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Geometría Moderna II: Potencia de un punto

Por Armando Arzola Pérez

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Introducción

En esta primera unidad abordaremos varios los temas relacionados con las circunferencias coaxiales. Para ello, iniciaremos hablando de la potencia de un punto con respecto a una circunferencia. A grandes rasgos, esto trata de lo siguiente.

Tomemos una circunferencia $\mathcal{C}$. Tomemos $P$ un punto cualquiera Tomemos una recta $l$ por $P$ y llamemos $A$ y $B$ los puntos de intersección de $l$ con $\mathcal{C}$. Bajo estas elecciones, la potencia de $P$ será $PA\cdot PB$. Lo que veremos en esta entrada es que dicho producto es constante sin importar la elección de $l$. Para mostrar esto, introduciremos algunas definiciones y posteriormente haremos una demostración por casos.

Definición de potencia de un punto

Comenzaremos dando una primer definición de potencia, que dependerá de cierto punto, circunferencia y recta que elijamos.

Definición. Sea $\mathcal{C}$ una circunferencia, $P$ un punto y $l$ una recta que intersecta a $\mathcal{C}$. Sean $A$ y $B$ los puntos de intersección de $l$ y $\mathcal{C}$ ($A=B$ si $l$ es tangente a $\mathcal{C}$). La potencia de $P$ con respecto a $\mathcal{C}$ en la recta $l$ es la cantidad $PA\cdot PB$. Usaremos la siguiente notación: $$\text{Pot}(P,\mathcal{C},l):=PA\cdot PB.$$

Esta definición puede simplificarse notablemente en vista de la siguiente proposición.

Proposición. La potencia de un punto con respecto a una circunferencia no depende de la recta elegida. Es decir, tomemos $\mathcal{C}$ es una circunferencia, $P$ un punto y $l,m$ rectas. Supongamos que los puntos de intersección de $l$ con $\mathcal{C}$ con $A$ y $B$; y que los puntos de intersección de $m$ con $\mathcal{C}$ son $C$ y $D$ (en caso de tangencias, repetimos los puntos). Entonces: $$PA\cdot PB = PC\cdot PD.$$

Demostración. Haremos la demostración por casos de acuerdo a cuando $P$ está adentro o afuera de la circunferencia.

Dentro de la circunferencia:

Tomemos las cuerdas $AB$ y $CD$ en la circunferencia, las cuales se cortan en $P$. Los triángulos $\triangle APC$ y $\triangle DPB$ son semejantes ya que:

Geometría Moderna II: Potencia de un punto proposición 1 cuando el punto está dentro de la circunferencia.
  1. $\angle PAC = \angle PDB $ por abrir el mismo arco $\overline{BC}$.
  2. $\angle APC = \angle BPD $ por ser opuestos al vértice.
  3. $\angle PCA = \angle PBD $ por abrir mismo arco $\overline{AD}$.

Entonces de la semejanza $\triangle APC \cong \triangle DPB $ tenemos que

$\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB},$

de donde obtenemos la igualdad $PA\cdot PB =PC \cdot PD$ deseada.

Fuera de la circunferencia:

Ahora, $AB$ y $CD$ son dos secantes que se intersecan en $P$, pero ahora con $P$ exterior a $C$. Tenemos que $\triangle APC \cong \triangle DPB $ son semejantes, ya que:

Geometría Moderna II: Potencia de un punto proposición 1 cuando el punto está fuera de la circunferencia.
  1. El cuadrilátero $\square ABDC$ es cíclico, entonces: $\angle ACD + \angle ABD = 180^\circ$ y $\angle ABD + \angle DBP = 180^\circ $, de donde $\angle DBP = \angle ACD$.
  2. $\angle BPD$ y $\angle CPA$ son los mismos ángulos.

Entonces $\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB},$ de donde se obtiene la igualdad buscada $PA\cdot PB=PC\cdot PD.$

Sobre la circunferencia:

Este caso es sencillo pues sin importar las secantes tomadas, en cada una hay un punto igual a $P$ y por lo tanto una distancia igual a cero. De este modo, $PA\cdot PB=0=PC\cdot PD$.

$\square$

Nota que las demostraciones anteriores sirven aunque $l$ ó $m$ sean tangentes, sólo que hay que hacer ligeras adaptaciones sobre los ángulos usados y los motivos por los que son iguales. Enunciaremos el caso de la tangencia un poco más abajo.

En vista de la proposición anterior, podemos simplificar nuestra definición notablemente.

Definición. Sea $\mathcal{C}$ una circunferencia y $P$ un punto. Tomemos $l$ una recta que intersecta a $\mathcal{C}$. Sean $A$ y $B$ los puntos de intersección de $l$ y $\mathcal{C}$ ($A=B$ si $l$ es tangente a $\mathcal{C}$). La potencia de $P$ con respecto a $\mathcal{C}$ es la cantidad $PA\cdot PB$. Usaremos la siguiente notación: $$\text{Pot}(P,\mathcal{C}):=PA\cdot PB.$$

La potencia queda bien definida sin importar la recta $l$, debido a la proposición anterior.

El signo de la potencia

En esta definición estamos usando segmentos dirigidos, y eso nos lleva a que la potencia de un punto puede tener distintos signos. El comportamiento queda determinado por el siguiente resultado.

Proposición. La potencia de un punto $P$ con respecto a una circunferencia $\mathcal{C}$ es positiva, negativa o cero, de acuerdo a si el punto $P$ está fuera de la $\mathcal{C}$, dentro de ella, o sobre ella.

Demostración. Veamos esto caso por caso.

