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Cálculo Diferencial e Integral III: Regla de la cadena para campos vectoriales

Por Alejandro Antonio Estrada Franco

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Introducción

Tenemos ya la definición de diferenciabilidad, y su versión manejable: la matriz jacobiana. Seguiremos construyendo conceptos y herramientas del análisis de los campos vectoriales muy importantes e interesantes. A continuación, enunciaremos una nueva versión de la regla de la cadena, que nos permitirá calcular las diferenciales de composiciones de campos vectoriales entre espacios de dimensión arbitraria. Esta regla tiene numerosas aplicaciones y es sorprendentemente fácil de enunciar en términos de producto de matrices.

Primeras ideas hacia la regla de la cadena

La situación típica de regla de la cadena es considerar dos funciones diferenciables que se puedan componer. A partir de ahí, buscamos ver si la composición también es diferenciable y, en ese caso, intentamos dar la derivada de la composición en términos de las derivadas de las funciones. Veamos qué pasa en campos vectoriales.

Pensemos en $f:S_{f}\subseteq \mathbb{R}^{m}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$, $g:S_{g}\subseteq \mathbb{R}^{l}\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ y en su composición $h=f\circ g$ definida sobre alguna vecindad $V\subseteq S_g$ de $\bar{a}$ y tal que $g(V)\subseteq S_f$. Pensemos que $g$ es diferenciable en $\bar{a}$ con derivada $G_\bar{a}$ y que $f$ es diferenciable en $\bar{b}:=g(\bar{a})$ con derivada $F_\bar{b}$.

Exploremos la diferenciabilidad de la composición $h$ en el punto $\bar{a}$. Para ello, tomemos un $\bar{y}\in \mathbb{R}^{l}$ tal que $\bar{a}+\bar{y}\in V$ y consideremos la siguiente expresión:

\begin{align*}
h(\bar{a}+\bar{y})-h(\bar{a})=f(g(\bar{a}+\bar{y}))-f(g(\bar{a})).
\end{align*}

Tomando $\bar{v}=g(\bar{a}+\bar{y})-g(\bar{a})$, tenemos $\bar{b}+\bar{v}=g(\bar{a})+\bar{v}=g(\bar{a}+\bar{y})$. De esta forma,

\begin{align*}
f(g(\bar{a}+\bar{y}))-f(g(\bar{a}))=f(\bar{b}+\bar{v})-f(\bar{b}).
\end{align*}

Por la diferenciabilidad de $g$ en $\bar{a}$, tenemos que podemos escribir

$$\bar{v}=G_{\bar{a}}(\bar{y})+||\bar{y}||E_{g}(\bar{a};\bar{y}),$$ con $\lim\limits_{\bar{y}\to \bar{0}}E_{g}(\bar{a};\bar{y})=0$.

Usando la diferenciabilidad de $f$ en $\bar{b}$, y la linealidad de su derivada $F_\bar{b}$, tenemos entonces que:

\begin{align*}
f(\bar{b}+\bar{v})-f(\bar{b})&=F_\bar{b}(\bar{v})+||\bar{v}||E_f(\bar{b};\bar{v})\\
&=F_\bar{b}(G_{\bar{a}}(\bar{y})+||\bar{y}||E_{g}(\bar{a};\bar{y}))+||\bar{v}||E_f(\bar{b};\bar{v})\\
&=(F_{b}\circ G_{\bar{a}})(\bar{y})+||\bar{y}||(F_{\bar{b}}\circ E_{g}(\bar{a};\bar{y}))+||\bar{v}||E_{f}(\bar{b};\bar{v}),
\end{align*}

con $\lim\limits_{\bar{y}\to \bar{0}}E_{f}(\bar{b};\bar{v})=0$.

Concatenando nuestras igualdades, podemos reescribir esto como

\[ h(\bar{a}+\bar{y})-h(\bar{a})=(F_{\bar{b}}\circ G_{\bar{a}})(\bar{y})+||\bar{y}||E_{h}(\bar{a};\bar{y}),\] en donde hemos definido

\[ E_{h}(\bar{a};\bar{y})=(F_{\bar{b}}\circ E_{g})(\bar{a};\bar{y})+\frac{||\bar{v}||}{||\bar{y}||}E_{f}(\bar{b};\bar{v}).\] Si logramos demostrar que $\lim\limits_{\bar{y}\to \bar{0}}E_{h}(\bar{a};\bar{y})=0$, entonces tendremos la diferenciabilidad buscada, así como la derivada que queremos. Dejemos esto en pausa para enunciar y demostrar un lema auxiliar.

Un lema para acotar la norma de la derivada en un punto

Probemos el siguiente resultado.

Lema. Sea $\phi:S\subseteq \mathbb{R}^l\to \mathbb{R}^m$ un campo vectorial diferenciable en un punto $\bar{c}\in S$ y $T_\bar{c}$ su derivada. Entonces, para todo $\bar{v}\in \mathbb{R}^{l}$, se tiene:

$$||T_{\bar{c}}(\bar{v})||\leq \sum_{k=1}^{m}||\triangledown \phi_{k}(\bar{c})||||\bar{v}||.$$

Donde $\phi(\bar{v})=\left( \phi_{1}(\bar{v}),\dots ,\phi_{m}(\bar{v})\right)$

Demostración. Procedemos con desigualdad del triángulo como sigue:

\begin{align*}
||T_{\bar{c}}(\bar{v})||&=\left|\left|\sum_{k=1}^{m}(\triangledown \phi_{k}(\bar{c})\cdot \bar{v})e_{k}\right|\right|\\
&\leq \sum_{k=1}^{m}||(\triangledown \phi_{k}(\bar{c})\cdot \bar{v})e_k||\\
&=\sum_{k=1}^{m}|\triangledown \phi_{k}(\bar{c})\cdot \bar{v}|
\end{align*}

y luego usamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz en cada sumando para continuar como sigue

\begin{align*}
\leq \sum_{k=1}^{m}||\triangledown \phi_{k}(\bar{c})||||\bar{v}||,
\end{align*}

que es lo que buscábamos.

$\square$

Conclusión del análisis para regla de la cadena

Retomando el análisis para $E_{h}(\bar{a};\bar{y})$, dividamos el límite en los dos sumandos.

Primer sumando:

Como $F_{\bar{b}}$ es lineal, entonces es continua. También, sabemos que $\lim\limits_{\bar{y}\to \bar{0}}E_{g}(\bar{a};\bar{y})=0$. Así,

\begin{align*}
\lim\limits_{\bar{y}\to \bar{0}}(F_{\bar{b}}\circ E_{g})(\bar{a};\bar{y})&=F_{\bar{b}}\left(\lim\limits_{\bar{y}\to \bar{0}} E_{g}(\bar{a};\bar{y})\right)\\
&=F_\bar{b}(\bar{0})\\
&=0.
\end{align*}

Segundo sumando:

Retomando la definición de $\bar{v}$, aplicando desigualdad del triángulo y el lema que demostramos,

\begin{align*}
||\bar{v}||&=||G_{\bar{a}}(\bar{y})+||\bar{y}||E_{g}(\bar{a};\bar{y})||\\
&\leq ||G_{\bar{a}}(\bar{y})||+||\bar{y}||||E_{g}(\bar{a};\bar{y})||\\
&\leq \left(\sum_{k=1}^{m}||\triangledown g_{k}(\bar{a})||||\bar{y}||\right)+||\bar{y}||||E_{g}(\bar{a};\bar{y})||.
\end{align*}

