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Ecuaciones Diferenciales I: Ecuaciones diferenciales autónomas

Introducción

Continuando con la descripción cualitativa de las ecuaciones diferenciales, en esta entrada estudiaremos las ecuaciones diferenciales en las que la función razón no depende explícitamente de la variable independiente $x$.

En la entrada anterior vimos una propiedad geométrica interesante de las ecuaciones diferenciales de la forma $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$, dicha propiedad es que los elementos lineales en dos puntos distintos en el plano $XY$ pero con la misma coordenada $y$ tienen la misma pendiente, esta propiedad tiene grandes consecuencias y las estudiaremos en esta entrada.

Ecuaciones de primer orden autónomas

Definición: Una ecuación diferencial ordinaria en la que no aparece explícitamente la variable independiente $f(y, y^{\prime}) = 0$ se llama autónoma.

Una ecuación autónoma en su forma normal se ve como $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$

La ecuación $\dfrac{dy}{dx} = 1 + 2y$ es una ecuación diferencial autónoma mientras que la ecuación $\dfrac{dy}{dx} = 2xy$ es una ecuación no autónoma ya que la función razón sí depende de la variable independiente $x$, $f(x, y) = 2xy$.

Hay muchos procesos físicos que son modelados con ecuaciones diferenciales autónomas donde la variable independiente puede ser por ejemplo el tiempo $t$, en estos casos dichos procesos no cambiarían en el tiempo.

Puntos críticos

En la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$, las raíces de la función razón son de especial importancia.

Definición: Un número real $k$ es un punto crítico de la ecuación diferencial autónoma $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$ si es una raíz de la función $f$, es decir, si $f(k) = 0$.

Un punto crítico también es llamado punto de equilibrio o punto estacionario.

Definición: Una solución constante $y(x) = k$ de la ecuación diferencial autónoma $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$ se llama solución de equilibrio.

Con estas dos definiciones podemos observar que si $k$ es un punto crítico de la ecuación $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$, entonces $y(x) = k$ es una solución constante de la ecuación diferencial autónoma.

Esquema de fases

En la entrada anterior vimos que una propiedad geométrica de las ecuaciones autónomas $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$ es que los elementos lineales son paralelos a lo largo de líneas horizontales en el plano $XY$, esto quiere decir que si conocemos el campo de pendientes a lo largo de una sola línea vertical $x = x_{0}$ entonces lo conocemos en todo el plano $XY$. Esta propiedad nos permite, en lugar de dibujar todo el plano, dibujar una línea que contiene la misma información. Esta línea se llama línea de fase para la ecuación autónoma.

Definición: La línea fase de una ecuación diferencial autónoma es un diagrama en forma de línea recta que contiene la información del comportamiento de las soluciones a la ecuación diferencial.

Para ver cómo obtener los puntos críticos, soluciones de equilibrio y líneas fase veamos el siguiente ejemplo con una ecuación logística.

Ejemplo: Consideremos la ecuación diferencial autónoma

$$\dfrac{dy}{dx} = y(\alpha -\beta y)$$

donde $\alpha$ y $\beta$ son constantes positivas. Los puntos críticos los podemos obtener haciendo $f(y) = y(\alpha -\beta y) = 0$ $\Leftrightarrow$ $y = 0$ o $\alpha -\beta y = 0$ $\Leftrightarrow$ $y = 0$ o $y = \dfrac{\alpha}{\beta}$, por lo tanto los puntos críticos son $c_{1} = 0$ y $c_{2} = \dfrac{\alpha}{\beta}$ y por tanto las soluciones de equilibrio son $y(x) = 0$ y $y(x) = \dfrac{\alpha}{\beta}$. Lo primero que haremos es colocar sobre una recta vertical (línea fase) los puntos críticos.

Puntos críticos en la línea fase.

En este caso los puntos críticos dividen a la línea fase en tres intervalos: $(-\infty, 0)$, $\left(0, \dfrac{\alpha}{\beta}\right)$ y $\left(\dfrac{\alpha}{\beta}, \infty\right)$ (intervalos en el eje $Y$). Debido a que por definición los puntos críticos son los puntos donde $\dfrac{dy}{dx} = f(k) = 0$, entonces la pendiente de los elementos lineales en los puntos críticos debe ser cero y por encima y por debajo de los puntos críticos la pendiente tiene que ser distinta de cero, así que puede haber elementos lineales con pendiente negativa o pendiente positiva. Veamos en cada uno de los intervalos de nuestro ejemplo que signo tiene la pendiente de los elementos lineales y al tratarse de un diagrama unidimensional dicho valor lo representaremos con flechas sobre la línea fase, si la pendiente es positiva colocaremos una flecha apuntando hacia arriba y si es una pendiente negativa colocaremos una flecha apuntando hacia abajo.

