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Cálculo Diferencial e Integral I: Límites laterales

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

En las entradas anteriores hemos trabajado con la definición de límite y revisamos sus propiedades. En esta ocasión, daremos la definición de límite por la derecha y límite por la izquierda, que en conjunto son llamados límites laterales. De igual forma, revisaremos algunos ejemplos y su relación con la definición vista anteriormente.

Límites laterales

Las definiciones que veremos a continuación se basan en restringir la forma en que nos acercamos a $x_0.$ El límite por la derecha se enfoca en acercarnos por la derecha, es decir, pediremos que $x > x_0,$ lo cual se traducirá en que debe cumplirse que $0<x-x_0 < \delta$. Por otro lado, para el límite por la izquierda debe cumplirse que $x < x_0,$ de esta forma se tendrá que $0<x_0-x< \delta.$ Primero daremos la definición de límite por la derecha.

Definición. Sean $A \subset \mathbb{R}$ y $f: A \rightarrow \mathbb{R}.$ Se dice que $L \in \mathbb{R}$ es límite por la derecha de $f$ en $x_0,$ si para todo $\varepsilon >0$ existe $\delta > 0$ tal que si $0<x-x_0<\delta$ entonces $|f(x)-L| < \varepsilon.$ Cuando $L$ es el límite de $f$ en el punto $x_0$ por la derecha, lo denotamos $$\lim_{x \to x_0+} f(x) = L.$$

Análogamente, tenemos la definición de límite por la izquierda.

Definición. Sean $A \subset \mathbb{R}$ y $f: A \rightarrow \mathbb{R}.$ Se dice que $L \in \mathbb{R}$ es límite por la izquierda de $f$ en $x_0,$ si para todo $\varepsilon >0$ existe $\delta > 0$ tal que si $0<x_0 – x<\delta$ entonces $|f(x)-L| < \varepsilon.$ Cuando $L$ es el límite de $f$ en el punto $x_0$ por la izquierda, lo denotamos $$\lim_{x \to x_0-} f(x) = L.$$

Propiedades de los límites laterales

De forma similar al teorema que vimos para los límites, existe una relación entre el límite lateral de una función y el límite de una sucesión, basta agregar a los supuestos la condición de que la sucesión sea mayor que $x_0$ para todo $n \in \mathbb{N}$ en el caso de límite por la derecha y que sea menor que $x_0$ para todo $n \in \mathbb{N}$ en el caso de límite por la izquierda.

Teorema. Sea $A \subset \mathbb{R}.$ Definimos la función $f:A \rightarrow \mathbb{R}.$ Entonces, dado un $x_0,$ los siguientes enunciados son equivalentes.

  1. $$\lim_{x \to x_0+} f(x) = L.$$
  2. Para toda sucesión $\{ a_n \}$ en $A$ que converge a $x_0$ y tal que $a_n > x_0$ para todo $n\in \mathbb{N},$ la sucesión $\{f(a_n)\}$ converge a $L.$

El teorema de límite por la izquierda es similar al anterior. Además, la demostración es totalmente análoga a la revisada en una entrada anterior por lo cual quedará como tarea moral. También recordemos que este teorema nos ayuda a determinar las propiedades que tienen los límites laterales debido a la herencia que nos brinda el límite de una sucesión; es gracias a ello que podremos hacer uso de tales propiedades en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1. Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},$ definida de la siguiente forma

$$f(x) =
\begin{cases}
x^3+1 & \quad \text{si } x<-1 \\
x^2+1& \quad \text{si } x \geq -1. \\
\end{cases}
$$

Determina los límites laterales en $x_0 = -1.$

Primero mostraremos la gráfica de la función:

Calculando el límite por la izquierda, tenemos
$$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} x^3+1 = 0.$$

Por otro lado, el límite por la derecha
$$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} x^2+1= 2.$$

Por lo tanto
$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to 0^+} f(x) = 2.$$

Ejemplo 2. Sea $f: \mathbb{R} \setminus \{0 \} \rightarrow \mathbb{R}.$ Calcula los límites laterales en $x_0 = 0$ de

$$f(x) = \frac{|x|}{x}.$$

La gráfica de la función es la siguiente:

Calculando el límite por la izquierda, tenemos
\begin{align*}
\lim_{x \to 0^-} f(x) = & \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} \\
= & \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} \text{, pues $x$ < 0} \\
= & \lim_{x \to 0^-} -1 \\
= & -1.
\end{align*}
Por otro lado, el límite por la derecha
\begin{align*}
\lim_{x \to 0^+} f(x) = & \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} \\
= & \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} \text{, pues $x$ > 0} \\
= & \lim_{x \to 0^+} 1 \\
= & 1.
\end{align*}
Por lo tanto
$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1.$$

De los ejemplos revisados, el primero tiene la propiedad de que sus límites laterales son iguales mientras que para el segundo y el tercero tales límites son distintos en $x_0.$

Relación entre el límite de una función y sus límites laterales

Parece inmediato inferir que, considerando un punto $x_0$ dado, si los límites por la izquierda y por la derecha existen y son iguales, entonces el límite de la función sí existe en tal punto. De la misma manera, resulta natural que si el límite existe, entonces los límites laterales también existen y son iguales. Probaremos esta equivalencia, pero para hacerlo, primero demostraremos la siguiente proposición.

