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Álgebra Moderna I: Teorema de Cayley

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

¡Hoy es el día en el que comenzamos la Unidad 4!

A partir de esta unidad veremos cada uno de los elementos de los grupos (para cualquier grupo) se puede ver como una permutación. Para fines introductorios, ilustremos qué pasa en el caso de un grupo finito. Sea $G = \{e,g_2,\dots, g_n\}$, podemos escribir su tabla de producto ($*$):

$*$$e$$g_2$$g_3$$\cdots$$g_n$
$e$
$g_2$
$g_3$
$\vdots$
$a = g_i$$ae$$ag_2$$ag_3$$\cdots$$ag_n$
$\vdots$
$g_n$

¿Qué pasa si elegimos un elemento fijo? Fijemos $g_i$, para distinguirlo, denotémoslo como $a = g_i.$ Así, en la tabla del producto ese renglón quedaría $ae \;\; ag_2 \;\; ag_3 \;\; \cdots \;\; ag_n$. Como tanto $a = g_i$ como $e,g_2,\dots g_n$ están en $G$, ese renglón está conformado por elementos de $G$.

Podría darse el caso en que $ag_k = ag_t$ para algún $k,t\in \{1,\dots,n\}$, pero como $G$ es un grupo, podemos cancelar la $a$. Entonces $ag_k = ag_t \Leftrightarrow g_k = g_t$. Así, si suponemos que $g_k \neq g_t$ para todas $k \neq t$ con $k,t\in \{1,\dots,n\}$, en el renglón de $a$ aparecen $n$ elementos distintos. Es decir, aparecen todos los $n$ elementos de $G$ pero quizás en otro orden.

De esta manera, el efecto que tiene $a$ sobre los elementos de $G$ es de moverlos. Esto sucederá en cualquier renglón de la tabla, es decir, cualquier elemento de $G$ funciona como una permutación. Esto es importante porque nos permitirá visualizar a cualquier grupo como un grupo de permutaciones.

Ésta es la razón por la cual las permutaciones son tan importantes y por eso tenemos que estudiarlas bien.

La función tau $\tau$

Bajo la idea propuesta en la introducción de esta entrada, todo grupo se puede pensar como un subgrupo de un grupo de permutaciones. Para formalizar esta idea comenzaremos con un lema.

Lema. Sea $G$ un grupo, $a\in G$. La función $\tau_a:G \to G$ dada por $\tau_a(g) = ag$ para todo $g\in G$, es una biyección.

Demostración.

Sea $G$ un grupo, $a\in G$. Consideremos la función $\tau_a:G\to G$ con $\tau_a(g) = ag$ para todo $g\in G$.

P.D. $\tau_a$ es biyectiva.
Consideremos la función $\tau_{a^{-1}}:G\to G$ con $\tau_{a^{-1}} = a^{-1} g$, para toda $g\in G.$ Dado $g\in G$.
\begin{align*}
\tau_{a^{-1}}\circ\tau_a(g) & = \tau_{a^{-1}}(\tau_a(g)) = \tau_{a^{-1}}(ag) = a^{-1}(ag) = g\\
\tau_a\circ\tau_{a^{-1}}(g) &= \tau_a(\tau_{a^{-1}}(g)) = \tau_a(a^{-1}g) = a(a^{-1}g) = g.
\end{align*}

Donde todas las igualdades son por definición de $\tau_a$ y $\tau_{a^{-1}}$ ó por propiedades de grupo.

Así, $\tau_{a^{-1}}$ es la inversa de $\tau_a$ y entonces $\tau_a$ es biyectiva.

$\blacksquare$

Observación. Si $a\neq e$, $\tau_a$ no es un homomorfismo.
La demostración queda como ejercicio. Sucederá que si $a\neq e$, entonces $\tau_a$ seguirá siendo una función biyectiva, pero no un homomorfismo.

El título de la entrada

El Teorema de Cayley es quien nos dirá exactamente lo que queremos formalizar esta entrada.

Teorema. Teorema de Cayley.
Todo grupo de $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_G$. En particular, todo grupo finito de orden $n$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$.

