Archivo de la etiqueta: Lugar geométrico

Geometría Moderna I: Circunferencia de Apolonio

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

Introducción

En esta entrada veremos dos lugares geométricos importantes, uno es la caracterización de arco de circunferencia y el otro la circunferencia de Apolonio.

Arco de circunferencia

Teorema 1. Dados un segmento $BC$ y un ángulo $\alpha < \pi$ el lugar geométrico de los puntos $A$ que están sobre un mismo lado de la recta $BC$ y tal que el ángulo $\angle BAC = \alpha$, es un arco de circunferencia que pasa por $B$ y $C$.

Demostración. Sea $A$ un punto tal que $\angle BAC = \alpha$, consideremos el circuncírculo $\Gamma (O)$ de $\triangle ABC$.

Todos los puntos $A’$ en el arco $\overset{\LARGE{\frown}}{CB}$  cumplen que $\angle BA’C =\alpha$ pues $\angle BAC$ y $\angle BA’C$ abarcan el mismo arco $\overset{\LARGE{\frown}}{BC}$.

Figura 1

Por lo tanto, el arco $\overset{\LARGE{\frown}}{CB}$ es parte del lugar geométrico.

$\blacksquare$

Ahora tomemos $A’$ del mismo lado que $A$ respecto de $BC$  pero $A’ \notin \overset{\LARGE{\frown}}{CB}$ y consideremos $B’ =  A’B \cap \overset{\LARGE{\frown}}{CB}$ y $C’ = A’C \cap \overset{\LARGE{\frown}}{CB}$.

Si $A’$ está dentro del circuncírculo de $\triangle ABC$ (izquierda figura 2), entonces los teoremas de la medida del ángulo interior y el ángulo inscrito nos dicen que
$\angle BA’C = \dfrac{\angle BOC + \angle B’OC’}{2} > \dfrac{\angle BOC}{2} = \angle BAC$.

Por tanto, $A’$ no está en el lugar geométrico.

Figura 2

Si $A’$ esta fuera del circuncírculo de $\triangle ABC$ (derecha figura 2) , entonces la medida del ángulo exterior es
$\angle BA’C = \dfrac{\angle BOC – \angle C’OB’}{2} < \dfrac{\angle BOC}{2} = \angle BAC$.

En consecuencia no existe $A’$ en el lugar geométrico fuera del arco $\overset{\LARGE{\frown}}{CB}$ y así queda demostrado el teorema.

$\blacksquare$

Observación. Si quitamos la condición de que los puntos $A$ estén de un mismo lado respecto de $BC$ entonces obtendremos dos arcos de circunferencia que son simétricos respecto de $BC$.

Corolario. Dados un segmento $BC$  el lugar geométrico de los puntos $A$ tal que el ángulo $\angle BAC = \dfrac{\pi}{2}$, es una circunferencia de diámetro $BC$.

Demostración. Por el teorema 1 y la observación, el lugar geométrico son dos arcos de circunferencia simétricos respecto de $BC$, además, por el teorema de Tales, $BC$ es diámetro de cada uno de estos arcos, por tanto los dos arcos forman una misma circunferencia.

$\blacksquare$

Circunferencia de Apolonio

Teorema 2. El lugar geométrico de los puntos $A$ tales que la razón de las distancias a dos puntos fijos $B$ y $C$ es igual a una razón dada $\dfrac{p}{q}$, es una circunferencia llamada circunferencia de Apolonio.

Demostración. Sea $BC = a$, construimos un triángulo de lados $p$, $q$ y $a$, si $p + q < a$ entonces tomamos un múltiplo $mp$ y $mq$ tal que $m(p + q) > a$.

Figura 3

Sea $A$ el vértice construido tal que $AB = p$ y $AC = q$, por el teorema de la bisectriz, las bisectrices interna $AD$ y externa $AE$ de $\angle A$ dividen al segmento $CB$ en la razón dada
$\dfrac{p}{q} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{DC} = \dfrac{BE}{CE}$.

De esta manera, hemos encontrado dos putos $D$ y $E$ en la recta $BC$ del lugar geométrico.

Sea $A’$ cualquier punto en el lugar geométrico, entonces $\dfrac{A’B}{A’C} = \dfrac{p}{q} = \dfrac{BD}{DC} = \dfrac{BE}{CE}$.

Por el reciproco del teorema de la bisectriz esto implica que las cevianas $AD$ y $AE$ son las bisectrices interna y externa del ángulo $\angle BA’C$.

Figura 4

Como las bisectrices interna y externa de todo ángulo son perpendiculares entre si tenemos que $\angle DA’C = \dfrac{\pi}{2}$.

Por el corolario anterior, $A’ \in \Gamma$, la circunferencia cuyo diámetro es $DE$.

$\blacksquare$

Ahora, sea $A \in \Gamma$, entonces $AD \perp AE$ ya que $DE$ es diámetro.

Figura 5

Por $C$ trazamos las paralelas a $AE$ y $AD$ las cuales intersecan a $AB$ en $P$ y en $Q$ respectivamente, como $AD \perp AE$ entonces $PC \perp CQ$.

Aplicando el teorema de Tales a $\triangle BQC$ y $\triangle BAE$ tenemos
$\begin{equation} \dfrac{AB}{AQ} = \dfrac{BD}{DC} \end{equation}$
$\begin{equation} \dfrac{AB}{AP} = \dfrac{BE}{CE}. \end{equation}$

Por construcción $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{BE}{CE}$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{AQ} = \dfrac{AB}{AP} \Rightarrow AP = AQ$.

Es decir, $A$ es el punto medio de la hipotenusa en el triángulo rectángulo $\triangle CPQ$, por tanto, equidista a los tres vértices del triangulo
$\Rightarrow AP = AQ = AC$

Reemplazando en las ecuaciones $(1)$ y $(2)$ obtenemos
$\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{DC} = \dfrac{BE}{CE} = \dfrac{p}{q}$.

Por tanto, $A$ está en el lugar geométrico.

$\blacksquare$

Observación 1. Notemos que, si la razón dada es $1$, el lugar geométrico son los puntos que equidistan a los puntos dados, esto es la mediatriz del segmento que une los puntos dados.

Observación 2. Si $B$, $C$ son los puntos fijos y $\dfrac{p}{q}$ es la razón dada, los puntos $A$ tales que $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{p}{q}$, describen una circunferencia de Apolonio, pero los puntos $A’$ tales que $\dfrac{A’C}{A’B} = \dfrac{p}{q}$ también describen una circunferencia de Apolonio, estos dos lugares no coinciden a menos que $\dfrac{p}{q} = 1$.

En consecuencia, para un segmento dado y una razón dada tenemos dos circunferencias de Apolonio.

Construcción de un triangulo ($a$, $h_a$, $\dfrac{c}{b}$)

Problema. Construye un triángulo $\triangle ABC$ dados la base, la altura trazada por el vértice opuesto y la razón entre los lados restantes ($BC = a$, $AD = h_a$, $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{c}{b}$).

Solución. Construimos un segmento $BC$ de longitud $a$ y trazamos la circunferencia de Apolonio $\Gamma$ de los puntos $P$ tales que la razón de las distancias a $B$ y a $C$ es la razón dada, $\dfrac{PB}{PC} = \dfrac{c}{b}$.

Figura 6

Luego trazamos una recta $l$ paralela a $BC$ y a una distancia $h_a$. Una de las intersecciones de $l$ con $\Gamma$ es el tercer vértice del triángulo $\triangle ABC$.

Sea $D$ el pie de la perpendicular a $BC$ trazado desde $A$, entonces por construcción $BC = a$, $AD = h_a$ y $\dfrac{AB}{AC} =\dfrac{c}{b}$.

$\blacksquare$

Círculos de Apolonio de un triángulo

Definición 1. Consideremos un triángulo $\triangle ABC$, el lugar geométrico de los puntos $P$ tales que $\dfrac{PB}{PC} = \dfrac{AB}{AC}$, es la $A$-circunferencia de Apolonio de $\triangle ABC$. De esta manera todo triangulo tiene tres circunferencias de Apolonio asociadas a él, una que pasa por cada vértice.

Definición 2. Decimos que dos circunferencias son ortogonales si se intersecan y los radios trazados desde el punto de intersección son perpendiculares.

Proposición. Cada circunferencia de Apolonio asociada a un triángulo es ortogonal con el circuncírculo del triángulo.

Demostración. Sean $\triangle ABC$, $D$ y $E$ los pies de la bisectriz interior y exterior respectivamente de $\angle A$, consideremos $M$ el punto medio de $DE$.

La circunferencia con centro $M$ y radio $AM$, $(M, AM)$ es la $A$-circunferencia de Apolonio de $\triangle ABC$.

Figura 7

Tenemos lo siguiente
$\dfrac{\pi}{2} = \angle DAE = \angle DAC + \angle CAM + \angle MAE = \dfrac{\angle BAC}{2} + \angle CAM + \dfrac{\angle AMB}{2}$.

