim_{n \to \infty} ( b_n – a_n ) \geq 0 \\ \\
\Rightarrow \lim_{n \to \infty} b_n \geq \lim_{n \to \infty} a_n
\end{gather*}

$\square$

Ahora veremos una propiedad que nos indica que si una sucesión converge a $L$, la sucesión generada tomando el valor absoluto de sus elementos es una sucesión convergente a $|L|$

Proposición. Sea $\{ a_n \}$ una sucesión en $\mathbb{R}$ que converge a $L$. Entonces la sucesión $\{ |a_n| \}$ converge a $|L|$.

Demostración.

Sea $\epsilon > 0$. Podemos notar que $||a_n| – |L|| \leq |a_n – L|$ y como $\{a_n\}$ converge, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq n_0$ se tiene que $|a_n – L| < \epsilon$. Entonces

\begin{gather*}
||a_n| – |L|| \leq |a_n – L| < \epsilon \\ \\
\therefore ||a_n| – |L||< \epsilon \\ \\
\therefore \lim_{n \to \infty} |a_n| = |L|
\end{gather*}

$\square$

Proposición. Sea $\{ a_n \}$ una sucesión. Si
$$\lim_{n \to \infty} |a_n| = 0, \quad \text{entonces} \quad \lim_{n \to \infty} a_n = 0.$$

Demostración.
Sea $\epsilon > 0$. Como $$\lim_{n \to \infty} |a_n| = 0$$


Existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq n_0$ se tiene que $||a_n|-0| < \epsilon$
Y notemos que
\begin{align*}
||a_n|-0| =& ||a_n|| \\
= & |a_n| \\
= &|a_n-0|
\end{align*}
\begin{gather*}
\therefore |a_n -0| < \epsilon \\ \\
\therefore \lim_{n \to \infty} a_n = 0
\end{gather*}

$\square$

Proposición. Si $|r|<1$, entonces $$\lim_{n \to \infty} r^n = 0.$$

Demostración.
Si $r = 0$, entonces $r^n = 0$, es decir, la sucesión es una contante lo cual implica que su límite es la misma constante, en este caso $0$.

Supongamos entonces que $r \neq 0$. Como $|r|<1 \Rightarrow \frac{1}{|r|} > 1$. Definamos $b = \frac{1}{|r|}-1$. Notemos que $b > 0 $ y $|r| = \frac{1}{b+1}$. Entonces $|r^n| = (\frac{1}{b+1})^n$, por la desigualdad de Bernoulli tenemos que $(1+ b) ^n \geq 1+ nb $ para todo $n \in \mathbb{N}$. Se sigue que

$$|r^n| = \frac{1}{(1+b) ^n} \leq \frac{1}{1+nb} \leq \frac{1}{nb}$$

Consideremos $n_0 > \frac{1}{b \cdot \epsilon}$, si $n \geq n_0$, entonces

\begin{gather*}
|r^n| \leq \frac{1}{n_0b} \leq \frac{1}{nb} < \epsilon \\ \\
\therefore |r^n| < \epsilon \\ \\
\therefore \lim_{n \to \infty} r^n = 0
\end{gather*}

$\square$

Para finalizar, revisaremos una propiedad muy interesante que nos indica que si dos sucesiones convergentes al mismo límite $L$ «encierran» a una tercera, entonces ésta última también converge y lo hace a $L$. Esta propiedad es conocida como teorema del sándwich.

Teorema. Sean $\{a_n \}$, $\{b_n \}$, $\{c_n \}$ tres sucesiones en $\mathbb{R}$ tales que

i) Para todo $n \in \mathbb{N}$ se tiene que $a_n \leq b_n \leq c_n$

ii) $$\lim_{n \to \infty} a_n = L, \quad \lim_{n \to \infty} c_n = L$$

Entonces $$\lim_{n \to \infty} b_n = L.$$

Demostración.
Sea $\epsilon >0$

Como $\{a_n \}$ converge a $L$, entonces existe $n_1 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_1$ tal que
\begin{gather*}
|a_n – L| < \epsilon \\
\Rightarrow – \epsilon < a_n – L < \epsilon \\
\Rightarrow L – \epsilon < a_n < L + \epsilon
\end{gather*}

De igual forma, como $\{c_n \}$ converge a $L$, entonces existe $n_2 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_2$ tal que

\begin{gather*}
|c_n – L| < \epsilon \\
\Rightarrow – \epsilon < c_n – L < \epsilon \\
\Rightarrow L – \epsilon < c_n < L + \epsilon
\end{gather*}

Sea $n_0 = max \{ n_1, n_2 \}$. Si $n \geq n_0$

\begin{gather*}
L – \epsilon < a_n \leq b_n \quad \text{ y } \quad b_n \leq c_n < \epsilon + L \\ \\
\Rightarrow L – \epsilon < b_n < \epsilon + L \\ \\
\Rightarrow -\epsilon < b_n – L < \epsilon \\ \\
\therefore |b_n – L | < \epsilon \\ \\
\therefore \lim_{n \to \infty} b_n = L
\end{gather*}


$\square$

Ahora veremos un ejemplo donde podemos aplicar el teorema del sándwich.

Ejemplo. Determina el límite de la sucesión $\left\lbrace \frac{n}{n^2+1} \right\rbrace$.

Consideremos la sucesiones $\{a_n \} = 0$ y $ \{b_n \} = \frac{1}{n}$. Podemos observar que para todo $n \in \mathbb{N}$ se tiene que

$$\{a_n \} = 0 \leq \frac{n}{n^2+1} \leq \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} = \{b_n \}$$

Y $\{a_n \}$ y $ \{b_n \}$ convergen a $0$ por lo visto en una entrada anterior. Por el teorema del sándwich, podemos concluir que

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2+1} = 0$$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Prueba que si las sucesiones $\{ a_n \}$ y $\{ b_n \}$ están acotadas, entonces $c_n = 5a_n+8b_n$ también está acotada.
  • Sea $\{a_n \}$ una sucesión en $\mathbb{R}$ que converge a $L$, si $a_n \geq 0$ para toda $n \in \mathbb{N}$, entonces $$\lim_{n \to \infty} a_n = L \geq 0 $$
  • Sea $\{a_n \}$ una sucesión en $\mathbb{R}$ que converge a $L$ y, además, $a_n \geq 0$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Entonces la sucesión $\{ \sqrt{a_n} \}$ converge y lo hace a $\sqrt{L}$
  • Demuestra que si $\{ a_n \}$ es una sucesión que converge a $L$, entonces $$\lim_{n \to \infty} \sqrt{(a_n)^2 +12} = \sqrt{L^2 +12}$$
  • Considera la sucesión $\{ \frac{2n}{3n+1} \}$.
    i) Prueba que $\frac{1}{2} \leq \frac{2n}{3n+1} \leq \frac{2}{3}$
    ii) Usando el teorema del sándwich, calcula el límite de $a_n = \left( \frac{2n}{3n+1} \right)^n$.

Más adelante…

En esta entrada vimos algunas de las propiedades que tienen las sucesiones convergentes. En la siguiente entrada revisaremos propiedades de las sucesiones que divergen a infinito. Una vez que hayamos dominado todas estas propiedades estaremos listos para dar el siguiente paso y llegar a uno de los conceptos frecuentemente usados en cálculo: límite de una función.

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