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Geometría Analítica I: Las ideas de Euclides y Descartes

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Introducción

En la primer parte del curso desarrollaremos los formalismos de conceptos geométricos de los cuales ya tenemos alguna noción como puntos, rectas, el espacio vectorial $\mathbb{R}^2$, ángulos, distancias, entre otras. Es probable que ya tengas muchas de estas nociones previas, y que hayas trabajado con ellas incluso desde el punto de vista analítico. Sin embargo, es importante ir siguiendo las ideas poco a poco pues, además de aprender a hacer las operaciones necesarias, también hay que desarrollar la intuición matemática y geométrica detrás de las cuentas. Así mismo, será importante darse cuenta el orden en el que vamos construyendo los objetos, pues en muchas ocasiones no sólo calcularemos sino que demostraremos y para ello es fundamental basarse únicamente en cosas que ya se hayan probado antes.

En esta entrada en particular, hablaremos de dos formas en las que se ha formalizado a la geometría: mediante una construcción sintética propuesta por los griegos, y mediante una construcción analítica desarrollada por Descartes. La presentación que hacemos de estos temas es más moderna que como fueron planteados originalmente.

Geometría griega

Antes de que la geometría fuera formalizada, en sus inicios ere mucho más una herramienta. Estaba conformada por reglas comúnmente usadas para cosas de la vida cotidiana como medir terrenos, construir casas y ciudades, y navegar.

La formalización de este conocimiento se dio por primera vez en Elementos, un texto escrito en el siglo III a.C. por Euclides de Alejandría; durante este proceso, Euclides se percató de que todo razonamiento riguroso debe tener bases previamente establecidas que bien pueden haberse demostrado con anterioridad o que son válidas sin necesidad de demostración. Esta última opción hace referencia a principios básicos que están dados y son incontrovertibles, de tal manera que se puede construir sobre ellos el resto de la teoría.

Para formalizar una teoría, necesitamos objetos y principios básicos. En el caso de la geometría euclideana, los objetos son las nociones intuitivas que tenemos: puntos, rectas, planos, ángulos, etc. Los principios básicos, que se asumen como ciertos desde el inicio se les conoce como los cinco postulados de Euclides:

  1. Por cualesquiera dos puntos, se puede trazar el segmento de recta que los une.
  2. Dado un punto y una distancia, se puede trazar el círculo con centro en el punto y cuyo radio es la distancia.
  3. Un segmento de recta se puede extender en ambas direcciones indefinidamente.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales.
  5. Dadas dos rectas y una tercera que las corta, si los ángulos internos de algún lado suman menos de dos ángulos rectos (180°), entonces las dos rectas se cortan y lo hacen de ese lado.

Este último postulado resulta tener dos versiones que son equivalentes y que enunciamos a continuación:

5.a. Dada una línea recta y un punto fuera de ella, existe una única recta que pasa por el punto y que es paralela a la línea.

5.b. Los ángulos interiores de un triángulo suman dos ángulos rectos.

El quinto postulado resultó ser muy controvertido y en el transcurso de la historia muchos geómetras intentaron mostrar que se desprendía de las definiciones y de los primeros cuatro. Pero esto resultó no ser cierto. Se descubrió que al tomar distintas negaciones del quinto postulado se podían obtener distintas geometrías, tan válidas y tan ricas como la geometría euclideana misma. Esto no lo trataremos en este curso, pero si te interesa conocer más, puedes investigar acerca de la geometría proyectiva o hiperbólica.

Del plano euclideano al plano cartesiano y viceversa

Continuando con la formalización de la geometría, el siguiente paso en este camino lo dio Descartes en su publicación Géométrie al introducir el álgebra en la solución de problemas de índole geométrica. Este camino inicia al buscar la forma de representar puntos en el plano por parejas de números. Para esto partimos del plano euclidiano que está bien definido por los cinco axiomas descritos por Euclides. Pensaremos que este plano consiste de puntos y que se extiende indefinidamente. Pensaremos también que en este plano los objetos que se mencionan en los postulados tienen sentido (punto, distancia, etc.). Llamaremos a este plano $\mathbb{E}^2$, donde el exponente en este caso hace referencia a la dimensión.

Notemos ahora que los puntos de una recta $l_1$ contenida en el plano ($l_1 \in \mathbb{E}^2$) representan a los números reales ($\mathbb{R}$) y que se vale lo contrario también (los reales pueden ser representados por una recta dentro de $\mathbb{E}^2$). Para ello, escogemos un punto $ O \in l_1$ al que denotaremos como origen y le asignaremos el valor real cero. Para que sea tangible la representación de los reales con esta recta, designamos que del lado derecho de $O$ se tienen los números positivos de acuerdo con su distancia al origen y del lado izquierdo los negativos. Así, a cada número real $x$ se le asocia un punto $P \in l_1$ (y a cada punto en $l_1$ le corresponde un número real).

