Introducción

En la entrada anterior vimos que al igual que en $\mathbb{R}^2$, en el plano complejo es posible trabajar con coordenadas polares para representar a un número complejo en su «forma polar», utilizando su módulo y un ángulo. Primeramente definimos al argumento de un número complejo, el cual resultó no ser único, sino que en realidad existe todo un conjunto de ángulos que nos permite representar a un número complejo de manera indistinta, por lo que fue conveniente el considerar a un ángulo en particular, llamado el argumento principal. Considerando la forma polar de un número complejo fue posible dar una interpretación geométrica al producto y división de números complejos. Además obtuvimos algunos resultados importantes, como la fórmula de De Moivre, que nos serán de utilidad a lo largo de esta entrada y en general para poder operar de forma más sencilla a los números complejos.

En esta entrada nuestro objetivo será plantear una ecuación de la forma $w^n = z$, con $n\in\mathbb{N}^+$ y $w,z\in\mathbb{C}$, $z\neq 0$, analizarla y darle solución. Una vez resuelta dicha ecuación, tendrá sentido el pensar en potencias racionales de números complejos.

Raíces de un número complejo.

Definición 5.1. (Raíz $n$-ésima.)
Sea $z \in \mathbb{C}$, con $z\neq0$. Un número complejo $w$ es llamado una raíz $n$-ésima de $z$ si $w^n = z$, y se denota como $w = z^{1/n}$.

Proposición 5.1. (Raíces $n$-ésimas.)
Sea $z\in \mathbb{C}$, $z\neq0$, en su forma polar $z=r\,\text{cis}(\theta)$ y sea $n \in \mathbb{N^+}$. Entonces existen exactamente $n$ raíces $n$-ésimas distintas, las cuales están dadas por:
\begin{equation*}
w_k = \sqrt[n]{r} \, \text{cis}\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right), \quad \text{para} \quad k = 0,1,\ldots,n-1.
\end{equation*}

Demostración. Dadas las hipótesis, primeramente verifiquemos que el número complejo $w_k$ propuesto cumple la definición 5.1. De acuerdo con la fórmula de De Moivre tenemos que:
\begin{align*}
\left(w_k\right)^n & = \left(\sqrt[n]{r}\right)^n \, \text{cis}\left(n \left[\frac{\theta+2\pi k}{n}\right]\right)\\
& = \left(\sqrt[n]{r}\right)^n \, \text{cis}\left(\theta+2\pi k\right).
\end{align*}

Dado que las funciones seno y coseno son $2\pi$-periódicas, es decir, para todo $k\in\mathbb{Z}$ se cumple:
\begin{equation*}
\operatorname{sen}(\theta + 2\pi k) = \operatorname{sen}(\theta),\quad \operatorname{cos}(\theta + 2\pi k) = \operatorname{cos}(\theta). \end{equation*}

Entonces se tiene que $z = r\,\text{cis}(\theta)= \left(w_k\right)^n$.

Lo anterior nos motiva a encontrar un número complejo $w = \rho \, \text{cis}(\phi)$ tal que $w^n = z$, es decir:
\begin{equation*}
\rho^n \, \text{cis}(n\phi) = r \, \text{cis}(\theta).
\end{equation*}

Considerando la igualdad entre números complejos se tiene que:
\begin{align*}
\rho^n = r,\\
\text{cos}(n\phi) = \text{cos}(\theta),\\
\text{sen}(n\phi) = \text{sen}(\theta).
\end{align*}

Desde que los argumentos de ambos números complejos están determinados módulo $2\pi$, entonces de lo anterior tenemos que:
\begin{equation*}
\rho = \sqrt[n]{r},
\end{equation*}

\begin{equation*}
n\phi = \theta + 2\pi k, \quad \Longrightarrow \quad \phi = \frac{\theta + 2\pi k}{n}, \quad \text{para algún}\, \, k \in \mathbb{Z}.
\end{equation*}

Notemos que para $k=0,1,\ldots,n-1$ se obtienen ya $n$ raíces $n$-ésimas distintas, las cuales tienen el mismo módulo $\sqrt[n]{r}$, pero distinto argumento. Para probar esto consideremos el siguiente:

Lema 5.1. Sean $n\in\mathbb{N^+}$, $k’, k \in \mathbb{Z}$ y sea $w_k = \sqrt[n]{r} \, \text{cis}\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right)$. Entonces:
\begin{equation*}
k’ \equiv k \,\, (\text{mod}\, n) \quad \text{si y solo si} \quad w_{k’} = w_k.
\end{equation*}

Observación 5.1.
La congruencia módulo $n$, representada por el símbolo $\equiv$, es una relación de equivalencia en $\mathbb{Z}$, la cual se define como sigue:

Para $a,b\in\mathbb{Z}$ y $n\in\mathbb{N}^+$, diremos que $a$ es congruente con $b$ módulo $n$ si y solo si $a-b$ es divisible por $n$ y se escribe como:
\begin{equation*}
a \equiv b \,\, (\text{mod}\, n).
\end{equation*}

Demostración.
$\Rightarrow)$ Dadas las hipótesis, sin pérdida de generalidad tenemos que:
\begin{equation*}
k’ \equiv k \,\, (\text{mod}\, n) \quad \Longrightarrow \quad k’ = k + nm, \, \, \, \text{para algún} \,\, m\in\mathbb{Z} \,\,\, \text{y} \, \, 0\leq k<n.
\end{equation*}

Entonces, considerando que las funciones seno y coseno son $2\pi$-periódicas:
\begin{align*}
w_{k’} & = \sqrt[n]{r} \, \text{cis}\left(\frac{\theta + 2\pi k’}{n}\right)\\
& = \sqrt[n]{r} \, \text{cis}\left(\frac{\theta + 2\pi (k +nm) }{n}\right)\\
& = \sqrt[n]{r} \left[ \text{cos}\left(\frac{\theta + 2 \pi (k+nm)}{n}\right) + i\, \text{sen}\left(\frac{\theta + 2\pi (k+nm)}{n}\right) \right]\\
& = \sqrt[n]{r} \left[ \text{cos}\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n} + 2\pi m\right) + i\, \text{sen}\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n} + 2\pi m\right) \right]\\
& = \sqrt[n]{r} \left[ \text{cos}\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right) + i\, \text{sen}\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right) \right]\\
& = \sqrt[n]{r}\, \text{cis}\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right)\\
& = w_k.
\end{align*}

