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Geometría Moderna II: Potencia de un punto

Por Armando Arzola Pérez

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1.1 Potencia de un punto

Denotaremos la circunferencia como \(C(O,r)\) con \(O\) como el centro y \(r\) el radio.

Sea una circunferencia dada en un plano y \(P\) un punto cualquiera en esta, se tiene \(l\) una línea que interseca \(C(O,r)\) en \(A\) y \(B\) ; El producto de \(PA\) y \(PB\) es constante es decir: \(PA \times PB = cte\) . (Se demostrará más adelante)

Definición

La potencia de un punto \(P\) con respecto a una circunferencia es el producto de sus distancias a cualquier pareja de puntos en una circunferencia que sean colineales con \(P\) . ( \(Pot(P,C)\) es definido como la potencia de \(P\) con respecto a una circunferencia \(C\) )

\(PA \times PB = Pot(P,C)\)

De esto se sigue que la potencia de un punto es:

  1. \(Pot(P,C) > 0\) Positiva
  2. \(Pot(P,C) < 0\) Negativa
  3. \(Pot(P,C) = 0\) Cero

Lo anterior es porque el punto P esta dentro, fuera o en la circunferencia.

Casos:

  • Sea \(P\) un punto externo a \( C(O,r)\) entonces $PA>0$ y $PB>0$ $\Rightarrow$ \(Pot(P,C) > 0\)
  • Sea \(P\) un punto interno a \( C(O,r)\) entonces $PA<0$ y $PB>0$ $\Rightarrow$ \(Pot(P,C) < 0\)
  • Sea \(P\) un punto en \( C(O,r)\) entonces $PA=0$ ó $PB=0$ $\Rightarrow$ \(Pot(P,C) = 0\)

Por otra parte se denotan 3 proposiciones:

Proposición 1:

Sea $l$ una recta secante que pasa por un punto $P$ a una circunferencia $C(O,r)$ $\Rightarrow$ $Pot(P,C) =PA \times PB = PC \times PD = cte$.

Demostración (Por casos cuando $P$ esta adentro o fuera de la circunferencia)

  • Dentro de la circunferencia:

Sean dos cuerdas arbitrarias $AB$ y $CD$ en la circunferencia que se cortan en $P$; Los triángulos $\triangle APC$ y $\triangle DPB$ son semejantes ya que:

  1. $\angle PAC = \angle PDB $ mismo arco $\overline{BC}$.
  2. $\angle APC = \angle BPD $ por opuestos al vértice.
  3. $\angle PCA = \angle PBD $

Entonces de la semejanza $\triangle APC \cong \triangle DPB $

$\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB} \Rightarrow PA\times PB =PC \times PD$

$\Rightarrow cte=PA\times PB=PC\times PD=Pot(P,C)$ $\blacksquare$

  • Fuera de la circunferencia:

Sean $AB$ y $CD$ dos secantes que se intersecan en $P$ exterior a $C$.

$\triangle APC \cong \triangle DPB $ son semejantes, ya que:

  1. El cuadrilátero $\square ABDC$ es cíclico entonces: $\angle ACD + \angle ABD = 180^o $ y $\angle ABD + \angle DBP = 180^o $ $\Rightarrow$ $\angle DBP = \angle ACD $
  2. $\angle BPD$ y $\angle CPA$ son los mismos angulos.

Entonces $\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}$

$\Rightarrow PA\times PB=PC\times PD=cte=Pot(P,C)$ $\blacksquare$

Proposición 2:

Desde un punto exterior $P$ de una circunferencia $C$, su potencia es igual al cuadrado de la longitud de una tangente de él a la circunferencia.

Es decir

Sea $PT$ una tangente a $C(O,r)$ $\Rightarrow$ $Pot(P,C)=PT^2$

Demostración (Por demostrar $PA\times PB =PT^2$)

El ángulo $\angle PTA$ es semi-inscrito y es igual al ángulo inscrito $ \angle TBA$, pues ambos tienen el mismo arco $\overline{AT}$.

Entonces los triángulos $\triangle APT$ y $\triangle TPB$ comparten el ángulo con vértice en $P$ y $\angle PTA=\angle TBA$. Por lo cual se tiene por semejanza de ángulos, se sigue $\triangle APT \cong \triangle TPB $ son semejantes y sus lados son proporcionales:

$\frac{AP}{TP} = \frac{PT}{PB} \Longleftrightarrow PA\times PB=PT\times PT=PT^2=Pot(P,C) \blacksquare$

Proposición 3:

Sea $P$ un punto en cualquier posición, su potencia con respecto a una circunferencia $C(O,r)$, es $\overline{PO}^2 – r^2$

$Pot(P,C) = \overline{OP}^2 – r^2$

Demostración (Por casos)

Caso 1: Punto interno a la circunferencia:

Sea $\overline{AB} $ la cuerda que pasa por el centro $O$ y $P$.

Entonces el producto es : $PA\times PB=(r+d)(r-d)=r^2-d^2$

Entonces sucede lo mismo para cualquier otra cuerda:

$PC\times PD= r^2-d^2 =r^2-OP^2$

Ahora $PC$ y $PD$ son sentidos opuestos $\Rightarrow PC\times PD \leq 0 \Longleftrightarrow -(PC\times PD) \geq 0$ y como $ r^2-OP^2 \geq 0$ $\Rightarrow -( PC\times PD) = r^2 – OP^2 \Rightarrow (PC\times PD) = OP^2 -r^2 $

$\Rightarrow Pot(P,C)=OP^2-r^2$ $\blacksquare$

Caso 2: Punto externo a la circunferencia:

$P$ un punto exterior de $C(O,r)$.

Desde $P$ se traza una tangente a $C(O,r)$. Ahora como $\angle PTO =90^o =\frac{\pi}{2}$ entonces $\triangle POT$ es un triángulo rectángulo, entonces por Pitágoras:

$OP^2=PT^2+OT^2 \Longleftrightarrow PT^2=OP^2-OT^2=OP^2-r^2$

Por proposición 2 $\Rightarrow Pot(P,C) =PT^2=OP^2-r^2 $ $\blacksquare$

Dadas las 3 proposiciones anteriores, se puede expresar lo potencia de un punto $P$ respecto a $C(O,r)$:

$Pot(P,C) = PA \times PB =PT^2=OP^2-r^2$

Más adelante…

Se seguirá abordando el tema de potencia de un punto y su relación con el eje radical de dos circunferencias.

Al final de los temas de esta primera unidad se dejará unas series de ejercicios.

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