Cálculo Diferencial e Integral I: Límites infinitos

Introducción

¿Qué sucede cuando $f$ comienza a crecer o decrecer arbitrariamente cuando $x \to x_0$ ó $x \to \infty$? Así como en las sucesiones, el límite de una función en un punto también puede tener un comportamiento divergente y éste será el tema de la presente entrada.

Divergencia en un punto

Iniciaremos dando la definición de divergencia del límite de una función en un punto $x_0$ que, como podrás notarlo, es bastante similar a la definición de sucesiones divergentes.

Definición. Sea $A \subset \mathbb{R}$, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$

$i$) Se dice que $f$ tiende a $\infty$ cuando $x \rightarrow x_0$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$$
si para toda $M \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que para toda $x \in A$ con $0 < |x-x_0|< \delta$, entonces $f(x) > M$

$ii$) Se dice que $f$ tiende a $- \infty$ cuando $x \rightarrow x_0$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$$
si para toda $m \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que para toda $x \in A$ con $0 < |x-x_0|< \delta$, entonces $f(x) < m$

Iniciaremos con uno de los ejemplos clásicos

Ejemplo. Prueba que $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$, sin pérdida de generalidad, supongamos que $M > 0$; consideremos $\delta = \frac{1}{\sqrt{M}}$. Si $0 < |x-0| = |x| < \delta = \frac{1}{\sqrt{M}}$, entonces $|x| < \frac{1}{\sqrt{M}} \Rightarrow \frac{1}{x^2} > M$.

$\square$

Antes de dar el siguiente ejemplo, demostraremos un teorema que nos ayudara a hacer el cálculo de este tipo de límites.

Proposición. Sea $A \subset \mathbb{R}$, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ y $x_0 \in A$. Supongamos que $f(x) \leq g(x)$ para toda $x \in A$ con $x \neq x_0$.

$i$) Si $$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty, \quad \text{ entonces } \quad \lim_{x \to x_0} g(x) = \infty$$
$ii$) Si $$\lim_{x \to x_0} g(x) = -\infty, \quad \text{ entonces } \quad \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$$

Demostración.
$i$] Sea $M \in \mathbb{R}$. Como $f$ tiende a $\infty$ cuando $x \rightarrow x_0$, existe $\delta > 0$ tal que si $0 < |x-x_0| < \delta$, entonces $f(x) > M$. Por hipótesis $f(x) \leq g(x)$ para toda $x \in A$ con $x \neq x_0$, de esta forma tenemos que si $0 < |x-x_0| < \delta$, entonces $g(x) \geq f(x) > M$, es decir, $g(x) > M$. Por lo tanto $$\lim_{x \to x_0} g(x) = \infty$$

$ii$] La demostración es análoga.

$\square$

Ejemplo. Prueba que $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} + |cos(x)| \right) = \infty$$

Demostración.

Sabemos que

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$$

Además,
\begin{gather*}
& |cos(x)| \geq 0 \\ \\
\Rightarrow & \frac{1}{x^2} \leq \frac{1}{x^2} + |cos(x)|
\end{gather*}

Usando el teorema anterior, podemos concluir que

$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} + |cos(x)| \right) = \infty$$

$\square$

Divergencia en el infinito

La definición de divergencia del límite lo podemos extender para los límites en el infinito.

Definición.
$i$) Sea $A \subset \mathbb{R}$, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Supongamos que $(a, \infty) \subset A$ para alguna $a \in A$. Se dice que $f$ tiende a $\infty$ cuando $x \rightarrow \infty$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$$ si para cualquier $M \in \mathbb{R}$ existe $K$ tal que para cualquier $x>K$, entonces $f(x) > M$.
$ii$) Sea $A \subset \mathbb{R}$, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Supongamos que $(a, \infty) \subset A$ para alguna $a \in A$. Se dice que $f$ tiende a $- \infty$ cuando $x \rightarrow \infty$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty$$ si para cualquier $m \in \mathbb{R}$ existe $K$ tal que para cualquier $x>K$, entonces $f(x) < m$.