Proposición. Sean $x,$ $x_0$ en $\mathbb{R}$ y $\delta >0.$ Entonces $0<|x-x_0|< \delta$ si y solo si $0<x-x_0<\delta \quad$ ó $\quad 0<x_0-x<\delta.$

Demostración.
Supongamos que $0<|x-x_0|< \delta$.

Caso 1: $x-x_0 > 0$.
Entonces $|x-x_0| = x-x_0$, así
\begin{gather*}
0<|x-x_0|< \delta \Leftrightarrow 0< x-x_0 < \delta.
\end{gather*}

Caso 2: $x- x_0 < 0$.
Entonces $|x-x_0| = x_0-x$, así
\begin{gather*}
0<|x-x_0| < \delta \Leftrightarrow 0< x_0-x < \delta.
\end{gather*}

$$\therefore 0<|x-x_0|< \delta \Leftrightarrow 0<x-x_0<\delta \quad \text{ ó } \quad 0<x_0-x<\delta.$$

$\square$

Teorema. El límite de una función $f$ en el punto $x_0$ existe y es igual a $L$ si y solo si los límites laterales existen y son iguales a $L$, es decir

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = L \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L = \lim_{x \to x_0^-} f(x).$$

Demostración.

$\Rightarrow]$ Supongamos que $$\lim_{x \to x_0} f(x) = L.$$
Sea $\varepsilon > 0$. Como $f$ converge a $L$ en $x_0$, existe $\delta > 0$ tal que si $0<|x-x_0|< \delta$ se tiene que $|f(x)-L| < \varepsilon.$

Si $0<x-x_0 < \delta$, entonces $0<|x-x_0|< \delta$ por la proposición anterior. Se sigue que
\begin{gather*}
|f(x)-L| < \varepsilon. \\
\therefore \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L.
\end{gather*}

Si $0<x_0-x < \delta$, entonces $0<|x-x_0|< \delta$ por la proposición anterior. Se sigue que
\begin{gather*}
|f(x)-L| < \varepsilon. \\
\therefore \lim_{x \to x_0^-} f(x) = L.
\end{gather*}

$\Leftarrow]$ Supongamos que $$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L = \lim_{x \to x_0^-} f(x)$$
Sea $\varepsilon > 0.$

Como $\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = L$, existe $\delta_1$ tal que si $0<x-x_0<\delta_1$ entonces $|f(x)-L| < \varepsilon.$

Como $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = L$, existe $\delta_2$ tal que si $0<x_0-x<\delta_2$ entonces $|f(x)-L| < \varepsilon.$

Consideremos $\delta = min \{ \delta_1, \delta_2\}.$ Por la proposición, si $0<|x-x_0|< \delta$, entonces $0<x-x_0<\delta$ ó $0<x_0-x<\delta.$

Para el primer caso, tenemos que $0<x-x_0<\delta \leq \delta_1$, entonces $|f(x)-L| < \varepsilon.$
Para el segundo caso, se tiene que $0<x_0-x<\delta \leq \delta_2$, entonces $|f(x)-L| < \varepsilon.$

Por lo tanto $$\lim_{x \to x_0} f(x) = L.$$

$$\therefore \lim_{x \to x_0} f(x) = L \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L = \lim_{x \to x_0^-} f(x).$$

$\square$

Observación. Ya que hemos demostrado este teorema, podemos notar que si los límites laterales de una función son distintos en un punto $x_0$, entonces no existe el límite de la función en tal punto.

Finalizaremos esta entrada revisando los siguientes ejemplos.

Ejemplo 3. Determina si existe el límite en $x_0 = 0$ para la siguiente función $$f(x) = x \sqrt{\frac{1}{4x^2}-16}.$$

Veamos primero qué sucede con el límite por la izquierda
\begin{align*}
\lim_{x \to 0^-} f(x) = & \lim_{x \to 0^-} x \sqrt{\frac{1}{4x^2}-16} \\ \\
= & \lim_{x \to 0^-} x \sqrt{\frac{1-64x^2}{4x^2}} \\ \\
= & \lim_{x \to 0^-} \frac{ x \sqrt{1-64x^2} }{ \sqrt{4x^2} } \\ \\
= & \lim_{x \to 0^-} \frac{ x \sqrt{1-64x^2} }{ 2|x|} \\ \\
= & \lim_{x \to 0^-} \frac{ x \sqrt{1-64x^2} }{ -2x} \text{, pues $x$ < 0} \\ \\
= & \lim_{x \to 0^-} – \frac{\sqrt{1-64x^2} }{2} \\ \\
= & – \frac{1}{2}.
\end{align*}

