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Límites y continuidad en $\mathbb{C}$

Introducción

A lo largo de nuestros cursos de Cálculo hemos trabajado el concepto de límite a detalle, pues como sabemos conceptos esenciales en la teoría de las funciones reales como el de continuidad y derivada, además de muchos otros, tienen sustento y se definen precisamente a tráves del límite. Intuitivamente sabemos que el límite de una función real, cuando existe, digamos $\lim_{x\to x_0} f(x) = L$, nos dice que los valores de la función $f$ estarán tan cercanos al número real $L$ siempre que $x$ esté próximo a $x_0$, pero sin llegar a ser igual a dicho valor.

En esta entrada veremos que al igual que en el caso real, el concepto de límite para funciones complejas nos permitirá hablar de la continuidad y la diferenciabilidad de una función compleja. Aunque el concepto de límite para funciones complejas será idéntico a nuestra idea de proximidad en el caso real, veremos que el caso complejo es mucho más rico ya que aquí consideraremos más de dos posibles direcciones en que un número complejo se aproxime a otro.

Es interesante cuestionarnos sobre cómo podríamos pensar de forma intuitiva el concepto de continuidad en el caso complejo, puesto que solíamos asociar la idea intuitiva de que una función real continua era aquella cuya gráfica no tenía huecos o saltos, sin embargo como hemos mencionado antes, en el caso complejo nos será imposible visualizar la gráfica de una función compleja. Por lo que, aunque tendremos definiciones similares a las del caso real, no debemos dar por hecho que el comportamiento de las funciones complejas será el mismo que el de las funciones reales y de hecho veremos que las funciones complejas se comportan distinto a las funciones vectoriales de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$.

Límites

Recordemos que para $S\subset\mathbb{C}$, el conjunto $S’$ denota al conjunto de los puntos de acumulación de $S$.

Definición 13.1. (Límite.)
Sea $S \subset \mathbb{C}$ y sea $z_0 \in S’$. Dada $f\in\mathcal{F}(S)$, diremos que el número complejo $L\in\mathbb{C}$ es el límite de $f(z)$ cuando z tiende a $z_0$, lo cual denotamos como $\lim_{z\to z_0} f(z) = L$, si para todo $\varepsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $0<|\,z – z_0\,|<\delta$ entonces $|\,f(z) – L\,|<\varepsilon$.

Observación 13.1.
Al igual que en el caso real, de existir dicho límite, este es único. Supongamos que $\lim_{z \to z_0} f(z) = L_1$ y $\lim_{z \to z_0} f(z) = L_2$. Por la definición 12.4 tenemos que dado $\varepsilon>0$ existen $\delta_1>0$ y $\delta_2>0$ tales que si $z\in S$ y $0<|\,z – z_0\,|<\delta_1$, $0<|\,z – z_0\,|<\delta_2$, entonces $|\,f(z) – L_1\,|<\frac{\varepsilon}{2}$ y $|\,f(z) – L_2\,|<\frac{\varepsilon}{2}$. Como $z_0 \in S’$, entonces para $\delta = \text{mín}\{\delta_1, \delta_2\} > 0$ existe $z^* \in S$ tal que $0<|\,z^* – z_0\,| < \delta$, por lo que: \begin{equation*} |\,L_1 – L_2\,| \leq |\,f(z^*) – L_1\,| + |\,f(z^*) – L_2\,| < \varepsilon. \end{equation*} Como se cumple para todo $\varepsilon>0$, entonces $L_1 = L_2$.

Observación 13.2.
Primeramente, notemos que la existencia del límite $L$ no depende de que la función $f$ esté definida en el punto $z_0$. Por otra parte, de acuerdo con la observación 12.6 tenemos que para garantizar la existencia de $\lim_{z \to z_0} f(z)$, debe suceder que la función $f$ evaluada en $z$ se aproxime siempre al mismo número complejo $L$, esto sin importar la forma en que $z$ se aproxime a $z_0$, figura~\ref{fig:f60}. Es decir, si $f$ se aproxima a dos números complejos distintos, digamos $L_1$ y $L_2$, cuando $z$ se aproxima a $z_0$ siguiendo dos trayectorias distintas, entonces $\lim_{z \to z_0} f(z)$ no existe.

Figura 60: Gráfica de los planos $z$ y $w$ donde se representan dos posibles formas en que $f(z)$ se aproxima a $L$ conforme $z$ se aproxima a $z_0$. La existencia del límite no depende de la forma en que $z$ se aproxime a $z_0$.

Ejemplo 13.1.
a) Consideremos la siguiente función: \begin{equation*} f(z)= \dfrac{z^2 + 4}{z-2i}. \end{equation*} Es claro que el dominio de $f$ es $S = \mathbb{C} \setminus \{2i\}$. Sin embargo, veamos que $\lim_{z \to 2i} f(z) = 4i$.

Solución. Sea $z \in S$. Notemos que: \begin{equation*} |\,f(z) \,-\, 4i\,| = \left|\, \dfrac{z^2 + 4}{z-2i} \, – \, 4i \,\right| = |\,z – 2i\,|. \end{equation*} Por lo que para $\varepsilon>0$ definimos $\delta = \varepsilon$, entonces $|\,f(z) – 4i\,|<\varepsilon$ si $0<|\,z – 2i\,|<\delta$, es decir $\lim_{z \to 2i} f(z) = 4i$.

b) Consideremos a la función $f(z) = \overline{z}^2 – 2$. Es claro que la función $f$ está definida en todo $\mathbb{C}$. Veamos que $\lim_{z\to 1-i} f(z) = -2 + 2i$.

