Introducción

¿Qué sucede cuando $f$ comienza a crecer o decrecer arbitrariamente cuando $x \to x_0$ ó $x \to \infty$? Así como en las sucesiones, el límite de una función en un punto también puede tener un comportamiento divergente y éste será el tema de la presente entrada.

Divergencia en un punto

Iniciaremos dando la definición de divergencia del límite de una función en un punto $x_0$ que, como podrás notarlo, es bastante similar a la definición de sucesiones divergentes.

Definición. Sea $A \subset \mathbb{R}$, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$

$i$) Se dice que $f$ tiende a $\infty$ cuando $x \rightarrow x_0$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$$
si para todo $M \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que para todo $x \in A$ con $0 < |x-x_0|< \delta$, entonces $f(x) > M$

$ii$) Se dice que $f$ tiende a $- \infty$ cuando $x \rightarrow x_0$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$$
si para todo $m \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que para todo $x \in A$ con $0 < |x-x_0|< \delta$, entonces $f(x) < m$

Iniciaremos con uno de los ejemplos clásicos

Ejemplo. Prueba que $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$, sin pérdida de generalidad, supongamos que $M > 0$; consideremos $\delta = \frac{1}{\sqrt{M}}$. Si $0 < |x-0| = |x| < \delta = \frac{1}{\sqrt{M}}$, entonces $|x| < \frac{1}{\sqrt{M}} \Rightarrow \frac{1}{x^2} > M$.

$\square$

Antes de dar el siguiente ejemplo, demostraremos un teorema que nos ayudara a hacer el cálculo de este tipo de límites.

Proposición. Sea $A \subset \mathbb{R}$, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ y $x_0 \in A$. Supongamos que $f(x) \leq g(x)$ para todo $x \in A$ con $x \neq x_0$.

$i$) Si $$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty, \quad \text{ entonces } \quad \lim_{x \to x_0} g(x) = \infty$$
$ii$) Si $$\lim_{x \to x_0} g(x) = -\infty, \quad \text{ entonces } \quad \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$$

Demostración.
$i$] Sea $M \in \mathbb{R}$. Como $f$ tiende a $\infty$ cuando $x \rightarrow x_0$, existe $\delta > 0$ tal que si $0 < |x-x_0| < \delta$, entonces $f(x) > M$. Por hipótesis $f(x) \leq g(x)$ para todo $x \in A$ con $x \neq x_0$, de esta forma tenemos que si $0 < |x-x_0| < \delta$, entonces $g(x) \geq f(x) > M$, es decir, $g(x) > M$. Por lo tanto $$\lim_{x \to x_0} g(x) = \infty$$

$ii$] La demostración es análoga.

$\square$

Ejemplo. Prueba que $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} + |cos(x)| \right) = \infty$$

Demostración.

Sabemos que

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$$

Además,
\begin{gather*}
& |cos(x)| \geq 0 \\ \\
\Rightarrow & \frac{1}{x^2} \leq \frac{1}{x^2} + |cos(x)|
\end{gather*}

Usando el teorema anterior, podemos concluir que

$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} + |cos(x)| \right) = \infty$$

$\square$

Divergencia en el infinito

La definición de divergencia del límite lo podemos extender para los límites en el infinito.

Definición.
$i$) Sea $A \subset \mathbb{R}$, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Supongamos que $(a, \infty) \subset A$ para algún $a \in A$. Se dice que $f$ tiende a $\infty$ cuando $x \rightarrow \infty$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$$ si para cualquier $M \in \mathbb{R}$ existe $K$ tal que para cualquier $x>K$, entonces $f(x) > M$.
$ii$) Sea $A \subset \mathbb{R}$, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Supongamos que $(a, \infty) \subset A$ para algún $a \in A$. Se dice que $f$ tiende a $- \infty$ cuando $x \rightarrow \infty$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty$$ si para cualquier $m \in \mathbb{R}$ existe $K$ tal que para cualquier $x>K$, entonces $f(x) < m$.