$(\Leftarrow$ Dadas las hipótesis, tenemos que si $w_k’ = w_k$, entonces:
\begin{equation*}
\sqrt[n]{r} \, \text{cis}\left(\frac{\theta + 2\pi k’}{n}\right) = \sqrt[n]{r} \, \text{cis}\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right),
\end{equation*}

por lo que, considerando la igualdad entre números complejos:
\begin{align*}
\text{cos}\left(\frac{\theta + 2\pi k’}{n}\right) = \text{cos}\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right),\\
\text{sen}\left(\frac{\theta + 2\pi k’}{n}\right) = \text{sen}\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right).
\end{align*}

De donde se sigue que:
\begin{equation*}
\frac{\theta + 2\pi k’}{n} = \frac{\theta + 2\pi k}{n} + 2 \pi m, \quad \text{para algún} \,\, m\in \mathbb{Z}.
\end{equation*}

Por lo que:
\begin{equation*}
k’ = k + nm, \quad \text{para algún} \,\, m\in \mathbb{Z},
\end{equation*}

lo cual implica que $k’ \equiv k \, \, (\text{mod}\,n)$.

$\blacksquare$

De acuerdo con el lema anterior, concluimos que existen a lo más $n$ raíces $n$-ésimas distintas $w_k$ correspondientes a $k = 0, 1, \ldots, n-1$ y que son de la forma:
\begin{equation*}
w_k = \sqrt[n]{r} \, \text{cis}\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right).
\end{equation*}

$\blacksquare$

Observación 5.2.
Notemos que la expresión $z^{1/n}$ es $n$-valuada, es decir, no representa un único valor, sino al conjunto de $n$ raíces $n$-ésimas, formado por las raíces $w_k$ con $k=0,1,\ldots,n-1$, del número complejo $z\neq0$.

Definición 5.2. (Raíz $n$-ésima principal.)
Sea $z\neq0$ un número complejo. Llamaremos como raíz $n$-ésima principal de $z$ al único valor de $z^{1/n}$ tal que tenga como argumento al argumento principal de $z$, $\text{Arg}\,z$, es decir a la raíz dada por $k=0$.

Ejemplo 5.1.

Solución. Para los tres números complejos, resolveremos utilizando su argumento principal $\text{Arg}\,z$.

\begin{equation*}
\text{Arg}\,z_1 = \text{arc tan}\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4}.
\end{equation*}

Por otra parte, tenemos que $r_1=|\,z_1\,|=\sqrt{2}$. Entonces, por la proposición 5.1 se tiene que las 5 raíces quintas de $z_1$ están dadas por:
\begin{equation*}
w_k = \left(\sqrt{2}\right)^{\frac{1}{5}}\,\text{cis}\left(\frac{\frac{\pi}{4}+2\pi k}{5}\right), \quad \text{para} \, \, k = 0,1,2,3,4.
\end{equation*}

Por lo que:
\begin{equation*}
z^{1/5} = \left\{ \sqrt[10]{2}\,\text{cis}\left(\frac{\pi}{20}\right),\sqrt[10]{2}\,\text{cis}\left(\frac{9\pi}{20}\right),\sqrt[10]{2}\,\text{cis}\left(\frac{17\pi}{20}\right),\sqrt[10]{2}\,\text{cis}\left(\frac{5\pi}{4}\right),\sqrt[10]{2}\,\text{cis}\left(\frac{33\pi}{20}\right)\right\}.
\end{equation*}

De acuerdo con la definición 5.2, $w_0 = \sqrt[10]{2}\,\text{cis}\left(\frac{\pi}{20}\right)$ es la raíz quinta principal de $z_1$.

\begin{equation*}
\text{Arg}\,z_2 = \frac{\pi}{2}.
\end{equation*}

Por otra parte, tenemos que $r_2=|\,z_2\,|=1$. Entonces, considerando la proposición 5.1, tenemos que las 4 raíces cuartas de $z_2$ están dadas por:
\begin{equation*}
w_k = 1^{\frac{1}{4}}\,\text{cis}\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k}{4}\right), \quad \text{para} \, \, k = 0,1,2,3.
\end{equation*}

Por lo que:
\begin{equation*}
z^{1/4} = \left\{\text{cis}\left(\frac{\pi}{8}\right),\text{cis}\left(\frac{5\pi}{8}\right),\text{cis}\left(\frac{9\pi}{8}\right),\text{cis}\left(\frac{13\pi}{8}\right)\right\}.
\end{equation*}

Considerando la definición 5.2, se tiene que $w_0 = \text{cis}\left(\frac{\pi}{8}\right)$ es la raíz cuarta principal de $z_2$.

\begin{equation*}
\text{Arg}\,z_3 = \text{arc tan}\left(\frac{-\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}\right) – \pi= \frac{\pi}{4} – \pi = -\frac{3\pi}{4}.
\end{equation*}

Por otra parte, tenemos que $r_3=|\,z_3\,|=2$. De acuerdo con la proposición 5.1, las 3 raíces cúbicas de $z_3$ están dadas por:
\begin{equation*}
w_k = \sqrt[3]{2}\,\text{cis}\left(\frac{\frac{-3\pi}{4}+2\pi k}{3}\right), \quad \text{para} \, \, k = 0,1,2.
\end{equation*}

Por lo que:
\begin{equation*}
z^{1/3} = \left\{\sqrt[3]{2}\,\text{cis}\left(\frac{-\pi}{4}\right), \sqrt[3]{2}\,\text{cis}\left(\frac{5\pi}{12}\right), \sqrt[3]{2}\,\text{cis}\left(\frac{13\pi}{12}\right)\right\}.
\end{equation*}

De acuerdo con la definición 5.2, se tiene que $w_0 = \sqrt[3]{2}\,\text{cis}\left(\frac{-\pi}{4}\right)$ es la raíz cúbica principal de $z_3$.