Solución. Sean $z\in\mathbb{C}$ y $\varepsilon>0$. Notemos que: \begin{align*} |\,\overline{z}^2 – 2 -(-2+2i)\,| & = |\,\overline{z}^2 – 2i\,| = |\,\overline{\overline{z}^2 – 2i}\,| = |\,z^2 + 2i\,|\\ & = |\,z-(1-i)\,| \, |\,z+(1-i)\,|\\ &\leq |\,z-(1-i)\,| \, \bigg( |\,z-(1-i)\,| + 2|\,1-i\,| \bigg). \end{align*}

Haciendo $0<|\,z-(1-i)\,|<1$ tenemos que: \begin{align*} |\,\overline{z}^2 – 2 -(-2+2i)\,| &\leq |\,z-(1-i)\,| \, \bigg( 1 + 2\sqrt{2} \bigg) \end{align*} Por lo que tomando $\delta= \text{mín}\left\{1, \dfrac{\varepsilon}{1+2\sqrt{2}}\right\}>0$, se sigue que si $0<|\,z-(1-i)\,|<\delta$ entonces: \begin{equation*} |\,f(z) – (-2+i)\,| = |\,\overline{z}^2 – 2 -(-2+2i)\,| < \varepsilon. \end{equation*} Por lo tanto $\lim_{z\to 1-i} f(z) = -2 + 2i$.

c) Sea $c\in\mathbb{C}$ una constante. Consideremos a las funciones $f(z) = c$, $g(z)=z$ y $h(z)=\overline{z}$. Es claro que dichas funciones complejas están definidas en todo $\mathbb{C}$. Entonces para todo $z_0\in\mathbb{C}$ se cumple que para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta = \varepsilon>0$ tal que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} f(z) = c,\\ \lim_{z \to z_0} g(z) = z_0,\\ \lim_{z \to z_0} h(z) = \overline{z_0}. \end{align*}

Ejemplo 13.2.
Consideremos a la función: \begin{equation*} f(z) = \dfrac{z}{\overline{z}},\end{equation*} cuyo dominio es $S =\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Veamos que $\lim_{z\to 0} f(z)$ no existe.

Solución. De acuerdo con la observación 12.7, basta encontrar dos trayectorias por las que $z$ se aproxime a $0$ que nos den valores distintos para dicho límite.

Notemos que si nos acercamos a $0$ a través del eje real, es decir tomando $z=x+i0$, con $x\rightarrow 0$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z \to 0} f(z) = \lim_{z \to 0} \dfrac{z}{\overline{z}} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x+i0}{x-i0} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{x} = 1. \end{equation*}

Mientras que si nos acercamos a $0$ a través del eje imaginario, es decir tomando $z=0+iy$, con $y\rightarrow 0$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z \to 0} f(z) = \lim_{z \to 0} \dfrac{z}{\overline{z}} = \lim_{y \to 0} \dfrac{0+iy}{0-iy} = \lim_{y \to 0} \dfrac{iy}{-iy} = -1. \end{equation*}

Por lo que $\lim_{z\to 0} f(z)$ no existe.

Proposición 13.1.
Sean $f\in\mathcal{F}(S)$, $z_0\in S’$ y $L\in\mathbb{C}$. Se tiene que:
\begin{align*} \lim_{z \to z_0} f(z) = L \quad & \text{si y solo si}\\ &\lim_{z \to z_0} \operatorname{Re}(f(z)) = \operatorname{Re}(L) \,\,\, \text{y} \,\, \lim_{z \to z_0} \operatorname{Im}(f(z)) = \operatorname{Im}(L) \end{align*}

Demostración. De acuerdo con la observación 3.1 tenemos que para todo $z\in S$ se cumple que: \begin{equation*} |\,\operatorname{Re}(f(z)) – \operatorname{Re}(L)\,| \leq |\,f(z) – L\,| \leq |\,\operatorname{Re}(f(z)) – \operatorname{Re}(L)\,| + |\,\operatorname{Im}(f(z)) – \operatorname{Im}(L)\,|, \end{equation*} \begin{equation*} |\,\operatorname{Im}(f(z)) – \operatorname{Im}(L)\,| \leq |\,f(z) – L\,| \leq |\,\operatorname{Re}(f(z)) – \operatorname{Re}(L)\,| + |\,\operatorname{Im}(f(z)) – \operatorname{Im}(L)\,|. \end{equation*} De donde se sigue el resultado.

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Por la proposición 13.1 tenemos que la existencia de un límite en $\mathbb{C}$ está garantizada por la existencia de los límites de dos funciones escalares, por lo que podemos utilizar los resultados que conocemos para límites de funciones escalares de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$ para verificar si dicho límite existe en $\mathbb{C}$.

Ejemplo 13.3.
Consideremos a la función $f(z) = z^2$, la cual está definida en todo $\mathbb{C}$. Veamos que para todo $z_0\in\mathbb{C}$ se cumple: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = z_0^2. \end{equation*}

Solución. Procediendo por la definición 13.1 es fácil probar la existencia de dicho límite. Sin embargo, podemos hacer uso de la proposición 13.1 para probar el resultado. Sean $z=x+iy$ y $z_0 = x_0+iy_0$. Entonces tenemos que:\begin{equation*} f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y), \end{equation*}

donde $\operatorname{Re}(f(z)) = u(x,y) = x^2 -y^2$ e $\operatorname{Im}(f(z))=v(x,y) = 2xy$.

Tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} \operatorname{Re}(f(z)) = \lim_{\substack{x \to x_0 \ y \to y_0}} u(x,y) = x_0^2 – y_0^2,\\ \lim_{z \to z_0} \operatorname{Im}(f(z)) = \lim_{\substack{x \to x_0 \ y \to y_0}} v(x,y) = 2x_0 y_0. \end{align*} Por lo tanto $\lim_{z \to z_0} f(z) = x_0^2 – y_0^2 + i2x_0y_0 = z_0^2$.

