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Geometría Analítica I: Intersección de rectas

Introducción

En entradas anteriores hemos definido las rectas en formas distintas y hemos realizado algunos ejercicios. El siguiente paso en nuestro curso es buscar el punto de intersección de dos rectas, pues sabemos (por lo que hemos discutido) que si dos rectas no son paralelas, entonces estas se intersectan en algún punto. Buscamos esto ya que no hay que olvidar nuestro objetivo principal, el mostrar todos lo enunciado por Euclides en su geometría.

El procedimiento de esta entrada será un poco particular pues antes de comenzar con el tema principal, discutiremos el paralelismo, sin embargo interrumpiremos momentáneamente este tema para razonar cómo es que se encuentra la intersección de dos rectas $l_1$ y $l_2$. De manera intuitiva, podemos imaginar que el punto de intersección de dos rectas es aquel que cumple con la ecuación de cada una al mismo tiempo ; esta idea será nuestra guía para desarrollar la teoría. Una vez que hayamos razonado este tema, volveremos para concluir la parte de paralelismo.

Paralelismo

Iniciemos entonces hablando de cuando dos rectas no se intersectan, esto es que sean paralelas.

Definición. Dos rectas $l_1$ y $l_2$ $\in \mathbb{R}^2$ son paralelas, si no se intersectan, esto es que

$L_1 \cap l_2 = \emptyset$

donde $\emptyset$ denota al conjunto vacío. Denotaremos dos rectas paralelas como $l_1 \parallel l_2$.

Pero no sólo dos rectas pueden ser paralelas; seguramente mientras leías estas últimas palabras, pensabas en los planos que es análogo a la definición anterior, sin embargo me refiero a los vectores.

Definición. Dados dos vectores $u,v \in \mathbb{R}^2$ distintos de $0$, decimos que $u$ es paralelo a $v$ si existe un número real $t$ tal que

$u=tv$

Denotaremos el paralelismo entre dos vectores como $u \parallel v$.

A partir de estas dos definiciones podemos enunciar el siguiente lema, pero aún no tenemos la experiencia suficiente para demostrarlo de manera completa. Por ahora, enunciémoslo y demostremos la parte que nos es posible.

Lema. Dos rectas diferentes en forma paramétrica

$l=\{ p+rq : r \in \mathbb{R} \}$ y $m= \{ u+sv : r \in \mathbb{R} \}$

son paralelas si y sólo si los vectores directores $q$ y $v$ son paralelos.

Demostración.

«Regreso»: Comencemos suponiendo que los vectores son paralelos por lo que debemos demostrar que $l\cap m =\emptyset$.

Si $q$ y $v$ son paralelos, entonces existe un $t \in \mathbb{R}$ tal que

$q=tv$

Si suponemos que la intersección es no vacía (dem. por contradiccióon), entonces tendríamos un punto perteneciente a las dos rectas, esto es

$u+sv=p+rq$

Para algún $s$ y algún $r$. Recordemos que por hipótesis $q=tv$, por lo que al sustituir este valor en la igualdad anterior tenemos

$u+sv=p+r(tv)$

Utilizando los axiomas de los reales podemos acomodar esta igualdad a nuestra conveniencia

$u-p=rtv-sv$

Al despejar $p$ tenemos que

\begin{align*}
p&=u-rtv+sv \\
&=u-v(rt-s)
\end{align*}

Al sustituir $p$ y $q$ en la definición de la recta $l$ obtenemos que

\begin{align*}
l&=\{ ((u-v(rt-s))+r(tv) : r,s,t \in \mathbb{R} \} \\
&=\{ u-rtv+sv+rtv : r,s,t \in \mathbb{R} \} \\
&= \{ u+sv-rtv+rtv : r,s,t \in \mathbb{R} \} \\
&= \{ u+sv : s \in \mathbb{R} \}
\end{align*}

$\Rightarrow l=m$

Pero esto es una contradicción ya que claramente al inicio de este lema se menciona que $l \neq m$.

$\therefore$ si $q$ y $v$ son paralelos, entonces $l \parallel m$ pues al suponer que $l \cap m \neq \emptyset$, llegamos a una contradicción.

«Ida»: Aunque parece extraño, aquí es cuando debemos de cortar con el tema de paralelismo e indagar un poco sobre la intersección de rectas pues es necesario lo que trataremos a continuación para poder concluir nuestra demostración.