  • Sea $P$ un punto externo a $\mathcal{C}$. Entonces $PA$ y $PB$ tienen la misma orientación y por lo tanto el mismo signo. Además, como $P$ no está sobre $\mathcal{C}$, ninguno de ellos es cero. Así, $\text{Pot}(P,\mathcal{C})> 0$.
Geometría Moderna II: Potencia de un punto respecto a un punto externo.
  • Sea $P$ un punto interno a $\mathcal{C}$. Entonces $PA$ está dirigido hacia un lado y $PB$ está dirigido hacia otro, de modo que tienen signo contrario. Además, ninguno de ellos es cero. Así, $\text{Pot}(P,\mathcal{C})<0$.
Geometría Moderna II: Potencia de un punto respecto a un punto interno de la circunferencia.
  • Finalmente, sea $P$ un punto sobre $\mathcal{C}$. Esto quiere decir que alguno de los puntos $A$ o $B$ es $P$ (quizás ambos, si $l$ es tangente). Así, $PA=0$ ó $PB=0$. De este modo $\text{Pot}(P,\mathcal{C})=0$.
Geometría Moderna II: Potencia de un punto que está sobre la circunferencia.

$\square$

Otras fórmulas para la potencia

La potencia es invariante sin importar la recta elegida. De este modo, podemos elegir a una recta tangente y obtener una fórmula para la potencia en términos de la longitud de dicha tangente.

Proposición. Sea $\mathcal{C}$ una circunferencia. Para un punto $P$ fuera de $\mathcal{C}$, su potencia es igual al cuadrado de la longitud de una tangente de él a la circunferencia.

Es decir, sea $T$ un punto sobre la circunferencia tal que $PT$ sea tangente a $\mathcal{C}$. Entonces, $\text{Pot}(P,\mathcal{C})=PT^2$.

Imagen representativa de la Proposición 2.

El resultado se sigue de llevar al límite lo que ya probamos en la proposición de invarianza de la potencia. Pero a continuación damos un argumento alternativo.

Demostración. Tracemos otra recta por $P$ que no sea tangente a $\mathcal{C}$ y cuyos puntos de intersección con $\mathcal{C}$ son $A$ y $B$ como en la figura. Tenemos que mostrar que $PA\cdot PB =PT^2$.

El ángulo $\angle PTA$ es semi-inscrito y es igual al ángulo inscrito $ \angle TBA$, pues ambos tienen el mismo arco $\overline{AT}$.

Entonces los triángulos $\triangle APT$ y $\triangle TPB$ comparten el ángulo con vértice en $P$ y $\angle PTA=\angle TBA$. Por ello, se tiene que $\triangle APT \cong \triangle TPB $ son semejantes y sus lados son proporcionales: $\frac{PA}{PT} = \frac{PT}{PB}$. De aquí, $$PT^2=PT\cdot PT=PA\cdot PB=\text{Pot}(P,\mathcal{C}).$$

$\square$

También es posible conocer la potencia de un punto hacia una circunferencia si conocemos el radio de la circunferencia y la distancia del punto al centro.

Proposición. Sea $\mathcal{C}$ una circunferencia de centro $O$ y radio $r$. Sea $P$ un punto en cualquier posición. La potencia de $P$ con respecto a $\mathcal{C}$ es $$\text{Pot}(P,\mathcal{C}) = OP^2 – r^2.$$

Demostración. Haremos la demostración por casos

Dentro de la circunferencia:

Sea $AB$ la cuerda que pasa por el centro $O$ y $P$ (si $O=P$, tomamos cualquier cuerda $AB$ por el centro). Supongamos sin pérdida de generalidad que la recta está dirigida de $A$ a $B$. Llamemos Tenemos que $AO=r>0$ y llamemos $d=OP>0$. De aquí, $PB=r-d>0$. La siguiente figura resume estas igualdades.

Potencia de un punto imagen de Proposición 3 cuando un punto está dentro de la circunferencia.

La potencia desde $P$ sería entonces, cuidando los signos:

\begin{align*}
PA\cdot PB &= (PO+OA)(PB)\\
&=(-d-r)(r-d)\\
&=-(d+r)(r-d)\\
&=-(r^2-d^2)\\
&=d^2-r^2\\
&=OP^2-r^2.
\end{align*}

Así, $\text{Pot}(P,\mathcal{C})=OP^2-r^2$.

Fuera de la circunferencia:

Ahora desde $P$ tracemos una tangente $PT$ a $\mathcal{C}$ con $T$ sobre $\mathcal{C}$. Como $\angle PTO =90^o$, entonces $\triangle POT$ es un triángulo rectángulo.

Potencia de un punto imagen de Proposición 3 cuando un punto está fuera de la circunferencia.

Por el teorema de Pitágoras y la expresión de potencia en términos de la tangente: $$OP^2=r^2+PT^2=r^2+\text{Pot}(P,\mathcal{C}).$$ Despejando, obtenemos la expresión deseada: $$\text{Pot}(P,\mathcal{C})=OP^2-r^2.$$

Sobre la circunferencia:

Este caso es sencillo, pues sabemos que la potencia de $P$ debe ser cero. Pero además, como $P$ está en la circunferencia, entonces $OP=r$, de modo que $OP^2-r^2=0$, y entonces la expresión también es lo que queremos.

$\square$

Más adelante…

Seguiremos abordando el tema de potencia de un punto y veremos cómo a partir de él se define el eje radical de dos circunferencias.

Entradas relacionadas

Geometría Moderna I: Definiciones

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

Esta es la primera entrada del curso de Geometría Moderna I el cual está basado en el temario oficial de la Facultad de Ciencias de la UNAM. Aquí presentaremos algunos conceptos básicos que nos serán de ayuda para empezar el curso.

El termino Geometría Moderna se refiere a aquella geometría deductiva, que fue desarrollada después de Euclides y hasta el desarrollo de las geometrías no euclidianas, este periodo está comprendido entre los siglos III AC y XIX DC, es decir, la geometría griega hecha con regla y compás, pero después de los griegos.

