En la entrada pasada revisamos el concepto de cardinalidad de conjuntos finitos. Esto es la forma de «contar» los elementos en un conjunto que sabemos que «termina». Ahora veremos un primer acercamiento a la idea del infinito en el aspecto matemático.
Pensando en número grandes
¿Cuál es el número más grande que se te ocurre? Siempre que pienses en alguno, existe uno más grande, pues con solo sumarle a cualquier número $1$, resulta en uno más grande. Y es que en el caso finito, hablábamos de cómo un conjunto tenía un número definido de elementos. Ahora cuando estemos hablando de infinito, lo primero que se nos vendría a la mente es que no podremos «contar» cuántos elementos hay y acabar, pues siempre habrán más y más elementos. Así haremos el intento por primero definir una forma qué es el infinito.
Definición Diremos que un conjunto es infinito si no es finito, es decir, un conjunto $X$ será infinito si no existe algún $n$ número natural tal que sea biyectivo con $X$.
Para ver un ejemplo de esto, veremos los números naturales.
Proposición. Los números naturales son infinitos.
Demostración. Deberemos mostrar que para cualquier número $n$ y cualquier función $f:\mathbb{N} \rightarrow n$, no será biyectiva. Pero esto es resultado inmediato del principio de las casillas, pues $\{1,2,3,…,n,n+1\}$ es un subconjunto de $\mathbb{N}$ que tiene cardinalidad $|n+1|$ por lo tanto la función restringida solo a este conjunto no es inyectiva, y como este solo es un subconjunto de los números naturales, la función tampoco será inyectiva.
Como esto sucede para cualquier $f$ y cualquier $n$, no existirá una biyección entre $\mathbb{N}$ y algún número natural.
$\square$
Este es un conjunto infinito que es muy intuitivo, pues maneja la idea de que siempre podemos seguir pensando en números nuevos. Pero incluso este conjunto tiene subconjuntos infinitos, por ejemplo los números pares positivos (escrito en ocasiones como $2\mathbb{Z_+}$) y números impares positivos (escrito en ocasiones como $2\mathbb{Z_+}+1$), pues estos también son infinitos. Por ahora no te preocupes por la definición de $\mathbb{Z_+}$, pues simplemente nos estamos refiriendo a los números naturales, solo es convención escribir a los pares e impares en estos términos y en cursos siguientes tendrás más tiempo en ahondar en su significado.
Ahora para empezar a «comparar» los conjuntos infinitos, necesitaremos una definición de cuándo dos conjuntos tienen la misma cardinalidad infinita, y esta la definiremos muy similar a como lo hicimos en el caso finito.
Definición. Sean $X$ y $Y$ dos conjuntos. Diremos que tienen la misma cardinalidad si existe una biyección entre ellos y lo escribiremos como $|X|=|Y|$.
Verás que esa es una de las definiciones que manejamos en la entrada anterior. La única diferencia es que en el caso finito siempre decíamos que eran de cardinalidad $n$. Pero ahora como ya no manejamos el concepto en término de números naturales, por ahora solo lo escribiremos como en la definición.
Proposición $|\mathbb{N}| = |2\mathbb{Z_+}|$
Demostración. Para demostrar que estos dos conjuntos tienen la misma cardinalidad, deberemos de dar una biyección entre ellos. Propongamos la función $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{2Z_+}$ dada por $f(n)=2n$.
Es inyectiva pues si $n,m$ son números naturales distintos, alguno de los dos es mayor al otro, digamos que $n = m+k$ donde $k$ es un número natural distinto al cero. Entonces es claro que $f(n) = 2n = 2m+2k$ mientras que $f(m) = 2m$. Como $k$ no es cero, entonces $2m+2k \neq 2m$, por lo tanto es inyectica.
Además es suprayectiva, pues cualquier número par $m$ es de la forma «$2$ multiplicado por otro número». Es decir, $m$ es de la forma $2n$ para algún número $n$. Así, $f(n)=2n = m$.
Por lo tanto, la función es biyectiva.
$\square$
Así, hemos demostrado que «existe» la misma cantidad de número pares positivos que de números. Así que sin importar que nos hayamos «saltado» números, siguen teniendo la misma cantidad de números. De manera similar podemos demostrar que existe la misma cantidad de números impares positivos. Esto es posible considerando la función $f(n) = 2n+1$. Además también podríamos dar una biyección entre números pares e impares con la función $f(n)=n-1$. Es decir, los tres conjuntos comparten cardinalidad.
Otros ejemplos de conjuntos con esta cardinalidad son:
Este aspecto de el infinito llamó mucho la atención de los matemáticos del siglo XX, pero hubo uno en particular que desarrolló la teoría de los conjuntos y de paso formalizó el concepto del infinito y de distintos tamaños de infinitos. Uno de los aspectos que más sorprenden a las personas ajenas a la materia es este hecho, que existan distintos infinitos, y en pocos renglones daremos introducción a uno que ya conoces. Para poder distinguir este tipo de infinitos uno del otro, usó una clase especial de números a los que llamó transfinitos.
El primer número transfinito es el aleph $0$, escrito como $\aleph_0$. Y este representa la cardinalidad de los números naturales, es decir $$ |\mathbb{N}| = \aleph_0.$$ Que es la misma cardinalidad que los números pares, impares, e incluso los números primos.
El segundo número transfinito se define como aleph $1$, y a este lo escribimos como $\aleph_1$, este se define como el transfinito inmediatamente superior a $\aleph_0$. La propiedad de este número transfinito es que es estrictamente mayor a $\aleph_0$, lo que quiere decir que cualquier conjunto con esta cardinalidad no será biyectable con alguno que tenga cardinalidad aleph $0$.
Cuando dos conjuntos tengan distinta cardinalidad, lo escribiremos como $|X| \neq |Y|$ mientras que cuado sepamos que hay una función inyectiva de $X$ a $Y$ lo escribiremos como $|X|\leq |Y|$ mientras que si sabemos que hay una inyección pero no biyección entre los conjuntos lo escribiremos como $|X|<|Y|$. Con esto en mente, lo que se plantea con los alephs, es que $\aleph_0 < \aleph_1$. Sin embargo aún nos falta una herramienta más e hipótesis para pensar en este último.
Para hacerlo, será necesario el siguiente teorema que no probaremos en este curso:
Teorema (de Cantor). Sea $X$ un conjunto, entonces $|X|<|P(X)|$.
Con este teorema es que podemos hacer muchos conjuntos infinitos como por ejemplo la potencia de los naturales, pues $|\mathbb{N}|<|P(\mathbb{N})|$. De hecho al transfinito $|P(\mathbb{N})|$ en las matemáticas se ha propuesto la idea de que si $P(\mathbb{N})$ es el transfinito inmediatamente siguiente de $\aleph_0$, pues cae dentro de un área de las matemáticas en donde la teoría se vuelve inconsistente si se supone que sí pero también es inconsistente si se supone que no, por ahora se trata como una hipótesis el usarla o no usarla para llegar a distintos resultados matemáticos.
Hipótesis del continuo. $\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$
Como mencionamos, esto no tiene una prueba y se supone o no según sea el caso de uso. Bajo esa suposición, podríamos considerar a $P(\mathbb{N})$ como un conjunto con cardinalidad $\aleph_1$. Más aún, otros conjuntos que tienen esta cardinalidad bajo esta hipótesis son:
El conjunto generado por puras secuencias de $1$ y $0$, como por ejemplo $00000…..$, $111111….$, $1010101….$, etc. es decir secuencias infinitas de números solo formadas de $0$ y $1$.
El conjunto de todos los números del 0 al 1.
El conjunto de números reales.
El producto cartesiano de los números reales consigo mismo, es decir $\mathbb{R}^2$.
Más adelante…
Una vez que hemos hablado de la cardinalidad de los conjuntos, podemos seguir hablando de los números naturales, de sus propiedades y la inducción. Después volveremos a encontrarnos la idea de contar conjuntos específicos y de técnicas para encontrar la cardinalidad de conjuntos finitos de algunos conjuntos.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
Demuestra que $|\mathbb{N}| = |2\mathbb{Z_+}+1|$.
Demuestra que el conjunto generado por puras secuencias de $1$ y $0$ tiene la misma cardinalidad que $|P(\mathbb{N})|$.
Da un ejemplo de una función entre conjuntos infinitos cuya imagen no sea infinita.
Encuentra la cardinalidad de la imagen de la función $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ dada por $f(n) = 5m + 3$.
Siguiente entrada del curso: Variantes del principio de inducción en los naturales
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
¿Qué es lo que entiendes cuando alguien te dice: «En esta canasta hay cinco manzanas»? Probablemente te llegue a la mente una imagen similar a la siguiente:
Y es que para nosotros es muy natural el decir «cuántas» cosas hay dentro de un conjunto. De hecho los primeros usos que dieron lugar al nacimiento de las matemáticas datan de hace más de $5000$ años en mesopotamia con los primeros sistemas para contar. Esto remarca la necesidad de contar objetos que a su vez trata de diferenciar unos de otros.
Imagínate que te pidieran contar cuántos Pingüinos Rey hay en un zoológico. Para ello primero habría que saber distinguir a cuáles son este tipo de pingüinos y cuáles no. En un principio puede resultar fácil, y es que veremos que el distinguir elementos unos de otros puede llegar a complicarse cuando más consideraciones hacemos como el saber cuántos pingüinos hay que sean machos, o cuántos machos hay que no tengan más de un año, por ejemplo. Con este tipo de ejercicios los matemáticos fueron descubriendo con el tiempo que hacía falta poder estudiar un poco más a detalles este concepto de «diferenciar» y «contar» elementos de un conjunto. En las siguientes entradas vamos a desarrollar un poco más este concepto de diferenciar y contar.
Cardinalidad de un conjunto
Como todo en matemáticas, necesitaríamos hacer una definición de lo que significa que «un conjunto tenga $3$ elementos» y cómo es diferente a «un conjunto con $5$ elementos», por poner un ejemplo. Es con esto que damos la siguiente definición entre cardinalidad de un conjunto finito.
Definición. Sea $X$ un conjunto. Diremos que $X$ tiene cardinalidad finita o es finito si existe $n \in \mathbb{N}$ y una función biyectiva entre $X$ y $n$. En este caso escribiremos $|X|=n$.
Detengámonos un poco a analizar esta definición.
Recordemos que por ejemplo el número $2$ es escrito como conjunto como $$ \{\emptyset,\{\emptyset\}\}$$.
Ahora pensemos en un conjunto con un plátano y una manazana. Entonces podemos definir la siguiente función $f: X \rightarrow \mathbb{N}$ como $f(manzana)= \emptyset$ y $f(plátano)=\{\emptyset\}$:
Puedes comprobar que esta función es biyectiva, y es solo una forma de biyectar el conjunto $X$ con el $2$. Dicho esto, entonces podemos decir que $|X|=2$. Ahora ¿Qué pasa con un conjunto que también tenga cardinalidad $2$? Digamos el conjunto $Y$ de un perro y un gato.
Entonces podríamos decir que igual puede haber una biyección entre los dos conjuntos $X$ y $Y$.
Ahora ¿Qué pasa si unimos los conjuntos de animales con los de ls frutas? Pues nuestra razón nos dirá que si en un conjunto tenemos dos elementos y en el otro dos, si los combinamos tendremos cuatro elementos, y esto es justamente otra de las bondades de la cardinalidad, pues se comporta de acuerdo a lo que nuestra razón nos dice.
Proposición Sean $X,Y$ dos conjuntos disjuntos. Si $|X|=n, |Y|=m$ entonces $|X \cup Y| = n+m$.
Demostración. Por definición de cardinalidad, existen dos funciones $g:X \rightarrow n$ y $f: Y \rightarrow m$ biyectivas. Notemos ahora que la función $h: X \cup Y \rightarrow n+m $ dada por $$h(x) = \begin{cases} &f(x), x \in X \\ g(x) + n, x \in Y \end{cases} $$ es biyectiva. Para demostrar que esta función es biyectiva, demostraremos la inyectividad y suprayectividad.
Es inyectiva. Considera dos elementos $x,y$ distintos. Existen tres casos, el primero es que $x,y \in X$, en este caso, $h(x)=f(x), h(y)=f(y)$ y como $f$ es inyectiva, sus imágenes son distintas. El segundo caso es $x , y \in Y$. En este caso, recordemos que $h(x)=n+g(x)$ y $h(y) = n + g(y)$ Si las imágenes fueran iguales entonces $g(x)=g(y)$ pero esto solo sucede si $x=y$, pues $g$ es inyectiva, y esto contradiciendo la hipótesis de que los elementos son distintos. Finalmente en el caso de que un elemento pertenezca a $X$, digamos $x$ y el otro a $Y$, digamos $y$, sucede que $h(x)=f(x)$, mientras que $h(y)=n+g(y)$, ahora notemos que $f: X \rightarrow n$, entonces ningún elemento es más grande que $n$, mientras que $h(y)$ sí es más grande que $n$, pues estamos uniendo números naturales al más grande número natural que compone al conjunto $X$, es decir, siempre sucederá que $h(x)<h(y)$ y en particular $h(x) \neq h(y)$, siendo la función inyectiva.
