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Geometría Moderna I: Simediana

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

Introducción

La simediana es un tipo especial de ceviana relacionada con la mediana de un triángulo, veremos algunas caracterizaciones y propiedades.

Simediana, primera caracterización

Definición 1. Una simediana de un triángulo es la reflexión de una mediana respecto de la bisectriz interna que pasa por el mismo vértice. Un triángulo tiene tres simedianas.

Notación. Denotaremos a la intersección de una simediana con el lado opuesto como $S$ .

Teorema 1. Una ceviana de un triángulo divide internamente al lado opuesto en la razón de los cuadrados de los lados adyacentes si y solo si es simediana.

Demostración. Sean $A A^{'}$ la mediana y $A S$ la simediana en un triángulo $△ A B C$ .

Sea $H$ el pie de la altura por $A$ , calculamos las áreas de los triángulos $△ B A S$ , $△ B A A^{'}$ , $△ S A C$ y $△ A^{'} A C$ .

$\begin{matrix} (1) & (△ B A S) = \frac{B S \times A H}{2} = \frac{B A \times A S \sin ∠ B A S}{2}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (2) & (△ B A A^{'}) = \frac{B A^{'} \times A H}{2} = \frac{B A \times A A^{'} \sin ∠ B A A^{'}}{2}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (3) & (△ S A C) = \frac{S C \times A H}{2} = \frac{S A \times A C \sin ∠ S A C}{2}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (4) & (△ A^{'} A C) = \frac{A^{'} C \times A H}{2} = \frac{A A^{'} \times A C \sin ∠ A^{'} A C}{2} . \end{matrix}$

Sea $L$ la intersección de la bisectriz de $A$ con $B C$ , entonces
$\begin{matrix} (5) & ∠ B A S = ∠ B A L - ∠ S A L = ∠ L A C - ∠ L A A^{'} = ∠ A^{'} A C, \end{matrix}$
$∠ B A A^{'} = ∠ B A L + ∠ L A A^{'} = ∠ L A C + ∠ S A L = ∠ S A C .$

Haciendo el cociente de $(1)$ con $(4)$ y de $(2)$ con $(3)$ obtenemos
$\frac{B S}{A^{'} C} = \frac{B A \times A S}{A A^{'} \times A C}$ ,
$\frac{B A^{'}}{S C} = \frac{B A \times A A^{'}}{S A \times A C}$ .

Multiplicando estas dos ecuaciones obtenemos el resultado esperado
$\frac{B S}{S C} = \frac{B A^{2}}{A C^{2}}$ .

El reciproco también es cierto, pues el punto $S$ que divide a $B C$ en la razón $\frac{B A^{2}}{A C^{2}}$ , es único.

Exsimediana

Definición 2. Las tangentes al circuncírculo de un triángulo por sus vértices se conocen como simedianas externas o exsimedianas.

Corolario. La simediana y la exsimediana que pasan por el mismo vértice de un triángulo son conjugadas armónicas respecto de los lados del triángulo que forman dicho vértice.

Demostración. En la entrada teorema de Menelao mostramos que la exsimediana de un triángulo divide externamente al lado opuesto en la razón de los cuadrados de los lados que pasan por el mismo vértice.

El resultado se sigue del hecho de que el conjugado armónico es único y el teorema 1.

Teorema 2. Una simediana y las exsimedianas que pasan por vértices distintos son concurrentes, al punto de concurrencia se le conoce como punto exsimediano.

Demostración. En $△ A B C$ , $A P$ y $C P$ son tangentes al circuncírculo $Γ$ de $△ A B C$ en $A$ y en $C$ respectivamente y se cortan en $P$ (figura 2).

Sea $D = B P \cap Γ$ , $D \neq B$ , por la proposición 5 de la entrada anterior, $A B C D$ es un cuadrilátero armónico.

Entonces, por el teorema 2 de la entrada anterior, el Haz $B (B C D A)$ es armónico, es decir, la tangente a $Γ$ en $B$ , y $B D$ son conjugadas armónicas respecto de $B A$ y $B C$ .

Como el conjugado armónico es único, $B P$ es simediana de $△ A B C$ , por el corolario anterior.

Antiparalelas (1)

Teorema 3. La $B$ -simediana de un triángulo $△ A B C$ es el lugar geométrico de los puntos que bisecan a las antiparalelas de $A C$ respecto a $A B$ y $B C$ .

Demostración. Sean $D \in A B$ y $E \in B C$ tales que $A C$ y $D E$ son antiparalelas respecto a $A B$ y $B C$ , entonces $A D E C$ es cíclico.

Por lo tanto, $∠ A C E$ y $∠ E D A$ son suplementarios, en consecuencia, $∠ A C B = ∠ A C E = ∠ B D E$ .

Sea $T B$ tangente al circuncírculo de $△ A B C$ en $B$ , entonces $∠ A B T = ∠ A C B$ pues abarcan el mismo arco, por lo tanto, la $B$ -exsimediana y $D E$ son paralelas.

Sea $B S$ una ceviana de $△ A B C$ , entonces por la proposición 2 de la entrada anterior $B S$ biseca a $D E$ si y solo si el haz $B (T C S A)$ es armónico.

En consecuencia, como el conjugado armónico de $B T$ respecto de $B C$ y $B A$ es la $B$ -simediana, $B S$ biseca a $D E$ si y solo si $B S$ es simediana de $△ A B C$ .

Antiparalelas (2)

Proposición. 1 Si dos antiparalelas a dos de los lados de un triángulo tienen la misma longitud, entonces estas se intersecan en la simediana relativa al tercer lado, el reciproco también es cierto.

Demostración. Sean $△ A B C$ , $E$ , $G \in B C$ , $F \in A B$ y $H \in C A$ , tales que $E F$ , $A C$ son antiparalelas respecto a $A B$ y $B C$ ; $A B$ , $G H$ son antiparalelas respecto a $B C$ y $C A$ , y $E F = G H$ .

Como $A F E C$ y $A B G H$ son cíclicos, entonces, $∠ F E B = ∠ B A C = ∠ C G H$ , por lo tanto $P G = P E$ .

Sea $P = E F \cap G H$ , dado que $F E = G H$ entonces $F P = H P$ .

Si $S = A P \cap B C$ , considera $I \in A B$ , $J \in C A$ , tales que $I S ∥ F E$ y $J S ∥ G H$ , entonces $△ A S I \sim △ A P F$ y $△ A S J \sim △ A P H$ .

Por lo tanto, $\frac{S I}{P F} = \frac{A S}{A P} = \frac{S J}{P H}$ , como $P F = P H$ entonces $S I = S J$ .

Por otro lado $△ S B I \sim △ A B C \sim △ S J C$ , esto es
$\frac{S B}{S I} = \frac{A B}{A C}$ y $\frac{S J}{S C} = \frac{A B}{A C}$ .

Como resultado de multiplicar estas dos ecuaciones obtenemos
$\frac{B S}{S C} = \frac{A B^{2}}{A C^{2}}$ .

Por el teorema 1, esto implica que $A S$ es la $A$ -simediana de $△ A B C$ .

Notemos que el reciproco también es cierto, esto es, si dos antiparalelas a dos de los lados de un triángulo se intersecan en la simediana relativa al tercer lado, entonces estas tienen la misma longitud.

Esto lo podemos ver tomando la prueba anterior en sentido contrario.

Otra caracterización importante

Teorema 4. Una simediana es el lugar geométrico de los puntos (dentro de los ángulos internos del triángulo o sus ángulos opuestos por el vértice) tales que la razón de sus distancias a los lados adyacentes a la simediana, es igual a la razón entre esos lados.

Demostración. Sean $△ A B C$ , $A^{'}$ el punto medio de $B C$ y $P \in A A^{'}$ , considera las proyecciones $P_{c}$ , $P_{b}$ de $P$ en $A B$ y $A C$ respectivamente y $A_{c}^{'}$ , $A_{b}^{'}$ , las correspondientes de $A^{'}$ .

Como $△ A P P_{c} \sim △ A A^{'} A_{c}^{'}$ y $△ A P P_{b} \sim △ A A^{'} A_{b}^{'}$ entonces
$\frac{P P_{c}}{A^{'} A_{c}^{'}} = \frac{A P}{A A^{'}} = \frac{P P_{b}}{A^{'} A_{b}^{'}}$ .

Tomando en cuenta que los triángulos $△ A B A^{'}$ y $△ A A^{'} C$ tienen la misma altura desde $A$ , tenemos lo siguiente:
$\frac{A C}{A B} = \frac{P P_{c}}{P P_{b}} = \frac{A^{'} A_{c}^{'}}{A^{'} A_{b}^{'}}$
$\Leftrightarrow A C \times A^{'} A_{b}^{'} = A B \times A^{'} A_{c}^{'}$
$\Leftrightarrow (△ A A^{'} C) = (△ A A^{'} B)$
$\Leftrightarrow A^{'} C = B A^{'}$ .

Por lo tanto, la mediana de un triángulo es el lugar geométrico de los puntos tales que la razón de sus distancias a los lados adyacentes a la mediana es el inverso de la razón entre dichos lados.

Denotamos la distancia de un punto $P$ a una recta $l$ como $d (P, l)$ .

Para $P \in A A^{'}$ considera $P^{'} \in A S$ su reflexión respecto de la bisectriz de $∠ B A C$ , entonces

$\frac{d (P^{'}, A B)}{d (P^{'}, A C)} = \frac{d (P, A C)}{d (P^{'}, A B)} = \frac{A B}{A C}$ .

Proposición 2. La recta que une las proyecciones de un punto en la simediana (mediana) de un triángulo, sobre los lados adyacentes, es perpendicular a la mediana (simediana) que pasa por el mismo vértice.

Demostración. En un triángulo $△ A B C$ sean $A A^{'}$ la mediana y $A S$ la simediana, considera $P \in A S$ y $D$ , $E$ , las proyecciones de $P$ en $C A$ y $A B$ respectivamente.

Como $∠ P E A + ∠ A D P = π$ entonces $A E P D$ es cíclico, así que $∠ E A P = ∠ E D P$ , por la ecuación $(5)$ , $∠ E A P = ∠ A^{'} A D$ .