Observación 13.3.
Notemos que para la función $f(z)=z^n$, con $n\in\mathbb{N}^+$ y $z\in\mathbb{C}$, se puede probar por inducción que para todo $z_0\in\mathbb{C}$: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = \lim_{z \to z_0} z^n = z_0^n. \end{equation*}

Proposición 13.2. (Álgebra de límites.)
Sean $f,g\in\mathcal{F}(S)$, sea $z_0 \in S’$ y sean $c, L_1, L_2 \in \mathbb{C}$. Supongamos que $\lim_{z \to z_0} f(z) = L_1$, $\lim_{z \to z_0} g(z) = L_2$. Entonces:

  1. $\lim_{z \to z_0} \left[f(z) \pm c g(z)\right] = L_1 \pm c \, L_2$.
  2. $\lim_{z \to z_0} \left[f(z)g(z)\right] = L_1L_2$.
  3. Si $L_2 \neq 0$, entonces $\lim_{z \to z_0} \left[\dfrac{f(z)}{g(z)}\right] = \dfrac{L_1}{ L_2}$.

Demostración.

  1. Dadas las hipótesis, tenemos que si $c = 0$ entonces se sigue el resultado. Supongamos que $c\neq 0$ y sea $\varepsilon>0$, entonces existen $\delta_1>0$, $\delta_2>0$ tales que si $z\in S$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta_1$, $0<|\,z-z_0\,|<\delta_2$, entonces: \begin{align*} |\,f(z) – L_1\,| < \frac{\varepsilon}{2},\\ |\,g(z) – L_2\,| < \frac{\varepsilon}{2|c|}. \end{align*} Por lo que tomando $\delta = \text{mín}\{\delta_1, \delta_2\}>0$, tenemos que si $z\in S$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces: \begin{equation*} |\,f(z) \pm cg(z) – (L_1 \pm c \, L_2) \,| \leq |\,f(z) – L_1\,| + |\,c\,| \, |\,g(z) – L_2\,| < \varepsilon. \end{equation*}
  2. Se deja como ejercicio al lector.
  3. Se deja como ejercicio al lector.

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Observación 13.4.
De acuerdo con la proposición 13.2 y el inciso (c) del ejemplo 13.1, podemos calcular de forma inmediata el límite de un polinomio en cualquier punto, o el límite de una función racional en un punto donde dicha función esté definida, simplemente evaluando el polinomio o la función racional en el punto dado.

Ejemplo 13.4.
Hallar cada uno de los siguientes límites:
a) $\lim_{z \to 3i} \dfrac{z^2 + 9}{z-3i}$.
b) $\lim_{z \to 2+3i} (z-5i)^2$.
c) $\lim_{z \to i} 3z^2 + 2z -1$.

Solución. Considerando la observación 13.4 y las propiedades de los límites tenemos:
a) \begin{align*} \lim_{z \to 3i} \dfrac{z^2 + 9}{z-3i} & = \lim_{z \to 3i} \dfrac{(z+3i)(z-3i)}{z-3i}\\ & = \lim_{z \to 3i} z+3i\\ & = \lim_{z \to 3i} z + \lim_{z \to 3i} 3i \\ & = 3i + 3i \\ & = 6i. \end{align*}
b) \begin{align*} \lim_{z \to 2+3i} (z-5i)^2 & = \lim_{z \to 2+3i} (z-5i)(z-5i) \\ & = \left(\lim_{z \to 2+3i} z-5i\right)^2 \\ & = \left(\lim_{z \to 2+3i} z – \lim_{z \to 2+3i} 5i\right)^2 \\ & = \left(2+3i – 5i\right)^2\\ & = \left(2-2i\right)^2\\ & = -8i. \end{align*}
c) \begin{align*} \lim_{z \to i} 3z^2 + 2z -1 & = 3 \lim_{z \to i} z^2 + 2\lim_{z \to i} z – \lim_{z \to i} 1\\ & = 3\left( \lim_{z \to i} z\right)^2 + 2i – 1\\ & = 3i^2 + 2i – 1 \\ & = -4 + 2i. \end{align*}

Consideremos ahora a la función $f(z) = 1/z$, dada en el ejemplo 12.1(d). Al pensarla como una función compleja definida en $\mathbb{C}$, es claro que el dominio $S$ de dicha función es $S = \mathbb{C}\setminus{0}$. Sin embargo, considerando al plano complejo extendido tomemos $f:S\subset\mathbb{C}_\infty \to\mathbb{C}_\infty$, por lo que podemos definir a la imagen de $z=0$ bajo dicha función como el punto al infinito, es decir $w = f(z) = \infty$. Es claro que al trabajar con $\mathbb{C}_\infty$ la función f es biyectiva, por lo que podemos pensar en la inversa de $f$, es decir en $z = f^{-1}(w) = 1/w$. Entonces ¿qué pasa con $\lim{w\to 0} f(f^{-1}(w))$? ¿y con $\lim_{z \to \infty} f(z)$? ¿Qué relación hay entre dichos límites?

Por otra parte, como vimos en la entrada 11, cuando pensamos en que un número complejo tiende a infinito, lo cual denotamos como $z \to \infty$, estamos considerando que su módulo crece de manera arbitraria, es decir $|\,z\,| \to \infty$. Del mismo modo al hablar de una función $f$ que tiende a infinito, lo cual denotamos como $f(z) \to \infty$, estamos considerando que el módulo de dicha función crece de forma arbitraria, es decir $|\,f(z)\,| \to \infty$.

Para formalizar todo lo anterior consideremos la siguientes definiciones.

Definición 13.2. ($\rho$-vecindad de $\infty$.)
Sea $\rho>0$ suficientemente pequeño. En el plano complejo extendido $\mathbb{C}_\infty$, una $\rho$-vecindad de $\infty$ o simplemente una vecindad de $\infty$, es el conjunto: \begin{equation*} B(\infty, \rho) = \left\{z\in\mathbb{C} \,: \, \frac{1}{\rho} < |\,z\,| \right\}. \end{equation*}
Un conjunto $U\subset\mathbb{C}\infty$ abierto que contenga a una $\rho$-vecindad de $\infty$, para algún $\rho>0$, es también una $\rho$-vecindad de $\infty$.