De forma similar, tenemos que
\begin{align*}
\lim_{x \to 0^+} f(x) = & \lim_{x \to 0^+} x \sqrt{\frac{1}{4x^2}-16} \\ \\
= & \lim_{x \to 0^+} x \sqrt{\frac{1-64x^2}{4x^2}} \\ \\
= & \lim_{x \to 0^+} \frac{ x \sqrt{1-64x^2} }{ 2x} \text{, pues $x$ > 0} \\ \\
= & \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1-64x^2} }{2} \\ \\
= & \frac{1}{2}.
\end{align*}
$$\therefore \lim_{x \to 0^-} f(x) = -\frac{1}{2} \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{1}{2}.$$

Como los límites laterales son distintos, podemos concluir que el límite de la función $f$ no existe en el punto $x_0 = 0.$

Ejemplo 4. Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, definida de la siguiente forma
$$f(x) =
\begin{cases}
x^2 & \quad \text{si } x<5 \\
2x+15 & \quad \text{si } x \geq 5. \\
\end{cases}
$$
Determina si el límite existe en $x_0 = 5.$

Iniciemos calculando el límite por la izquierda.
$$\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^-} x^2 = 25.$$

Por otro lado, el límite por la derecha
$$\lim_{x \to 5^+} f(x) = \lim_{x \to 5^+} 2x+15 = 25.$$

Por lo tanto
$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 25 \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to 0^+} f(x) = 25.$$

Como los límites laterales existen y son iguales, podemos concluir que
$$\lim_{x \to 0} f(x) = 25.$$

Más adelante…

¿Qué sucede cuando en lugar de acercarnos a un punto en particular $x_0$, hacemos que $x$ crezca indefinidamente? Esto y otras ampliaciones del concepto del límite serán revisadas en la siguiente entrada con lo cual estaremos listos para calcular todo tipo de límites y, con ello, podremos conocer el comportamiento que toman las funciones tanto en un punto específico como «en el infinito».

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Demuestra que
    $i$) $\lim_\limits{x \to 0^+} f(x) = \lim_\limits{x \to 0^-} f(-x).$
    $ii$) $\lim_\limits{x \to 0} f(|x|) = \lim_\limits{x \to 0^+} f(x).$
  • Usando la definición épsilon-delta de límite por la derecha, prueba que $\lim_{x \to 8^+} \sqrt{x-8} = 0.$
  • Calcula el límite en $x_0 = 5$ de la función
    $$f(x) =
    \begin{cases}
    \frac{x^2-12x+35}{x-5} & \quad \text{si } x < 5 \\
    \frac{x-5}{1- \sqrt{x-4} } & \quad \text{si } x \geq 5.
    \end{cases}
    $$
  • Usando límites laterales, determina si existe $$\lim_{x \to 0} \frac{3x + |x|}{7x-5|x|}.$$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de primer orden

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En las entradas anteriores hemos estudiado las soluciones a ecuaciones de primer orden desde dos distintos puntos de vista, el cualitativo y el analítico. En el camino hemos encontrado un comportamiento similar en las soluciones, como es el que el problema de condición inicial tenga una solución, o que las curvas solución no se intersectan en el plano. Estos comportamientos no son una casualidad, y están justificados por el teorema de existencia y unicidad que nos dice que el problema de condición inicial tiene una y sólo una solución definida en un intervalo $(a,b)$. Este teorema, en su versión para ecuaciones lineales sustenta el trabajo que hemos realizado en los últimos videos.

Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de primer orden

En el video demostramos la versión del teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de primer orden.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Resuelve el problema de condición inicial $\frac{dy}{dt}=\frac{y}{t}$ ; $y(t_{0})=y_{0}$, con $t_{0}\neq 0$, $y_{0}\neq 0$.
  • Resuelve el problema de condición inicial inicial $\frac{dy}{dt}=\frac{y}{t}$ ; $y(0)=0$.
  • Resuelve el problema de condición inicial $\frac{dy}{dt}=\frac{y}{t}$ ; $y(0)=y_{0}$, con $y_{0}\neq 0$.
  • ¿Contradicen las soluciones de los ejercicios anteriores el Teorema de existencia y unicidad?
  • Esboza las soluciones a la ecuación diferencial.

Más adelante

Con esta entrada terminamos el estudio a las ecuaciones lineales de primer orden. En la siguiente entrada comenzaremos a estudiar ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden. En particular veremos un caso especial de estas ecuaciones, a las que llamaremos ecuaciones separables.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Lineal II: Transformaciones normales, simétricas y antisimétricas

Por Ayax Calderón

5 respuestas

Introducción

A partir de la noción de adjunción que definimos en la entrada anterior, es posible definir ciertos tipos especiales de transformaciones lineales: las transformaciones normales, las simétricas y las antisimétricas.

Primero veremos las transformaciones lineales simétricas y antisimétricas. Estos nombres quizás te recuerden a las matrices simétricas y antisimétricas. Existe una relación importante entre ambos conceptos, aunque no es tan directo enunciarla. Veremos esto con calma.

Después, hablaremos de las transformaciones normales. Este tipo de transformaciones están motivadas por la pregunta de qué sucede cuando una transformación conmuta con su adjunta. Definiremos esto de manera adecuada y demostraremos algunas propiedades que cumplen las transformaciones normales.