Para ver si la pendiente es positiva o negativa veamos el signo de la función razón, en este caso de $f(y) = y(\alpha -\beta y)$ en cada uno de los intervalos. Comencemos por el intervalo $-\infty < y < 0$, en este caso $y < 0$ $\Rightarrow$ $\beta y < 0$ $\Rightarrow$ $-\beta y > 0$ $\Rightarrow$ $-\beta y + \alpha > \alpha > 0$ $\Rightarrow$ $f(y) = y(\alpha -\beta y) < 0$ $\Rightarrow$ $\dfrac{dy}{dx} = f(y) = y(\alpha -\beta y) < 0$. Este análisis nos indica que la pendiente de los elementos lineales en el intervalo $(-\infty, 0)$ es negativa.

Haciendo el mismo análisis en los intervalos $0 < y < \dfrac{\alpha}{\beta}$ y $\dfrac{\alpha}{\beta} < y < \infty$ obtenemos los siguientes resultados:

  • En $(-\infty, 0)$ $\hspace{0.2cm}$ $\Rightarrow$ $f(y) = y(\alpha -\beta y) < 0$ $\Rightarrow$ La pendiente es negativa.
  • En $\left(0, \dfrac{\alpha}{\beta}\right)$ $\hspace{0.2cm}$ $\Rightarrow$ $f(y) = y(\alpha -\beta y) > 0$ $\Rightarrow$ La pendiente es positiva.
  • En $\left(\dfrac{\alpha}{\beta}, \infty \right)$ $\hspace{0.05cm}$ $\Rightarrow$ $f(y) = y(\alpha -\beta y) < 0$ $\Rightarrow$ La pendiente es negativa.

Como mencionamos antes, en el intervalo $(-\infty, 0)$ de la línea fase colocamos una flecha apuntando hacia abajo debido a que la pendiente es negativa. En el intervalo $\left(0, \dfrac{\alpha}{\beta}\right)$ colocamos una flecha apuntando hacia arriba ya que la pendiente es positiva y finalmente en el intervalo $\left(\dfrac{\alpha}{\beta}, \infty \right)$ colocamos de nuevo una flecha hacia abajo al ser la pendiente negativa. El resultado final de la línea fase es el siguiente:

Línea fase de la ecuación $\dfrac{dy}{dx} = y(\alpha-\beta y)$.

Como caso particular consideremos la ecuación $\dfrac{dy}{dx} = y(6 -3y)$, las soluciones de equilibrio son $y(x) = 0$ y $y(x) = \dfrac{\alpha}{\beta} = \dfrac{6}{3} = 2$. El campo de pendientes para esta ecuación diferencial es:

Campo de pendientes de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = y(6 -3y)$.

Puedes observar que en efecto el valor de la pendiente de los elementos lineales en las soluciones de equilibrio es cero y que por encima de $y(x) = 2$ y por debajo de $y(x) = 0$ la pendiente es negativa mientras que entre las soluciones de equilibrio la pendiente de los elementos lineales es positiva, tal como lo mostramos en la línea de fase.

$\square$

Recuerda, la línea fase es una gran herramienta para analizar el comportamiento de las soluciones de una ecuación diferencial autónoma gracias a que las pendientes de los elementos lineales en líneas horizontales del plano $XY$ son iguales.

Con el ejemplo en mente ahora podemos establecer los pasos necesarios para dibujar una línea fase de una ecuación diferencial autónoma:

  • Dibujamos una línea vertical que representará el eje $Y$ para cualquier valor de $x$.
  • Encontramos los puntos críticos (los números tales que $f(y) = f(k) = 0$), y los marcamos sobre la línea vertical.
  • Encontramos los intervalos de valores de $y$ en los que $f(y) > 0$ y dibujamos flechas apuntando hacia arriba en esos intervalos.
  • Encontramos los intervalos de valores de $y$ en los que $f(y) < 0$ y dibujamos flechas apuntando hacia abajo en esos intervalos.

Las líneas fase nos permite obtener una aproximación cualitativa de las gráficas de las soluciones, pero algo que predicen muy bien las líneas fase es el comportamiento límite de las soluciones cuando $x$ crece o disminuye.

En algunos textos encontrarás que un punto crítico es lo mismo que una solución de equilibrio o que usan los términos de manera indistinta y de hecho no hay mucho problema si lo haces. Puedes pensar a un punto crítico como el punto $c = k$ que se coloca en la línea fase, mientras que una solución de equilibrio $y(x) = k$ es la gráfica en el plano $XY$ de una función constante para toda $x$, sin embargo cuando estamos analizando líneas fase puede ser que al punto crítico también se le llame solución de equilibrio y es correcto pues la línea fase representa al eje de la variable dependiente $Y$ para cualquier valor de la variable independiente $x$, esto debido a la propiedad que ya hemos mencionado sobre el mismo valor de la pendiente de los elementos lineales a lo largo de líneas horizontales en el plano $XY$. Pero lo importante es que en todo momento tengas presente las definiciones de punto crítico o punto de equilibrio y de solución de equilibrio que establecimos al inicio de esta entrada para evitar confusiones.