Además la función es suprayectiva, ya que para cualquier elemento $k \in n+m$ se tienen dos casos: Si $k <= n$ entonces existe $x \in X$ tal que $h(x)=f(x)=k$, mientras que si$k>n$ existe $l \in. \mathbb{N}$ tal que $n+l=k$. Por otro lado, como $g$ es suprayectiva, existe $y \in Y$ tal que $g(y)=l$. Así $h(y)=n+g(y)=n+l=k$. Por lo tanto la función es biyetiva.
Y más aún, hemos demostrado que los conjuntos disjuntos tienen cardinalidad $n+m$.
$\square$
El principio de las casillas
Una de las propiedades más importantes sobre cardinalidad que es intuitiva es la siguiente:
Proposición. (El principio de las casillas). Sean $X,Y$ dos conjuntos tales que $|X|=s(n)$ y $|Y|=n$. Entonces si $f:X \rightarrow Y$, $f$ no es inyectiva.
A esta se le llama principio de las casillas o de los palomares y se explica con el siguiente ejemplo:
Supón tienes $9$ casillas para palomas:
Naturalmente, solo cabrá a lo más una paloma en cada una de las casillas, entonces si lega al menos una paloma más, forzosamente tendría que haber más de una paloma en alguna de las casillas. En general para $n$ casillas, caben a lo más $n$ paloma para que quede solo una paloma en cada casilla. Es decir, podríamos hacer una inyección entre el número de palomas y el de casillas siempre y cuando haya menos palomas que casillas.
Demostración. Para ello deberíamos mostrar que no existe una inyección entre un conjunto de $n$ elementos y otro de $s(n)$.
Base de inducción. Sea $|X|=s(0)$ y $|Y|=0$. Notemos entonces que $Y$ tiene que ser el vacío, pues $0$ es el vacío y si $Y$ no fuera vacío, entonces existiría una función $f$ y un elemento $y \in Y$ tal que $f(y) \in \emptyset$. Lo cual es una contradicción. Ahora notemos que por vacuidad el enunciado se cumple, pues de no ser así, existiría una función $g:X \rightarrow Y$ inyectiva, pero esto supondría que $Im[g] \subset \emptyset$ tiene al menos un elemento.
Hipótesis de inducción. Ahora supongamos que para cualesquiera dos conjuntos $|X|=s(n)$ y $|Y|=n$ se cumple la condición.
Paso inductivo. Consideremos ahora dos conjuntos $X,Y$ con $|X|=s(s(n))$ y $|Y|=s(n)$. Ahora consideremos cualquier función $f: X \rightarrow Y$, bastará probar que esta función no es inyectiva. Para ello, notemos que si le quitamos cualquier elemento $x \in X$ a $X$, su cardinalidad será $s(n)$. Además si quitamos el elemento $y \in Y$ tal que $f(x)=y$ entonces $Y$ tiene cardinalidad $n$. Así volvemos al caso de la hipótesis de inducción donde la función $f’: X/\{x\} \rightarrow Y/{y}$ definida como $f'(x)=f(x)$ no es inyectiva, esto significa que existen dos elementos $y,z \in X/\{x\}$ tales que $f'(x)=f'(y)$. Más aún, la función $f$ tampoco es inyectiva por la existencia de estos dos elementos.
Así hemos demostrado el principio de las casillas.
$\square$
La cardinalidad de dos conjuntos
Una definición ahora sobre la cardinalidad de dos conjuntos es consecuencia de
Definición Dos conjuntos $X$ y $Y$ tienen la misma cardinalidad si existe una función biyectiva $f: X \rightarrow Y$ y lo escribiremos como $|X|=|Y|$
Y ahora veamos cómo es que en el caso finito, esta es una definición que no contradice la primera definición que dimos
Proposición En el caso finito, Son equivalentes para cualesquiera dos conjuntos finitos $X,Y$ y cualquier número natural $n$:
$|X| = n \land |Y| = n$
$|X| = |Y|$
Demostración.
$\Rightarrow$
Supongamos primero que $|X| = n$ y $|Y|=n$. Ahora, notemos que existen dos funciones biyectivas $f: X \rightarrow n$ y $g: Y \rightarrow n$ Ahora consideremos la siguiente función $g^{-1} \circ f : X \rightarrow Y$. Y notemos que es una biyección, pues como $g$ es biyectiva, en particular es suprayectiva y eso significa que $Im[g] = n$ Siendo entonces la función $g{-1}: Im[g] =n \rightarrow Y$ con el mismo dominio que el contradominio de $f$, es decir la composición es una función bien definida. Además como $f$ también es biyectiva, entonces $g^{-1} \circ f$ también es biyectiva.
$\Leftarrow$
Demostremos ahora por contradicción que $|X| = n \land |Y| = n$ cuando $|X|=|Y|$.
Para ello supongamos primero que existen dos naturales distintos $n,m$ tales que $|X|=n$ y $|Y|=m $, y esto es posible pues $X,Y$ son finitos. Y también $|X|=|Y|$ Ahora sin perdida de la generalidad supongamos que $n>m$. Pero esto es una contradicción al principio de las casillas, pues toda función de $X$ a $Y$ no sería inyectiva, y en general tampoco será biyectiva. Cumpliéndose así la condición deseada.
$\square$
Algunas propiedades más de la cardinalidad
Veamos ahora otras propiedades sobre las cardinalidades de los conjuntos. Para ello supón que $X$ es finito de cardinalidad $n$ y $Y$ es finito de cardinalidad $m$.
Proposición. $|X /Y| = |X| – |X \cap Y|$ Demostración. Esto es consecuencia del hecho de que $X/Y$ y $X \cap Y$ son conjuntos disjuntos, entonces: $$ |X/Y| + |X \cap Y| = |X/Y \cup (X \cap Y)| = |X|$$
Proposición. $|P({X)|=2^{|X|}$ Demostración. Por inducción sobre el número de elementos en el conjunto $X$. Base de inducción. Si $X$ tiene $0$ elementos, entonces es el vacío, mientras que $P(X)={\emptyset}$ el cuál tiene cardinalidad $1=2^{0}$. Hipótesis de inducción. Ahora supongamos que si $|X|=n$ para algún número $n$ natural, entonces $|P(X)|=2^{n}$. Paso inductivo. Sea $|X|=n+1$. Consideremos ahora un elemento $x$ de $X$ y notemos que el conjunto $X/\{x\}$ es un conjunto con $n$ elementos, por lo cual sabemos que $|P(X/\{x\})|=2^n$. Ahora veamos que este conjunto describe todos los posibles subconjuntos de $X$ en los que $x$ no está incluído, por lo que si definimos el conjunto $P(X/\{x\}) \cup x := {A \cup x : A \in P(X/\{x\})}$, se tiene que $$(P(X/\{x\}) \cup x) \cup P(X/\{x\}) = P(X) $$ Pues el primer conjunto son todos los subconjuntos de $X$ que sí tienen a $x$ y el segundo aquellos que no. Como estos dos son conjuntos disjuntos y tienen exactamente $n$ elementos, entonces $$|P(X)| = |(P(X/\{x\}) \cup x) \cup P(X/\{x\})| = 2^n + 2^n = 2^{n+1}$$.
$\square$
Más adelante…
Ahora que hemos introducido el concepto de cardinalidad, veremos cómo es que podemos escalar este concepto del caso finito al caso infinito. Es decir ¿Qué pasa cuando ya no podemos hablar de conjuntos que podemos «contar»?
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
Demuestra que $(P(X/\{x\}) \cup x) \cup P(X/\{x\}) = P(X)$
Demuestra que $|X|=|Y|$ si y solo si $|Y|=|X|$
Demuestra que la relación «tener la misma cardinalidad» es de equivalencia.
Siguiente entrada del curso: Varios tamaños de conjuntos infinitos
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
En esta entrada demostraremos que el conjunto de los números naturales es un conjunto bien ordenado.
Resultados previos
A continuación demostraremos el siguiente lema que nos dice que la intersección de dos números naturales resulta ser un número natural.
Lema. Si $n,m\in \mathbb{N}$, entonces $n\cap m\in \mathbb{N}$.
Demostración.
Sean $n,m\in \mathbb{N}$.
$n\cap m$es un conjunto transitivo: En la entrada de construcción de números naturales se demostró que intersección de conjuntos transitivos es transitivo. Como $n$ y $m$ son naturales, entonces son transitivos. Así, $n\cap m$ también lo es.
$n\cap m$ es un orden total con la pertenencia:
Notemos la relación de pertenencia en $n\cap m$ es la relación $\in_{n\cap m}=\in_n\cap((n\cap m)\times(n\cap m))$. En efecto, si $x\in_{n\cap m}y$, entonces, $x\in y$ y $x,y\in n\cap m$; en particular, $x\in y$ y $x,y\in n$, es decir, $x\in_ny$. Esto muestra que $\in_{n\cap m}\subseteq \in_n\cap((n\cap m)\times(n\cap m))$. Por otro lado, si $x\in_n y$ y $x,y\in n\cap m$, entonces, $x\in y$ y $x,y\in n\cap m$, es decir, $x\in_{n\cap m}y$. Esto demuestra la igualdad mencionada.
–Asimetría de $\in_{n\cap m}$.
Sean $z,w\in n\cap m$ tales que $z\in_{n\cap m} w$. Dado que $z\in_{n\cap m}w$, entonces $z\in_nw$. De este modo, $w\notin_{n\cap m} z$, ya que de lo contrario, $w\in_n z$, lo cual contradice que $\in_n$ sea una relación asimétrica. Por lo tanto, $\in_{n\cap m}$ es asimétrica.
–Transitividad de $\in_{n\cap m}$.
Sean $z,w,y\in n\cap m$ tales que $z\in_{n\cap m} w$ y $w\in_{n\cap m} y$. Entonces, $z\in_n w$ y $w\in_n y$, por lo que $z\in_n y$ por la transitividad de $\in_n$. Así pues $z\in_n y$ y $z,y\in n\cap m$, y en consecuencia $z\in_{n\cap m}y$.
– $\in_{n\cap m}$-comparables.
Sean $z,w\in n\cap m$. En particular, $z,w\in n$. Luego, por ser $(n, \in_n)$ un orden total, $z\in_n w$ o $w\in_n z$ o $z=w$. En consecuencia, $z\in_{n\cap m}w$ o $w\in_{n\cap m}z$ o $z=w$. Por lo tanto, los elementos de $n\cap m$ son $\in_{n\cap m}$-comparables.
Cualquier subconjunto $B$ no vacío de $n\cap m$ tiene elemento mínimo y máximo.
Veamos que $B$ tiene mínimo. Lo del máximo quedará como uno de los ejercicos. Dado que $B\subseteq n\cap m$, entonces, en particular, $B\subseteq n$. Dado que $n$ es un número natural y $B$ es un subconjunto no vacío de $n$, $B$ tiene mínimo con respecto a $\in_n$.
Sea $a=\min(B)$ con respecto a $\in_n$. Luego, $a\in_nx$ para todo $x\in B\setminus\set{a}$. Así pues, si $x\in B\setminus\set{a}$ es cualquier elemento, entonces, $a\in_n x$ y, como $a,x\in n\cap m$ pues $B\subseteq n\cap m$, se sigue, $a\in_{n\cap m}x$. Por lo tanto, $a=\min(B)$ en el orden $\in_{n\cap m}$.
Por lo tanto, si $n,m\in \mathbb{N}$, entonces $n\cap m\in \mathbb{N}$.
$\square$
En la tarea moral te corresponde probar que cualquier subconjunto no vacío de $n\cap m$ tiene elemento máximo.
Antes de demostrar nuestro resultado principal, probaremos otros dos resultados auxiliares.
Lema. Si $n, m$ son naturales distintos $n\subsetneq m$, entonces $n\in m$.
Demostración.
Sean $n,m\in \mathbb{N}$ distintos tales que $n\subsetneq m$. Como, $m\setminus n\subseteq m$ y $m\setminus n\not=\emptyset$, existe $k=\min(m\setminus n)$ con respecto a $\in_{m}$.
Afirmación. $k=n$.
Demostración de la afirmación.
$\subseteq$) Sea $y\in k$, entonces $y\in m$ por ser $m$ un conjunto transitivo. Luego, $y\in n$, pues de lo contrario $y\in m\setminus n$ y así, $y$ sería un elemento en $m\setminus n$ tal que $y\in k$, pero esto es imposible pues $k=\min(m\setminus n)$. Por lo tanto, $y\in n$ y, por ende, $k\subseteq n$.
$\supseteq$) Sea $y\in n$. Como $n\subseteq m$, entonces $y\in m$. Ahora, por ser $m$ un natural, $m$ está ordenado totalmente por la pertenencia. Así que, $y,k\in m$, o bien $y\in k$ o bien $k\in y$ o bien $y=k$. No puede ocurrir que $k\in y$, pues de ser así se tendría que $k\in n$ ya que $y\in n$ y $n$ es transitivo por ser un número natural. Así, tendríamos $k\notin m\setminus n$, lo cual contradice la elección de $k$. Ahora, no puede ocurrir que $k=y$, pues nuevamente tendríamos que $k\in n$ y ya vimos que esto conduce a una contradicción. Luego, tiene que ocurrir que $y\in k$. Esto demuestra que $n\subseteq k$.