En esta entrada $V$ es un espacio euclidiano. En particular, estaremos trabajando únicamente en espacios vectoriales sobre los reales. Más adelante discutiremos los análogos complejos de los resultados que veremos.

Transformaciones simétricas y antisimétricas

Comencemos con las siguientes dos definiciones.

Definición. Sea $V$ un espacio euclideano con producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Sea $T:V\to V$ una transformación lineal. Diremos que $T$ es:

  • Simétrica o auto-adjunta si $T^*=T$.
  • Antisimétrica o alternante si $T^*=-T$.

Tal vez estos nombres te parezcan familiares. El siguiente problema nos ayudará a explicar la relación entre las transformaciones simétricas y las matrices que llevan el mismo nombre.

Problema. Sea $V$ un espacio euclideano con producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Sea $T:V\to V$ una transformación lineal simétrica. Sea $A$ la forma matricial de $T$ en alguna base ortonormal de $T$. Demuestra que $A$ es una matriz simétrica.

Solución. Por una proposición de la entrada anterior, por elegir una base ortonormal se tiene que la matriz correspondiente a $T^\ast$ es $^t A$. Pero como $T$ es una matriz simétrica, se tiene que $T^\ast=T$. De este modo, $^t A= A$, y por lo tanto $A$ es una matriz simétrica.

$\square$

Sucede algo análogo con las matrices antisimétricas, lo cual queda como tarea moral.

Transformaciones normales

Introduzcamos una definición más.

Definición. Sea $V$ un espacio euclidiano y $T:V\to V$ una transformación lineal. Diremos que $T$ es normal si $T$ conmuta con su transformación adjunta, es decir, si $$TT^*=T^*T.$$

Similarmente, diremos que una matriz $A\in M_n(\mathbb{R})$ es normal si $$A{}^tA={}^tAA.$$

Ejemplo. La matriz $\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ es normal. En efecto, puedes verificar que:

$$\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}.$$

$\triangle$

Las definiciones de transformaciones y matrices normales están conectadas mediante el siguiente resultado sencillo de demostrar.

Proposición. Si $T:V\to V$ es una transformación es normal con $V$ espacio euclideano y tomamos una base ortonormal $\beta$ de $V$, entonces $\text{Mat}_\beta(T)$ es normal.

Caracterización geométrica de transformaciones normales

Las matrices normales tienen algunas propiedades geométricas que las caracterizan. El siguiente enunciado formaliza esto.

Problema. Sea $T$ una transformación lineal sobre un espacio euclidiano $V$. Demuestra que los siguientes incisos son equivalentes:

  1. $||T(x)||=||T^*(x)||$ para todo $x\in V$.
  2. $\langle T(x),T(y)\rangle=\langle T^*(x),T^*(y) \rangle$.
  3. $T$ es normal.

Solución. $(1)\Rightarrow (2)$. Supongamos $(1)$. Usando la identidad de polarización dos veces y la linealidad de $T$ y $T^*$ obtenemos
\begin{align*}
\langle T(x),T(y) \rangle &=\frac{||T(x+y)||^2-||T(x)||^2-||T(y)||^2}{2}\\
&=\frac{||T(x+y)^*||^2-||T(x)^*||^2-||T(y)^*||^2}{2}\\
&=\langle T(x)^*,T(y)^* \rangle.
\end{align*} lo cual prueba $(2)$.

$(2)\Rightarrow (3)$. Supongamos ahora $(2)$. Entonces para cualesquiera $x,y\in V$ se tiene que
\begin{align*}
\langle (T\circ T^* – T^*\circ T)(x), y \rangle &=\langle T(T^*(x)),y\rangle- \langle T^*(T(x)) ,y\rangle \\
&=\langle T^*(x),T^*(y) \rangle – \langle y,T^*(T(x))\rangle\\
&=\langle T(x),T(y) \rangle – \langle T(y),T(x)\rangle\\
&=0.
\end{align*}
Como la igualdad anterior se da para todo $y$, en particular se cumple, por ejemplo, para los $y$ de una base. Así, $(T\circ T^*-T^*\circ T)(x)=0$ para cualquier $x\in V$, lo que precisamente significa que $T\circ T^*= T^*\circ T$, es decir, que $T$ es normal.

$(3)\Rightarrow (1)$. Finalmente, supongamos $(3)$. Entonces
\begin{align*}
||T(x)||^2&=\langle T(x),T(x)\rangle\\
&=\langle x,T^*(T(x))\rangle \\
&= \langle T(T^*(x)),x \rangle\\
&=\langle T^*(x),T^*(x) \rangle \\
&= ||T^*(x)||^2,
\end{align*}
y por lo tanto $||T(x)||=||T^*(x)||$ para todo $x\in V$, lo que prueba $(1)$.

$\square$

Más adelante…

Por la proposición que enunciamos para transformaciones normales, tenemos que si $T$ es de este tipo, entonces $||T(x)||=||T^*(x)||$. Esto es una propiedad geométrica, pues está relacionando dos normas. Sin embargo, una cosa que nos interesa mucho estudiar es cuándo sucede algo parecido: $||T(x)||=||x||$. Esto lo que nos estaría diciendo es que «$T$ preserva las normas». En la siguiente entrada motivaremos y exploraremos este tipo de transformaciones lineales, a las que llamaremos ortogonales.

