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Seminario de Resolución de Problemas: Geometría analítica

Introducción

La geometría analítica se puede considerar la fusión de las ideas de la geometría euclidiana y el álgebra. Una de las funcionalidades de la geometría analítica es resolver problemas de geometría de una manera analítica, partiendo de la ubicación de los objetos geométricos en el plano cartesiano. A continuación veremos algunos problemas de la geometría analítica.

Un problema de rectas y puntos notables de un triángulo

Problema: Dado el triangulo $\triangle ABC$ inscrito en una circunferencias. Denotemos como $P$ a su baricentro y como $O$ a su circuncentro. Además, supongamos que $A(0,0)$, $B(a,0)$ y $C(b,c)$.
Expresa las coordenadas de $P$ y $O$ en términos de $a$, $b$ y $c$.

Solución: Tenemos que el baricentro $P$ es la intersección de las medianas del triángulo. Basta con que encontremos las ecuaciones de dos de las medianas para establecer un sistema de ecuaciones y encontrar las coordenadas de $P$.

Para obtener las medianas tenemos que determinar los puntos medios de los lados del triángulo.

Consideraremos los puntos los puntos medios de $AB$ y de $AC$, los cuales son $P_{m_{AB}}(\frac{a}{2},0)$ y $P_{m_{AC}}(\frac{b}{2},\frac{c}{2})$ respectivamente.

Ahora, determinamos la ecuación de la mediana que pasa por el punto medio de $AC$ y el vértice $B$


\begin{equation*}
\begin{align*}
y-\frac{c}{2}&=\frac{-\frac{c}{2}}{\frac{2a-b}{2}}(x-\frac{b}{2})\\
2y-c&=-\frac{c}{2a-b}(2x-b)\\
(2a-b)(2y-c)&=-2cx+bx\\
2(2a-b)y-2ac+bc&=-2cx+bc\\
2cx+2(2a-b)y&=2ac\\
cx+(2a-b)y&=ac
\end{alig*}
\end{equation*}

Para la mediana que pasa por el vértice $C$ y por el punto medio de $AB$, tenemos que

\begin{equation*}
\begin{align*}
y&=\frac{c}{\frac{2b-a}{2}}(x-\frac{a}{2})\\
(2b-a)y&=2cx-ac\\
2cx+(a-2b)y&=ac
\end{align*}
\end{equation*}

Establecemos el sistema de ecuaciones

\begin{equation*}
\begin{align*}
cx+(2a-b)y  &=ac \\
2cx + (a-2b)y &=ac
\end{align*}
\end{equation*}

Cuya solución es $x=\frac{ac+bc}{3}$ y $y=\frac{c}{3}$

Por lo tanto el punto del baricentro está dado por

\begin{equation*}
P\left(\frac{ac+bc}{3}, \frac{c}{3}\right)
\end{equation*}

Para obtener la coordenada del circuncentro tenemos que determinar las ecuaciones de las mediatrices y con ello calcular su intersección.

Tenemos que como la pendiente del segmento $AB$ es igual a $0$, tenemos entonces que la mediatriz del segmento es

\begin{equation*}
x=\frac{a}{2}
\end{equation*}

Por otro lado tenemos que la pendiente del segmento $AC$ es igual a $\frac{c}{b-a}$ con lo que la pendiente de la mediatriz de $AC$ es $\frac{a-b}{c}$, con lo que su ecuación está dada por

\begin{equation*}
\begin{align*}
y-\frac{c}{2}&=\frac{a-b}{c}(x-\frac{b}{2})\\
y&=\frac{2(a-b)(x-\frac{b}{2}+c^2}{2c}
\end{align*}
\end{equation*}

Sustituyendo $x=\frac{a}{2}$, tenemos que

\begin{equation*}
y=\frac{(a-b)^2+c^2}{2c}
\end{equation*}

Así, podemos concluir que el punto del circuncentro está dado por $O\left(\frac{a}{2},\frac{(a-b)^2+c^2}{2c}\right)$

$\square$

Recta tangente a una circunferencia


Problema: Encuentra la relación entre los parámetros $a$, $b$ y $c$ tales que la línea recta $l:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ sea tangente a la circunferencia $C: x^2+y^2=c^2$.

Solución: Tenemos que la circunferencia está centrada el el origen $O(0,0)$ y tiene radio $r=c$.

Así, se debe cumplir que la distancia de la recta al origen debe de ser igual a $c$ para que se cumpla que sea tangente a la circunferencia.

i.e.

\begin{equation*}
\d(l,O)=\frac{|\frac{0}{a}+\frac{0}{b}-1|}{\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}=c
\end{equation*}

Tenemos entonces que

\begin{equation*}
\begin{align*}
\frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}&=c\\
c^2\left(\frac{a+b}{ab}\right)&=1\\
\frac{a+b}{ab}&=\frac{1}{c^2}
\end{align*}
\end{equation*}

Concluimos que la condición que deben de cumplir los parámetros para que se cumpla que la recta $l$ sea tangente a la circunferencia $C$ es

\begin{equation*}
c^2=\frac{ab}{a+b}
\end{equation*}

$\square$

Circunferencia que pasa por tres puntos

Problema: Consideremos una circunferencia con centro en el origen y radio $1$. Si $M$ es un punto de la circunferencia, $N$ un punto diametralmente opuesto a $M$ y $A(2,3)$ un punto fuera de la circunferencia. Determina el lugar geométrico formado por los centros de las circunferencias que pasan por $M$, $N$ y $A$ al variar $M$

Solución: Sea $M(a,b)$, tenemos que $N$ por ser diametralmente opuesto está dado por $N(-a,-b)$. Si denotamos como $C_1(x,y)$ al centro de la circunferencia que pasa por $M$, $N$ y $A$, tenemos que las distancias desde los puntos dados al centro $C_1(x,y)$ son todas iguales.

\begin{equation*}
d(C_1,M)=d(C_1,N)=d(C_1,A)
\end{equation*}

Además,

\begin{equation*}
\begin{align*}
&d(C_1,M)=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\\
&d(C_1,N)=\sqrt{(x+a)^2+(y+b)^2}\\
&d(C_1,A)=\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}
\end{align*}
\end{equation*}

Como $d(C_1,M)=d(C_1,N)$ tenemos que

\begin{equation*}
\begin{align*}
(x-a)^2+(y-b)^2&=\sqrt{(x+a)^2+(y+b)^2}\\
-2ax-2by&=2ax+2by\\
ax+by&=0
\end{align*}
\end{equation*}

Por otro lado tenemos que $d(C_1,N)=d(C_1,M)$, entonces

\begin{equation*}
\begin{align*}
(x-a)^2+(y-b)^2&=(x-2)^2+(y-3)^2\\
-2ax-2by+a^2+b^2&=-4x-6y+2^2+3^2\\
-2ax-2by+1&=-4x-6y+4+9\\
-2ax-2by&=-4x-6y+12\\
-ax-by&=-2x-3y+6\\
(a-2)x+(b-3)y&=-6
\end{align*}
\end{equation*}

Al hacer la diferencia de esta última ecuación con la primera que obtuvimos, tenemos la ecuación:

\begin{equation*}
\begin{align*}
2x+3y&=6\\
2x+3y-6&=0
\end{align*}
\end{equation*}

Lo cual nos describe una línea recta

Por lo tanto, el lugar geométrico formado por los centros de las circunferencias que pasan por $M$, $N$ y $A$ al variar $M$, es la recta con ecuación general $2x+3y-6=0$

$\square$


Más problemas

Puedes encontrar más problemas de Geometría Analítica en la sección 8.2 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.