La geometría euclidiana estudia propiedades básicas de los objetos geométrico tales como punto, recta, triángulo o circunferencia, a partir de un conjunto de axiomas y de manera sintética, es decir, sin el uso de un eje de coordenadas o métodos algebraicos muy complejos, aunque si se hace uso de nociones básicas de Teoría de Conjuntos, como las de pertenencia o intersección de conjuntos.

Muchas de estas propiedades son de carácter métrico, es decir, sobre la medición de magnitudes de ángulos, longitudes de segmentos, distancias entre puntos o áreas de figuras geométricas, pero también nos hablan sobre la concurrencia de rectas (rectas diferentes que pasan por un mismo punto), colinealidad de puntos (puntos distintos que están sobre una misma recta) o puntos cíclicos (puntos distintos que están en una misma circunferencia).

Punto, recta y circunferencia

Definición 1. Un punto es la representación de un lugar específico en el plano, no tiene longitud, altura ni ninguna otra dimensión, en nuestro cuaderno o el pizarrón podemos representar este lugar con la marca más pequeña y visible que nuestro lápiz o gis puedan hacer, la cual en realidad si tiene dimensiones, pero lo que solo nos interesa es la abstracción de ese lugar marcado.

La mayoría del tiempo para referirnos a puntos emplearemos letras mayúsculas.

Definición 2. Una línea recta es un objeto de una sola dimensión, solo tiene longitud y se extiende de manera infinita en ambos sentidos, todos sus puntos se encuentran en una misma dirección de manera que dos puntos distintos determinan a una línea recta.

Nos referiremos a una línea recta simplemente como recta. Si no conocemos dos puntos por donde pasa una recta la denotaremos con la letra $l$.

Cuando la intersección de dos rectas $l_{1}$, $l_{2}$ es vacía, es decir, no tienen ningún punto en común $l_{1} \cap l_{2} = \varnothing$, decimos que son rectas paralelas y lo denotamos como $l_{1} \parallel l_{2}$.

A la porción de línea recta que une dos puntos distintos en el plano (incluyendo a los puntos) y que no se extiende más allá de ellos le llamamos segmento de recta o simplemente segmento.

La distancia entre dos puntos es la magnitud del segmento de recta que los une.

Si conocemos dos puntos distintos $P$, $Q$ de una recta nos referiremos al segmento que une dichos puntos como $PQ$, en ocasiones también nos podremos referir a la recta completa con la misma notación de acuerdo al contexto del problema.

Figura 1

Definición 3. Dados un punto $O$ del plano y una magnitud $r \geq 0$, definimos a la circunferencia con centro en $O$ y radio $r$ $(O, r)$ como el conjunto de puntos en el plano cuya distancia al punto $O$ es $r$.

Algunas veces no nos importará o no conoceremos el centro o el radio de una circunferencia, en tal caso nos referiremos a ella con cualquier otra letra como $\Gamma$.

Al segmento que une dos puntos distintos de una circunferencia y que pasa por su centro le llamamos diámetro.

Si conocemos dos puntos $A$ y $B$ diametralmente opuestos de una circunferencia podemos denotarla como $\Gamma(AB)$.

A la porción de una circunferencia que une dos puntos distintos en ella le llamamos arco de circunferencia, para dos puntos distintos en una circunferencia $A$ y $B$, denotamos al arco recorrido de $A$ a $B$ en el sentido contrario de las manecillas del reloj como $\overset{\LARGE{\frown}}{AB}$.

Figura 2

Ángulo

Definición 4. Un ángulo es un objeto formado cuando dos rectas o segmentos se intersecan. Al punto en común le llamamos vértice y los segmentos o semirectas que concurren en el vértice son los lados del ángulo.

Cuando es claro cuáles son los lados de un ángulo con vértice en $O$ lo denotamos como $\angle O$.

Cuando queremos hacer énfasis en los segmentos que forman un ángulo con vértice $O’$, escribimos $\angle AO’B$ si nos referimos al desplazamiento del segmento $AO$ hacia $BO$ en contra del movimiento de las manecillas del reloj.

También podemos etiquetar a un ángulo con letras griegas minúsculas.

Figura 3

Cuando dos rectas o segmentos distintos se intersecan se forman cuatro ángulos, en este caso a los ángulos que comparten un lado en común les llamamos adyacentes y a los que no tienen un lado en común, opuestos por el vértice.

Decimos que un ángulo es recto si es aquel que se obtiene cuando dos rectas $l_{1}$, $l_{2}$ se intersecan formando cuatro ángulos iguales y en este caso decimos que las rectas son perpendiculares $l_{1} \perp l_{2}$. Denotamos a la suma de dos ángulos rectos como $\pi$.

Para medir la magnitud de un ángulo $\angle O$ trazamos una circunferencia de radio $1$ con centro en el vértice del ángulo y ubicamos las intersecciones de los lados del ángulo con la circunferencia digamos $A$ y $B$, entonces la medida de $\angle AOB$ será la magnitud del arco $\overset{\LARGE{\frown}}{AB}$.

En calculo se muestra que $\pi = 3.14159…$, es un numero irracional, esto es, su representación decimal es infinita y no periódica.

Otra forma de medir los ángulos es dividir a la circunferencia en $360$ partes iguales o grados, de esto se sigue que $\dfrac{\pi}{2} = 90^{\circ}$, $\pi = 180^{\circ}$, $2\pi = 360^{\circ}$.

Figura 4

Un ángulo que es menor que uno recto es un ángulo agudo y uno que es mayor a uno recto se llama ángulo obtuso.

Dos ángulos que suman $\dfrac{\pi}{2}$ son complementarios y dos ángulos cuya suma es igual a $\pi$ se llaman suplementarios.

Figura 5

Triángulo

Definición 5. Un triángulo es una figura en el plano que consiste de tres puntos distintos, llamados vértices, que no son colineales, y por los segmentos que unen dichos vértices a los que llamamos lados del triángulo.