$\Rightarrow \pi = \angle BAC + 2\angle CAM + \angle AMB = \angle BAM + \angle AMB + \angle CAM$
$\Rightarrow \angle CBA = \pi – (\angle BAM + \angle AMB)$
$\begin{equation} = \angle CAM. \end{equation}$

Ahora consideremos el circuncírculo $(O, AO)$ de $\triangle ABC$, y supongamos que $AM$ es secante a $(O, AO)$ en $A$ y $F$, tenemos dos casos:

  • $F$ esta entre $A$ y $M$,
Figura 8

$\Rightarrow \angle CBA = \dfrac{\angle COA}{2} > \dfrac{\angle COF}{2} = \angle CAF = \angle CAM$.

  • $A$ esta entre $F$ y $M$,
Figura 9

$\Rightarrow \angle CAM > \angle CFA = \angle CBA$.

Ninguno de los dos casos anteriores es posible, puesto que por la ecuación $(3)$, $\angle CBA = \angle CAM$, por lo tanto, $A$ es tangente a $(O, AO)$ y así $(O, AO)$ y $(M, AM)$ son ortogonales.

La prueba para las otras dos circunferencias de Apolonio de $\triangle ABC$ es análoga.

$\blacksquare$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Dada una circunferencia, muestra que el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas que pasan por un punto dado es una circunferencia, si el punto esta dentro o en la circunferencia. Analiza el caso cuando el punto se encuentra fuera de la circunferencia.
  2. Dados dos segmentos consecutivos $AB$ y $BC$ sobre una misma recta encuentra el lugar geométrico de los puntos $P$ tales que $\angle APB = \angle BPC$.
  3. Dados tres puntos $A$, $B$, $C$ y un ángulo $\alpha$, construye una circunferencia que pase por $A$ y $B$ y tal que el ángulo entre las tangentes trazadas desde $C$ a la circunferencia sea igual a $\alpha$.
Figura 10
  1. Construye un triangulo, dados:
    $i)$ la base, la mediana trazada desde el vértice opuesto y la razón entre los lados restantes,
    $ii)$ la base, la bisectriz del ángulo opuesto y la razón entre los lados restantes.
  2. Muestra que las tres circunferencias de Apolonio de un triangulo concurren en dos puntos.
Figura 11

Más adelante…

En la siguiente entrada estudiaremos un par de métodos generales que nos pueden ayudar a resolver problemas de construcciones geométricas.

Entradas relacionadas

Fuentes

  • Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 11-16.
  • Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 275-276.
  • Santos, J., Tesis Geometría del Cuadrilátero. 2010, pp 135-137.
  • Gomez, A. y Bulajich, R., Geometría. México: Instituto de Matemáticas, 2002, pp 38-39.

Variable Compleja I: Lugares geométricos en $\mathbb{C}$

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

Hasta ahora hemos definido al módulo de un número complejo en términos de su parte real e imaginaria. De manera geométrica observamos que el módulo nos determina la distancia que hay entre un número complejo y el origen. Por otra parte sabemos que el módulo en $\mathbb{C}$ cumple ciertas propiedades como el ser un número real no negativo y la desigualdad del triángulo. Por lo que razonando de manera análoga al caso en $\mathbb{R}^2$, mediante el módulo definiremos la distancia entre dos números complejos $z_1$ y $z_2$ como la longitud del segmento de recta que los une, figura 26.

El objetivo de esta entrada es describir algunos lugares geométricos en el plano complejo $\mathbb{C}$, haciendo uso de nuestros resultados de Geometría Analítica, para familiarizarnos con algunos conjuntos de puntos en el plano complejo con los cuales trabajaremos en la siguiente entrada y que en general nos serán de utilidad para describir de manera geométrica a los conjuntos de puntos de $\mathbb{C}$ que cumplan alguna propiedad en particular.

Métrica euclidiana en $\mathbb{C}$

Para comenzar esta entrada, primeramente consideremos la siguiente:

Definición 6.1. (Métrica euclidiana.)
Sean $z_1 = a_1 + ib_1$ y $z_2 = a_2 + ib_2$ números complejos. Definimos la distancia entre $z_2$ y $z_1$, denotada por $d(z_2, z_1)$, como:
\begin{equation*}
d(z_2, z_1) = |z_2 \, – \, z_1| = \sqrt{\left(a_2 \, – \, a_1\right)^2 + \left(b_2 \, – \, b_1\right)^2}.
\end{equation*}

A esta distancia se le conoce como la distancia o métrica euclidiana de $\mathbb{C}$, figura 26.

Figura 26: Distancia euclidiana entre $z_2$ y $z_1$.

Por nuestros cursos de Geometría Analítica sabemos que al hablar de un lugar geométrico nos referimos a un conjunto de puntos que satisfacen una condición dada. Entonces podemos interpretar de manera geométrica a una ecuación como el lugar geométrico de los puntos en el plano cuyas coordenadas la satisfacen.
En este sentido, consideraremos a los lugares geométricos del plano complejo como conjuntos de puntos en $\mathbb{R}^2$ que satisfacen una ecuación y viceversa, por lo que será necesario expresar en términos de números complejos las ecuaciones de los lugares geométricos de $\mathbb{R}^2$.

De acuerdo con las entradas anteriores sabemos que podemos ubicar a un número complejo en el plano, pensado como un par ordenado de números reales, en coordenadas cartesianas o coordenadas polares. Sin embargo, considerando la observación 2.3 sabemos que para $z\in\mathbb{C}$ se cumple:
\begin{equation*}
\text{Re}(z) = \frac{z+\overline{z}}{2}, \quad \text{Im}(z) = \frac{z-\overline{z}}{2i}. \end{equation*}

Lo anterior nos motiva a dar la siguiente:

Definición 6.2. (Coordenadas conjugadas complejas.)
Dado un número complejo $z = x+iy$, es posible representarlo en el plano complejo mediante las coordenadas $(z,\overline{z})$, a las cuales llamaremos coordenadas conjugadas complejas o simplemente coordenadas conjugadas considerando:
\begin{equation*}
x = \frac{z+\overline{z}}{2}, \quad y = \frac{z-\overline{z}}{2i}.
\end{equation*}

Observación 6.1.
Recordemos que para $A,C,D,E,F\in\mathbb{R}$ la ecuación general de segundo grado:
\begin{equation*}
Ax^2 + Cy^2 +Dx + Ey + F = 0, \tag{6.1}
\end{equation*}

nos determina algunos lugares geométricos en $\mathbb{R}^2$. Analicemos dos de ellos para identificarlos en el plano complejo.

  1. Dado $A=C=0$ en la ecuación (6.1), entonces se obtiene la ecuación general de la recta:
    \begin{equation*}
    Dx + Ey + F = 0.
    \end{equation*}

De acuerdo con la definición 6.2, podemos expresar la ecuación de la recta utilizando coordenadas conjugadas como sigue:
\begin{align*}
D\left(\frac{z+\overline{z}}{2}\right) + E\left(\frac{z-\overline{z}}{2i}\right) + F = 0,\\
\\
\Longrightarrow \quad z\left(D-iE\right) + \overline{z}\left(D+iE\right) +2F = 0.
\end{align*}

Haciendo $a=D+iE$ y $b=2F$, tenemos:
\begin{equation*}
\mathcal{L}: \,\, z\overline{a}+\overline{z}a + b = 0, \tag{6.1.1}
\end{equation*}

la cual llamaremos ecuación general de la recta $\mathcal{L}$ en $\mathbb{C}$.

  1. Si tenemos $A=C\neq0$ en la ecuación (6.1), entonces se obtiene la ecuación general de la circunferencia:
    \begin{equation*}
    A(x^2+y^2) + Dx + Ey + F = 0.
    \end{equation*}

De acuerdo con la definición 6.2, podemos expresar la ecuación general de la circunferencia utilizando coordenadas conjugadas como sigue:
\begin{align*}
A z\overline{z} + D\left(\frac{z+\overline{z}}{2}\right) + E\left(\frac{z-\overline{z}}{2i}\right) + F = 0,\\
\\
\Longrightarrow \quad z\overline{z} + z \left(\frac{D-iE}{2A}\right) + \overline{z}\left(\frac{D+iE}{2A}\right) + \frac{F}{A} = 0.
\end{align*}

Haciendo $a=\frac{D+iE}{2A}$ y $b=\frac{F}{A}$, tenemos:
\begin{equation*}
z\overline{z} + z\overline{a}+\overline{z}a + b = |\,z\,|^2 + z\overline{a}+\overline{z}a + b = 0, \tag{6.1.2}
\end{equation*}

la cual llamaremos ecuación general de la circunferencia en $\mathbb{C}$ cuyo centro es $-a$ y su radio es $\sqrt{|\,a\,|^2 – b}$.

Ejemplo 6.1.
Expresemos las siguientes ecuaciones en términos de las coordenadas conjugadas:

  • a) Ecuación de una recta en el plano cartesiano $2x+3y=7$.
  • b) Ecuación de una circunferencia en el plano cartesiano $x^2+(y-1)^2 = 25$.

Solución.

  • a) De acuerdo con la observación 6.1 tenemos:

\begin{align*}
2\left(\frac{z+\overline{z}}{2}\right)+3\left(\frac{z-\overline{z}}{2i}\right)=7,\\
\\
\Longrightarrow \quad \mathcal{L}: \,\, z\overline{a} + \overline{z}a = 14, \tag{6.1.3}
\end{align*}

con $a=2+3i$, la cual es la ecuación de una recta $\mathcal{L}$ en el plano complejo.