$\dots$

Intersección de rectas

De manera intuitiva sabemos que dos rectas no paralelas se intersectan en un punto. En esta parte de la entrada, queremos encontrar ese punto.

Antes de estudiar el procedimiento general, realicemos un ejemplo para obtener una visión de lo que nos espera.

Ejemplo:

Tomemos dos rectas en su forma paramétrica dadas por

$l_1=\{ (2,-8)+r(7,-3) : r \in \mathbb{R} \}, \text{ } l_2={ (7,-4)+s(1,2) : s \in \mathbb{R} }$

Nuestro objetivo en este ejemplo es encontrar el punto $p$ en el cual $l_1$ y $l_2$ se intersectan, esto es el punto que cumpla ambas ecuaciones

\begin{align*}
(2,-8)+r(7,-3)&=p=(7,-4)+s(1,2) \\
\Rightarrow 2,-8)+r(7,-3)&=(7,-4)+s(1,2)
\end{align*}

Al juntar los terminos que contienen un parámetro de un lado del igual y aquellos que son puntos definidos del otro y desarrollar obtenemos

\begin{align*}
(2,-8)-(7,-4)&=s(1,2)-r(7,-3) \\
\Leftrightarrow (2-7,-8+4)&=(s-7r,2s+3r) \\
\Leftrightarrow (-5,-4)&=(s-7r,2s+3r)
\end{align*}

Dado que son vectores que queremos sean iguales, entonces deben ser iguales entrada a entrada; por lo que tenemos un sistema de ecuaciones

\begin{cases}
-5=s-7r \dots (a)\\
-4=2s+3r \dots (b)
\end{cases}

Afortunadamente, ya sabemos como resolver sistemas de ecuaciones. En este caso en especial, podemos multiplicar la ecuación $a$ por $-2$ para obtener $10=-2s+14r$ y sumar este resultado a la ecuación $b$:

\begin{align*}
10&=-2s+14r\\
-4&=2s+3r \\
\hline
6&=17r
\end{align*}

$\Rightarrow r=\frac{6}{17}$

Ya que obtuvimos el valor de $r$, podemos sustituirlo en alguna de las ecuaciones principales para obtener $s$ y obtenemos su valor

$s=\frac{-43}{17}$

Usando cualquiera de los dos valores, encontramos que el punto de intersección es

$(2,-8+\frac{6}{17}(7,-3)\approx (4.4705,-9.0588)\approx (7,-4)+\frac{-43}{17}(1,2)$

Procedimiento general

Usemos como base el ejemplo pasado para establecer un procedimiento general para enconrar el punto de intersección de dos rectas.

Comencemos con las rectas

$l_1={ (p_1,p_2)+r(q_1,q_2) : r \in \mathbb{R} }, \text{ } l_2={ (u_1,u_2)+s(v_1,v_2) : s \in \mathbb{R} }$

Con base en el ejemplo, el siguietne paso es establecer un punto digamos $w$ que cumpla ambas ecuaciones

\begin{align*}
(p_1,p_2)+r(q_1,q_2)&=w=(u_1,u_2)+s(v_1,v_2) \\
(p_1,p_2)+r(q_1,q_2)&=(u_1,u_2)+s(v_1,v_2)
\end{align*}

Colocamos de un lado del igual los elementos que se multiplican por un parámetro y lo demás del otro lado y desarrollamos

\begin{align*}
r(q_1,q_2)-s(v_1,v_2)&=(u_1,u_2)-(p_1,p_2) \\
(rq_1-sv_1,rq_2-sv_2)&=(u_1-p_1,u_2-p_2)
\end{align*}

Como tenemos la igualdad de dos vectores, deben ser iguales entrada a entrada, esto es

\begin{cases}
rq_1-sv_1= u_1-p_1 \dots (a)\\
rq_2-sv_2= u_2-p_2 \dots (b)
\end{cases}

En este punto, debemos solucionar el sistema de ecuaciones de manera general, para lo cual multiplicaremos $(a)$ por $q_2$ y $(b)$ opr $q_1$ y restaremos las expresiones resultantes

\begin{align*}
rq_1q_2-sv_1q_2&=u_1q_2-p_1q_2 \\
rq_2q_1-sv_2q_1&=u_2q_1-p_2q_1\\
\hline
sv_2q_1-sv_1q_2&=u_1q_2-p_1q_2-u_2q_1+p_2q_1
\end{align*}
A partir de esta última expresión podemos despejar el parámetro $s$ para obtener

