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Geometría Moderna I: Paralelogramos

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

Introducción

En esta entrada presentamos a el primer tipo de cuadriláteros que estudiaremos, los paralelogramos, algunas de sus propiedades serán frecuentemente usadas durante el curso.

Definición 1. Un cuadrilátero es una figura geométrica que consiste en cuatro vértices y cuatro lados. Si los vértices de un cuadrilátero son $A$ , $B$ , $C$ y $D$ y los lados $A B$ , $B C$ , $C D$ y $A D$ entonces lo denotamos como $A B C D$ .

Decimos que los lados de un cuadrilátero son adyacentes u opuestos de acuerdo a si tienen o no un vértice en común.

Similarmente diremos que los vértices de un cuadrilátero son adyacentes u opuestos si son extremos de un mismo lado o no. Los segmentos que unen vértices opuestos son las diagonales del cuadrilátero.

Un cuadrilátero es convexo si sus diagonales se intersecan en el interior del cuadrilátero.

Proposición 1. La suma de los ángulos internos de todo cuadrilátero convexo es $2 π$ .

Demostración. Sea $A B C D$ convexo, consideremos $B D$ , entonces la suma de los ángulos internos del cuadrilátero será igual a la suma de los ángulos internos de los dos triángulos $△ A B D$ y $△ C B D$ , esto es, $2 π$ .

Algunas propiedades de paralelogramos

Definición 2. Un paralelogramo es un cuadrilátero convexo cuyos pares de lados opuestos son paralelos.

Teorema 1. En todo paralelogramo se cumple lo siguiente:

los lados opuestos y los ángulos opuestos son iguales,
los ángulos adyacentes son suplementarios,
cada diagonal divide al paralelogramo en dos triángulos congruentes,
las dos diagonales del paralelogramo lo dividen en dos parejas de triángulos congruentes,
las diagonales se intersecan en su punto medio.

Demostración. Sea $A B C D$ un paralelogramo.

Como la diagonal $B D$ es transversal a $A B$ y $D C$ y estos son paralelos, entonces $∠ D B A = ∠ B D C$ .

Similarmente $B D$ es transversal a $A D$ y a $B C$ , por lo que $∠ A D B = ∠ C B D$ .

$△ A B D$ y $△ C D B$ tienen en común al lado $B D$ y por criterio ALA, $△ A B D ≅ △ C D B$ .

Es decir,
$A B = C D$ , $A D = C B$ y $∠ A = ∠ C$ ,
además $∠ D = ∠ A D B + ∠ B D C = ∠ C B D + ∠ D B A = ∠ B$ .

Así los lados y ángulos opuesto son iguales.

Veamos que los los ángulos adyacentes son suplementarios,
$∠ A + ∠ B = ∠ A + ∠ C B D + ∠ D B A$
$= ∠ A + ∠ A D B + ∠ D B A = π$ .

Similarmente,
$∠ A + ∠ D = ∠ C + ∠ B = ∠ C + ∠ D = π$ .

Por otro lado, si consideramos la diagonal $A D$ , al igual que en el caso anterior, tendremos que $∠ B A C = ∠ D C A$ y $∠ C A D = ∠ A C B$ .

Sea $E = A C \cap B D$ , por criterio ALA, $△ E A B ≅ △ E C B$ y $△ E A D ≅ △ E C B$ , por lo que $A E = C E$ y $B E = D E$ .

Rectángulo

Definición 3. Un rectángulo es un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos.

Proposición 2. Todo rectángulo es paralelogramo.

Demostración. Como dos lados opuestos son perpendiculares a un tercer lado entonces son paralelos entre sí. Similarmente los otros dos lados opuestos son paralelos entre sí. Por lo tanto, un rectángulo es paralelogramo.

Proposición 3. Un paralelogramo es rectángulo si y solo si sus diagonales tienen la misma longitud.

Demostración. Sea $A B C D$ paralelogramo y supongamos que $A C = B D$ .

Por el teorema anterior, $A D = B C$ , y los triángulos $△ A D C$ y $△ B C D$ comparten a $C D$ como lado en común, por criterio LLL, $△ A D C ≅ △ B C D$ , en particular $∠ C = ∠ D$ .

