Archivo de la etiqueta: límites laterales

Cálculo Diferencial e Integral I: Límites infinitos

Introducción

¿Qué sucede cuando $f$ comienza a crecer o decrecer arbitrariamente cuando $x \to x_0$ ó $x \to \infty$? Así como en las sucesiones, el límite de una función en un punto también puede tener un comportamiento divergente y éste será el tema de la presente entrada.

Divergencia en un punto

Iniciaremos dando la definición de divergencia del límite de una función en un punto $x_0$ que, como podrás notarlo, es bastante similar a la definición de sucesiones divergentes.

Definición. Sea $A \subset \mathbb{R}$, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$

$i$) Se dice que $f$ tiende a $\infty$ cuando $x \rightarrow x_0$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$$
si para toda $M \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que para toda $x \in A$ con $0 < |x-x_0|< \delta$, entonces $f(x) > M$

$ii$) Se dice que $f$ tiende a $- \infty$ cuando $x \rightarrow x_0$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$$
si para toda $m \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que para toda $x \in A$ con $0 < |x-x_0|< \delta$, entonces $f(x) < m$

Iniciaremos con uno de los ejemplos clásicos

Ejemplo. Prueba que $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$, sin pérdida de generalidad, supongamos que $M > 0$; consideremos $\delta = \frac{1}{\sqrt{M}}$. Si $0 < |x-0| = |x| < \delta = \frac{1}{\sqrt{M}}$, entonces $|x| < \frac{1}{\sqrt{M}} \Rightarrow \frac{1}{x^2} > M$.

$\square$

Antes de dar el siguiente ejemplo, demostraremos un teorema que nos ayudara a hacer el cálculo de este tipo de límites.

Proposición. Sea $A \subset \mathbb{R}$, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ y $x_0 \in A$. Supongamos que $f(x) \leq g(x)$ para toda $x \in A$ con $x \neq x_0$.

$i$) Si $$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty, \quad \text{ entonces } \quad \lim_{x \to x_0} g(x) = \infty$$
$ii$) Si $$\lim_{x \to x_0} g(x) = -\infty, \quad \text{ entonces } \quad \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$$

Demostración.
$i$] Sea $M \in \mathbb{R}$. Como $f$ tiende a $\infty$ cuando $x \rightarrow x_0$, existe $\delta > 0$ tal que si $0 < |x-x_0| < \delta$, entonces $f(x) > M$. Por hipótesis $f(x) \leq g(x)$ para toda $x \in A$ con $x \neq x_0$, de esta forma tenemos que si $0 < |x-x_0| < \delta$, entonces $g(x) \geq f(x) > M$, es decir, $g(x) > M$. Por lo tanto $$\lim_{x \to x_0} g(x) = \infty$$

$ii$] La demostración es análoga.

$\square$

Ejemplo. Prueba que $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} + |cos(x)| \right) = \infty$$

Demostración.

Sabemos que

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$$

Además,
\begin{gather*}
& |cos(x)| \geq 0 \\ \\
\Rightarrow & \frac{1}{x^2} \leq \frac{1}{x^2} + |cos(x)|
\end{gather*}

Usando el teorema anterior, podemos concluir que

$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} + |cos(x)| \right) = \infty$$

$\square$

Divergencia en el infinito

La definición de divergencia del límite lo podemos extender para los límites en el infinito.

Definición.
$i$) Sea $A \subset \mathbb{R}$, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Supongamos que $(a, \infty) \subset A$ para alguna $a \in A$. Se dice que $f$ tiende a $\infty$ cuando $x \rightarrow \infty$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$$ si para cualquier $M \in \mathbb{R}$ existe $K$ tal que para cualquier $x>K$, entonces $f(x) > M$.
$ii$) Sea $A \subset \mathbb{R}$, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Supongamos que $(a, \infty) \subset A$ para alguna $a \in A$. Se dice que $f$ tiende a $- \infty$ cuando $x \rightarrow \infty$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty$$ si para cualquier $m \in \mathbb{R}$ existe $K$ tal que para cualquier $x>K$, entonces $f(x) < m$.