Por lo tanto, $n=k$ y, en consecuencia, $n\in m$.
$\square$
Lema. Si $n$ y $m$ son naturales, entonces $n\in m$ o $m\in n$ o $n=m$, es decir, $n,m$ son $\in$-comparables.
Demostración.
Sean $n,m\in\mathbb{N}$. Tenemos los siguientes casos:
Caso 1. Si $n=m$ no hay más que probar.
Caso 2. $n\not=m$.
Consideremos a la intersección $n\cap m$. Luego, $n\cap m\subseteq m$ y $n\cap m\subseteq n$. Si $n\cap m=m$, entonces $m\subseteq n$, pero $m\not=n$, por lo que $m\subsetneq$ y por el lema anterior tenemos que $m\in n$. Si $n\cap m=n$, entonces $n\subseteq m$, pero $n\not=m$, por lo que $n\subset m$ y, en consecuencia, $n\in m$.
Por tanto, si $n\not=m$, entonces $n\in m$ o $m\in n$. En consecuencia, cualesquiera dos números naturales son $\in$-comparables.
$\square$
Los naturales están bien ordenados
Estamos listos para probar el resultado principal de esta entrada.
Teorema. $(\mathbb{N}, \leq)$ es un conjunto bien ordenado.
Demostración.
Veamos primero que $\leq$ en $\mathbb{N}$ es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Luego, veremos que $\mathbb{N}$ es un conjunto bien ordenado con $\leq$.
– Reflexividad.
Sea $n\in \mathbb{N}$. Dado que $n=n$ se cumple que $n\leq n$.
– Antisimetría.
Sean $n,m\in \mathbb{N}$. Supongamos que $n\leq m$ y $m\leq n$. Como $n\leq m$, sabemos que $n\in m$ o $n=m$. El caso $n\in m$ lleva a una contradicción, pues como $m\leq n$ entonces o $m=n$ (y llegamos a la contradicción $n\in n$) o $m\in n$ (y llegamos a la contradicción $n\in m$ y $m\in n$). Así, $n=m$.
Los argumentos anteriores muestran que $\leq$ es una relación antisimétrica en $\mathbb{N}$.
– Transitividad.
Sean $n,m,l\in \mathbb{N}$. Supongamos que $n\leq m$ y $m\leq l$. Veamos que $n\leq l$ Dado que $n\leq m$, entonces $n\in m$ o $n=m$ y como $m\leq l$, entonces $m\in l$ o $m=l$. Caso 1: Si $n\in m$ y $m\in l$, entonces $m\subseteq l$ por ser $l$ un conjunto transitivo y así, $n\in l$. Caso 2: Si $n\in m$ y $m=l$, entonces $n\in l$. Caso 3: Si $n=m$ y $m\in l$, entonces $n\in l$. Caso 4: Si $n=m$ y $m=l$, entonces $n=l$. En cualquier caso ocurre que $n\in l$ o $n=l$, es decir, $n\leq l$.
Por lo tanto, $\leq$ es una relación transitiva. Estas propiedades nos permiten concluir que $\leq$ es un orden parcial en $\mathbb{N}$.
Para mostrar que $\mathbb{N}$ es un conjunto bien ordenado con $\leq$, sólo resta probar que cualquier subconjunto no vacío de $\mathbb{N}$ tiene elemento mínimo con respecto a $\leq$.
– Buen orden.
Sea $B\not=\emptyset$ tal que $B\subseteq \mathbb{N}$ y veamos que $B$ tiene elemento mínimo. Dado que $B\not=\emptyset$, podemos fijar $x\in B$. Luego, $x\in \mathbb{N}$ y por tanto $s(x)\in \mathbb{N}$. Consideremos $s(x)\cap B$ conjunto no vacío pues $x\in s(x)$ y $x\in B$. Notemos además que $s(x)\cap B$ es subconjunto no vacío de $s(x)$, por lo que $s(x)\cap B$ tiene elemento mínimo con respecto a $\in$ en $s(x)$.
Sea $k=\min(s(x) \cap B)$. Afirmamos que $k=\min(B)$ en $\leq$. En efecto, si $n\in B$, entonces $n\in s(x)\cap B$ o $n\notin s(x)$; si $n\in s(x)\cap B$, entonces $n=k$ o $k\in n$ pues $k=\min(s(x)\cap B)$ con respecto a $\in$. Supongamos ahora que $n\notin s(x)$. Por un lema visto en esta entrada, y dado que $n$ y $s(x)$ son naturales tales que $n\notin s(x)$ , entonces $s(x)\in n$ o $s(x)=n$. Si $n=s(x)$, entonces $k\in n$ pues $k\in s(x)$. Finalmente, si $s(x)\in n$, entonces $s(x)\subseteq n$ por ser $n$ conjunto transitivo y, en consecuencia, $k\in n$, ya que $k\in s(x)$. En cualquier caso tenemos que $k\leq n$, lo que demuestra que $k=\min(B)$ con respecto a la relación $\leq$ definida en $\mathbb{N}$.
Por lo tanto, $(\mathbb{N}, \leq)$ es un conjunto bien ordenado.
$\square$
Tarea moral
La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido visto en esta sección:
Sea $X$ un subconjunto no vacío de $\mathbb{N}$, demuestra que $\bigcap X\in \mathbb{N}\cap X$. (Nota que esta es una generalización del primer lema que probamos en esta entrada).
Muestra que cualquier subconjunto no vacío de $n\cap m$ tiene elemento máximo.
Más adelante…
En la siguiente entrada haremos una breve pausa en funciones compatibles. Esto nos servirá más adelante para probar el teorema de recursión. Dicho teorema será de utilidad para definir recursivamente a la suma y el producto en el conjunto de los números naturales.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
En esta entrada abordaremos de manera formal el concepto de continuidad en el sentido complejo. El concepto de continuidad en el ámbito matemático se remonta hace cientos de años atrás, aunque fue hasta mediados del siglo XIX cuando matemáticos como Augustin Louis Cauchy comienzan a dar una formulación precisa de dicho concepto. Desde entonces el concepto de continuidad ha sido refinado, abstraído y generalizado para muchas de las ramas de las matemáticas, en particular en el Cálculo y el Análisis.
En el caso real, solíamos asociar la idea intuitiva de que una función real continua era aquella cuya gráfica no tenía «huecos» o «saltos». Sin embargo, como hemos mencionado antes, en el caso complejo nos será imposible visualizar la gráfica de una función compleja, por lo que resulta interesante cuestionarnos sobre cómo podríamos pensar de forma intuitiva dicho concepto en el caso complejo.
Aunque tendremos definiciones similares a las del caso real, no debemos dar por hecho que el comportamiento de las funciones complejas será necesariamente el mismo que el de las funciones reales, de hecho veremos que las funciones complejas extienden ciertas propiedades de las funciones reales de dos variables continuas, pero veremos que en general las funciones complejas se comportan distinto a las funciones vectoriales de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$, pues resultan ser más restrictivas en ciertas propiedades.
Continuidad de funciones complejas
Definición 15.1. (Continuidad de una función compleja.) Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Diremos que $f$ es continua en un punto $z_0\in S$ si para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces $|\,f(z)-f(z_0)\,|<\varepsilon$. Si $f$ es continua en todo punto $z_0 \in S$, entonces diremos que $f$ es continua en $S$. Si $f$ no es continua en $z_0\in S$, entonces diremos que es discontinua en $z_0$.
Ejemplo 15.1 a) Veamos que las funciones $f(z) = \operatorname{Re}(z)$ y $g(z) = \operatorname{Im}(z)$ son continuas para todo $z_0\in\mathbb{C}$. Solución. Sea $z_0 \in \mathbb{C}$. De acuerdo con la observación 3.1 tenemos que: \begin{equation*} |\,\operatorname{Re}(z) – \operatorname{Re}(z_0)\,| \leq |\,z – z_0\,|,\end{equation*} \begin{equation*}|\,\operatorname{Im}(z) – \operatorname{Im}(z_0)\,| \leq |\,z – z_0\,|. \end{equation*} Por lo que para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta = \varepsilon >0$ tal que si $z\in\mathbb{C}$ y $|\,z – z_0\,| < \delta$, entonces: \begin{equation*}|\,f(z) – f(z_0)\,| = |\,\operatorname{Re}(z) – \operatorname{Re}(z_0)\,| < \varepsilon, \end{equation*} \begin{equation*}|\,g(z) – g(z_0)\,| = |\,\operatorname{Im}(z) – \operatorname{Im}(z_0)\,| < \varepsilon. \end{equation*} De donde se sigue el resultado.
b) Veamos que la función $h(z)=|\,z\,|$ es continua para todo $z_0 \in\mathbb{C}$. Solución. Sean $z, z_0\in\mathbb{C}$, con $z_0$ fijo. Por la proposición 3.3 sabemos que: \begin{equation*}|\,|\,z\,| – |\,z_0\,| \,| \leq |\,z – z_0\,|. \end{equation*} Entonces, para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta = \varepsilon>0$ tal que si $z\in\mathbb{C}$ y $|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces: \begin{equation*} |\,h(z) – h(z_0)\,| = |\,|\,z\,| – |\,z_0\,| \,| < \varepsilon. \end{equation*} Por lo que $f$ es continua para todo $z_0\in\mathbb{C}$.
Observación 15.1. Al igual que con el límite, podemos ver que la continuidad de una función compleja $f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$, se puede garantizar a través de la continuidad de las funciones reales $u(x,y)$ y $v(x,y)$, correspondientes con la parte real y la parte imaginaria de $f$. Para ello recordemos la definición de continuidad para una función real de dos variables, vista en nuestros cursos de Cálculo.
Definición 15.2. (Continuidad de una función real de dos variables.) Sean $U\subset\mathbb{R}^2$ y $u:U\to\mathbb{R}$ una función real de dos variables, digamos $x$ e $y$. Para $(x_0, y_0)\in U$ diremos que $u$ es contninua en $(x_0, y_0)$ si para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $(x,y)\in U$ y $\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta$, entonces: \begin{equation*} |u(x,y) – u(x_0,y_0)| < \varepsilon. \end{equation*}
Proposición 15.1. Toda función compleja es continua si y solo si su parte real y su parte imaginaria son continuas.
Demostración. Sean $S \subset \mathbb{C}$ y $f: S \to \mathbb{C}$ una función compleja arbitraria y sea $z = x+iy \in S$.
De acuerdo con la proposición 12.1 sabemos que toda función compleja $f$ puede escribirse de la forma:\begin{equation*} f(z) = u(x,y) + i v(x,y), \end{equation*} donde las funciones reales $u(x,y)$ y $v(x,y)$ son su parte real y su parte imaginaria, respectivamente.
Para $z_0 = x_0 + iy_0\in S$ fijo tenemos por la observación 3.1 que: \begin{equation*} |\,u(x,y) – u(x_0, y_0)\,| \leq |\,f(z) – f(z_0)\,| \leq |\,u(x,y) – u(x_0, y_0)\,| + |\,v(x,y) – v(x_0, y_0)\,|, \end{equation*} \begin{equation*} |\,v(x,y) – v(x_0, y_0)\,| \leq |\,f(z) – f(z_0)\,| \leq |\,u(x,y) – u(x_0, y_0)\,| + |\,v(x,y) – v(x_0, y_0)\,|, \end{equation*} por lo que considerando las definiciones 15.1, 15.2 y las desigualdades anteriores se sigue el resultado.
$\blacksquare$
Observación 15.2. Notemos que en la definición 15.1 se tiene implícita la condición de que:
existe $f(z_0)$.
De acuerdo con la proposición 9.4 de la entrada 9, sabemos que para $z_0 \in S\subset\mathbb{C}$ pueden suceder dos casos:
$z_0$ es un punto aislado de $S$, es decir que $z_0 \in S \setminus S’$,
$z_0$ es un punto de acumulación de $S$, es decir que $z_0 \in S \cap S’$.
Debe ser claro que si $z_0$ es un punto aislado, entonces existe alguna $\delta$-vecindad de $z_0$, digamos $B(z_0,\delta)$, tal que no contiene otros puntos de $S$ aparte de $z_0$, es decir para todo $z\in S$: \begin{equation*} |\,z-z_0\,|<\delta \quad \Longrightarrow \quad z=z_0, \end{equation*} por lo que $|\,f(z) – f(z_0)\,|=0<\varepsilon$. Entonces, de acuerdo con la definición 15.1, una función compleja $f$ es siempre continua en un punto aislado.
Mientras que si $z_0 \in S\cap S’$ también debe cumplirse que:
existe $\lim\limits_{z \to z_0} f(z)$,
y $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)$.
Por lo que basta con que no se cumpla alguna de estas tres condiciones para que una función $f\in\mathcal{F}(S)$ sea discontinua en $z_0\in S\subset\mathbb{C}$.
Ejemplo 15.2. Sea $c\in\mathbb{C}$ una constante y $n\in\mathbb{N}^+$. Consideremos a la función $f(z) = c z^n$. Veamos que $f$ es continua en $\mathbb{C}$.