$s=\frac{u_1q_2-p_1q_2-u_2q_1+p_2q_1}{v_2q_1-v_1q_2}$

Notemos que $s$ se puede indefinir si $v_2q_1-v_1q_2=0$, esto es que

$v_2q_1=v_1q_2$

pero la única manera de que esto suceda es si $l_1 \parallel l_2$, que no es el caso que estamos tratando. Por lo tanto, el sistema siempre tiene solución. Así, el punto de intersección $w$ está dado por

\begin{align*}
w&=(u_1,u_2)+s(v_1,v_2) \\
&=(u_1,u_2)+\frac{u_1q_2-p_1q_2-u_2q_1+p_2q_1}{v_2q_1-v_1q_2}(v_1,v_2)
\end{align*}

Es posible encontrar el punto $w$ al encontrar el valor del parámetro $r$ y es de manera análoga a lo que cabamos de realizar.

Recapitulemos ligeramente lo que acaba de pasar, pues acabamos de demostrar la parte faltante del lema enunciado en la sección de paralelismo. Por lo descrito arriba, resulta que si las rectas son paralelas, entonces no hay un punto de intersección, esto es que el sistema de ecuaciones no tiene solución, pero esto pasa solamente si los vectores son paralelos.

$\square$

Podemos enunciar esto último como una proposición.

Proposición. Si los vectores directores de dos rectas en su forma paramétrica no son paralelos, entonces las rectas se intersectan.

Continuación paralelismo

Concluyamos esta entrada con la teoría faltante de paralelismo.

Teorema. Dada una recta $l \in \mathbb{R}^2$ y un punto $p$ fuera de ella, siempre existe una recta $m$ que pasa por $p$ y es paralela a $l$.

Demostración.

Sea la recta $l$ en su forma paramétrica

$l=\{ u+rv : r \in \mathbb{R} \}$

Proponemos a la recta

$m=\{ p+rv : r \in \mathbb{R} \}$

como una recta que pasa por $p$ y es paralela a $l$. Por como $m$ está definida, esta recta cumple que pasa por $p$. Además, sabemos que $1\dot v=v$, por lo que (por definición de vectores paralelos) $v$ es paralelo a $v$ y esto implica que $m$ es paralela a $l$ (por el lema).

$\therefore$ Existe una recta que pasa por $p$ y es paralela a $l$.

El siguiente corolario es lo última de esta entrada y la demostración se deja como tarea moral ya que hemos desarrolado las herramientas suficientas para probarlo.

Corolario. Dada una recta $l$ y $p$ un punto fuera de ella, la recta que pasa por $p$ y es paralela a $l$ es única.

Tarea moral

  • En el desarrollo general para encontrar la intersección de dos rectas, existe un caso en el que el sistema de ecuaciones no tiene solución, esto es cuando $v_2q_1=v_1q_2$. Justifica porqué este caso no es posible si dos rectas se intersectan.
  • Encuentra el parámetro $r$ en esta la sección antes mencionada, para encontrar a $w$ en términos de la otra recta.
  • Demuestra el corolario.
  • Encuentra las intersecciones de las rectas
    • $l_1=\{ (3,2)+t(2,0) : t \in \mathbb{R} \}$
    • $l_2=\{ (5,1)+s(-4,3) : s \in \mathbb{R} \}$
    • $l_3=\{ (-6,-1)+r(0,-7) : r \in \mathbb{R} \}$
  • Prueba que las rectas $l=\{(-1,5)+t(4,-2) : t \in \mathbb{R}\}$ y $m=\{ (0,2)+s(-20,10) : s \in \mathbb{R} \}$

Más adelante…

En esta entrada tratamos la intersección de rectas en su forma paramétrica, conforme avancemos en el curso, hablaremos de la recta en otras formas a partir de las cuales también nos será posible encontrar la intersección entre rectas.

Geometría Moderna I: Definiciones

Introducción

Esta es la primera entrada del curso de Geometría Moderna I el cual está basado en el temario oficial de la Facultad de Ciencias de la UNAM. Aquí presentaremos algunos conceptos básicos que nos serán de ayuda para empezar el curso.

El termino Geometría Moderna se refiere a aquella geometría deductiva, que fue desarrollada después de Euclides y hasta el desarrollo de las geometrías no euclidianas, este periodo está comprendido entre los siglos III AC y XIX DC, es decir, la geometría griega hecha con regla y compás, pero después de los griegos.