Ejemplo. Prueba que $$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$, consideremos $K = M+1$. Si $x > K$, entonces $f(x) = x > K = M+1 > M$, es decir, $f(x) > M$.

$\square$

Ejemplo. Prueba que $$\lim_{x \to \infty} 3x^2 = \infty$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$, consideremos $K = \sqrt{\frac{M}{3}}$. Si $x > K = \sqrt{\frac{M}{3}}$, entonces $f(x) = 3x^2 > M$, es decir, $f(x) > M$.

De los dos ejemplos vistos, podemos realizar generalizar esta idea y así tenemos el siguiente ejemplo.

$\square$

Ejemplo. Sea $p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida como $p(x) = \alpha_n x^n + \alpha_{n-1} x^{n-1} + \cdot + \alpha_1 x \alpha_0$. Demuestra que $$\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty \text{, si } a_n > 0 \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to \infty} p(x) = -\infty \text{, si } a_n < 0$$

La prueba se quedará como tarea moral.

Divergencia lateral

A continuación daremos la definición de divergencia para los límites laterales y finalizaremos esta entrada con un ejemplo de los mismos.

Definición. Sea $A \subset \mathbb{R}$ y sea $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Se dice que el límite por la derecha de $f$ en $x_0$ diverge si para todo $M \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que si $0<x – x_0<\delta$ entonces $f(x) > M$. Y lo denotamos $$\lim_{x \to x_0+} f(x) = \infty$$

Análogamente, tenemos la siguiente definición.

Definición. Sea $A \subset \mathbb{R}$ y sea $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Se dice que el límite por la izquierda de $f$ en $x_0$ diverge si para todo $M \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que si $0<x_0 – x<\delta$ entonces $|f(x)-L| < \epsilon$. Cuando $f$ tiene límite en $L$ por la izquierda, lo denotamos $$\lim_{x \to x_0-} f(x) = \infty $$

Notemos que existen la definiciones análogas para cuando $f$ diverge a $-\infty$ en $x_0$.

Ejemplo. $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty$$
Demostración.
Sea $M \in \mathbb{R}$, sin pérdida de generalidad, consideremos $M > 0$.

Tomemos $\delta = \frac{1}{M}$.
Si $0<x-0< \delta = \frac{1}{M}$, entonces $f(x) = \frac{1}{x} > M$, así se tiene que

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty $$

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Sea $A \subset \mathbb{R}$, sean $f$, $g: A \rightarrow \mathbb{R}$ y suponer que $(a, \infty) \subset A$ para alguna $a \in \mathbb{R}$. Si $g(x) > 0$ para toda $x > a$ y para alguna $L \in \mathbb{R}$, $L \neq 0$, se tiene que $$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L,$$ entonces
    • Si $L > 0$, entonces $$\lim_{x \to \infty} f(x)= \infty \iff \lim_{x \to \infty} g(x)= \infty$$
    • Si $L < 0$, entonces $$\lim_{x \to \infty} f(x)= -\infty \iff \lim_{x \to \infty} g(x)= \infty$$
  • Sea $p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida como $p(x) = \alpha_n x^n + \alpha_{n-1} x^{n-1} + \cdot + \alpha_1 x \alpha_0$. Demuestra que $$\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty \text{, si } a_n > 0 \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to \infty} p(x) = -\infty \text{, si } a_n < 0$$ Hint: Usa el ejercicio anterior.
  • Escribe las definiciones de divergencia a $-\infty$ para los límites laterales.
  • Usando la definición que propusiste en el ejercicio anterior, prueba que $$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty.$$

Más adelante…

En la siguiente entrada haremos uso del límite de una función en toda su extensión y emplearemos las propiedades revisadas en las entradas anteriores mediante la resolución de límites para la funciones trigonométricas que, particularmente, se habían destinado para los temas finales de esta unidad.

Entradas relacionadas

Cálculo Diferencial e Integral I: Límites laterales

Introducción

En las entradas anteriores hemos trabajado con la definición de límite y revisamos sus propiedades. En esta ocasión, daremos la definición de límite por la derecha y límite por la izquierda, que en conjunto se les llama límites laterales; de igual forma, revisaremos algunos ejemplos y su relación con la definición vista anteriormente.