Notemos que las raíces $n$-ésimas tienen una intepretación geométrica, es decir, las raíces $n$-esimas de un número complejo $z$ coinciden con los vértices de un póligono regular de $n$ lados, el cual está inscrito en una circunferencia de radio $\sqrt[n]{r}$ centrada en el origen.

Considerando los números complejos del ejemplo 5.1 tenemos que:

Un caso particular importante es cuando $z=1$. Si se plantea la ecuación $w^n = z$, entonces a las soluciones se les llama las raíces $n$-ésimas de la unidad. Considerando que el argumento principal de $z=1$ es $\text{Arg}\,z = 0$ y $r = |\,z\,| =1$, entonces la forma polar de la unidad es $z=\text{cis}(0)$. De acuerdo con la proposición 5.1 se tiene que las raíces de la unidad están dadas por:
\begin{equation*}
w_k = \sqrt[n]{1}\,\text{cis}\left(\frac{0 + 2 \pi k}{n}\right)= \text{cis}\left(\frac{2 \pi k}{n}\right), \quad \text{para}\, \, k=0,1,\ldots,n-1.
\end{equation*}

Si definimos $\omega = \text{cis}\left(\frac{2 \pi}{n}\right)$, entonces por la fórmula de De Moivre se tiene que $\omega^k$, con $k=0,1,\ldots,n-1 $, determina las $n$ raíces $n$-ésimas de la unidad, es decir:
\begin{equation*}
1, \omega, \omega^2, \omega^3, \ldots, \omega^{n-1}.
\end{equation*}

Ejemplo 5.2.
De acuerdo con lo anterior, tenemos que las 3 raíces cúbicas de la unidad están determinadas por:
\begin{equation*}
\omega = \text{cis}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} + i\,\frac{\sqrt{3}}{2},
\end{equation*}

y son:
\begin{align*}
\omega^0 = 1,\\
\omega = -\frac{1}{2} + i\,\frac{\sqrt{3}}{2},\\
\omega^2 = -\frac{1}{2} – i\,\frac{\sqrt{3}}{2}.
\end{align*}

Observación 5.3.
Es interesante notar que mediante las raíces $n$-ésimas de la unidad es posible encontrar las raíces $n$-ésimas de cualquier $z\in\mathbb{C}$, $z\neq0$, ya que es posible reescribir la fórmula de la proposición 5.1 como sigue:
\begin{align*}
w_k & = \sqrt[n]{r} \, \text{cis}\left(\frac{\theta + 2 \pi k}{n}\right)\\
& = \sqrt[n]{1} \, \text{cis}\left(\frac{2 \pi k}{n}\right) \sqrt[n]{r} \, \text{cis}\left(\frac{\theta}{n}\right)\\
& = \sqrt[n]{r} \, \omega^k \, \zeta,
\end{align*}

donde $\omega = \text{cis}\left(\frac{2 \pi}{n}\right)$, $\zeta = \text{cis}\left(\frac{\theta}{n}\right)$ y $k=0,1,\ldots,n-1$. Entonces para un número complejo $z\neq0$, sus $n$ raíces $n$-ésimas son:
\begin{equation*}
\sqrt[n]{r} \, \zeta, \sqrt[n]{r} \, \omega \, \zeta, \sqrt[n]{r} \, \omega^2 \, \zeta,\ldots, \sqrt[n]{r} \, \omega^{n-1} \, \zeta.
\end{equation*}

Dichas raíces coinciden con los vértices de un polígono de $n$ lados, inscrito en la circunferencia de radio $\sqrt[n]{r}$.

Ejemplo 5.3.
Encontremos las 3 raíces cúbicas de $z=-8i$. Utilizando el argumento principal de $z$, tenemos que $\text{Arg}\,z=-\frac{\pi}{2}$ y $r = |\,z\,| = 8$, por lo que:
\begin{align*}
\sqrt[3]{r} = \sqrt[3]{8} = 2,\ \zeta = \text{cis}\left(\frac{-\frac{\pi}{2}}{3}\right) = \text{cis}\left(\frac{-\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\left(\sqrt{3} – i\right).
\end{align*}

Considerando la observación 5.3, tenemos que las 3 raíces cúbicas de $z=-8i$ están dadas por:
\begin{equation*}
\sqrt[3]{r} \, \zeta, \sqrt[3]{r} \, \omega \, \zeta, \sqrt[3]{r}\, \omega^2 \, \zeta, \end{equation*}

donde $\omega = \text{cis}\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ determina las 3 raíces cúbicas de la unidad, como en el ejemplo anterior, entonces:
\begin{align*}
w_0 = 2(1)\left[\frac{1}{2}\left(\sqrt{3} – i\right)\right] = \sqrt{3} – i,\\
w_1 = 2\left(-\frac{1}{2} + i\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left[\frac{1}{2}\left(\sqrt{3} – i\right)\right] = 2i,\\
w_2 = 2\left(-\frac{1}{2} – i\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left[\frac{1}{2}\left(\sqrt{3} – i\right)\right] = -\sqrt{3} – i.
\end{align*}

Observación 5.4.
Supongamos que $m,n \in \mathbb{N^+}$ son tales que no tienen divisores comunes y sean $z, w \in \mathbb{C}$ con $z=r\,\text{cis}(\theta)\neq0$. Es posible definir las potencias racionales de $z$, es decir $z^{m/n}$. Para entender mejor esta idea pensemos en la ecuación $w^n = z^m$. Entonces es posible mostrar que existen $n$ soluciones distintas para dicha ecuación, las cuales están dadas por las raíces $n$-ésimas de $z^m$ y son de la forma:
\begin{equation*}
w_k = \sqrt[n]{r^m}\,\text{cis}\left(\frac{m(\theta+2 \pi k)}{n}\right), \quad \text{para}\,\, k=0,1,\ldots,n-1.
\end{equation*}

Lo anterior nos dice entonces que los conjuntos $\left(z^m\right)^{1/n}$ y $\left(z^{1/n}\right)^m$ deben ser el mismo, a decir el conjunto $z^{m/n}$.