Dividiendo ambos lados entre $||\bar{y}||$, obtenemos entonces que

$$ \frac{||\bar{v}||}{||\bar{y}||}\leq \sum_{k=1}^{m}||\triangledown g_{k}(\bar{a})||+||E_{g}(\bar{a};\bar{y})||. $$

De aquí se ve que conforme $\bar{y}\to \bar{0}$, la expresión $\frac{||\bar{v}||}{||\bar{y}||}$ está acotada superiormente por la constante $A:=\sum_{k=1}^{m}||\triangledown g_{k}(\bar{a})||.$ Además, si $\bar{y}\to \bar{0}$, entonces $\bar{v}\to \bar{0}$. Así,

\[0\leq \lim\limits_{\bar{y}\to \bar{0}}\frac{||\bar{v}||}{||\bar{y}||}E_{f}(\bar{b},\bar{v})\leq A\lim\limits_{\bar{y}\to \bar{0}}E_{f}(\bar{b},\bar{v})=0 \] pues $\lim\limits_{\bar{y}\to \bar{0}}\bar{v}=\bar{0}$ implica $\lim\limits_{\bar{y}\to \bar{0}}E_{f}(\bar{b},\bar{v})$.

Hemos concluido que $$h(\bar{a}+\bar{y})-h(\bar{a})=(F_{\bar{b}}\circ G_{\bar{a}})(\bar{y})+||\bar{y}||E_{h}(\bar{a};\bar{y}),$$

con $\lim_{\bar{y}\to \bar{0}} E_h(\bar{a};\bar{y})=0$. Esto precisamente es la definición de $h=f\circ g$ es diferenciable en $\bar{a}$, y su derivada en $\bar{a}$ es la transformación lineal dada por la composición de transformaciones lineales $F_\bar{b}\circ G_\bar{a}$.

Recapitulación de la regla de la cadena

Recapitulamos toda la discusión anterior en el siguiente teorema.

Teorema (Regla de la cadena). Sean $f:S_{f}\subseteq \mathbb{R}^{m}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$, $g:S_{g}\subseteq \mathbb{R}^{l}\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ campos vectoriales. Supongamos que la composición $f\circ g$ está definida en todo un abierto $S\subseteq S_g$. Supongamos que $g$ es diferenciable en un punto $\bar{a}\in S$ con derivada $G_\bar{a}$ y $f$ es diferenciable en $\bar{b}:=g(\bar{a})$ con derivada $F_\bar{b}$. Entonces, $h$ es diferenciable en $\bar{a}$ con derivada $F_\bar{b}\circ G_\bar{a}$.

Dado que la representación matricial de la composición de dos transformaciones lineales es igual al producto de estas, podemos reescribir esto en términos de las matrices jacobianas como el siguiente producto matricial: $$Dh(\bar{a})=Df(\bar{b})Dg(\bar{a}).$$

Usos de la regla de la cadena

Hagamos algunos ejemplos de uso de regla de la cadena. En el primer ejemplo que veremos a continuación, la función $f$ es un campo escalar.

Ejemplo 1. Tomemos $g:S\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ campo vectorial, y $f:U\subseteq \mathbb{R}^{m}\rightarrow \mathbb{R}$ campo escalar. Consideremos $h=f\circ g$ y supongamos que se satisfacen las hipótesis del teorema de la regla de la cadena. Tenemos: \[ Df(\bar{b})=\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}(\bar{b}) & \dots & \frac{\partial f}{\partial x_{m}}(\bar{b}) \end{pmatrix} \] y \[ Dg(\bar{a})=\begin{pmatrix}\frac{\partial g_{1}}{\partial x_{1}}(\bar{a}) & \dots & \frac{\partial g_{1}}{\partial x_{n}}(\bar{a}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial g_{m}}{\partial x_{1}}(\bar{a}) & \dots & \frac{\partial g_{m}}{\partial x_{n}}(\bar{a}) \end{pmatrix} . \]

Por la regla de la cadena tenemos $Dh(\bar{a})=Df(\bar{b})Dg(\bar{a})$ esto implica \[ \begin{pmatrix} \frac{\partial h}{\partial x_{1}}(\bar{a}) & \dots & \frac{\partial h}{\partial x_{n}}(\bar{a}) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}(\bar{b}) & \dots & \frac{\partial f}{\partial x_{m}}(\bar{b}) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{\partial g_{1}}{\partial x_{1}}(\bar{a}) & \dots & \frac{\partial g_{1}}{\partial x_{n}}(\bar{a}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial g_{m}}{\partial x_{1}}(\bar{a}) & \dots & \frac{\partial g_{m}}{\partial x_{n}}(\bar{a}) \end{pmatrix}. \]

Así \[ \begin{pmatrix} \frac{\partial h}{\partial x_{1}}(\bar{a}) & \dots & \frac{\partial h}{\partial x_{n}}(\bar{a}) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^{m}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\bar{b})\frac{\partial g_{i}}{\partial x_{1}}(\bar{a}) & \dots & \sum_{i=1}^{m}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\bar{b})\frac{\partial g_{i}}{\partial x_{n}}(\bar{a}) \end{pmatrix}. \]

En otras palabras, tenemos las siguientes ecuaciones para calcular cada derivada parcial de $h$: \[ \frac{\partial h}{\partial x_{j}}(\bar{a})=\sum_{i=1}^{m}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\bar{b})\frac{\partial g_{i}}{\partial x_{j}}(\bar{a}).\]

$\triangle$

Ejemplo 2. Sean $\bar{a}=(s,t)$ y $\bar{b}=(x,y)$ puntos en $\mathbb{R}^{2}$. Pensemos que las entradas de $\bar{b}$ están dadas en función de las entradas de $\bar{a}$ mediante las ecuaciones $x=g_{1}(s,t)$ y $y=g_{2}(s,t)$. Pensemos que tenemos un campo escalar $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$, y definimos $h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ mediante $$h(s,t)=f(g_{1}(s,t),g_{2}(s,t)).$$

Por el ejemplo anterior \[ \frac{\partial h}{\partial s}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s} \] y \[ \frac{\partial h}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}. \] Como tarea moral queda que reflexiones qué significa $\partial x$ cuando aparece en el «numerador» y qué significa cuando aparece en el «denominador».

$\triangle$

Ejemplo 3. Para un campo escalar $f(x,y)$ consideremos un cambio de coordenadas $x=rcos\theta$, $y=rsen\theta$ es decir tomemos la función $\phi (r,\theta)=f(rcos\theta ,rsen\theta )$.

Por el ejemplo anterior tenemos \[ \frac{\partial \phi }{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} \] y \[ \frac{\partial \phi }{\partial \theta }=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta }+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta } \] donde, haciendo las derivadas parciales tenemos: \[ \frac{\partial x}{\partial r}=cos\theta ,\hspace{1cm}\frac{\partial y}{\partial r}=sen\theta \] y \[ \frac{\partial x}{\partial \theta }=-rsen\theta,\hspace{1cm}\frac{\partial y}{\partial \theta }=-rcos\theta. \] Finalmente obtenemos: \[ \frac{\partial \phi }{\partial r }=\frac{\partial f }{\partial x }cos\theta +\frac{\partial f }{\partial y }sen\theta \] y \[ \frac{\partial \phi }{\partial \theta }=-\frac{\partial f }{\partial x }rsen\theta +\frac{\partial f }{\partial y }rcos\theta \] que son las derivadas parciales del cambio de coordenadas en el dominio de $f$.

$\triangle$

Mas adelante…

En la siguiente entrada comenzaremos a desarrollar la teoría para los importantes teoremas de la función inversa e implícita si tienes bien estudiada esta sección disfrutaras mucho de las siguientes.