Pero por el teorema 1, $∠ A = ∠ C$ y $∠ B = ∠ D$ .

Por tanto, $∠ A = ∠ C = ∠ D = ∠ B$ .

Por la proposición 1,
$4 ∠ A = ∠ A + ∠ C + ∠ B + ∠ D = 2 π$
$\Rightarrow ∠ A = ∠ C = ∠ B = ∠ D = \frac{π}{2}$ .

Así, $A B C D$ es rectángulo.

Ahora supongamos que $A B C D$ es rectángulo y probemos que $A C = B D$ .

Por hipótesis $∠ D = ∠ C$ , como $A B C D$ es paralelogramo entonces $A D = B C$ , además $C D$ es un lado en común de $△ A D C$ y $△ B C D$ , por criterio LAL, $△ A D C ≅ △ B C D$ .

Por lo tanto, $A C = B D$ .

Rombo

Definición 4. Un rombo es un cuadrilátero con cuatro lados iguales.

Proposición 4. Todo rombo es paralelogramo.

Demostración. Sea $A B C D$ un rombo.

Por criterio LLL, $△ A B D ≅ △ C D B$ , en particular $∠ A D B = ∠ C B D$ , como $B D$ es transversal a $A D$ y a $B C$ y los ángulos alternos internos son iguales entonces $A D ∥ B C$ .

De manera similar se ve que $A B ∥ C D$ .

Concluimos que $A B C D$ es paralelogramo.

Proposición 5. Un paralelogramo es un rombo si y solo si sus diagonales son perpendiculares.

Demostración. Sea $A B C D$ paralelogramo y supongamos que $A C ⊥ B D$ , veamos que es rombo.

Sea $E = A C \cap B D$ , por hipótesis $∠ D E A = ∠ A E B$ , como $A B C D$ es paralelogramo, por el teorema 1, $B E = D E$ , además $A E$ es un lado en común de $△ A E D$ y $△ A E B$ , por criterio LAL, $△ A E D ≅ △ A E B$ , en particular $A D = A B$ .

Como $A B C D$ es paralelogramo los lados opuestos son iguales, por lo tanto, $C D = A B = A D = B C$ .

Así, $A B C D$ es rombo.

Ahora supongamos que $A B C D$ es rombo veamos que $A C ⊥ B D$ .

Sea $E = A C \cap B D$ , como $A B C D$ es paralelogramo, $B E = D E$ , por criterio LLL, $△ A B E ≅ △ A D E$ , por lo que $∠ A E B = ∠ D E A$ .

Por ser opuestos por el vértice, $∠ A E B = ∠ C E D$ y $∠ D E A = ∠ B E C$ , por lo que $∠ C E D = ∠ A E B = ∠ D E A = ∠ B E C$ , y como $∠ C E D + ∠ A E B + ∠ D E A + ∠ B E C = 2 π$ , entonces $∠ C E D = ∠ A E B = ∠ D E A = ∠ B E C = \frac{π}{2}$ .

Por lo tanto, $A C ⊥ B D$ .

Segmento medio del triángulo

Proposición 6. Si un cuadrilátero convexo tiene un par de lados opuestos paralelos e iguales entre si entonces los restantes lados opuestos son paralelos e iguales entre sí.

Demostración. Sea $A B C D$ convexo tal que $A D = B C$ y $A D ∥ B C$ .

Tracemos $B D$ , como $A D ∥ B C$ entonces $∠ A D B = ∠ C B D$ , por criterio LAL, $△ A D B ≅ △ C B D$ , en particular $A B = C D$ y $∠ D B A = ∠ B D C$ .

Como $B D$ es transversal a $A B$ y a $C D$ y $∠ D B A = ∠ B D C$ , entonces $A B ∥ C D$ .

En consecuencia, $A B C D$ es paralelogramo.

Teorema 2. Del segmento medio del triángulo. El segmento que une puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo e igual a la mitad del lado restante.