Definición 13.3. (Límites al infinito e infinitos.)
Sea $f:S\subset\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una función.

  1. Diremos que $\lim_{z\to \infty} f(z) = w_0$ si para todo $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $|\,z\,|>\frac{1}{\delta}$, entonces: \begin{equation*} |\,f(z) – w_0\,| < \varepsilon. \end{equation*}
  2. Diremos que $\lim_{z\to z_0} f(z) = \infty$ si para todo $\varepsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces: \begin{equation*} |\,f(z)\,| > \frac{1}{\varepsilon}. \end{equation*}
  3. Diremos que $\lim_{z\to \infty} f(z) = \infty$ si para todo $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $|\,z\,|>\frac{1}{\delta}$, entonces: \begin{equation*} |\,f(z)\,| > \frac{1}{\varepsilon}. \end{equation*}

Ejemplo 13.5.
a) Sea $f(z) = \dfrac{1}{z^2}$, con $z\neq 0$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z\to \infty} f(z) = 0. \end{equation*}
Solución. Sea $\varepsilon>0$. Notemos que para $\delta=\sqrt{\varepsilon}>0$, si $z\neq 0$ y $|\,z\,| > \dfrac{1}{\delta}$, entonces: \begin{equation*} \left|\,f(z) – 0\,\right| = \left|\,\frac{1}{z^2} – 0\,\right| = \frac{1}{|\,z^2\,|} = \frac{1}{|\,z\,|^2} < \varepsilon. \end{equation*} Por lo que $\lim_{z\to \infty} f(z) = 0$.
b) Sea $f(z) = \dfrac{1}{z-3}$, con $z\neq 3$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z\to 3} f(z) = \infty. \end{equation*}
Solución. Sea $\varepsilon>0$. Notemos que para $\delta=\varepsilon>0$, si $z\neq 3$ y $0<|\,z-3\,|<\delta$, entonces: \begin{equation*} \left|\,f(z)\,\right| = \left|\,\frac{1}{z-3}\,\right| = \frac{1}{|\,z-3\,|} > \frac{1}{\varepsilon}.\end{equation*} Por lo que $\lim_{z\to 3} f(z) = \infty$.

De lo anterior tenemos que los valores $z_0$ y $L$ en la definición 13.1 pueden ser sustituidos de forma indistinta por el punto al infinito, es decir en: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = L, \end{equation*} podemos remplazar a $z_0$ y/o $L$ por $\infty$, para ello solo habría que remplazar apropiadamente sus vecindades por vecindades de $\infty$. Para tener más claro esto y poder trabajar de manera más sencilla con estos límites tenemos el siguiente resultado.

Proposición 13.3.
Sea $f:S \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una función y sean $z_0$ en el plano $z$, que corresponde al del dominio de $f$, y $w_0$ en el plano $w$, que corresponde al plano de la imagen de $f$, observación 12.1, entonces:

  1. \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = \infty \quad \text{si y solo si} \quad \lim_{z \to z_0} \frac{1}{f(z)} = 0. \end{equation*}
  2. \begin{equation*} \lim_{z \to \infty} f(z) = w_0 \quad \text{si y solo si} \quad \lim_{z \to 0} f\left(\frac{1}{z}\right) = w_0. \end{equation*}
  3. \begin{equation*} \lim_{z \to \infty} f(z) = \infty \quad \text{si y solo si} \quad \lim_{z \to 0} \frac{1}{f(1/z)} = 0. \end{equation*}

Demostración.

  1. Sea $z\in S$. Si $\lim_{z \to z_0} f(z) = \infty$ existe, entonces de la definición 13.3(2) tenemos que para todo $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que: \begin{equation*} |\,f(z)\,| > \frac{1}{\varepsilon} \quad \text{si} \quad 0<|\,z-z_0\,|<\delta. \end{equation*} Notemos que para el punto $w=f(z)$ se tiene que $|\,w\,| > 1/\varepsilon$, es decir $w$ pertenece a un $\varepsilon$-vecindario de $\infty$, siempre que $0<|\,z-z_0\,|<\delta$. De lo anterior tenemos que: \begin{equation*} \left|\,\frac{1}{f(z)} – 0 \,\right| = \left|\,\frac{1}{f(z)}\,\right| = \frac{1}{|f(z)|} < \varepsilon \quad \text{si} \quad 0<|\,z-z_0\,|<\delta. \end{equation*} Por lo que $\lim_{z \to z_0} \dfrac{1}{f(z)} = 0$.
  2. Se deja como ejercicio al lector.
  3. Se deja como ejercicio al lector.

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La proposición 13.3 es de gran utilidad al trabajar con el punto al infinito. La idea de dicha proposición es representar al punto al infinito y su entorno mediante sus imágenes en la función $w = f(z) = 1/z$. Esto es, el punto $z=\infty$ corresponde con el punto $w=0$ y un $\varepsilon$-vecindario de $\infty$ corresponde con un $\varepsilon$-vecindario de $0$. Por lo que la existencia de un límite de una función $f(z)$ que considere al punto $z=\infty$ dependerá de la existencia de un límite que considere al punto $w=0$.