Tarea moral

  1. Considera el campo escalar $F(x,y,z)=x^{2}+y sen(z)$. Imagina que $x,y,z$ están dados por valores $u$ y $v$ mediante las condiciones $x=u+v$, $y=vu$, $z=u$. Calcula $\frac{\partial F}{\partial u}$, $\frac{\partial F}{\partial v}$.
  2. Sea $g(x,y,z)=(xy,x)$, y $f(x,y)=(2x,xy^{2},y)$. Encuentra la matriz jacobiana del campo vectorial $g\circ f$. Encuentra también la matriz jacobiana del campo vectorial $f\circ g$.
  3. En la demostración del lema que dimos, hay un paso que no justificamos: el primero. Convéncete de que es cierto repasando el contenido de la entrada anterior Diferenciabilidad.
  4. Imagina que sabemos que la función $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ es invertible y derivable en $\bar{a}$ con derivada $T_\bar{a}$. Imagina que también sabemos que su inversa $f^{-1}$ es derivable en $\bar{b}=f(\bar{a})$ con derivada $S_\bar{b}$. De acuerdo a la regla de la cadena, ¿Qué podemos decir de $T_\bar{a}\circ S_\bar{b}$? En otras palabras, ¿Cómo son las matrices jacobianas entre sí, en términos de álgebra lineal?
  5. Reflexiona en cómo todas las reglas de la cadena que hemos estudiado hasta ahora son un corolario de la regla de la cadena de esta entrada.

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2 respuestas

Introducción

¿Qué sucede cuando $f$ comienza a crecer o decrecer arbitrariamente cuando $x \to x_0$ ó $x \to \infty$? En este sentido, el límite de una función en un punto puede tener un comportamiento divergente y éste será el tema de la presente entrada.

Divergencia en un punto

Iniciaremos dando la definición de divergencia del límite de una función en un punto $x_0$.

Definición. Sean $A \subset \mathbb{R}$ y $f: A \rightarrow \mathbb{R}.$

$i$) Se dice que $f$ tiende a $\infty$ cuando $x \rightarrow x_0$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$$
si para todo $M \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que para todo $x \in A$ con $0 < |x-x_0|< \delta$, entonces $f(x) > M.$

$ii$) Se dice que $f$ tiende a $- \infty$ cuando $x \rightarrow x_0$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$$
si para todo $m \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que para todo $x \in A$ con $0 < |x-x_0|< \delta$, entonces $f(x) < m.$

Iniciaremos con uno de los ejemplos clásicos.

Ejemplo 1. Prueba que $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty.$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$, sin pérdida de generalidad, supongamos que $M > 0$; consideremos $\delta = \frac{1}{\sqrt{M}}$. Si $0 < |x-0| = |x| < \delta = \frac{1}{\sqrt{M}}$, entonces $|x| < \frac{1}{\sqrt{M}}, es decir, \frac{1}{x^2} > M.$

$\square$

Antes de dar el siguiente ejemplo, demostraremos un teorema que nos ayudara a hacer el cálculo de este tipo de límites.

Proposición. Sean $A \subset \mathbb{R}$ y $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ y $x_0 \in A$. Supongamos que $f(x) \leq g(x)$ para todo $x \in A$ con $x \neq x_0$.

$i)$ Si $$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty, \quad \text{ entonces } \quad \lim_{x \to x_0} g(x) = \infty.$$
$ii)$ Si $$\lim_{x \to x_0} g(x) = -\infty, \quad \text{ entonces } \quad \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty.$$

Demostración.
$i)$ Sea $M \in \mathbb{R}$. Como $f$ tiende a $\infty$ cuando $x \rightarrow x_0$, existe $\delta > 0$ tal que si $0 < |x-x_0| < \delta$, entonces $f(x) > M.$

Por hipótesis $f(x) \leq g(x)$ para todo $x \in A$ con $x \neq x_0$, de esta forma tenemos que si $0 < |x-x_0| < \delta$, entonces $g(x) \geq f(x) > M$. Es decir, $g(x) > M$. Por lo tanto $$\lim_{x \to x_0} g(x) = \infty.$$

$ii)$ La demostración es análoga.

$\square$

Ejemplo 2. Prueba que $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} + |cos(x)| \right) = \infty.$$

Demostración.

Sabemos que

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty.$$

Además,
\begin{gather*}
& |cos(x)| \geq 0. \\ \\
\Rightarrow & \frac{1}{x^2} \leq \frac{1}{x^2} + |cos(x)|.
\end{gather*}

Usando el teorema anterior, podemos concluir que

$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} + |cos(x)| \right) = \infty.$$

$\square$

Divergencia en el infinito

La definición de divergencia la podemos extender para los límites en el infinito.

Definición.
$i)$ Sean $A \subset \mathbb{R}$ y $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Supongamos que $(a, \infty) \subset A$ para algún $a \in A$. Se dice que $f$ tiende a $\infty$ cuando $x \rightarrow \infty$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$$ si para cualquier $M \in \mathbb{R}$ existe $K \in \mathbb{R}$ tal que para cualquier $x>K$, entonces $f(x) > M.$


$ii)$ Sean $A \subset \mathbb{R}$ y $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Supongamos que $(a, \infty) \subset A$ para algún $a \in A$. Se dice que $f$ tiende a $- \infty$ cuando $x \rightarrow \infty$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty$$ si para cualquier $m \in \mathbb{R}$ existe $K \in \mathbb{R}$ tal que para cualquier $x>K$, entonces $f(x) < m.$

Ejemplo 3. Prueba que $$\lim_{x \to \infty} x = \infty.$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$, consideremos $K = M+1$. Si $x > K$, como $f(x) = x$, entonces $f(x) > M+1 > M$. Es decir, $f(x) > M.$

$\square$

Ejemplo 4. Prueba que $$\lim_{x \to \infty} 3x^2 = \infty.$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$, consideremos $K = \sqrt{\frac{M}{3}}$. Si $x > K$, se tiene que $x > \sqrt{\frac{M}{3}}$. Lo anterior implica que $3x^2 > M$, es decir, $f(x) > M.$

$\square$

Divergencia lateral

A continuación daremos la definición de divergencia para los límites laterales y finalizaremos esta entrada con un ejemplo de los mismos.

Definición. Sean $A \subset \mathbb{R}$ y $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Se dice que el límite por la derecha de $f$ en $x_0$ diverge a infinito si para todo $M \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que si $0<x – x_0<\delta$ entonces $f(x) > M$. Y lo denotamos $$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \infty.$$

Análogamente, tenemos la siguiente definición.

Definición. Sean $A \subset \mathbb{R}$ y $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Se dice que el límite por la izquierda de $f$ en $x_0$ diverge a infinito si para todo $M \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que si $0<x_0 – x<\delta$ entonces $f(x) > M$. Y lo denotamos $$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \infty.$$

Notemos que existen definiciones análogas para cuando $f$ diverge a $-\infty$ en $x_0$.

