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Cálculo Diferencial e Integral I: Límites infinitos

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

¿Qué sucede cuando $f$ comienza a crecer o decrecer arbitrariamente cuando $x \to x_0$ ó $x \to \infty$? Así como en las sucesiones, el límite de una función en un punto también puede tener un comportamiento divergente y éste será el tema de la presente entrada.

Divergencia en un punto

Iniciaremos dando la definición de divergencia del límite de una función en un punto $x_0$ que, como podrás notarlo, es bastante similar a la definición de sucesiones divergentes.

Definición. Sean $A \subset \mathbb{R}$ y $f: A \rightarrow \mathbb{R}.$

$i$) Se dice que $f$ tiende a $\infty$ cuando $x \rightarrow x_0$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$$
si para todo $M \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que para todo $x \in A$ con $0 < |x-x_0|< \delta$, entonces $f(x) > M.$

$ii$) Se dice que $f$ tiende a $- \infty$ cuando $x \rightarrow x_0$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$$
si para todo $m \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que para todo $x \in A$ con $0 < |x-x_0|< \delta$, entonces $f(x) < m.$

Iniciaremos con uno de los ejemplos clásicos.

Ejemplo 1. Prueba que $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty.$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$, sin pérdida de generalidad, supongamos que $M > 0$; consideremos $\delta = \frac{1}{\sqrt{M}}$. Si $0 < |x-0| = |x| < \delta = \frac{1}{\sqrt{M}}$, entonces $|x| < \frac{1}{\sqrt{M}} \Rightarrow \frac{1}{x^2} > M.$

$\square$

Antes de dar el siguiente ejemplo, demostraremos un teorema que nos ayudara a hacer el cálculo de este tipo de límites.

Proposición. Sean $A \subset \mathbb{R}$ y $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ y $x_0 \in A$. Supongamos que $f(x) \leq g(x)$ para todo $x \in A$ con $x \neq x_0$.

$i)$ Si $$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty, \quad \text{ entonces } \quad \lim_{x \to x_0} g(x) = \infty.$$
$ii)$ Si $$\lim_{x \to x_0} g(x) = -\infty, \quad \text{ entonces } \quad \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty.$$

Demostración.
$i)$ Sea $M \in \mathbb{R}$. Como $f$ tiende a $\infty$ cuando $x \rightarrow x_0$, existe $\delta > 0$ tal que si $0 < |x-x_0| < \delta$, entonces $f(x) > M.$

Por hipótesis $f(x) \leq g(x)$ para todo $x \in A$ con $x \neq x_0$, de esta forma tenemos que si $0 < |x-x_0| < \delta$, entonces $g(x) \geq f(x) > M$. Es decir, $g(x) > M$. Por lo tanto $$\lim_{x \to x_0} g(x) = \infty.$$

$ii)$ La demostración es análoga.

$\square$

Ejemplo 2. Prueba que $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} + |cos(x)| \right) = \infty.$$

Demostración.

Sabemos que

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty.$$

Además,
\begin{gather*}
& |cos(x)| \geq 0. \\ \\
\Rightarrow & \frac{1}{x^2} \leq \frac{1}{x^2} + |cos(x)|.
\end{gather*}

Usando el teorema anterior, podemos concluir que

$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} + |cos(x)| \right) = \infty.$$

$\square$

Divergencia en el infinito

La definición de divergencia del límite lo podemos extender para los límites en el infinito.

Definición.
$i)$ Sean $A \subset \mathbb{R}$ y $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Supongamos que $(a, \infty) \subset A$ para algún $a \in A$. Se dice que $f$ tiende a $\infty$ cuando $x \rightarrow \infty$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$$ si para cualquier $M \in \mathbb{R}$ existe $K \in \mathbb{R}$ tal que para cualquier $x>K$, entonces $f(x) > M.$


$ii)$ Sean $A \subset \mathbb{R}$ y $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Supongamos que $(a, \infty) \subset A$ para algún $a \in A$. Se dice que $f$ tiende a $- \infty$ cuando $x \rightarrow \infty$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty$$ si para cualquier $m \in \mathbb{R}$ existe $K \in \mathbb{R}$ tal que para cualquier $x>K$, entonces $f(x) < m.$

Ejemplo 3. Prueba que $$\lim_{x \to \infty} x = \infty.$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$, consideremos $K = M+1$. Si $x > K$, como $f(x) = x$, entonces $f(x) > M+1 > M$. Es decir, $f(x) > M.$

$\square$

Ejemplo 4. Prueba que $$\lim_{x \to \infty} 3x^2 = \infty.$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$, consideremos $K = \sqrt{\frac{M}{3}}$. Si $x > K$, se tiene que $x > \sqrt{\frac{M}{3}}$. Lo anterior implica que $3x^2 > M$, es decir, $f(x) > M.$

$\square$

Divergencia lateral

A continuación daremos la definición de divergencia para los límites laterales y finalizaremos esta entrada con un ejemplo de los mismos.