Tarea moral

  1. Demuestra que la forma matricial de una transformación antisimétrica, bajo una base ortonormal, es una matriz antisimétrica.
  2. Demuestra que cualquier transformación lineal $T$ en un espacio euclideano puede ser escrita de la forma $T=S+A$, donde $S$ es transformación lineal simétrica y $A$ es transformación lineal antisimétrica. Demuestra que esta manera de escribir a $T$ es única.
  3. Hemos platicado mucho de qué sucede cuando representamos transformaciones lineales en un espacio euclideano $V$ mediante bases ortonormales. Pero, ¿qué pasa si no hacemos esto? Determina si lo siguiente es verdadero o falso cuando elegimos una base $\beta$ de $V$ que no sea ortonormal.
    • Si $A$ es la matriz de una transformación $T$ en la base $\beta$, entonces $^tA$ es la matriz de $T^\ast$ en la base $\beta$.
    • Si $T$ es simétrica, entonces su matriz $A$ en la base $\beta$ es simétrica.
    • Si $T$ es normal, entonces su matriz $A$ en la base $\beta$ es normal.
  4. Sea $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ un rotación de ángulo $\theta\in(0,\pi)$. La representación matricial de $T$ en la base canónica está dada por
    $$\begin{pmatrix}
    \cos\theta &-\sin\theta\\
    \sin\theta &\cos\theta
    \end{pmatrix}.$$
    Verifica que $T$ es normal.
  5. Sea $V$ un espacio euclidiano y $T:V\to V$ una transformación lineal normal. Prueba que $T-c\text{id}$ es normal para todo real $c$.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Cálculo Diferencial e Integral I: Propiedades de orden de los números reales

Por Karen González Cárdenas

2 respuestas

Introducción

Comenzaremos a revisar un conjunto de propiedades muy particular que nos permitirán ordenar a los números reales. De acuerdo a este orden podremos decir para un par de números reales, quién es mayor o menor que otro. Así a la lista de propiedades vista previamente le agregaremos las siguientes.

Noción de orden en $\r$

O1.-Existe un subconjunto $P\subseteq \r$ tal que para todo $a\in\r$ ocurre una y sólo una de las siguientes afirmaciones:

  • $a=0$,
  • $a\in P$,
  • $-a\in P \text{.}$

O2.-Si $a,b \in P$ entonces $a+b \in P$.

O3.-Si $a,b \in P$ entonces $a\cdot b \in P$.

Los elementos de $P$ son llamados números reales positivos.

Definición: Decimos que:

  • $a>b \quad$ si $\quad a-b \in P$.
  • $a<b \quad$ si $\quad b>a$.
  • $a\geq b \quad$ si $\quad a-b \in P \quad$ o $\quad a=b$.
  • $a\leq b \quad$ si $\quad b-a \in P\quad$ o $\quad a=b$.

Tricotomía

Proposición (Tricotomía): Para cualesquiera $a,b \in \r$, tenemos que cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones:

  1. $a=b$
  2. $a>b$
  3. $b>a$

Demostración:

Sean $a,b\in\r$. Como por la cerradura de la suma S1 tenemos que: $$a+(-b)= a-b\in\r$$

Por O1 se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones:

  • $a-b=0$,
  • $a-b\in P$,
  • $-(a-b)\in P$.

Aplicando las definiciones anteriores nos quedaría:

  • $a-b=0 \Rightarrow a=b$,
  • $a-b\in P \Rightarrow a>b$,
  • $-(a-b)\in P\Rightarrow b-a\in P \Rightarrow b>a \text{.}$

$\square$

Leyes de los signos

Definición: Diremos que $a$ es positivo si $a\in P$ y que es negativo si $-a\in P$.

Proposición (Leyes de los signos): Sean $a,b\in\r$. Se cumplen las siguientes afirmaciones:

  1. Si $a,b >0$ entonces $a\cdot b >0$.
  2. Si $a,b < 0$ entonces $a\cdot b >0$.
  3. Si $a>0$, $b<0$ entonces $a\cdot b < 0$.
  4. Si $a<0$, $b>0$ entonces $a\cdot b < 0$.

Demostración:

  1. Consideremos $a>0$ y $b>0$. Así tenemos que $a\in P$ y $b\in P$ entonces por O3 $a\cdot b \in P$.
    $$\therefore \quad a\cdot b > 0$$
  2. Ahora tomemos $a< 0$ y $b<0$. Por lo que $-a\in P$ y $-b\in P$ entonces por O3 $(-a)\cdot( -b) \in P$.
    $$\therefore \quad a\cdot b > 0$$

$\square$

Algunos resultados importantes

Proposición: Sean $a,b,c,d \in \r$. Tenemos que se cumplen los siguientes resultados:

  1. Si $a>b$ entonces $a+c>b+c$.
  2. Si $a<b$ y $c<0$ entonces $ac>bc$.
  3. Si $a<b$ y $c>0$ entonces $ac<bc$.
  4. Si $a<b$ y $c<d$ entonces $a+c<b+d$.
  5. Si $a<b$ y $c>d$ entonces $a-c<b-d$.
  6. Si $a<b$ entonces $-b<-a$.