Ejemplo 5. $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty.$$
Demostración.
Sea $M \in \mathbb{R}$, sin pérdida de generalidad, consideremos $M > 0.$

Tomemos $\delta = \frac{1}{M}.$
Si $0<x-0< \delta = \frac{1}{M}$, entonces $f(x) = \frac{1}{x} > M$, así se tiene que

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty.$$

$\square$

Más adelante…

En la siguiente entrada haremos uso del límite de una función en toda su extensión y emplearemos las propiedades revisadas en las entradas anteriores mediante la resolución de límites para las funciones trigonométricas que, particularmente, se habían destinado para los temas finales de esta unidad.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Sea $a \in \mathbb{R}$. Prueba que $$\lim_{x \to \infty} x-a = \infty.$$
  • Prueba que $$\lim_{x \to \infty} x^2-x = \infty.$$
  • Escribe las definiciones de divergencia a $-\infty$ para los límites laterales.
  • Usando la definición que propusiste en el ejercicio anterior, prueba que $$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty.$$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Límite de una función a través de sucesiones

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

2 respuestas

Introducción

Alternativamente a la definición épsilon-delta revisada en la entrada anterior, se puede estudiar el límite de una función a través de límites de sucesiones; este enfoque tiene varias bondades en el sentido de que podremos hacer un amplio uso de las propiedades demostradas anteriormente para el límite de una sucesión. En esta entrada nos enfocaremos en probar un teorema que nos indica la equivalencia entre ambas formas de concebir el límite de una función.

Negación de la definición del límite de una función

Veamos primero qué significa que el límite de una función no exista, es decir, revisaremos la negación del concepto dado en la entrada anterior, para ello retomemos la definición de límite de una función:

Definición. Decimos que $f$ tiende hacia el límite $L$ en $x_0$ si para todo $\varepsilon > 0$ existe algún $\delta > 0$ tal que, para todo $x$, si $0<|x-x_0|< \delta$, entonces $|f(x)-L|< \varepsilon.$

De esta forma, si no se cumple la definición anterior, entonces tenemos lo siguiente: $f$ no tiende hacia el límite $L$ en $x_0$ si existe algún $\varepsilon > 0$, tal que para todo $\delta > 0$, hay algún $x$ que satisface $0 < |x-x_0| < \delta$, pero $|f(x)-L| \geq \varepsilon.$

Criterio de sucesiones para límites

Es momento de revisar un teorema que será particularmente útil para demostrar las propiedades del límite de una función. Este teorema nos indica que una función $f$ tiende al límite $L$ en $x_0$ si y solo si para toda sucesión $\{ a_n \}$ en el dominio de $f$ que converja a $x_0$ se tiene que la sucesión generada por $\{f(a_n) \}$ converge a $L.$

Teorema. Sean $A \subset \mathbb{R}$, $f:A \rightarrow \mathbb{R}$ y $x_0$ un punto de acumulación de $A$. Los siguientes enunciados son equivalentes.

  1. $$\lim_{x \to x_0} f(x) = L.$$
  2. Para toda sucesión $\{ a_n \}$ en $A$ que converge a $x_0$ tal que $a_n \neq x_0$ para todo $n\in \mathbb{N}$, la sucesión $\{f(a_n)\}$ converge a $L.$

Demostración.

$1) \Rightarrow 2)]$ Sea $\varepsilon >0$. Supongamos que $$\lim_{x \to x_0} f(x) = L.$$
Y sea $\{ a_n \}$ una sucesión en $A$ que converge a $x_0$ tal que $a_n \neq x_0$ para todo $n\in \mathbb{N}$.

Por hipótesis $f$ converge a $L$ en $x_0$, entonces existe $\delta > 0$ tal que si
$0<|x-x_0|<\delta$, entonces $|f(x)-L| < \varepsilon.$

Además, como la sucesión $\{a_n\}$ converge a $x_0$, para el valor $\delta > 0$ dado, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_0$ entonces $0<|a_n- x_0| < \delta$ y por hipótesis de la convergencia de $f$ a $L$ en $x_0$, podemos concluir que $|f(a_n)-L| < \varepsilon$. Así la sucesión $\{f(a_n)\}$ converge a $L$, es decir,
$$\lim_{n \to \infty} f(a_n) = L.$$


$1) \Leftarrow 2)]$ Procederemos a hacer esta implicación por contrapositiva, es decir, demostraremos que si no sucede $1)$, entonces tampoco sucede $2).$

Supongamos que $1)$ no se cumple, es decir, existe algún $\varepsilon_0 > 0$, tal que para todo $\delta > 0$, hay al menos un real $x$ que cumple $0<|x-x_0| < \delta$, pero $|f(x)-L| \geq \varepsilon_0$. Así, consideremos justo ese valor de $\varepsilon_0.$ Notemos que para todo natural $n \in \mathbb{N}$, si consideramos $\delta=\frac{1}{n}$, entonces existe al menos un término $a_n$ en $A$ tal que $0<|a_n-x_0| < \frac{1}{n}$, pero $|f(a_n)-L| \geq \varepsilon_0.$

Tomemos la sucesión generada por $\{a_n\}$, se tiene que la sucesión $\{ a_n \}$ converge a $x_0$ y $a_n \neq x_0$ para todo $n \in \mathbb{N}$, pero la sucesión $\{f(a_n)\}$ no converge a $L$. Así, si no se cumple $1)$, entonces tampoco $2)$. Por lo anterior, podemos concluir que $2) \Rightarrow 1).$

$\square$

Límite de una función a través de sucesiones

Ahora nos enfocaremos en hacer uso del teorema anterior. En el momento de hacer las demostraciones correspondientes, debemos tener presente que una vez que expresamos el límite de una función en términos del límite de una sucesión, podemos hacer uso de las propiedades del mismo.

Ejemplo 1. Sea $A =\mathbb{R} \backslash \{ 1 \}$. Consideremos la función $f: A \to \mathbb{R}$ con $f(x) = \frac{x^3-x^2+x-1}{x-1}$. Prueba que $$\lim_{x \to 1} f(x) = 2.$$

Demostración.

Primero notemos que
\begin{align*}
f(x) & = \frac{x^3-x^2+x-1}{x-1} \\ \\
& = \frac{(x-1)(x^2+1)}{x-1} \\ \\
& = x^2+1.
\end{align*}

$$\therefore f(x) = x^2+1.$$

Sea $\{a_n\}$ una sucesión en $\mathbb{R}$ tal que

  • $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 1.$
  • Para todo $n \in \mathbb{N}$, $a_n \neq 1.$
  • Para todo $n \in \mathbb{N}$, $a_n \in A.$

Entonces tenemos que

\begin{align*}
\lim_{x \to 1} f(x) & = \lim_{n \to \infty} f(a_n) \\ \\
& = \lim_{n \to \infty} (a_n^2+1) \\ \\
& = \lim_{n \to \infty} a_n^2 + \lim_{n \to \infty} 1 \tag{1} \\ \\
& = 1+1 \\ \\
& = 2.
\end{align*}

$$\therefore \lim_{x \to 1} \frac{x^3-x^2+x-1}{x-1} = 2.$$

$\square$

Es importante resaltar que aún no hemos probado ninguna propiedad del límite de una función, por lo que el criterio de sucesiones para límites es lo que nos permite emplear las propiedades que conocemos respecto a sus operaciones aritméticas y así realizar el paso $(1)$ en el ejemplo anterior.