Ejemplo 13.6.
a) Consideremos a la función $f(z) = \dfrac{2z^3-1}{z^2+1}$ definida en $S=\mathbb{C}\setminus\{i,-i\}$. Veamos que: \begin{equation*} \lim_{z \to \infty} f(z) = \infty. \end{equation*} Solución. Notemos que: \begin{equation*} f(1/z) = \frac{(2/z^3)-1}{(1/z^2)+1}, \quad \quad \frac{1}{f(1/z)} = \frac{(1/z^2)+1}{(2/z^3)-1}. \end{equation*} De acuerdo con la proposición 13.3 como: \begin{align*} \lim_{z \to 0} \frac{1}{f(1/z)} &= \lim_{z \to 0} \frac{(1/z^2)+1}{(2/z^3)-1}\\ &= \lim_{z \to 0} \frac{z^3\left[(1/z^2)+1\right]}{z^3\left[(2/z^3)-1\right]}\\ &= \lim_{z \to 0} \frac{z^3 + z}{2 – z^3} = 0. \end{align*} Entonces $\lim_{z \to \infty} f(z) = \infty$.
b) Consideremos a la función $g(z) = \dfrac{iz+3}{z+1}$ con dominio $S=\mathbb{C}\setminus\{-1\}$. Veamos que: \begin{equation*} \lim_{z \to -1} g(z) = \infty. \end{equation*} Solución. Notemos que: \begin{equation*} \lim_{z \to -1} \frac{1}{g(z)} = \lim_{z \to -1} \frac{z+1}{iz+3} = 0.\ \end{equation*} Por lo que se sigue de la proposición 13.3 que $\lim_{z \to \infty} g(z) = \infty$.
c) Sea $h(z) = \dfrac{2z+i}{z+1}$ una función definida en $S=\mathbb{C}\setminus\{-1\}$. Veamos que: \begin{equation*} \lim_{z \to \infty} h(z) = 2. \end{equation*} Solución. De acuerdo con la proposición 13.3 como:
\begin{equation*} \lim_{z \to 0} h(1/z) = \lim_{z \to 0} \frac{(2/z)+i}{(1/z)+1} = \lim_{z \to 0} \frac{2+iz}{1 + z} = 2. \end{equation*} Entonces $\lim_{z \to \infty} h(z) = 2$.

Continuidad

Definición 13.4. (Continuidad.)
Sea $f\in\mathcal{F}(S)$. Diremos que $f$ es continua en un punto $z_0\in S$ si para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces $|\,f(z)-f(z_0)\,|<\varepsilon$. Si $f$ es continua en todo punto $z_0 \in S$, entonces diremos que $f$ es continua en $S$. Si $f$ no es continua en $z_0\in S$, entonces diremos que es discontinua en $z_0$.

Ejemplo 13.7.
a) Veamos que las funciones $f(z) = \operatorname{Re}(z)$ y $g(z) = \operatorname{Im}(z)$ son continuas para todo $z_0\in\mathbb{C}$. Solución. Sea $z_0 \in \mathbb{C}$. De acuerdo con la observación 3.1 tenemos que: \begin{equation*} |\,\operatorname{Re}(z) – \operatorname{Re}(z_0)\,| \leq |\,z – z_0\,|, \end{equation*} \begin{equation*} |\,\operatorname{Im}(z) – \operatorname{Im}(z_0)\,| \leq |\,z – z_0\,|. \end{equation*} Por lo que para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta = \varepsilon >0$ tal que si $z\in\mathbb{C}$ y $|\,z – z_0\,| < \delta$, entonces: \begin{equation*} |\,f(z) – f(z_0)\,| = |\,\operatorname{Re}(z) – \operatorname{Re}(z_0)\,| < \varepsilon, \end{equation*} \begin{equation*} |\,g(z) – g(z_0)\,| = |\,\operatorname{Im}(z) – \operatorname{Im}(z_0)\,| < \varepsilon. \end{equation*} De donde se sigue el resultado.
b) Veamos que la función $h(z)=|\,z\,|$ es continua para todo $z_0 \in\mathbb{C}$. Solución. Sea $z_0\in\mathbb{C}$. Por la proposición 3.3 sabemos que: \begin{equation*} |\,|\,z\,| – |\,z_0\,| \,| \leq |\,z – z_0\,|. \end{equation*} Por lo que para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta = \varepsilon>0$ tal que si $z\in\mathbb{C}$ y $|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces: \begin{equation*} |\,h(z) – h(z_0)\,| = |\,|\,z\,| – |\,z_0\,| \,| < \varepsilon. \end{equation*} Por lo que $f$ es continua para todo $z_0\in\mathbb{C}$.

Ejemplo 13.8.
De acuerdo con la observación 13.3, el ejemplo 13.1(c) y la proposición 13.2(2) es claro que para $c\in\mathbb{C}$ una constante y $z\in\mathbb{C}$ se tiene para toda $n\in\mathbb{N}^+$ que: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} c z^n = c z_0^n, \end{equation*} por lo que $f(z) = c z^n$ es una función continua en $\mathbb{C}$.

Observación 13.5.
Notemos que en la definición 13.4 se tiene implícita la condición de que:

  1. existe $f(z_0)$.

Además, si $z_0 \in S\cap S’$ también debe cumplirse que:

  1. existe $\lim_{z \to z_0} f(z)$,
  2. y $\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)$.

Por lo que basta con que no se cumpla alguna de estas tres condiciones para que una función $f\in\mathcal{F}(S)$ sea discontinua en $z_0\in S\subset\mathbb{C}$.

Ejemplo 13.9.
a) Verificar si la función $f(z) = z^2 – iz + 2$ es continua en $z_0 = 1 – i$.

Solución. De acuerdo con la observación 13.5 para ver si la función $f$ es continua en el punto $z_0$ basta con ver que se cumplan las tres condiciones establecidas en dicha observación.
1. Es claro que $f$ está definida en $z_0$, y es tal que: \begin{equation*} f(z_0) = (1-i)^2 – i(1-i) + 2 = 1 – 3i. \end{equation*} 2. Considerando la observación 13.4 tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} f(z) &= \left(\lim_{z \to z_0} z\right)^2 – i \left( \lim_{z \to z_0} z\right) + 2\\ & = \left(1-i\right)^2 – i \left(1-i\right) + 2\\ & = 1-3i. \end{align*} 3. Tenemos que: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0). \end{equation*} Por lo tanto $f$ es continua en $z_0 = 1-i$.

b) Consideremos a la siguiente función: \begin{equation*} f(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} z^2 & \text{si} & z \neq i, \\ 0 & si & z = i. \end{array} \right. \end{equation*} Probar que $f$ no es continua en $z_0 = i$.