Hasta ahora hemos hablado de una descripción cualitativa general de las soluciones de una ecuación diferencial autónoma, ahora veamos que nos dice esta descripción acerca de la forma de una curva solución de una ED autónoma.

Curvas solución de una ecuación diferencial autónoma

En la ecuación diferencial autónoma $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$, la función $f$ es independiente de la variable $x$, esto nos permite suponer que $f$ está definida en $-\infty < x < \infty$ o en $0 \leq x < \infty$. Consideremos una región $U$ en el plano $XY$ en el que se cumple el teorema de existencia y unicidad de una solución, por este teorema existe entonces una solución que pasa por el punto $(x_{0}, y_{0})$. En la región $U$ supongamos que una ecuación diferencial autónoma tiene dos puntos críticos $c_{1}$ y $c_{2}$ tales que $c_{1} < c_{2}$. Las gráficas de las soluciones $y(x) = c_{1}$ y $y(x) = c_{2}$ son rectas horizontales que dividen a la región $U$ en tres regiones: $U_{1}$, $U_{2}$ y $U_{3}$, esto se puede visualizar en la siguiente imagen.

Subregiones $U_{1}$, $U_{2}$ y $U_{3}$ de $U$.

Con estas condiciones podemos establecer las siguientes propiedades:

  • Si el punto $(x_{0}, y_{0})$ está en alguna subregión $U_{i}$, $i = 1, 2, 3$ y $y(x)$ es una solución cuya curva solución pasa por $(x_{0}, y_{0})$ entonces $y(x)$ debe permanecer en esa subregión $U_{i}$ para toda $x$.

Una solución $y(x)$ no puede cruzar la grafica de una solución de equilibrio $y(x) = c$. Para argumentar este hecho consideremos a $k$ como un punto crítico de una ED autónoma tal que $f(k) = 0$, considerando que $f(y)$ es continua, si las soluciones $y(x)$ son cercanas a $k$ entonces el valor de $f$ debe ser pequeño, esto nos indica que las soluciones se están desplazando lentamente cuando están próximas a los puntos críticos, dicho de otra manera, una solución que se acerca a un punto crítico cuando $x$ crece (o decrece) se mueve cada vez más lentamente al acercarse a éste. Por el teorema de existencia y unicidad, una solución que se acerca a un punto crítico nunca llega realmente a él, es decir, la solución de equilibrio se vuelve una asíntota para todas las soluciones $y(x)$ que se aproximan al punto crítico.

En la imagen anterior por ejemplo, la curva $y(x)$ que pasa por el punto $(x_{0}, y_{0})$ debe mantenerse dentro de $U_{2}$ para toda $x$, $y(x)$ está acotada por arriba con $c_{2}$ y por abajo con $c_{1}$, esto es, $c_{1} < y(x) < c_{2}$.

Una propiedad más que podemos enunciar es que

  • Por continuidad de la función $f$, debe ser $f(y) > 0$ o $f(y) < 0$ para toda $x$ en una subregión $U_{i}$, $i = 1, 2, 3$.

También vimos anteriormente que el signo de la pendiente se mantiene igual dentro de toda la región limitada por los puntos críticos, esto hace que nos demos cuenta que una curva solución $y(x)$ no puede oscilar o tener extremos relativos (máximos o mínimos) dentro de una misma región. Esto lo podemos describir con la siguiente propiedad.

  • Debido a que $\dfrac{dy}{dx} = f(y(x))$ es positiva o negativa en una subregión $U_{i}$, $i = 1, 2, 3$, una solución $y(x)$ es estrictamente monótona, por lo tanto no puede oscilar ni tener extremos relativos.

Ahora que conocemos estas propiedades podemos establecer una más que se puede deducir de las anteriores. Basándonos en el caso general de la imagen anterior podemos decir que:

  • Si $y(x)$ es una solución dentro de la región $U_{1}$ entonces está acotada por arriba con el punto crítico $c_{1}$, esto es, $y(x) < c_{1}$, $\forall$ $x$, esto indica que la curva solución $y(x)$ debe tender a la gráfica de la solución de equilibrio $y(x) = c_{1}$ a medida que $x \rightarrow \infty$ o $x \rightarrow -\infty$. Por otro lado, una solución $y(x)$ que este en la región $U_{2}$ está acotada por abajo con $c_{1}$ y arriba con $c_{2}$, esto es $c_{1} < y(x) < c_{2}$, $\forall$ $x$, entonces la curva solución $y(x)$ debe tender a las gráficas de las soluciones de equilibrio $y(x) = c_{1}$ y $y(x) = c_{2}$ conforme $x \rightarrow \infty$ en una y $x \rightarrow -\infty$ en la otra. Finalmente, si la solución está en la region $U_{3}$ entonces está acotada por abajo con $c_{2}$, es decir, $y(x) > c_{2}$, $\forall$ $x$, en este caso la grafica $y(x)$ debe tender a la gráfica de la solución de equilibrio $y(x) = c_{2}$ conforme $x \rightarrow \infty$ o $x \rightarrow -\infty$.

