Cálculo Diferencial e Integral I: Límites infinitos

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Introducción

¿Qué sucede cuando $f$ comienza a crecer o decrecer arbitrariamente cuando $x \to x_0$ ó $x \to \infty$? Así como en las sucesiones, el límite de una función en un punto también puede tener un comportamiento divergente y éste será el tema de la presente entrada.

Divergencia en un punto

Iniciaremos dando la definición de divergencia del límite de una función en un punto $x_0$ que, como podrás notarlo, es bastante similar a la definición de sucesiones divergentes.

Definición. Sean $A \subset \mathbb{R}$ y $f: A \rightarrow \mathbb{R}.$

$i$) Se dice que $f$ tiende a $\infty$ cuando $x \rightarrow x_0$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$$
si para todo $M \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que para todo $x \in A$ con $0 < |x-x_0|< \delta$, entonces $f(x) > M.$

$ii$) Se dice que $f$ tiende a $- \infty$ cuando $x \rightarrow x_0$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$$
si para todo $m \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que para todo $x \in A$ con $0 < |x-x_0|< \delta$, entonces $f(x) < m.$

Iniciaremos con uno de los ejemplos clásicos.

Ejemplo 1. Prueba que $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty.$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$, sin pérdida de generalidad, supongamos que $M > 0$; consideremos $\delta = \frac{1}{\sqrt{M}}$. Si $0 < |x-0| = |x| < \delta = \frac{1}{\sqrt{M}}$, entonces $|x| < \frac{1}{\sqrt{M}} \Rightarrow \frac{1}{x^2} > M.$

$\square$

Antes de dar el siguiente ejemplo, demostraremos un teorema que nos ayudara a hacer el cálculo de este tipo de límites.

Proposición. Sean $A \subset \mathbb{R}$ y $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ y $x_0 \in A$. Supongamos que $f(x) \leq g(x)$ para todo $x \in A$ con $x \neq x_0$.

$i)$ Si $$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty, \quad \text{ entonces } \quad \lim_{x \to x_0} g(x) = \infty.$$
$ii)$ Si $$\lim_{x \to x_0} g(x) = -\infty, \quad \text{ entonces } \quad \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty.$$

Demostración.
$i)$ Sea $M \in \mathbb{R}$. Como $f$ tiende a $\infty$ cuando $x \rightarrow x_0$, existe $\delta > 0$ tal que si $0 < |x-x_0| < \delta$, entonces $f(x) > M.$

Por hipótesis $f(x) \leq g(x)$ para todo $x \in A$ con $x \neq x_0$, de esta forma tenemos que si $0 < |x-x_0| < \delta$, entonces $g(x) \geq f(x) > M$. Es decir, $g(x) > M$. Por lo tanto $$\lim_{x \to x_0} g(x) = \infty.$$

$ii)$ La demostración es análoga.

$\square$

Ejemplo 2. Prueba que $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} + |cos(x)| \right) = \infty.$$

Demostración.

Sabemos que

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty.$$

Además,
\begin{gather*}
& |cos(x)| \geq 0. \\ \\
\Rightarrow & \frac{1}{x^2} \leq \frac{1}{x^2} + |cos(x)|.
\end{gather*}

Usando el teorema anterior, podemos concluir que

$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} + |cos(x)| \right) = \infty.$$

$\square$

Divergencia en el infinito

La definición de divergencia del límite lo podemos extender para los límites en el infinito.

Definición.
$i)$ Sean $A \subset \mathbb{R}$ y $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Supongamos que $(a, \infty) \subset A$ para algún $a \in A$. Se dice que $f$ tiende a $\infty$ cuando $x \rightarrow \infty$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$$ si para cualquier $M \in \mathbb{R}$ existe $K \in \mathbb{R}$ tal que para cualquier $x>K$, entonces $f(x) > M.$


$ii)$ Sean $A \subset \mathbb{R}$ y $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Supongamos que $(a, \infty) \subset A$ para algún $a \in A$. Se dice que $f$ tiende a $- \infty$ cuando $x \rightarrow \infty$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty$$ si para cualquier $m \in \mathbb{R}$ existe $K \in \mathbb{R}$ tal que para cualquier $x>K$, entonces $f(x) < m.$

Ejemplo 3. Prueba que $$\lim_{x \to \infty} x = \infty.$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$, consideremos $K = M+1$. Si $x > K$, como $f(x) = x$, entonces $f(x) > M+1 > M$. Es decir, $f(x) > M.$

$\square$

Ejemplo 4. Prueba que $$\lim_{x \to \infty} 3x^2 = \infty.$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$, consideremos $K = \sqrt{\frac{M}{3}}$. Si $x > K$, se tiene que $x > \sqrt{\frac{M}{3}}$. Lo anterior implica que $3x^2 > M$, es decir, $f(x) > M.$

$\square$

Divergencia lateral

A continuación daremos la definición de divergencia para los límites laterales y finalizaremos esta entrada con un ejemplo de los mismos.

Definición. Sean $A \subset \mathbb{R}$ y $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Se dice que el límite por la derecha de $f$ en $x_0$ diverge a infinito si para todo $M \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que si $0<x – x_0<\delta$ entonces $f(x) > M$. Y lo denotamos $$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \infty.$$

Análogamente, tenemos la siguiente definición.

Definición. Sean $A \subset \mathbb{R}$ y $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Se dice que el límite por la izquierda de $f$ en $x_0$ diverge a infinito si para todo $M \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que si $0<x_0 – x<\delta$ entonces $|f(x)-L| < \varepsilon$. Cuando $f$ tiene límite en $L$ por la izquierda, lo denotamos $$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \infty.$$

Notemos que existen definiciones análogas para cuando $f$ diverge a $-\infty$ en $x_0$.

Ejemplo 5. $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty.$$
Demostración.
Sea $M \in \mathbb{R}$, sin pérdida de generalidad, consideremos $M > 0.$

Tomemos $\delta = \frac{1}{M}.$
Si $0<x-0< \delta = \frac{1}{M}$, entonces $f(x) = \frac{1}{x} > M$, así se tiene que

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty.$$

$\square$

Más adelante…

En la siguiente entrada haremos uso del límite de una función en toda su extensión y emplearemos las propiedades revisadas en las entradas anteriores mediante la resolución de límites para las funciones trigonométricas que, particularmente, se habían destinado para los temas finales de esta unidad.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Sea $a \in \mathbb{R}$, $a > 1$. Prueba que $$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{a} \right)^{-x} = \infty.$$
  • Prueba que $$\lim_{x \to \infty} x^2-x = \infty.$$
  • Escribe las definiciones de divergencia a $-\infty$ para los límites laterales.
  • Usando la definición que propusiste en el ejercicio anterior, prueba que $$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty.$$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

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