Solución. De acuerdo con la observación 14.5 de la entrada anterior, para toda $n\in\mathbb{N}^+$ tenemos que: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = c z_0^n. \end{equation*} Por otra parte, tenemos que $f(z_0) = cz_0^n$ para todo $n\in\mathbb{N}^+$, por lo que $f$ es una función continua en $\mathbb{C}$.
Ejemplo 15.3. a) Verificar si la función $f(z) = z^2 – iz + 2$ es continua en $z_0 = 1 – i \in \mathbb{C}$. Solución. De acuerdo con la observación 15.2 para ver si la función $f$ es continua en el punto $z_0 \in \mathbb{C}$ basta con ver que se cumplan las tres condiciones establecidas en dicha observación.
Es claro que $f$ está definida en $z_0$, y es tal que: \begin{equation*} f(z_0) = (1-i)^2 – i(1-i) + 2 = 1 – 3i. \end{equation*}
Por lo tanto $f$ es continua en $z_0 = 1-i \in \mathbb{C}$.
b) Consideremos a la siguiente función: \begin{equation*} f(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} z^2 & \text{si} & z \neq i, \\ 0 & si & z = i. \end{array} \right. \end{equation*} Probar que $f$ no es continua en $z_0 = i$. Solución. Notemos que:
$f$ está definida en $z_0$, y es tal que: \begin{equation*} f(z_0) = 0. \end{equation*}
De acuerdo con la observación 14.6 tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} f(z) &= \left(\lim_{z \to i} z\right)^2\ & = (i)^2 = -1. \end{align*}
Por lo tanto, tenemos que $f$ no es continua en $z_0 = i$.
Observación 15.3. Dado que $\mathbb{C}$ dotado con el módulo es un espacio métrico, entonces son válidas las propiedades de continuidad para espacios métricos probadas en la entrada 9, en particular establecemos la siguiente caracterización.
Proposición 15.2. Sean $S\subset \mathbb{C}$, $z_0 \in S$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Las siguientes condiciones son equivalentes:
$f$ es continua en $z_0$ de acuerdo con la definición 15.1,
para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que: \begin{equation*} B(z_0,\delta) \cap S \subset f^{-1}\left[ B(f(z_0),\varepsilon)\right]. \end{equation*}
$\lim\limits_{n\to\infty} f(z_n) = f(z_0)$, para toda sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1} \subset S$ que converge a $z_0$.
$\blacksquare$
Proposición 15.3. Sean $S\subset \mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Las siguientes condiciones son equivalentes:
$f$ es continua en $S$ de acuerdo con la definición 15.1,
si $U\subset \mathbb{C}$ es abierto en $\mathbb{C}$, entonces $f^{-1}(U)$ es también abierto en $S$,
si $F\subset \mathbb{C}$ es cerrado en $\mathbb{C}$, entonces $f^{-1}(F)$ es también cerrado en $S$.
$\blacksquare$
Proposición 15.4. Sea $H\subset \mathbb{C}$, $g\in\mathcal{F}(H)$ una función tal que $g(H) \subset S \subset\mathbb{C}$ y sea $f\in\mathcal{F}(S)$. Supongamos que $z_0$ es un punto de acumulación de $H$, que $\lim\limits_{z \to z_0} g(z) = w_0 \in S$ y que $f$ es continua en $w_0$. Entonces $\lim\limits_{z \to z_0} f(g(z)) = f(w_0)$, es decir: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(g(z)) = f\left(\lim_{z \to z_0} g(z) \right). \end{equation*}
Demostración. Dadas las hipótesis, tenemos que dado $\varepsilon>0$ existe $\eta>0$ tal que si $w\in S$ y $|\,w – w_0\,| < \eta $ entonces: \begin{equation*} |\,f(w) – f(w_0)\,| < \varepsilon. \end{equation*} Más aún, tenemos que para dicha $\eta>0$ existe un $\delta>0$ tal que si $z\in H$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$ entonces: \begin{equation*} |\,g(z) – w_0\,| < \eta. \end{equation*} Por lo que considerando estas dos implicaciones se sigue que si $z\in H$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$ entonces: \begin{equation*} |\,f(g(z)) – f(w_0)\,| < \varepsilon. \end{equation*} Por lo tanto $\lim\limits_{z \to z_0} f(g(z)) = f(w_0)$.
$\blacksquare$
Proposición 15.5. Sean $S\subset \mathbb{C}$ y $f,g\in\mathcal{F}(S)$ dos funciones continuas en $S$, entonces:
$f \pm g$ es continua en $S$.
$fg$ es continua en $S$. Si $g$ es constante, es decir si $g(z) = c\in\mathbb{C}$ para todo $z\in S$, entonces $cf$ es continua en $S$.
Si $g(z) \neq 0$ para todo $z\in S$, entonces $\dfrac{f}{g}$ es continua en $S$.
Si $z_0 \in S$ y $h$ es una función definida en un conjunto $U \subset f(S)$ tal que $h$ es continua en $f(z_0)$, entonces la composición $h\circ f$ es continua en $z_0$.
Demostración. Utilizando la definición 15.1 y la proposición 14.3 de la entrada anterior es fácil probar el resultado, por lo que se deja como ejercicio al lector.
$\blacksquare$
Corolario 15.1. Los polinomios son continuos en $\mathbb{C}$. Las funciones racionales son continuas en su dominio de definición.
Demostración. Sea $p(z) = c_0 + c_1 z + c_2 z^2 + \cdots + c_n z^n$, con $z\in\mathbb{C}$, un polinomio de coeficientes complejos, es decir $c_i \in\mathbb{C}$ para toda $i\in{0,1,\ldots, n}$, con $c_n\neq 0$.
Procedemos a realizar la prueba por inducción sobre $n$. Notemos que para $n=0$ se tiene que $p(z) = c_0\neq 0$ es una función constante, entonces considerando el ejemplo 14.1(c) de la entrada anterior, tenemos que: \begin{equation*} \lim_{z\to z_0} p(z) = \lim_{z\to z_0} c_0= c_0 = p(z_0), \end{equation*} por lo que en dicho caso $p(z)$ es continuo para todo $z_0\in\mathbb{C}$.
Para $n=1$, tenemos que $p(z) = c_0 + c_1 z$, por lo que considerando la proposición 15.5(1), al ser $c_0$ y $c_1 z$ funciones continuas en $\mathbb{C}$, entonces $p(z) = c_0 + c_1 z$ es continuo para todo $z\in\mathbb{C}$. Supongamos que el polinomio $q(z) = c_0 + \sum_{i = 1}^{k}c_i z^i$, para algún $k\in\mathbb{N}$ fijo, es continuo para todo $z\in\mathbb{C}$.
Para $n=k+1$ tenemos que: \begin{align*} p(z) & = c_0 + \sum_{i = 1}^{k+1}c_i z^i\\ & = c_0 + \sum_{i = 1}^{k}c_i z^i + c_{k+1} z^{k+1}\\ & = q(z) + c_{k+1} z^{k+1}, \end{align*} por hipótesis de inducción tenemos que $q(z)$ es un polinomio continuo y al ser $c_{k+1} z^{k+1}$ una función continua, entonces por la proposición 15.5(1), es claro que para $n=k+1$ el polinomio $p(z)$ es continuo para todo $z\in\mathbb{C}$, por lo que el resultado es válido para todo $n\in\mathbb{N}$.
Por otra parte, consideremos a $f(z) = \dfrac{p(z)}{q(z)}$, la cual es una función racional definida como el cociente de dos polinomios. De acuerdo con la proposición 15.5(3), considerando que todo polinomio es continuo en $\mathbb{C}$ se sigue que $f$ es continua en todo su dominio de definición, es decir en $S =\{z\in\mathbb{C} \, : \, q(z)\neq 0\}$.
$\blacksquare$
Ejemplo 15.4. Considera la siguiente función y determina dónde es continua. \begin{equation*} f(z) = \frac{z-i}{z^2 + 1}. \end{equation*}
Solución. Tenemos que $z^2 + 1 = 0$ si y solo si $z=i$ o $z=-i$, por lo que el dominio natural de $f$ es el conjunto $S = \mathbb{C}\setminus\{i, -i\}$. De acuerdo con el corolario 15.1, dado que $f$ es una función racional entonces $f$ es continua en $S$.
Una pregunta que podemos hacernos es ¿se puede asignar un valor a la función $f$ de tal modo que sea continua en $z=i$?
Notemos que: \begin{equation*} f(z) = \frac{z-i}{z^2 + 1} = \frac{z-i}{(z-i)(z+i)}. \end{equation*} Para $z\neq i$ tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to i} f(z) & = \lim_{z \to i} \frac{z-i}{z^2 + 1}\\ & = \lim_{z \to i} \frac{z-i}{(z-i)(z+i)}\\ & = \lim_{z \to i} \frac{1}{z+i}\\ & = \frac{1}{2i} = -\frac{i}{2}. \end{align*} Por lo que podemos definir a la función: \begin{equation*} g(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{z-i}{z^2 + 1} & \text{si} & z \neq -i, \\ -\dfrac{i}{2} & si & z = i, \end{array} \right. \end{equation*} la cual claramente es una función continua en $z=i$, por lo que la discontinuidad de la función $f(z)$ en el punto $z=i$ pudo removerse.
Definición. 15.3. (Discontinuidad removible.) Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función discontinua en un punto $z_0\in S$. Se dice que $f(z)$ tiene una {\bf discontinuidad removible} en $z_0$ si existe el límite de $f(z)$ en dicho punto y la función no está definida en $z_0$ o tiene asignado un valor distinto al del límite, en tal caso la función $f(z)$ puede hacerse continua definiendo el valor de la función en $z_0$ como el valor del límite.
Si un punto $z_0 \in S$ no es una discontinuidad removible, diremos que es una discontinuidad irremovible.
Ejemplo 15.5. Veamos que la función $f(z) = \dfrac{\operatorname{Re}(z)}{z}$ tiene una discontinuidad irremovible en $z=0$.
Solución. De acuerdo con el corolario 15.1, es claro que la función $f(z)$ no es continua en $z=0$. Veamos que el límite de la función $f(z)$ cuando $z$ tiende a $0$ no existe.
Sea $z=x+iy \neq 0$. Si nos aproximamos a $0$ a lo largo del eje real, es decir si $y=0$ y $z=x$, entonces: \begin{align*} \lim_{z\to 0 } f(z) & = \lim_{z\to 0 } \frac{\operatorname{Re}(z)}{z}\\ & = \lim_{x\to 0 } \frac{x}{x}\\ & = \lim_{x\to 0 } 1\\ & = 1. \end{align*} Por otra parte, si nos aproximamos a $0$ a lo largo del eje imaginario, es decir si $x=0$ y $z=iy$, entonces: \begin{align*} \lim_{z\to 0 } f(z) & = \lim_{z\to 0 } \frac{\operatorname{Re}(z)}{z}\\ & = \lim_{x\to 0 } \frac{0}{iy}\\ & = \lim_{x\to 0 } 0\\ & = 0. \end{align*} Por lo que el $\lim\limits_{z \to 0} f(z)$ no existe. Entonces la función tiene una discontinuidad irremovible en $z=0$.
Ejemplo 15.6. Veamos que la función $f(z) =\operatorname{Arg}(z)$ tiene una discontinuidad irremovible en $z=0$. Más aún, veamos que todo $z$ en el eje real negativo es una discontinuidad irremovible y por tanto que $f$ solo es continua en el dominio $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$.
Solución. Sabemos que para $z=0$ la función argumento principal no está definida, por lo que en $z=0$ dicha función no es continua. Veamos que dicho valor es una discontinuidad irremovible mostrando que el límite en dicho punto no existe.
Sabemos que:
si $z=x>0$, entonces $\operatorname{Arg}(z) = 0$,
si $z=x<0$, entonces $\operatorname{Arg}(z) = \pi$.
Por lo que:
para $x>0$ se tiene que $\lim\limits_{z \to 0} \operatorname{Arg}(z) = \lim\limits_{x \to 0^+} \operatorname{Arg}(z) = 0$,
mientras que para $x<0$ se tiene que $\lim\limits_{z \to 0} \operatorname{Arg}(z) = \lim\limits_{x \to 0^-} \operatorname{Arg}(z) = \pi$.
Por la unicidad del límite concluimos que no existe $\lim\limits_{z \to 0} \operatorname{Arg}(z)$, por lo que $z=0$ es una discontinuidad irremovible.
Sea $z_0\in \mathbb{C}\setminus\{0\}$, tal que $z_0 = x_0 < 0$, fijo, entonces $\operatorname{Arg}(z_0) = \pi$. De acuerdo con la definición de la función $\operatorname{Arg}(z)$ dada en la entrada 13, es claro que para $z=x+iy\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, se tiene que:
si $x<0$ y $y\geq0$, entonces $\operatorname{Arg}(z) = \operatorname{arc\,tan}\left( \frac{y}{x} \right) + \pi$,
si $x<0$ y $y <0$, entonces $\operatorname{Arg}(z) = \operatorname{arc \,tan}\left( \frac{y}{x} \right) – \pi$.