Demostración:
Demostraremos los puntos 1,3,4 y 5, mientras que dejaremos como ejercicios al lector los puntos 2 y 6.

  1. Como $a>b$ esto significa que $a-b \in P$.
    Así se sigue que:
    \begin{align*}
    a-b &= a +0 -b\\
    &= a + (c -c)-b\\
    &= (a +c) – (c+b) \quad\text{.}\\
    \end{align*}
    De lo anterior concluimos que $(a +c) – (c+b) \in P$, es decir, $a +c > c+b$.
  2. Tarea moral.
  3. Por hipótesis tenemos que $a<b$ y $c>0$ por lo que ocurre: $b-a \in P$ y $c \in P$.
    Por O3 afirmamos que $c (b-a) \in P$. Observemos que: $c (b-a) = cb – ca = bc – ac$.
    $$\therefore \quad bc – ac \in P\text{.}$$
    $$\therefore \quad bc>ac \text{.}$$
  4. Ya que $a<b$ y $c<d$ se sigue que $b-a \in P$ y $d-c \in P$. Así por O2 tenemos:
    $$(b-a)+(d-c) \in P\text{.}$$
    Notemos que:
    \begin{align*}
    (b-a)+(d-c) &= b-a+d-c\\
    &= b+d -a-c\\
    &= (b+d) – (a+c)\quad\text{.}\\
    \end{align*}
    $$\therefore \quad (b+d) – (a+c) \in P\quad\text{.}$$
    $$\therefore \quad b+d > a+c\quad\text{.}$$
  5. Tenemos que $a<b$ y $c>d$ $\Rightarrow b-a \in P$ y $c-d \in P$.
    Por O2 se sigue que $(b-a) + (c-d) \in P$. Y como tenemos lo siguiente:
    \begin{align*}
    (b-a) + (c-d)&= b-a + c-d\\
    &= (b-d) + (-a +c)\\
    &= (b-d) – (a-c)\quad\text{.}\\
    \end{align*}
    Así concluimos que: $(b-d) – (a-c)\in P$.
    $$ \therefore b-d > a-c\quad\text{.}$$
  6. Tarea moral.

$\square$

Transitividad

Proposición (Transitividad): Para $a,b \in \r$ se cumplen las siguientes propiedades:

  1. Si $a>b$ y $b>c \Rightarrow a>c$.
  2. Si $a< b$ y $b<c \Rightarrow a<c$.

Demostración:

  1. Cómo $a>b$ y $b>c$ sabemos que $a-b \in P$ y $b-c \in P$.
    Entonces tenemos por O2 $(a-b)+(b-c)\in P$. Y como:
    $$(a-b)+(b-c) = a+(-b+b)-c = a-c \quad\text{.}$$
    Así $a-c \in P$ y por lo tanto $a>c$.
  2. Ya que $b>a$ y $c>b$. Aplicando el punto anterior se sigue que:
    $$c> a \Rightarrow a < c \quad\text{.}$$

$\square$

El cuadrado de un número real

Proposición: Para todo $a\in \r$ se cumple lo siguiente:

$$a^{2} \geq 0 \text{.}$$

Demostración: Tomemos $a\in \r$. Por la propiedad O1 debemos considerar los siguientes tres casos.

  • Caso $a =0$:
    Como $a=0$, al multiplicar por $a$ en ambos lados de la igualdad tenemos:
    \begin{align*}
    &\Rightarrow a\cdot a = 0\cdot a\\
    &\Rightarrow a\cdot a = 0\cdot 0\\
    &\Rightarrow a^{2} = 0 \quad \text{.}\\
    \end{align*}
    Concluimos así $a^{2} \geq 0$.
  • Caso $a>0$
    Así $a\in P$ y por O3 tenemos que $a \cdot a \in P$. Por lo que $a^{2} \in P$, es decir, $a^{2}> 0$. Se concluye $a^{2} \geq 0$.
  • Caso $a< 0$
    Ahora tenemos que $-a\in P$ y por O3 que $-a \cdot -a \in P$. Así $a^{2}= (-a)(-a) \in P$, por lo que $a^{2} \geq 0$.

De los casos anteriores probamos que $a^{2} \geq 0$ para todo $a\in \r$

$\square$

Más adelante

Ya que hemos definido las propiedades de orden y varios de sus resultados más importantes. En la siguiente entrada comenzaremos por definir a los intervalos en los reales y a resolver desigualdades apoyándonos en todo lo visto en esta entrada.

Tarea moral

Demuestra los puntos 3 y 4 de las Leyes de los signos.

  • Si $a>0$, $b<0$ entonces $a\cdot b < 0$.
    • Sugerencia: Prueba $a\cdot (-b)$ es inverso aditivo de $ab$, es decir, $ab + a\cdot (-b) =0$
  • Si $a<0$, $b>0$ entonces $a\cdot b < 0$.
    • Sugerencia: Aplica o prueba el resultado $(-a)(b)=-(ab)$.