Considerando (6.1.3), notamos que los puntos $z_1 = 3{.}5$ y $z_2 = 2 + i$ pertenecen a la recta, figura 27.

Figura 27: Gráfica de la recta $\mathcal{L}$, dada por (6.1.3), en $\mathbb{C}$ con $a=2+3i$.
  • b) Notemos que:

\begin{equation*}
x^2 + (y-1)^2 = x^2 + y^2 -2y + 1 =25,
\end{equation*}

por lo que, considerando la observación 6.1, con $a = -i$ y $b = -24$ tenemos:
\begin{align*}
z\overline{z} – 2\left(\frac{z-\overline{z}}{2i}\right) -24 = 0,\\
\\
\Longrightarrow \quad z\overline{z} + z\overline{a} + \overline{z}a + b = 0, \tag{6.1.4} \end{align*}

la ecuación de una circunferencia en el plano complejo cuyo centro es $-a = i$ y su radio es $\sqrt{|i|^2 – (-24)} = \sqrt{25} = 5$, figura 32.

Al igual que en $\mathbb{R}^2$, es posible describir a la recta $\mathcal{L}$ en el plano complejo mediante su forma paramétrica considerando dos puntos $z_1,z_2\in\mathbb{C}$, $z_1\neq z_2$ y $z_2 \neq 0$, tales que $z_1$ está sobre la recta y el segmento de recta que va del origen a $z_2$ es paralelo a la recta, figura 28(a), entonces la recta $\mathcal{L}$ en $\mathbb{C}$, en su forma paramétrica, está dada como el conjunto de puntos $z\in\mathbb{C}$ tales que:
\begin{equation*}
z = z_1 + z_2t, \quad t\in\mathbb{R}. \tag{6.1.5}
\end{equation*}

Si se tiene que $z_1$ y $z_2$, con $z_1\neq z_2$, son puntos de la recta, entonces la forma paramétrica de la ecuación de la recta $\mathcal{L}$, en $\mathbb{C}$, figura 28(b), se puede obtener como el conjunto de puntos $z\in\mathbb{C}$ tales que:
\begin{equation*}
z = z_1 + (z_2 \,-\, z_1)t, \quad t\in\mathbb{R}. \tag{6.1.6}
\end{equation*}

Figura 28: Gráficas de una recta en su forma paramétrica en $\mathbb{C}$.

Observación 6.2.
Dado que $z_2 \neq 0$ en (6.1.5), notemos que:
\begin{equation*}
t = \frac{z \,-\, z_1}{z_2} \in \mathbb{R} \quad \Longleftrightarrow \quad \operatorname{Im}\left(\frac{z \,-\, z_1}{z_2}\right) = 0,
\end{equation*}

por lo que una forma equivalente de expresar a una recta $\mathcal{L}$ dada por (6.1.5) es:
\begin{equation*}
\mathcal{L} = \left\{ z\in\mathbb{C} \,:\, \operatorname{Im}\left(\frac{z \,-\, z_1}{z_2}\right) = 0 \right\}.
\end{equation*}

Una pregunta interesante que podemos hacernos es ¿qué lugares geométricos describen las siguientes ecuaciones?
\begin{equation*}
\operatorname{Im}\left(\frac{z \,-\, z_1}{z_2}\right) > 0,
\end{equation*}

\begin{equation*}
\operatorname{Im}\left(\frac{z \,-\, z_1}{z_2}\right) < 0.
\end{equation*}

Analicemos la primera desigualdad. Sin pérdida de generalidad, desde que $z_2$ sólo nos determina la dirección de $\mathcal{L}$ entonces podemos suponer que $|\,z_2\,| = 1$. Sean $z_2 = \operatorname{cis}(\beta)$ y $z=r\,\operatorname{cis}(\theta)$.

Notemos que si $z_1=0$, tenemos por (6.1.5) una recta que pasa por el origen, además:
\begin{equation*}
\operatorname{Im}\left(\frac{z}{z_2}\right) = \operatorname{Im}\left(r\operatorname{cis}(\theta\,-\,\beta)\right) = r\operatorname{sen}(\theta-\beta) > 0,
\end{equation*}

dado que $r=|\,z\,|\geq 0$, entonces $\operatorname{sen}(\theta-\beta) > 0$, lo cual se cumple si $\beta < \theta < \pi + \beta$. Por lo que la primera ecuación con $z_1 = 0$ nos describe un semiplano a la izquiera de la recta $\mathcal{L}$ que pasa por el origen, figura 29(a).

Si ahora consideramos el caso en que $z_1 \neq 0$, entonces por (6.1.5) tenemos una recta $\mathcal{L}$ que pasa por $z_1$ y es paralela a $z_2$, por lo que en dicho caso la ecuación $\operatorname{Im}\left(\dfrac{z \,-\, z_1}{z_2}\right) > 0$ nos describe al semiplano a la izquierda de la recta $\mathcal{L}$, figura 29(b).

Realizando un razonamiento análogo para la ecuación $\operatorname{Im}\left(\dfrac{z \,-\, z_1}{z_2}\right) < 0$, podemos concluir que dicha ecuación nos describe el semiplano a la derecha de una recta $\mathcal{L}$ que pasa por $z_1$ y es paralela a $z_2$, figura 30.

Figura 29: Gráficas de un semiplano izquierdo o superior en $\mathbb{C}$.

Figura 30: Semiplano derecho o inferior $\operatorname{Im\left(\frac{z-z_1}{z_2}\right)}<0$ en el plano complejo $\mathbb{C}$.

Observación 6.3.
Otra forma de describir una recta $\mathcal{L}$ en el plano complejo $\mathbb{}$ es la siguiente. Sean $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$, con $z_1 \neq z_2$. Notemos que la ecuación:
\begin{equation*}
|\,z \,-\, z_1\,| = |\,z \,-\, z_2\,|,
\end{equation*}

nos dice que la distancia de $z \in \mathbb{C}$ a los puntos $z_1$ y $z_2$ es la misma, es decir que $z$ está en la mediatriz del segmento que une a $z_1$ con $z_2$, figura 31.

Figura 31: Mediatriz $\mathcal{L}$ del segmento que va de $z_1$ a $z_2$ en $\mathbb{C}$.

Por otra parte, sabemos que la ecuación (6.1) determina otras cónicas además de la circunferencia, por lo que es posible proceder del mismo modo que en los dos casos de la observación 6.1 para obtener las ecuaciones correspondientes a dichos lugares geométricos. Sin embargo podemos hacer uso de la distancia euclidiana de $\mathbb{C}$ para describir dichos lugares geométricos mediante sus definiciones, es decir pensando a las cónicas como conjuntos de puntos que satisfacen ciertas condiciones relacionadas con la distancia entre puntos.

Consideremos el ejemplo 6.1, inciso b, sabemos que dicha circunferencia está centrada en $-a=i$ y tiene radio $\rho = 5$. De acuerdo con la definición de una circunferencia sabemos que los puntos cuya distancia al centro $i$ sea igual a 5 pertenecen a la circunferencia descrita por la ecuación (6.1.4), lo cual podemos expresarlo como el conjunto de números complejos $z$ tales que:
\begin{align*}
|\,z \,-\, i\,| = 5 \quad \Longleftrightarrow \quad |\,z \,-\, i\,|^2 = 25. \tag{6.1.7}
\end{align*}

Figura 32: Circunferencia en $\mathbb{C}$ de radio $\rho=5$ y centro $-a=i$ con algunos de sus puntos.

Notemos que podemos reescribir (6.1.7) como (6.1.4) utilizando las propiedades del módulo:
\begin{align*}
|\,z\,-\,i\,|^2 & = (z\,-\,i)\left(\overline{z}-\overline{i}\right)\\
& = |\,z\,|^2 – \, \overline{i}z -i\overline{z} + |\,i\,|^2\\
& = z\overline{z} + zi \, – \, \overline{z}i + 1\\
& = z\overline{z} + z\overline{a} + \overline{z}a + 1\\
& = 25.
\end{align*}

Considerando (6.1.7) es fácil ver que los puntos $z_1 = 5+i$, $z_2 = 6i$, $z_3 = -5 + i$ y $z_4 = -4i$ pertenecen a dicha circunferencia, figura 32.

Lo anterior nos deja ver que tanto (6.1.4) como (6.1.7) nos describen al mismo lugar geométrico en el plano complejo, es decir una circunferencia de radio $\rho=5$ centrada en $i$.

Podemos generalizar el resultado anterior para describir a una circunferencia en el plano complejo expresando a la ecuación (6.1.2) mediante la definición de dicho lugar geométrico, es decir, como el conjunto de números complejos $z$ que equidistan del punto $z_0=-a$, donde $a$ está dada como en (6.1.2), llamado centro, una distancia $\rho$, llamada radio:
\begin{equation*}
|\,z – z_0\,| = \rho \quad \Longleftrightarrow \quad |\,z – z_0\,|^2 = \rho^2. \tag{6.1.8}
\end{equation*}

Figura 33: Circunferencia en $\mathbb{C}$ de radio $\rho$ y centro $z_0$.