Tarea moral

1. Determina las 3 raíces cúbicas de $z_1=-125$ y las 8 raíces octavas de $z_2=\dfrac{16i}{1+i}$. En ambos casos identifica a la raíz $n$-ésima principal correspondiente y realiza un gráfico de las raíces.
2. Considera la observación 5.4 y prueba el resultado. Argumenta porqué los conjuntos de raíces son los mismos.
3. Sean $a$ y $b$ dos números reales y $n\in\mathbb{N}^+$. Demuestra que todas las raíces de la ecuación:
   \begin{equation*}
   \left(\frac{1+iz}{1-iz}\right)^n = a+ib,
   \end{equation*}

son reales si y solo si $a^2 + b^2 =1$.

4. Resuelve la ecuación $ (z+1)^5 = z^5$.
5. Encuentra todas las soluciones de la ecuación $w^2 = (-1+i)^5$.
6. Sea $z = \operatorname{cis}\left(\frac{2\pi}{n}\right)$. Prueba que para $n\geq 2$ se cumple:
   \begin{equation*}
   1+ z + z^2 + \cdots + z^{n-1} = 0.
   \end{equation*}

Más adelante…

Como habíamos visto en la entrada anterior, el trabajar con un número complejo en su forma polar nos permitió caracterizar a las potencias enteras de un números complejo en términos de sus módulos y sus argumentos, lo cual fue de utilidad para trabajar con el concepto de raíz $n$-ésima de un número complejo y dar soluciones a ecuaciones de la forma $w^n=z$. Además vimos que es posible caracterizar a dichas soluciones de manera geométrica.

A diferencia de $\mathbb{R}$, notamos que el campo de los números complejos $\mathbb{C}$ es cerrado bajo la radicación, es decir que para todo $z\in\mathbb{C}$ se cumple que el conjunto de números complejos $z^{1/n}$, $n\in\mathbb{N}^+$, sigue siendo un subconjunto de $\mathbb{C}$.

En la siguiente entrada retomaremos el concepto del módulo y sus propiedades con la finalidad de introducir una métrica en $\mathbb{C}$, la cual nos permitirá seguir describiendo desde una perspectiva geométrica a los números complejos y hablar de algunos lugares geométricos del plano complejo.

Entradas relacionadas

• Ir a Variable Compleja I.
• Entrada anterior del curso: Forma Polar. Potencias en $\mathbb{C}$.
• Siguiente entrada del curso: Lugares geométricos en $\mathbb{C}$.

Introducción

Hasta ahora hemos descrito la forma en que asociaremos los números complejos, pensados como pares ordenados de números reales, con puntos en el plano complejo utilizando un sistema de coordenadas cartesianas en el que el eje de las abscisas corresponde al eje real y el eje de las ordenadas al eje imaginario. Esto nos permitió darle una representación geométrica a los números complejos como vectores en el plano complejo con sus operaciones definidas.

De acuerdo con nuestros cursos de Geometría Analítica sabemos que, en el plano, un punto $P$ de coordenadas $(x,y)$ puede representarse en el sistema de coordenadas polares si se considera su forma polar $(r, \theta)$, donde $r$ determina la distancia del punto al origen y $\theta$ la dirección de $P$. La principal motivación de realizar un cambio de variables es que las coordenadas polares nos permitirán realizar una mejor representación e interpretación geométrica de los números complejos.

Forma polar de un número complejo.

Observación 4.1.
Debemos recordar que a diferencia de las coordenadas cartesianas, no existe una relación biunívoca entre los puntos del plano y las coordenadas polares que los representan, esto es porque un punto $P$ puede estar representado por un par cualquiera de un número infinito de pares de coordenadas polares desde que $\theta$ y $\theta + 2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$ representan al mismo ángulo, es decir que el ángulo asociado con un punto no es único y por tanto las coordenadas $(r,\theta)$ y $(r,\theta+2\pi n)$, $n\in\mathbb{Z}$, nos determinan al mismo punto $P$.

Sabemos que las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas satisfacen las siguientes relaciones:
\begin{equation*}
y = r \, \text{sen}(\theta),
\end{equation*}

\begin{equation*}
x = r \, \text{cos}(\theta).
\end{equation*}

\begin{equation*}
r = \sqrt{x^2 + y^2},
\end{equation*}

\begin{equation*}
\theta = \text{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right), \,x\neq0.
\end{equation*}

Utilizando lo anterior como motivación, consideremos la siguiente:

Definición 4.1. (Argumentos de un número complejo.)
Sea $z \in \mathbb{C}$ con $z \neq 0$. Un argumento de $z$, denotado como $\theta$, es el ángulo formado por el vector $z$, el cual parte del origen, con el eje real, figura 7. Entonces diremos que el argumento de $z$, denotado como $\operatorname{arg}\,z$, está definido, módulo $2\pi$, como el número $\theta$ para el cual:

\begin{align*} \text{sen}(\theta) = \frac{\text{Re}(z)}{|\, z \,|},\\ \text{cos}(\theta) = \frac{\text{Im}(z)}{|\, z \,|}. \tag{4.1} \end{align*}

No se debe confundir la notación designada para este ángulo, ya que no es una función, por lo que omitiremos los paréntesis.

Observación 4.2.
Es importante notar que el argumento de un número complejo no es único desde que las funciones sen$(\theta)$ y cos$(\theta)$ son $2 \pi$-periódicas, es decir, para un número complejo $z$ que tenga un argumento $\theta_0$, entonces necesariamente los ángulos $\theta_0 \pm 2\pi, \theta_0 \pm 4\pi, \ldots$, son también argumentos de $z$, es decir, el símbolo $\text{arg} \, z$ representa un conjunto de posibles valores que puede tomar el ángulo $\theta$.