Ejemplo 2. Sea $A = [0, \infty)$. Consideremos la función $f: A \to \mathbb{R}$ con $f (x) = \sqrt{x}$. Demuestra que $$\lim_{x \to 2} f(x) = \sqrt{2}.$$

Sea $\{a_n\}$ una sucesión en $\mathbb{R}$ tal que

  • $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 2.$
  • Para todo $n \in \mathbb{N}$, $a_n \neq 2.$
  • Para todo $n \in \mathbb{N}$, $a_n \in A.$

Sabemos que si $\{a_n\}$ converge a $2$, entonces $\{ \sqrt{a_n} \}$ converge a $\sqrt{2}$. Así, tenemos que

\begin{align*}
\lim_{x \to 2} f(x) & = \lim_{n \to \infty} f(a_n) \\
& = \lim_{n \to \infty} \sqrt{a_n} \\
& = \sqrt{2}.
\end{align*}

$$\therefore \lim_{x \to 2} \sqrt{x} = \sqrt{2}.$$

$\square$

Ejemplo 3. Sea $A =\mathbb{R} \backslash \{ 0 \}$. Consideremos la función $f: A \to \mathbb{R}$ con $f (x)= \frac{(3+x)^2-9}{x}$. Prueba que $$\lim_{x \to 0} f(x) = 6.$$

Demostración.

Primero notemos que

\begin{align*}
f (x) & = \frac{(3+x)^2-9}{x} \\ \\
& = \frac{9+6 x+x^2-9}{x} \\ \\
& = \frac{6x+x^2}{x} \\ \\
& = 6+x.
\end{align*}

$$\therefore f(x) = 6+x.$$

Sea $\{a_n\}$ una sucesión en $\mathbb{R}$ tal que

  • $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0.$
  • Para todo $n \in \mathbb{N}$, $a_n \neq 0.$
  • Para todo $n \in \mathbb{N}$, $a_n \in A.$

\begin{align*}
\lim_{x \to 0} f(x) & = \lim_{n \to \infty} f(a_n) \\ \\
& = \lim_{n \to \infty} (6+a_n) \\ \\ 
& = 6.
\end{align*}

$$\therefore \lim_{x \to 0} \frac{(3+x)^2-9}{x} = 6.$$

$\square$

Hasta este momento, solo hemos hecho uso del criterio de sucesiones para límites para probar la existencia de los mismos. Sin embargo, es posible usarlo también para el caso en el que tal límite no existe. Derivado directamente del teorema anterior se tiene que:

  • Si existen dos sucesiones $\{ a_n \}$, $\{b_n\}$ en el dominio de $f$, ambas convergentes a $x_0$, tal que $a_n$, $b_n \neq x_0$ para todo $n \in \mathbb{N}$, pero $\lim\limits_{n \to \infty} f(a_n) \neq \lim\limits_{n \to \infty} f(b_n)$ entonces no existe el límite de $f$ en $x_0.$

Veremos ahora un ejemplo donde el límite no existe.

Ejemplo 4. Sea $A =\mathbb{R} \backslash \{ 1 \}$. Consideremos la función $f: A \to \mathbb{R}$ con $f(x) = \frac{|x-1|}{x-1}$. Prueba que el límite

$$\lim_{x \to 1} f(x)$$

no existe.

Demostración.

Veamos primero la gráfica de la función:

Podemos observar que es conveniente tomar una sucesión que se aproxime a $x_0 = 1$ por la derecha y otra que se aproxime por la izquierda. Sean $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ dos sucesiones en el dominio de $f$ definidas de la siguiente forma:

$$a_n = 1 + \frac{1}{n} \quad \text{y} \quad b_n = 1 – \frac{1}{n}.$$

Se sigue que

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = 1 \quad \text{y} \quad \lim_{n \to \infty} b_n = 1.$$

Además, $a_n \neq 1$, $b_n \neq 1$ para todo $n \in \mathbb{N}$.

Se tiene que

\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} f(a_n) & = \lim_{n \to \infty} \frac{|a_n-1|}{a_n-1} \\ \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{ |1 + \frac{1}{n} – 1|}{1 + \frac{1}{n} -1} \\ \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{ |\frac{1}{n}|}{ \frac{1}{n} } \\ \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{n} }{ \frac{1}{n} } \\ \\
& = 1.
\end{align*}

$$\therefore \lim_{n \to \infty} f(a_n) = 1 \tag{1}.$$

Por otro lado,

\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} f(b_n) & = \lim_{n \to \infty} \frac{|b_n-1|}{b_n-1} \\ \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{ |1 – \frac{1}{n} – 1|}{1 – \frac{1}{n} -1} \\ \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{ |- \frac{1}{n}|}{- \frac{1}{n} } \\ \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{n} }{ – \frac{1}{n} } \\ \\
& = – 1.
\end{align*}

$$\therefore \lim_{n \to \infty} f(b_n) = -1. \tag{2}$$

De $(1)$ y $(2)$, se tiene que

\begin{gather*}
\lim_{n \to \infty} f(a_n) \neq \lim_{n \to \infty} f(b_n). \\ \\
\therefore \lim_{x \to 1} \frac{|x-1|}{x-1} \text{ no existe.}
\end{gather*}

$\square$

Más adelante…

En las siguientes entradas veremos propiedades específicas que nos ayudarán a calcular el límite de una función; y, como podrás imaginar, varias de estas propiedades son un símil a las revisadas para las sucesiones convergentes.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

A través del criterio de sucesiones para límite, prueba si existen o no los siguientes límites:

  • $$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x+1}.$$
  • $$\lim_{x \to 0} x \cdot |x|.$$
  • $$\lim_{x \to 7} \frac{x^2-5x+10}{2-x}.$$
  • $$\lim_{x \to 0} \frac{x}{|x|}.$$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Asíntotas

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

En esta entrada revisaremos el concepto de asíntota de una función; de manera intuitiva podemos pensar que mientras nos vamos «moviendo» a través de una curva, si ésta comienza a tener una distancia respecto a una recta cada vez más cercana a cero, entonces tal recta es una asíntota de la curva. En otras palabras, revisaremos aquellas curvas que a partir de determinado momento comienzan a tener un comportamiento muy similar al de una recta.

Un par de funciones conocidas

Daremos inicio a esta entrada retomando la función $f(x) = tan(x)$ estudiada en una entrada previa. Para nuestra revisión, consideraremos $f: (- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \to \mathbb{R}$.

Recordemos que $f(x) = tan(x) = \frac{sen(x)}{cos(x)}$, notemos que la función tiene una particularidad cuando $x \to \frac{\pi}{2}$ y $x \to -\frac{\pi}{2}$, pues en estos puntos el denominador, $cos(x)$, se hace cero. Para investigar un poco más al respecto, veamos qué pasa en el límite.

\begin{align*}
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} tan(x) = & \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \frac{sen(x)}{cos(x)} \\
= & \infty.
\end{align*}

Por otro lado,
\begin{align*}
\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} tan(x) = & \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} \frac{sen(x)}{cos(x)} \\
= & -\infty.
\end{align*}

Con lo anterior, podemos notar que cuando nos acercamos por la izquierda a $\frac{\pi}{2}$, la función tiende a $\infty$ y cuando nos acercamos por la derecha a $-\frac{\pi}{2}$ la función tiende a $- \infty$, éstos son ejemplos de comportamiento asintótico y lo podemos visualizar con mayor facilidad en la siguiente gráfica:


Las rectas $l_1: x = -\frac{\pi}{2}$, $l_2: x = \frac{\pi}{2}$ (líneas punteadas en rojo) las llamaremos asíntotas de la función.


Revisemos un segundo ejemplo antes de dar las definiciones correspondientes. En una entrada anterior vimos que para la función $f(x) = \frac{1}{x}$, se tiene que $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$, análogamente se puede probar que $\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$. Tales límites nos indican que la función $f$ comienza a parecerse mucho a la recta $y = 0$ cuando $x$ es muy grande o muy pequeño. En este sentido, dicha recta es una asíntota horizontal de $f$ tal y como lo podemos visualizar en la gráfica.