Ejemplo. Prueba que $$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$, consideremos $K = M+1$. Si $x > K$, entonces $f(x) = x > K = M+1 > M$, es decir, $f(x) > M$.

$\square$

Ejemplo. Prueba que $$\lim_{x \to \infty} 3x^2 = \infty$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$, consideremos $K = \sqrt{\frac{M}{3}}$. Si $x > K = \sqrt{\frac{M}{3}}$, entonces $f(x) = 3x^2 > M$, es decir, $f(x) > M$.

De los dos ejemplos vistos, podemos realizar generalizar esta idea y así tenemos el siguiente ejemplo.

$\square$

Ejemplo. Sea $p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida como $p(x) = \alpha_n x^n + \alpha_{n-1} x^{n-1} + \ldots + \alpha_1 x + \alpha_0$. Demuestra que $$\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty \text{, si } \alpha_n > 0 \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to \infty} p(x) = -\infty \text{, si } \alpha_n < 0$$

La prueba se quedará como tarea moral.

Divergencia lateral

A continuación daremos la definición de divergencia para los límites laterales y finalizaremos esta entrada con un ejemplo de los mismos.

Definición. Sea $A \subset \mathbb{R}$ y sea $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Se dice que el límite por la derecha de $f$ en $x_0$ diverge a infinito si para todo $M \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que si $0<x – x_0<\delta$ entonces $f(x) > M$. Y lo denotamos $$\lim_{x \to x_0+} f(x) = \infty$$

Análogamente, tenemos la siguiente definición.

Definición. Sea $A \subset \mathbb{R}$ y sea $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Se dice que el límite por la izquierda de $f$ en $x_0$ diverge a infinito si para todo $M \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que si $0<x_0 – x<\delta$ entonces $|f(x)-L| < \varepsilon$. Cuando $f$ tiene límite en $L$ por la izquierda, lo denotamos $$\lim_{x \to x_0-} f(x) = \infty $$

Notemos que existen la definiciones análogas para cuando $f$ diverge a $-\infty$ en $x_0$.

Ejemplo. $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty$$
Demostración.
Sea $M \in \mathbb{R}$, sin pérdida de generalidad, consideremos $M > 0$.

Tomemos $\delta = \frac{1}{M}$.
Si $0<x-0< \delta = \frac{1}{M}$, entonces $f(x) = \frac{1}{x} > M$, así se tiene que

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty $$

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

• Sea $A \subset \mathbb{R}$, sean $f$, $g: A \rightarrow \mathbb{R}$ y suponer que $(a, \infty) \subset A$ para algún $a \in \mathbb{R}$. Si $g(x) > 0$ para todo $x > a$ y para algún $L \in \mathbb{R}$, $L \neq 0$, se tiene que $$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L,$$ entonces
  • Si $L > 0$, entonces $$\lim_{x \to \infty} f(x)= \infty \iff \lim_{x \to \infty} g(x)= \infty$$
  • Si $L < 0$, entonces $$\lim_{x \to \infty} f(x)= -\infty \iff \lim_{x \to \infty} g(x)= \infty$$
• Sea $p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida como $p(x) = \alpha_n x^n + \alpha_{n-1} x^{n-1} + \ldots + \alpha_1 x + \alpha_0$. Demuestra que $$\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty \text{, si } \alpha_n > 0 \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to \infty} p(x) = -\infty \text{, si } \alpha_n < 0$$ Hint: Usa el ejercicio anterior.
• Escribe las definiciones de divergencia a $-\infty$ para los límites laterales.
• Usando la definición que propusiste en el ejercicio anterior, prueba que $$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty.$$

Más adelante…

En la siguiente entrada haremos uso del límite de una función en toda su extensión y emplearemos las propiedades revisadas en las entradas anteriores mediante la resolución de límites para las funciones trigonométricas que, particularmente, se habían destinado para los temas finales de esta unidad.

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