Demostración. Sean $△ A B C$ , $M$ y $N$ los puntos medios de $A B$ y $A C$ respectivamente.

Extendemos $M N$ hasta un punto $O$ del lado de $N$ tal que $M N = N O$ .

Como $N$ es punto medio de $A C$ entonces $A N = C N$ , por construcción $M N = N O$ y $∠ A N M = ∠ C N O$ por ser opuestos por el vértice.

Por criterio LAL, $△ A N M ≅ △ C N O$ por lo que $C O = A M = B M$ y $∠ N M A = ∠ N O C$ .

Como $M O$ es transversal a $A B$ y a $C O$ y los ángulos alternos internos $∠ N M A$ , $∠ N O C$ son iguales entonces $A B ∥ C O$ .

En el cuadrilátero $M B C O$ los lados opuestos $M B$ y $C O$ son paralelos e iguales, por la proposición 6, $M O ∥ B C$ y $M O = B C$ pero $M N = \frac{M O}{2}$ .

Por lo tanto $M N = \frac{B C}{2}$ y $M N ∥ B C$ .

Problema de Thébault

Definición 5. Un cuadrado es un cuadrilátero con cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos. Decimos que la intersección de las diagonales de un cuadrado es el centro del cuadrado.

Teorema 3. Los centros de cuadrados construidos externamente sobre los lados de un paralelogramo son los vértices de un cuadrado y las diagonales del cuadrado y las del paralelogramo son concurrentes.

Demostración. Sea $A B C D$ paralelogramo y sean $A B B^{″} A^{'}$ , $B C C^{″} B^{'}$ , $C D D^{″} C^{'}$ y $A D D^{'} A^{″}$ cuadrados construidos sobre $A B$ , $B C$ , $C D$ y $D A$ respectivamente y $O_{1}$ , $O_{2}$ , $O_{3}$ , $O_{4}$ sus respectivos centros.

Como un cuadrado es un caso particular de un rectángulo y un rombo, sus diagonales son perpendiculares y tienen la misma longitud, y como es un paralelogramo las diagonales se bisecan.

De esto concluimos que las diagonales de un cuadrado lo dividen en cuatro triángulos rectángulos, isósceles y congruentes entre sí.

Por otro lado, como $A B C D$ es paralelogramo entonces $A D = B C$ y $A B = C D$ .

$\Rightarrow$
$\begin{matrix} (1) & △ A A^{'} O_{1} ≅ △ A B O_{1} ≅ △ C D O_{3} ≅ △ C C^{'} O_{3}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (2) & △ A A^{″} O_{4} ≅ △ A D O_{4} ≅ △ B C O_{2} ≅ △ C C^{″} O_{2} . \end{matrix}$

Por ser $A B C D$ paralelogramo,
$∠ A = ∠ C$ , $∠ B = ∠ D$ , $∠ A + ∠ B = π$ .

Veamos que $△ A O_{1} O_{4}$ y $△ C O_{3} O_{2}$ son congruentes.

Por $(1)$ , $A O_{1} = C O_{3}$ , por $(2)$ , $A O_{4} = C O_{2}$ ,
notemos que $∠ A^{″} A A^{'} = π - ∠ A = ∠ B = ∠ D = π - ∠ C = ∠ C^{″} C C^{'}$ .

$\Rightarrow ∠ O_{4} A O_{1} = ∠ O_{4} A A^{″} + ∠ A^{″} A A^{'} + ∠ A^{'} A O_{1}$
$= ∠ O_{2} C C^{″} + ∠ C^{″} C C^{'} + ∠ C^{'} C O_{3} = ∠ O_{2} C O_{3}$

Por criterio LAL, $△ A O_{1} O_{4} ≅ △ C O_{3} O_{2}$ , por lo que $O_{1} O_{4} = O_{2} O_{3}$ .

De manera similar se muestra que $△ A O_{1} O_{4} ≅ △ B O_{1} O_{2} ≅ △ D O_{3} O_{4}$ , y así,
$\begin{matrix} (3) & O_{2} O_{3} = O_{1} O_{4} = O_{1} O_{2} = O_{3} O_{4} . \end{matrix}$

Como $△ A O_{1} O_{4} ≅ △ B O_{1} O_{2}$ , entonces $∠ A O_{1} O_{4} = ∠ B O_{1} O_{2}$ .