Tras haber visto la gráfica de la función es claro que también tiene un comportamiento similar al de una recta cuando $x \to 0$. Si bien el límite en tal punto no existe, ya conocemos sus límites laterales:

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty, \qquad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty.$$

Cuando sucede que el límite en un punto $x_0$ es $\infty$ ó $- \infty$, a la recta $x=x_0$ se le llama asíntota vertical. De esta manera, en nuestro ejemplo tenemos dos tipos de asíntotas: horizontal y vertical.

Existe un tercer tipo llamado asíntota oblicua que sucede cuando la función se aproxima a una recta del tipo $y = ax + b$ con $a \neq 0.$

Asíntota de una curva

A continuación presentamos la definición de los 3 tipos de asíntotas.

Definición (Asíntota vertical). Sea $x = x_0$ una recta $l$. Decimos que $l$ es asíntota vertical de la curva $f$ si se cumple al menos una de las siguientes condiciones:

  1. $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \pm \infty.$
  2. $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = \pm \infty.$
  3. $\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = \pm \infty.$

Notemos que las condiciones nos indican que una función tiene una asíntota vertical si mientras nos acercamos a determinado punto $x_0$ (ya sea por la izquierda, derecha o de ambas formas) la función crece o decrece de forma arbitraria. Este tipo de asíntotas suelen presentarse en las funciones racionales donde el denominador se hace cero.

Definición (Asíntota horizontal). Sea $y=b$ una recta $l$. Decimos que $l$ es una asíntota horizontal de la curva $f$ si se cumple al menos una de las siguientes condiciones:

  1. $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = L.$
  2. $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = L.$

En este caso, la definición nos indica que existe una asíntota horizontal si la función comienza a acercarse a un número real conforme $x$ se hace arbitrariamente grande o pequeño.

Definición (Asíntota Oblicua). Sea $y = ax +b$ una recta $l$. Decimos que $l$ es una asíntota oblicua de la curva $f$ si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

  1. $\lim\limits_{x \to \infty} [f(x)- (ax+b)] = 0.$
  2. $\lim\limits_{x \to -\infty} [f(x)- (ax+b)] = 0.$

La forma práctica de encontrar las asíntotas oblicuas de una curva $f$ es de la manera siguiente:

Si existen los límites $\lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ y $\lim\limits_{x \to \pm \infty} [f(x)-ax] = b.$

La recta $y = ax+b$ es una asíntota oblicua. Particularmente si $a=0$, esto se reduce al caso asíntota horizontal.

Ahora veremos algunos ejemplos donde encontraremos todas las asíntotas para cada función dada.

Ejemplo 1. Encuentra las asíntotas de la función $f(x) = \frac{x^2+5}{x-1}.$

  • Asíntota vertical.
    Notemos que de la primera definición nos interesa encontrar los puntos en los cuales la función tiende a infinito o menos infinito, y el denominador se acerca a cero cuando $x \rightarrow 1$. Es decir $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2+5}{x-1} = \infty \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2+5}{x-1} = -\infty.$$
    Por lo tanto, $x=1$ es una asíntota vertical.
  • Asíntota horizontal.
    $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+5}{x-1} = \infty \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+5}{x-1} = -\infty.$$
    Por lo que no hay asíntotas horizontales.
  • Asíntota oblicua.
    Veamos ahora que
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{x^2+5}{x-1}}{x} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+5}{x^2-x} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+5}{x^2-x} \cdot \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1+\frac{5}{x^2}}{1-\frac{1}{x}} \\ \\
    = & 1.
    \end{align*}

    Por otro lado,
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} [f(x)-ax] = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+5}{x-1} -x \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+5-x^2+x}{x-1} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x+5}{x-1} \\ \\
    = & 1.
    \end{align*}
    Así, tenemos una asíntota oblicua en $y = x+1$.

Ejemplo 2. $f(x) = \frac{x^2+x-3}{x}.$

  • Asíntota vertical.
    Notemos que
    $$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2+x-3}{x} = -\infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2+x-3}{x} = \infty.$$
    Por lo tanto, hay una asíntota vertical en $x=0$.
  • Asíntota horizontal.
    $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+x-3}{x} = \infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+x-3}{x} = -\infty.$$
    Por lo tanto, no hay asíntota horizontal.
  • Asíntota Oblicua.
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{x^2+x-3}{x}}{x} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+x-3}{x^2} \\ \\
    = & 1.
    \end{align*}
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} [f(x)-ax] = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+x-3}{x} – x \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+x-3-x^2}{x} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x-3}{x} \\ \\
    = & 1.
    \end{align*}

    Así, $f$ tiene como asíntota oblicua la recta $y = x+1$.



Ejemplo 3. $f(x) = \frac{1}{x^2+x-30}.$

  • Asíntota vertical.
    Revisemos en qué momento el denominador se hace cero
    $x^2+x-30 = 0 \iff (x+6)(x-5) = 0 \iff x =-6 \text{ ó } x = 5.$
    Así,
    $$\lim_{x \to -6^+} \frac{1}{x^2+x-30} = -\infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to -6^-} \frac{1}{x^2+x-30} = \infty.$$
    $$\lim_{x \to 5^+} \frac{1}{x^2+x-30} = \infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 5^-} \frac{1}{x^2+x-30} = -\infty.$$
    Por tanto, hay dos asíntotas verticales, una en $x = 5$ y otra en $x= -6$.
  • Asíntota horizontal.
    $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^2+x-30} = 0$$
    Hay una asíntota horizontal en $y = 0$.
  • Asíntota oblicua.
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{1}{x^2+x-30}}{x} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^3+x^2-30x} \\ \\
    = & 0.
    \end{align*}
    Como el límite es cero, no hay asíntota oblicua.

Ejemplo 4. $f(x) = \frac{x^5}{x^4-1}.$

  • Asíntota vertical.
    El denominador se hace cero si $x^4 – 1 = 0 \iff x = 1 \text{ ó } x = -1$
    $$\lim_{x \to -1^+} \frac{x^5}{x^4-1} = \infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to -1^-} \frac{x^5}{x^4-1} = -\infty$$
    $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^5}{x^4-1} = \infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 1^-} \frac{x^5}{x^4-1} = -\infty$$
    Por lo tanto, hay dos asíntotas verticales, una en $x=1$ y otra en $x=-1$.
  • Asíntota horizontal.
    Notemos que
    $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^5}{x^4-1} = \pm \infty$$
    Por lo que no hay asíntota horizontal.
  • Asíntota oblicua.
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{x^5}{x^4-1}}{x} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^5}{x^5-x} \\ \\
    = & 1.
    \end{align*}
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} [f(x)-ax] = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^5}{x^4-1} – x \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^5-x^5+x}{x^4-1} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x}{x^4-1} \\ \\
    = & 0.
    \end{align*}
    Así, $f$ tiene como asíntota oblicua la recta $y = x$.

Más adelante…

En las siguientes entradas estudiaremos el concepto de continuidad puntual y en un intervalo, también veremos diversos teoremas de las funciones continuas; para hacer la revisión de este nuevo concepto haremos amplio uso de la definición de límite, así como las propiedades que se revisaron a lo largo de esta unidad.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Encuentra todas las asíntotas de las siguientes funciones:

  • $f(x) = \frac{x^2+2}{x+1}.$
  • $f(x) = \frac{x^5+1}{x^2-1}.$
  • $f(x) = x \sqrt{\frac{x+10}{x-10}}.$
  • $f(x) = \frac{x^2+3}{\sqrt{x^2+4}}.$
  • $f(x) = \frac{1-x^2}{x^2-4}.$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral: Límites de funciones trigonométricas

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

En las entradas anteriores nos enfocamos en desarrollar el concepto de límite y revisamos diversos tipos de funciones, sin embargo, evitamos un tipo particular: las funciones trigonométricas. En esta entrada centraremos nuestra atención en la revisión de estos límites haciendo uso de toda la teoría revisada hasta este punto.