Demostración.
Sea $G$ un grupo. De acuerdo al lema anterior, para cada $a\in G$ se tiene que $\tau_a$ es una función biyectiva de $G$ en $G$, es decir $\tau_a\in S_G$ Definimos entonces
\begin{align*}
\phi: G \to S_G \text{ con } \phi(a) = \tau_a \; \forall a\in G.
\end{align*}

Veamos que $\phi$ es un homomorfismo.
Tomemos $a,b\in G$.
P.D. $\phi(ab) = \phi(a)\circ\phi(b)$.

Dado que en todas las funciones involucradas tanto el dominio como el condominio es $G$, basta probar que $\phi(ab) $ y $\phi(a)\circ\phi(b)$ tienen la misma regla de correspondencia. Sea entonces $g\in G,$ apliquemos la función $\phi(ab)$ a $g$.
\begin{align*}
\phi(ab)(g) &= \tau_{ab}(g)\\
&= (ab)g \\
&= a(bg) \\
&= \tau_a(\tau_b(g)) \\
& = \tau_a\circ\tau_b(g) = \phi(a)\circ\phi(b)(g).
\end{align*}

Por lo tanto $\phi(ab) = \phi(a)\circ\phi(b)$, probando así que $\phi$ es un homomorfismo.

Veamos ahora que $\phi$ es un monomorfismo. Sea $a\in \text{Núc }\varphi$,
\begin{align*}
a\in \text{Núc }\varphi \Rightarrow\; & \phi(a) = \text{id}_G & \text{Definición de Núc}\\
\Rightarrow\; & \phi(a) (g) = \text{id}_G(g) &\forall g\in G \\
\Rightarrow\; & \tau_a(g) = g & \forall g\in G\\
\Rightarrow\; &ag = g & \forall g\in G \\
\Rightarrow\; &a = e
\end{align*}

donde la última implicación se puede justificar considerando el caso particular $g = e$. De esta manera $\phi$ es un monomorfismo.

Así, al restringir el codominio de $\phi $ a la imagen $\text{Im }\phi$ obtenemos un isomorfismo.
Por lo tanto $G\cong \text{Im }\phi \leq S_G$. Con esto tenemos la primero parte del teorema demostrada.

En particular, si $|G| = n $ tenemos que $S_G \cong S_n$ y como $G\cong \text{Im }\phi \leq S_G\cong S_n$, entonces $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$.

$\blacksquare$

Ejemplo:

Tomemos $V = \{(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)\}$ el grupo de Klein, con la suma entrada a entrada módulo 2.
Sean $a_1 = (0,0), a_2 = (1,0), a_3 = (0,1), a_4 = (1,1)$. Tenemos la tabla de suma de la siguiente manera:

$+$$a_1$$a_2$$a_3$$a_4$
$a_1$$a_1$$a_2$$a_3$$a_4$
$a_2$$a_2$$a_1$$a_4$$a_3$
$a_3$$a_3$$a_4$$a_1$$a_2$
$a_4$$a_4$$a_3$$a_2$$a_1$

Entonces $\tau_{a_2}$ intercambia $a_1$ y $a_2$ e intercambia $a_3$ y $a_4$ de lugar. Viendo a $a_2$ como una permutación, correspodería a $\sigma \in S_4$ con $\sigma = (1\;2)(3\;4).$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demostrar la observación:
    Observación. Si $a\neq e$, $\tau_a$ no es un homomorfismo.
  2. Para los siguientes grupos $G$ y $g\in G$ determina cómo es la función $\tau_g:$
    • $G$ es cíclico de orden 6, $g$ un generador de $G$.
    • $G = D_{2(4)}$, $g = b$ la reflexión sobre el eje $x$.
    • $G = Q$, $g = -j$.
  3. En los diferentes inicios del ejercicio anterior, describe cómo se puede visualizar al elemento $g\in G$ como una permutación en $S_n$ con $n = |G|.$

Más adelante…

Esta entrada es la primera de la unidad 4 porque a partir de aquí vamos a abstraer aún más lo que se trabajó en el Teorema de Cayley. Aquí vimos que un grupo se puede ver como un subgrupo de permutaciones porque podemos multiplicar $g\in G$ con todos los elementos de $G$. Pero a lo largo de este curso vimos varias operaciones que están definidas a partir del producto de $G$, por ejemplo, si tenemos $aN \in G/N$ con $N$ normal en $G$, es perfectamente válido operar $gaN$. Siguiendo la lógica del Teorema de Cayley, ¿qué pasa si definimos una nueva función multiplicando las clases laterales por los elementos del grupo? ¿Será posible definir algún tipo de operación entre los elementos de un grupo y un conjunto ya no necesariamente de clases laterales? Éstas y más preguntas serán respondidas en las siguientes entradas.