$\Rightarrow ∠ O_{2} O_{1} O_{4} = ∠ B O_{1} O_{4} - ∠ B O_{1} O_{2}$
$= ∠ B O_{1} A + ∠ A O_{1} O_{4} - ∠ B O_{1} O_{2} = ∠ B O_{1} A = \frac{π}{2}$ .

De manera similar se ve que
$\begin{matrix} (4) & ∠ O_{1} O_{4} O_{3} = ∠ O_{4} O_{3} O_{2} = ∠ O_{3} O_{2} O_{1} = ∠ A O_{1} O_{4} = \frac{π}{2} . \end{matrix}$ .

Como $O_{1} O_{2} O_{3} O_{4}$ tienen cuatro lados iguales por $(3)$ , y cuatro ángulos rectos por $(4)$ , entonces es un cuadrado.

Veamos que las cuatro diagonales son concurrentes, consideremos $O_{2} O_{4}$ diagonal del cuadrado y $B D$ diagonal del paralelogramo.

Sea $E = O_{2} O_{4} \cap B D$ . En $△ E B O_{2}$ y $△ E D O_{4}$ tenemos que $∠ B E O_{2} = ∠ D E O_{4}$ por ser opuestos por el vértice, $∠ O_{2} B E = ∠ O_{2} B C + ∠ C B D = ∠ O_{4} D A + ∠ A D B$ .

Por lo tanto, $∠ E O_{2} B = ∠ E O_{4} D$ , además $B O_{2} = D O_{4}$ .

Por criterio LAL, $△ E B O_{2} ≅ △ E D O_{4}$ , por lo que $B E = D E$ y $O_{2} E = O_{4} E$
$\Rightarrow O_{2} O_{4}$ y $B D$ se intersecan en su punto medio.

Como $A B C D$ y $O_{1} O_{2} O_{3} O_{4}$ son paralelogramos sus diagonales se intersecan en su punto medio y por lo anterior todas concurren en $E$ .

Más adelante…

En la siguiente entrada veremos un resultado muy importante de las matemáticas, el teorema de Pitágoras y algunas aplicaciones.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Muestra que si un cuadrilátero convexo tiene alguna de las siguientes características entonces es un paralelogramo.
$i)$ los dos pares de lados opuestos son iguales,
$i i)$ los dos pares de ángulos opuestos son iguales,
$i i i)$ los ángulos adyacentes son suplementarios,
$i v)$ las diagonales se bisecan.
Construye un cuadrado sobre un segmento dado.
Si trazamos rectas paralelas a los lados de un paralelogramo por un punto de una de sus diagonales se forman 4 cuadriláteros, muestra que los dos cuadriláteros por donde no pasa la diagonal tienen la misma área.

Demuestra que si una recta biseca a un lado de un triangulo y es paralela a otro de los lados del triangulo entonces biseca al lado restante.
$i)$ Muestra que el punto medio de la hipotenusa de un triangulo rectángulo equidista a los tres vértices del triangulo.
$i i)$ Recíprocamente prueba que si en un triangulo un punto en uno de sus lados equidista a los tres vértices entonces el triángulo es rectángulo.
Prueba que si construimos triángulos equiláteros exteriormente sobre los lados de un paralelogramo, entonces los cuatro vértices construidos son los vértices de un paralelogramo, y muestra que las diagonales de los dos paralelogramos son concurrentes.

Entradas relacionadas

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Otros cursos.

Fuentes

Santos, J., Tesis Geometría del Cuadrilátero. 2010, pp 1-6.
Posamentier, A. y Salkind, C; Challenging Problems in Geometry. New York: Dover, 1996, pp 6.
Wikipedia
Geometría interactiva
Geometry Help
Cut the Knot
Wolfram MathWorld

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Moderna I: Teoremas de Varignon y Van Aubel

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

Con esta entrada damos inicio a la cuarta unidad que tratará sobre cuadriláteros. Comenzaremos hablando sobre el paralelogramo de Varignon y el teorema de Van Aubel.