Solución. Notemos que:
1. $f$ está definida en $z_0$, y es tal que: \begin{equation*} f(z_0) = 0. \end{equation*} 2. Considerando la observación 13.4 tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} f(z) &= \left(\lim_{z \to i} z\right)^2\\ & = (i)^2 = -1. \end{align*} 3. Es claro que: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = -1 \neq 0 = f(z_0). \end{equation*} Por lo tanto, considerando la observación 13.5 tenemos que $f$ no es continua en $z_0 = i$.

Observación 13.6.
Dado que $\mathbb{C}$ dotado con el módulo es un espacio métrico, entonces son válidas las propiedades de continuidad para espacios métricos dados en la entrada 9.

Proposición 13.4.
Sea $H\subset \mathbb{C}$, $g\in\mathcal{F}(H)$ una función tal que $g(H) \subset S \subset\mathbb{C}$ y sea $f\in\mathcal{F}(S)$. Supongamos que $z_0$ es un punto de acumulación de $H$, que $\lim_{z \to z_0} g(z) = w_0 \in S$ y que $f$ es continua en $w_0$. Entonces $\lim_{z \to z_0} f(g(z)) = f(w_0)$, es decir: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(g(z)) = f\left(\lim_{z \to z_0} g(z) \right). \end{equation*}

Demostración. Dadas las hipótesis, tenemos que dado $\varepsilon>0$ existe $\eta>0$ tal que si $w\in S$ y $|\,w – w_0\,| < \eta $ entonces: \begin{equation*} |\,f(w) – f(w_0)\,| < \varepsilon. \end{equation*} Más aún, tenemos que para dicha $\eta>0$ existe un $\delta>0$ tal que si $z\in H$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$ entonces: \begin{equation*} |\,g(z) – w_0\,| < \eta. \end{equation*} Por lo que considerando estas dos implicaciones se sigue que si $z\in H$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$ entonces: \begin{equation*} |\,f(g(z)) – f(w_0)\,| < \varepsilon. \end{equation*} Por lo tanto $\lim_{z \to z_0} f(g(z)) = f(w_0)$.

$\blacksquare$

Proposición 13.5.
Sean $S\subset \mathbb{C}$ y $f,g\in\mathcal{F}(S)$ dos funciones continuas en $S$, entonces:

  1. $f \pm g$ es continua en $S$.
  2. $fg$ es continua en $S$. Si $g$ es constante, es decir si $g(z) = c\in\mathbb{C}$ para todo $z\in S$, entonces $cf$ es continua en $S$.
  3. Si $g(z) \neq 0$ para todo $z\in S$, entonces $\dfrac{f}{g}$ es continua en $S$.

Demostración. Utilizando la definición 13.4 y la proposición 13.2 es fácil probar el resultado, por lo que se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Corolario 13.1.
Los polinomios son continuos en $\mathbb{C}$. Las funciones racionales son continuas en su dominio de definición.

Demostración. Sea \begin{equation*} p(z) = c_0 + c_1 z + c_2 z^2 + \cdots + c_n z^n, \end{equation*} con $z\in\mathbb{C}$, un polinomio de coeficientes complejos, es decir $c_i \in\mathbb{C}$ para toda $i\in{0,1,\ldots, n}$, con $c_n\neq 0$.

Procedemos a realizar la prueba por inducción sobre $n$. Notemos que para $n=0$ se tiene que $p(z) = c_0\neq 0$ es una función constante, por lo que considerando el ejemplo 13.1 inciso (c) tenemos que: \begin{equation*} \lim_{z\to z_0} p(z) = \lim_{z\to z_0} c_0= c_0 = p(z_0), \end{equation*} por lo que en dicho caso $p(z)$ es continuo para todo $z_0\in\mathbb{C}$.

Para $n=1$, tenemos que $p(z) = c_0 + c_1 z$, por lo que considerando la proposición 13.5(1), al ser $c_0$ y $c_1 z$ funciones continuas en $\mathbb{C}$, entonces $p(z) = c_0 + c_1 z$ es continuo para todo $z\in\mathbb{C}$. Supongamos que $p(z) = c_0 + \sum_{n = 1}^{k}c_n z^n$, para algún $k\in\mathbb{N}$ fijo, es continuo para todo $z\in\mathbb{C}$. Para $n=k+1$ tenemos que: \begin{align*} p(z) & = c_0 + \sum_{n = 1}^{k+1}c_n z^n\\ & = c_0 + \sum_{n = 1}^{k}c_n z^n + c_{k+1} z^{k+1}, \end{align*} por hipótesis de inducción tenemos que $c_0 + \sum_{n = 1}^{k}c_n z^n$ es continuo y al ser $c_{k+1} z^{k+1}$ una función continua, entonces por la proposición 13.5(1), es claro que para $n=k+1$ el polinomio $p(z)$ es continuo para todo $z\in\mathbb{C}$, por lo que el resultado es válido para todo $n\in\mathbb{N}$.

Por otra parte, consideremos a $f(z) = \dfrac{p(z)}{q(z)}$, la cual es una función racional definida como el cociente de dos polinomios. De acuerdo con la proposición 13.5(3), considerando que todo polinomio es continuo en $\mathbb{C}$ se sigue que $f$ es continua en todo su dominio de definición, es decir en $S =\{z\in\mathbb{C} \, : \, q(z)\neq 0\}$.