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Álgebra Moderna I: Homomorfismo, Monomorfismo, Epimorfismo, Isomorfismo y Automorfismo

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Lo sé, el título parece un trabalenguas. Pero ten paciencia, en realidad no es tan complicado.

A lo largo de este curso hemos estado trabajando con grupos, ahora vamos a pensar en funciones que respetan de alguna manera la estructura de los grupos.

Tomemos por ejemplo el grupo de Klein, $V = \{(0,0), (1,0), (0,1),(1,1)\}$, es un grupo que tiene un neutro $(0,0)$ y los otros tres elementos comparten que: tienen orden 2, si se suman consigo mismos obtenemos el neutro y si sumamos dos, obtenemos el tercero:

\begin{align*}
(1,0) + (1,0) &= (0,0)\\
(0,1) + (0,1) &= (0,0)\\
(1,1) + (1,1) &= (0,0).
\end{align*}

\begin{align*}
(1,0) + (0,1) &= (1,1)\\
(0,1) + (1,1) &= (1,0)\\
(1,1) + (1,0) &= (0,1).
\end{align*}

Por otro lado, podemos tomar el conjunto $P = \{(1), (1\, 2)(3\,4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(2\,3)\}$. $P$ es un grupo que tiene un neutro $(1)$ y los otros tres elementos comparten que: tienen orden 2, si se componen consigo mismos obtenemos el neutro y si componemos dos, obtenemos el tercero:

\begin{align*}
(1\, 2)(3\,4)(1\,2)(3\,4) &= (1)\\
(1\,3)(2\,4)(1\,3)(2\,4) &= (1)\\
(1\,4)(2\,3)(1\,4)(2\,3) &= (1).
\end{align*}

\begin{align*}
(1\, 2)(3\,4)(1\,3)(2\,4) &= (1\,4)(2\,3)\\
(1\,3)(2\,4)(1\,4)(2\,3) &= (1\, 2)(3\,4)\\
(1\,4)(2\,3)(1\, 2)(3\,4) &= (1\,3)(2\,4).
\end{align*}

¿Suena familiar? Bueno, esto es porque a pesar de que son grupos distintos, con elementos y operaciones muy diferentes, estructuralmente son iguales.

Para formalizar esta idea, nos gustaría observar que existe una correspondencia entre los dos grupos. Esta correspondencia es biyectiva y además tiene que respetar la estructura de las operaciones. Entonces sería algo así:

\begin{align*}
(0,0) &\longrightarrow (1)\\
(1,0) &\longrightarrow (1\, 2)(3\,4)\\
(0,1) &\longrightarrow (1\,3)(2\,4)\\
(1,1) &\longrightarrow (1\,4)(2\,3).
\end{align*}

En este caso decimos que $V$ y $P$ son isomorfos. Lo definiremos formalmente más adelante, por ahora es importante que observes que esta correspondencia mantiene la estructura de las operaciones de los grupos. Así, este es el objetivo de la entrada, definir y trabajar con funciones (no necesariamente biyectivas) que mantengan las operaciones de dos grupos. Estas funciones son llamadas homomorfismos.

¿Qué son todos estos homomorfismos?

Primero, comencemos definiendo lo más general. Una función que mantenga las operaciones entre grupos.

Definición. Sean $(G,*), (\bar{G}, \bar{*})$ grupos. Decimos que la función $\varphi:G \mapsto \bar{G}$ (ó $\varphi: (G,*)\mapsto (\bar{G},\bar{*})$) es un homomorfismo de grupos si
$$\varphi(a*b) = \varphi(a) \bar{*} \varphi(b) \quad \forall a,b\in G.$$

Se puede decir que $\phi$ «abre» a la operación.

Definiciones varias.

Ahora, le agregaremos condiciones a $\varphi$. Dependiendo de qué condición extra cumpla, el homorfismo tomará otro nombre.