Si los vértices de un triangulo son $A$, $B$ y $C$, denotamos al triángulo como $\triangle ABC$ recorriendo los vértices en el sentido contrario de las manecillas del reloj.

Recordemos leer los ángulos en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. A $\angle BAC$, $\angle CBA$ y $\angle ACB$ les llamamos ángulos internos o interiores.

Si extendemos los lados del triángulo, a los ángulos que son suplementarios a los ángulos interiores les llamamos ángulos exteriores o externos, notemos que por cada ángulo interno hay dos externos.

Figura 6

Clasificamos a los triángulos de acuerdo a la magnitud de sus lados y de sus ángulos internos.

De acuerdo a sus lados:
escaleno, si ningún par de lados es igual,
isósceles, si tienen dos lados iguales,
equilátero, si todos sus lados son iguales.

Figura 7

De acuerdo a sus ángulos internos:
rectángulo, si un ángulo interno es recto,
acutángulo, si todos sus ángulos internos son agudos,
obtusángulo, si uno de sus ángulos internos es obtuso.

Figura 8

Problema. Dado un segmento construir sobre él un triángulo equilátero.

Solución. Para hacer una construcción geométrica usamos una regla sin graduar y un compás. La regla nos permite trazar la recta que une cualesquiera dos puntos distintos y con el compás podemos trazar circunferencias conociendo su centro y radio.

Sea $BC$ el segmento dado, trazamos dos circunferencias de radio $BC$, una con centro en $B$ y otra con centro en $C$.

Figura 9

Sea $A$ la intersección de $(B, BC)$ con $(C, BC)$, trazamos $AB$ y $AC$, entonces $AB = BC$, por ser radios de $(B, BC)$ y $AC = BC$, por ser radios de $(C, BC)$.

Por lo tanto, $AB = BC = AC$ y así $\triangle ABC$ es equilátero.

$\blacksquare$

El triángulo es uno de los objetos más estudiados en geometría euclidiana. En las próximas entradas abordaremos teoremas fundamentales acerca del triángulo como los de congruencia, semejanza o el teorema de Pitágoras.

Más adelante…

En la siguiente entrada presentaremos los postulados de Euclides que son el punto de partida para poder establecer relaciones entre los objetos que hemos definido.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Muestra que los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
  2. Convierte a grados los siguientes ángulos: $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{3\pi}{4}$.
  3. Calcula la longitud de arco de los siguientes ángulos: $225^{\circ}$, $270^{\circ}$, $315^{\circ}$.
  4. Dados dos segmentos de distinta longitud, construir sobre el mayor un segmento de igual magnitud al menor.
  5. GeoGebra es un software libre de matemáticas muy útil, con él te puedes apoyar para hacer tus demostraciones durante este curso, aquí esta la versión online.

Entradas relacionadas

Fuentes

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Analítica I: Forma vectorial de círculos, tangentes y polares

Por Héctor Morales

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Introducción

En la entrada anterior construimos un puente entre la intuición que tenemos de las circunferencias y el estudio formal que podemos hacer de ellas utilizando las herramientas de la geometría analítica. Ahora queremos ir más allá de las propiedades básicas del círculo, como lo son su centro y su radio, para abordar propiedades un poco más avanzadas; sus rectas tangentes y polares.

Veremos a lo largo de esta entrada cómo la ecuación vectorial de la circunferencia nos prueba su utilidad al abordar problemas geométricos tales como encontrar puntos de tangencia sobre una circunferencia, hacer demostraciones que involucren las secantes de un círculo, entre otros.

Líneas tangentes a un círculo

Antes de abordar el tema de las líneas tangentes a un círculo, mencionaremos brevemente un problema físico que nos puede motivar a estudiarlo. El problema de la polea consiste en encontrar la longitud de un cable que conecta a dos circunferencias de radio $r_1$ y $r_2$ que no se cruzan; cuyos centros están separados por una distancia $P$. Aunque sea un problema en apariencia sencillo su solución requiere de herramientas como líneas bitangentes, ángulos verticales y congruencia. Pese a que la su solución no es trivial, es un problema de ingeniería bastante importante, pues se usa en el diseño de aeroplanos, bicicletas, autos, etc. No escribiremos explícitamente la solución a este problema, por el momento sólo diremos que para resolverlo es fundamental utilizar el concepto de línea tangente.

Problema de la polea

Ahora que comentamos una motivación, empezaremos a discutir el concepto de línea tangente. Intuitivamente podemos pensar que las líneas tangentes son las que tocan a una circunferencia en uno solo de sus puntos. Esto tiene varias implicaciones; la primera de ellas es que podemos pensar en las tangentes como las normales a los radios (los segmentos del centro a sus puntos). Empezaremos proponiendo la definición de las líneas tangentes y haremos una discusión detallada de cada uno de los elementos de esta definición.

Definición. Si $\mathbf{a}$ es un punto del círculo $\mathcal{C}$ dado por la ecuación vectorial

\begin{equation}
(\boldsymbol{x}-\mathbf{p}) \cdot(\boldsymbol{x}-\mathbf{p})=\mathrm{r}^{2}
\end{equation}

entonces su línea tangente es la recta $\ell$ normal a $(\mathbf{a} – \mathbf{p})$ y que pasa por $\mathbf{a}$.

Esta definición tiene algunas implicaciones interesantes que para los elementos que la constituyen que vale la pena observar con detalle. La primera es que, puesto que $\mathbf{a}$ es el punto más cercano a $\mathbf{p}$ en esta recta, para cualquier otro punto $x \in \ell$ se tiene que $\mathrm{d}(\boldsymbol{x}, \mathbf{p})>\mathrm{r}$. Dicho de una forma más sencilla: cualquier otro punto que no sea el punto de tangencia estará alejado del centro del círculo una distancia mayor que el radio. Puedes observar la figura para convencerte de este hecho.

Línea tangete del círculo y punto de tangencia.