Área del cuadrilátero

A partir de la ubicación de las diagonales de un cuadrilátero podemos establecer una clasificación de estos.

Un cuadrilátero es convexo si sus dos diagonales se encuentran dentro de él, es cóncavo si tiene una diagonal dentro y otra fuera de él, y es cruzado si las dos diagonales se ubican fuera del cuadrilátero.

El teorema de Varignon nos habla sobre el área de un cuadrilátero en general y ya que no es tan intuitivo definir el área de un cuadrilátero cruzado es necesario introducir el concepto de área orientada.

Consideraremos el área de un triángulo como positiva si recorremos sus vértices en el sentido opuesto a las manecillas del reloj y como negativa en caso contrario.

De esta manera tenemos que para un triángulo $△ A B C$ ,
$(△ A B C) = (△ B C A) = (△ C A B)$
$= - (△ C B A) = - (△ A C B) = - (△ B A C)$ .

Definición 1. Definimos el área de un cuadrilátero $A B C D$ como la suma de las áreas de los triángulos que se forman al considerar una de sus diagonales, esto es,
$(A B C D) = (△ A B C) + (△ C D A)$ .

Notemos que como resultado de esta definición el área del cuadrilátero cruzado resulta ser la diferencia de las áreas de los triángulos que se forman al considerar la intersección cruzada de los lados.

Paralelogramo de Varignon

Teorema 1, de Varignon.
$i)$ Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero convexo son los vértices de un paralelogramo, conocido como paralelogramo de Varignon, cuyo perímetro es la suma de las diagonales del cuadrilátero,
$i i)$ el área del paralelogramo de Varignon es la mitad del área del cuadrilátero.

Demostración. Sean $A B C D$ un cuadrilátero convexo y $M_{a b}$ , $M_{b c}$ , $M_{c d}$ y $M_{d a}$ los puntos medios de $A B$ , $B C$ , $C D$ y $D A$ respetivamente.

Notemos que $M_{a b} M_{b c}$ y $M_{c d} M_{d a}$ son segmentos medios de $△ A B C$ y $△ D A C$ por lo que $M_{a b} M_{b c} ∥ C A ∥ M_{c d} M_{d a}$ y $2 M_{a b} M_{b c} = C A = 2 M_{c d} M_{d a}$ .

De manera análoga podemos ver que $M_{a b} M_{d a} ∥ D B ∥ M_{b c} M_{c d}$ y $2 M_{a b} M_{d a} = B D = 2 M_{b c} M_{c d}$ .

Por lo tanto los lados opuestos de $M_{a b} M_{b c} M_{c d} M_{d a}$ son paralelos y $M_{a b} M_{b c} + M_{b c} M_{c d} + M_{c d} M_{d a} + M_{d a} M_{a b} = \frac{C A + B D + C A + B D}{2} = C A + B D$ .

Para calcular el área de $M_{a b} M_{b c} M_{c d} M_{d a}$ primero notemos que $△ A M_{a b} M_{d a}$ y $△ A B D$ son semejantes pues $M_{a b} M_{d a} ∥ B D$ .

También sabemos que $M_{a b} M_{d a} = \frac{B D}{2}$ , por lo que las alturas desde $A$ , $h$ y $h^{'}$ de $△ A M_{a b} M_{d a}$ y $△ A B D$ respectivamente, también cumplirán que $h = \frac{h^{'}}{2}$ .

Por lo tanto,
$(△ A M_{a b} M_{d a}) = \frac{M_{a b} M_{d a} \times h}{2}$
$= \frac{\frac{1}{2} D B D \times \frac{1}{2} h^{'}}{2} = \frac{1}{4} \frac{B D \times h^{'}}{2}$
$= \frac{1}{4} (△ A B D)$ .

De manera similar podemos encontrar las áreas de $△ B M_{b c} M_{a b}$ , $△ C M_{c d} M_{b c}$ y $△ D M_{d a} M_{c d}$ .