Una pregunta que podemos plantearnos es ¿qué lugares geométricos nos describen las siguientes desigualdades?
\begin{align*}
|\,z – z_0\,| < \rho,\\
|\,z – z_0\,| > \rho.
\end{align*}

De manera geométrica es claro que la primera ecuación nos describe a los puntos $z\in\mathbb{C}$ que se encuentran dentro de la circunferencia de radio $\rho$ y centro $z_0$, sin considerar propiamente a los que caen en dicha circunferencia, mientras que la segunda ecuación nos describe a los puntos en $z\in\mathbb{C}$ que caen fuera de la circunferencia centrada en $z_0$ y de radio $\rho$, sin considerar tampoco a los puntos de la circunferencia.

Figura 34: Punto $w\in\mathbb{C}$ dentro de la circunferencia $|\,z-z_0\,|=\rho$ y punto $\zeta\in\mathbb{C}$ fuera de la circunferencia $|\,z-z_0\,|=\rho$.

De acuerdo con la observación 3.3, tenemos que para un número complejo $z\neq0$:
\begin{equation*}
z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{| \, z \, |^2}.
\end{equation*}

Analicemos los siguientes casos:

  • Si $|\,z\,|>1$, entonces $\dfrac{1}{|\,z\,|}<1$.
  • Si $|\,z\,|<1$, entonces $\dfrac{1}{|\,z\,|}>1$.
  • Si $|\,z\,|=1$, entonces $\dfrac{1}{|\,z\,|}=1$.

Geométricamente esto nos dice que para los números complejos $z$ que están fuera de la circunferencia unitaria su inverso multiplicativo está dentro de la circunferencia unitaria. Por otro parte, para los números complejos $z$ que están dentro de la circunferencia unitaria se tiene que su inverso multiplicativo está fuera de dicha circunferencia, mientras que para los números complejos $z$ que pertenecen a la circunferencia unitaria se tiene que su inverso multiplicativo también es un punto de dicha circunferencia.

Figura 35: Punto $w\in\mathbb{C}$ dentro de la circunferencia unitaria $|\,z\,|=1$. Punto $\zeta\in\mathbb{C}$ fuera de la circunferencia unitaria $|\,z\,|=1$ y el número complejo $i$ en la circunferencia unitaria $|\,z\,|=1$.

Recordemos que en $\mathbb{R}^2$ la ecuación ordinaria de una circunferencia con centro en $(x_0, y_0)$ y radio $\rho$ es:
\begin{equation*}
(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = \rho^2.
\end{equation*}

Haciendo $x(t) = \rho \operatorname{cos}(t) + x_0$ y $y(t) = \rho \operatorname{sen}(t) + y_0$, con $t\in[0,2\pi)$, obtenemos una ecuación paramétrica de dicha circunferencia.

Si consideramos a los números complejos $z$ en su forma polar, es decir $z=\rho \operatorname{cis}(\theta)$, tales que $\theta\in[0,2\pi)$, y a un punto fijo $z_0=x_0 + i y_0 \in\mathbb{C}$, entonces podemos describir a una cirunferencia en $\mathbb{C}$ de forma paramétrica como el conjunto de puntos:
\begin{equation*}
\{ w\in\mathbb{C} \, : \, w = z_0 + z \}.
\end{equation*}

Proposición 6.1. (Distancia de un punto a una recta en $\mathbb{C}$.)
Para un punto $z_0\in\mathbb{C}$, su distancia a una recta $\mathcal{L}$ dada por $z\overline{a} + \overline{z}a + b = 0$ está dada por:
\begin{equation*}
\frac{|\,z_0\overline{a} + \overline{z_0}a + b\,|}{2\,|\,a\,|}. \tag{6.1.9}
\end{equation*}

Demostración. Sea $z_0 = x_0 + iy_0\in\mathbb{C}$. Sabemos que en $\mathbb{R}^2$ la distancia de un punto $P(x_0,y_0)$ a una recta $Dx + Ey + F = 0$ está dada por:
\begin{equation*}
\frac{|\,Dx_0 + Ey_0 + F \,|}{\sqrt{D^2 + E^2}}. \tag{6.1.10}
\end{equation*}

De acuerdo con la observación 6.1 sabemos que podemos expresar una recta de la forma $Dx + Ey + F = 0$ como $z\overline{a} + \overline{z}a + b = 0$ donde $a = D + iE$ y $b=2F$. Por otra parte tenemos que:
\begin{equation*}
2D = a + \overline{a}, \quad i2E = a – \overline{a}.
\end{equation*}

Sea $z=x+iy$, entonces tenemos:
\begin{align*}
0 & = z\overline{a} + \overline{z}a + b\\
& = (x+iy)\overline{a} + (x-iy)a + b\\
& = x(a+\overline{a}) -iy (a-\overline{a}) + b\\
& = 2Dx +2Ey + 2F.
\end{align*}

Lo anterior nos deja ver que podemos utilizar (6.1.10) para obtener la distancia del punto $z_0 = x_0 + iy_0$ a la recta $z\overline{a}+\overline{z}a + b = 0$ como:
\begin{align*}
\frac{|\,Dx_0 + Ey_0 + F \,|}{\sqrt{D^2 + E^2}} &= \frac{|\,z_0\overline{a}+\overline{z_0}a + b \,|}{\sqrt{(a+\overline{a})^2 + \left(-i(a – \overline{a})\right)^2}}\\
& = \frac{|\,z_0\overline{a}+\overline{z_0}a + b \,|}{\sqrt{4\,|\,a\,|^2}}\\
& = \frac{|\,z_0\overline{a}+\overline{z_0}a + b \,|}{2\,|\,a\,|}.
\end{align*}

$\blacksquare$

Proposición 6.2. (Distancia de un punto a una recta en su forma paramétrica en $\mathbb{C}$.)
Sea $\mathcal{L}$ la recta en $\mathbb{C}$ dada por $z = z_1 + t z_2$, $z_2 \neq 0$. La distancia mínima $\delta$ de un punto $z_0 \in \mathbb{C}$ a la recta $\mathcal{L}$ es:
\begin{equation*}
\delta = \left|\, \frac{\operatorname{Im}\left((z-z_1)\overline{z_2}\right)}{\overline{z_2}} \,\right| = \left|\, \frac{(z – z_1)\overline{z_2} – \overline{(z-z_1)z_2}}{2\,\overline{z_2}} \,\right|.
\end{equation*}

Demostración. Sea $f(t) = |\,z \,-\, z_1 -tz_2\,|^2$. Es claro que $f:\mathbb{R} \longrightarrow [0,\infty)$ es una función bien definida.

De acuerdo con la proposición 3.1 tenemos que:
\begin{align*}
f(t) & = |\,z \,-\, z_1 -tz_2\,|^2\\
& = |\,z \,-\, z_1\,|^2 \,-\, 2t\,\operatorname{Re}\left((z-z_1)\overline{z_2}\right) + t^2 |\,z_2\,|^2.
\end{align*}

Derivando $f$ tenemos:
\begin{equation*}
f'(t) = -2\,\operatorname{Re}\left((z-z_1)\overline{z_2}\right) + 2t\, |\,z_2\,|^2.
\end{equation*}

Entonces el mínimo se alzanza en:
\begin{equation*}
t = \frac{\operatorname{Re}\left((z-z_1)\overline{z_2}\right)}{|\,z_2\,|^2}.
\end{equation*}

Dado que $z_2\neq0$, entonces $\dfrac{z_2}{|\,z_2\,|^2} = \dfrac{1}{\overline{z_2}}$.

Considerando la observación 2.3 y evaluando a $f$ en el mínimo obtenemos la distancia buscada al cuadrado, es decir:
\begin{align*}
\delta^2 &= \left|\,(z-z_1) \,-\, z_2\left[\frac{\operatorname{Re}\left((z-z_1)\overline{z_2}\right)}{|\,z_2\,|^2}\right] \,\right|^2\\
&= \left|\,\frac{2(z-z_1)\overline{z_2} \,-\, (z-z_1)\overline{z_2} \,-\, \overline{(z-z_1)}z_2}{2\, \overline{z_2}} \,\right|^2\\
&= \left|\,\frac{(z-z_1)\overline{z_2} \,-\, \overline{(z-z_1)}z_2}{2\, \overline{z_2}} \,\right|^2\\
&= \left|\,\frac{1}{\overline{z_2}}\frac{(z-z_1)\overline{z_2} \,-\, \overline{(z-z_1)}z_2}{2i} \,\right|^2\\
&=\left|\,\frac{\operatorname{Im}\left((z-z_1)\overline{z_2}\right)}{\overline{z_2}}\,\right|^2.
\end{align*}

Por lo que tomando raíz cuadrada se sigue el resultado.

$\blacksquare$

Es claro que al usar la definición de un lugar geométrico es posible asociarle una ecuación a dicho conjunto y representarlo en el plano complejo $\mathbb{C}$. Por ejemplo, recordemos las definiciones de los siguientes lugares geométricos:

  1. Parábola. Se define una parábola como el lugar geométrico de los puntos en $\mathbb{C}$ tales que la distancia entre estos y un punto fijo, llamado foco $f$, es igual a la distancia entre dichos puntos y una recta fija, llamada directriz $\mathcal{D}$.