Sean $F = P D \cap A A^{'}$ y $G = D E \cap A A^{'}$ , en los triángulos $△ A D F$ y $△ D G F$ , $∠ F A D = ∠ G D F$ y $∠ D F G$ es un ángulo común, por lo tanto son semejantes.

Como $P D ⊥ A C$ entonces $D E ⊥ A A^{'}$ .

El caso para la mediana es análogo.

Más adelante…

Así como las medianas de un triángulo son concurrentes, las simedianas también son concurrentes, pero dicho punto tiene propiedades importantes por si mismo, y de eso hablaremos en la próxima entrada.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Muestra que las segundas intersecciones de una mediana y su correspondiente simediana con el circuncírculo del triángulo, determinan una recta paralela al lado del triángulo relativo a la mediana considerada.
Sea $△ A B C$ un triángulo acutángulo, $D$ y $A^{'}$ las proyecciones de $A$ y $O$ , el circuncírculo de $△ A B C$ , en $B C$ respectivamente, sean $E = B O \cap A D$ , $F = C O \cap A D$ y considera $P$ el segundo punto en común entre los circuncírculos de $△ A B E$ y $△ A F C$ , demuestra que $A P$ es la $A$ -simediana de $△ A B C$ .
Sea $P$ un punto dentro de un triángulo isósceles $△ A B C$ con $A B = A C$ , tal que $∠ P B C = ∠ A C P$ , si $A^{'}$ es el punto medio de $B C$ , muestra que $∠ B P A^{'}$ y $∠ C P A$ son suplementarios.
Sean $△ A B C$ , $D \in A B$ y $E \in C A$ tal que $D E ∥ B C$ , considera $P = B E \cap C D$ , los circuncírculos de $△ B D P$ y $△ C E P$ se intersecan en $P$ y $Q$ , muestra que $∠ B A Q = ∠ P A C$ .
La $A$ -simediana $A S$ y la $A$ -meidnana $A A^{'}$ de un triángulo $△ A B C$ intersecan otra vez a su circuncírculo en $S^{'}$ y $L$ respectivamente, prueba que la rectas de Simson de $S^{'}$ y $L$ son perpendiculares a $A A^{'}$ y a $A S$ respectivamente.
Muestra que las exsimedianas de un triángulo tienen la misma propiedad que se señala en el teorema 4 respecto a las simedianas, pero esta vez para los puntos dentro de los ángulos externos del triángulo.

Entradas relacionadas

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Otros cursos.

Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 247-252.
Lozanovski, S., A Beautiful Journey Through Olympiad Geometry. Version 1.4. 2020, pp 86-92.
Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 129-145.
Shively, L., Introducción a la Geómetra Moderna. México: Ed. Continental, 1961, pp 66-70.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Moderna I: Haz armónico

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

Esta es una continuación de la entrada anterior donde vimos algunas propiedades de hileras armónicas de puntos, esta vez nos enfocaremos en propiedades de un haz armónico de rectas, que nos permitirán definir al cuadrilátero armónico.

Haz de rectas

Definición 1. Si cuatro rectas $P A$ , $P C$ , $P B$ , $P D$ concurren en $P$ , decimos que forman un haz de rectas y que $P$ es el vértice del haz, denotamos al haz como $P (A C B D)$ .

Teorema. 1 Sea $P (A C B D)$ un haz de rectas donde $A$ , $C$ , $B$ , $D$ , son colineales, considera $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ , $D^{'}$ , las intersecciones de cualquier otra transversal al haz, entonces $(A, B; C, D) = (A^{'}, B^{'}; C^{'}, D^{'})$ .

Demostración. Aplicamos la ley de los senos a $△ P A C$ , $△ P C B$ , $△ P B D$ y $△ P A D$ .

$\frac{A C}{\sin ∠ A P C} = \frac{P C}{\sin ∠ C A P}$ ,

$\frac{C B}{\sin ∠ C P B} = \frac{P C}{\sin ∠ P B C}$ ,

$\frac{D B}{\sin ∠ B P D} = \frac{P D}{\sin ∠ D B P}$ ,

$\frac{A D}{\sin ∠ A P D} = \frac{P D}{\sin ∠ D A P}$ .

De lo anterior calculamos,
$(A, B; C, D) = \frac{A C}{C B} \frac{D B}{A D}$

$= \frac{\frac{\sin ∠ A P C}{\sin ∠ C A P} \frac{\sin ∠ B P D}{\sin ∠ D B P}}{\frac{\sin ∠ C P B}{\sin ∠ P B C} \frac{\sin ∠ A P D}{\sin ∠ D A P}}$
$\begin{matrix} (6) & = \frac{\sin ∠ A P C}{\sin ∠ C P B} \frac{\sin ∠ B P D}{\sin ∠ A P D} . \end{matrix}$

La última igualdad se debe a que $∠ C A P = ∠ D A P$ y $\sin ∠ P B C = \sin ∠ D B P$ , por ser $∠ P B C$ y $∠ D B P$ suplementarios.

Si hacemos el mismo procedimiento, esta vez con los puntos $A^{'}$ , $C^{'}$ , $B^{'}$ , $D^{'}$ , obtendremos el mismo resultado ya que $∠ A P C = ∠ A^{'} P C^{'}$ , $∠ C P B = ∠ C^{'} P B^{'}$ , $∠ B P D = ∠ B^{'} P D^{'}$ y $∠ A P D = ∠ A^{'} P D^{'}$ .

Por lo tanto $(A, B; C, D) = (A^{'}, B^{'}; C^{'}, D^{'})$ .

Definición 2. Dado un haz de rectas $P (A C B D)$ , si $A$ , $C$ , $B$ y $D$ son colineales, definimos la razón cruzada $P (A, B; C, D)$ del haz como la razón cruzada $(A, B; C, D)$ , de la hilera de puntos $A C B D$ .

Equivalentemente, por la ecuación $(1)$ , podemos definir, $P (A, B; C, D) = \frac{\sin ∠ A P C}{\sin ∠ C P B} \frac{\sin ∠ B P D}{\sin ∠ A P D}$ .

Si $P (A, B; C, D) = - 1$ , decimos que el haz es armónico y que $P A$ , $P B$ son rectas conjugadas armónicas respecto de $P C$ y $P D$ o que $P C$ , $P D$ son conjugadas armónicas respecto de $P A$ y $P D$ .

Ejemplo

Proposición 1. Las rectas que unen los excentros de un triángulo con los puntos medios de los lados del triángulo relativos a esos excentros son concurrentes.

Demostración. Sean $I_{a}$ , $I_{b}$ , $I_{C}$ , los excentros de un triángulo $△ A B C$ , $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ los puntos medio de $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente, consideremos $X = I_{a} A^{'} \cap I_{b} I_{c}$ , $Y = I_{b} B^{'} \cap I_{a} I_{c}$ , $Z = I_{c} C^{'} \cap I_{a} I_{b}$ ; $D = I_{a} A \cap B C$ , $E = I_{b} B \cap C A$ , $F = I_{c} C \cap A B$ .

Consideremos los haces $I_{a} (C D A^{'} B)$ , $I_{b} (A B^{'} E C)$ , $I_{c} (B C^{'} F A)$ , por el teorema 1, tenemos lo siguiente:
$(A^{'}, D; B, C) = (X, A; I_{c}, I_{b})$ ,
$(B^{'}, E; A, C) = (Y, B; I_{c}, I_{a})$ ,
$(C^{'}, F; B, A) = (Z, C; I_{a}, I_{b})$ .

Esto es,
$\begin{matrix} (7) & \frac{A^{'} B}{B D} \frac{C D}{A^{'} C} = \frac{X I_{c}}{I_{c} A} \frac{I_{b} A}{X I_{b}}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (8) & \frac{B^{'} A}{A E} \frac{C E}{B^{'} C} = \frac{Y I_{c}}{I_{c} B} \frac{I_{a} B}{Y I_{a}}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (9) & \frac{C^{'} B}{B F} \frac{A F}{C^{'} A} = \frac{Z I_{a}}{I_{a} C} \frac{I_{b} C}{Z I_{b}} . \end{matrix}$

Como $A D$ , $B E$ , $C F$ ; $I_{a} A$ , $I_{b} B$ , $I_{c} C$ , concurren en el incentro $I$ de $△ A B C$ , aplicando el teorema de Ceva a los triángulos $△ A B C$ y $△ I_{a} I_{b} I_{c}$ tenemos:

$\frac{A F}{F B} \frac{B D}{D C} \frac{C E}{E A} = 1$ ,
$\frac{I_{a} C}{C I_{b}} \frac{I_{b} A}{A I_{c}} \frac{I_{c} B}{B I_{a}} = 1$ .

Recordemos que $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ son los puntos medios de $B C$ , $C A$ y $A B$ , empleando segmentos dirigidos y tomando en cuenta lo anterior, si hacemos el producto del inverso de $(2)$ con $(3)$ y $(4)$ , obtenemos:

$\frac{I_{a} Z}{Z I_{b}} \frac{I_{c} X}{X I_{b}} \frac{I_{c} Y}{Y I_{a}} = 1$ .

Por el teorema de Ceva, $I_{a} X = I_{a} A^{'}$ , $I_{b} Y = I_{b} B^{'}$ , $I_{c} Z = I_{c} C^{'}$ , son concurrentes.

Haz armónico

Proposición 2. Una recta, paralela a alguna de las rectas de un haz, es dividida en dos segmentos iguales por las otras tres rectas del haz si y solo si el haz es armónico.

Demostración. Sean $P (A C B D)$ un haz de rectas con $A$ , $C$ , $B$ , $D$ , colineales en ese orden, $l$ paralela a $P A$ , $C^{'} = l \cap P C$ , $B^{'} = l \cap P B$ , $D^{'} = l \cap P D$ .