Límite de funciones trigonométricas cuando $x$ tiende a $x_0$

En los primeros ejemplos podrás visualizar la gráfica de la función con la finalidad de tener cierta intuición respecto a los límites, pero, en caso de requerirlo, puedes repasar las funciones trigonométricas.

Ejemplo 1. Prueba que $$\lim_{x \to 0} sen(x) = sen(0).$$

Demostración.

Para probar este límite, procederemos a calcular los límites laterales.

Sea $x \in (0, \pi / 2 )$. Usaremos que $0 < sen(x) < x$ si $x \in (0, \pi / 2 )$.

Además, $$\lim_{x \to 0} = 0 \qquad \text{y} \qquad \lim_{x \to 0} x = 0.$$

Por el teorema del sándwich, podemos concluir que $$\lim_{x \to 0^+} sen(x) = 0 = sen(0). \tag{1}$$

Si $x \in (- \pi / 2, 0)$, entonces $-x \in (0, \pi /2)$. De esta forma, se obtiene que

$$ 0 < sen(-x) < -x.$$

Como $sen(-x) = -sen(x)$, se sigue que $$0 < -sen(x) < -x.$$

Por lo tanto $$ x < sen(x) < 0$$

Nuevamente por el teorema del sándwich, se sigue que $$\lim_{x \to 0^-} sen(x) = 0 = sen(0). \tag{2}$$

De $(1)$ y $(2)$ se concluye que $$\lim_{x \to 0} sen(x) = sen(0).$$

$\square$

Ejemplo 2. Prueba que $$\lim_{x \to 0} cos(x) = cos(0).$$

Demostración.

Como $$ cos^2(x)+sen^2(x) = 1,$$ se sigue que $$|cos(x)| = \sqrt{1-sen^2(x)}.$$

Consideremos $x \in (-\pi/2, \pi/2)$, entonces $cos(x) > 0$, y de la expresión anterior se sigue que $$cos(x) = \sqrt{1-sen^2(x)}.$$

De esta manera, se tiene que

\begin{align*}
\lim_{x \to 0} cos(x) & = \lim_{x \to 0} \sqrt{1-sen^2(x)} \\
& = \sqrt{1-0} \\
& = 1 \\
& = cos(0).
\end{align*}

Por lo tanto

$$\lim_{x \to 0} cos(x) = cos(0).$$

$\square$

Ejemplo 3. Prueba que el siguiente límite no existe $$\lim_{x \to 0} sen \left( \frac{1}{x} \right).$$

Demostración.

Notemos que por la relación entre el límite de una función y el de una sucesión, basta dar dos sucesiones $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ tal que converjan a $x_0 = 0$ y $a_n$, $b_n \neq 0$ para todo $n \in \mathbb{N}$, pero que las sucesiones obtenidas de evaluar la función en los términos de ambas sucesiones, $\{f(a_n)\}$, $\{f(b_n)\}$ converjan a valores distintos.

Definimos $f(x) = sen(\frac{1}{x})$ y consideremos las sucesiones $a_n = (\pi n) ^{-1} \quad$ y $b_n = (\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n)^{-1},$ donde $a_n$, $b_n \neq 0$ para todo $n \in \mathbb{N}.$

Veamos que
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} a_n = & \lim_{n \to \infty} (\pi n) ^{-1} \\
= & \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi n} \\
= & 0.
\end{align*}
$$\therefore \lim_{n \to \infty} a_n = 0.$$
Además,
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} b_n = & \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} \pi + 2 \pi n \right)^{-1}\\ \\
= & \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n} \\ \\
= & \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{\pi + 4 \pi n}{2}} \\ \\
= & \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\pi + 4 \pi n} \\ \\
= & 0.
\end{align*}
$$\therefore \lim_{n \to \infty} b_n = 0.$$
Es decir, las sucesiones $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ tienden a cero. Y notemos que $f(a_n) = sen(n \pi ) = 0$ y $f(b_n) = sen(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n) = 1$ para todo $n \in \mathbb{N}.$

De esta forma $$\lim_{n \to \infty} f(a_n) \neq \lim_{n \to \infty} f(b_n).$$
Por tanto, podemos concluir que el límite no existe.

$\square$

Ejemplo 4. Prueba que $$\lim_{x \to 0} x sen \left( \frac{1}{x} \right) = 0.$$

Demostración.

Haremos la demostración de este límite mediante la definición épsilon-delta.

Sea $\varepsilon > 0$. Consideremos $\delta = \varepsilon.$
Si $0<|x-0| < \delta$, entonces
\begin{gather*}
& |x| < \delta = \varepsilon. \\
\Rightarrow & |x|< \varepsilon.
\end{gather*}
Además, sabemos que $-1 < sen \left( \frac{1}{x} \right) < 1$ para cualquier $x \neq 0.$ Entonces

\begin{align*}
|f(x)-0| = & \left|x sen \left( \frac{1}{x} \right) \right| \\
= & |x|\left|sen \left( \frac{1}{x} \right) \right| \\
\leq & \delta \cdot 1 \\
= & \varepsilon.
\end{align*}
$$\therefore \lim_{x \to 0} x sen \left( \frac{1}{x} \right) = 0.$$

$\square$

El siguiente ejemplo es un límite que nos ayudará en diversas ocasiones, así que vale la pena ponerle particular atención.

Ejemplo 5. Prueba que $$\lim_{x \to 0 } \frac{sen(x)}{x} = 1.$$

Demostración.

Como nos interesa revisar qué sucede cuando $x \to 0$. Podemos considerar que $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ con $x\neq 0.$

De esta forma, se tiene que

  • Área $\triangle ABC = \frac{sen(x)cos(x)}{2}$.
  • Área del sector circular $ADC = \frac{xr^2}{2} = \frac{x}{2}$.
  • Área $\triangle ADE = \frac{1 \cdot tan(x)}{2} = \frac{sen(x)}{2cos(x)}$.

Podemos notar que Área $\triangle ABC <$ Área del sector circular $ADC <$Área $\triangle ADE$.

Como $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ con $x\neq 0$, entonces $sen(x) \neq 0$ y $cos(x) \neq 0$. Así, se sigue que

\begin{gather*}
\frac{sen(x)cos(x)}{2} < \frac{x}{2} < \frac{sen(x)}{2cos(x)}.
\end{gather*}

De donde se obtiene que $$cos(x) < \frac{x}{sen(x)} < \frac{1}{cos(x)}.$$

Y se sigue que $$ cos(x) < \frac{x}{sen(x)} \qquad \text{ y } \qquad \frac{x}{sen(x)} < \frac{1}{cos(x)}.$$

Es decir, $$ \frac{sen(x)}{x} < \frac{1}{cos(x)} \qquad \text{ y } \qquad cos(x) < \frac{sen(x)}{x}. $$

$$ \therefore cos(x) < \frac{sen(x)}{x} < \frac{1}{cos(x)}.$$

Además, $\lim\limits_{x \to 0} cos(x) = 1$ y $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{cos(x)} = 1$. Por el teorema del del sándwich se concluye que

$$\lim_{x \to 0 } \frac{sen(x)}{x} = 1.$$

$\square$

Ejemplo 6. Determina el siguiente límite $$\lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x) }{x}.$$