Modelo logístico de la población

En esta entrada ya estudiamos el ejemplo de la ecuación logística $\dfrac{dy}{dx} = y(\alpha-\beta y)$. Usemos los resultados obtenidos para resolver de manera cualitativa el problema del modelo logístico de la población. El modelo que establecimos fue

$$\dfrac{dP}{dt} = k \left(1 -\dfrac{P}{N}\right) P$$

Como puedes notar, se trata de una ecuación diferencial autónoma $\dfrac{dP}{dt} = f(P)$, así que las curvas solución las podemos describir con la teoría que hemos construido en esta entrada.

Como recordarás, el problema que estábamos analizando era el crecimiento de la población en función de su entorno y los recursos limitados a los que están sujetos. Resolvamos la ecuación diferencial al menos de manera cualitativa usando lo que hemos aprendido hasta ahora e interpretemos los resultados.

Para comenzar, lo primero que hay que hacer es determinar los puntos críticos de la ecuación, para ello hagamos $\dfrac{dP}{dt} = k \left(1 -\dfrac{P}{N}\right) P = 0$ $\Leftrightarrow$ $kP = 0$ o $1 -\dfrac{P}{N} = 0$ $\Leftrightarrow$ $P = 0$ o $P = N$, por lo tanto los puntos críticos son $c_{1} = 0$ y $c_{2} = N$ y las soluciones de equilibrio son $P(t) = 0$ y $P(t) = N$. Colocamos los puntos críticos en la línea fase.

Puntos críticos en la línea fase.

Los puntos críticos definen tres intervalos para $P$, estos son: $(-\infty, 0)$, $(0, N)$ y $(N, \infty)$, sin embargo como se trata de un problema real es claro que no tiene sentido que la variable población $P(t)$ sea negativa (no hay individuos negativos) y así mismo no hay tiempos negativos por lo que $t > 0$, por lo tanto en este problema sólo consideraremos los intervalos $(0, N)$ y $(N, \infty)$ para $P$, mientras que $0 < t < \infty$.

Recordando el ejemplo de la ecuación logística $\dfrac{dy}{dx} = y(\alpha-\beta y)$, podemos decir que en el intervalo $(0, N)$ las pendientes son positivas, así que la función $P(t)$ será creciente, mientras que en el intervalo $(N, \infty)$ las pendientes son negativas así que la función $P(t)$ será decreciente. La línea fase final queda de la siguiente manera:

Línea fase del modelo.

El campo de pendientes correspondiente es el siguiente:

Campo de pendientes de la ecuación logística $\dfrac{dP}{dt} = k \left(1 -\dfrac{P}{N}\right) P$

En la imagen podemos observar el campo de pendientes de la ecuación $\dfrac{dP}{dt} = k \left(1 -\dfrac{P}{N}\right) P$, indicando las soluciones de equilibrio $P(t) = 0$ y $P(t) = N$ y algunas curvas solución de la ecuación. Recuerda que una solución particular de la ED está determinada por las condiciones iniciales del problema.

Puedes notas que las curvas solución cumplen con las hipótesis que establecimos al plantear el modelo las cuales eran:

  • Si la población es pequeña ($P(t) < N$), la tasa de crecimiento de la población es proporcional a su tamaño.
  • Si la población es demasiado grande para ser soportada por su entorno y recursos ($P(t) > N$), la población disminuirá, en este caso la tasa de crecimiento será negativa.

Las soluciones de equilibrio $P(t) = 0$ y $P(t) = N$ tienen sentido pues si la población es cero permanecerá en cero indefinidamente y si la población es exactamente la asociada con la capacidad de soporte entonces no crecerá ni disminuirá.

Es así que a partir de la línea fase y el campo de pendientes de la ecuación diferencial podemos esbozar varias diferentes soluciones con condiciones iniciales diferentes. La única información que necesitamos es el hecho de que $P = 0$ y $P = N$ son soluciones de equilibrio, $P(t)$ crece si $0 < P < N$ y disminuye si $P > N$ o $P < 0$. Los valores exactos de $P(t)$ en cualquier tiempo dado $t$ dependerán de los valores de $P(0)$, $k$ y $N$.

$\square$

Clasificación de puntos de equilibrio

Como vimos, alrededor de un punto de equilibrio las soluciones pueden tener distintos comportamientos. Básicamente hay tres tipos de comportamiento que $y(x)$ puede tener alrededor de un punto crítico y en base a estos comportamientos podemos clasificarlos.