Ejemplo. Prueba que $$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$, consideremos $K = M+1$. Si $x > K$, entonces $f(x) = x > K = M+1 > M$, es decir, $f(x) > M$.

$\square$

Ejemplo. Prueba que $$\lim_{x \to \infty} 3x^2 = \infty$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$, consideremos $K = \sqrt{\frac{M}{3}}$. Si $x > K = \sqrt{\frac{M}{3}}$, entonces $f(x) = 3x^2 > M$, es decir, $f(x) > M$.

De los dos ejemplos vistos, podemos realizar generalizar esta idea y así tenemos el siguiente ejemplo.

$\square$

Ejemplo. Sea $p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida como $p(x) = \alpha_n x^n + \alpha_{n-1} x^{n-1} + \cdot + \alpha_1 x \alpha_0$. Demuestra que $$\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty \text{, si } a_n > 0 \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to \infty} p(x) = -\infty \text{, si } a_n < 0$$

La prueba se quedará como tarea moral.

Divergencia lateral

A continuación daremos la definición de divergencia para los límites laterales y finalizaremos esta entrada con un ejemplo de los mismos.

Definición. Sea $A \subset \mathbb{R}$ y sea $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Se dice que el límite por la derecha de $f$ en $x_0$ diverge si para todo $M \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que si $0<x – x_0<\delta$ entonces $f(x) > M$. Y lo denotamos $$\lim_{x \to x_0+} f(x) = \infty$$

Análogamente, tenemos la siguiente definición.

Definición. Sea $A \subset \mathbb{R}$ y sea $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Se dice que el límite por la izquierda de $f$ en $x_0$ diverge si para todo $M \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que si $0<x_0 – x<\delta$ entonces $|f(x)-L| < \epsilon$. Cuando $f$ tiene límite en $L$ por la izquierda, lo denotamos $$\lim_{x \to x_0-} f(x) = \infty $$

Notemos que existen la definiciones análogas para cuando $f$ diverge a $-\infty$ en $x_0$.

Ejemplo. $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty$$
Demostración.
Sea $M \in \mathbb{R}$, sin pérdida de generalidad, consideremos $M > 0$.

Tomemos $\delta = \frac{1}{M}$.
Si $0<x-0< \delta = \frac{1}{M}$, entonces $f(x) = \frac{1}{x} > M$, así se tiene que

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty $$

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Sea $A \subset \mathbb{R}$, sean $f$, $g: A \rightarrow \mathbb{R}$ y suponer que $(a, \infty) \subset A$ para alguna $a \in \mathbb{R}$. Si $g(x) > 0$ para toda $x > a$ y para alguna $L \in \mathbb{R}$, $L \neq 0$, se tiene que $$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L,$$ entonces
    • Si $L > 0$, entonces $$\lim_{x \to \infty} f(x)= \infty \iff \lim_{x \to \infty} g(x)= \infty$$
    • Si $L < 0$, entonces $$\lim_{x \to \infty} f(x)= -\infty \iff \lim_{x \to \infty} g(x)= \infty$$
  • Sea $p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida como $p(x) = \alpha_n x^n + \alpha_{n-1} x^{n-1} + \cdot + \alpha_1 x \alpha_0$. Demuestra que $$\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty \text{, si } a_n > 0 \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to \infty} p(x) = -\infty \text{, si } a_n < 0$$ Hint: Usa el ejercicio anterior.
  • Escribe las definiciones de divergencia a $-\infty$ para los límites laterales.
  • Usando la definición que propusiste en el ejercicio anterior, prueba que $$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty.$$

Más adelante…

En la siguiente entrada haremos uso del límite de una función en toda su extensión y emplearemos las propiedades revisadas en las entradas anteriores mediante la resolución de límites para la funciones trigonométricas que, particularmente, se habían destinado para los temas finales de esta unidad.

Entradas relacionadas

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.