Si $0< |x| < \pi$, entonces

\begin{align*}
\frac{1-cos(x)}{x} = & \frac{1-cos(x)}{x} \cdot \frac{1+cos(x)}{1+cos(x)} \\ \\
= & \frac{1-cos^2(x)}{x (1+cos(x) )} \\ \\
= & \frac{sen^2(x)}{x(1+cos(x))} \\ \\
= & \frac{sen(x)}{x} \frac{sen(x)}{1+cos(x)}.
\end{align*}

Así,
\begin{align*}
\lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x) }{x} = & \lim_{x \to 0}\frac{sen(x)}{x} \cdot \frac{sen(x)}{1+cos(x)} \\
= & \lim_{x \to 0} \frac{sen(x)}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{sen(x)}{1+cos(x)} \\
= & 1 \cdot \frac{0}{2} \\
= & 0.
\end{align*}

$$\therefore \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x) }{x} = 0.$$

Ejemplo 7. Calcula el siguiente límite $$\lim_{x \to 0} \frac{x+sen(x)}{x^2-sen(x)}.$$

\begin{align*}
\lim_{x \to 0} \frac{x+sen(x)}{x^2-sen(x)} = & \lim_{x \to 0} \frac{x+sen(x)}{x^2-sen(x)} \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} \\ \\
= & \lim_{x \to 0} \frac{1+\frac{sen(x)}{x}}{x-\frac{sen(x)}{x}} \\ \\
= & \frac{1+1}{0-1} \\ \\
= & -2.
\end{align*}
$$\therefore \lim_{x \to 0} \frac{x+sen(x)}{x^2-sen(x)} = -2.$$

Ejemplo 8. Calcula $$\lim_{x \to 0} \frac{sec(x) -1}{x}.$$

\begin{align*}
\lim_{x \to 0} \frac{sec(x) -1}{x} = & \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{cos(x)} -1}{x} \\ \\
= & \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1- cos(x)}{cos(x)}}{x} \\ \\
= & \lim_{x \to 0} \frac{1- cos(x)}{x cos(x)} \\ \\
= & \lim_{x \to 0} \frac{1}{cos(x)} \frac{1- cos(x)}{x} \\ \\
= & 1 \cdot 0 \\ \\
= & 0.
\end{align*}
$$\therefore \lim_{x \to 0} \frac{sec(x) -1}{x} = 0.$$

Límite de funciones trigonométricas cuando $x$ tiende a infinito

Ahora procederemos a revisar algunos ejemplos de funciones trigonométricas cuando $x \to \infty$, o bien, cuando $x \to – \infty.$

Ejemplo 9. Calcula el límite $$\lim_{x \to \infty} \frac{sen(x)}{x}.$$

Sabemos que $-1 \leq sen(x) \leq 1.$ De esta forma, si $x \neq 0$, se tiene que $$ -\frac{1}{x} \leq \frac{sen(x)}{x} \leq \frac{1}{x}.$$

Además, $$ \lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x} = 0 = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}.$$

Por el teorema del sándwich, se concluye que
$$ \lim_{x \to \infty} sen(x) = 0.$$

Ejemplo 10. Calcula el límite $$\lim_{x \to \infty} \frac{x sen(x)}{x^2+5}.$$
\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \frac{x sen(x)}{x^2+5} = & \lim_{x \to \infty} \frac{x sen(x)}{x^2+5} \cdot \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}} \\ \\
= & \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x sen(x)}{x^2}}{\frac{x^2+5}{x^2}} \\ \\
= & \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{sen(x)}{x}}{1+\frac{5}{x^2}} \\ \\
= & \frac{0}{1} \text{, por lo visto en el ejemplo anterior }\\ \\
= & 0.
\end{align*}
$$\therefore \lim_{x \to \infty} \frac{x sen(x)}{x^2+5} = 0.$$

Ejemplo 11. Determina si existe el siguiente límite $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2(1+sen^2(x))}{(x+sen(x))^2}.$$

El límite no existe. Considera las sucesiones generadas por $a_n = \pi n \quad$ y $\quad b_n = \frac{1}{2} \pi + 2 \pi n \quad$ donde $a_n$, $b_n \rightarrow \infty$ cuando $n \rightarrow \infty.$ Notemos que
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} f(a_n) = & \lim_{n \to \infty} \frac{(\pi n)^2(1+sen^2(\pi n))}{(\pi n+sen(\pi n))^2} \\ \\
= & \lim_{n \to \infty} \frac{(\pi n)^2(1+0)}{(\pi n+0)^2} \\ \\
= & \lim_{n \to \infty} \frac{(\pi n)^2}{(\pi n)^2} \\ \\
= & \lim_{n \to \infty} 1 \\ \\
= & 1.
\end{align*}
$$ \therefore \lim_{n \to \infty} f(a_n) = 1.$$
Por otro lado,
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} f(b_n) = & \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n)^2(1+sen^2(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n))}{(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n+sen(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n))^2} \\ \\
= & \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n)^2(1+1)}{(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n+1)^2} \\ \\
= & \lim_{n \to \infty} \frac{2(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n)^2}{(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n+1)^2} \\ \\
= & 2.
\end{align*}
$$ \therefore \lim_{n \to \infty} f(b_n) = 2.$$

Como $$\lim_{n \to \infty} f(a_n) \neq \lim_{n \to \infty} f(b_n).$$
Podemos concluir que el límite $\lim_\limits{x \to \infty} \frac{x^2(1+sen^2(x))}{(x+sen(x))^2}$ no existe.

Ejemplo 12. Determina el siguiente límite $$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2-sen(5x)}{x^2+2}.$$

Recordemos que $-1 < sen(5x) < 1$, de donde se sigue que $-1 < -sen(5x) < 1$, así
\begin{gather*}
& 3x^2-1 < 3x^2-sen(5x) < 3x^2+1.
\end{gather*}

Se sigue que
\begin{gather*}
\frac{3x^2-1}{x^2+2} < \frac{3x^2-sen(5x)}{x^2+2} < \frac{3x^2+1}{x^2+2} \text{, pues } x^2+2 >0.
\end{gather*}

Y notemos que

\begin{align*}
\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2+1}{x^2+2} = & \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{3x^2+1}{x^2}}{\frac{x^2+2}{x^2}} \\ \\
= & \lim_{x \to -\infty} \frac{3+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x^2}} \\ \\
= & \frac{3}{1} \\ \\
=& 3.
\end{align*}

De forma similar, se obtiene que $$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2-1}{x^2+2}= 3.$$

Por lo que se tiene que $$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2+1}{x^2+2} = 3 = \lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2-1}{x^2+2}.$$ Usando el teorema del sándwich podemos concluir que
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2-sen(5x)}{x^2+2} = 3.$$


Más adelante…

En la siguiente entrada revisaremos el concepto de asíntotas con lo que nos será posible analizar un comportamiento particular que llegan a tener las funciones, el cual es aproximarse a una recta en determinado momento; y, con esto, estaremos finalizando la unidad referente al límite de una función.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Halla los siguientes límites, justifica en caso de no alguno no exista.

  • $$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 (3+sen(x))}{(x+sen(x))^2}.$$
  • $$\lim_{x \to 1} \frac{sen(x^2-1)}{x-1}.$$
  • $$\lim_{x \to \infty} x^2 sen \left(\frac{1}{x} \right).$$
  • $$\lim_{x \to \infty} \frac{x + sen^3(x)}{5x+6}.$$
  • $$\lim_{x \to 0} \frac{tan^2(x)+2x}{x + x^2}.$$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»