Supongamos que $y(x) = y_{0}$ es una solución de equilibrio (o punto crítico si lo vemos en la línea fase) de la ecuación diferencial autónoma $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$, los tres tipos de comportamiento que $y(x)$ puede tener alrededor del punto crítico $y_{0}$ son:

  • Caso 1: Por arriba de $y_{0}$ la función $y(x)$ es decreciente y por debajo de $y_{0}$ la función $y(x)$ es creciente, en este caso decimos que el punto crítico es un atractor.
$y_{0}$ es un atractor.
  • Caso 2: Por arriba de $y_{0}$ la función $y(x)$ es creciente y por debajo de $y_{0}$ la función $y(x)$ es decreciente, en este caso decimos que el punto crítico es un repulsor.
$y_{0}$ es un repulsor.
  • Caso 3: Tanto por arriba y por abajo de $y_{0}$ la función $y(x)$ es creciente o decreciente, en este caso decimos que el punto crítico es un nodo o semiestable.
$y_{0}$ es un nodo o semiestable.

Como conclusión, podemos resumir lo visto en esta entrada en las siguientes observaciones:
Si $y(x)$ es una solución de una ecuación autónoma $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$, entonces:

  • Si $f(y_{0}) = 0$, entonces $y_{0}$ es un punto de equilibrio y $y(x) = y_{0}$, $\forall$ $x$.
  • Si $f(y_{0}) > 0$, entonces $y(x)$ es creciente $\forall$ $x$ y $y(x) \rightarrow \infty$, cuando $x$ se incrementa, o bien $y(x)$ tiende al primer punto de equilibrio mayor que $y_{0}$.
  • Si $f(y_{0}) < 0$, entonces $y(x)$ es decreciente $\forall$ $x$ y $y(x) \rightarrow -\infty$, cuando $x$ se incrementa, o bien $y(x)$ tiende al primer punto de equilibrio menor que $y_{0}$.

Importante mencionar que esto es valido también para $x$ negativas. Cuando $x$ decrece podemos encontrar resultados similares. Si $f(y_{0}) > 0$, entonces $y(x) \rightarrow -\infty$ o al siguiente punto de equilibrio menor, cuando $x$ aumenta en valores negativos y si $f(y_{0}) < 0$, entonces $y(x) \rightarrow \infty$ o al siguiente punto de equilibrio mayor, cuando $x$ aumenta en valores negativos.

Un caso especial

Cuando hacemos estos tipos de análisis debemos tener cuidado de que los resultados sean correctos y tengan sentido matemático. Para ilustrar esto analicemos el siguiente ejemplo:

Consideremos la ecuación diferencial autónoma $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 -y}$. ¿Puedes determinar su línea fase?.

Por definición, los puntos críticos son los valores para los que $f(y) = \dfrac{1}{1 -y} = 0$, como puedes notar, no hay un valor para que eso ocurra. Si $y > 1$ entonces $f(y) < 0$ y si $y < 1$, entonces $f(y) > 0$ pero si $y = 0$, $f(y)$ no existe. En este caso decimos que la línea fase tiene un agujero en $y =1$ y lo denotamos como un circulo vacío.

Agujero en la línea fase.

Las soluciones $y(x)$ de la ecuación tienden hacia $y = 1$ cuando $x$ aumenta. Como el valor $f(y) = \dfrac{1}{1 -y}$ es grande si $y$ está cercana a $1$, las soluciones comienzan a acelerarse a medida que se acercan a $y = 1$ y alcanzan este valor para algún valor de $x$ finito. Cuando la solución alcanza el valor $y = 1$ no puede continuar porque ha dejado el dominio de definición de la ecuación diferencial.

Teorema de linearización

Existe un teorema conocido como teorema de linearización que nos ayuda a determinar el tipo de puntos críticos de una ecuación diferencial autónoma $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$ de acuerdo al comportamiento que tiene la función $f(y)$. El enunciado de este teorema es el siguiente.

Teorema: Sea $y_{0}$ solución de equilibrio de la ecuación diferencial autónoma $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$ donde $f$ es una función diferenciable continuamente, entonces:

  • Si $f^{\prime}(y_{0}) < 0$, entonces $y_{0}$ es un atractor.
  • Si $f^{\prime}(y_{0}) > 0$, entonces $y_{0}$ es repulsor.
  • Si $f^{\prime}(y_{0}) = 0$ o si $f^{\prime}(y_{0})$ no existe, entonces no podemos concluir nada sobre $y_{0}$.

Si estás interesado en la demostración de este teorema, puedes revisar el video del material complementario a esta entrada en donde encontrarás dicha demostración.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Para las siguientes ecuaciones diferenciales, esboza las líneas fase y clasifica a los puntos críticos como atractores, repulsores o nodos según sea el caso.
  • $\dfrac{dy}{dx} = 3y(1 -y)$
  • $\dfrac{dv}{du} = \dfrac{1}{v -2}$
  • $\dfrac{dy}{dt} = \cos(y)$
  • $\dfrac{dw}{dt} = w^{2} -6w -16$
  1. Describe geométricamente el comportamiento a largo plazo de las soluciones a la ecuación diferencial

$$\dfrac{dy}{dx} = y^{2} -4y + 2$$

Con la condición inicial dada.