Definición. Sean $A \subset \mathbb{R}$ y $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Se dice que el límite por la derecha de $f$ en $x_0$ diverge a infinito si para todo $M \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que si $0<x – x_0<\delta$ entonces $f(x) > M$. Y lo denotamos $$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \infty.$$

Análogamente, tenemos la siguiente definición.

Definición. Sean $A \subset \mathbb{R}$ y $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Se dice que el límite por la izquierda de $f$ en $x_0$ diverge a infinito si para todo $M \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que si $0<x_0 – x<\delta$ entonces $|f(x)-L| < \varepsilon$. Cuando $f$ tiene límite en $L$ por la izquierda, lo denotamos $$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \infty.$$

Notemos que existen definiciones análogas para cuando $f$ diverge a $-\infty$ en $x_0$.

Ejemplo 5. $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty.$$
Demostración.
Sea $M \in \mathbb{R}$, sin pérdida de generalidad, consideremos $M > 0.$

Tomemos $\delta = \frac{1}{M}.$
Si $0<x-0< \delta = \frac{1}{M}$, entonces $f(x) = \frac{1}{x} > M$, así se tiene que

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty.$$

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Sea $a \in \mathbb{R}$, $a > 1$. Prueba que $$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{a} \right)^{-x} = \infty.$$
  • Prueba que $$\lim_{x \to \infty} x^2-x = \infty.$$
  • Escribe las definiciones de divergencia a $-\infty$ para los límites laterales.
  • Usando la definición que propusiste en el ejercicio anterior, prueba que $$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty.$$

Más adelante…

En la siguiente entrada haremos uso del límite de una función en toda su extensión y emplearemos las propiedades revisadas en las entradas anteriores mediante la resolución de límites para las funciones trigonométricas que, particularmente, se habían destinado para los temas finales de esta unidad.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Límites en el infinito

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

Previamente se revisó el concepto de límite de una función, así como el de límites laterales. En la revisión de estos temas nos habíamos enfocado en revisar el límite de una función $f$ en un punto $x_0$. Ahora ampliaremos el concepto estudiando $f$ para el caso cuando $x$ tiende a infinito.

Límite en el infinito

La intuición detrás de la definición de límite en el infinito es que $f$ tiene límite $L$ cuando $x$ tiende a infinito si para valores lo suficientemente grandes de $x$ nos acercamos arbitrariamente a $L.$

Definición. Sea $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Decimos que $f$ tiende al límite $L \in \mathbb{R}$ cuando $x$ tiende a infinito si para cualquier $\varepsilon > 0$ existe $M \in \mathbb{R}$, tal que para cualquier $x>M$, se tiene que $|f(x)-L|<\varepsilon$ y lo denotamos $$\lim_{x \to \infty} f(x) = L.$$

Ejemplo 1. Prueba que $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0.$$
Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$ y tomemos $M = \frac{1}{\varepsilon}$. De esta forma, para todo $x > M$ se tiene que $x > \frac{1}{\varepsilon}$, y por tanto $-\varepsilon < 0 <\frac{1}{x} < \varepsilon$, es decir, $|\frac{1}{x}-0|< \varepsilon.$
$$\therefore \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0.$$

$\square$

Podemos observar que la definición es bastante natural una vez hemos entendido el concepto de límite, por lo cual procederemos directamente a revisar algunas de sus propiedades.

Propiedades de los límites en el infinito

Al igual que la definición revisada para el límite de una función en un punto, el límite de una función cuando $x$ tiende a infinito también es único.

Proposición. El límite de una función cuando $x$ tiende a infinito es único, es decir, si $f$ tiende a $L$ cuando $x \rightarrow \infty$ y $f$ tiende a $L’$ cuando $x \rightarrow \infty$, entonces $L = L’.$

La demostración es muy similar a la realizada en la entrada de definición formal del límite, por lo cual se omitirá, pero de ser necesario puedes realizarla para repasar los conceptos.