Por lo que, si nos aproximamos a $z_0$ mediante $z = z_0 + iy$ tenemos: \begin{align*} \lim\limits_{z \to z_0} \operatorname{Arg}(z) = \lim\limits_{y \to 0^+} \operatorname{Arg}(z) = \pi,\\ \lim\limits_{z \to z_0} \operatorname{Arg}(z) = \lim\limits_{y \to 0^-} \operatorname{Arg}(z) = -\pi. \end{align*}
Entonces la función $\operatorname{Arg}(z)$ es discontinua en $z_0 = x_0<0$ y desde que no existe $ \lim\limits_{z \to z_0} \operatorname{Arg}(z)$ tenemos que $z_0$ es una discontinuidad irremovible. Como $z_0 = x_0<0$ era arbitrario, entonces todo $z_0 \in (-\infty, 0)$ es una discontinuidad irremovible.
Procedemos a verificar que $f$ es continua en el dominio $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$.
Por la proposición 13.1, entrada 13, sabemos que para $z\neq 0$ si $z \in \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0)$ entonces: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z) = 2 \operatorname{arc tan}\left(\dfrac{y}{|\,z\,| + x}\right), \end{equation*} de donde $u(x,y) = 2 \operatorname{arc tan}\left(\dfrac{y}{|\,z\,| + x}\right)$ y $v(x,y) =0$, las cuales son funciones reales continuas, entonces de la proposición 15.1 se sigue que la función $\operatorname{Arg}(z)$ es continua en $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$.
Observación 15.4. Debe ser claro que la función $f(z) = \operatorname{Arg}(z) = \operatorname{Arg}_{(-\pi, \pi]}(z)$ corresponde con una rama de la función multivaluada $G(z) = \operatorname{arg}(z)$ desde que $f$ es continua en $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] = \left\{ z\in\mathbb{C} : |\,z\,|>0, -\pi < \operatorname{arg} z < \pi \right\}$, dicha rama es llamada la rama principal del argumento.
Más aún, para $\alpha \in \mathbb{R}$ fijo e $I=(\alpha, \alpha+2\pi]$, tenemos por la proposición 13.3 que la función $g(z) = \operatorname{Arg}_I(z)$ está dada por: \begin{equation*} \operatorname{Arg}_I(z) = \operatorname{Arg}\left(-z\operatorname{cis}(-\alpha)\right) + \alpha + \pi, \end{equation*} por lo que podemos verificar que $g$ será continua dónde lo sea $f$.
Veamos entonces que $g$ es continua en $\mathbb{C}\setminus L_\alpha$, donde $L_\alpha = \left\{ r\operatorname{cis}(\alpha) : r \geq 0 \right\}$, figura 69.
Notemos que si $z \in L_\alpha$, entonces $z = r\operatorname{cis}(\alpha)$, con $r = |\,z\,|$ y $\alpha = \operatorname{arg} z$. Claramente $r>0$ pues en $z=0$ la función $f$ no está definida. Entonces, por la prueba de la proposición 13.3 tenemos que: \begin{equation*} -z \operatorname{cis}(-\alpha) = -r\operatorname{cis}(\alpha)\operatorname{cis}(-\alpha) = -r\operatorname{cis}(\alpha – \alpha) = -r(1) = -r, \end{equation*} de donde $-r < 0$, por lo que $-r \in (-\infty, 0)$, pero en dicho conjunto $f$ no es continua, por lo que para $z \in L_\alpha$ la función $g(z) = \operatorname{Arg}_I(z) $ no es continua.
Por otra parte, si $z \in \mathbb{C}\setminus L_\alpha$ tenemos que $z = \rho \operatorname{cis}(\theta)$, con $\rho = |\,z\,|>0$ y $\theta = \operatorname{Arg}_I(z)$, entonces: \begin{equation*} \alpha < \theta < \alpha + 2\pi \quad \Longleftrightarrow \quad -\pi < \theta – \alpha – \pi < \pi, \end{equation*} pues $\operatorname{cis}(\alpha + 2\pi) = \operatorname{cis}(\alpha) \operatorname{cis}(2\pi) = \operatorname{cis}(\alpha)$.
Tenemos que: \begin{equation*} -z \operatorname{cis}(-\alpha) = \operatorname{cis}(-\pi) \, \rho \operatorname{cis}(\theta)\operatorname{cis}(-\alpha) = \rho \operatorname{cis}(\theta – \alpha – \pi ), \end{equation*} por lo que $ -z \operatorname{cis}(-\alpha) \in \mathbb{C}\setminus(-\infty, 0]$, donde $f$ es continua.
Entonces la función $g(z) = \operatorname{Arg}_I(z)$ solo es continua en $\mathbb{C}\setminus L_\alpha$. Por lo tanto, la función $g$ determina una rama de la función multivaluada $G(z) = \operatorname{arg}(z)$, siempre que se defina en el dominio, figura 69: \begin{equation*} D = \mathbb{C}\setminus L_\alpha = \left\{ z\in\mathbb{C} : |\,z\,|>0, \alpha < \operatorname{arg} z < \alpha + 2\pi \right\}. \end{equation*}
Figura 69: Dominio de continuidad $D$ de la rama del argumento $g(z) = \operatorname{Arg}_I(z)$.
Ejemplo 15.7. Veamos que la función $f(z) = z^{1/2}$, correspondiente con la raíz cuadrada principal, definición 13.5, tiene una discontinuidad irremovible en $z=-1$. Más aún, veamos que todo $z$ en el eje real negativo es una discontinuidad irremovible, aún cuando esta función solo asigna una única raíz. Concluyamos que la raíz cuadrada principal es una rama, la rama principal de la función multivaluada $F(z) = z^{1/2}$, solo si se restringe al dominio $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$.
Solución. Sea $z =r\operatorname{cis}(\theta)\neq 0$. De acuerdo con la definición 13.5, la raíz cuadrada principal está dada por: \begin{equation*} f(z) = z^{1/2} = \sqrt{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right), \end{equation*} donde $r=|\,z\,|$ y $\theta =\operatorname{Arg}(z)$.
Sea $z_0 = -1$, veamos que no existe $\lim\limits_{z\to z_0} f(z) = \lim\limits_{z\to -1} z^{1/2}$. Para ello consideremos a la circunferencia unitaria $C(0,1)$, es decir la circunferencia centrada en $z=0$ y de radio $1$, figura 70.
Figura 70: Punto $z\in C(0,1)$ que se aproxima a $z_0=-1$ por dos trayectorias distintas, dadas por la circunferencia $C(0,1)$.
Si $z \in C(0,1)$, entonces podemos aproximarnos a $z_0 = -1$ mediante la trayectoria dada por el cuarto de circunferencia en el segundo cuadrante, es decir $\pi/2 < \operatorname{Arg}(z) < \pi$, con $\operatorname{Arg}(z) \to \pi$, entonces: \begin{align*} \lim_{z\to -1} z^{1/2} & = \lim_{z\to -1} \sqrt{|\,z\,|}\operatorname{cis}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\\ & = \lim_{\operatorname{Arg}(z) \to \pi} \sqrt{1}\operatorname{cis}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\\ & = \lim_{\operatorname{Arg}(z) \to \pi} \left[ \operatorname{cos}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right) + i \operatorname{sen}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\right]\\ & = \operatorname{cos}\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)\\ & = 0 + i(1)\\ & = i. \end{align*}
Si ahora nos aproximamos a $z_0=-1$ con $z\in C(0,1)$ a través de la trayectoria dada por el cuarto de circunferencia en el tercer cuadrante, es decir $-\pi < \operatorname{Arg}(z) < -\pi/$, con $\operatorname{Arg}(z) \to -\pi$, entonces: \begin{align*} \lim_{z\to -1} z^{1/2} & = \lim_{z\to -1} \sqrt{|\,z\,|}\operatorname{cis}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\\ & = \lim_{\operatorname{Arg}(z) \to -\pi} \sqrt{1}\operatorname{cis}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\\ & = \lim_{\operatorname{Arg}(z) \to -\pi} \left[ \operatorname{cos}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right) + i \operatorname{sen}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\right]\\ & = \operatorname{cos}\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{2}\right)\\ & = 0 + i(-1)\\ & = -i. \end{align*}
Dado que estos dos límites son distintos, concluimos que $\lim\limits_{z\to -1} z^{1/2}$ no existe, por tanto $z_0 = -1$ es una discontinuidad irremovible.
De manera similar podemos probar que cualquier punto en el eje real negativo es una discontinuidad irremovible. Sin embargo, desde que la función $\operatorname{Arg}(z)$ es discontinua en $(-\infty, 0]$ y la función $f$ está dada en términos de dicha función, debe ser claro que $f$ será discontinua en el mismo conjunto.
Procedemos a verificar que $f$ es continua en el dominio $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$, es decir que bajo esa restricción obtenemos una rama de la función multivaluada $F(z) = z^{1/2}$, a la cual llamamos la rama principal $f_0$, es decir: \begin{equation*} f_0(z) = z^{1/2} = \sqrt{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right), \end{equation*} donde $r=|\,z\,|$ y $\theta =\operatorname{Arg}(z)$ y $z \in \mathbb{C} \setminus(-\infty,0] = \left\{ w\in\mathbb{C} : |\,w\,|>0, -\pi < \operatorname{Arg}(w) <\pi \right\}$.
Como las funciones $u(x,y)$ y $v(x,y)$ son funciones reales continuas, entonces por la proposición 15.1 concluimos que la función $f_0$ es continua en $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$ y por tanto que es una rama de la función multivaluada $F(z) = z^{1/2}$.
Observación 15.5. Considerando la definición 14.2 y la proposición 14.4 de la entrada anterior, notemos que podemos extender el concepto de continuidad para funciones definidas sobre el plano complejo extendido, es decir, diremos que una función $f: \mathbb{C}_\infty \to \mathbb{C}_\infty$ es continua en $\infty$ si \begin{equation*} f(\infty) = \lim_{z\to \infty} f(z) \end{equation*} y si $f(a) = \infty$, entonces $f$ es continua en $a$ si \begin{equation*} f(a) = \infty =\lim_{z\to a} f(z). \end{equation*}
Ejemplo 15.8. Consideremos a la siguiente función: \begin{equation*} f(z) = \frac{z+i}{z-i}. \end{equation*} Es claro que dicha función no está definida en $z=i$. Sin embargo, dado que: \begin{equation*} f(i) = \infty = \lim_{z\to i} f(z) \end{equation*} y \begin{equation*} f(\infty) = 1 = \lim_{z\to \infty} f(z), \end{equation*} entonces definiendo: \begin{equation*} g(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{z+i}{z-i} & \text{si} & z \neq i, \\ 1 & \text{si} & z = \infty, \\ \infty & \text{si} & z = i, \end{array} \right. \end{equation*} es claro que $g$ es una función continua de $\mathbb{C}_\infty$ en $\mathbb{C}_\infty$.
De acuerdo con los resultados de la entrada 10 para funciones continuas entre espacios métricos, tenemos que son válidas las siguientes afirmaciones para funciones complejas continuas.
Proposición 15.6. (Funciones continuas sobre conjuntos conexos y compactos.) Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función continua en $S$.
Si $S$ es un conjunto conexo, entonces $f(S)$ es también conexo.
Si $S$ es un conjunto compacto, entonces $f(S)$ es también compacto.
$\blacksquare$
Cerraremos esta entrada con el siguiente concepto.
Definición 15.4. (Continuidad uniforme.) Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Diremos que $f$ es uniformemente continua en $S$, si para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ (que depende solo de $\varepsilon$) tal que si $z, w \in S$ y $|\,z-w\,|<\delta$ entonces $|\,f(z) – f(w)\,|<\varepsilon$.
Ejemplo 15.9. Sea $f(z) = \overline{z}$ definida en $\mathbb{C}$. Veamos que $f$ es uniformemente continua en $\mathbb{C}$.
Solución. Para $z,w\in\mathbb{C}$ tenemos que: \begin{equation*} |\,f(z) – f(w)\,| = |\,\overline{z} – \overline{w}\,| = |\,\overline{\overline{z} – \overline{w}}\,| = |\,z-w\,| < \varepsilon, \end{equation*} por lo que tomando $\delta=\varepsilon>0$ se cumple la definición.
Observación 15.6. De acuerdo con la definición 15.4, notamos que el concepto de continuidad uniforme es más restrictivo que el de continuidad de una función, por lo que la continuidad uniforme estará sujeta al conjunto $S$ en el que la función esté definida, para ver esto consideremos el siguiente:
Ejemplo 15.10. a) Sea $f(z) = z^2$ definida en $S = B(0,1)$. Veamos que $f$ es uniformemente continua en $S$.
Solución. Notemos que para $z,w\in S$ se tiene que $|\,z\,|<1$ y $|\,w\,|<1$. Entonces: \begin{align*} |\,f(z) – f(w)\,| & = |\,z^2 – w^2\,|\\ & = |\,z – w\,| |\,z + w\,|\\ & < \left( |\,z\,| + |\,w\,|\right) \delta\\ & < 2\delta <\varepsilon, \end{align*} por lo que basta con tomar $\delta = \frac{\varepsilon}{2}>0$ para que se cumpla la definición.
b) Sea $f(z) = z^2$ definida en $\mathbb{C}$. Veamos que $f$ no es uniformemente continua en $\mathbb{C}$.