Continuando nuestra exploración de los elementos de la definición que acabamos de presentar, observa que el círculo $\mathcal{C}$ parte el plano en dos pedazos; el interior donde $\mathrm{d}(\boldsymbol{x}, \mathbf{p})<\mathrm{r}$, y el exterior donde $\mathrm{d}(\boldsymbol{x}, \mathbf{p})>\mathrm{r}$, de esta forma $\ell$ está contenida en el exterior salvo por el punto $a \in \mathcal{C}$.

Para obtener una expresión analítica de las líneas tangentes conviene recordar las herramientas vectoriales que fueron presentadas durante la primera unidad, te podrás dar cuenta que si utilizamos la forma de la ecuación normal de recta con los elementos de nuestra definición, podemos ver que la recta $\ell$ está dada por la ecuación

\begin{equation}
\boldsymbol{x} \cdot(\boldsymbol{a}-\mathbf{p})=\boldsymbol{a} \cdot(\boldsymbol{a}-\mathbf{p}),
\end{equation}

esta ecuación tiene una manera más interesante de escribirse; si restamos $\mathbf{p} \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})$ a ambos lados, se obtiene:

$$
\mathbf{x} \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})-\mathbf{p} \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})=\mathbf{a} \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})-\mathbf{p} \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})
$$

$$
(\mathbf{x}-\mathbf{p}) \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})=(\mathbf{a}-\mathbf{p}) \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})
$$

$$
(\mathbf{x}-\mathbf{p}) \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})=r^{2}
$$

Esta forma de escribir la ecuación será importante en la siguiente sección cuando abordemos las rectas polares, sin embargo, antes de pasar a la siguiente sección hagamos un ejemplo sobre cómo encontrar la tangente de una circunferencia.

Ejemplo. Supongamos que tenemos un círculo con centro en $(4,-3)$ y radio $5$. Encuentre la línea de tangencia que pasa por el punto $(4,2)$.

Primero tenemos que verificar que el punto está dentro de la circunferencia. Si escribimos la ecuación cartesiana de nuestro círculo

\begin{equation}
(x-4)^{2} + (x+3)^{2}=25
\end{equation}

y sustituimos el punto $(4,2)$. Podemos darnos cuenta que el punto sí está en la circunferencia. Como ya vimos que está sobre el círculo, sólo tenemos que sustituir en la expresión analítica de la línea tangente

\begin{equation}
\boldsymbol{x} \cdot(\boldsymbol{a}-\mathbf{p})=\boldsymbol{a} \cdot(\boldsymbol{a}-\mathbf{p})
\end{equation}

los valores del punto de tangencia y el centro de la circunferencia. Haciendo esto tenemos que:

\begin{equation}
\boldsymbol{x} \cdot ((4,2)-(4,-3)) =\boldsymbol{a} \cdot ((4,2)-(4,-3))
\end{equation}

Por lo tanto, la ecuación de la línea tangente será:

\begin{equation}
\boldsymbol{x} \cdot (0,5) =\boldsymbol{a} \cdot (0,5)
\end{equation}

Escrito en forma cartesiana, tenemos que la recta tangente a nuestra circunferencia a través de ese punto es $y=2$.

Como vimos en nuestro ejemplo, obtener la expresión analítica de la línea tangente a través de un punto es muy fácil si recordamos la definición vectorial. Para terminar esta sección utiliza el siguiente recuadro interactivo para explorar diferentes líneas tangentes de una circunferencia. Nota cómo el punto de tangencia siempre se encuentra en los «bordes» del círculo. ¿Podríamos generalizar vectorialmente el concepto de tangencia para puntos que no se encuentran sobre la circunferencia?

Líneas polares de un círculo

Para empezar nuestro estudio de las líneas polares de un círculo, recuerda el último desarrollo algebraico que hicimos en la sección anterior: ese en el cual sustituimos $\mathbf{a}$ en una de las instancias de $\mathbf{x}$ en la ecuación vectorial. Recuerda cómo en el caso de la línea tangente, consideramos que el punto $\mathbf{a}$ estaba sobre la circunferencia. Con esto en mente, estamos listos para dar una definición de línea polar.

Definición. Consideremos un punto $\mathbf{a}$ en el plano, diferente del centro $(\mathbf{a} \neq \mathbf{p})$, diremos que $\ell_{a}$ es la recta polar de $\mathbf{a}$ respecto al círculo $\mathcal{C}$ y definiremos $\ell_{a}$ como

\begin{equation}
\ell_{\mathbf{a}}: \quad(\boldsymbol{x}-\mathbf{p}) \cdot(\boldsymbol{a}-\mathbf{p})=\mathrm{r}^{2}
\end{equation}

De la definición, se sigue que cuando $\boldsymbol{a} \in \mathcal{C}$ su polar $\ell_{\mathbf{a}}$ es su tangente. Como te puedes dar cuenta, las líneas polares son algo así como una generalización de las líneas tangentes; estamos repitiendo los desarrollos algebraicos que utilizamos en la primera sección sin restringirnos a los puntos que están sobre la circunferencia. Nuestra definición de líneas polares tiene varias consecuencias interesantes; una de ellas es que si el punto $\mathbf{a}$ está en el interior del círculo, entonces $\ell_{a}$ no lo intersecta (está totalmente contenida en el exterior), y que si está en el exterior (el punto $\mathbf{b}$ en la siguiente figura), entonces lo corta, y además lo corta en los dos puntos de $\mathcal{C}$ a los cuales se pueden trazar tangentes.

Existen tres posibles casos, que el punto polar esté dentro de la circunferencia, fuera o que esté sobre ella. El último caso se exploró a detalle en la primera parte de esta entrada.