Análogamente a las entradas anteriores, tenemos una relación entre el límite al infinito de una función y el límite de una sucesión.

Teorema. Sea $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Los siguientes enunciados son equivalentes.

  1. $$\lim_{x \to \infty} f(x) = L.$$
  2. Para cualquier sucesión $\{a_n\}$ en $A$ que diverge a infinito se tiene que la sucesión $\{f(a_n)\}$ converge a $L.$

Notemos que para que el límite en el infinito tenga sentido, se debe cumplir que $(a, \infty) \subset A$ para algún $a \in \mathbb{R}.$

Demostración.

$1) \Rightarrow 2)]$ Sea $\varepsilon >0$. Supongamos que $$\lim_{x \to \infty} f(x) = L.$$
Y sea $\{ a_n \}$ en $A$ que diverge a infinito.

Por hipótesis $f$ tiende a $L$ cuando $x$ tiende a infinito, entonces existe $M \in \mathbb{R}$ tal que si $x > M$ se tiene que $|f(x)-L| < \varepsilon.$

Además, como $\{a_n\}$ diverge a infinito, entonces para $M$ existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_0$ se tiene que $a_n > M$. Por lo tanto, $|f(a_n)-L| < \varepsilon.$
$$\therefore \lim_{x \to \infty} f(x) = L.$$


$1) \Leftarrow 2)]$ Quedará como tarea moral.
Sugerencia: Revisar la entrada Teoremas sobre límite de una función.

$\square$

Después de este teorema, nuevamente logramos obtener las mismas propiedades que conocemos del límite de una sucesión.

Proposición. Sean $f: A \rightarrow \mathbb{R}$, $g: A \rightarrow \mathbb{R}$ con $A \subset \mathbb{R}$ tal que $(a, \infty) \subset A$ para algún $a \in \mathbb{R}$. Si además

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = L \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to \infty} g(x) = T$$

entonces

  1. $$\lim_{x \to \infty} c \cdot f(x) = cL.$$
  2. $$\lim_{x \to \infty} (f+g)(x) = L+T.$$
  3. $$\lim_{x \to \infty} (f-g)(x) = L-T.$$
  4. $$\lim_{x \to \infty} (f \cdot g)(x) = LT.$$
  5. Si $T \neq 0$ y $g(x) \neq 0$ para $x > a$, entonces $$\lim_{x \to \infty} \frac{f}{g}(x) = \frac{L}{T}.$$

Ahora veremos una proposición que nos será útil para el cálculo de límites.

Proposición. Para todo $k \in \mathbb{N}$ se tiene que $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^k} = 0.$$

Demostración.

Procederemos a realizar esta demostración mediante inducción.
Caso base: $k = 1$.
En el ejemplo anterior se probó mediante la definición que $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0.$$
Hipótesis de inducción: $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^k} = 0.$$
Ahora veamos que también se cumple para $k+1$.

\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{k+1}} = & \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^k} \cdot \frac{1}{x^1} \\ \\
= & \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^k} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^1} \\ \\
= & 0 \cdot 0 = 0.
\end{align*}

\begin{gather*}
\therefore \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{k+1}} = 0. \\ \\
\therefore \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^k} = 0 \text{, } \forall k \in \mathbb{N}.
\end{gather*}

$\square$

Revisaremos un par de ejemplos donde aplicaremos las propiedades enunciadas.

Ejemplo 2. Determina $$\lim_{x \to \infty} \frac{8x+5}{x^3+10}.$$

Notemos que
\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \frac{8x+5}{x^3+10} = & \lim_{x \to \infty} \frac{8x+5}{x^3+10} \cdot \frac{\frac{1}{x^3}}{\frac{1}{x^3}} \\ \\
= & \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8x}{x^3} + \frac{5}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3}+\frac{10}{x^3}} \\ \\
= & \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8}{x^2} + \frac{5}{x^3}}{1+\frac{10}{x^3}} \\ \\
= & \frac{\lim\limits_{x \to \infty} \frac{8}{x^2} + \frac{5}{x^3}}{\lim\limits_{x \to \infty} 1+\frac{10}{x^3}} \\ \\
= & \frac{0 + 0}{1+0} \\ \\
= & \frac{0}{1} \\ \\
= & 0.
\end{align*}
$$\therefore \lim_{x \to \infty} \frac{8x+5}{x^3+10} = 0.$$

Ejemplo 3. Calcula el siguiente límite $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2-2x}-x}.$$