Solución. Sea $\varepsilon=1$, entonces dado $\delta>0$, por la propiedad arquimediana existe $n\in\mathbb{N}^+$ tal que $n\delta >1$. Sean $z = n$ y $w=n+\frac{\delta}{2}$, entonces se tiene que $|\,z-w\,|=\frac{\delta}{2} < \delta$, pero: \begin{align*} |\,f(z) – f(w)\,| & = |\,z^2 – w^2\,|\\ & = n^2 + n\delta +\frac{\delta^2}{4} – n^2\\ & = n\delta +\frac{\delta^2}{4} > n\delta > 1 = \varepsilon, \end{align*} por lo que $f$ no es uniformemente continua en $\mathbb{C}$.
Proposición 15.7. Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Las siguientes afirmaciones son equivalentes.
$f$ es uniformemente continua en $S$,
$\operatorname{Re} f$ e $\operatorname{Im} f$ son uniformemente continuas en $S$,
para cualesquiera sucesiones $\{z_n\}_{n\geq 1}$ y $\{w_n\}_{n\geq 1}$ en $S$ tales que $\lim\limits_{n\to\infty} |\,z_n – w_n\,| = 0$, se cumple que $\lim\limits_{n\to\infty} |\,f(z_n) – f(w_n)\,| = 0$.
Dadas las hipótesis, tenemos que: $1. \Leftrightarrow 2.$ Su prueba es análoga a la de la proposición 15.1, por lo que se deja como ejercicio al lector.
$1. \Rightarrow 3. $ Sean $\{z_n\}_{n\geq 1}$ y $\{w_n\}_{n\geq 1}$ dos sucesiones en $S$ tales que $\lim\limits_{n\to\infty} |\,z_n – w_n\,| = 0$ y supongamos que $f$ es uniformemente continua en $S$.
Sea $\varepsilon>0$, entonces existe $\delta>0$ tal que si $z,w\in S$ y $|\,z-w\,|<\delta$, entonces $|\,f(z) – f(w)\,|<\varepsilon$. Como $\lim\limits_{n\to\infty} |\,z_n – w_n\,| = 0$, entonces para el $\delta>0$ se tiene que existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*} |\,|\,z_n – w_n\,| – 0 \,| = |\,z_n – w_n\,| < \delta, \quad \forall n\geq N, \end{equation*} por lo que para toda $n\geq N$ se cumple que: \begin{equation*} |\,|\,f(z_n) – f(w_n)\,| – 0 \,| = |\,f(z_n) – f(w_n)\,| < \varepsilon, \end{equation*} es decir que $\lim\limits_{n\to\infty} |\,f(z_n) – f(w_n)\,| = 0$.
$3. \Rightarrow 1.$ Sean $\{z_n\}_{n\geq 1}$ y $\{w_n\}_{n\geq 1}$ dos sucesiones en $S$ tales que si $\lim\limits_{n\to\infty} |\,z_n – w_n\,| = 0$, entonces $\lim\limits_{n\to\infty} |\,f(z_n) – f(w_n)\,| = 0$.
Por reducción al absurdo, supongamos que $f$ no es uniformemente continua en $S$, entonces existe $\varepsilon>0$ tal que para todo $\delta>0$ existen $z,w\in S$ tales que $|\,z-w\,|<\delta$ y $|\,f(z) – f(w)\,|\geq \varepsilon$.
Tenemos que para todo $n\in\mathbb{N}^+$ se tiene que $z_n, w_n \in S$ y $\frac{1}{n}>0$, por lo que: \begin{equation*} |\,z_n – w_n\,|<\frac{1}{n} \quad \text{y} \quad |\,f(z_n) – f(w_n)\,|\geq \varepsilon, \end{equation*} lo cual contradice nuestra hipótesis, por lo que $f$ es uniformemente convergente.
Tarea moral
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Prueba que $f$ es continua en $z_0 \in S$ si y solo si $\overline{f}$ es continua en $z_0 \in S$.
Sea $S = [a,b] = \{ x\in\mathbb{R} \, : \, a\leq x \leq b\}$. Considera a $S\subset \mathbb{C}$ y sea $f: S \to \mathbb{C}$ una función compleja de variable real. Tomando $z=x+i0$ podemos escribir $f(z) = u(x) + i v(x)$. Prueba que $f$ es continua si y solo si $u$ y $v$ son continuas.
Analiza la continuidad de la función: \begin{equation*} f(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{z^3 – 1}{z-1} & \text{si} & |\,z\,| \neq 1, \\ 3 & \text{si} & |\,z\,| = 1, \end{array} \right. \end{equation*} en los puntos $z_0 = 1$, $z_1 = -1$, $z_2 = i$ y $z_3 = -i$.
Analiza la continuidad de las siguientes funciones y determina el valor de $f(z)$ en el punto $z_0$ de tal forma que la función sea continua en dicho punto. a) $f(z) = \dfrac{z^3 – z_0}{z – z_0}$. b) $f(z) = \left(\dfrac{1}{z – z_0}\right)\left( \dfrac{1}{z} – \dfrac{1}{z_0}\right)$. c) $f(z) = \dfrac{\operatorname{Re}(z) \operatorname{Im}(z)}{|\,z\,|^2}$. d) $f(z) = \dfrac{\left(\operatorname{Re}(z)\right)^2 – \left(\operatorname{Im}(z)\right)^2}{|\,z\,|^2}$.
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Prueba que si $f$ es continua en $z_0 \in S$, entonces $|\,f\,|$ es continua en $z_0 \in S$. ¿Es cierto el recíproco?
Considera la siguiente función definida en $\mathbb{C}_\infty$: \begin{equation*} f(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{z+1}{4z+3} & \text{si} & z \neq \frac{-3}{4}, \\ \infty & \text{si} & z = \frac{-3}{4}. \end{array} \right. \end{equation*} Analiza la continuidad de $f$ en $z = -\frac{3}{4}$.
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Prueba que si $f$ es uniformemente continua en $S$, entonces $f$ es continua en $S$. ¿Es cierto el recíproco?
Sea $f(z)=\dfrac{1}{z^2}$, prueba que: a) $f$ es uniformemente continua en $S = \left\{z\in\mathbb{C} : \frac{1}{2} \leq |\,z\,| \leq 1\right\}$, b) $f$ no es uniformemente continua en $S = \{z\in\mathbb{C} : |\,z\,| \leq 1\}$.
Más adelante…
En esta entrada hemos abordado de manera formal el concepto de continuidad y continuidad uniforme para funciones complejas. Caracterizamos la continuidad (y la continuidad uniforme) de las funciones complejas a través de la continuidad (y la continuidad uniforme) de su parte real e imaginaria, en particular vimos que toda función compleja continua es de la forma $f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$.
Aunque las definiciones que hemos dado en esta entrada son muy similares a las de las funciones reales, veremos en la siguiente entrada que al trabajar con funciones complejas algunos conceptos se vuelven más restrictivos para estas funciones, el cual es el caso de la diferenciabilidad compleja.
La siguiente entrada abordaremos la diferenciabilidad en el sentido complejo y veremos que la diferenciabilidad para $\mathbb{R}^2$, que hemos estudiado en nuestros cursos de Cálculo, no bastará para garantizar la diferenciabilidad en el sentido complejo.
A lo largo de nuestros cursos de Cálculo hemos trabajado con el concepto de límite a detalle, ya que como sabemos, conceptos esenciales en la teoría de las funciones reales como el de continuidad y derivada, además de muchos otros, tienen sustento y se definen precisamente a través del límite. Intuitivamente sabemos que el límite de una función real, cuando existe, digamos $\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = L$, nos dice que los valores de la función $f$ estarán tan cercanos al número real $L$ siempre que $x$ esté próximo a $x_0$, pero sin llegar a ser igual a dicho valor.
En esta entrada veremos que al igual que en el caso real, el concepto de límite para funciones complejas nos permitirá hablar de la continuidad y la diferenciabilidad de una función compleja. Aunque el concepto de límite para funciones complejas será idéntico a nuestra idea de proximidad en el caso real, veremos que el caso complejo es mucho más rico ya que aquí consideraremos más de dos posibles direcciones en que un número complejo se aproxime a otro.
Límite complejo
Recordemos que para $S\subset\mathbb{C}$, el conjunto $S’$ denota al conjunto de los puntos de acumulación de $S$.
Definición 14.1. (Límite de una función compleja.) Sea $S \subset \mathbb{C}$ y sea $z_0 \in S’$. Dada $f\in\mathcal{F}(S)$, diremos que el número complejo $L\in\mathbb{C}$ es el límite de $f(z)$ cuando z tiende a $z_0$, lo cual denotamos como $\lim\limits_{z\to z_0} f(z) = L$, si para todo $\varepsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $0<|\,z – z_0\,|<\delta$ entonces $|\,f(z) – L\,|<\varepsilon$.
Observación 14.1. En caso de existir el límite, este es único. Supongamos que $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = L_1$ y $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = L_2$. Por la definición 14.1 tenemos que dado $\varepsilon>0$ existen $\delta_1>0$ y $\delta_2>0$ tales que si $z\in S$ y $0<|\,z – z_0\,|<\delta_1$, $0<|\,z – z_0\,|<\delta_2$, entonces $|\,f(z) – L_1\,|<\frac{\varepsilon}{2}$ y $|\,f(z) – L_2\,|<\frac{\varepsilon}{2}$. Como $z_0 \in S’$, entonces para $\delta = \text{mín}\{\delta_1, \delta_2\} > 0$ existe $z^* \in S$ tal que $0<|\,z^* – z_0\,| < \delta$, por lo que: \begin{equation*} |\,L_1 – L_2\,| \leq |\,f(z^*) – L_1\,| + |\,f(z^*) – L_2\,| < \varepsilon. \end{equation*} Como se cumple para todo $\varepsilon>0$, entonces $L_1 = L_2$.
Observación 14.2. Primeramente, notemos que la existencia del límite $L$ no depende de que la función $f$ esté definida en el punto $z_0$. Por otra parte, de acuerdo con la observación 14.1 tenemos que para garantizar la existencia de $\lim\limits_{z \to z_0} f(z)$, debe suceder que la función $f$ evaluada en $z$ se aproxime siempre al mismo número complejo $L$, esto sin importar la forma en que $z$ se aproxime a $z_0$, figura 68. Es decir, si $f$ se aproxima a dos números complejos distintos, digamos $L_1$ y $L_2$, cuando $z$ se aproxima a $z_0$ siguiendo dos trayectorias distintas, entonces $\lim\limits_{z \to z_0} f(z)$ no existe.
Figura 68: Gráfica de los planos $z$ y $w$ donde se representan dos posibles formas en que $f(z)$ se aproxima a $L$ conforme $z$ se aproxima a $z_0$. La existencia del límite no depende de la forma en que $z$ se aproxime a $z_0$.
Ejemplo 14.1. a) Consideremos la siguiente función: \begin{equation*} f(z)= \dfrac{z^2 + 4}{z-2i}. \end{equation*} Es claro que el dominio natural de $f$ es $S = \mathbb{C} \setminus\{2i\}$. Sin embargo, veamos que $\lim\limits_{z \to 2i} f(z) = 4i$.
Solución. Sea $z \in S$. Notemos que: \begin{equation*} \dfrac{z^2 + 4}{z-2i} \,-\, 4i = \dfrac{(z+2i)(z-2i)}{z-2i} \,- \, 4i = z – 2i, \end{equation*} por lo que:
\begin{equation*}|\,f(z) – 4i\,| = |\,z – 2i\,|. \end{equation*} Entonces para $\varepsilon>0$ definimos $\delta = \varepsilon$, entonces $|\,f(z) – 4i\,|<\varepsilon$ si $0<|\,z – 2i\,|<\delta$, es decir $\lim\limits_{z \to 2i} f(z) = 4i$.
b) Consideremos a la función $f(z) = \overline{z}^2 – 2$. Es claro que la función $f$ está definida en todo $\mathbb{C}$. Veamos que $\lim\limits_{z\to 1-i} f(z) = -2 + 2i$.
Solución. Sean $z\in\mathbb{C}$ y $\varepsilon>0$. Notemos que: \begin{align*}|\,\overline{z}^2 – 2 -(-2+2i)\,| & = |\,\overline{z}^2 – 2i\,| = |\,\overline{\overline{z}^2 – 2i}\,| = |\,z^2 + 2i\,|\\ & = |\,z-(1-i)\,| \, |\,z+(1-i)\,|\\ &\leq |\,z-(1-i)\,| \, \bigg( |\,z-(1-i)\,| + 2|\,1-i\,| \bigg). \end{align*} Haciendo $0<|\,z-(1-i)\,|<1$ tenemos que: \begin{align*} |\,\overline{z}^2 – 2 -(-2+2i)\,| &\leq |\,z-(1-i)\,| \, \bigg( 1 + 2\sqrt{2} \bigg) \end{align*} Por lo que tomando $\delta= \text{mín}\left\{1, \dfrac{\varepsilon}{1+2\sqrt{2}}\right\}>0$, se sigue que si $0<|\,z-(1-i)\,|<\delta$ entonces: \begin{equation*} |\,f(z) – (-2+i)\,| = |\,\overline{z}^2 – 2 -(-2+2i)\,| < \varepsilon. \end{equation*} Por lo tanto $\lim\limits_{z\to 1-i} f(z) = -2 + 2i$.
c) Sea $c\in\mathbb{C}$ una constante. Consideremos a las funciones $f(z) = c$, $g(z)=z$ y $h(z)=\overline{z}$. Es claro que dichas funciones complejas están definidas en todo $\mathbb{C}$. Entonces para todo $z_0\in\mathbb{C}$ se cumple que para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta = \varepsilon>0$ tal que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} f(z) = c,\\ \lim_{z \to z_0} g(z) = z_0,\\ \lim_{z \to z_0} h(z) = \overline{z_0}. \end{align*}
Ejemplo 14.2. Consideremos a la función: \begin{equation*} f(z) = \dfrac{z}{\overline{z}}, \end{equation*} cuyo dominio es $S =\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Veamos que $\lim\limits_{z\to 0} f(z)$ no existe.