La geometría euclidiana estudia propiedades básicas de los objetos geométrico tales como punto, recta, triángulo o circunferencia, a partir de un conjunto de axiomas y de manera sintética, es decir, sin el uso de un eje de coordenadas o métodos algebraicos muy complejos, aunque si se hace uso de nociones básicas de Teoría de Conjuntos, como las de pertenencia o intersección de conjuntos.

Muchas de estas propiedades son de carácter métrico, es decir, sobre la medición de magnitudes de ángulos, longitudes de segmentos, distancias entre puntos o áreas de figuras geométricas, pero también nos hablan sobre la concurrencia de rectas (rectas diferentes que pasan por un mismo punto), colinealidad de puntos (puntos distintos que están sobre una misma recta) o puntos cíclicos (puntos distintos que están en una misma circunferencia).

Punto, recta y circunferencia

Definición 1. Un punto es la representación de un lugar específico en el plano, no tiene longitud, altura ni ninguna otra dimensión, en nuestro cuaderno o el pizarrón podemos representar este lugar con la marca más pequeña y visible que nuestro lápiz o gis puedan hacer, la cual en realidad si tiene dimensiones, pero lo que solo nos interesa es la abstracción de ese lugar marcado.

La mayoría del tiempo para referirnos a puntos emplearemos letras mayúsculas.

Definición 2. Una línea recta es un objeto de una sola dimensión, solo tiene longitud y se extiende de manera infinita en ambos sentidos. Todos sus puntos se encuentran en una misma dirección de manera que dos puntos distintos determinan a una línea recta. Nos referiremos a una línea recta simplemente como recta. Si no conocemos dos puntos por donde que pasa una recta la denotaremos con la letra $l$.

Cuando la intersección de dos rectas $l_{1}$, $l_{2}$ es vacía, es decir, no tienen ningún punto en común $l_{1} \cap l_{2} = \varnothing$, decimos que son rectas paralelas y lo denotamos como $l_{1} \parallel l_{2}$.

A la porción de línea recta que une dos puntos distintos en el plano (incluyendo a los puntos) y que no se extiende más allá de ellos le llamamos segmento de recta o simplemente segmento.

La distancia entre dos puntos es la magnitud del segmento de recta que los une.

Si conocemos dos puntos distintos $P$, $Q$ de una recta nos referiremos al segmento que une dichos puntos como $\overline{PQ}$, en ocasiones también nos podremos referir a la recta completa con la misma notación de acuerdo al contexto del problema. Para hablar de la magnitud del segmento $\overline{PQ}$, usaremos la notación $PQ$ (sin la rayita arriba).

Figura 1

Definición 3. Dados un punto $O$ del plano y una magnitud $r \geq 0$, definimos a la circunferencia con centro en $O$ y radio $r$ $(O, r)$ como el conjunto de puntos en el plano cuya distancia al punto $O$ es $r$. Algunas veces no nos importara o no conoceremos el centro o el radio de una circunferencia, en tal caso nos referiremos a ella con cualquier otra letra como $\Gamma$.

Al segmento que une dos puntos distintos de una circunferencia y que pasa por su centro le llamamos diámetro.

A la porción de una circunferencia que une dos puntos distintos en ella le llamamos arco de circunferencia, para dos puntos distintos en una circunferencia $A$ y $B$, denotamos al arco recorrido de $A$ a $B$ en el sentido contrario de las manecillas del reloj como $\overset{\LARGE{\frown}}{AB}$.

Figura 2

Ángulo

Definición 4. Un ángulo es un objeto formado cuando dos rectas o segmentos se intersecan. Al punto en común le llamamos vértice y los segmentos o semirectas que concurren en el vértice son los lados del ángulo.

Cuando es claro cuáles son los lados de un ángulo con vértice en $O$ lo denotamos como $\angle O$, cuando queremos hacer énfasis en los segmentos que forman un ángulo con vértice $O’$, escribimos $\angle AOB$ si nos referimos al desplazamiento del segmento AO hacia BO en contra del movimiento de las manecillas del reloj. También podemos etiquetar a un ángulo con letras griegas minúsculas.

Figura 3

Cuando dos rectas o segmentos distintos se intersecan se forman cuatro ángulos, en este caso a los ángulos que comparten un lado en común les llamamos adyacentes y a los que no tienen un lado en común, opuestos por el vértice.