Aplicamos la ley de los senos a $△ C^{'} P B^{'}$ y $△ B^{'} P D^{'}$

$\frac{C^{'} B^{'}}{\sin ∠ C^{'} P B^{'}} = \frac{P B^{'}}{\sin ∠ B^{'} C^{'} P}$ ,
$\frac{D^{'} B^{'}}{\sin ∠ B^{'} P D^{'}} = \frac{P B^{'}}{\sin ∠ P D^{'} B^{'}}$ .

Por lo tanto,
$\frac{D^{'} B^{'}}{C^{'} B^{'}} = \frac{\sin ∠ B^{'} C^{'} P}{\sin ∠ C^{'} P B^{'}} \frac{\sin ∠ B^{'} P D^{'}}{\sin ∠ P D^{'} B^{'}}$ .

Por la ecuación $(1)$
$(A, B; C, D) = \frac{\sin ∠ A P C}{\sin ∠ C P B} \frac{\sin ∠ B P D}{\sin ∠ A P D}$ .

Como $P A ∥ C^{'} B^{'} D^{'}$ , entonces $∠ A P C = ∠ B^{'} C^{'} P$ y $∠ A P D$ , $∠ P D^{'} B^{'}$ son suplementarios, además $∠ C P B = ∠ C^{'} P B^{'}$ y $∠ B P D = ∠ B^{'} P D^{'}$ .

Por lo tanto $(A, B; C, D) = \frac{D^{'} B^{'}}{C^{'} B^{'}}$ .

Como resultado, $(A, B; C, D) = - 1 \Leftrightarrow | D^{'} B^{'} | = | C^{'} B^{'} |$ .

Proposición 3. Si dos rectas conjugadas de un haz armónico son perpendiculares entonces son las bisectrices del ángulo formado por las otras dos rectas del haz.

Demostración. Sea $P (A C B D)$ un haz armónico, supongamos que $P A ⊥ P B$ (figura 3), sean $l$ una recta paralela a $P A$ y $C^{'}$ , $B^{'}$ , $D^{'}$ , las intersecciones de $l$ con $P C$ , $P B$ , $P D$ respectivamente.

Por la proposición anterior $C^{'} B^{'} = B^{'} D^{'}$ , como $P A ⊥ P B$ entonces $P B ⊥ C^{'} D^{'}$ .

Por lo tanto, $△ P C^{'} D^{'}$ es isósceles y así, $P A$ y $P B$ son las bisectrices externa e interna de $∠ C^{'} P D^{'}$ .

Proposición 4. Si tenemos dos hileras armónicas $A C B D$ y $A^{'} C^{'} B^{'} D^{'}$ tales que $A A^{'}$ , $B B^{'}$ , $C C^{'}$ concurren en un punto $P$ entonces $D D^{'}$ también pasa por $P$ .

Demostración. Sea $X = P D \cap A^{'} C^{'} B^{'} D^{'}$ , por el teorema 1, $X$ es el conjugado armónico de $C^{'}$ respecto de $A^{'} B^{'}$ , por lo tanto $X = D^{'}$ .

Cuadrilátero armónico

Teorema 2. Sean $A C B D$ un cuadrilátero cíclico, en ese orden cíclico, y $P$ un punto en su circuncírculo, entonces la razón cruzada del haz $P (A C B D)$ no depende de la posición de $P$ .

Demostración. Sea $R$ el circunradio de $A B C D$ , aplicamos la ley extendida de los senos a $△ A P C$ , $△ C P B$ , $△ B P D$ y $△ A P D$ .

$\frac{A C}{\sin ∠ A P C} = \frac{C B}{\sin ∠ C P B} = \frac{D B}{\sin ∠ B P D}$
$= \frac{A D}{\sin ∠ A P D} = \frac{1}{2 R}$ .

Por lo tanto,
$P (A, B; C, D) = \frac{\sin ∠ A P C}{\sin ∠ C P B} \frac{\sin ∠ B P D}{\sin ∠ A P D}$
$= \frac{A C}{C B} \frac{D B}{A D}$ .

Definición 3. Definimos la razón cruzada de cuatro puntos cíclicos $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , como $(A, B; C, D) = P (A, B; C, D)$ , para cualquier punto $P$ en la misma circunferencia.

De manera equivalente, por el teorema 2, podemos definir $(A, B; C, D) = \frac{A C}{C B} \div \frac{A D}{D B}$ , la cual tomamos como positiva si $A B$ y $C D$ no se intersecan dentro de la circunferencia y como negativa en caso contrario.

Si $(A, B; C, D) = - 1$ , decimos que $A C B D$ es un cuadrilátero armónico.

Construcción del conjugado armónico en una circunferencia.

Proposición 5. Sean $Γ$ el circuncírculo de un triángulo $△ A B C$ , $P$ la intersección de las tangentes a $Γ$ por $A$ y $C$ , $D = P B \cap Γ$ , $D \neq B$ , entonces $A B C D$ es un cuadrilátero armónico.

Demostración. Como $∠ D B A = ∠ D A P$ y $∠ C B D = ∠ P C D$ , por criterio de semejanza AA, $△ P B A \sim △ P A D$ y $△ P B C \sim △ P C D$ , recordemos que las tangentes $P A$ y $P C$ son iguales.

Por lo tanto,
$\frac{B A}{A D} = \frac{P B}{P A} = \frac{P B}{P C} = \frac{B C}{C D}$
$\Rightarrow \frac{A B}{B C} = \frac{A D}{D C}$ .

De acuerdo a la definición 3, $A B C D$ es un cuadrilátero armónico.

Proposición 6. Sea $A B C D$ un cuadrilátero armónico, entonces $B D$ y las tangentes a $Γ$ el circuncírculo de $A B C D$ , en $A$ y $C$ son concurrentes.

Sean $l_{1}$ tangente a $Γ$ en $A$ , $P = l \cap B D$ y $E = A C \cap B D$ , por el teorema 2, el haz $A (A B C D)$ es armónico, donde $A A = l_{1}$ , por el teorema 1, $(P, E; D, B) = - 1$ .

Análogamente, sea $l_{2}$ la tangente a $Γ$ en $C$ y $Q = l_{2} \cap B D$ entonces el haz $C (C B A D)$ es armónico, por lo tanto $(Q, E; D, B) = - 1$ .

Por lo tanto, $P = Q$ .

Ejemplo

Proposición 7. Sea $Γ$ el incírculo de un triángulo $△ A B C$ , $X$ , el punto de contacto de $Γ$ con $B C$ , $D$ el pie de la altura por $A$ y $M$ el punto medio de $A D$ , $N = X M \cap Γ$ , $N \neq X$ entonces $X N$ es la bisectriz de $∠ B N C$ .

Demostración. Sea $L$ el punto al infinito de la recta $A D$ , entonces, $M$ y $L$ son conjugados armónicos respecto de $A$ y $D$ .

Sea $X^{'}$ el punto diametralmente opuesto a $X$ , como $X X^{'} ∥ A D$ , entonces $X X^{'} \cap A D = L$ .

Por el teorema 1, el haz $X (D M A X^{'})$ es armónico, sea $U = X A \cap Γ$ , $U \neq X$ , entonces $X N U X^{'}$ es un cuadrilátero armónico.

Sean $Y$ , $Z$ los puntos de tangencia de $Γ$ con $C A$ y $A B$ respectivamente, por la proposición 5, $X Y U Z$ es armónico.

Sea $P = Z Y \cap B C$ , como $B C$ es tangente a $Γ$ en $X$ entonces por la proposición 6, $P U$ es tangente a $Γ$ .

Como $X N U X^{'}$ es armónico, por la proposición 6, $P X$ , $P U$ , $X^{'} N$ son concurrentes, es decir $X^{'}$ , $N$ y $P$ son colineales.

Ya que $X X^{'}$ es diámetro de $Γ$ , entonces $∠ X^{'} N X = \frac{π}{2}$ , es decir, $N X ⊥ N P$ .

Sabemos que $A X$ , $B Y$ , $C Z$ concurren en el punto de Gergonne $G_{e}$ , entonces por el teorema 2 de la entrada anterior, $P = Z Y \cap B C$ es el conjugado armónico de $X$ respecto de $B C$ .

Ya que $N X ⊥ N P$ , por el teorema 3 de la entrada anterior, $N X$ es la bisectriz interna de $∠ B N C$ .

Más adelante…

En la siguiente entrada hablaremos sobre las simedianas, estas son las reflexiones de la medianas de un triángulo respecto de las bisectrices que pasan por el mismo vértice, con la ayuda de haces armónicos estableceremos algunas propiedades de estas rectas.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

En un triángulo $△ A B C$ , $D$ , $E$ , $F$ , los pies de las alturas por $A$ , $B$ , $C$ , respectivamente, $I_{a}$ , $I_{b}$ , $I_{c}$ los excentros opuestos a $A$ , $B$ , $C$ respectivamente, demuestra que $I_{a} D$ , $I_{b} E$ , $I_{c} F$ son concurrentes.
$i)$ Dadas tres rectas concurrentes $O A$ , $O C$ , $O B$ , construye el conjugado armónico de $O C$ respecto de $O A$ y $O B$ ,
$i i)$ Si $(A, B; C, D) = - 1$ , $(A, B^{'}; C^{'}, D^{'}) = - 1$ , y $A B \neq A B^{'}$ , muestra que $B B^{'}$ , $C C^{'}$ , $D D^{'}$ son concurrentes.
Sea $A B C D$ un cuadrilátero convexo, $E = A D \cap B C$ , $F = A B \cap C D$ , $G = A C \cap B D$ , sea $O$ la proyección de $G$ en $F E$ , muestra que $∠ A O B = ∠ C O D$ .
Muestra que las rectas que unen un punto en una circunferencia con los extremos de un cuerda, dividen armónicamente al diámetro perpendicular a dicha cuerda.
En un triángulo $△ A B C$ , $A^{'}$ es el punto medio de $B C$ , sea $Γ$ la circunferencia con diámetro $A A^{'}$ , considera $D = Γ \cap A B$ , $E = Γ \cap C A$ , $D \neq A \neq E$ , y $P$ la intersección de las tangentes a $Γ$ en $D$ y $E$ , muestra que $P B = P C$ .