Solución. De acuerdo con la observación 14.2, basta encontrar dos trayectorias por las que $z$ se aproxime a $0$ que nos den valores distintos para dicho límite.
Notemos que si nos acercamos a $0$ a través del eje real, es decir tomando $z=x+i0$, con $x\rightarrow 0$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z \to 0} f(z) = \lim_{z \to 0} \dfrac{z}{\overline{z}} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x+i0}{x-i0} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{x} = 1. \end{equation*}
Mientras que si nos acercamos a $0$ a través del eje imaginario, es decir tomando $z=0+iy$, con $y\rightarrow 0$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z \to 0} f(z) = \lim_{z \to 0} \dfrac{z}{\overline{z}} = \lim_{y \to 0} \dfrac{0+iy}{0-iy} = \lim_{y \to 0} \dfrac{iy}{-iy} = -1. \end{equation*}
Por lo que $\lim\limits_{z\to 0} f(z)$ no existe.
Observación 14.3. De acuerdo con la proposición 8.6 de la entrada 8, tenemos que para $z_0\in\mathbb{C}$ y $S\subset\mathbb{C}$ se cumple que $z_0$ es un punto de acumulación de $S$ si y solo si existe una sucesión $\{z_n\}_{n \geq 1}$ en $S$ tal que $z_n \neq z_0$ para todo $n\in \mathbb{N}^+$ y $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = z_0$.
Este resultado es útil para caracterizar la existencia del límite de una función compleja a través de sucesiones complejas, para ello planteamos la siguiente:
Proposición 14.1. Sean $S \subset \mathbb{C}$, $z_0\in S’$, $L\in\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Entonces se cumple que $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = L$ si y solo si $\lim\limits_{n \to \infty} f(z_n) = L$, para toda sucesión $\{z_n\}_{n \geq 1} \subset S$ tal que $z_n \neq z_0$ para todo $n\in \mathbb{N}^+$ y $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = z_0$.
Demostración. Dadas las hipótesis tenemos:
$\Rightarrow)$ Supongamos que $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = L$. Veamos que $\lim\limits_{n \to \infty} f(z_n) = L$, para toda sucesión $\{z_n\}_{n \geq 1} \subset S$ tal que $z_n \neq z_0$ para todo $n\in \mathbb{N}^+$ y $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = z_0$.
Dado $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $0<|z-z_0|<\delta$, entonces $0<|f(z)-L|<\varepsilon$.
Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}\subset S$ una sucesión tal que $z_n \neq z_0$ para todo $n\in\mathbb{N}^+$ y $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z_0$. Para $\delta>0$ se cumple para toda $n\geq N$ que $0<|\,z_n – z_0\,|<\delta$. Por lo tanto: \begin{equation*} |\,f(z_n) – L\,| < \varepsilon, \quad \forall n\geq N, \end{equation*} es decir que $\lim\limits_{n \to \infty} f(z_n) = L$.
$(\Leftarrow$ Supongamos que para toda sucesión $\{z_n\}_{n \geq 1} \subset S$ tal que $z_n \neq z_0$ para todo $n\in \mathbb{N}^+$ y $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = z_0$, se cumple que $\lim\limits_{n \to \infty} f(z_n) = L$. Veamos que $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = L$.
Por reducción al absurdo supongamos que $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) \neq L$. Entonces existe $\varepsilon>0$ tal que para todo $\delta>0$ existe $z_\delta \in S$ tal que $0<|\,z_\delta – z_0\,| < \delta$ y $0<|\,f(z_\delta) – L\,| \geq \varepsilon$.
Dado que para toda $n\in \mathbb{N}^+$ se cumple que $\frac{1}{n}$ es positivo, entonces existe $z_n \in S$ tal que: \begin{equation*} 0<|\,z_n – z_0\,|<\frac{1}{n} \quad \text{y} \quad |\,f(z_n) – L\,| \geq \varepsilon, \end{equation*} es decir que la sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$, con $z_n \neq z_0$ para todo $n\in\mathbb{N}^+$, converge a $z_0$, pero la sucesión $\{f(z_n)\}_{n\geq 1}$ no converge a $L$, lo cual contradice nuestra hipótesis, por lo que $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = L$.
$\blacksquare$
Observación 14.4. De acuerdo con la proposición 12.1 de la entrada 12, sabemos que toda función compleja $f$ puede escribirse de la forma: \begin{equation*} f(z) = u(x,y) + i v(x,y), \end{equation*} con $u(x,y)$ y $v(x,y)$ funciones reales que corresponden con su parte real e imaginaria, respectivamente. Veamos que podemos garantizar la existencia del límite de una función compleja a través de estas funciones, para ello recordemos primeramente la definición de límite para una función real de dos variables, vista en nuestros cursos de Cálculo.
Definición 14.2. (Límite de una función real de dos variables.) Sean $U\subset\mathbb{R}^2$ un conjunto abierto y $u: U\to \mathbb{R}$ una función real de dos variables, digamos $x$ e $y$. Para $(x_0, y_0) \in U’$ y $a\in \mathbb{R}$ diremos que: \begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} u(x,y) = a, \end{equation*} si para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $(x,y)\in U$ y $0<\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta$, entonces: \begin{equation*} |u(x,y) – a| < \varepsilon. \end{equation*}
Proposición 14.2. Sean $S\subset\mathbb{C}$, $z_0=x_0+iy_0\in S’$ y $L=a+ib\in\mathbb{C}$. Entonces para toda función compleja $f(z) = u(z)+iv(z)$ definida en $S$ se cumple que: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = L \quad \text{si y solo si} \quad \lim_{z \to z_0} u(z) = a \,\,\, \text{y} \,\, \lim_{z \to z_0} v(z) = b. \end{equation*}
Demostración. Dadas las hipótesis, de acuerdo con la observación 3.1 tenemos que para todo $z=x+iy\in S$ se cumple que: \begin{equation*} |\,u(z) – a\,| \leq |\,f(z) – L\,| \leq |\,u(z) – a\,| + |\,v(z) – b\,|, \end{equation*} \begin{equation*} |\,v(z) – b\,| \leq |\,f(z) – L\,| \leq |\,u(z) – a\,| + |\,v(z) – b\,|. \end{equation*} Considerando las definiciones 14.1, 14.2 y las desigualdades anteriores se sigue el resultado.
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De acuerdo con la proposición 14.2, tenemos que la existencia de un límite en $\mathbb{C}$ está garantizada por la existencia de los límites de dos funciones reales, por lo que podemos utilizar los resultados que conocemos para límites de funciones reales de dos variables para verificar si dicho límite existe en $\mathbb{C}$.
Ejemplo 14.3. Consideremos a la función $f(z) = z^2$, la cual está definida en todo $\mathbb{C}$. Veamos que para todo $z_0\in\mathbb{C}$ se cumple: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = z_0^2. \end{equation*}
Solución. Procediendo por la definición 14.1 es fácil probar la existencia de dicho límite. Sin embargo, podemos hacer uso de la proposición 14.2 para probar el resultado.
Sean $z=x+iy, z_0 = x_0+iy_0 \in \mathbb{C}$ con $z_0$ fijo. Entonces tenemos que: \begin{equation*} f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y), \end{equation*} donde $\operatorname{Re}(f(z)) = u(x,y) = x^2 -y^2$ e $\operatorname{Im}(f(z))=v(x,y) = 2xy$. Tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} \operatorname{Re}(f(z)) = \lim_{\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}} u(x,y) = x_0^2 – y_0^2,\\ \lim_{z \to z_0} \operatorname{Im}(f(z)) = \lim_{\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}} v(x,y) = 2x_0 y_0. \end{align*} Por lo tanto $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = x_0^2 – y_0^2 + i2x_0y_0 = z_0^2$.
Observación 14.5. Notemos que para la función $f(z)=z^n$, con $n\in\mathbb{N}^+$ y $z\in\mathbb{C}$, se puede probar por inducción que para todo $z_0\in\mathbb{C}$: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = \lim_{z \to z_0} z^n = z_0^n. \end{equation*}
Proposición 14.3. (Álgebra de límites.) Sean $f,g\in\mathcal{F}(S)$, sea $z_0 \in S’$ y sean $c, L_1, L_2 \in \mathbb{C}$. Supongamos que $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = L_1$, $\lim\limits_{z \to z_0} g(z) = L_2$. Entonces:
$\lim\limits_{z \to z_0} \left[f(z) \pm c g(z)\right] = L_1 \pm c \, L_2$.
Si $L_2 \neq 0$, entonces $\lim\limits_{z \to z_0} \left[\dfrac{f(z)}{g(z)}\right] = \dfrac{L_1}{ L_2}$.
Demostración. Dadas las hipótesis, tenemos que:
Si $c = 0$ entonces se sigue el resultado. Supongamos que $c\neq 0$ y sea $\varepsilon>0$, entonces existen $\delta_1>0$, $\delta_2>0$ tales que si $z\in S$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta_1$, $0<|\,z-z_0\,|<\delta_2$, entonces: \begin{align*} |\,f(z) – L_1\,| < \frac{\varepsilon}{2},\\ |\,g(z) – L_2\,| < \frac{\varepsilon}{2|c|}. \end{align*} Por lo que tomando $\delta = \text{mín}\{\delta_1, \delta_2\}>0$, tenemos que si $z\in S$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces: \begin{equation*} |\,f(z) \pm cg(z) – (L_1 \pm c \, L_2) \,| \leq |\,f(z) – L_1\,| + |\,c\,| \, |\,g(z) – L_2\,| < \varepsilon. \end{equation*}
Se deja como ejercicio al lector.
Se deja como ejercicio al lector.
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Observación 14.6. De acuerdo con la proposición 14.3 y el inciso (c) del ejemplo 14.1, podemos calcular de forma inmediata el límite de un polinomio en cualquier punto, o el límite de una función racional en un punto donde dicha función esté definida, simplemente evaluando el polinomio o la función racional en el punto dado.
Ejemplo 14.4. Hallar cada uno de los siguientes límites: a) $\lim\limits_{z \to 3i} \dfrac{z^2 + 9}{z – 3i}$. b) $\lim\limits_{z \to 2+3i} (z – 5i)^2$. c) $\lim\limits_{z \to i} 3z^2 + 2z -1$.
Solución. Considerando la observación 14.6 y las propiedades de los límites tenemos: a) \begin{align*} \lim_{z \to 3i} \dfrac{z^2 + 9}{z – 3i} & = \lim_{z \to 3i} \dfrac{(z + 3i)(z – 3i)}{z – 3i}\\ & = \lim_{z \to 3i} z + 3i\\ & = \lim_{z \to 3i} z + \lim_{z \to 3i} 3i\\ & = 3i + 3i\\ & = 6i. \end{align*}
De acuerdo con la proposición 14.3, tenemos que las propiedades de los límites para funciones reales se extienden para el caso complejo. Veamos que otras propiedades de los límites para funciones reales pueden ser modificadas para el caso de funciones complejas.
Proposición 14.4. (Teorema de comparación.) Sean $S\subset\mathbb{C}$, $f,g\in\mathcal{F}(S)$ dos funciones y $z_0\in S’$.
Si $\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=0$ y para algún $r>0$ se cumple que $|\,g(z)\,| \leq |\,f(z)\,|$ para toda $z\in B(z_0,r)\setminus\{z_0\}$, entonces $\lim\limits_{z\to z_0} g(z)=0$.
Si $\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=0$ y para algún $r>0$ se cumple que existe $M>0$ tal que $|\,g(z)\,| \leq M$ para toda $z\in B(z_0,r)\setminus\{z_0\}$, entonces $\lim\limits_{z\to z_0} f(z) g(z) =0$.
Demostración. Dadas la hipótesis, tenemos que:
Para $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces $|\,f(z)\,|<\varepsilon$. Sea $z\in B(z_0,\delta)\setminus\{z_0\}$, entonces $|\,g(z)\,| \leq |\,f(z)\,|$, por lo que $|\,g(z) – 0\,| < \varepsilon$ siempre que $0<|\,z-z_0\,|<\delta$, es decir $\lim\limits_{z\to z_0} g(z)=0$.