  • Si el homomorfismo $\varphi$ es inyectivo se llama monomorfismo.
  • Si el homomorfismo $\varphi$ es suprayectivo se llama epimorfismo.
  • Si el homomorfismo $\varphi$ es biyectivo se llama isomorfismo.
  • Un isomorfismo de un grupo en sí mismo se llama automorfismo.

Notación. Si $\varphi$ es un isomorfismo decimos que $G$ es isomorfo a $\bar{G}$ y lo denotamos como $G \cong \bar{G}$.

Puede parecer mucho vocabulario nuevo, así que guarda esta entrada para recordar qué es cada uno.

Ejemplos.

  1. Tomemos $\varphi: (\z , +) \mapsto (\z_n,+)$ con $\varphi(a) = \bar{a}$ para toda $a\in \z$. Es decir, $\varphi$ manda a cada entero a su clase módulo $n$.

    Veamos qué sucede con la suma :
    $\varphi(a+b) = \overline{a+b} = \bar{a} + \bar{b} = \varphi(a) + \varphi(b)$ para toda $a,b \in \z$.

    Además, dado $\bar{a} \in \z_n, \bar{a} = \varphi(a)$. Entonces $\varphi$ es suprayectiva.
    Por lo tanto $\varphi$ es un epimorfismo.
  2. Sea $n \in \n^+$.
    Tomamos $\varphi: (S_n, \circ) \mapsto (S_{n+1}, \circ)$ donde para cada $\alpha \in S_n$ se define $\varphi(\alpha) \in S_{n+1}$ tal que
    \begin{align*}
    \varphi(\alpha)(i) =
    \begin{cases}
    \alpha(i) & \text{si } i \in \{1,…,n\} \\
    n+1 & \text{si } i = n+1
    \end{cases}
    \end{align*}
    Es decir, se mantienen las permutaciones de $S_n$ pero se consideran como elementos de $S_{n+1}$ pensando que dejan fijo a $ n+1$.

    Ahora veamos qué sucede con el producto, sean $\alpha, \beta \in S_n$:
    \begin{align*}
    \varphi(\alpha)\varphi(\beta) (i) &= \varphi(\alpha)(\varphi(\beta)(i)) \\
    & = \begin{cases} \alpha(\beta(i)) & \text{si } i \in \{1, … , n\} \\
    n+1 & \text{si } i = n+1
    \end{cases} \\
    &= \varphi(\alpha\beta)(i)
    \end{align*}

    Además, si $\varphi(\alpha) = (1)$ entonces $\alpha(i) = i$ para todo $i \in \{1, …, n\}$. Así $\alpha = (1).$ Por lo que $\varphi$ es inyectiva.
    En conclusión, $\varphi$ es un monomorfismo.
  3. Sea $\varphi: (\r, +) \mapsto (\r^+, \cdot)$ con $\varphi(x) = e^x$ para todo $x\in\r$.
    Entonces, para la suma de dos elementos en el dominio $x,y \in \r$ tendríamos,
    $$\varphi(x+y) = e^{x+y} = e^x e^y = \varphi(x) \varphi(y).$$
    Sabemos que $\psi: \r^+ \mapsto \r$ con $\psi(y) = \ln(y)$ para toda $y \in \r^+$ es la inversa de $\varphi$, así $\varphi$ es biyectiva.
    Por lo tanto $\varphi$ es un isomorfismo.
  4. Veamos un ejemplo más abstracto. Sea $G$ un grupo y $g\in G$. Y, dadas $x,y \in G$, definimos
    $\gamma_g(xy) = g(xy) g^{-1} = (gxg^{-1}) (gyg^{-1}) = \gamma_g (x) \gamma_g(y).$
    Además, para toda $x \in G$,
    \begin{align*}
    \gamma_g \circ \gamma_{g^{-1}} (x) = \gamma_g (g^{-1}x g ) = g(g^{-1} x g) g^{-1} = x \\
    \gamma_{g^{-1}} \circ \gamma_{g} (x) = \gamma_{g^{-1}} (g x g^{-1} ) = g^{-1}(g x g^{-1}) g = x .
    \end{align*}
    Donde, $g^{-1}$ existe porque $G$ es un grupo. Así, lo anterior nos indica que $\gamma_g$ es un homomorfismo invertible, que además tiene como dominio y codominio a $G$.

    Por lo tanto $\gamma_g$ es un automorfismo.