Límites laterales

Las definiciones que veremos a continuación se basan en restringir la forma en que nos acercamos a $x_0$. Así, el límite por la derecha se enfoca en acercarnos por la derecha, es decir, pediremos que $x > x_0$, lo cual se traducirá en que debe cumplirse que $0<x-x_0 < \delta$; mientras que para el límite por la izquierda pediremos que $x < x_0$, de esta forma se tendrá que $0<x_0-x< \delta$.

Definición (Límite por la derecha). Sea $A \subset \mathbb{R}$ y sea $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Se dice que $L \in \mathbb{R}$ es límite por la derecha de $f$ en $x_0$ si para todo $\epsilon >0$ existe $\delta > 0$ tal que si $0<x-x_0<\delta$ entonces $|f(x)-L| < \epsilon$. Cuando $f$ tiene límite en $L$ por la derecha, lo denotamos $$\lim_{x \to x_0+} f(x) = L $$

Análogamente, tenemos la siguiente definición.

Definición (Límite por la izquierda). Sea $A \subset \mathbb{R}$ y sea $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Se dice que $L \in \mathbb{R}$ es límite por la izquierda de $f$ en $x_0$ si para todo $\epsilon >0$ existe $\delta > 0$ tal que si $0<x_0 – x<\delta$ entonces $|f(x)-L| < \epsilon$. Cuando $f$ tiene límite en $L$ por la izquierda, lo denotamos $$\lim_{x \to x_0-} f(x) = L $$

Propiedades de los límites laterales

De forma similar al teorema que vimos para los límites, existe una relación entre el límite lateral de una función y el límite de una sucesión, basta agregar a los supuestos la condición de que la sucesión sea mayor que $x_0$ para toda $n \in \mathbb{N}$ en el caso de límite por la derecha y que sea menor que $x_0$ para toda $n \in \mathbb{N}$ en el caso de límite por la izquierda.

Teorema. Sea $f:A \rightarrow \mathbb{R}$ y sea $x_0 \in A$. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes.

  1. $$\lim_{x \to x_0+} f(x) = L $$
  2. Para toda sucesión $\{ a_n \}$ en $A$ que converge a $x_0$ y tal que $a_n > x_0$ para toda $n\in \mathbb{N}$, la sucesión $\{f(x_n)\}$ converge a $L$.

El teorema de límite por la izquierda es similar al anterior. Además, la demostración es totalmente análoga a la revisada en una entrada anterior por lo cual quedará como tarea moral. También recordemos que este teorema nos ayuda a determinar las propiedades que tienen los límites laterales debido a la herencia que nos brinda el límite de una sucesión; es gracias a ello que podremos hacer uso de tales propiedades en los siguientes ejemplos.

Ejemplo. Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, definida de la siguiente forma
$$f(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$$
Determina los límites laterales en $x_0 = 0$

Iniciemos calculando el límite por la izquierda.
$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{1+e^{-x}} = \frac{1}{2}$$

Por otro lado, el límite por la derecha
$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{1+e^{-x}} = \frac{1}{2}$$

Ejemplo. Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, definida de la siguiente forma

$$f(x) =
\begin{cases}
12x^3 & \quad \text{si } x<-1 \\
x^2+1& \quad \text{si } x \geq -1 \\
\end{cases}
$$

Determina los límites laterales en $x_0 = -1$.

Iniciemos calculando el límite por la izquierda.
$$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} 12x^3 = -12$$

Por otro lado, el límite por la derecha
$$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} x^2+1= 2 $$

Por lo tanto
$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -12 \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to 0^+} f(x) = 2$$

Ejemplo. Sea $f: \mathbb{R} \setminus \{0 \} \rightarrow \mathbb{R}$. Calcula los límites laterales en $x_0 = 0$ de

$$f(x) = \frac{|x|}{x}$$

Primero calcularemos el límite por la izquierda
\begin{align*}
\lim_{x \to 0^-} f(x) = & \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} \\
= & \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} \text{, pues x < 0} \\
= & \lim_{x \to 0^-} -1 \\
= & -1
\end{align*}
Por otro lado, el límite por la derecha
\begin{align*}
\lim_{x \to 0^+} f(x) = & \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} \\
= & \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} \text{, pues x > 0} \\
= & \lim_{x \to 0^+} 1 \\
= & 1
\end{align*}
Por lo tanto
$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$$

De los ejemplos revisados, el primero tiene la propiedad de que sus límites laterales son iguales mientras que para el segundo y el tercero tales límites son distintos en $x_0$.