Definición 4.2. (Forma polar de un número complejo.)
Sea $z=x+iy \in \mathbb{C}$ con $z \neq 0$. La representación en coordenadas polares de $z$ está dada por:
\begin{align*}
x = r \, \operatorname{cos}(\theta),\\
y = r \, \operatorname{sen}(\theta),
\end{align*}

donde $r = |\, z \,|$ y $\theta =\operatorname{arg} \, z$. Entonces la forma polar de $z$ está dada por:
\begin{equation*}
z = r\,\left( \operatorname{cos}(\theta) + i \, \operatorname{sen}(\theta) \right).
\end{equation*}

Es claro que escribir $\operatorname{arg}\,z = \theta + 2\pi n$ o simplemente $\operatorname{arg}\,z = \theta$ es un abuso de notación, pero es común encontrar estas expresiones para denotar a un argumento en específico, es decir a un ángulo paticular que satisface las condiciones de (4.1).

Observación 4.3.
A partir de ahora usaremos la siguiente notación:
\begin{equation*}
\operatorname{cis}(\theta) = \operatorname{cos}(\theta) + i \, \operatorname{sen}(\theta).
\end{equation*}

Así:
\begin{equation*}
z = r \, \operatorname{cis}(\theta).
\end{equation*}

En la práctica es común encontrar al argumento de $z$ mediante:
\begin{equation*}
\operatorname{tan}(\theta) = \frac{y}{x} \quad \Longrightarrow \quad \theta = \operatorname{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right), \, \, x\neq 0.
\end{equation*}

Sin embargo, dado que la función $\operatorname{tan}(\theta)$ es $\pi$-periódica, debemos tener cuidado al utilizar esta última ecuación. Recordemos que $\operatorname{arc\,tan}\left(\frac{y}{x}\right) \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, por lo que para cualquier $z \in \mathbb{C}$, $z\neq 0$, es necesario dar un argumento que sea consistente con la región en el plano en la que se encuentra dicho número, esto porque a veces será necesario sumar o restar $\pi$ a un argumento $\operatorname{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right)$ con la finalidad de ajustarlo con el cuadrante adecuado.

Definición 4.3. (El argumento principal de un número complejo.)
El argumento principal de un número complejo $z \neq 0$, denotado por $\operatorname{Arg} \, z$, es el único ángulo del conjunto $\operatorname{arg}\,z$ tal que $-\pi < \operatorname{Arg} \, z \leq \pi$.

De la definición 4.3 y la observación 4.2 se sigue que: \begin{equation*} \operatorname{arg}\, z = \{ \operatorname{Arg}\, z + 2\pi n \, : \, n\in\mathbb{Z}\}, \end{equation*}

de donde es claro que para un número complejo $z\neq 0$ se tiene una infinidad de argumentos. Además, en el caso de que $z$ sea un número real negativo, se tiene que el argumento principal de $z$ es justamente $\pi$.

Observación 4.4.
Usualmente un argumento de un número complejo $z\neq0$ se toma en intervalos semiabiertos de la forma: \begin{equation*} (2n-1)\pi < \operatorname{arg}\, z \leq (2n+1)\pi, \quad n \in \mathbb{Z},\tag{4.2} \end{equation*} \begin{equation*} 2n\pi \leq \operatorname{arg}\, z < 2(n+1)\pi, \quad n \in \mathbb{Z}. \tag{4.3} \end{equation*}

Por lo que, el argumento principal de $z$, es decir $\text{Arg} \, z$, queda definido, tomando $n=0$ en (4.2), como el ángulo tal que:
\begin{equation*}
\text{tan}(\text{Arg}\, z) = \frac{y}{x}, \quad -\pi < \text{Arg}\, z \leq \pi.
\end{equation*}

Ejemplo 4.1.
Considera los siguientes números complejos y encuentra su forma polar considerando su argumento principal:

Solución. Primeramente grafiquemos los números en el plano complejo.

Figura 8: Gráficas de los números complejos $z_1$ y $z_2$ con sus argumentos.

Figura 9: Gráficas de los números complejos $z_3$ y $z_4$ con sus argumentos.

\begin{align*}
r_1 = |\,z_1\,| = \sqrt{(-1)^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2} = 2,\\
\theta_1 = \text{arc tan}\left(-\sqrt{3}\right) = -\frac{\pi}{3}.
\end{align*}

De acuerdo con la figura 8(a), notamos que el número complejo $z_1$ se encuentra en el segundo cuadrante, mientras que utilizando la función $\text{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right)$ se tiene un argumento $\theta_1 = -\frac{\pi}{3}$, el cual se encuentra en el cuarto cuadrante, por lo que una solución que satisface la condición de ser el argumento principal está dada por:
\begin{equation*}
\text{Arg}\,z_1 = \theta_1 + \pi = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}
\end{equation*}

ya que:
\begin{equation*}
-\pi<\text{Arg}\,z_1 \leq \pi,
\end{equation*}

y además:
\begin{equation*}
\text{tan}\left( \text{Arg}\,z_1 \right) = \text{tan}\left( \frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}.
\end{equation*}

Por lo tanto, considerando su argumento principal, tenemos que la forma polar de $z_1$ está dada por:
\begin{equation*}
z_1 = 2\,\text{cis}\left( \frac{2\pi}{3} \right).
\end{equation*}

Mientras que:
\begin{equation*}
\text{arg}\,z = \text{Arg}\,z + 2\pi n = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n\in \mathbb{Z}.
\end{equation*}

\begin{align*}
r_2 = |\,z_2\,| = \sqrt{\left(-\sqrt{3}\right)^2 + (-1)^2} = 2,\ \theta_2 = \text{arc tan}\left(\frac{-1}{-\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}.
\end{align*}

Considerando ahora la gráfica 8(b) notamos que $z_2$ se encuentra en el tercer cuadrante, mientras que el argumento $\theta_2 = \frac{\pi}{6}$, dado por la función $\text{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right)$, se encuentra en el primer cuadrante, por lo que no coincide con la ubicación de $z_2$ en el plano. Podemos encontrar entonces al argumento principal de $z_2$ como:
\begin{equation*}
\text{Arg}\,z_2 = \theta_1 – \pi = \frac{\pi}{6} – \pi = -\frac{5\pi}{6},
\end{equation*}

ya que:
\begin{equation*}
-\pi<\text{Arg}\,z_2 \leq \pi,
\end{equation*}

y además:
\begin{equation*}
\text{tan}\left( \text{Arg}\,z_2 \right) = \text{tan}\left( -\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{-1}{-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.
\end{equation*}