Propiedades de los homomorfismos

Proposición. El inverso de un isomorfismo es un isomorfismo.

Demostración.

Sean $(G, *), (\bar{G}, \bar{*})$ grupos, $\varphi:G\mapsto \bar{G}$ es un isomorfismo.
Tomemos $c,d \in\bar{G}$.

Como $\varphi$ es suprayectiva, existen $a,b \in G$ tales que $\varphi(a) = c$ y $\varphi(b) = d$.

\begin{align*}
\varphi^{-1} (c \bar{*}d) &= \varphi^{-1} \left( \varphi(a) \bar{*} \varphi(b) \right) \\
&= \varphi^{-1}\left( \varphi(a * b)\right) & \varphi \text{ es un homomorfismo}\\
& = \varphi^{-1} \circ \varphi (a*b)\\
& = a * b & \text{Composición de inversas}\\
& = \varphi^{-1}(c) * \varphi^{-1}(d) & \text{Pues }\varphi(a) = c,\, \varphi(b) = d
\end{align*}

Así, $\varphi^{-1}$ es un homomorfismo y como es biyectivo por ser invertible, entonces $\varphi^{-1}$ es un isomorfismo.

$\blacksquare$

Proposición. La composición de homomorfismos es un homomorfismo.

Demostración.

Sean $(G,*), (\bar{G}, \bar{*}), (\tilde{G}, \tilde{*})$ grupos. También, sean $\varphi: G \mapsto \bar{G}$ y $\psi: \bar{G} \mapsto \tilde{G}$ homomorfismos.

Dados $a,b \in G$,

\begin{align*}
\psi \circ \varphi(a*b) &= \psi (\varphi (a*b)) \\
&= \psi(\varphi(a)\,\bar{*}\, \varphi(b)) &\varphi\text{ es homomorfismo}\\
&= \psi(\varphi(a)) \,\tilde{*}\, \psi(\varphi(b)) & \psi\text{ es homomorfismo} \\
&= \psi\circ\varphi(a)\, \tilde{*} \,\psi\circ\varphi(b)
\end{align*}

Por lo tanto $\psi\circ\varphi$ es un homomorfismo.

$\blacksquare$

Observaciones.

  • Para todo $G$ grupo, $G\cong G$. (Es decir, $G$ es isomorfo a sí mismo).
  • Si $G, \bar{G}$ son grupos y $G \cong \bar{G}$, entonces $\bar{G}\cong G$.
  • Si $G, \bar{G}, \tilde{G}$ son grupos, $G \cong \bar{G}$ y $\bar{G} \cong \tilde{G}$, entonces $G\cong \tilde{G}.$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sea $D_{2n} = \left<a,b\right>$ el grupo diédrico formado por las simetrías de un $n$-ágono, con $a$ la rotación de $\frac{2\pi}{n}$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$. Sea $\varphi: D_{2n} \to D_{2n}$ tal que $\varphi(a^ib^j) = b^j$. ¿Es $\varphi$ un homomorfismo?
  2. Sean $X$ y $Y$ dos conjuntos con la misma cardinalidad. ¿Qué relación hay entre $S_X$ y $S_Y$?
  3. Sea $V = \{e, (1\,2)(3\,4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(1\,3)\} \leq S_4$. Encuentra $H\leq S_4$, $H\neq V$ pero isomorfo a $V$. ¿Es $H$ normal en $S_4$?

Más adelante…

Los homomorfismos son una parte importante de las matemáticas, porque respetar las operaciones es una característica sencilla a simple vista, pero lo suficientemente compleja para que las funciones que la cumplan sean muy interesantes. Los homomorfismos nos permiten cambiar de espacios de trabajo sin mucho problema.

Por otro lado, tal vez ya sabes que las matemáticas de este curso (y de la mayoría de los cursos en este blog) están fundamentadas en la Teoría de Conjuntos. Esta teoría nos permite construir a los objetos matemáticos a partir de conjuntos. Como curiosidad, tal vez te interese saber que existe otra teoría llamada Teoría de Categorías, que generaliza lo anterior, y en la que la generalización de un homomorfismo es llamado morfismo.

Aunque estén definidos de manera diferente, los homomorfismos de esta entrada y los morfismos de la Teoría de Categorías son, en intuición, lo mismo. Esto refuerza la idea de que los homomorfismos son en realidad más importantes de lo que parecen.