Entradas relacionadas

Ir a Geometría Moderna I.
Entrada anterior del curso: División armónica.
Siguiente entrada del curso: Simediana.
Otros cursos.

Fuentes

Lozanovski, S., A Beautiful Journey Through Olympiad Geometry. Version 1.4. 2020, pp 159-166.
Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 149-161.
Aref, M. y Wernick, W., Problems and Solutions in Euclidean Geometry. New York: Dover, 2010, pp 178-186.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Moderna I: División armónica

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

En entradas anteriores definimos la razón en la que un punto divide a un segmento e hicimos uso de este concepto, obviando el cambio de signo, nos podemos preguntar que es lo que pasa cuando dos puntos distintos dividen en la misma razón a un segmento, esto es lo que se conoce como división armónica.

Definición 1. Definimos la razón cruzada de dos pares de puntos colineales $(A, B)$ y $(C, D)$ como
$(A, B; C, D) = \frac{A C}{C B} \div \frac{A D}{D B}$ .

Si $C$ está en el segmento $A B$ , $D$ en su extensión y la razón en la que $C$ y $D$ dividen al segmento $A B$ es la misma en valor absoluto, entonces $(A, B; C, D) = - 1$ .

En este caso, decimos que $C$ y $D$ dividen al segmento $A B$ armónicamente, o que $C$ y $D$ son conjugados armónicos respecto de $A$ y $B$ .

Observación. Notemos que el conjugado armónico de un punto respecto de otros dos puntos dados es único, pues ya probamos que para todo número real $r$ , existe un único punto que divide a un segmento dado en $r$ .

Hilera armónica

Teorema 1. Si dos puntos $C$ y $D$ dividen armónicamente al segmento $A B$ en la razón $| \frac{p}{q} |$ entonces los puntos $A$ y $B$ dividen armónicamente a $C D$ en la razón $| \frac{p - q}{p + q} |$ .

Demostración. Supongamos que $\frac{A C}{C B} = \frac{p}{q}$ y $\frac{A D}{D B} = \frac{- p}{q}$ , entonces usando segmentos dirigidos,

$\frac{A C}{C B} + \frac{C B}{C B} = \frac{p}{q} + \frac{q}{q} \Rightarrow$

$\begin{matrix} (10) & \frac{A B}{C B} = \frac{p + q}{q} . \end{matrix}$

$\frac{A D}{D B} + \frac{D B}{D B} = \frac{- p}{q} + \frac{q}{q} \Rightarrow$
$\begin{matrix} (11) & \frac{A B}{D B} = \frac{q - p}{q} . \end{matrix}$

De manera análoga podemos encontrar
$\begin{matrix} (12) & \frac{A B}{A C} = \frac{C B + A C}{A C} = \frac{q + p}{p}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (13) & \frac{A B}{A D} = \frac{D B + A D}{A D} = \frac{p - q}{p} . \end{matrix}$

Haciendo el cociente de $(2)$ entre $(1)$ obtenemos
$\frac{C B}{B D} = \frac{p - q}{p + q}$ .

Análogamente de $(4)$ y $(3)$ obtenemos
$\frac{C A}{A D} = \frac{q - p}{p + q}$ .

Definición 2. Debido a esta propiedad reciproca en la que si $(A, B; C, D) = - 1$ entonces $(C, D; A, B) = - 1$ , decimos que $A C B D$ es una hilera armónica de puntos o simplemente una hilera armónica.

Corolario 1. Si $(A, B; C, D) = - 1$ , entonces $\frac{A B}{C D} = \frac{p^{2} - q^{2}}{2 p q}$ .

Demostración. $C D = A D - A C$
$= A B p (\frac{1}{p - q} - \frac{1}{p + q}) = A B p (\frac{p + q - (p - q)}{p^{2} - q^{2}})$ .

Donde la segunda igualdad se debe a $(3)$ y $(4)$ .

Por lo tanto, $\frac{A B}{C D} = \frac{p^{2} - q^{2}}{2 p q}$ .

Construcción del conjugado armónico

Teorema 2. Sea $△ A B C$ , considera $X \in B C$ , $Y \in C A$ , $Z \in A B$ , cada uno en el interior del lado respectivo y sea $X^{'} = Z Y \cap B C$ , entonces $X$ y $X^{'}$ son conjugados armónicos respecto a $B C$ si y solo si $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes.

Demostración. Aplicando el teorema de Menelao a $△ A B C$ y la transversal $X^{'} Y Z$ tenemos
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B X^{'}}{X^{'} C} \frac{C Y}{Y A} = - 1$ .

Por el teorema de Ceva $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes si y solo si,
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A} = 1$ .

Dividiendo ambas expresiones obtenemos
$(B, C; X, X^{'}) = \frac{B X}{X C} \div \frac{B X^{'}}{X^{'} C} = - 1$ .

Proposición 1. Las proyecciones de los puntos de una hilera armónica en cualquier recta, forman otra hilera armónica.

Demostración. Sean $A C B D$ una hilera armónica y $l$ cualquier otra recta, consideremos $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ , $D^{'}$ , las proyecciones de $A$ , $B$ , $C$ , $D$ respectivamente en $l$ .

Sea $P = A C B D \cap l$ , como $A A^{'} ∥ B B^{'} ∥ D D^{'}$ , tenemos las siguientes semejanzas, $△ P B^{'} B \sim △ P D^{'} D \sim △ P A^{'} A$ (figura 3), es decir:

$\frac{P A^{'}}{P D^{'}} = \frac{P A}{P D} \Leftrightarrow \frac{- A^{'} P - P D^{'}}{P D^{'}} = \frac{- A P - P D}{P D}$
$\Leftrightarrow \frac{A^{'} D^{'}}{A D} = \frac{P^{'} D^{'}}{P D}$ .

Igualmente podemos ver que $\frac{D^{'} B^{'}}{D B} = \frac{P^{'} D^{'}}{P D}$ .

Por lo tanto $\frac{A^{'} D^{'}}{D^{'} B^{'}} = \frac{A D}{B D}$ .

De manera análoga podemos encontrar $\frac{A^{'} C^{'}}{C^{'} B^{'}} = \frac{A C}{C B}$ .

Como $(A, B; C, D) = - 1$ , entonces,
$\frac{A^{'} D^{'}}{D^{'} B^{'}} = \frac{A D}{B D} = - \frac{A C}{C B} = - \frac{A^{'} C^{'}}{C^{'} B^{'}}$ .

División armónica y bisectrices

Teorema 3. Sean $A$ , $C$ , $B$ , $D$ , cuatro puntos colineales, en ese orden, sea $P$ un punto fuera de la recta $A C B D$ , entonces, si dos de las siguientes tres propiedades son ciertas, la tercera también es cierta:
$i)$ $(A, B; C, D) = - 1$ ,
$i i)$ $P C$ es la bisectriz interna de $∠ A P B$ ,
$i i i)$ $P C ⊥ P D$ .

Demostración.
$i)$ y $i i)$ se cumplen, como $P C$ es la bisectriz interna de $∠ A P B$ , por el teorema de la bisectriz, la bisectriz externa de $∠ A P B$ interseca a $A B$ en el conjugado armónico de $C$ , el cual es único por la observación hecha en la introducción.

Por lo tanto, $P D$ es la bisectriz externa de $∠ A P B$ y así $P C ⊥ P D$ .

$i i)$ y $i i i)$ se cumplen, ya que $P C$ es la bisectriz interna de $∠ A P B$ y $P C ⊥ P D$ , entonces $P D$ es la bisectriz externa de $∠ A P B$ .

Por el teorema de la bisectriz, $C$ y $D$ son conjugados armónicos.

$i)$ y $i i i)$ se cumplen, si $C$ y $D$ son conjugados armónicos respecto de $A B$ entonces se encuentran en la circunferencia de Apolonio determinada por la razón $\frac{A C}{C B} = | \frac{A D}{D B} |$ .

Recordemos que $C D$ es diámetro de esta circunferencia, como $P C ⊥ P D$ , entonces $P$ pertenece a este lugar geométrico.

Por lo tanto, $\frac{A P}{P B} = \frac{A C}{C B} = | \frac{A D}{D B} |$ , por el reciproco del teorema de la bisectriz, $P C$ y $P D$ son las bisectrices interna y externa de $∠ A P B$ respectivamente.

Corolario 2. Considera un triángulo $△ A B C$ , $I$ el incentro, $I_{c}$ el excentro relativo al vértice $C$ y $C_{1} = C I \cap A B$ , entonces $(C, C_{1}; I, I_{c}) = - 1$ .

Demostración. En $△ A C_{1} C$ , $A I$ y $A I_{c}$ son las bisectrices interna y externa respectivamente de $∠ C_{1} A C$ .

Como se cumplen los puntos $i i)$ y $i i i)$ del teorema anterior entonces $(C, C_{1}; I, I_{c}) = - 1$ .

Punto medio de conjugados armónicos

Teorema 4. Si $A$ , $C$ , $B$ , $D$ , son cuatro puntos colineales, en ese orden, y $O$ el punto medio del segmento $A B$ entonces $(A, B; C, D) = - 1$ si y solo si $O C \times O D = O A^{2}$ .

Demostración. Empleando segmentos dirigidos tenemos lo siguiente:
$A C - C B = (A O + O C) - (C O + O B) = 2 O C$ ,
$A D - D B = (A O + O D) - (D O + O B) = 2 O D$ ,
$A C + C B = A B = A D + D B = 2 A O$ .

Por lo tanto, $O C \times O D = O A^{2}$
$\Leftrightarrow 2 O C \times 2 O D = (2 A O)^{2}$
$\Leftrightarrow (A C - C B) (A D - D B) = (A C + C B) (A D + D B)$
$\Leftrightarrow (A C \times A D) - (A C \times D B) - (A D \times C B) + (C B \times D B)$
$= (A C \times A D) + (A C \times D B) + (A D \times C B) + (C B \times D B)$
$\Leftrightarrow - 2 A C \times D B = 2 A D \times C B$
$\Leftrightarrow (A, B; C, D) = - 1$ .