Por lo tanto, considerando su argumento principal, tenemos que la forma polar de $z_1$ está dada por:
\begin{equation*}
z_2 = 2\,\text{cis}\left( -\frac{5\pi}{6} \right).
\end{equation*}

Mientras que:
\begin{equation*}
\text{arg}\,z = \text{Arg}\,z + 2\pi n = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n\in \mathbb{Z}.
\end{equation*}

\begin{equation*}
r_3 = r_4 = |\, z_3 \,| = |\, z_4 \,| = \sqrt{0^2 + (\pm1)^2} = 1.
\end{equation*}

De acuerdo con las figuras 9(a) y 9(b), observamos que en ambos casos la parte real de los respectivos números complejos es igual a cero, por lo que debemos analizar qué sucede en este caso, aunque de manera gráfica es claro que es posible determinar algunos argumentos para $z_3$ y $z_4$.

Sabemos que la función $\text{tan}(x)$ es continua e invertible en $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ y además se cumple que:
\begin{align*}
\lim_{\text{Arg}\,z \to \left(\frac{\pi}{2}\right)^+} \text{tan}(\text{Arg}\,z) = + \infty.\\
\lim_{x \to 0^+} \frac{y}{x} =
\left\{ \begin{array}{lcc}
+ \infty & si & y>0, \\
\\ – \infty & si & y<0.
\end{array}
\right.
\end{align*}

Por lo que usando la inversa de la función $\text{tan}(x)$ tenemos que:
\begin{equation*}
\lim_{x \to 0^+} \text{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right) = \left\{ \begin{array}{lcc} \frac{\pi}{2} & si & y>0,\\
– \frac{\pi}{2} & si & y<0.
\end{array} \right.
\end{equation*}

Lo anterior nos deja ver que en el caso en que $x=0$, el signo de $y$ determinará el valor del argumento principal, es decir:
\begin{align*}
\text{Arg}\,z_3 = \frac{\pi}{2},\\
\text{Arg}\,z_4 = -\frac{\pi}{2}.
\end{align*}

los cuales claramente satisfacen la definición 4.3. Entonces, utilizando el argumento principal de $z_3$ y $z_3$ tenemos que la forma polar de cada uno es respectivamente:
\begin{align*}
z_3 = \text{cis}\left(\frac{\pi}{2}\right),\\
z_4 = \text{cis}\left(\frac{-\pi}{2}\right).
\end{align*}

Los ejemplos anteriores nos dejan ver que para determinar el argumento principal de un número complejo debemos identificar el cuadrante en el que se encuentra dicho número y verificar que se satisfagan las condiciones dadas en la observación 4.4, por lo que para obtener el argumento principal de un número complejo $z\neq 0$, con $z = x + iy$ podemos considerar los siguientes casos:

1. Si $x > 0$, entonces $\text{Arg}\,z = \text{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right)$.
2. Si $x < 0$ y $y>0$, entonces $\text{Arg}\,z = \text{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right) + \pi$.
3. Si $x < 0$ y $y<0$, entonces $\text{Arg}\,z = \text{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right) – \pi$.
4. Si $x = 0$ y $y>0$, entonces $\text{Arg}\,z = \frac{\pi}{2}$.
5. Si $x = 0$ y $y<0$, entonces $\text{Arg}\,z = -\frac{\pi}{2}$.
6. Si $y = 0$ y $x>0$, entonces $\text{Arg}\,z = 0$.
7. Si $y = 0$ y $x<0$, entonces $\text{Arg}\,z =\pi$.

Analicemos estos casos de manera gráfica:

Figura 10: Caso 1. Gráficas de un números complejo $z=x+iy$ tal que $x>0$.

Por lo que para un número complejo $z \neq 0$, con $z=x+iy$, podemos encontrar su argumento principal como:

\begin{equation*}
\text{Arg}\,z= \left\{ \begin{array}{lcc}
\text{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right) & \text{si} & x>0,\\
\\ \text{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right) + \pi & \text{si} & x<0 \quad \text{y} \quad y>0,\\
\\ \text{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right) – \pi & \text{si} & x<0 \quad \text{y} \quad y<0,\\
\\ \frac{\pi}{2} & \text{si} & x=0 \quad \text{y} \quad y>0,\\
\\ -\frac{\pi}{2} & \text{si} & x=0 \quad \text{y} \quad y<0,\\
\\ 0 & \text{si} & x>0 \quad \text{y} \quad y=0,\\
\\ \pi & \text{si} & x<0 \quad \text{y} \quad y=0.\\
\end{array}
\right.
\end{equation*}

Observación 4.5.
Hasta ahora solo hemos considerado los casos en que $z\neq0$, pero ¿qué pasa si $z = 0$? Para responder esta pregunta basta ver que para $z = 0$ se tiene: \begin{equation*} r = |\,z\,| = 0, \quad \operatorname{Re}(z) = 0, \quad \operatorname{Im}(z) = 0, \end{equation*} por lo que no existe un argumento $\theta\in\mathbb{R}$ que satisfaga las ecuaciones (4.1).

Sin embargo, dado que para cualquier $\theta\in\mathbb{R}$ se cumple que: \begin{equation*} 0 = 0 \operatorname{cis}(\theta), \end{equation*} en ocasiones suele plantearse que cualquier número real $\theta$ puede ser un argumento de $z=0$.

Para los fines del curso nos quedaremos con el primer planteamiento, es decir, para $z=0$ diremos que su argumento no está definido.