Para $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces $|\,f(z)\,|<\varepsilon$. Dado que para $z\in B(z_0,\delta)\setminus\{z_0\}$ se cumple que existe $M>0$ tal que $|\,g(z)\,| \leq M$, entonces para $0<|\,z-z_0\,|<\delta$ tenemos que: \begin{equation*} 0 \leq |\,f(z) g(z)\,| \leq M |\,f(z)\,|. \end{equation*} De acuerdo con el ejercicio 3 de esta entrada y la proposición 14.3(2) tenemos que $\lim\limits_{z\to z_0} M |f(z)| =0$, entonces considerando el inciso anterior se cumple que $\lim\limits_{z\to z_0} f(z) g(z) =0$.
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Consideremos ahora a la función $f(z) = 1/z$, dada en el ejemplo 12.1(d). Al pensarla como una función compleja definida en $\mathbb{C}$, es claro que el dominio $S$ de dicha función es $S = \mathbb{C}\setminus\{0\}$. Sin embargo, considerando al plano complejo extendido tomemos $f:S\subset\mathbb{C}_\infty \to \mathbb{C}_\infty$, por lo que podemos definir a la imagen de $z=0$ bajo dicha función como el punto al infinito, es decir $w = f(z) = \infty$. Es claro que al trabajar con $\mathbb{C}_\infty$ la función f es biyectiva, por lo que podemos pensar en la inversa de $f$, es decir en $z = f^{-1}(w) = 1/w$. Entonces ¿qué pasa con $\lim\limits_{w\to 0} f(f^{-1}(w))$? ¿y con $\lim\limits_{z \to \infty} f(z)$? ¿Qué relación hay entre dichos límites?
Por otra parte, como vimos en la entrada 11, cuando pensamos en que un número complejo tiende a infinito, lo cual denotamos como $z \to \infty$, estamos considerando que su módulo crece de manera arbitraria, es decir $|\,z\,| \to \infty$. Del mismo modo al hablar de una función $f$ que tiende a infinito, lo cual denotamos como $f(z) \to \infty$, estamos considerando que el módulo de dicha función crece de forma arbitraria, es decir $|\,f(z)\,| \to \infty$.
Para formalizar todo lo anterior consideremos las siguientes definiciones.
Definición 14.3. ($\rho$-vecindad de $\infty$.) Sea $\rho>0$ suficientemente pequeño. En el plano complejo extendido $\mathbb{C}_\infty$, una $\rho$-vecindad de $\infty$ o simplemente una vecindad de $\infty$, es el conjunto: \begin{equation*} B(\infty, \rho) = \left\{z\in\mathbb{C} \,: \, \frac{1}{\rho} < |\,z\,| \right\}. \end{equation*} Un conjunto $U\subset\mathbb{C}_\infty$ abierto que contenga a una $\rho$-vecindad de $\infty$, para algún $\rho>0$, es también una $\rho$-vecindad de $\infty$.
Definición 14.4. (Límites al infinito e infinitos.) Sea $f:S\subset\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una función.
Diremos que $\lim\limits_{z\to \infty} f(z) = w_0$ si para todo $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $|\,z\,|>\frac{1}{\delta}$, entonces: \begin{equation*} |\,f(z) – w_0\,| < \varepsilon. \end{equation*}
Diremos que $\lim\limits_{z\to z_0} f(z) = \infty$ si para todo $\varepsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces: \begin{equation*} |\,f(z)\,| > \frac{1}{\varepsilon}. \end{equation*}
Diremos que $\lim\limits_{z\to \infty} f(z) = \infty$ si para todo $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $|\,z\,|>\frac{1}{\delta}$, entonces: \begin{equation*} |\,f(z)\,| > \frac{1}{\varepsilon}. \end{equation*}
Ejemplo 14.5. a) Sea $f(z) = \dfrac{1}{z^2}$, con $z\neq 0$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z\to \infty} f(z) = 0. \end{equation*} Solución. Sea $\varepsilon>0$. Notemos que para $\delta=\sqrt{\varepsilon}>0$, si $z\neq 0$ y $|\,z\,| > \dfrac{1}{\delta}$, entonces: \begin{equation*} \left|\,f(z) – 0\,\right| = \left|\,\frac{1}{z^2} – 0\,\right| = \frac{1}{|\,z^2\,|} = \frac{1}{|\,z\,|^2} < \varepsilon. \end{equation*} Por lo que $\lim\limits_{z\to \infty} f(z) = 0$. b) Sea $f(z) = \dfrac{1}{z-3}$, con $z\neq 3$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z\to 3} f(z) = \infty. \end{equation*} Solución. Sea $\varepsilon>0$. Notemos que para $\delta=\varepsilon>0$, si $z\neq 3$ y $0<|\,z-3\,|<\delta$, entonces: \begin{equation*} \left|\,f(z)\,\right| = \left|\,\frac{1}{z-3}\,\right| = \frac{1}{|\,z-3\,|} > \frac{1}{\varepsilon}. \end{equation*} Por lo que $\lim\limits_{z\to 3} f(z) = \infty$.
De lo anterior tenemos que los valores $z_0$ y $L$ en la definición 14.1 pueden ser sustituidos de forma indistinta por el punto al infinito, es decir en: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = L, \end{equation*} podemos remplazar a $z_0$ y/o $L$ por $\infty$, para ello solo habría que remplazar apropiadamente sus vecindades por vecindades de $\infty$. Para tener más claro esto y poder trabajar de manera más sencilla con estos límites tenemos el siguiente resultado.
Proposición 14.5. Sea $f:S \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una función y sean $z_0$ en el plano $z$, que corresponde al del dominio de $f$, y $w_0$ en el plano $w$, que corresponde al plano de la imagen de $f$, observación 12.1, entonces:
\begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = \infty \quad \text{si y solo si} \quad \lim_{z \to z_0} \frac{1}{f(z)} = 0. \end{equation*}
\begin{equation*} \lim_{z \to \infty} f(z) = w_0 \quad \text{si y solo si} \quad \lim_{z \to 0} f\left(\frac{1}{z}\right) = w_0. \end{equation*}
\begin{equation*} \lim_{z \to \infty} f(z) = \infty \quad \text{si y solo si} \quad \lim_{z \to 0} \frac{1}{f(1/z)} = 0. \end{equation*}
Demostración. Dadas las hipótesis, tenemos que:
Sea $z\in S$. Si $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = \infty$ existe, entonces de la definición 14.4(2) tenemos que para todo $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que: \begin{equation*} |\,f(z)\,| > \frac{1}{\varepsilon} \quad \text{si} \quad 0<|\,z-z_0\,|<\delta. \end{equation*} Notemos que para el punto $w=f(z)$ se tiene que $|\,w\,| > 1/\varepsilon$, es decir $w$ pertenece a un $\varepsilon$-vecindario de $\infty$, siempre que $0<|\,z-z_0\,|<\delta$. De lo anterior tenemos que: \begin{equation*} \left|\,\frac{1}{f(z)} – 0 \,\right| = \left|\,\frac{1}{f(z)}\,\right| = \frac{1}{|f(z)|} < \varepsilon \quad \text{si} \quad 0<|\,z-z_0\,|<\delta. \end{equation*} Por lo que $\lim\limits_{z \to z_0} \dfrac{1}{f(z)} = 0$.
Se deja como ejercicio al lector.
Se deja como ejercicio al lector.
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La proposición 14.5 es de gran utilidad al trabajar con el punto al infinito. La idea de dicha proposición es representar al punto al infinito y su entorno mediante sus imágenes en la función $w = f(z) = 1/z$. Esto es, el punto $z=\infty$ corresponde con el punto $w=0$ y un $\varepsilon$-vecindario de $\infty$ corresponde con un $\varepsilon$-vecindario de $0$. Por lo que la existencia de un límite de una función $f(z)$ que considere al punto $z=\infty$ dependerá de la existencia de un límite que considere al punto $w=0$.
Ejemplo 14.6. a) Consideremos a la función $f(z) = \dfrac{2z^3-1}{z^2+1}$ definida en $S=\mathbb{C}\setminus\{i,-i\}$. Veamos que: \begin{equation*} \lim_{z \to \infty} f(z) = \infty. \end{equation*} Solución. Notemos que: \begin{equation*} f(1/z) = \frac{(2/z^3)-1}{(1/z^2)+1}, \quad \quad \frac{1}{f(1/z)} = \frac{(1/z^2)+1}{(2/z^3)-1}. \end{equation*} De acuerdo con la proposición 14.5 como: \begin{equation*} \lim_{z \to 0} \frac{1}{f(1/z)} = \lim_{z \to 0} \frac{(1/z^2)+1}{(2/z^3)-1} = \lim_{z \to 0} \frac{z^3\left[(1/z^2)+1\right]}{z^3\left[(2/z^3)-1\right]} = \lim_{z \to 0} \frac{z^3 + z}{2 – z^3} = 0. \end{equation*} Entonces $\lim\limits_{z \to \infty} f(z) = \infty$. b) Consideremos a la función $g(z) = \dfrac{iz+3}{z+1}$ con dominio $S=\mathbb{C}\setminus\{-1\}$. Veamos que: \begin{equation*} \lim_{z \to -1} g(z) = \infty. \end{equation*} Solución. Notemos que: \begin{equation*} \lim_{z \to -1} \frac{1}{g(z)} = \lim_{z \to -1} \frac{z+1}{iz+3} = 0. \end{equation*} Por lo que se sigue de la proposición 14.5 que $\lim\limits_{z \to \infty} g(z) = \infty$. c) Sea $h(z) = \dfrac{2z+i}{z+1}$ una función definida en $S=\mathbb{C}\setminus\{-1\}$. Veamos que: \begin{equation*} \lim_{z \to \infty} h(z) = 2. \end{equation*} Solución. De acuerdo con la proposición 14.5 como: \begin{equation*} \lim_{z \to 0} h(1/z) = \lim_{z \to 0} \frac{(2/z)+i}{(1/z)+1} = \lim_{z \to 0} \frac{2+iz}{1 + z} = 2. \end{equation*} Entonces $\lim\limits_{z \to \infty} h(z) = 2$.
Tarea moral
Completa la demostración de las proposiciones 14.3 y 14.5.
Considera a la función $f(z) = \dfrac{zi}{2}$ definida en el disco abierto $B(0,1)$. Prueba usando la definición que: \begin{equation*} \lim_{z \to 1} f(z) = \frac{i}{2}. \end{equation*}
Usando la definición de límite prueba que si: \begin{equation*} \lim_{z\to z_0} f(z) = w_0, \end{equation*} entonces: \begin{equation*} \lim_{z\to z_0} |\,f(z)\,| = |w_0|. \end{equation*} ¿Es cierto el recíproco?
Considera la función $T:S\subset\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ dada por: \begin{equation*} T(z) = \frac{az+b}{cz+b}, \quad \text{con} \,\, ad – bc \neq 0. \end{equation*} Usando la definición, prueba que: a) Si $c=0$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z \to \infty} T(z) = \infty. \end{equation*} b) Si $c\neq 0$, entonces: \begin{align*} \lim_{z \to \infty} T(z) = \frac{a}{c},\\ \lim_{z \to -\frac{d}{c}} T(z) = \infty. \end{align*}
Sean $a\in\mathbb{C}$ y $f,g\in\mathcal{F}(S)$ dos funciones. Considerando la definición 14.4 prueba las siguientes reglas para límites que consideran al punto al infinito. a) Si $\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=\infty$ y $\lim_{z\to z_0} g(z)=a$, entonces $\lim\limits_{z\to z_0}\left[ f(z) + g(z) \right]=\infty$. b) Si $\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=\infty$ y $\lim\limits_{z\to z_0} g(z)=a\neq 0$, entonces $\lim\limits_{z\to z_0}\left[ f(z) \cdot g(z) \right]=\infty$. c) Si $\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=\infty = \lim\limits_{z\to z_0} g(z)$, entonces $\lim\limits_{z\to z_0}\left[ f(z) \cdot g(z) \right]=\infty$. d) Si $\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=\infty$ y $\lim\limits_{z\to z_0} g(z)=a$, entonces $\lim\limits_{z\to z_0}\dfrac{g(z)}{f(z)}=0$. e) Si $\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=\infty$ y $\lim\limits_{z\to z_0} g(z)=a\neq 0$, entonces $\lim\limits_{z\to z_0}\dfrac{g(z)}{f(z)}=\infty$.
Más adelante…
En esta entrada hemos abordado de manera formal la definición de límite desde el enfoque de la variable compleja. Mediante una serie de resultados hemos caracterizado el límite complejo a través del estudio de la parte real e imaginaria de una función compleja, ya que dichas funciones reales las hemos estudiado a detalle en nuestros cursos de Cálculo, por lo que los resultados que conocemos para dichas funciones pueden emplearse al trabajar con funciones complejas.
Aunque las definiciones que hemos dado en esta entrada son idénticas a las de las funciones reales de variable real, veremos en las siguientes entradas que al trabajar con funciones complejas algunos conceptos se vuelven más restrictivos para estas funciones.
La siguiente entrada abordaremos un concepto fundamental en el estudio de las funciones complejas, el de continuidad, el cual estará ligado al concepto de límite, por lo que los resultados de esta entrada nos serán de utilidad.