  • $y(0) = 0$
  • $y(0) = 10$
  • $y(3) = 1$

Más adelante…

En estas dos últimas entradas hemos estudiado a las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de manera cualitativa, esto nos permite esbozar las soluciones y encontrar propiedades interesantes sin siquiera conocer la forma explicita de la solución a las EDO, en particular las ecuaciones diferenciales autónomas presentan propiedades que serán útiles al momento de analizar modelos que describen algún fenómeno real.

Ahora ha llegado el momento de aprender a resolver las ecuaciones diferenciales de manera analítica. Comenzaremos con las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden .

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Ecuaciones Diferenciales I: Campos de pendientes y su ecuación diferencial asociada

Introducción

Hasta ahora hemos aprendido algunas propiedades de las funciones solución de una ecuación diferencial, éstas funciones son expresiones analíticas que nos son útiles para describir una solución de una ED sin embargo, no siempre es necesario obtener dicha expresión analítica para lograr describir las soluciones de una ED. En este entrada vamos a hacer un análisis geométrico (o cualitativo) sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma $\dfrac{dy}{dx} = f(x, y(x))$.

Campos de pendientes

De tus cursos de cálculo diferencial recordarás que, geométricamente, la derivada $\dfrac{dy}{dx}$ de una función derivable $y = y(x)$ corresponde a la pendiente de las rectas tangentes en cada punto de la gráfica de la función $y(x)$, éste resultado nos será de utilidad para intentar describir cualitativamente las soluciones a una EDO de la forma normal $\dfrac{dy}{dx} = f(x, y(x))$.

Definición: La función $f$ de una ecuación diferencial en su forma normal $\dfrac{dy}{dx} = f(x, y(x))$ se llama función pendiente o función razón.

De acuerdo a la definición de solución de una ED, la función $y(x)$ es necesariamente derivable y por tanto continua en un intervalo $\delta$, esto nos garantiza que la curva solución en $\delta$ no tiene cortes y debe tener una recta tangente en cada punto $(x, y(x))$. Si la función $y(x)$ es solución entonces tiene una gráfica en el plano $XY$, la gráfica corresponde a la curva solución y la pendiente en cada punto de la curva está dada por $m = \dfrac{dy}{dx}$, es decir, el valor de la función razón $f(x, y(x)) = f(x, y)$ es el valor de la pendiente de la recta tangente en el punto $(x, y)$ de la curva solución de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = f(x, y(x))$. Así, para cada punto $(x, y)$ en el plano $XY$ se le puede asociar una número dado por la función razón y que corresponde a la pendiente de la recta tangente de una curva solución que pasa por ese punto $(x, y)$.

Definición: El valor $f(x, y)$ que la función $f$ le asigna al punto $(x, y)$ representa la pendiente de una recta y la visualización de dicho valor corresponderá a un segmento de recta llamado elemento lineal.

Elemento lineal $r$ a un punto de la curva solución.

Considerando todo lo anterior, podemos construir en el plano $XY$ un conjunto de elementos lineales dados por el valor de la función razón en cada punto $(x, y)$.

Ejemplo: Para que quede mucho más claro lo anterior vamos a visualizar los elementos lineales de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = x -y$.

En este caso la función razón es $f(x, y) = x -y$, $x$ y $y$ pueden tomar cualquier valor en $ \mathbb{R}$. En la siguiente tabla tenemos algunos valores de $x$ y $y$ para nuestro ejemplo. En la primera fila tenemos los valores de $x$ en el intervalo $(-4, 4)$ en pasos de una unidad y en la primer columna tenemos los valores de $y$ en el intervalo $(-4, 4)$ en pasos de una unidad, el resto de valores corresponde al valor de la función razón $f(x, y) = x -y$ evaluada en los valores correspondientes, por ejemplo si $x = -2$ y $y = 4$, entonces $f(x, y) = x -y = -2 -4 = -6$ tal como se indica en la tabla.

$x$
$y$
-4-3-2-101234
-4012345678
-3-101234567
-2-2-10123456
-1-3-2-1012345
0-4-3-2-101234
1-5-4-3-2-10123
2-6-5-4-3-2-1012
3-7-6-5-4-3-2-101
4-8-7-65-4-3-2-10

Con ayuda de esta tabla podemos construir un conjunto de elementos lineales con pendiente según el valor de la función razón (recuerda que una recta de $45^{\circ}$ tiene pendiente $m = 1$).

Elementos lineales de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = x -y$

Aumentando el número de valores para $x$ y $y$ en los rangos $(-4, 4)$ se puede obtener un conjunto mayor de elementos lineales.

Conjunto mayor de elementos lineales de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = x -y$.

¿Notas un patrón en esta última imagen?. Anteriormente mencionamos que el valor de la función razón $f(x, y)$ es el valor de la pendiente de la recta tangente en un punto $(x, y)$ de la curva solución de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = f(x, y(x))$, en este caso los elementos lineales corresponden a las rectas tangentes a las curvas solución de la ecuación $\dfrac{dy}{dx} = x -y$, es decir, los elementos lineales son tangentes a funciones $y(x)$ ¡que son solución a la ecuación diferencial!, basta trazar curvas solución a lo largo de los elementos lineales para hallar gráficamente las soluciones a la ecuación $\dfrac{dy}{dx} = x -y$.