Sin pérdida de generalidad, analicemos el caso de una parábola horizontal, es decir una parábola cuya directriz $\mathcal{D}$ es paralela al eje imaginario. En $\mathbb{R}^2$ sabemos que dichas rectas son de la forma $x = p$, con $p\in\mathbb{R}$ constante, por lo que para $z=x+iy\in\mathbb{C}$ tenemos que:
\begin{align*}
x \,-\, p = 0 \quad & \Longleftrightarrow \quad z+\overline{z} – 2p = 0\\
\\
& \Longleftrightarrow \quad \text{Re}(z) – p = 0. \tag{6.1.11}
\end{align*}

De acuerdo con (6.1.1), de la observación 6.1 tenemos que la ecuación de una directriz $\mathcal{D}$ paralela al eje imaginario cumple que $a=1$ y $b = -2p$, por lo que considerando la definición de la parábola y la proposición 6.1, tenemos que una parábola con foco $f\in\mathbb{C}$ y directriz $\mathcal{D}$ vertical dada por (6.1.11) es el lugar geométrico de los puntos $z\in\mathbb{C}$ tales que:
\begin{equation*}
\frac{|\,z + \overline{z}+ b\,|}{2\,} = |\,z-f\,|. \tag{6.1.12}
\end{equation*}

Observación 6.3.
Para el caso de una parábola vertical se procede de manera análoga utilizando el hecho de que para $z=x+iy\in\mathbb{C}$ se tiene que $y=\text{Im}(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}$ y que su directriz $\mathcal{D}$ es paralela al eje real.

Observación 6.4.
Considerando la definición de la párabola es posible obtener una ecuación más general que nos permita describir a dicho lugar geométrico. Suponiendo que la directriz $\mathcal{D}$ de una párabola está dada por la ecuación paramétrica $z_1 + tz_2$, con $t\in\mathbb{R}$, y que su foco es el punto $f\in\mathbb{C}$, entonces la ecuación de dicha párabola es:
\begin{equation*}
\left(\operatorname{Im}\left((z-z_1)\overline{z_2}\right)\right)^2 = |\,z_2\,|^2 \, |\,z-f\,|^2.
\end{equation*}

  1. Elipse. Se define a la elipse como el lugar geométrico de los puntos en $\mathbb{C}$ tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos $f_1,f_2\in\mathbb{C}$, llamados focos, es constante, es decir los $z\in\mathbb{C}$ tales que:
    \begin{align*}
    |\,z-f_1\,| + |\,z-f_2\,| = 2a,\\
    \\
    \text{con} \,\, 2a>|\,f_1 \,-\, f_2\,|.\tag{6.1.13}
    \end{align*}

De acuerdo con nuestros cursos de Geometría sabemos que dados los focos de una elipse es posible identificar si se trata de una elipse vertical u horizontal, además al punto $z_0\in\mathbb{C}$ tal que $|\,z_0 \,-\, f_1\,| = |\,z_0 \,-\, f_2\,|=c$ se le conoce como el centro de la elipse y al valor $|\,f_1\,-\,f_2\,| =2c$ se le llama la distancia focal.
Por otra parte tenemos que la constante $2a$ determina al eje mayor, mientras que $\frac{|\,f_1\,-\,f_2\,|}{2a} = \frac{2c}{2a} = \frac{c}{a}$ nos da la excentricidad de la elipse.

¿Qué lugares geométricos nos describen las siguientes desigualdades?
\begin{align*}
|\,z-f_1\,| + |\,z-f_2\,| < 2a,\\
|\,z-f_1\,| + |\,z-f_2\,| > 2a.
\end{align*}

De manera geométrica es claro que la primera ecuación nos describe al conjunto de puntos $z\in\mathbb{C}$ que se encuentran dentro de la elipse con focos $f_1, f_2$ y con eje mayor $2a$. Por otra parte, la segunda ecuación nos describe a los $z\in\mathbb{C}$ que se encuentran fuera de dicha elipse, en ambos casos ninguna de las ecuaciones considera a los puntos $z\in\mathbb{C}$ que caen sobre la elipse, figura 36.

  1. Hipérbola. Se define a la hipérbola como el lugar geométrico de los puntos $z\in\mathbb{C}$ tales que el valor absoluto de las distancias a dos puntos fijos $f_1,f_2\in\mathbb{C}$, llamados focos, es igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos, es decir:
    \begin{align*}
    |\,|z-f_1|-|z-f_2|\,| = 2a,\\
    \\
    \text{con} \,\, 2a<|\,f_1 \,-\, f_2\,|.\tag{6.1.14}
    \end{align*}

Donde $|\,f_1\,-\,f_2\,|=2c$ es la distancia focal y al punto $z_0\in\mathbb{C}$ tal que $|\,z_0\,-\,f_1\,|=|\,z_0\,-\,f_2\,|=c$ se le denomina el centro. La excentricidad de la hipérbola está dada por $\frac{|\,f_1\,-\,f_2\,|}{2a} = \frac{2c}{2a} = \frac{c}{a}$.

Figura 36: Punto $\zeta\in\mathbb{C}$ fuera de la elipse centrada en $z_0\in\mathbb{C}$ con focos $f_1, f_2\in\mathbb{C}$. El centro $z_0$ cae dentro de la elipse desde que $|\,z_0-f_1\,|+|\,z_0-f_2\,| = 2c < 2a$.

Observación 6.5.
Notemos que las ecuaciones (6.1.12), (6.1.13) y (6.1.14) obtenidas para estas tres cónicas corresponden a las ecuaciones ordinarias de las cónicas en $\mathbb{R}^2$, por lo que podemos preguntarnos sobre las ecuaciones generales para dichos lugares geométricos, solo recordemos que para hablar de estas expresiones debemos considerar los casos en que sea una cónica horizontal o vertical obtenidos de la ecuación (6.1). Recuerda que la ecuación (6.1) excluye a las cónicas que están rotadas en $\mathbb{R}^2$.

Observación 6.6.
Hasta ahora hemos utilizado las definiciones, como lugares geométricos, de estas tres cónicas para determinar sus ecuaciones. Sin embargo, de nuestros cursos de Geometría Analítica sabemos que es posible caracterizar a las cónicas mediante el concepto de excentricidad, es decir podemos determinar a las cónicas considerando a una recta fija $\mathcal{D}\in\mathbb{C}$, llamada directriz y a un punto fijo $f\in\mathbb{C}$, llamado foco. Si definimos a $e$ una cantidad positiva como la excentricidad, entonces el conjunto de puntos $z\in\mathbb{C}$ tales que la razón de su distancia a $f$ y a la recta $\mathcal{D}$ es siempre igual a $e$ es una sección cónica, la cual está dada por:

  • a) Si $e < 1$, entonces es una elipse.
  • b) Si $e = 1$, entonces es una párabola.
  • c) Si $e > 1$, entonces es una hipérbola.

El caso en que $e=0$ nos determina una circunferencia.

Puedes consultar la sección 10.6 del libro Calculus: Early transcendentals de J. Stewart para revisar esta caracterización de las secciones cónicas en $\mathbb{R}^2$.

Considerando esta forma de determinar a las cónicas, es posible utilizar la ecuación de la párabola dada en la observación 6.5 para determinar a la elipse y la hipérbola.

Ejemplo 6.2.

  • a) Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco está en $f=3+i$ y su directriz $\mathcal{D}$ está dada por $z+\overline{z}+6 = 0$.

Solución. De acuerdo con la definición de la parábola sabemos que se debe satisfacer (6.1.12), es decir:
\begin{align*}
\frac{|\,z + \overline{z}+ 6\,|}{2\,} = |\,z-(3+i)\,|\\
\\
\underset{(6{.}1{.}11)}{\Longleftrightarrow} \quad |\,\text{Re}(z) + 3\,|= |\,z-(3+i)\,|.
\end{align*}

Notemos que $\operatorname{Re}(z) + 3 \in \mathbb{R}$, por lo que, considerando la proposición 3.1:
\begin{align*}
|\,\text{Re}(z) + 3\,|^2= |\,z-(3+i)\,|^2\\
\\
\Longleftrightarrow \quad \left(\text{Re}(z) + 3\right)^2 = |\,z\,|^2 – 2\,\text{Re}(z(3-i)) + |\,3+i\,|^2.
\end{align*}

Desarrollando lo anterior y utilizando la proposición 3.1 tenemos:
\begin{equation*}
|\,z\,|^2 – \text{Re}^2(z) – 12\,\text{Re}(z) + 2\,\text{Re}(iz) + 1 = 0,
\end{equation*}

la cual es la ecuación de una parábola en $\mathbb{C}$ cuyo foco es $f=3+i$ y su directriz es $\text{Re}(z)=-3$, figura 37.

Si consideramos a $z=x+iy$, entonces la ecuación anterior corresponde a una parábola en $\mathbb{R}^2$ dada por:
\begin{equation*}
y^2-2y-12x+1=0.
\end{equation*}

Figura 37: Parábola en $\mathbb{C}$ con vértice en $v=i$, foco $f=3+i$ y directriz Re$(z) = -3$.
  • b) Hallar la ecuación de una elipse que tiene un foco $f_1 = -5+i$, su centro es $z_0 = x_0 +iy_0 = -1+i$ y que pasa por el punto $z_1=-1-2i$.