Expresar un número complejo en su forma polar nos permite analizar mejor, en un sentido geométrico, al producto y el cociente de dos números complejos, esto es, sean $z_1 = r_1\,\text{cis}(\theta_1)$ y $z_2 = r_2 \, \text{cis}(\theta_2)$ dos números complejos distintos de cero, con $r_i = |\,z_i\,|$ y $\theta_i = \text{arg} \, z_i$ para $i=1,2$, entonces:
\begin{align*} z_1 z_2 &= \left[ r_1 \text{cis}(\theta_1)\right] \left[ r_2 \text{cis}(\theta_2) \right]\\
&= \left[ r_1 \,\text{cos}(\theta_1) + i\, r_1 \, \text{sen}(\theta_1)\right] \left[ r_2\, \text{cos}(\theta_2) + i\,r_2\,\text{sen}(\theta_2) \right]\\
&= r_1 \, r_2\, \text{cos}(\theta_1) \, \text{cos}(\theta_2) – r_1 \, r_2\, \text{sen}(\theta_1) \,\text{sen}(\theta_2) + i \, \left[ r_1 \, r_2\,\text{sen}(\theta_1) \, \text{cos}(\theta_2) + r_1 \, r_2\,\text{cos}(\theta_1)\, \text{sen}(\theta_2) \right]\\
&= r_1 \, r_2\, \left [\text{cos}(\theta_1 + \theta_2) + i \, \text{sen}(\theta_1 + \theta_2) \right]\\
&= r_1 \, r_2\, \text{cis}(\theta_1 + \theta_2).
\end{align*}

De lo anterior tenemos que el módulo del producto de dos números complejos, $z_1 z_2$, es el producto de sus módulos, mientras que el argumento del producto queda determinado, salvo múltiplos de $2 \, \pi$, como la suma de los argumentos, es decir:
\begin{align*}
|\, z_1 z_2 \,| = r_1 r_2 = | \, z_1 \, | | \, z_2|, \\
\text{arg}\,z_1 z_2 = \theta_1 + \theta_2 =\text{arg}\,z_1 + \text{arg}\,z_2.
\end{align*}

Entonces: \begin{equation*} \operatorname{arg}\,z_1 z_2 = \left\{ \theta_1 + \theta_2 + 2\pi n \, : \, n\in\mathbb{Z}\right\}, \end{equation*} donde $\theta_1$ y $\theta_2$ son ángulos particulares tales que satisfacen las ecuaciones (4.1) respectivamente.

Geométricamente tenemos que:

Por otra parte, utilizando la definición del cociente es fácil obtener que:
\begin{align*}
\frac{z_1}{z_2} &=\frac{r_1}{r_2} \, \text{cis}(\theta_1 – \theta_2),
\end{align*}

de donde concluimos que el módulo del cociente de dos números complejos, $\dfrac{z_1}{z_2}$, es el cociente de los módulos, mientras que el argumento del cociente queda determinado, salvo múltiplos de $2 \, \pi$, como la diferencia de los argumentos, es decir:
\begin{align*}
\left|\, \frac{z_1}{z_2} \,\right| = \frac{r_1}{r_2} = \frac{| \, z_1 \, |}{| \, z_2 \, |},\\ \text{arg}\, \frac{z_1}{z_2} = \theta_1 – \theta_2 =\text{arg}\,z_1 – \text{arg}\,z_2. \end{align*}

Entonces: \begin{equation*} \operatorname{arg}\,\frac{z_1}{z_2} = \left\{ \theta_1 – \theta_2 + 2\pi n \, : \, n\in\mathbb{Z}\right\}, \end{equation*} donde $\theta_1$ y $\theta_2$ son ángulos particulares tales que satisfacen las ecuaciones (4.1) respectivamente.

Considerando lo anterior, tenemos que:

Observación 4.6.
Si $z_1 = z_2$, entonces:
\begin{align*}
z_1^2 & = z_1 z_1\\
& = r_1 \, r_1 \, \text{cis}(\theta_1 + \theta_1)\\
& = r_1^2 \, \text{cis}(2 \theta_1).
\end{align*}

\begin{align*}
z_1^3 & = z_1 z_1^2\\
& = r_1 \, r_1^2 \, \text{cis}(\theta_1 + 2\theta_1)\\
& = r_1^3 \, \text{cis}(3 \theta_1).
\end{align*}

Lo cual nos deja ver que podemos proceder por inducción y generalizar el resultado para $n\geq1$.

Observación 4.7.
Es importante hacer aquí la siguiente convención. Para todo $z\in\mathbb{C}$, se tiene que $z^0 = 1$.

Proposición 4.1. (Fórmula de De Moivre.)
Sea $z \in \mathbb{C}$ tal que $z \neq 0$. Considerando a $r$ y $\theta$ como el módulo y el argumento de $z$, respectivamente, entonces:
\begin{equation*}
z^n = r^n \, \text{cis}(n\theta), \quad n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}

Demostración. Dadas las hipótesis, procedemos a realizar la prueba por inducción sobre $n$, primeramente notemos que para $n=0$ se sigue que:
\begin{align*}
z^0 & = r^0 \, \text{cis}(0)\\
& = 1 \, \left[\text{cos}(0) + i\, \text{sen}(0) \right]\\
& = 1 \, \left[1 + i\, 0 \right]\\ & = 1.
\end{align*}

Lo cual satisface la convención establecida en la observación 4.7.

Entonces, de acuerdo con la observación 4.6, tenemos que se cumple para $n=0,1,2,3$. Supongamos que se cumple para $n=k$, para algún $k \in \mathbb{N}$. Tenemos que:
\begin{align*}
z^{k+1} & = z^k z\\
& = \left[ r^k \, \text{cis}(k\theta) \right] \left[ r \, \text{cis}(\theta) \right]\\
& = r^k \, r \left[\text{cos}(k\theta) + i\,\text{sen}(k\theta) \right] \left[\text{cos}(\theta) + i\,\text{sen}(\theta) \right]\\
& = r^{k+1} \left[\text{cos}(k\theta)\, \text{cos}(\theta) – \text{sen}(k\theta)\, \text{sen}(\theta) + i\{\, \text{cos}(k\theta)\,\text{sen}(\theta) + \text{sen}(k\theta) \, \text{cos}(\theta)\} \right]\\
& = r^{k+1} \left[\text{cos}(k\theta + \theta) + i \, \text{sen}(k\theta + \theta)\right]\\
& = r^{k+1} \text{cis}\left(\left[k+1\right]\theta\right).
\end{align*}

Por lo que se cumple para $n=k+1$, por lo tanto se cumple para toda $n\in\mathbb{N}$.