Proposición 2.Sean $A$ , $C$ , $B$ , $D$ , cuatro puntos colineales, entonces $(A, B; C, D) = - 1$ , si y solo si al medir todos los segmentos de un punto de la hilera armónica, $B$ por ejemplo, tenemos $\frac{2}{B A} = \frac{1}{B C} + \frac{1}{B D}$ .

Demostración. $\frac{A C}{C B} = - \frac{A D}{D B}$
$\Leftrightarrow \frac{A B + B C}{C B} = - \frac{A B + B D}{D B}$
$\Leftrightarrow \frac{B A}{B C} - 1 = \frac{B A}{D B} + 1$
$\Leftrightarrow \frac{1}{B C} + \frac{1}{B D} = \frac{2}{B A}$ .

Teorema de Feuerbach

Teorema 5, de Feuerbach. La circunferencia de los nueve puntos y el incírculo de un triángulo son tangentes.

Demostración. Paso 1. Sean $△ A B C$ , $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ su triangulo medial, $Γ (N)$ la circunferencia de los nueve puntos (el circuncírculo de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ) y considera la tangente $C^{'} T$ a $Γ (N)$ en $C^{'}$ .

Notemos que $∠ T C^{'} A$ y $∠ C^{'} B^{'} A^{'}$ son ángulos semiinscrito e inscrito respectivamente de $Γ (N)$ y abarcan el mismo arco, por lo tanto, son iguales.

Recordemos que los lados de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ son paralelos a los de $△ A B C$ y por lo tanto, $△ A B C$ y $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ son semejantes.

En consecuencia,
$∠ B C^{'} T = ∠ B C^{'} A^{'} - ∠ T C^{'} A$
$= ∠ B A C - ∠ C^{'} B^{'} A^{'} = ∠ A - ∠ B$ .

Paso 2. Sean $Γ (I)$ el incírculo de $△ A B C$ , $C_{1} = C I \cap A B$ y $C_{1} P$ tangente a $Γ (I)$ en $P$ .

Como $C_{1} A$ y $C_{1} P$ son tangentes a $Γ (I)$ desde $C_{1}$ entonces $∠ P C_{1} I = ∠ I C_{1} A$ .

Por lo tanto,
$∠ B C_{1} P = π - ∠ P C_{1} A$
$= π - (2 ∠ I C_{1} A) = π - 2 (π - ∠ A - \frac{∠ C}{2})$
$= ∠ A + (∠ A + ∠ C - π) = ∠ A - ∠ B$ .

Así, $C^{'} T ∥ C_{1} P$ .

Paso 3. Sean $Γ (I_{c})$ el excírculo opuesto al vértice $C$ , $Z_{c}$ el punto de tangencia entre $Γ (I_{c})$ y $A B$ , $Z$ el punto de tangencia entre $Γ (I)$ y $A B$ , $H_{c}$ el pie de la altura por $C$ en $△ A B C$ .

Por el corolario 2, $(C, C_{1}; I, I_{c}) = - 1$ y por la proposición 1, $(H_{c}, C_{1}; Z, Z_{c}) = - 1$ .

Recordemos que el punto medio de $Z$ y $Z_{c}$ coincide con el punto medio $C^{'}$ , de $A B$ .

Por el teorema 4, $C^{'} C_{1} \times C^{'} H_{c} = C^{'} Z^{2}$ .

Sea $F = C^{'} P \cap Γ (I)$ , $F \neq P$ , por la potencia de $C^{'}$ respecto de $Γ (I)$ tenemos
$C^{'} P \times C^{'} F = C^{'} Z^{2} = C^{'} C_{1} \times C^{'} H_{c}$ .

Por la ecuación anterior, el teorema de las cuerdas nos dice que $H_{c} C_{1} P F$ es cíclico.

Por lo tanto, $∠ H_{c} F P$ y $∠ P C_{1} H_{c}$ son suplementarios.

En consecuencia, $∠ H_{c} F C^{'} = ∠ B C_{1} P = ∠ B C^{'} T$ .

Por otra parte, notemos que $C^{'} H_{c}$ es una cuerda de la circunferencia de los nueve puntos $Γ (N)$ , sea $F^{'}$ en el arco $\overset{⌢}{C^{'} H_{c}}$ (recorrido en ese sentido).

Entonces, $∠ B C^{'} T + ∠ T C^{'} F^{'} + ∠ F^{'} C^{'} H_{c} = π = ∠ H_{c} F^{'} C^{'} + ∠ C^{'} H_{c} F^{'} + ∠ F^{'} C^{'} H_{c}$ , además $∠ T C^{'} F^{'} = ∠ C^{'} H_{c} F^{'}$ , pues abarcan el mismo arco.

Por lo tanto, los puntos $F^{'}$ en el arco $\overset{⌢}{C^{'} H_{c}}$ , cumplen que $∠ H_{c} F^{'} C^{'} = ∠ B C^{'} T$ , además son los únicos, siempre y cuando estén del mismo lado que $C$ respecto de $C^{'} H_{c}$ .

Como $F$ cumple estas características, entonces $F \in Γ (N)$ .

Paso 4. Sean $U$ la intersección de la tangente a $Γ (N)$ en $F$ con $C^{'} T$ y $V$ la intersección de la tangente a $Γ (I)$ en $F$ con $C_{1} P$ .

Como $U C^{'} = U F$ , por ser tangentes a $Γ (N)$ desde $U$ , entonces $∠ U C^{'} F = ∠ C^{'} F U$ , igualmente vemos que $∠ V P F = ∠ P F V$ .

Pero $∠ U C^{'} F = ∠ V P F$ pues $C^{'} U ∥ P V$ y $C^{'} P F$ es transversal a ambas.

Por lo tanto, $∠ C^{'} F U = ∠ P F V = ∠ C^{'} F V$ , es decir $U F$ y $V F$ son la misma recta.

Como resultado tenemos que $Γ (N)$ y $Γ (I)$ son tangentes en $F$ .

Definición 3. Al punto de tangencia entre el incírculo y la circunferencia de los nueve puntos $F$ , se le conoce como punto de Feuerbach.

Más adelante…

Continuando con el tema de división armónica, en la siguiente entrada estudiaremos haces armónicos.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

$i)$ Divide un segmento dado en una razón dada $\frac{p}{q}$ ,
$i i)$ Muestra que $H N G O$ es una hilera armónica, donde $H$ es el ortocentro, $N$ el centro de los nueve puntos, $G$ el centroide y $O$ el circuncentro de un triángulo.
Si los puntos $C$ y $D$ dividen internamente y externamente de manera armónica en la razón $\frac{p}{q}$ al segmento $A B$ , muestra que el punto medio de $C D$ divide al segmento $A B$ en la razón $\frac{p^{2}}{q^{2}}$ .
Prueba que la suma de los cuadrados de dos segmentos armónicos es igual a cuatro veces el cuadrado de la distancia entre los puntos medios de estos segmentos.
Considera el segmento determinado por el vértice de un triángulo y la intersección de la bisectriz interna o externa con el lado opuesto, muestra que los pies de las perpendiculares a dicha recta desde los otros dos vértices del triángulo dividen al segmento de manera armónica.
Si los puntos $C$ y $D$ dividen armónicamente al segmento $A B$ y $O$ es el punto medio de $A B$ , muestra que $O C^{2} + O D^{2} = C D^{2} + 2 O A^{2}$ .
Si $(A, B; C, D) = - 1$ y $A^{'}$ , $B^{'}$ son los conjugados armónicos de $D$ respecto a los pares de puntos $(A, C)$ y $(B, C)$ respectivamente, muestra que $(A^{'}, B^{'}; C, D) = - 1$ .
Sean $△ A B C$ , $D$ , $E$ , $F$ , los puntos de tangencia del incírculo de $△ A B C$ con $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente, sea $X$ en el interior de $△ A B C$ tal que el incírculo de $△ X B C$ es tangente a $B C$ , $C X$ , $X B$ en $D$ , $Y$ , $Z$ , respectivamente, demuestra que $E F Z Y$ es cíclico.
Demuestra que la circunferencia de los nueve puntos de un triángulo es tangente a cada uno de sus excírculos.

Entradas relacionadas

Ir a Geometría Moderna I.
Entrada anterior del curso: Punto de Nagel.
Siguiente entrada del curso: Haz armónico.
Otros cursos.

Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 53-56, 166-171.
Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 149-161.
Lozanovski, S., A Beautiful Journey Through Olympiad Geometry. Version 1.4. 2020, pp 156-158.
Johnson, R., Advanced Euclidean Geometry. New York: Dover, 2007, pp 200-203.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Moderna I: Punto de Nagel

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

En esta entrada mostraremos la existencia del punto de Nagel como el conjugado isotómico del punto de Gergonne; estudiaremos algunas propiedades de otros objetos geométricos relacionados con el punto de Nagel, a saber, la recta de Nagel, la circunferencia de Spieker y la circunferencia de Fuhrmann.

Punto de Nagel

Teorema 1. Las rectas que unen los vértices de un triángulo con el punto de tangencia entre el lado opuesto y el excírculo relativo a ese lado son concurrentes, al punto de concurrencia, $N_{a}$ , se le conoce como punto de Nagel.

Demostración. Sean $△ A B C$ y $X_{a} \in B C$ , $Y_{b} \in C A$ , $Z_{c} \in A B$ , los puntos de tangencia de los excírculos opuestos a $A$ , $B$ , $C$ respectivamente

Considera $X$ , $Y$ , $Z$ los puntos de tangencia del incírculo con $B C$ , $C A$ y $A B$ .

En la entrada triángulos en perspectiva vimos que $A X$ , $B Y$ , $C Z$ concurren en el punto de Gergonne, $G_{e}$ .

En la entrada circunferencias tritangentes vimos que los pares de puntos $X$ , $X_{a}$ ; $Y$ , $Y_{b}$ ; $Z$ , $Z_{b}$ son puntos isotómicos, es decir, su punto medio coincide con el punto medio del lado al que pertenecen.

Por la proposición 1 de la entrada anterior, $A X_{a}$ , $B Y_{b}$ , $C Z_{c}$ concurren en el conjugado isotómico de $G_{e}$ .