Solución. Considerando la definición de la elipse, el segundo foco $f_2$ debe satisfacer que $c=|z_0-f_2|=|z_0-f_1|=4$. De manera geométrica sabemos que $f_1, f_2$ y $z_0$ deben ser colineales, por lo que el segundo foco es $f_2 = (x_0+c)+i y_0 = (-1+4) + i = 3+i$. Considerando que $z_1=-1-2i$ pertenece a la elipse, entonces por (6.1.13) tenemos que:
\begin{align*}
|\,z_1-(-5+i)\,|+ |\,z_1-(3+i)\,| & = |\,4-3i\,| + |\,-4-3i\,|\\
& = 10\\
& = 2a.
\end{align*}

Entonces $a = 5$, por lo que la ecuación que describe a la elipse, figura 38, es:
\begin{equation*}
|\,z-f_1\,| + |\,z-f_2\,| = 10.
\end{equation*}

Figura 38: Elipse en $\mathbb{C}$ con centro en $z_0=-1+i$ y focos $f_1=-5+i$, $f_2=3+i$.
  • c) Encontrar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son $f_1=-(\sqrt{20}+3)-3i$, $f_2=(\sqrt{20}-3)-3i$ y que pasa por el punto $z_1=(\sqrt{12}-3)-3i$.

Solución. De acuerdo con la definición de la hipérbola, como el punto $z_1$ dado pertenece a dicho lugar geométrico entonces debe satisfacer (6.1.14), es decir:
\begin{align*}
|\,|\,z_1\,-\,f_1\,| – |\,z_1\,-\,f_2\,|\,| & = |\, |\,\sqrt{12}+\sqrt{20}\,| – |\,\sqrt{12}-\sqrt{20}\,|\,|\\
& = |\,4\sqrt{3}\,|\\
& = 4\sqrt{3}\\
& = 2a. \end{align*}

Entonces $a=2\sqrt{3}$, por lo que la ecuación de la hipérbola, figura 39, es:
\begin{equation*}
|\,|z+\sqrt{20}+3+3i|-|z-\sqrt{20}+3+3i|\,| = 4\sqrt{3}.
\end{equation*}

Figura 39: Hipérbola en $\mathbb{C}$ con centro en $z_0=-3-3i$ y focos $f_1=-(\sqrt{20}+3)-3i$, $f_2=(\sqrt{20}-3)-3i$.

Tarea moral

  1. Considerando la definición de la parábola como lugar geométrico en $\mathbb{C}$, desarrolla la observación 6.3 y determina la ecuación de una parábola vertical. Argumenta tu resultado.
  2. La observación 6.4 nos proporciona una ecuación general de una párabola. Prueba dicha ecuación.
    Hint: utiliza la proposición 6.3.
    Comprueba con el ejemplo 6.2 inciso (a) que el resultado es correcto ¿Obtuviste la misma ecuación?
  3. De acuerdo con la observación 6.5, desarrolla la ecuación (6.1) y trata de determinar las ecuaciones generales de las tres cónicas considerando coordenas conjugadas complejas.
  4. ¿Qué lugares geométricos representan las siguientes ecuaciones? Haz una representación de dichos conjuntos en el plano complejo $\mathbb{C}$.
  • a) Los $z\in\mathbb{C}$ tales que $z = \overline{z}$.
  • b) Los $z\in\mathbb{C}$ tales que $-\theta < \operatorname{Arg}\,z < \theta$.
  • c) Los $z\in\mathbb{C}$ tales que $0 < \operatorname{Im}(z) < \pi$ y $-\pi < \operatorname{Re}(z) < \pi$.
  • d) Los $z\in\mathbb{C}$ tales que $|\,z-1\,|^2+|\,z+1\,|^2<8$.
  • e) Los $z\in\mathbb{C}$ tales que $|\,z-1-i\,|+|\,z+1+i\,|\leq 2$.
  1. Considera la definición de la hipérbola y la definición de la párabola ¿Es posible hablar de los puntos que se encuentran dentro y fuera de dichos lugares geométricos? Observa que en el caso de una circunferencia y una elipse dichos puntos se daban mediante las siguientes desigualdades respectivamente:
    \begin{equation*}
    |\,z-z_0\,| < \rho \quad \text{y} \quad |\,z-z_0\,| > \rho,
    \end{equation*}

\begin{equation*}
|\,z-z_1\,| + |\,z-z_2\,| < 2a \quad \text{y} \quad |\,z-z_1\,| + |\,z-z_2\,| > 2a. \end{equation*}

  1. Sean $z_1, z_2, z_3\in\mathbb{C}$ tales que $|\,z_1\,| = |\,z_2\,| = |\,z_3\,|$ y $z_1 + z_2 + z_3 = 0$. Prueba que $z_1, z_2$ y $z_3$ son los vértices de un triángulo equilatero inscrito en la circunferencia unitaria.
  2. Muestra que el lugar geométrico de los puntos $z\in\mathbb{C}$ tales que $|\,z^2 – a^2\,| = a^2$, con $a\in\mathbb{R}$ una constante, es una lemniscata de Bernoulli.
  3. Sean $z_1, z_2, z_3\in\mathbb{C}$ los vértices de un triángulo en el plano complejo $\mathbb{C}$. Prueba que dicho triángulo es equilatero si y solo si:
    \begin{equation*}
    \frac{1}{z_1 – z_2} + \frac{1}{z_2 – z_3} + \frac{1}{z_3 – z_1} = 0,
    \end{equation*}es decir si y solo si $z_1^2+z_2^2+z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1$.
  4. Sean $z_1,z_2,z_3\in\mathbb{C}$ tres puntos distintos. Prueba que dichos puntos caen en la misma recta si y solo si:
    \begin{equation*}
    \frac{z_1 – z_2}{z_1 – z_3} = t,
    \end{equation*} donde $t$ es un número real.

Más adelante…

En esta entrada hemos definido la distancia entre dos puntos $z$ y $w$ en el plano complejo $\mathbb{C}$ siguiendo la idea de hablar de la distancia entre dichos puntos como la longitud del segmento de recta que los une, a la cual llamamos la distancia o métrica euclidiana. Dicha definición de distancia nos permitió describir algunos lugares geométricos en el plano complejo $\mathbb{C}$ haciendo uso de nuestros resultados de geometría y las propiedades del módulo en $\mathbb{C}$.

Es de nuestro interés describir estos lugares geométricos en el plano complejo $\mathbb{C}$ porque nos permite reconocer qué puntos pertenecen o no a un conjunto mediante una condición dada. Esto nos motivará a definir el concepto de disco o vecindad en la siguiente entrada, mediante el cual podremos caracterizar mejor a los conjuntos de $\mathbb{C}$ y con ello a los puntos que los conforman.

La siguiente entrada analizaremos a detalle la distancia recién definida y veremos que resulta ser una función definida en $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ y que toma valores en $[0, \infty)$, la cual recibe propiamente el nombre de métrica. Consideraremos al espacio métrico formado por $\mathbb{C}$ y la métrica euclidiana $d$ y describiremos la topología inducida en $\mathbb{C}$ por dicha métrica. Además probaremos algunos resultados de dicho espacio métrico.

Entradas relacionadas

Geometría Moderna I: Desigualdad del triángulo y lugar geométrico

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

Introducción

En esta ocasión estudiaremos una propiedad muy importante de los triángulos, la desigualdad del triángulo que básicamente nos dice que la distancia mas corta entre dos puntos es el segmento de recta que los une, también veremos lo que es un lugar geométrico y mostraremos un par de ejemplos importantes.

Desigualdad del triángulo

Proposición 1. En todo triángulo al mayor de los lados se opone el mayor de los ángulos.

Demostración. Sea $\triangle ABC$ tal que $AB > AC$, debemos mostrar que $\angle C > \angle B$.

Figura 1

Como $AB > AC$, podemos construir un punto $D \in AB$ tal que $AD = AC$, ya que $\triangle ADC$ es isósceles, por la proposición de la entrada anterior, se cumple $\angle CDA = \angle ACD$, de aquí se sigue que:

$\begin{equation} \angle C = \angle ACB > \angle ACD = \angle DCA. \end{equation}$

Como $\angle ADC$ es un ángulo exterior de $\triangle DBC$, entonces $\angle ADC$ es mayor que los ángulos internos de $\triangle DBC$, no adyacentes a él, en particular

$\begin{equation} \angle ADC > CBD = \angle B. \end{equation}$

De $(1)$ y $(2)$ se sigue que $\angle C > \angle B$.

$\blacksquare$

Corolario. En todo triángulo el ángulo mayor es opuesto al lado mayor.

Demostración. Sea $\triangle ABC$ tal que $\angle A > \angle B$, por demostrar que $BC > AC$. Supongamos lo contrario.

Figura 2

Caso 1. Si $BC = AC$, entonces $\triangle ABC$ es isósceles por lo que $\angle A = \angle B$, lo que es una contradicción a nuestra hipótesis.

Caso2. Si $BC < AC$, entonces por la proposición anterior $\angle B > \angle A$, esto nuevamente contradice la hipótesis.

Por lo tanto, no queda otra opción más que $\angle A > \angle B$.