El siguiente paso consiste en construir otra recta, digamos $l_2$, que también pase por $O$ y algún otro punto $Q$ (nótese que $l_1$ y $l_2$ fueron construidas utilizando los postulados 1 y 3 de Euclides). Orientemos a $l_2$ de la misma manera que a $l_1$ para que sus puntos representen a los números reales. Entonces, se tiene la correspondencia biunívoca entre puntos en $ \mathbb{E}^2$ y parejas de números reales gracias al postulado 5.a:

  • De punto en el plano a pareja de números: Existe una única recta $l_1’$ que pasa por $P$ y es paralela a $l_1$; análogamente existe una única recta $l_2’$ que pasa por $P$ y es paralela a $l_2$. Las intersecciones de las rectas $l_1 \cap l_2’$ y $l_2 \cap l_1’$ determinan los puntos $p_1 \in l_1$ y $q_1 \in l_2$ que definen dos números reales $x$ y $y$; esto es, una pareja ordenada $(x,y)$.
  • De pareja de números a punto en el plano: Para esta correspondencia se hace la construcción inversa, dada una pareja de números $(x,y)$, consideremos a $p_1 \in l_1$ como el punto sobre $l_1$ que se encuentra a distancia $x$ del origen y a $q_1 \in l_2$ como el punto a distancia $y$ de $O$. Sea $l_1’$ la recta que pasa por $q_1$ paralela a $l_1$ y sea $l_2’$ la recta que pasa por $p_1$ paralela a $l_2$; la intersección $l_1′ \cap l_2’$ es el punto $A$ que corresponde a la pareja $(x,y)$.

En el siguiente interactivo puedes jugar con la segunda parte de la construcción. Da clic para que se active y luego mueve los deslizadores para cambiar los valores de $X$ y $Y$. Al elegirlos, se realizará la construcción del punto $A$ de manera automática.

Así, hemos definido un sistema de coordenadas al elegir un punto $O$ (que corresponde al origen), una línea que conecta a este con un punto $P$ y otra línea que conecta a $O$ con un punto $Q$ (puntos distintos entre ellos) y al establecer las convenciones de signo.

La construcción que hicimos es muy general, y para nuestros propósitos será mejor centrarnos en el caso en el que las rectas $l_1$ y $l_2$ son ortogonales (forman un ángulo de 90°). Tradicionalmente, $l_1$ es conocida como el eje x y suele ser una línea horizontal cuya dirección positiva está hacia la derecha; $l_2$ (vertical y con dirección positiva hacia arriba) es conocida como el eje y. Este caso particular es conocido como los ejes cartesianos canónicos.

Plano cartesiano en 2 dimensiones.

Si resumimos lo que hemos desarrollado hasta ahora tenemos que, al fijar los ejes coordenados, a cada pareja de números $(x,y)$ le corresponde un punto $\textbf{a} \in \mathbb{E}^2$; además, esta relación también se vale en el otro sentido, por lo que podemos escribir que $\textbf{a}=(x,y)$. A este punto (o par de coordenadas) se le puede asignar una flecha (recta con dirección conocido como vector) que parte del origen y termina en el punto.

En el siguiente interactivo, puedes mover el punto $C$ para ver cómo cambia la flecha que une al origen con $C$.

Para concluir esta entrada, notemos que el procedimiento realizado lo podemos repetir para $n$ líneas; si bien en esta entrada construimos un sistema coordenado con $l_1$ y $l_2$, podemos agregar una $l_3$ que pase por el origen y que sea perpendicular a las otras dos líneas para llevar el plano a el espacio (tri-dimensional).

Plano cartesiano en 3 dimensiones.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Demuestra (no muy formalmente) la equivalencia entre el postulado 5, 5.a y 5.b. Sugerencia: Hazlo meramente con dibujos, intenta llegar de la representación de un postulado al otro de manera gráfica.
  • Ubica en el plano cartesiano de dos dimensiones los siguientes puntos:
    • $(2,3)$, $(7,1)$, $(5,10)$
    • $(-1,-5)$, $(-6,-2)$, $(-5,-8)$
    • $(-2,7)$, $(-5,4)$, $(-2,7)$
    • $(4,-3)$, $(2,-1)$, $(4,-5)$
      ¿Notas algún patrón entre los vectores de cada renglón relacionado a dónde quedan con respecto al eje $x$ y al eje $y$?
  • A partir del ejercicio anterior, identifica los cuadrantes (regiones del plano cartesiano divididas por los ejes) en los que las parejas de números tienen signos determinados: $(+,+)$, $(-,-)$, $(-,+)$, $(+,-)$.
  • ¿Cómo son los puntos $(x,y)$ en el plano cartesiano que cumplen que $x=1$? ¿Aquellos que cumplen $y=2$? ¿Y si $y<3$? ¿Y si $1\leq x < 5$?
  • Describe cómo sería la construcción del plano cartesiano de tres dimensiones siguiendo el procedimiento visto en esta entrada.

Más adelante…

En esta entrada construimos el puente entre el espacio descrito por Euclides y el álgebra que implementó Descartes obteniendo entonces el plano cartesiano en dos dimensiones. Esto servirá como base durante todo el curso y en especial para la siguiente entrada en la cual se hablará del espacio vectorial $\mathbb{R}^2$.