Relación entre el límite de una función y sus límites laterales

Parece inmediato inferir que, considerando un punto $x_0$ dado, si los límites por la izquierda y por la derecha existen y son iguales, entonces el límite de la función sí existe en tal punto. De la misma manera, resulta natural que si el límite existe, entonces los límites laterales también existen y son iguales. Probaremos esta equivalencia, pero para hacerlo primero demostraremos la siguiente proposición.

Proposición. Sean $x$, $x_0$ en $\mathbb{R}$ y sea $\delta >0$. Entonces $0<|x-x_0|< \delta$ si y solo sí $0<x-x_0<\delta \quad$ ó $\quad 0<x-x_0<\delta$

Demostración.
Supongamos que $0<|x-x_0|< \delta$

Caso 1: $x-x_0 > 0$
Entonces $|x-x_0| = x-x_0$, así
\begin{gather*}
& 0<|x-x_0|< \delta \\
\iff & 0< x-x_0 < \delta
\end{gather*}

Caso 2: $x- x_0 < 0 $.
Entonces $|x-x_0| = x_0-x$, así
\begin{gather*}
& 0<|x-x_0| < \delta \\
\iff & 0< x_0-x < \delta
\end{gather*}

$$\therefore 0<|x-x_0|< \delta \iff 0<x-x_0<\delta \quad \text{ ó } \quad 0<x-x_0<\delta$$

$\square$

Teorema. El límite de una función $f$ en el punto $x_0$ existe y es igual a $L$ si y solo si los límites laterales existen y son iguales a $L$, es decir

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = L \quad \iff \quad \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L = \lim_{x \to x_0^-} f(x)$$

Demostración.

$\Rightarrow]$ Supongamos que $$\lim_{x \to x_0} f(x) = L$$
Sea $\epsilon > 0$, como $f$ converge a $L$ en $x_0$, entonces existe $\delta > 0$ tal que si $0<|x-x_0|< \delta$ entonces se tiene $|f(x)-L| < \epsilon$. Y notemos que

Si $0<x-x_0 < \delta \Rightarrow 0<|x-x_0|< \delta$ (por la proposición), entonces
\begin{gather*}
|f(x)-L| < \epsilon \\
\therefore \lim_{x \to x_0^-} f(x) = L
\end{gather*}

Si $0<x_0-x < \delta \Rightarrow 0<|x-x_0|< \delta$ (por la proposición), entonces
\begin{gather*}
|f(x)-L| < \epsilon \\
\therefore \lim_{x \to x_0^-} f(x) = L
\end{gather*}

$\Leftarrow]$ Supongamos que $$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L = \lim_{x \to x_0^-} f(x)$$
Sea $\epsilon > 0 $

Como $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L$, existe $\delta_1$ tal que si $0<x-x_0<\delta_1$ entonces $|f(x)-L| < \epsilon$.

Como $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L$, existe $\delta_2$ tal que si $0<x_0-x<\delta_2$ entonces $|f(x)-L| < \epsilon$.

Consideremos $\delta = min \{ \delta_1, \delta_2\}$. Por la proposición, si $0<|x-x_0|< \delta$, entonces $0<x-x_0<\delta \quad$ ó $\quad 0<x_0-x<\delta$.

Para el primer caso, tenemos que $0<x-x_0<\delta \leq \delta_1$, entonces $|f(x)-L| < \epsilon$.
Para el segundo caso, se tiene que $0<x_0-x<\delta \leq \delta_2$, entonces $|f(x)-L| < \epsilon$.