$\blacksquare$

Es interesante notar que la fórmula de De Moivre se cumple en general para los números enteros, para esto veamos que se cumple para $n\in\mathbb{Z}^-$. Recordemos que para un número complejo $z\neq0$, su inverso multiplicativo se puede calcular como:
\begin{equation*}
z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|\,z\,|^2}.
\end{equation*}

Consideremos a $z$ en su forma polar, es decir $z=r\,\text{cis}(\theta)$, con $r$ su módulo y $\text{arg}\,z = \theta$, entonces:
\begin{align*}
z^{-1} & = \frac{\overline{r\,\text{cis}(\theta)}}{r^2}\\
& = \frac{r \left(\overline{\text{cos}(\theta) + i\,\text{sen}(\theta)}\right)}{r^2}\\
& = r^{-1}\left(\text{cos}(\theta) – i\,\text{sen}(\theta)\right)\\
& = r^{-1}\left[\text{cos}(-\theta) + i\,\text{sen}(-\theta)\right]\\
& = r^{-1}\text{cis}(-\theta).
\end{align*}

De acuerdo con esta última igualdad, notemos que para $m\in\mathbb{Z}^-$ podemos reescribir:
\begin{equation*}
m=-n=(-1)n=n(-1), \quad n\in\mathbb{N^+},
\end{equation*}

entonces:
\begin{align*}
z^{m} & = \left(z^n\right)^{-1}\\
& = \left(r^n\,\text{cis}(n\theta)\right)^{-1}\\
& = \frac{\overline{r^n\,\left[\text{cos}(n\theta) + i\,\text{sen}(n\theta) \right]}}{\left(r^n\right)^2}\\
& = \frac{r^n\left[\text{cos}(n\theta) – i\,\text{sen}(n\theta) \right]}{r^{2n}}\\
& = r^{-n}\left[\text{cos}(-n\theta) + i\,\text{sen}(-n\theta) \right]\\
& = r^{m}\,\text{cis}(m\theta).
\end{align*}

Corolario 4.1.
Sea $z\neq0$ un número complejo, considerando su forma polar, $z=r\,\text{cis}(\theta)$, con $r=|\,z\,|$ y $\theta=\text{arg}\,z$, entonces:
\begin{equation*}
z^n = r^n\text{cis}(n\theta), \quad \forall n \in \mathbb{Z}.
\end{equation*}

$\blacksquare$

Tomando a $r=1$, notamos que la fórmula de De Moivre nos dice que para toda $n \in \mathbb{Z}$:
\begin{align*} \text{cis}(n\theta) & = \text{cos}(n\theta) + i\,\text{sen}(n\theta)\\
& = \left[\text{cos}(\theta) + i\,\text{sen}(\theta)\right]^n\\
& = \text{cis}^n(\theta).
\end{align*}

Además es fácil concluir por inducción que para $z\neq 0$ se cumple para toda $n \in\mathbb{Z}$:
\begin{equation*}
|\,z^n\,| = |\, z \,|^n, \quad \operatorname{arg}\,z^n = n\, \operatorname{arg}\,z,\,\, \text{módulo}\,2\pi.
\end{equation*}

Ejemplo 4.2.
Sea $z=\sqrt{3} + i$. Hallar $z^7$.

Solución. Primeramente expresemos a $z$ en su forma polar. Tenemos que $r = |\,z\,|=2$.

Por otra parte notemos que $z$ se ubica en el primer cuadrante, figura 19, por lo que:
\begin{align*}
\text{Arg}\,z = \text{arc tan}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}.\\ \text{arg}\,z = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad \forall n \in \mathbb{Z}.
\end{align*}

En general sabemos que $z = r\,\text{cis}(\text{arg}\,z)$, por lo que considerando su argumento principal, $\text{Arg}\,z$, es decir $n=0$, tenemos que la forma polar de $z$ es:
\begin{equation*}
z = 2 \, \text{cis}\left(\frac{\pi}{6}\right).
\end{equation*}

De acuerdo con la fórmula de De Moivre:
\begin{align*}
z^7 & = 2^7 \, \text{cis}\left(\frac{7\pi}{6}\right)\\
& = 2^7 \left[ -\frac{\sqrt{3}}{2} – i \frac{1}{2}\right]\\
& = -64\left(\sqrt{3}+i\right).
\end{align*}

Tarea moral

1. ¿Consideras que sea necesario pedir que $z\neq0$ en la definición 4.2?
2. De acuerdo con la observación 4.5 ¿Por qué consideras que para $z=0$ el argumento de $z$ puede ser cualquier constante?
3. Para $z_1, z_2\in\mathbb{C}$, distintos de cero, al expresarlos en su forma polar concluimos que: \begin{equation*} \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \, \text{cis}(\theta_1 – \theta_2). \end{equation*} Realiza el desarrollo completo para obtener dicho resultado ¿Cómo podemos representar dicho resultado de manera geométrica? Haz un diagrama.
4. ¿Consideras necesario realizar la convención de la observación 4.7?
5. Utilizando los resultados de la entrada resuelve lo siguiente:

6. Considera a los números complejos $z = 1+i\sqrt{3}$ y $w=1-3i$. Realiza las siguientes operaciones:

Más adelante…

Hemos visto que mediante la forma polar de un número complejo es posible interpretar mejor, desde un sentido geométrico, a las operaciones entre números complejos.

Además, considerar a un número complejo en su forma polar nos permitió obtener nuevas relaciones que cumplen las potencias enteras de los números complejos en términos de sus módulos y sus argumentos, en particular obtuvimos la fórmula de De Moivre, la cual resultó de gran utilidad para operar con números complejos.

La siguiente entrada continuaremos trabajando a los números complejos desde una perspectiva geométrica y retomaremos la forma polar de un número complejo para dar solución a ecuaciones de la forma $w^n=z$, introduciendo primeramente el concepto de la raíz de un número complejo.

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