Recta de Nagel

Teorema 2.
$i)$ El incentro de un triángulo es el punto de Nagel de su triángulo medial,
$i i$ ) el incentro $I$ , el centroide $G$ y el punto de Nagel $N_{a}$ , de un triángulo, son colineales, a dicha recta se le conoce como recta de Nagel,
$i i i)$ $I G = 2 G N_{a}$ .

Demostración. Sean $△ A B C$ , $Γ (I)$ su incírculo y $Γ (I_{c})$ el excírculo opuesto al vértice $C$ .

Considera $Z$ y $Z_{c}$ los puntos de tangencia de $B C$ con $Γ (I)$ y $Γ (I_{c})$ respectivamente, sea $T$ el punto diametralmente opuesto a $Z$ en $Γ (I)$ .

Como $C A$ y $B C$ son tangentes exteriores comunes a $Γ (I)$ y $Γ (I_{c})$ , entonces $C$ es un centro de homotecia entre $Γ (I)$ y $Γ (I_{c})$ .

Por otra parte, como $I$ , $I_{c}$ son puntos correspondientes de esta homotecia y $I_{c} Z_{c} ∥ I T$ entonces $I_{c} Z_{c}$ , $I T$ son rectas homotéticas.

Por lo tanto, $Z_{c}$ y $T$ son puntos homólogos y así, $Z_{c}$ , $T$ y $C$ son colineales.

Ahora consideremos $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , el triángulo medial de $△ A B C$ , recordemos que existe una homotecia con centro en $G$ y razón $- 2$ , que lleva a $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ en $△ A B C$ .

Recordemos que $Z$ y $Z_{c}$ son puntos isotómicos, por lo tanto, $\frac{Z C^{'}}{C^{'} Z_{c}} = \frac{Z I}{I T} = 1$ , por el reciproco del teorema de Tales, $C^{'} I ∥ Z_{c} T$ .

Como $C^{'}$ y $C$ son puntos homólogos de esta homotecia y $C I ∥ C Z_{c}$ , entonces $C^{'} I$ y $C Z_{c}$ son rectas homotéticas.

Como $C Z_{c}$ pasa por $N_{a}$ , el punto de Nagel de $△ A B C$ , entonces $C I$ pasa por el punto de Nagel de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Igualmente podemos ver que $B^{'} I$ , $A^{'} I$ pasan por el punto de Nagel de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Por lo tanto, el incentro de $△ A B C$ es el punto de Nagel de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Como los puntos notables de dos triángulos homotéticos son puntos homólogos, entonces $I$ , $G$ y $N_{a}$ son colineales.

Dado que la razón de homotecia es $- 2$ , entonces $G$ triseca al segmento $I N_{a}$ , es decir, $I G = 2 G N_{a}$ .

Circunferencia de Spieker

Definición 1. El incírculo del triángulo medial de un triángulo dado se conoce como circunferencia de Spieker y su centro $S$ , como punto de Spieker.

Teorema 3. El punto de Spieker está en la recta de Nagel y biseca al segmento que une al incentro con el punto de Nagel.

Demostración. Sean $△ A B C$ , $I$ el incentro, $N_{a}$ el punto de Nagel y consideremos $S$ el punto medio de $I N_{a}$ .

Por el teorema anterior, $3 I G = I N_{a}$ , como $2 I S = I N_{a}$ entonces $I G = \frac{2}{3} I S$ , donde $G$ es el centroide de $△ A B C$ .

Por lo tanto, $I G = 2 G S$ .

Sea $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ el triángulo medial de $△ A B C$ , como $A G = 2 G A^{'}$ , por criterio de semejanza LAL, $△ G A I \sim △ G A^{'} S$

Por lo tanto, $∠ I A G = ∠ S A^{'} G$ , es decir $A I ∥ S A^{'}$ .

Consideremos la homotecia con centro en $G$ que lleva a $△ A B C$ en $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Como $A$ y $A^{'}$ son puntos correspondientes de esta homotecia, $A I ∥ A^{'} S$ y $A I$ es bisectriz de $∠ B A C$ entonces $A^{'} S$ es bisectriz de $∠ B^{'} A^{'} C^{'}$ .

Igualmente podemos ver que $B^{'} S$ y $C^{'} S$ son bisectrices de $∠ C^{'} B^{'} A^{'}$ y $∠ A^{'} C^{'} B^{'}$ respectivamente, por lo tanto, $S$ es el incentro de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Proposición 1. La circunferencia de Spieker está inscrita en el triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los segmentos que unen el punto de Nagel con los vértices del triángulo.

Demostración. Sean $△ A B C$ , $N_{a}$ su punto de Nagel, $A^{″}$ , $B^{″}$ , $C^{″}$ los puntos medios de $A N_{a}$ , $B N_{b}$ , $C N_{c}$ respectivamente.

En $△ A B N_{a}$ , $A^{″} B^{″}$ es un segmento medio por lo que $A B ∥ A^{″} B^{″}$ y $A B = 2 A^{″} B^{″}$ .

Igualmente podemos ver que $B C ∥ B^{″} C^{″}$ , $B C = 2 B^{″} C^{″}$ y $C A ∥ C^{″} A^{″}$ y $C A = 2 C^{″} A^{″}$ .

Como los lados de $△ A B C$ también son paralelos y duplican a los lados de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , su triangulo medial, entonces $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ y $△ A^{″} B^{″} C^{″}$ son congruentes y están en homotecia.

Por otra parte, sea $I$ el incentro de $△ A B C$ y $S$ el punto de Spieker, en $△ N_{a} A I$ , $A^{″} S$ es un segmento medio por lo que $A^{″} S ∥ A I$ .

Por el teorema anterior, $A^{'} S ∥ A I$ , en consecuencia, $A^{'}$ , $S$ y $A^{″}$ son colineales.

De manera análoga podemos ver que $B^{'}$ , $S$ , $B^{″}$ y $C^{'}$ , $S$ , $C^{″}$ son colineales.

Por lo tanto, $S$ es el centro de homotecia entre $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ y $△ A^{″} B^{″} C^{″}$ .

Como $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ y $△ A^{″} B^{″} C^{″}$ son congruentes y $S$ es su centro de homotecia, entonces sus incírculos coinciden.

Corolario. El punto de Nagel es un centro de homotecia entre el incírculo y la circunferencia de Spieker de un triángulo.

Demostración. Se sigue de que $△ A B C$ y $△ A^{″} B^{″} C^{″}$ están en homotecia desde el punto de Nagel y que el incírculo de $△ A^{″} B^{″} C^{″}$ es la circunferencia de Spieker.

Circunferencia de Fuhrmann

Definición 2. Considera el circuncírculo de un triángulo $△ A B C$ , el triángulo cuyos vértices son las reflexiones de los puntos medios de los arcos $\overset{⌢}{A B}$ , $\overset{⌢}{B C}$ y $\overset{⌢}{C A}$ que no contienen a $C$ , $A$ y $B$ respectivamente, se conoce como triángulo de Fuhrmann y su circuncírculo como circunferencia de Fuhrmann.

Teorema 4. El segmento que une al ortocentro con el punto de Nagel de un triángulo, es diámetro de su circunferencia de Fuhrmann.

Demostración. Sean $△ A B C$ y $M_{a}$ , $M_{b}$ , $M_{c}$ , los puntos medios de los arcos $\overset{⌢}{B C}$ , $\overset{⌢}{C A}$ , $\overset{⌢}{A B}$ respectivamente, $M_{a}^{'}$ , $M_{b}^{'}$ , $M_{c}^{'}$ , sus respectivas reflexiones respecto de los lados $B C$ , $C A$ y $A B$ .

Sean $O$ el circuncentro de $△ A B C$ , $A^{'}$ el punto medio de $B C$ y $M$ el punto diametralmente opuesto de $M_{a}$ .

Notemos que $M_{a}$ , $A^{'}$ , $O$ , $M_{a}^{'}$ y $M$ son colineales y entonces
$M_{a}^{'} M = M_{a} M - M_{a} M_{a}^{'} = 2 (M_{a} O - M_{a} A^{'}) = 2 A^{'} O$ .

Por otro lado, sabemos que $A H = 2 O A^{'}$ donde $H$ es el ortocentro de $△ A B C$ .

Como $A H = M_{a}^{'} M$ y $A H ∥ M_{a}^{'} M$ , entonces $A H M_{a}^{'} M$ es paralelogramo.

Ya que $M_{a} M$ es diámetro entonces $A M ⊥ A M_{a}$ , en consecuencia, $H M_{a}^{'} ⊥ A M_{a}$ .

Sean $I$ el incentro, $N_{a}$ el punto de Nagel, $S$ el punto de Spieker, respectivamente y considera $L = N_{a} A^{'} \cap A M_{a}$ .

Por el teorema anterior $A^{'} S ∥ I L$ y como $S$ es el punto medio del $I N_{a}$ entonces $A^{'}$ es el punto medio de $N_{a} L$ .

Como $A^{'}$ también es el punto medio de $M_{a} M_{a}^{'}$ entonces $L M_{a} N_{a} M_{a}^{'}$ es paralelogramo, es decir $M_{a}^{'} N_{a} ∥ A M_{a}$ .

En consecuencia, $H M_{a}^{'} ⊥ M_{a}^{'} N_{a}$ y por lo tanto $M_{a}^{'}$ está en la circunferencia de diámetro $H N_{a}$ .

De manera análoga vemos que $M_{b}^{'}$ y $M_{c}^{'}$ pertenecen a la misma circunferencia.

Proposición 2. La circunferencia de Fuhrmann interseca a las alturas de un triángulo, en un punto (distinto del ortocentro) que está a una distancia del vértice respectivo, del doble del inradio del triángulo.

Demostración. Sea $△ A B C$ y $N_{a}$ su punto de Nagel, consideremos $△ A^{″} B^{″} C^{″}$ su triángulo anticomplementario, el triángulo cuyos lados son paralelos a los de $△ A B C$ y pasan por lo vértices de $△ A B C$ .