Prueba los puntos 2 y 6 de la sección Algunos resultados importantes:

  • Si $a<b$ y $c<0$ entonces $ac>bc$.
  • Si $a<b$ entonces $-b<-a$.

Muestre que para $a,b \in \r$ se cumplen las siguientes propiedades:

  • Si $a>1$ entonces $a^{2} > a$.
  • Si $0<a<1$ entonces $a^{2} < a$.
  • Consideremos $0<a<b$, demostrar que se cumple la siguiente desigualdad:
    $$a< \sqrt{ab}< \frac{a+b}{2} <b$$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Lineal II: Adjunta de una transformación lineal

Por Ayax Calderón

5 respuestas

Introducción

En esta tercera unidad estudiaremos algunos aspectos geométricos de transformaciones lineales. Para ello, lo primero que haremos será introducir la noción de la adjunta de una transformación lineal. Esto nos permitirá más adelante poder hablar de varias transformaciones especiales: normales, simétricas, antisimétricas, ortogonales. De entrada, las definiciones para cada uno de estos conceptos parecerán simplemente un juego algebraico. Sin embargo, poco a poco descubriremos que pidiendo a las transformaciones lineales cierta propiedad con respecto a su adjunta, podemos recuperar muchas propiedades geométricas bonitas que satisfacen.

Un ejemplo de esto serán las transformaciones ortogonales. Estas serán las transformaciones que, a grandes rasgos, no cambian la norma. Daremos un teorema de clasificación para este tipo de transformaciones: veremos que sólo son reflexiones o rotaciones en ciertos ejes. Después estudiaremos las transformaciones simétricas y veremos un resultado fantástico: el teorema espectral. Este teorema nos garantizará que toda transformación simétrica en $\mathbb{R}$ puede ser diagonalizada, y de hecho a través de una transformación ortogonal.

El párrafo anterior nos dice que las transformaciones ortogonales y las simétricas serán «fáciles de entender» en algún sentido. Esto parece limitado a unas familias muy particulares de transformaciones. Sin embargo, cerraremos la unidad con un teorema muy importante: el teorema de descomposición polar. Gracias a él lograremos entender lo que hace cualquier transformación lineal. Tenemos un camino muy interesante por recorrer. Comencemos entonces con la idea de la adjunta de una transformación lineal.

La adjunta de una transformación lineal

Sea $V$ un espacio euclidiano y producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Tomemos una transformación lineal $T:V \to V$. Para cada $y\in V$, la transformación $x\mapsto \langle T(x),y\rangle$ es una forma lineal. Del teorema de representación de Riesz se sigue que existe un único vector $T^*(y)\in V$ tal que
$$\langle T(x),y\rangle=\langle T^*(y),x\rangle =\langle x, T^*(y)\rangle \hspace{2mm} \forall x\in V.$$

Esta asignación de este vector $T^\ast$ es lineal, ya que al vector $ry_1+y_2$ para $r$ escalar y $y_1,y_2$ en $V$ se le asigna la forma lineal $x\mapsto \langle T(x),ry_1+y_2\rangle=r\langle(T(x),y_1\rangle + \langle (T(x),y_2)$, que se puede verificar que le corresponde en la representación de Riesz el vector $rT^\ast(y_1)+T^\ast(y_2)$.

De esta manera, podemos correctamente enunciar la siguiente definición.

Definición. Sea $V$ un espacio euclidiano y producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Sea $T:V\to V$ una transformación lineal. Definimos a la adjunta de $T$, como la única transformación lineal $T^\ast:V\to V$ que cumple la siguiente condición para todos $x,y$ en $V$:

$$\langle T(x),y\rangle =\langle x, T^*(y)\rangle$$

Notemos que para cualesquiera $x,y\in V$ tenemos que
$$\langle y,T(x)\rangle=\langle T(x),y\rangle=\langle x,T^* (y)\rangle=\langle T^*(y),x\rangle =\langle y, (T^*)^*(x)\rangle.$$

Restando el último término del primero, se sigue que $T(x)-(T^*)^*(x)=0$, de manera que $$(T^*)^*=T,$$ por lo cual simplemente escribiremos $$T^{**}=T.$$

Por lo tanto, la asignación $T\mapsto T^*$ es una transformación auto-inversa sobre $V$.

La matriz de la transformación adjunta

Tenemos que $T^{**}=T$. Esto debería recordarnos a la transposición de matrices. En efecto, en cierto sentido podemos pensar a la transformación $T^\ast$ algo así como la transpuesta de la transformación (por lo menos en el caso real, para espacios sobre $\mathbb{C}$ será algo ligeramente distinto).

La siguiente proposición nos ayudará a reforzar esta intuición.

Proposición. Sea $V$ un espacio euclidiano y producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$ y $T:V\to V$ una transformación lineal. Sea $\mathcal{B}=(e_1,\dots, e_n)$ una base otronormal de $V$. Se tiene que $$\text{Mat}_{\mathcal{B}}(T^\ast)={}^t\text{Mat}_{\mathcal{B}}(T).$$

En palabras, bajo una base ortonormal, la adjunta de una transformación tiene como matriz a la transpuesta de la transformación original.