$\blacksquare$

Observación 13.7.
Considerando la definición 13.2 y la proposición 13.3 notemos que podemos extender el concepto de continuidad para funciones definidas sobre el plano complejo extendido, es decir, diremos que una función $f: \mathbb{C}_\infty \to \mathbb{C}_\infty$ es continua en $\infty$ si \begin{equation*} f(\infty) = \lim_{z\to \infty} f(z) \end{equation*} y si $f(a) = \infty$, entonces $f$ es continua en $a$ si \begin{equation*} f(a) = \infty =\lim_{z\to a} f(z). \end{equation*}

Ejemplo 13.10.
Consideremos a la siguiente función: \begin{equation*} f(z) = \frac{z+i}{z-i}, \end{equation*} es claro que dicha función no está definida en $z=i$, sin embargo dado que: \begin{equation*} f(i) = \infty = \lim_{z\to i} f(z) \end{equation*} y \begin{equation*} f(\infty) = 1 = \lim_{z\to \infty} f(z), \end{equation*} entonces definiendo: \begin{equation*} f(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{z+i}{z-i} & \text{si} & z \neq i, \\ 1 & \text{si} & z = \infty, \\ \infty & \text{si} & z = i, \end{array} \right. \end{equation*} es claro que $f$ es una función continua de $\mathbb{C}_\infty$ en $\mathbb{C}_\infty$.

Tarea moral

  1. Completa la demostración de las proposiciones 13.2 y 13.3.
  2. Considera a la función $f(z) = \dfrac{zi}{2}$ definida en el disco abierto $B(0,1)$. Prueba usando la definición que: \begin{equation*} \lim_{z \to 1} f(z) = \frac{i}{2} \end{equation*}
  3. Usando la definición de límite prueba que si: \begin{equation*} \lim_{z\to z_0} f(z) = w_0, \end{equation*} entonces: \begin{equation*} \lim_{z\to z_0} |\,f(z)\,| = |w_0|. \end{equation*} ¿Es cierto el recíproco?
  4. Considera la función $T:S\subset\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por: \begin{equation*} T(z) = \frac{az+b}{cz+b}, \quad \text{con} \,\, ad – bc \neq 0. \end{equation*} Usando la definición, prueba que:
    a) Si $c=0$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z \to \infty} T(z) = \infty. \end{equation*} b) Si $c\neq 0$, entonces: \begin{align*} \lim_{z \to \infty} T(z) = \frac{a}{c},\\ \lim_{z \to -\frac{d}{c}} T(z) = \infty. \end{align*}
  5. Sea $S = [a,b] = \{ x\in\mathbb{R} \, : \, a\leq x \leq b\}$. Considera a $S\subset \mathbb{C}$ y sea $f: S \to \mathbb{C}$ una función. Tomando $z=x+i0$ podemos escribir $f(z) = u(x) + i v(x)$. Prueba que $f$ es continua si y solo si $u$ y $v$ son continuas.
  6. Analiza la continuidad de la función: \begin{equation*} f(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{z^3 – 1}{z-1} & \text{si} & |\,z\,| \neq 1, \\ 3 & \text{si} & |\,z\,| = 1. \end{array} \right. \end{equation*} en los puntos $z_0 = 1$, $z_1 = -1$, $z_2 = i$ y $z_3 = -i$.
  7. Considerando la definición 13.3 y la definición de $\mathbb{C}_\infty$ prueba las siguientes reglas para límites que consideran al punto al infinito. Sean $a\in\mathbb{C}$ y $f,g\in\mathcal{F}(S)$ dos funciones.
    a) Si $\lim{z\to z_0} f(z)=\infty$ y $\lim_{z\to z_0} g(z)=a$, entonces $\lim_{z\to z_0}\left( f(z) + g(z) \right)=\infty$.
    b) Si $\lim_{z\to z_0} f(z)=\infty$ y $\lim_{z\to z_0} g(z)=a\neq 0$, entonces $\lim_{z\to z_0}\left( f(z) \cdot g(z) \right)=\infty$.
    c) Si $\lim_{z\to z_0} f(z)=\infty = \lim_{z\to z_0} g(z)$, entonces $\lim_{z\to z_0}\left( f(z) \cdot g(z) \right)=\infty$.
    d) Si $\lim_{z\to z_0} f(z)=\infty$ y $\lim_{z\to z_0} g(z)=a$, entonces $\lim_{z\to z_0}\dfrac{g(z)}{f(z)}=0$.
    e) Si $\lim_{z\to z_0} f(z)=\infty$ y $\lim_{z\to z_0} g(z)=a\neq 0$, entonces $\lim_{z\to z_0}\dfrac{g(z)}{f(z)}=\infty$.

Más adelante…

En esta entrada hemos abordado de manera formal las definiciones de límite y continuidad desde el enfoque de la variable compleja. Mediante una serie de resultados hemos caracterizado a las funciones complejas a través del estudio de su parte real e imaginaria, ya que dichas funciones escalares las hemos estudiado a detalle en nuestros cursos de Cálculo, por lo que los resultados que conocemos sobre dichas funciones pueden emplearse al trabajar con funciones complejas.

Aunque las definiciones que hemos dado en esta entrada son muy similares a las de las funciones reales de variable real, veremos en la siguiente entrada que al trabajar con funciones complejas algunos conceptos se vuelven más restrictivos para estas funciones, el cual es el caso de la diferenciabilidad compleja, ya que como veremos la definición de diferenciabilidad que hemos estudiado en nuestros cursos de Cálculo para $\mathbb{R}^2$ no bastará para garantizar la diferenciabilidad en el sentido complejo.

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Cálculo Diferencial e Integral I: Límites infinitos

Introducción

¿Qué sucede cuando $f$ comienza a crecer o decrecer arbitrariamente cuando $x \to x_0$ ó $x \to \infty$? Así como en las sucesiones, el límite de una función en un punto también puede tener un comportamiento divergente y éste será el tema de la presente entrada.

Divergencia en un punto

Iniciaremos dando la definición de divergencia del límite de una función en un punto $x_0$ que, como podrás notarlo, es bastante similar a la definición de sucesiones divergentes.