Por lo tanto $$\lim_{x \to x_0} f(x) = L$$

$$\therefore \lim_{x \to x_0} f(x) = L \quad \iff \quad \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L = \lim_{x \to x_0^-} f(x)$$

$\square$

Observación. Ya que hemos demostrado este teorema, podemos notar que si los límites laterales de una función son distintos en un punto $x_0$, entonces no existe el límite de la función en tal punto.

Finalizaremos esta entrada revisando los siguientes ejemplos.

Ejemplo. Determina si existe el límite en $x_0 = 0$ para la siguiente función $$f(x) = x \sqrt{\frac{1}{4x^2}-16}$$

Procederemos a calculando los límites laterales. Para el límite por la izquierda
\begin{align*}
\lim_{x \to 0^-} f(x) = & \lim_{x \to 0^-} x \sqrt{\frac{1}{4x^2}-16} \\ \\
= & \lim_{x \to 0^-} \sqrt{\frac{1-64x^2}{4x^2}} \\ \\
= & \lim_{x \to 0^-} \frac{ x \sqrt{1-64x^2} }{ \sqrt{4x^2} } \\ \\
= & \lim_{x \to 0^-} \frac{ x \sqrt{1-64x^2} }{ 2|x|} \\ \\
= & \lim_{x \to 0^-} \frac{ x \sqrt{1-64x^2} }{ -2x} \text{, pues x < 0} \\ \\
= & \lim_{x \to 0^-} – \frac{\sqrt{1-64x^2} }{2} \\ \\
= & – \frac{1}{2}
\end{align*}

De forma similar, tenemos que
\begin{align*}
\lim_{x \to 0^+} f(x) = & \lim_{x \to 0^+} x \sqrt{\frac{1}{4x^2}-16} \\ \\
= & \lim_{x \to 0^+} \sqrt{\frac{1-64x^2}{4x^2}} \\ \\
= & \lim_{x \to 0^+} \frac{ x \sqrt{1-64x^2} }{ 2x} \text{, pues x > 0} \\ \\
= & \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1-64x^2} }{2} \\ \\
= & \frac{1}{2}
\end{align*}
$$\therefore \lim_{x \to 0^-} f(x) = -\frac{1}{2} \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{1}{2}$$

Como los límites laterales son distintos, podemos concluir que el límite de la función $f$ no existe en el punto $x_0 = 0$.

Ejemplo. Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, definida de la siguiente forma
$$f(x) =
\begin{cases}
x^2 & \quad \text{si } x<5 \\
2x+15 & \quad \text{si } x \geq 5 \\
\end{cases}
$$
Determina sí el límite existe en $x_0 = 5$.

Iniciemos calculando el límite por la izquierda.
$$\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^-} x^2 = 25$$

Por otro lado, el límite por la derecha
$$\lim_{x \to 5^+} f(x) = \lim_{x \to 5^+} 2x+15 = 25$$

Por lo tanto
$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 25 \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to 0^+} f(x) = 25$$

Como los límites laterales existen y son iguales, podemos concluir que
$$\lim_{x \to 0} f(x) = 25.$$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Demuestra que
    $i$) $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(-x)$
    $ii$) $\lim_{x \to 0} f(|x|) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$
  • Usando la definición $\epsilon$-$\delta$ de límite por la derecha, prueba que $\lim_{x \to 8^+} \sqrt{x-8} = 0$.
  • Calcula el límite en $x_0 = 5$ de la función
    $$f(x) =
    \begin{cases}
    \frac{x^2-12x+35}{x-5} & \quad \text{si } x < 5 \\
    \frac{x-5}{1- \sqrt{x-4} } & \quad \text{si } x \geq 5
    \end{cases}
    $$
  • Usando límites laterales, determina si existe $$\lim_{x \to 0} \frac{3x + |x|}{7x-5|x|}.$$
  • Prueba que el siguiente límite no existe $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{1/x}+1}.$$

Más adelante…

¿Qué sucede cuando en lugar de acercarnos a un punto en particular $x_0$, solo hacemos que $x$ crezca indefinidamente? Esto y otras ampliaciones del concepto del límite serán revisadas en la siguiente entrada con lo cual estaremos listos para calcular todo tipo de límites y, con ello, podremos conocer el comportamiento que toman las funciones tanto en un punto específico como «en el infinito».

Entradas relacionadas