Vamos a demostrar los enunciados que presentamos en el párrafo anterior. Para esto, expresemos las ecuación $\ell_{a}$ en su forma normal; desarrollando [numero de ecuación de la definición] se obtiene:

\begin{equation}
\boldsymbol{x} \cdot(\boldsymbol{a}-\mathbf{p})=\mathrm{r}^{2}+\mathbf{p} \cdot(\boldsymbol{a}-\mathbf{p})
\end{equation}

Esto indica que $\ell_{a}$ es perpendicular al vector que va de $\mathbf{p}$ a $\mathbf{a}$. Ahora veamos cuál es su punto de intersección con la recta que pasa por $\mathbf{p}$ y $\mathbf{a}$. Parametricemos esta última recta con $\mathbf{p}$ de cero y $\mathbf{a}$ de uno (es decir como $\mathbf{p}+\mathbf{t}(\mathbf{a}-\mathbf{p})$) y podemos despejar $t$ al sustituir en la variable $\mathbf{x}$ de la ecuación anterior (o bien, esto se ve más directo al sustituir en la [numero de ecuación de la definición] ), para obtener

\begin{equation}
t=\frac{r^{2}}{(\mathbf{a}-\mathbf{p}) \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})}=\frac{r^{2}}{d(\mathbf{p}, \mathbf{a})^{2}} .
\end{equation}

Entonces la distancia de $\mathbf{p}$ a $\ell_{a}$ es

\begin{equation}
\mathrm{d}\left(\mathbf{p}, \ell_{a}\right)=\mathrm{t} \mathrm{d}(\mathbf{p}, \mathbf{a})=\frac{\mathrm{r}^{2}}{\mathrm{~d}(\mathbf{p}, \mathbf{a})}=\left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{d}(\mathbf{p}, \mathbf{a})}\right) \mathrm{r}
\end{equation}

y tenemos lo primero que queríamos probar: si $\mathrm{d}(\mathbf{p}, \boldsymbol{a})<\mathrm{r}$ entonces $\mathrm{d}\left(\mathbf{p}, \ell_{\mathbf{a}}\right)>\mathrm{r}$; y al revés, si $\mathrm{d}(\mathbf{p}, \mathbf{a})>\mathrm{r}$ entonces $\mathrm{d}\left(\mathbf{p}, \ell_{\mathbf{a}}\right)<\mathrm{r}$. Dicho de otra manera, si el punto $\mathbf{a}$ está muy cerca de $\mathbf{p}$, su polar está muy lejos, y al revés, sus distancias al centro $\mathbf{p}$ se comportan como inversos «alrededor de r».

Para demostrar la segunda de nuestras afirmaciones, supongamos ahora que $\mathrm{d}(\mathbf{p}, \mathbf{a})>\mathrm{r}$, y sea $\mathbf{c}$ un punto en $\ell_{a} \cap \mathcal{C}$ (que sabemos que existe pues $\ell_{a}$ pasa por el interior de $\mathcal{C}$). Puesto que $\mathbf{c} \in \ell_{\mathrm{a}}$, se cumple la ecuación

\begin{equation}
(\mathbf{c}-\mathbf{p}) \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})=\mathbf{r}^{2}
\end{equation}

Pero entonces $\mathbf{a}$ cumple la ecuación de $\ell_{c}$ que es la tangente a $\mathcal{C}$ en $\mathbf{c}$; es decir, la línea de $\mathbf{a}$ a $\mathbf{c}$ es tangente al círculo. Este argumento, visto de una forma todavía más general nos dice que para cualesquiera dos puntos $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ (distintos de $\mathbf{p}$) se tiene que

\begin{equation}
a \in \ell_{b} \Leftrightarrow \mathbf{b} \in \ell_{a}
\end{equation}

Y los puntos del círculo son los únicos para los cuales se cumple que $\mathbf{a} \in \ell_{a}$. Puedes apoyarte en la siguiente figura para seguir el desarrollo anterior.

Date cuenta cómo a lo largo de este procedimiento sin querer aprendimos a calcular los puntos de tangencia a un círculo desde un punto exterior $\mathbf{a}$. A saber, de la ecuación lineal de su polar, $\ell_{a}$, se despeja alguna de las dos variables y se sustituye en la ecuación del círculo. Esto nos da una ecuación de segundo grado en la otra variable que se puede resolver, y nos da dos raíces. Sustituyéndolas de nuevo en la ecuación de la polar se obtiene el otro par de coordenadas.

Para dejar bien claro este procedimiento, hagamos un ejercicio sobre cómo encontrar los puntos de tangencia desde un punto fuera de la circunferencia.

Ejemplo. Supongamos que tenemos un círculo con centro en $(3,-1)$ y radio $2$, encontraremos los puntos de tangencia desde el punto $\mathbf{a}=(1,3)$.

Podemos iniciar de dos maneras diferentes: la primera es utilizando lo que aprendimos en la entrada anterior, escribiendo directamente la ecuación vectorial de la circunferencia. Si hacemos esto, encontraremos que la circunferencia tiene la siguiente expresión vectorial

\begin{equation}
((x, y)-(3,-1)) \cdot((x, y)-(3,-1))=4 .
\end{equation}

Otra alternativa sería primero escribir la ecuación cartesiana y luego desarrollarla para pasarla a su forma vectorial; de ambas maneras, lo importante es escribir a la circunferencia en su forma vectorial. Ahora, para conocer los puntos de tangencia desde $\mathbf{a}=(1,3)$ sustituimos en la forma alternativa de la ecuación de la tangente:

$$((x, y)-(3,-1)) \cdot((1,3)-(3,-1))=4$$
$$(x-3, y+1) \cdot(-2,4)=4$$
$$-2 x+4 y+10=4$$
$$x-2 y=3 .$$

De aquí, para encontrar $\ell_{a} \cap \mathcal{C}$, conviene sustituir $x=3+2 y$ en la ecuación original del círculo para obtener

\begin{equation}
\begin{aligned}
(3+2 y)^{2}+y^{2}-6(3+2 y)+2 y &=-6 \
5 y^{2}+2 y-3 &=0
\end{aligned}
\end{equation}

Las raíces de esta ecuación cuadrática se pueden obtener utilizando la fórmula general:

\begin{equation}
y=\frac{-2 \pm \sqrt{4+60}}{10}=\frac{-2 \pm 8}{10}
\end{equation}

que nos da los valores $y_{0}=-1$ y $y_{1}=\frac{3}{5}$. Y estos, al sustituir de nuevo la ecuación de la polar nos dan los puntos de tangencia de $\mathbf{a}$; que son $(1,-1)$ y $\frac{1}{5}(21,3)$. Puedes verificar que satisfacen la ecuación del círculo sustituyendo en la ecuación lineal de la polar, y que efectivamente sus tangentes pasan por $\mathbf{a}$.