Solución. Sea $A=\text{Mat}_{\mathcal{B}}(T)$ y $B=[B_{ij}]$ la matriz asociada a $T^*$ con respecto a $\mathcal{B}$. Para cada $i\in\{1,\ldots,n\}$ se tiene
$$T^*(e_i)=\displaystyle\sum_{k=1}^n b_{ki}e_k.$$

En vista de que $$T(e_i)=\displaystyle\sum _{k=1}^n a_{ki}e_k$$ y de que la base $\mathcal{B}$ es ortonormal, se tiene que $$\langle T(e_i),e_j\rangle=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_{ki}\langle e_k,e_j\rangle=a_{ji}$$ y
$$\langle e_i,T^*(e_j)\rangle=\displaystyle\sum_{k=1}^n b_{kj}\langle e_i,e_k \rangle = b_{ij}.$$

Como, por definición de transformación adjunta, se tiene que
$$\langle T(e_i),e_j\rangle =\langle e_i, T^*(e_j)\rangle,$$ entonces $b_{ij}=a_{ji}$ para cada $i,j$ en $\{1,\ldots, n\}$, que precisamente significa que $B= {}^tA$.

$\square$

Ejemplos de encontrar una adjunción

La proposición de la sección anterior nos da una manera práctica de encontrar la adjunción para transformaciones lineales.

Ejemplo. Encontraremos la transformación adjunta a la transformación lineal $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ dada por $T((x,y))=(y-x,y+2x)$. Por la proposición de la sección anterior, basta expresar a $T$ en una base ortonormal y transponer. Usemos la base canónica de $\mathbb{R}^2$. En esta base, la matriz que representa a $T$ es $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. Por ello, la matriz que representa a $T^\ast$ es la transpuesta, es decir $\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. De este modo, concluimos que $T^\ast((x,y)) = (-x+2y,x+y)$.

Podemos verificar que en efecto esta transformación satisface la definición de adjunción. Por un lado,

$$\langle T((a,b)), (c,d) \rangle = (b-a,b+2a)\cdot (c,d)= bc-ac+bd+2ad,$$

y por otro

$$ \langle (a,b), T((c,d)) \rangle = (a,b) \cdot (-c+2d,c+d) = -ac +2ad + bc +bd.$$

Ambas expresiones en efecto son iguales.

$\triangle$

Problema. Demuestra que una transformación lineal $T$ en un espacio euclideano de dimensión finita y la adjunta $T^\ast$ de $T$ tienen el mismo determinante.

Solución. El determinante de una transformación es igual al determinante de cualquiera de las matrices que la represente. Así, si $A$ es la forma matricial de $T$ bajo una base ortonormal, se tiene que $\det(A)=\det(T)$. Por la proposición de la sección anterior, $^tA$ es la forma matricial de $T^\ast$ en esa misma base, de modo que $\det({}^tA)=\det(T^\ast)$. Pero una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante, de modo que $$\det(T^\ast)=\det({}^tA)=\det(A)=\det(T).$$

$\square$

Más adelante…

La noción de transformación adjunta es nuestra primera noción fundamental para poder definir más adelante transformaciones que cumplen propiedades geométricas especiales. Con ella, en la siguiente entrada hablaremos de transformaciones simétricas, antisimétricas y normales.

Toma en cuenta que las definiciones que hemos dado hasta ahora son para espacios euclideanos, es decir, para el caso real. Cuando hablamos de espacios hermitianos, es decir, del caso complejo, los resultados cambian un poco. La transformación adjunta se define igual. Pero, por ejemplo, si la matriz que representa a una transformación es $A$, entonces la que representará a su adjunta no será la transpuesta, sino más bien la transpuesta conjugada.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  1. Encuentra la transformación adjunta para las siguientes tranformaciones lineales:
    • $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2 $ dada por $T(x,y)=(2y-x,2x+y)$.
    • $T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ dada por $T(x,y,z)=(x+y+z,y+z,z)$.
    • $T:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ tal que para la base canónica $e_1,\ldots,e_n$ cumple que $T(e_i)=e_{i+1}$ para $i=1,\ldots,n-1$ y $T(e_n)=0$.
  2. Considera el espacio vectorial $M_n(\mathbb{R})$. En este espacio, la operación transponer es una transformación lineal. ¿Cuál es su transformación adjunta?
  3. Completa los detalles de que $T^\ast$ es en efecto una transformación lineal.
  4. Demuestra que si $T$ es una transformación lineal sobre un espacio euclidiano y $\lambda$ es un eigenvalor de $T$, entonces $\lambda$ también es un eigenvalor de $T^\ast$. De manera más general, demuestra que $T$ y $T^\ast$ tienen el mismo polinomio característico.
  5. Sea $V$ un espacio euclidiano y $T:V\to V$. ¿Es cierto que para todo polinomio $p$ se cumple que $p(T)^\ast=p(T^\ast)$?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»