En consecuencia,
$(M_{a b} M_{b c} M_{c d} M_{d a}) = (A B C D) - (△ A M_{a b} M_{d a}) - (△ B M_{b c} M_{a b}) - (△ C M_{c d} M_{b c}) - (△ D M_{d a} M_{c d})$
$= (A B C D) - \frac{1}{4} ((△ A B D) + (△ B C D) + (△ C D B) + (△ D A C))$
$= (A B C D) - \frac{2}{4} (A B C D)$
$= \frac{(A B C D)}{2}$ .

Corolario. Sea $A B C D$ un cuadrilátero convexo, entonces su cuadrilátero de Varignon
$i)$ es un rombo si y solo si $A C = B D$ ,
$i i)$ es un rectángulo si y solo si $A C ⊥ B D$ ,
$i i i)$ es un cuadrado si y solo si $A C = B D$ y $A C ⊥ B D$ .

Demostración. Sean $E$ , $F$ , $G$ , $H$ , los puntos medios de $B C$ , $C D$ , $D A$ , $A B$ , respectivamente como $E F$ y $F G$ son segmentos medios de $△ D B C$ y $△ A D C$ , entonces, $2 E F = B D$ , $E F ∥ B D$ y $2 F G = A C$ , $F G ∥ A C$ .

$i)$ $E F G H$ es un rombo, entonces por definición $E F = F G \Leftrightarrow A C = B D$ .

$i i)$ $E F G H$ es un rectángulo, entonces por definición $E F ⊥ F G \Leftrightarrow A C ⊥ B D$ .

$i i i)$ Es consecuencia de $i)$ y $i i)$ .

Centroide de un cuadrilátero

Definición 2. Los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero se llaman bimedianas.

Al segmento que une los puntos medios de las diagonales de un cuadrilátero se le conoce como recta de Newton.

Teorema 2. Las bimedianas de un cuadrilátero convexo y su recta de Newton son concurrentes y se bisecan entre sí, el punto de concurrencia es el centroide del cuadrilátero.

Demostración. Sea $A B C D$ un cuadrilátero convexo y $M_{a b}$ , $M_{b c}$ , $M_{c d}$ , $M_{d a}$ , $M$ , $N$ , los puntos medios de $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ , $A C$ , $B D$ , respectivamente.

$M_{a b} M_{c d}$ y $M_{b c} M_{d a}$ son las diagonales del paralelogramo de Varignon, por lo tanto, se intersecan en $J$ su punto medio.

Por otra parte, $M_{a b} M$ es un segmento medio de $△ A B C$ , por lo que $M_{a b} M ∥ B C$ ; $N M_{c d}$ es un segmento medio de $△ D B C$ , por lo tanto, $N M_{c d} ∥ B C$ , y así $N M_{c d} ∥ M_{a b} M$ .

Igualmente vemos que $M_{a b} N ∥ M M c d$ .

Por lo tanto, $M_{a b} N M_{c d} M$ es un paralelogramo, en consecuencia las diagonales $M_{a b} M_{c d}$ y $N M$ se intersecan en $J$ su punto medio.

En conclusión, $J$ es el punto medio de $M_{a b} M_{c d}$ , $M_{b c} M_{d a}$ y $N M$ .

Construcción de un cuadrilátero

Problema. Construye un cuadrilátero $A B C D$ conociendo $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ y $M_{a b} M_{c d}$ donde $M_{a b}$ y $M_{c d}$ son los puntos medios de $A B$ y $C D$ respectivamente.

Solución. Primero construimos el paralelogramo $M_{a b} N M_{c d} M$ , donde $M$ y $N$ son los puntos medios de las diagonales $A C$ y $B D$ , de la siguiente manera.

De la demostración del teorema 2 sabemos que $M_{a b} M = N M_{c d} = \frac{B C}{2}$ y $M_{a b} N = M M_{c d} = \frac{A D}{2}$ (figura 4).