$\blacksquare$

Proposición 2. Si dos lados de un triángulo son iguales a dos lados de un segundo triángulo, pero el ángulo comprendido entre el primer par de lados es mayor que el ángulo formado por los lados del segundo triangulo, entonces el lado restante del primer triángulo será mayor al tercer lado del segundo triangulo.

Demostración. Sean $\triangle ABC$ y $\triangle A’B’C’$ tales que $AB = A’B’$, $AC = A’C’$ y $\angle A > \angle A’$, por demostrar que $BC > B’C’$.

Figura 3

Sobre $A’B’$ y tomando como vértice $A’$ construimos un ángulo igual a $\angle A$, y construimos $D$ tal que $A’D = AC$, entonces por criterio LAL, $\triangle ABC \cong \triangle A’B’D$ por lo que $B’D = BC$.

Notemos que $\triangle C’A’D$ es isósceles, entonces $\angle DC’A = \angle A’DC’$.

Ahora en $\triangle DC’B’$ tenemos $\angle DC’B’ = \angle A’C’B’ + \angle DC’A$,
$\Rightarrow \angle DC’B’ > \angle DC’A = \angle A’DC’$.

Pero $\angle A’DC’ = \angle A’DB’ + \angle B’DC’$,
$\Rightarrow \angle A’DC’ > \angle B’DC’$.

Por transitividad, $\angle DC’B’ > \angle B’DC’$.

Aplicando el corolario obtenemos $B’D > B’C’$, pero $B’D = BC$,
$\Rightarrow BC > B’C’$.

$\blacksquare$

Teorema 1, desigualdad del triángulo. Para todo triangulo se cumple que la suma de cualesquiera dos de sus lados es mayor al lado restante.

Demostración. Sea $\triangle ABC$, sobre la recta que pasa por $B$ y $C$, construimos un punto $D$ tal que $CD = AC$.

Figura 4

Como $\triangle ACD$ es isósceles, $\angle CAD = \angle ADC$, entonces en $\triangle ABD$ tenemos $\angle BAD > \angle CAD = \angle ADC = \angle ADB$, por el corolario anterior $BD > AB$.

Pero $BD = BC + CD = BC + AC$, por lo tanto, $AC + BC > AB$.

Las otras desigualdades, $AB + BC > AC$ y $AB + AC > BC$, se muestran de manera similar.

$\blacksquare$

El reciproco de este teorema también es cierto y lo mostramos a continuación.

Construcción de un triángulo y un ángulo

Teorema 2. Si $a$, $b$ y $c$ son tres números positivos tales que $a + b > c$, $a + c > b$ y $b + c > a$, entonces es posible construir un triángulo de lados $a$, $b$ y $c$.

Demostración. Construyamos un segmento $BC$ de longitud $a$, trazamos una circunferencia con centro en $B$ y radio $c$ $(B, c)$, trazamos otra circunferencia con centro en $C$ y radio $b$ $(C, b)$.

$(B, c)$ y $(C, b)$ se intersecan en dos puntos, sea $A$ uno de estos puntos. $AB = c$ por ser radio de $(B, c)$, $AC = b$ por ser radio de $(C, b)$ y $BC = a$ por construcción.

Figura 5

Notemos que si $(B, c)$ y $(C, b)$ se intersecaran en un solo punto entonces la intersección estaría sobre $BC$ o su extensión, y en tal caso se tendría alguna de las siguientes igualdades
$a = b + c$, $b = a + c$ o $c = a + b$, figura 6.

Figura 6

Y si $(B, c) \cap (C, b) = \varnothing$, entonces alguna de las cantidades seria mayor que la suma de las otras dos, $a > b + c$, $b > a + c$ o $c > a + b$, figura 7, lo que sería una contradicción a nuestras hipótesis.

Figura 7

Por lo tanto, $\triangle ABC$ es el triángulo buscado.

$\blacksquare$

Problema. Sobre una recta dada construir un ángulo igual a un ángulo dado.

Solución. Sea $\angle AOB$ el ángulo dado y $l$ la recta dada.

Con centro en $O$ y radio arbitrario $r > 0$ trazamos una circunferencia $(O, r)$ que corte a $OA$ en $C$ y a $OB$ en $D$.

Figura 8

Tomamos $O’ \in l$ y construimos una circunferencia con centro en $O’$ y radio $r$, $(O’, r)$, tomamos una de las intersecciones de $l$ con $(O’, r)$, digamos $D’$, trazamos otra circunferencia con centro en $D’$ y radio $CD$, $(D’, CD)$, sea $C’$ una de las intersecciones de $(O’, r)$ con $(D´, CD)$, entonces por criterio LLL $\triangle COD \cong \triangle C’O’D’$

Por lo tanto, $\angle AOB = \angle C’O’D’$.

$\blacksquare$

Lugar geométrico

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen un conjunto de condiciones dadas. Para probar que una figura geométrica es un lugar geométrico por lo general la prueba se divide en dos partes.

  • Probar que todos los puntos que satisfacen las condiciones pertenecen a la figura.
  • Probar que todos los puntos que pertenecen a la figura satisfacen las condiciones.

Teorema 3. El lugar geométrico de los puntos que equidistan a dos puntos dados, es la mediatriz del segmento que une los puntos dados.

Demostración. Sean $AB$ un segmento dado, $M$ el punto medio y $m$ la mediatriz de $AB$ respectivamente.

Figura 9

Primero vemos que los puntos en la mediatriz de $AB$  equidistan de $A$ y $B$.

Sea $P \in m$, por definición de mediatriz, $m \cap AB = M$ y $l \perp AB$.

Entonces por criterio LAL (lado, ángulo, lado), $\triangle PMA \cong \triangle PMB$, en consecuencia, $PA = PB$.

$\blacksquare$

Ahora veamos que todos los puntos que equidistan de $A$ y $B$, son los puntos en la mediatriz $m$ de $AB$.

Sea $P$ un punto que satisface las condiciones dadas, entonces $PA = PB$ y así $\triangle APB$ es isósceles, en la entrada anterior vimos que la mediatriz de un triángulo isósceles, pasa por el vértice que comparten los lados iguales, por lo tanto, $P \in m$.

$\blacksquare$

Definición. Definimos la distancia de un punto $P$ a una recta $l$ como la distancia entre $P$ y el pie de la perpendicular trazada desde $P$ a $l$.

Teorema 4. El lugar geométrico de los puntos que equidistan a dos rectas que se intersecan son las bisectrices de los ángulos formados por las rectas.

Demostración. Sean $l_{1}$ y $l_{2}$, dos rectas que se intersecan en $O$, consideremos $b_{1}$ la bisectriz de uno de los ángulos formados por $l_{1}$ y $l_{2}$, digamos $\alpha$, y sea $b_{2}$ la bisectriz del ángulo suplementario a $\alpha$.

Primero veamos que todos los puntos en la bisectriz de $\alpha$ equidistan a $l_{1}$ y $l_{2}$.

Figura 10

Sea $P \in b_{1}$, y sean $A$ y $B$ las intersecciones de las perpendiculares trazadas desde $P$ a $l_{1}$ y $l_{2}$ respectivamente.

Como $b_{1}$ es bisectriz, $\angle AOP = \angle POB$, además $\angle PAO = \angle OBP = \dfrac{\pi}{2}$, como la suma de los ángulos internos de todo triángulo es constante entonces $\angle OPA = \angle BPO$.

Entonces en los triángulos $\triangle PAO$ y $\triangle PBO$, $\angle AOP = \angle POB$, $\angle OPA = \angle BPO$ y $OP$ es un lado común.

Por criterio LAL, $\triangle PAO \cong \triangle PBO$, por lo tanto $PA = PB$, así la distancia de $P$ a $l_{1}$ y a $l_{2}$ es la misma.

De manera análoga podemos ver que los puntos en $b_{2}$ son equidistantes a $l_{1}$ y $l_{2}$.

$\blacksquare$

Ahora mostremos que todos los puntos que son equidistantes a $l_{1}$ y $l_{2}$ pertenecen a $b_{1}$ o $b_{2}$.

Sea $P$ un punto que satisface que $PA = PB$, donde $A$ y $B$ son los pies de las perpendiculares trazadas desde $P$ a $l_{1}$ y $l_{2}$ respectivamente.

Figura 11

Entonces $\triangle PAO$ y $\triangle PBO$ son triángulos rectángulos donde la hipotenusa es la misma, y por hipótesis tienen un cateto igual, $PA = PB$, por criterio hipotenusa – cateto $\triangle PAO \cong \triangle PBO$, en particular $\angle AOP =\angle POB$.

Notemos que las dos rectas dividen al plano en cuatro regiones distintas y en cada región podemos hacer el mismo procedimiento, pero dos rectas que se intersecan solo tienen dos bisectrices distintas.

Por lo tanto si $PA = PB$, entonces $P \in b_{1}$ o $P \in b_{2}$.