Como consideraremos que $x \rightarrow \infty$, podemos suponer, particularmente, que $x>0$, entonces

\begin{align*}
\frac{1}{\sqrt{x^2-2x}-x} = & \frac{1}{\sqrt{x^2-2x}-x} \cdot \frac{\sqrt{x^2-2x}+x}{\sqrt{x^2-2x}+x} \\ \\
= & \frac{\sqrt{x^2-2x}+x}{\left( \sqrt{x^2-2x} \right)^2 – x^2}\\ \\
= & \frac{\sqrt{x^2-2x}+x}{x^2-2x – x^2} \\ \\
= & \frac{\sqrt{x^2-2x}+x}{-2x} \\ \\
= & -\frac{\sqrt{x^2-2x}}{2x} – \frac{x}{2x} \\ \\
= & -\frac{\sqrt{x^2-2x}}{\sqrt{4x^2}} – \frac{1}{2} \text{, como $x$ es positivo, $\sqrt{4x^2} = |2x| = 2x$ } \\ \\
= & -\sqrt{\frac{x^2-2x}{4x^2}} – \frac{1}{2} \\ \\
= & -\sqrt{\frac{x^2}{4x^2} – \frac{2x}{4x^2}} – \frac{1}{2} \\ \\
= & -\sqrt{\frac{1}{4} – \frac{1}{2x}} – \frac{1}{2}.
\end{align*}
$$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x^2-2x}-x} = -\sqrt{\frac{1}{4} – \frac{1}{2x}} – \frac{1}{2}.$$

Entonces tenemos que
\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2-2x}-x} = & \lim_{x \to \infty} \left( -\sqrt{\frac{1}{4} – \frac{1}{2x}} – \frac{1}{2} \right) \\
= & -\sqrt{\frac{1}{4} – 0} – \frac{1}{2} \\
= & -\frac{1}{2} -\frac{1}{2} \\
= & -1.
\end{align*}
$$\therefore \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2-2x}-x} = -1.$$

A continuación enunciaremos el teorema del sándwich para este tipo de límites.

Proposición. Sean $f$, $g$, $h: A \rightarrow \mathbb{R}$ con $A \subset \mathbb{R}$ tal que $(a, \infty) \subset A$ para algún $a \in \mathbb{R}$. Si existe $M_1 \in \mathbb{R}$ tal que para todo $x >M_1$ se tiene que $$f(x) \leq g(x) \leq h(x) \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to \infty} f(x) = L = \lim_{x \to \infty} h(x).$$

Entonces $$ \lim_{x \to \infty} g(x) = L.$$

Nuevamente, omitiremos la demostración pues es análoga a la revisada en una entrada anterior.

Extensión del límite en el infinito

Así como tenemos el límite en el infinito, existe una definición análoga que considera el límite de una función cuando $x$ tiende a $- \infty$.

Definición. Sean $A \subseteq \mathbb{R}$ y $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Decimos que $f$ tiende al límite $L \in \mathbb{R}$ cuando $x$ tiende a $- \infty$ si para cualquier $\varepsilon > 0$ existe $m \in \mathbb{R}$, tal que para cualquier $x<m$, se tiene que $|f(x)-L|<\varepsilon$ y lo denotamos $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = L.$$

La definición nos indica que $f$ tiene límite $L$ cuando $x$ tiende a $-\infty$ si para valores lo suficientemente pequeños de $x$ nos acercamos arbitrariamente a $L$.

Esta extensión de límite tiene propiedades análogas revisadas en esta entrada.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Demostrar que si $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ es tal que $$\lim_{x \to \infty} x f(x) = L$$ con $L \in \mathbb{R}$, entonces $$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0.$$
  • Sean $f$ y $g$ dos funciones definidas en $(a, \infty)$ tales que $$\lim_{x \to \infty} f(x) = L \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to \infty} g(x) = \infty.$$
    Entonces se tiene que $$\lim_{x \to \infty} f(g(x)) = L.$$
  • Prueba que $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(-x).$$
  • Prueba que $$\lim_{x \to 0^-} f(\frac{1}{x}) = \lim_{x \to -\infty} f(x).$$
  • Calcula los siguientes límites
    $i$) $$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x+1}}{x} \text{, definido para } x >0.$$
    $ii$) $$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}+x} \text{, definido para } x >0.$$

Más adelante…

En la siguiente entrada revisaremos una nueva variante del límite de una función: los límites infinitos. Es decir, veremos el caso donde el límite de una función diverge a infinito.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»