Pero bueno, regresemos a nuestro curso: en la siguiente entrada continuaremos viendo el comportamiento de los homomorfismos.

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Álgebra Moderna I: Orden de un elemento y Grupo cíclico

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la entrada anterior aprendimos qué es un subgrupo, sus características y hablamos de los subgrupos finitos. Pero en general, si tenemos un conjunto $G$ y escogemos un subconjunto $X$ de $G$, $X$ no tendría por qué ser un subgrupo. A partir de esta entrada comenzaremos a estudiar qué necesitamos agregarle a $X$ para que se vuelva un subgrupo.

Particularmente, ahora hablaremos sobre el orden de un elemento y de cómo este orden puede inducir ciertos grupos y subgrupos. Por ejemplo, definiremos qué es un subconjunto generado por $a$, con $a \in G$.

El orden de un elemento

Definición. (Orden de un elemento)
Sea $G$ un grupo, $a \in G$. Si $a^k = e$ para algún $k \in \mathbb{Z}^+$ decimos que $a$ es de orden finito y en ese caso definimos el orden de $a$ como

$o(a) = \text{mín}\{k\in \z^+ \,|\, a^k = e\}$.

En caso contrario decimos que $a$ es de orden infinito.

Ejemplos.

  1. $\Gamma_8 = \{ \xi^k \, | \, 0 \leq k < 8 \}$ con $\xi=e^{\frac{\pi i}{4}}$. Entonces $o(\xi^2) = 4$.
  2. Consideremos el conjunto $V = \{ (0,0), (1,0), (0,1) (1,1)\}$ con la suma entrada a entrada módulo $2$. Éste se conoce como el grupo de Klein. Tenemos que
    • $o((1,0)) = 2$ ya que $(1,0) \neq (0,0)$ pero $2(1,0) = (1,0) + (1,0) = (0,0)$.
    • $o((0,0)) = 1$, $o((1,0)) = o((0,1)) = o((1,1)) = 2$.
  3. Consideremos $\z$, $o(0) = 1$ y para toda $a \in \z \setminus \{0\}$, $a$ es de orden infinito.

Lema. Sea $G$ un grupo, $a \in G$ de orden finito. Si $a^k = e$ para alguna $k \in \z$, entonces $o(a)$ divide a $k$.

Demostración.
Sea $a \in G$ de orden finito. Supongamos que $a^k = e$ para algún $k \in \z$.

P.D. $o(a) | k$
Por el algoritmo de la división en $\z$ existen $q,r \in \z$ tales que

$\begin{align*}
k &= o(a) \, q + r & \text{con } 0 \leq r < o(a)
\end{align*}$

Entonces

$\begin{align*}
e &= a^k \\
& = a^{o(a)q + r} \\
& = (a^{o(a)})^q a^r \\
& = e^q a^r \\
& = e a^r \\
& = a^r
\end{align*}$

Así $e = a^r$, con $0 \leq r < o(a)$. Pero $o(a)$ es el mínimo entero positivo tal que al colocarlo como exponente en $a$ da $e$, entonces $r=0$. Por lo tanto $o(a) | k$.

$\blacksquare$

Lema. Sea $G$ un grupo, $a \in G$ de orden finito. Sea $n \in \z^+$. Si se cumple que

  1. $a^n = e$
  2. $a^k = e$ con $k \in \z$ implica que $n|k$

entonces $n = o(a)$.

Demostración.
Sea $G$ un grupo, $a \in G$ de orden finito. Sea $n \in \z^+$ tal que cumple los incisos 1 y 2.

P.D. $n = o(a)$
Como se cumple el inciso 1, $a^n = e$. Entonces

$n \in \{k \in \z^+ \,|\, a^k = e\}$.


Veamos que $n$ es el elemento mínimo.
Sea $k \in \z^+$ tal que $a^k = e$. Por el inciso 2, se tiene que $n | k$, entonces $|n|\leq |k|$ pero $n, k \in \z^+$ entonces $n\leq k$.

Por lo tanto $n = \text{mín}\{k \in \z^+ \,|\, a^k = e\} = o(a)$.