$\blacksquare$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Sean $\triangle ABC$ y $\triangle A’B’C’$ tales que $AB = A’B’$, $AC = A’C’$ y $BC > B’C’$, muestra que $\angle A > \angle A’$.
  2. Sea $\square ABCD$ un cuadrado y $O$ un punto en el plano muestra que $OA < OB + OC + OD$.
  3. Sean $\triangle ABC$ y $A’$ un punto en el interior del triángulo, muestra que $AB + AC > A’B + A’C$ y que $\angle BA’C > \angle BAC$.
  4. En un poblado situado junto a un rio, cuyo borde es totalmente recto, hay un incendio en un punto $A$, la estación de bomberos se encuentra en un punto $B$ del mismo lado del río donde se dio el incendio, los bomberos necesitan pasar primero por el río para abastecerse de agua. ¿Qué punto $P$ en el borde del río hace que el trayecto $BP + PA$ sea mínimo?
  5. Muestra que si dos circunferencias se intersecan en un solo punto entonces el punto pertenece al segmento que une los centros o a su extensión.
  6. $i)$ Dados una recta y un punto en ella construye la perpendicular a la recta por el punto dado.
    $ii)$ Dados una recta y un punto fuera de ella construye la paralela a la recta por el punto dado.
    $iii)$ Dados una recta y un punto fuera de ella construye la perpendicular a la recta por el punto dado.
  7. $i)$ Dados una recta y un numero $a > 0$ encuentra el el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a la recta es $a$.
    $ii)$ ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a una circunferencia dada $(O, r)$ es una constante dada $b > 0$?

Más adelante…

En al siguiente entrada estudiaremos a los paralelogramos y sus propiedades.

Entradas relacionadas

Fuentes

  • Gomez, A. y Bulajich, R., Geometría. México: Instituto de Matemáticas, 2002, pp 9-12, 44-54.
  • Cárdenas, S., Notas de Geometría. México: Ed. Prensas de Ciencias, 2013, pp 16-18.
  • Geometría interactiva
  • Geometry Help

Seminario de Resolución de Problemas: Geometría analítica

Por Fabian Ferrari

Introducción

La geometría analítica se puede considerar la fusión de las ideas de la geometría euclidiana y el álgebra. Una de las funcionalidades de la geometría analítica es resolver problemas de geometría de una manera analítica, partiendo de la ubicación de los objetos geométricos en el plano cartesiano. A continuación veremos algunos problemas de la geometría analítica.

Un problema de rectas y puntos notables de un triángulo

Problema: Dado el triangulo $\triangle ABC$ inscrito en una circunferencias. Denotemos como $P$ a su baricentro y como $O$ a su circuncentro. Además, supongamos que $A(0,0)$, $B(a,0)$ y $C(b,c)$.
Expresa las coordenadas de $P$ y $O$ en términos de $a$, $b$ y $c$.

Solución: Tenemos que el baricentro $P$ es la intersección de las medianas del triángulo. Basta con que encontremos las ecuaciones de dos de las medianas para establecer un sistema de ecuaciones y encontrar las coordenadas de $P$.

Para obtener las medianas tenemos que determinar los puntos medios de los lados del triángulo.

Consideraremos los puntos los puntos medios de $AB$ y de $AC$, los cuales son $P_{m_{AB}}(\frac{a}{2},0)$ y $P_{m_{AC}}(\frac{b}{2},\frac{c}{2})$ respectivamente.

Ahora, determinamos la ecuación de la mediana que pasa por el punto medio de $AC$ y el vértice $B$


\begin{equation*}
\begin{align*}
y-\frac{c}{2}&=\frac{-\frac{c}{2}}{\frac{2a-b}{2}}(x-\frac{b}{2})\\
2y-c&=-\frac{c}{2a-b}(2x-b)\\
(2a-b)(2y-c)&=-2cx+bx\\
2(2a-b)y-2ac+bc&=-2cx+bc\\
2cx+2(2a-b)y&=2ac\\
cx+(2a-b)y&=ac
\end{alig*}
\end{equation*}

Para la mediana que pasa por el vértice $C$ y por el punto medio de $AB$, tenemos que

\begin{equation*}
\begin{align*}
y&=\frac{c}{\frac{2b-a}{2}}(x-\frac{a}{2})\\
(2b-a)y&=2cx-ac\\
2cx+(a-2b)y&=ac
\end{align*}
\end{equation*}

Establecemos el sistema de ecuaciones

\begin{equation*}
\begin{align*}
cx+(2a-b)y  &=ac \\
2cx + (a-2b)y &=ac
\end{align*}
\end{equation*}

Cuya solución es $x=\frac{ac+bc}{3}$ y $y=\frac{c}{3}$

Por lo tanto el punto del baricentro está dado por

\begin{equation*}
P\left(\frac{ac+bc}{3}, \frac{c}{3}\right)
\end{equation*}

Para obtener la coordenada del circuncentro tenemos que determinar las ecuaciones de las mediatrices y con ello calcular su intersección.

Tenemos que como la pendiente del segmento $AB$ es igual a $0$, tenemos entonces que la mediatriz del segmento es

\begin{equation*}
x=\frac{a}{2}
\end{equation*}

Por otro lado tenemos que la pendiente del segmento $AC$ es igual a $\frac{c}{b-a}$ con lo que la pendiente de la mediatriz de $AC$ es $\frac{a-b}{c}$, con lo que su ecuación está dada por

\begin{equation*}
\begin{align*}
y-\frac{c}{2}&=\frac{a-b}{c}(x-\frac{b}{2})\\
y&=\frac{2(a-b)(x-\frac{b}{2}+c^2}{2c}
\end{align*}
\end{equation*}

Sustituyendo $x=\frac{a}{2}$, tenemos que

\begin{equation*}
y=\frac{(a-b)^2+c^2}{2c}
\end{equation*}

Así, podemos concluir que el punto del circuncentro está dado por $O\left(\frac{a}{2},\frac{(a-b)^2+c^2}{2c}\right)$

$\square$

Recta tangente a una circunferencia


Problema: Encuentra la relación entre los parámetros $a$, $b$ y $c$ tales que la línea recta $l:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ sea tangente a la circunferencia $C: x^2+y^2=c^2$.

Solución: Tenemos que la circunferencia está centrada el el origen $O(0,0)$ y tiene radio $r=c$.

Así, se debe cumplir que la distancia de la recta al origen debe de ser igual a $c$ para que se cumpla que sea tangente a la circunferencia.

i.e.

\begin{equation*}
\d(l,O)=\frac{|\frac{0}{a}+\frac{0}{b}-1|}{\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}=c
\end{equation*}

Tenemos entonces que

\begin{equation*}
\begin{align*}
\frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}&=c\\
c^2\left(\frac{a+b}{ab}\right)&=1\\
\frac{a+b}{ab}&=\frac{1}{c^2}
\end{align*}
\end{equation*}

Concluimos que la condición que deben de cumplir los parámetros para que se cumpla que la recta $l$ sea tangente a la circunferencia $C$ es

\begin{equation*}
c^2=\frac{ab}{a+b}
\end{equation*}

$\square$

Circunferencia que pasa por tres puntos

Problema: Consideremos una circunferencia con centro en el origen y radio $1$. Si $M$ es un punto de la circunferencia, $N$ un punto diametralmente opuesto a $M$ y $A(2,3)$ un punto fuera de la circunferencia. Determina el lugar geométrico formado por los centros de las circunferencias que pasan por $M$, $N$ y $A$ al variar $M$

Solución: Sea $M(a,b)$, tenemos que $N$ por ser diametralmente opuesto está dado por $N(-a,-b)$. Si denotamos como $C_1(x,y)$ al centro de la circunferencia que pasa por $M$, $N$ y $A$, tenemos que las distancias desde los puntos dados al centro $C_1(x,y)$ son todas iguales.

\begin{equation*}
d(C_1,M)=d(C_1,N)=d(C_1,A)
\end{equation*}

Además,

\begin{equation*}
\begin{align*}
&d(C_1,M)=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\\
&d(C_1,N)=\sqrt{(x+a)^2+(y+b)^2}\\
&d(C_1,A)=\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}
\end{align*}
\end{equation*}

Como $d(C_1,M)=d(C_1,N)$ tenemos que

\begin{equation*}
\begin{align*}
(x-a)^2+(y-b)^2&=\sqrt{(x+a)^2+(y+b)^2}\\
-2ax-2by&=2ax+2by\\
ax+by&=0
\end{align*}
\end{equation*}

Por otro lado tenemos que $d(C_1,N)=d(C_1,M)$, entonces

\begin{equation*}
\begin{align*}
(x-a)^2+(y-b)^2&=(x-2)^2+(y-3)^2\\
-2ax-2by+a^2+b^2&=-4x-6y+2^2+3^2\\
-2ax-2by+1&=-4x-6y+4+9\\
-2ax-2by&=-4x-6y+12\\
-ax-by&=-2x-3y+6\\
(a-2)x+(b-3)y&=-6
\end{align*}
\end{equation*}

Al hacer la diferencia de esta última ecuación con la primera que obtuvimos, tenemos la ecuación:

\begin{equation*}
\begin{align*}
2x+3y&=6\\
2x+3y-6&=0
\end{align*}
\end{equation*}

Lo cual nos describe una línea recta

Por lo tanto, el lugar geométrico formado por los centros de las circunferencias que pasan por $M$, $N$ y $A$ al variar $M$, es la recta con ecuación general $2x+3y-6=0$

$\square$


Más problemas

Puedes encontrar más problemas de Geometría Analítica en la sección 8.2 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.