También sabemos que la diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes, por lo que basta construir un triángulo de lados $M_{a b} M_{c d}$ , $\frac{B C}{2}$ y $\frac{A D}{2}$ y luego trazar paralelas por $M_{a b}$ y $M_{c d}$ a los lados del triángulo construido completando así el paralelogramo.

De manera similar construimos el paralelogramo $M_{a b} M_{b c} M_{c d} M_{d a}$ donde $M_{b c}$ y $M_{d a}$ serían los puntos medios de $B C$ y $A D$ respectivamente.

Sabemos también que $M_{b c} M ∥ A B$ por lo que trazamos la paralela $A B$ a $M_{b c} M$ por $M_{a b}$ tal que $A M_{a b} = M_{b c} B = \frac{A B}{2}$ .

Con $A$ y $B$ construidos, por $M_{b c}$ trazamos $A B C$ tal que $B M_{b c} = M_{b c} C = \frac{B C}{2}$ , similarmente construimos $D$ .

Teorema de Van Aubel

Teorema 3, de Van Aubel. Los segmentos que unen los centros de cuadrados construidos externamente sobre lados opuestos de un cuadrilátero convexo son perpendiculares y tienen la misma longitud.

Demostración. Sean $A B C D$ un cuadrilátero convexo y $E F B A$ , $B G H C$ , $D C I J$ , $L A D K$ , cuadrados construidos externamente sobre los lados de $A B C D$ y $O_{1}$ , $O_{2}$ , $O_{3}$ , $O_{4}$ , sus respectivos centros.

Sea $M = L B \cap E D$ , como $A L = A D$ y $A B = A E$ y $∠ L A B = ∠ D A E$ , por criterio de congruencia LAL, $△ L A B ≅ △ D A E$ ,
$\Rightarrow L B = D E$ y $∠ A E M = ∠ A B M$ .

Por lo tanto, $M E B A$ es cíclico, así, $∠ E M B = ∠ E A B$ , es decir $L B ⊥ D E$ .

Considera $N$ el punto medio de $B D$ , $N O_{4}$ y $N O_{3}$ son segmentos medios de $△ B D E$ y $△ D B L$ respectivamente.

Esto implica que $2 N O_{4} = D E$ y $N O_{4} ∥ D E$ y $2 N O_{3} = L B$ y $N O_{4} ∥ L B$ .

Por lo tanto, $N O_{4} = N O_{3}$ y $N O_{4} ⊥ N O_{3}$ .

Igualmente vemos que $N O_{1} = N O_{2}$ y $N O_{1} ⊥ N O_{2}$ .

Sea $V = O_{1} O_{3} \cap O_{2} O_{4}$ , por criterio de congruencia LAL, $N O_{1} O_{3} ≅ N O_{2} O_{4}$ ,
$\Rightarrow O_{1} O_{3} = O_{2} O_{4}$ y $∠ V O_{1} N = ∠ V O_{2} N$ .

Por lo tanto, $V N O_{1} O_{2}$ es cíclico, y así $O_{1} O_{3} ⊥ O_{2} O_{4}$ .

Definición 3. Nos referiremos al cuadrilátero $O_{1} O_{1} O_{3} O_{4}$ como cuadrilátero externo de Van Aubel y a la intersección de sus diagonales como punto externo de Van Aubel.

Centroide del cuadrilátero de Van Aubel

Teorema 4. Un cuadrilátero y su cuadrilátero externo de Van Aubel tienen el mismo centroide.

Demostración. Sean $A B C D$ y $O_{1} O_{2} O_{3} O_{4}$ su cuadrilátero externo de Van Aubel, $M$ y $N$ los puntos medios de $A C$ y $B D$ , y $V$ el punto externo de Van Aubel.

En el teorema anterior vimos que $N V$ es una cuerda común a las circunferencias cuyos diámetros son $O_{1} O_{2}$ y $O_{3} O_{4}$ , por lo tanto la línea que une sus centros $M_{1, 2} M_{3, 4}$ biseca a $N V$ y $M_{1, 2} M_{3, 4} ⊥ N V$ .