$\blacksquare$

El subgrupo cíclico

Proposición. Sea $G$ un grupo y $a \in G$. El conjunto $\{a^n \,|\, n \in \z\}$ es un subgrupo de $G$.

Notación. A partir de ahora, al conjunto anterior lo denotaremos como $\left< a \right> = \{a^n \,|\, n \in \z\}$

Demostración de la proposición.
Sean $G$ un grupo y $a \in G$.

P.D. $\left< a\right> \leq G$
$e = a^0 \in \left< a \right>$
Sean $x, y \in \left< a \right>$, entonces $x = a^n$, $y = b^m$ con $n,m \in \z$.
Tenemos que $x y^{-1} = a^n(a^m)^{-1} = a^n a^{-m} = a^{n-m} \in \left< a \right>$.
Por lo tanto $\left< a \right> \leq G$.

$\blacksquare$

Definición. Sean $G$ un grupo y $a \in G$,

$\left< a \right> = \{a^n \,|\, n \in \z\}$

se llama el subgrupo cíclico de $G$ generado por $a$. Decidimos que $G$ es un grupo cíclico si $G= \left< a \right>$ para alguna $a \in G$ y en ese caso decimos que $a$ es un generador de $G$.

Ejemplo.

  1. $G = \{\xi^k \,|\, 0 \leq k < 8\}$ con $\xi=e^{\frac{\pi i}{4}}$.
    $G$ es un grupo cíclico, pues $G = \left<\xi\right>$ y $\xi$ es un generador de $G$.
    El conjugado de $\xi$, $\bar{\xi}$, es otro generador de $G$.
    $\{1,i,-1,-i\} = \left< \xi^2 \right>$ es el subgrupo cíclico de $G$ generado por $i$.
  2. $\z = \left< 1\right>$ es un grupo cíclico, $1$ y $-1$ son generadores de $\z$.
  3. Sea $V = \{(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)\}$ el grupo de Klein definido al inicio de esta entrada. Tenemos que $\left<(1,0)\right> =\{(1,0),(0,0)\}$ es un subgrupo cíclico de $V$ generado por $(1,0)$. Se puede verificar que los elementos de $V$ generan subgrupos de uno o dos elementos. Por lo tanto $V$ no es cíclico.
  4. Sea $m\in\mathbb{Z}^+$. El conjunto de unidades de $\z_{m}$ se define como las clases módulo $m$ que tienen inverso multiplicativo, o bien $ \{\overline{n} \in \z_{m} \,|\, (n;m)=1\}$ y se denota por $U(\z_{m})$. Se puede probar que éste es un grupo con el producto. Consideremos ahora el grupo $U(\z_{10}) = \{\overline{n} \in \z_{10} \,|\, (n;10)=1\}$.
    Tenemos que $U(\z_{10}) = \{\overline{1}, \overline{3}, \overline{7}, \overline{9}\}$.
    Como $\overline{3}^2 = \overline{9}$, $\overline{3}^3 = \overline{27} = \overline{7}$,
    $\overline{3}^4 =$$\overline{3}^3 \, \overline{3} = $$\overline{7}\, \overline{3}= $$\overline{21}= $$\overline{1}$, entonces $U(\z_{10}) = \left<\overline{3} \right>$ y $U(\z_{10})$ es cíclico.

Tarea moral

  1. Sea $G= GL(2, \mathbb{Q})$ (recuerda las definiciones en los ejemplos importantes de matrices). Considera las matrices
    $A = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
    Muestra que $A$ y $B$ tienen orden finito pero $AB$ no.
  2. Prueba que las siguientes 4 matrices forman un grupo multiplicativo y encuentra el orden de cada elemento.
    $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
  3. Prueba o da un contraejemplo: Si $a^k = e$, entonces $k$ es el orden de $a$.
  4. Considera el grupo diédrico formado por las simetrías de un hexágono. Sea $R$ la rotación de $\frac{2 \pi}{3}$.
    • Determina el orden de $R$.
    • Encientra otros cincos valores $k$ enteros tales que $R^k = id$ y analiza si existe alguna relación entre $o(a)$ y estos valores de $k$.

Más adelante…

Ahora ya conocemos el subgrupo generado por $a$. En las siguientes entradas profundizaremos en las características de éste, definiremos el orden de un grupo y la relación que podemos encontrar entre ambos.

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