Para finalizar esta entrada te invito a que experimentes un momento con el recuadro interactivo. Nota cómo las líneas polares se convierten en las líneas tangentes cuando haces que el punto $\mathbf{a}$ esté sobre la circunferencia.

Más adelante…

En esta entrada finalizamos nuestra discusión de las circunferencias; la primera de las secciones cónicas que abordamos en nuestro curso. En la siguiente entrada podrás ver una serie de ejercicios para familiarizarte con la manipulación algébrica o vectorial de los conceptos que hemos introducido hasta ahora. En las siguientes entradas continuaremos nuestro estudio de las secciones cónicas hablando de parábolas, hipérbolas y elipses. Veremos cómo no es tan fácil dar una ecuación vectorial para el resto de las secciones cónicas; esto lo entenderemos tan pronto como empecemos a hablar de parábolas.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Encuentra los puntos de tangencia: al círculo $x^{2}-2 x+y^{2}-4 y=-3$ desde el punto $(-1,2)$. Sugerencia: puedes consultar el segundo ejercicio realizado en esta entrada.
  • Demuestra que si $\mathbf{c}$ es un punto exterior (al círculo $\mathcal{C}$ con centro $P$ ) entonces su recta a $P$ biseca sus dos tangentes a $\mathcal{C}$. Y además que las distancias a sus pies en $\mathcal{C}$ (es decir, a los puntos de tangencia) son iguales. Sugerencia: Puedes utilizar la siguiente figura para tu demostración y pensar en el teorema de Pitágoras y en el criterio de congruencia LLL.

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Introducción

En nuestra vida cotidiana podemos encontrar muchos ejemplos de circunferencias. Desde la forma de una rueda, hasta el contorno de una taza y por supuesto en muchos fenómenos físicos como la trayectoria de una partícula en un campo magnético o el movimiento de un satélite alrededor de un planeta. Esta familiaridad que tenemos con las circunferencias, hacen que ésta sea la sección cónica más fácil de reconocer, pues incluso sin estudios formales en geometría estamos familiarizados con sus propiedades.

En esta entrada del blog propondremos una definición formal para la circunferencia; partiendo de la definición de la circunferencia como lugar geométrico, llegaremos a la ecuación cartesiana con la que probablemente ya estés familiarizado. Abordaremos la ecuación vectorial del círculo y vamos a ver qué ventajas tiene sobre la ecuación cartesiana.

Ecuación cartesiana de circunferencia

Probablemente en algún curso previo de álgebra o de geometría te hayas encontrado con el círculo unitario $\mathbb{S}^{1}$, definido por la ecuación

\begin{equation}
x^{2}+y^{2}=1
\end{equation}

Para generalizar las nociones que tenemos del círculo unitario a una circunferencia arbitraria, consideremos ahora a cualquier otro círculo $\mathcal{C}$. Tiene un centro $\mathbf{p}=(h, k)$, un radio $r>0$ y es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a $\mathbf{p}$ es $r$. Es decir, $\mathcal{C}=\left\lbrace\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{2} \mid d(\mathbf{x}, \mathbf{p})=r\right\rbrace$; o bien, $\mathcal{C}$ está definido por la ecuación

\begin{equation}
d(\mathbf{x}, \mathbf{p})=r.
\end{equation}

La información geométrica clave de una circunferencia son su centro y su radio. Ambos se pueden pensar en términos de sus coordenadas cartesianas, o bien como vectores.

Puesto que ambos lados de esta ecuación son positivos, es equivalente a la igualdad de sus cuadrados que en coordenadas cartesianas toma la forma

\begin{equation}
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}
\end{equation}

Así, todos los círculos de $\mathbb{R}^{2}$ están determinados por una ecuación cuadrática en las variables $x$ y $y$. Cuando la ecuación tiene la forma anterior, podemos leer inmediatamente toda la información geométrica (el centro y el radio). Lamentable, la mayoría de las veces que nos encontremos con ecuaciones de circunferencias las encontraremos «disfrazadas» como

\begin{equation}
x^{2}+y^{2}-2 h x-2 k y=\left(r^{2}-h^{2}-k^{2}\right)
\end{equation}

Es fácil ver que esta forma de escribir la circunferencia se obtiene al desarrollar la primera expresión. Veamos un ejemplo de cómo pasar una ecuación de circunferencia a su forma reducida.

Ejemplo. Consideremos la ecuación

\begin{equation}
x^{2}+y^{2}-6 x+2 y=-6 \text { . }
\end{equation}

Tenemos que determinar si la ecuación anterior define un círculo, y en caso de que así sea, qué características tiene. Lo primero que tenemos que hacer es completar los cuadrados, sumando en ambos lados las constantes que faltan

\begin{equation}
(x^{2}-6 x+9)+(y^{2}+2 y+1) =-6+9+1 \rightarrow (x-3)^{2}+(y+1)^{2} =4
\end{equation}

Claramente si desarrollamos esta última ecuación obtenemos la original. Así, podemos concluir que la ecuación define al círculo con centro en $(3,-1)$ y radio $2$.