Como $△ A B C$ es el triángulo medial de $△ A^{″} B^{″} C^{″}$ entonces $N_{a}$ es el incentro de $△ A^{″} B^{″} C^{″}$ , sea $X$ la proyección de $N_{a}$ en $B^{″} C^{″}$ , entonces $N_{a} X$ es el inradio de $△ A^{″} B^{″} C^{″}$ .

Por lo tanto $N_{a} X$ es dos veces el inradio r, de $△ A B C$ .

Completemos el rectángulo $A T N_{a} X$ de lados $N_{a} X$ y $A X$ , entonces $A T = 2 r$ y $A T$ es la altura por $A$ .

Como $H$ , el ortocentro de $△ A B C$ , está en $A T$ o su extensión y $∠ N_{a} T H = \frac{π}{2}$ , entonces $T$ está en la circunferencia de Fuhrnamm de $△ A B C$ .

Más adelante…

En la próxima entrada veremos algunas propiedades de la división armónica, las cuales nos ayudaran a demostrar el teorema de Feuerbach.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Considera los puntos de tangencia de los lados de un triángulo con un excírculo, muestra que las rectas que unen los vértices del triángulo con el punto de tangencia en el lado opuesto son concurrentes.
Prueba que la recta que pasa por el incentro y el circuncentro de un triángulo es paralela a la recta que pasa por el ortocentro y el punto de Nagel y que $H N_{a} = 2 O I$ .
A la recta que pasa por el punto medio de un triángulo y su punto de Spieker se le conoce como cuchilla, demuestra que las tres cuchillas de un triángulo bisecan su perímetro.
Muestra que la reflexión del incentro de un triángulo respecto del centro de los nueve puntos es el centro de su circunferencia de Fuhrmann.
En la figura 5, muestra que $△ M_{a} M_{b} M_{c}$ y $△ M_{a}^{'} M_{b}^{'} M_{c}^{'}$ son semejantes.

Entradas relacionadas

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Entrada anterior del curso: Teorema de Ceva.
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Otros cursos.

Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 160-162.
Johnson, R., Advanced Euclidean Geometry. New York: Dover, 2007, pp 225-229.
Honsberger, R., Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington: The Mathematical Association of America, 1995, pp 49-52.
University of Crete
Wolfram MathWorld
Wikipedia

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Moderna I: Teorema de Ceva

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

En esta ocasión veremos algunas proposiciones sobre concurrencia de rectas, principalmente el teorema de Ceva y su forma trigonométrica, a partir de los cuales mostraremos otros resultados.

Teorema de Ceva

Definición 1. Si una recta pasa por el vértice de un triángulo, el segmento comprendido entre el vértice y la intersección con el lado opuesto, se llama ceviana.

Teorema 1, de Ceva. Sean $△ A B C$ y $A X$ , $B Y$ , $C Z$ cevianas, entonces $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes si y solo si
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A} = 1$ .

Demostración. Supongamos que $A X$ , $B Y$ y $C Z$ concurren en $S$ .

Aplicamos el teorema de Menelao a $△ A B X$ y la trasversal $Z S C$
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B C}{C X} \frac{X S}{S A} = - 1$ .

Nuevamente, usamos el teorema de Menelao, ahora en $△ A X C$ y la transversal $B Y S$
$\frac{A S}{S X} \frac{X B}{B C} \frac{C Y}{Y A} = - 1$ .

Multiplicamos estas dos igualdades y reordenamos
$\frac{A Z}{Z B} \frac{X B}{C X} \frac{C Y}{Y A} \frac{X S}{S A} \frac{A S}{S X} \frac{B C}{B C} = 1$ .

Simplificamos empleando segmentos dirigidos
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A} = 1$ .

Conversamente, supongamos que para las tres cevianas $A X$ , $B Y$ y $C Z$ , se cumple la igualdad $\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A} = 1$ , sea $S = B Y \cap C Z$ , queremos ver que $A X$ pasa por $S$ .

Sea $X^{'} = A S \cap B C$ , entonces las cevianas $A X^{'}$ , $B Y$ y $C Z$ son concurrentes por lo tanto
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B X^{'}}{X^{'} C} \frac{C Y}{Y A} = 1$ .

Como resultado de esta igualdad y nuestra hipótesis obtenemos
$\frac{B X}{X C} = \frac{B X^{'}}{X^{'} C}$ .

Es decir, $X$ y $X^{'}$ dividen a $B C$ en la misma razón, por lo tanto, $X = X^{'}$ .

Forma trigonométrica del teorema de Ceva

Forma trigonométrica del teorema de Ceva. Sean $A Z$ , $B Y$ y $C Z$ cevianas de un triángulo $△ A B C$ , entonces $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes si y solo si
$\frac{\sin ∠ A C Z}{\sin ∠ Z C B} \frac{\sin ∠ B A X}{\sin ∠ X A C} \frac{\sin ∠ C B Y}{\sin ∠ Y B A} = 1$ .

Demostración. Aplicamos el lema de la razón a los puntos $X$ , $Y$ , $Z$ (figura 1)

$\frac{B X}{X C} = \frac{B A}{A C} \frac{\sin ∠ B A X}{\sin ∠ X A C}$ ,
$\frac{C Y}{Y A} = \frac{C B}{B A} \frac{\sin ∠ C B Y}{\sin ∠ Y B A}$ ,
$\frac{A Z}{Z B} = \frac{A C}{C B} \frac{\sin ∠ A C Z}{\sin ∠ Z C B}$ .

Multiplicamos las tres igualdades
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A}$
$= \frac{\sin ∠ A C Z}{\sin ∠ Z C B} \frac{\sin ∠ B A X}{\sin ∠ X A C} \frac{\sin ∠ C B Y}{\sin ∠ Y B A}$ .

Por el teorema de Ceva, $\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A} = 1$
si y solo si $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes.

Por lo tanto,
$\frac{\sin ∠ A C Z}{\sin ∠ Z C B} \frac{\sin ∠ B A X}{\sin ∠ X A C} \frac{\sin ∠ C B Y}{\sin ∠ Y B A} = 1$
si y solo si $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes.

Conjugados isotómicos

Proposición 1. Sea $△ A B C$ y $P$ un punto en el plano, sean $X = A P \cap B C$ , $Y = B P \cap C A$ , $Z = C P \cap A B$ , considera los puntos isotómicos $X^{'}$ , $Y^{'}$ , $Z^{'}$ de $X$ , $Y$ , $Z$ respectivamente, entonces las cevianas $A X^{'}$ , $B Y^{'}$ , $C Z^{'}$ son concurrentes, al punto de concurrencia se le conoce como conjugado isotómico de $P$ respecto a $△ A B C$ .

Demostración. Como $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes, por el teorema de Ceva $\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A} = 1$ .

Ya que $X^{'}$ , $Y^{'}$ , $Z^{'}$ son las reflexiones de $X$ , $Y$ , $Z$ , respectivamente, respecto de los puntos medios de $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente entonces

$\frac{A Z^{'}}{Z^{'} B} \frac{B X^{'}}{X^{'} C} \frac{C Y^{'}}{Y^{'} A}$
$= \frac{Z B}{A Z} \frac{X C}{B X} \frac{Y A}{C Y}$
$= (\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A})^{- 1} = 1$ .

Por lo tanto, por el teorema de Ceva, $A X^{'}$ , $B Y^{'}$ , $C Z^{'}$ son concurrentes.

Teorema de Blanchet

Definición 2. Si tres cevianas $A X$ , $B Y$ , $C Z$ de un triángulo $△ A B C$ concurren en un punto $P$ , a $△ X Y Z$ se le conoce como triángulo de Ceva de $P$ respecto de $△ A B C$ .

Teorema 2, de Blanchet. Sea $△ A B C$ y $X$ el pie de la altura por $A$ , sea $P$ cualquier punto en $A X$ , $△ X Y Z$ el triángulo de Ceva de $P$ respecto de $△ A B C$ , entonces $A X$ es la bisectriz de $∠ Z X Y$ .

Demostración. Sean $l$ la paralela a $B C$ por $A$ , $D = X Z \cap l$ , $E = X Y \cap l$ , entonces tenemos las siguientes semejanzas $△ Y C X \sim △ Y A E$ , $△ Z A D \sim △ Z B X$ , esto es,
$\frac{Y C}{Y A} = \frac{C X}{A E}$ y $\frac{Z A}{Z B} = \frac{A D}{B X}$ .

Como las cevianas $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes, por el teorema de Ceva tenemos
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A} = 1$ .

Sustituimos las ecuaciones derivadas de la semejanza
$\frac{D A}{B X} \frac{B X}{X C} \frac{X C}{A E} = 1$ .

Esto implica que $D A = A E$ .

Como $∠ E A X = ∠ X A D = \frac{π}{2}$ , por criterio de congruencia LAL, $△ X A E ≅ △ X A D$ .

Por lo tanto, $∠ D X A = ∠ A X E$ .

Teorema del nido de Ceva

Teorema 3. Sean $A D$ , $B E$ , $C F$ tres cevianas de un triángulo $△ A B C$ ; $D X$ , $E Y$ , $F Z$ , tres cevianas de $△ D E F$ , si dos de las tercias $(A D, B E, C F)$ ; $(D X, E Y, F Z)$ ; $(A X, B Y, C Z)$ , entonces la tercera también es concurrente.

Demostración. Supongamos que $(A D, B E, C F)$ y $(D X, E Y, F Z)$ son concurrentes, la prueba para otros casos es análoga.

Aplicamos el lema de la razón a los triángulos $△ A E F$ , $△ B F D$ , $△ C D E$ y los respectivos puntos $X$ , $Y$ , $Z$ ,

$\frac{E X}{X F} = \frac{E A}{A F} \frac{\sin ∠ E A X}{\sin ∠ X A F}$ ,

$\frac{F Y}{Y D} = \frac{F B}{B D} \frac{\sin ∠ F B Y}{\sin ∠ D B Y}$ ,

$\frac{D Z}{Z E} = \frac{D C}{C E} \frac{\sin ∠ D C Z}{\sin ∠ E C Z}$ .