De manera análoga podemos ver que $M V$ es una cuerda común a las circunferencias cuyos diámetros son $O_{2} O_{3}$ y $O_{4} O_{1}$ y por lo tanto la línea que une sus centros $M_{2, 3} M_{4, 1}$ biseca a $M V$ y $M_{2, 3} M_{4, 1} ⊥ M V$ .

Por otra parte, por el teorema de Van Aubel las diagonales del cuadrilátero de Van Aubel son perpendiculares y tienen la misma longitud. Entonces por el corolario, su paralelogramo de Varignon $M_{1, 2} M_{2, 3} M_{3, 4} M_{4, 1}$ es un cuadrado, en particular, $M_{1, 2} M_{3, 4} ⊥ M_{2, 3} M_{4, 1}$ .

En consecuencia, en $△ M N V$ , $M_{1, 2} M_{2, 3} ∥ M V$ y $M_{1, 2} M_{2, 3}$ pasa por el punto medio de $N V$ , por lo tanto $M_{1, 2} M_{2, 3}$ biseca a $M N$ .

Igualmente podemos ver que $M_{2, 3} M_{4, 1}$ biseca a $M N$ .

Por el teorema 2 sabemos que el punto medio $J$ de $M N$ es el centroide de $A B C D$ y que la intersección de las bimedianas $M_{1, 2} M_{3, 4}$ y $M_{2, 3} M_{4, 1}$ es el centroide de $O_{1} O_{2} O_{3} O_{4}$ .

Más adelante…

En la siguiente entrada continuaremos el estudio de los cuadriláteros cíclicos que comenzamos en la entada teorema de Ptolomeo.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Muestra que un cuadrilátero es dividido por una de sus diagonales en dos triángulos de igual área si y solo si la diagonal biseca a la otra diagonal.
Verifica que el teorema de Varignon se cumple para los cuadriláteros cóncavo y cruzado.
Sean $A B C D$ un cuadrilátero $U$ y $V$ los puntos medios de $\overset{―}{A C}$ y $\overset{―}{B D}$ respectivamente y $T$ la intersección de $\overset{―}{A B}$ con $\overset{―}{C D}$ . Prueba que $(△ T U V) = \frac{(A B C D)}{4}$ .
Sugerencia. Considera $H$ y $F$ los puntos medios de $\overset{―}{A D}$ y $\overset{―}{B C}$ y los cuadriláteros $A C B D$ , $C U F T$ y $B V F T$ para calcular el área de los triángulos $△ U V F$ , $△ U F T$ y $△ V F T$ .

Construye un cuadrilátero dados dos ángulos opuestos, la longitud de las diagonales y el ángulo entre las diagonales.
Verifica que el teorema de Van Aubel se cumple cuando los cuadrados son construidos internamente, y también para los para los cuadriláteros cóncavo y cruzado.
Muestra que en un cuadrilátero convexo los puntos medios de sus diagonales y los puntos medios de las diagonales de su cuadrilátero externo de Van Aubel, forman un cuadrado, y que el punto externo de Van Aubel pertenece al circuncírculo de este cuadrado.

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Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 124-127.
Coxeter, H. y Greitzer, L., Geometry Revisited. Washington: The Mathematical Association of America, 1967, pp 51-56.
Santos, J., Tesis Geometría del Cuadrilátero. 2010, pp 6-13.
D. Pellegrinetti., The Six-Point Circle for the Quadrangle. International Journal of Geometry, Vol. 8 (Oct., 2019), No. 2, pp 5–13.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Aprovechar la simetría

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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La simetría, además de ser una propiedad que hace que las cosas se vean bonitas, también es una buena técnica de resolución de problemas. Hay varias formas en las que se puede aprovechar la simetría en un problema. Una es para reducir esfuerzo: ¿para qué repetir un argumento si es el mismo? ¿para qué desarrollar todos los términos si la ecuación es simétrica?

En otras ocasiones la simetría nos permite sospechar que los casos especiales tienen que ser simétricos. A veces no hay razón para que sea de otra forma. Finalmente, la simetría también está presente en una gran variedad de la información del problema, y hay que inventarla o descubrirla para simplificar cuentas, notación y conjeturas.

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