$4$ curvas solución de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = x -y$.

Ya vimos que una ecuación diferencial puede tener infinitas soluciones o bien que hay una familia de soluciones, en este caso, en la gráfica se muestran $4$ curvas solución correspondientes a $4$ soluciones $y = y(x)$ particulares, cada una se obtiene con distintos valores iniciales.

Lo importante que debes notar es que, a pesar de no tener la forma explícita (o implícita) de la función solución $y = y(x)$, gráficamente ¡ya conocemos las posibles gráficas de las curvas solución! de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = x -y$. También es importante notar que el signo de la pendiente nos dice si la curva es creciente o decreciente, esto por su puesto es así debido al resultado de cálculo en donde si $\dfrac{dy}{dx} > 0$ o $\dfrac{dy}{dx} < 0$ para toda $x$ en un intervalo $\delta$ entonces la función derivable $y = y(x)$ es creciente o decreciente en $\delta $ respectivamente.

La solución general a la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = x -y$ es $y(x) = x -1 + \dfrac{c}{e^{x}}$ (compruébalo sustituyendo $y$ y $\dfrac{dy}{dx}$ en la EDO y verifica que se cumple la relación), como tarea moral usa un graficador de funciones y traza la gráfica de la función $y(x) = x -1 + \dfrac{c}{e^{x}}$ dándole valores arbitrarios a la constante $c$ y nota como obtendrás las curvas solución parecidas a la imagen anterior. De acuerdo a la imagen puedes notar que las $4$ curvas solución que se muestran corresponden a los valores iniciales $y(-3) = 0$, $y(-0.85) = -3.38$, $y(0) = 0$ y $y(2.58) = -2.06$.

$\square$

Definición: Un bosquejo con pequeños elementos lineales trazados en diversos puntos del plano $XY$ para mostrar la pendiente de la curva solución en el punto correspondiente se llama campo de pendientes o campo de direcciones de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = f(x, y(x))$.

Las imágenes anteriores corresponden al campo de pendientes de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = x -y$. Un campo de pendientes indica el «flujo de las soluciones» y facilita el trazo de cualquier solución particular, la dirección del campo indica el aspecto o forma de una familia de curvas solución de la ecuación diferencial dada, esto permite observar a simple vista aspectos cualitativos de la solución, por ejemplo, regiones en el plano donde la solución presenta un comportamiento poco común.

En este contexto una curva solución también es llamada curva integral.

Definición: Una curva integral es una curva en el plano $XY$ tal que es tangente al campo de direcciones en cada punto de la curva.

Método de las isóclinas

Con lo visto anteriormente ya podemos crear campos de pendientes pero como notarás es un proceso muy tardado pues hay que ir evaluando punto a punto del plano para obtener el valor de la pendiente en dicho punto y así poder dibujar un elemento lineal, esto puede ser mucho más rápido si se utilizan paquetes computacionales que lo realicen, sin embargo existe un método que nos permite dibujar elementos lineales de manera más rápida sin necesidad de ir evaluando punto a punto, este método es conocido como el método de las isóclinas.

Definición: Una isóclina para la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = f(x, y(x))$ es un conjunto de puntos en el plano $XY$ donde todas las soluciones tienen la misma pendiente $m = \dfrac{dy}{dx}$.

En otras palabras, una isóclina es una curva de nivel de la función $f(x, y)$, si es una curva de nivel entonces $f(x, y) = k$, donde $k$ es una constante arbitraria, si sustituimos $f(x, y) = k$ en la EDO obtenemos $\dfrac{dy}{dx} = k$, con esta ecuación podemos ver que en efecto para todas las soluciones $y = y(x)$ va a haber puntos donde la pendiente $\dfrac{dy}{dx}$ sera la misma, una constante.

Con este método sólo basta encontrar las isóclinas de una EDO y sobre ellas dibujar elementos lineales que tengan la misma pendiente obteniendo así el campo de pendientes y por tanto las curvas solución de la EDO. Para que esto quede mucho más claro construyamos las isóclinas de la ecuación diferencial de nuestro ejemplo anterior.

Ejemplo: Hallas las isóclinas y el campo de pendientes de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = x -y$

Solución: Lo primero que debemos de hacer es igualar nuestra ecuación diferencial a una constante.

$$\dfrac{dy}{dx} = x -y = k $$

Y despejamos la función dependiente $y$ en términos de la función independiente y la constante.

$$y = y(x) = x -k$$

Es claro que es la ecuación de una recta, para cada valor arbitrario de $k$ se obtiene una recta distinta, lo importante es que a lo largo de toda esa recta hay elementos lineales con la misma pendiente, sólo basta evaluar un punto de cada isóclina en la función razón y obtendremos el valor de la pendiente para toda la isóclina.