Para terminar esta sección, puedes utilizar la ventana interactiva de GeoGebra para familiarizarte con la ecuación cartesiana de la circunferencia. Varía el radio y el centro del círculo y observa cómo cambia la ecuación. Intenta hacer una circunferencia por cada uno de los cuadrantes del plano poniendo mucha atención cómo cambian los signos dentro de los sumandos. Prueba casos límite ¿qué pasa si el radio el cero? ¿Un punto es una circunferencia?

Ecuación vectorial de circunferencia

Si nuestra ecuación cartesiana de circunferencia ya nos permitía «leer» toda la información geométrica de un círculo completando cuadrados, te puede parecer superfluo proponer una definición vectorial de la circunferencia. La motivación que tenemos para hacer esto es que una definición vectorial, al no hacer referencia a las coordenadas, tiene sentido en cualquier dimensión. Esto quiere decir que a diferencia de la ecuación cartesiana que sólo nos sirve para $\mathbb{R}^{2}$, una ecuación vectorial nos permitirá definir esferas en $\mathbb{R}^{3}$ y en dimensiones mayores.

Sin más preámbulo, diremos que el círculo $C$ con centro $\mathbf{p}$ y radio $r$ está definido por la ecuación

\begin{equation}
(\mathbf{x}-\mathbf{p}) \cdot(\mathbf{x}-\mathbf{p})=r^{2}
\end{equation}

Si tienes dificultades entendiendo por qué se utilizó el producto punto, te ayudará recordar que en la primera unidad de nuestro curso definimos la distancia euclidiana entre dos vectores (o norma) como el producto punto (o producto interior) del vector consigo mismo. En nuestro caso, sólo partimos de la definición de circunferencia como el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un mismo punto y aplicamos la definición vectorial de distancia.

La ecuación, que llamaremos ecuación vectorial del círculo, se puede también reescribir como

\begin{equation}
\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}-2 \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}+\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}=r^{2}
\end{equation}

Veamos un ejemplo de la ecuación vectorial del círculo para familiarizarnos con ella.

Ejemplo. Considere la circunferencia con centro en $(3,1)$ y radio $2$. Encuentre su ecuación vectorial y su ecuación cartesiana. Demuestre que ambas ecuaciones son equivalentes.

Lo primero que tenemos que hacer es obtener la ecuación vectorial de la circunferencia. Utilizando la definición que acabamos de escribir en esta entrada, podemos ver que la ecuación que buscamos es

\begin{equation}
(\mathbf{x}-(3,1)) \cdot(\mathbf{x}-(3,1))= 4
\end{equation}

También utilizando la definición para la ecuación cartesiana

\begin{equation}
(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=4
\end{equation}

Estas dos expresiones, son las ecuaciones que buscamos. Sólo nos falta demostrar su equivalencia. Recordando las propiedades del producto punto que introducimos en la unidad anterior

\begin{equation}
\begin{array}{l}
(\mathbf{x}-(3,1)) \cdot (\mathbf{x}-(3,1)) = 4 \\
((x,y)-(3,1)) \cdot ((x,y)-(3,1)) = 4 \\
(x-3,y-1) \cdot (x-3,y-1) = 4 \\
(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=4
\end{array}
\end{equation}

¡Listo! Ya nos convencimos que la ecuación cartesiana y la ecuación vectorial son equivalentes cuando estamos trabajando en $\mathbb{R}^{2}$. Por el momento, conservemos la idea de que la ecuación vectorial es un poco más general y de ella se puede extraer mucha información geométrica interesante.

Para finalizar esta sección, utiliza el siguiente recuadro interactivo para familiarizarte con la ecuación vectorial del círculo. Manipula el centro y el radio para ver cómo se reescribe la ecuación y entiende muy bien cómo el producto punto es la operación clave de la definición. ¿Puedes encontrar los parámetros adecuados para hacer que en ambos interactivos tengamos círculos equivalentes con diferentes formas de escribir la ecuación?

Más adelante…

En esta entrada discutimos detalladamente las definiciones cartesianas y vectorial de la circunferencia, propusimos algunos ejemplos para familiarizarnos con estas expresiones y aprendimos a «leer» la información geométrica que guardan. Sin embargo, no hemos acabado nuestro estudio de las circunferencias. En las siguientes entradas abordaremos el tema de las rectas tangentes y polares y resolveremos algunos ejercicios relacionados a estas secciones cónicas.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son ecuaciones de un círculo? Y en su caso, ¿de cuál?

\begin{equation}
\begin{array}{l}
x^{2}-6 x+y^{2}-4 y=12 \\
x^{2}+4 x+y^{2}+2 y=11 \\
2 x^{2}+8 x+2 y^{2}-4 y=-8 \\
x^{2}-4 x+y^{2}-2 y=-6 \\
4 x^{2}+4 x+y^{2}-2 y=4
\end{array}
\end{equation}

  • ¿Cuál es el lugar geométrico de los centros de los círculos que pasan por dos puntos (distintos) $a$ y $b$? Sugerencia: considera la definición geométrica de la circunferencia como el conjunto de puntos que equidistan de un centro y ten en cuenta la definición vectorial de la mediatriz.
  • Sean $p$ y $q$ dos puntos distintos en el plano. ¿Para cuáles números reales $c$, se tiene que la siguiente ecuación define un círculo? En su caso, ¿cuál es el radio y dónde está su centro?

\begin{equation}
(\mathbf{x}-\mathbf{p}) \cdot(\mathbf{x}-\mathbf{q})=c
\end{equation}

  • Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres puntos $A(-1,1)$, $B(3,5)$ y $C(5,-3)$. Sugerencia: considera que la ecuación buscada tiene la forma $x^2 + y^2 + Dx+ Ey + F= 0$, luego sustituye la información que te ofrece el problema para llegar a un sistema de ecuaciones y resuelvelo.

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En estos videos veremos varios ejemplos de este argumento para acostumbrarnos. Es súper útil pensar en estos argumentos casi automáticamente.

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