Decimos que un ángulo es recto si es aquel que se obtiene cuando dos rectas $l_{1}$, $l_{2}$ se intersecan formando cuatro ángulos iguales y en este caso decimos que las rectas son perpendiculares $l_{1} \perp l_{2}$. Denotamos a la suma de dos ángulos rectos como $\pi$.

Para medir la magnitud de un ángulo $\angle O$ trazamos una circunferencia de radio $1$ con centro en el vértice del ángulo y ubicamos las intersecciones de los lados del ángulo con la circunferencia digamos $A$ y $B$, entonces la medida de $\angle AOB$ será la magnitud del arco $\overset{\LARGE{\frown}}{AB}$. En calculo se muestra que $\pi = 3.14159…$, es un numero irracional, esto es, su representación decimal es infinita y no periódica.

 Otra forma de medir los ángulos es dividir a la circunferencia en $360$ partes iguales o grados, de esto se sigue que $\dfrac{\pi}{2} = 90^{\circ}$, $\pi = 180^{\circ}$, $2\pi = 360^{\circ}$.

Figura 4

Un ángulo que es menor que uno recto es un ángulo agudo y uno que es mayor a uno recto se llama ángulo obtuso.

Dos ángulos que suman $\dfrac{\pi}{2}$ son complementarios y dos ángulos cuya suma es igual a $\pi$ se llaman suplementarios.

Figura 5

Triángulo

Definición 5. Un triángulo es una figura en el plano que consiste de tres puntos distintos, llamados vértices, que no son colineales, y por los segmentos que unen dichos vértices a los que llamamos lados del triángulo.

Si los vértices de un triangulo son $A$, $B$ y $C$, denotamos al triángulo como $\triangle ABC$ recorriendo los vértices en el sentido contrario de las manecillas del reloj.

Recordemos leer los ángulos en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. A $\angle BAC$, $\angle CBA$ y $\angle ACB$ les llamamos ángulos internos o interiores.

Si extendemos los lados del triángulo, a los ángulos que son suplementarios a los ángulos interiores les llamamos ángulos exteriores o externos, notemos que por cada ángulo interno hay dos externos.

Figura 6

Clasificamos a los triángulos de acuerdo a la magnitud de sus lados y de sus ángulos internos.

De acuerdo a sus lados:
escaleno, si ningún par de lados es igual,
isósceles, si tienen dos lados iguales,
equilátero, si todos sus lados son iguales.

Figura 7

De acuerdo a sus ángulos internos:
rectángulo, si un ángulo interno es recto,
acutángulo, si todos sus ángulos internos son agudos,
obtusángulo, si uno de sus ángulos internos es obtuso.

Figura 8

Problema. Dado un segmento construir sobre él un triángulo equilátero.

Solución. Para hacer una construcción geométrica usamos una regla sin graduar y un compás. La regla nos permite trazar la recta que une cualesquiera dos puntos distintos y con el compás podemos trazar circunferencias conociendo su centro y radio.

Sea $\overline{BC}$ el segmento dado, trazamos dos circunferencias de radio $BC$, una con centro en $B$ y otra con centro en $C$.

Figura 9

Sea $A$ la intersección de $(B, BC)$ con $(C, BC)$, trazamos $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$, entonces $AB = BC$, por ser radios de $(B, BC)$ y $AC = BC$, por ser radios de $(C, BC)$.

Por lo tanto, $AB = BC = AC$ y así $\triangle ABC$ es equilátero.

$\blacksquare$

El triángulo es uno de los objetos más estudiados en geometría euclidiana. En las próximas entradas abordaremos teoremas fundamentales acerca del triángulo como los de congruencia, semejanza o el teorema de Pitágoras.

Tarea moral

  1. Muestra que los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
  2. Convierte a grados los siguientes ángulos: $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{3\pi}{4}$.
  3. Calcula la longitud de arco de los siguientes ángulos: $225^{\circ}$, $270^{\circ}$, $315^{\circ}$.
  4. Dados dos segmentos de distinta longitud, construir sobre el mayor un segmento de igual magnitud al menor.
  5. GeoGebra es un software libre de matemáticas muy útil, con él te puedes apoyar para hacer tus demostraciones durante este curso, aquí esta la versión online.

Más adelante…

En la siguiente entrada presentaremos los postulados de Euclides que son el punto de partida para poder establecer relaciones entre los objetos que hemos definido.

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