Isóclinas de la ecuación $\dfrac{dy}{dx} = x -y$

En la imagen vemos que a lo largo de cada isóclina (en este caso rectas marcadas de rojo) los elemento lineales tienen la misma pendiente recuperando así el campo de pendientes que ya habíamos obtenido anteriormente.

Este método es muy útil si lo que queremos es obtener una campo de pendientes de manera manual. Una vez obtenido el campo de pendientes procedemos a dibujar las curvas solución como lo hicimos con anterioridad.

Dos casos especiales

Vamos a estudiar brevemente dos casos especiales de ecuaciones diferenciales.

Hemos trabajado con la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = f(x, y(x))$ pero es posible que ocurra que la función razón sólo sea función de la variable dependiente $y(x)$ o sólo de la variable independiente $x$, es decir, tener las ecuaciones

\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} = f(y) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{dy}{dx} = f(x)
\end{align*}

Más adelante veremos que estas ecuaciones son más fácil de resolver analíticamente debido a que son lo que se conoce como ecuaciones separables, pero por ahora vamos a hacer un análisis cualitativo como lo hemos estando haciendo en esta entrada.

Campo de pendientes para $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$

El hecho de tener la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$ en su forma normal nos permite reconocer que la pendiente de un elemento lineal en cualquier punto es la misma que la de cualquier otro punto con la misma coordenada $x$.

Campo de pendientes de la ecuación $\dfrac{dy}{dx} = x$.

En la imagen tenemos como ejemplo el campo de pendientes de la ecuación $\dfrac{dy}{dx} = f(x) = x$. Las curvas verdes representan dos curvas solución de la ecuación pero lo que es interesante es que a lo largo de las líneas verticales (líneas amarillas) todos los elementos lineales tienen la misma pendiente.

Geométricamente podemos decir que en un campo de pendientes si los elementos lineales sobre cada línea vertical del dominio en consideración son paralelos entonces la ecuación diferencial correspondiente es de la forma $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$

Campo de pendientes para $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$

En el caso en el que la función razón sólo depende de la variable dependiente los elementos lineales de un campo de pendientes van a tener la misma pendiente en dos puntos diferentes con la misma coordenada $y$, es decir, el campo de pendientes es paralelo a lo largo de cada línea horizontal.

Campo de pendientes de la ecuación $\dfrac{dy}{dx} = y$.

En la imagen tenemos como ejemplo el campo de pendientes de la ecuación $\dfrac{dy}{dx} = y$, las curvas verdes corresponden a algunas de las curvas solución de la ecuación mientras que las líneas amarillas sólo intentan hacer notar que las pendientes de los elementos lineales para un valor de $y$ son las mismas.

Hasta aquí concluimos la entrada, en la siguiente continuaremos explorando más sobre la teoría cualitativa de este tipo de ecuaciones diferenciales.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Dibuja el campo de pendientes de las siguientes ecuaciones diferenciales. Hazlo en una hoja de papel usando el método de las isóclinas y posteriormente verifica tu resultado usando un programa computacional. Una vez construido el campo de pendientes dibuja tres curva solución aproximadas, donde cada una pase por cada uno de los puntos indicados.
  • $\dfrac{dy}{dx} = 1-y$ $\hspace{2cm}$ Puntos: $(0, 3)$; $\hspace{0.4cm}$ $(-2, -1)$; $\hspace{0.4cm}$ $(0, 1)$
  • $\dfrac{dy}{dx} = x^{2} -y -2$ $\hspace{1cm}$ Puntos: $(-1, 1)$; $\hspace{0.4cm}$ $(4, 0)$; $\hspace{0.4cm}$ $(0, -2)$
  • $\dfrac{dy}{dx} = xy$ $\hspace{2.5cm}$ Puntos: $(0,1)$; $\hspace{0.4cm}$ $(1, -2)$; $\hspace{0.4cm}$ $(-3, 2)$
  1. Dado los siguientes campos de pendientes, determina la opción qué indica la ecuación diferencial que corresponde al campo de pendientes.
Campo de pendientes.
  • a) $\dfrac{dy}{dx} = \sin(x) + \cos(x)$; $\hspace{0.5cm}$ b) $\dfrac{dy}{dx} = \sin(x) \cos(x)$; $\hspace{0.5cm}$ c) $\dfrac{dy}{dx} = 2\sin(x)$
Campo de pendientes.
  • a) $\dfrac{dy}{dx} = x^{2} + y^{2}$; $\hspace{0.5cm}$ b) $\dfrac{dy}{dx} = 5y^{2}$; $\hspace{0.5cm}$ c) $\dfrac{dy}{dx} = x^{2} -y^{2}$

Más adelante…

En la siguiente entrada continuaremos con las descripciones cualitativas de las soluciones a una ecuación diferencial, en particular estudiaremos en mayor profundidad las ecuaciones de la forma $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$ llamadas ecuaciones diferenciales autónomas.

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