Sean $X^{'} = A X \cap B C$ , $Y^{'} = B Y \cap C A$ , $Z^{'} = C Z \cap A B$ , recordemos que si dos ángulos son suplementarios su seno es igual, ahora multiplicamos las tres ecuaciones y reacomodamos

$\frac{D Z}{Z E} \frac{E X}{X F} \frac{F Y}{Y D}$
$= (\frac{A F}{F B} \frac{B D}{D C} \frac{C E}{E A})^{- 1} \frac{\sin ∠ X^{'} A C}{\sin ∠ X^{'} A B} \frac{\sin ∠ Y^{'} B A}{\sin ∠ C B Y^{'}} \frac{\sin ∠ Z^{'} C B}{\sin ∠ A C Z^{'}}$ .

Por otra parte, como $(A D, B E, C F)$ y $(D X, E Y, F Z)$ son concurrentes, por el teorema de Ceva
$\frac{A F}{F B} \frac{B D}{D C} \frac{C E}{E A} = 1$ ,

$\frac{D Z}{Z E} \frac{E X}{X F} \frac{F Y}{Y D} = 1$ .

Por lo tanto,
$\frac{\sin ∠ A C Z^{'}}{\sin ∠ Z^{'} C B} \frac{\sin ∠ X^{'} A B}{\sin ∠ X^{'} A C} \frac{\sin ∠ C B Y^{'}}{\sin ∠ Y^{'} B A} = 1$ .

Por la forma trigonométrica del teorema de Ceva, $A X^{'} = A X$ , $B Y^{'} = B Y$ , $C Z^{'} = C Z$ , son concurrentes.

Teorema de Jacobi

Teorema 4, de Jacobi. Sean $△ A B C$ , $X$ , $Y$ , $Z$ puntos tales que $∠ X B C = ∠ A B Z = β_{1}$ , $∠ B C X = ∠ Y C A = γ_{1}$ , $∠ C A Y = ∠ Z A B = α_{1}$ , entonces las rectas $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes, al punto de concurrencia se le conoce como punto de Jacobi.

Demostración. Sean $∠ B A C = α_{0}$ , $∠ C B A = β_{0}$ , $∠ A C B = γ_{0}$ , $Q = B X \cap C A$ , $R = C X \cap A B$ .

Como $A X$ , $B Q$ , $C R$ concurren en $X$ , por el teorema de Ceva trigonométrico,
$\frac{\sin ∠ A C R}{\sin ∠ R C B} \frac{\sin ∠ B A X}{\sin ∠ X A C} \frac{\sin ∠ C B Q}{\sin ∠ Q B A} = 1$ .

Por lo tanto,

$1 = \frac{\sin ∠ B A X}{\sin ∠ X A C} \frac{\sin γ_{0} + γ_{1}}{\sin γ_{1}} \frac{\sin π - β_{1}}{\sin π - (β_{0} + β_{1})}$
$= \frac{\sin ∠ B A X}{\sin ∠ X A C} \frac{\sin γ_{0} + γ_{1}}{\sin γ_{1}} \frac{\sin β_{1}}{\sin β_{0} + β_{1}}$ .

Igualmente podemos encontrar

$\frac{\sin ∠ A C Z}{\sin ∠ Z C B} \frac{\sin β_{0} + β_{1}}{\sin β_{1}} \frac{\sin α_{1}}{\sin α_{0} + α_{1}} = 1$ ,

$\frac{\sin ∠ C B Y}{\sin ∠ Y B A} \frac{\sin α_{0} + α_{1}}{\sin α_{1}} \frac{\sin γ_{1}}{\sin γ_{0} + γ_{1}} = 1$ .

Multiplicando estas tres ecuaciones y obtenemos
$\frac{\sin ∠ A C Z}{\sin ∠ Z C B} \frac{\sin ∠ B A X}{\sin ∠ X A C} \frac{\sin ∠ C B Y}{\sin ∠ Y B A} = 1$ .

Lo que significa, por la forma trigonométrica del teorema de Ceva que $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes.

Observación. Notemos que el punto de Jacobi es una generalización de los puntos de Fermat que vimos en la unidad 2.

Puntos de Napoleón

Corolario. Sea $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ una configuración externa (interna) de Napoleón, sean $I_{a}$ , $I_{b}$ , $I_{c}$ , los incentros de $△ A^{'} B C$ , $∠ A B^{'} C$ , $∠ A B C^{'}$ respectivamente, entonces $A I_{a}$ , $B I_{b}$ , $C I_{c}$ son concurrentes, al punto de concurrencia $N_{+}$ ( $N_{-}$ ) se le conoce como primer (segundo) punto de Napoleón.

Demostración. Como $△ A^{'} B C$ , $△ A B^{'} C$ , $△ A B C^{'}$ son equiláteros y están construidos externamente (internamente) sobre los lados de $△ A B C$ entonces $∠ I_{a} B C = ∠ A B I_{c} = ∠ B C I_{a} = ∠ I_{b} C A = ∠ C A I_{b} = ∠ I_{c} A B = \frac{π}{6}$ .

Por el teorema de Jacobi, $A I_{a}$ , $B I_{b}$ , $C I_{c}$ son concurrentes.

Teorema de Routh

Teorema 5, de Routh. Sean $A X$ , $B Y$ , $C Z$ cevianas de un triángulo $△ A B C$ y considera $D = B Y \cap A X$ , $E = B Y \cap C Z$ , $F = A X \cap C Z$ , $z = \frac{A Z}{Z B}$ , $x = \frac{B X}{X C}$ , $y = \frac{C Y}{Y B}$ entonces el área de $△ D E F$ se puede calcular mediante la siguiente formula:
$(△ D E F) = \frac{(1 - x y z)^{2}}{(x y + y + 1) (y z + z + 1) (z x + x + 1)} (△ A B C)$ .

Demostración. Como $△ A F C$ y $△ A X C$ tienen la misma altura desde $C$ entonces.
$\frac{(△ A F C)}{(△ A X C)} = \frac{A F}{A X} = \frac{A F}{A F + F X} = \frac{1}{1 + \frac{F X}{A F}}$ .

Aplicando el teorema de Menelao en $△ A B X$ y la transversal $Z F C$
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B C}{C X} \frac{X F}{F A} = - 1$
$\Leftrightarrow \frac{X F}{F A} = \frac{Z B}{A Z} \frac{X C}{B C} = \frac{1}{z} \times \frac{X C}{B X + X C} = \frac{1}{z (x + 1)}$ .

Como resultado,
$(△ A F C) = \frac{1}{1 + \frac{1}{z (x + 1)}} (△ A X C) = \frac{z (x + 1)}{z x + z + 1} (△ A X C)$

Por otro lado,
$\frac{(△ A X C)}{(△ A B C)} = \frac{X C}{B C} = \frac{X C}{B X + X C} = \frac{1}{x + 1}$ .

Por lo tanto,
$(△ A F C) = \frac{z (x + 1)}{z x + z + 1} \times \frac{1}{1 + x} (△ A B C) = \frac{z}{z x + z + 1} (△ A B C)$ .

Igualmente podemos encontrar
$(△ B D A) = \frac{x}{x y + x + 1} (△ A B C)$ ,
$(△ C E B) = \frac{y}{y z + y + 1} (△ A B C)$ .

Finalmente
$(△ D E F) = (△ A B C) - (△ A F C) - (△ B D A) - (△ C E B)$
$= (△ A B C) (1 - \frac{z}{z x + z + 1} - \frac{x}{x y + x + 1} - \frac{y}{y z + y + 1})$
$= \frac{(1 - x y z)^{2}}{(x y + y + 1) (y z + z + 1) (z x + x + 1)} (△ A B C)$ .

Los cálculos de la última ecuación quedan para el lector.

Observación. Notemos que este resultado generaliza el teorema de Ceva pues si $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes entonces $(△ D E F) = 0$ , lo que implica que $\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A} = x y z = 1$ .

Por el contrario, si $x y z = 1$ , entonces $(△ D E F) = 0$ , es decir $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes.

Más adelante…

En la siguiente entrada hablaremos sobre el punto de Nagel, un punto notable del triángulo con varias propiedades interesantes, la existencia de los conjugados isotómicos nos permitirá presentar este punto.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Empleando el teorema de Menelao, muestra que las medianas, las alturas y las bisectrices internas de todo triángulo son concurrentes.
Sea $△ A B C$ y $X$ , $X^{'} \in B C$ ; $Y$ , $Y^{'} \in C A$ ; $Z$ , $Z^{'} \in A B$ , los puntos en que una circunferencia interseca a los lados de $△ A B C$ , prueba que si $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes, entonces $A X^{'}$ , $B Y^{'}$ , $C Z^{'}$ son concurrentes.
In un triangulo $△ A B C$ , $D$ , $E$ , $F$ son los pies de las alturas desde $A$ , $B$ , $C$ , muestra que las perpendiculares desde $A$ , $B$ , y $C$ a $E F$ , $D F$ y $D E$ , respectivamente son concurrentes.
Si las diagonales de un cuadrilátero convexo $A B C D$ se intersecan en $P$ muestra que
$\frac{\sin ∠ P A D}{\sin ∠ P A B} \frac{\sin ∠ P B A}{\sin ∠ P B C} \frac{\sin ∠ P C B}{\sin ∠ P C D} \frac{\sin ∠ P D C}{\sin ∠ P D A} = 1$ .
Teorema de Kariya. Sea $Γ (I)$ el incírculo de un triángulo $△ A B C$ , sean $D$ , $E$ , $F$ los puntos de tangencia de $Γ (I)$ con $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente, sean $(I, r)$ una circunferencia con centro en $I$ y radio $r$ , $X = (I, r) \cap I D$ , $Y = (I, r) \cap I E$ , $Z = (I, r) \cap I F$ , demuestra que $A X$ , $B Y$ , $C Z$ son concurrentes.

Entradas relacionadas

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Otros cursos.

Fuentes

Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 37-53, 85-93.
Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 158-160.
Posamentier, A. y Salkind, C; Challenging Problems in Geometry. New York: Dover, 1996, pp 36-42.
Wikipedia
The University of Georgia

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»