Definición. Sea $A \subset \mathbb{R}$, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$

$i$) Se dice que $f$ tiende a $\infty$ cuando $x \rightarrow x_0$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$$
si para toda $M \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que para toda $x \in A$ con $0 < |x-x_0|< \delta$, entonces $f(x) > M$

$ii$) Se dice que $f$ tiende a $- \infty$ cuando $x \rightarrow x_0$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$$
si para toda $m \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que para toda $x \in A$ con $0 < |x-x_0|< \delta$, entonces $f(x) < m$

Iniciaremos con uno de los ejemplos clásicos

Ejemplo. Prueba que $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$, sin pérdida de generalidad, supongamos que $M > 0$; consideremos $\delta = \frac{1}{\sqrt{M}}$. Si $0 < |x-0| = |x| < \delta = \frac{1}{\sqrt{M}}$, entonces $|x| < \frac{1}{\sqrt{M}} \Rightarrow \frac{1}{x^2} > M$.

$\square$

Antes de dar el siguiente ejemplo, demostraremos un teorema que nos ayudara a hacer el cálculo de este tipo de límites.

Proposición. Sea $A \subset \mathbb{R}$, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ y $x_0 \in A$. Supongamos que $f(x) \leq g(x)$ para toda $x \in A$ con $x \neq x_0$.

$i$) Si $$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty, \quad \text{ entonces } \quad \lim_{x \to x_0} g(x) = \infty$$
$ii$) Si $$\lim_{x \to x_0} g(x) = -\infty, \quad \text{ entonces } \quad \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$$

Demostración.
$i$] Sea $M \in \mathbb{R}$. Como $f$ tiende a $\infty$ cuando $x \rightarrow x_0$, existe $\delta > 0$ tal que si $0 < |x-x_0| < \delta$, entonces $f(x) > M$. Por hipótesis $f(x) \leq g(x)$ para toda $x \in A$ con $x \neq x_0$, de esta forma tenemos que si $0 < |x-x_0| < \delta$, entonces $g(x) \geq f(x) > M$, es decir, $g(x) > M$. Por lo tanto $$\lim_{x \to x_0} g(x) = \infty$$

$ii$] La demostración es análoga.

$\square$

Ejemplo. Prueba que $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} + |cos(x)| \right) = \infty$$

Demostración.

Sabemos que

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$$

Además,
\begin{gather*}
& |cos(x)| \geq 0 \\ \\
\Rightarrow & \frac{1}{x^2} \leq \frac{1}{x^2} + |cos(x)|
\end{gather*}

Usando el teorema anterior, podemos concluir que

$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} + |cos(x)| \right) = \infty$$

$\square$

Divergencia en el infinito

La definición de divergencia del límite lo podemos extender para los límites en el infinito.

Definición.
$i$) Sea $A \subset \mathbb{R}$, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Supongamos que $(a, \infty) \subset A$ para alguna $a \in A$. Se dice que $f$ tiende a $\infty$ cuando $x \rightarrow \infty$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$$ si para cualquier $M \in \mathbb{R}$ existe $K$ tal que para cualquier $x>K$, entonces $f(x) > M$.
$ii$) Sea $A \subset \mathbb{R}$, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Supongamos que $(a, \infty) \subset A$ para alguna $a \in A$. Se dice que $f$ tiende a $- \infty$ cuando $x \rightarrow \infty$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty$$ si para cualquier $m \in \mathbb{R}$ existe $K$ tal que para cualquier $x>K$, entonces $f(x) < m$.

Ejemplo. Prueba que $$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$, consideremos $K = M+1$. Si $x > K$, entonces $f(x) = x > K = M+1 > M$, es decir, $f(x) > M$.

$\square$

Ejemplo. Prueba que $$\lim_{x \to \infty} 3x^2 = \infty$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$, consideremos $K = \sqrt{\frac{M}{3}}$. Si $x > K = \sqrt{\frac{M}{3}}$, entonces $f(x) = 3x^2 > M$, es decir, $f(x) > M$.

De los dos ejemplos vistos, podemos realizar generalizar esta idea y así tenemos el siguiente ejemplo.

$\square$

Ejemplo. Sea $p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida como $p(x) = \alpha_n x^n + \alpha_{n-1} x^{n-1} + \cdot + \alpha_1 x \alpha_0$. Demuestra que $$\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty \text{, si } a_n > 0 \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to \infty} p(x) = -\infty \text{, si } a_n < 0$$

La prueba se quedará como tarea moral.

Divergencia lateral

A continuación daremos la definición de divergencia para los límites laterales y finalizaremos esta entrada con un ejemplo de los mismos.

Definición. Sea $A \subset \mathbb{R}$ y sea $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Se dice que el límite por la derecha de $f$ en $x_0$ diverge si para todo $M \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que si $0<x – x_0<\delta$ entonces $f(x) > M$. Y lo denotamos $$\lim_{x \to x_0+} f(x) = \infty$$

Análogamente, tenemos la siguiente definición.

Definición. Sea $A \subset \mathbb{R}$ y sea $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Se dice que el límite por la izquierda de $f$ en $x_0$ diverge si para todo $M \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que si $0<x_0 – x<\delta$ entonces $|f(x)-L| < \epsilon$. Cuando $f$ tiene límite en $L$ por la izquierda, lo denotamos $$\lim_{x \to x_0-} f(x) = \infty $$

Notemos que existen la definiciones análogas para cuando $f$ diverge a $-\infty$ en $x_0$.

Ejemplo. $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty$$
Demostración.
Sea $M \in \mathbb{R}$, sin pérdida de generalidad, consideremos $M > 0$.

Tomemos $\delta = \frac{1}{M}$.
Si $0<x-0< \delta = \frac{1}{M}$, entonces $f(x) = \frac{1}{x} > M$, así se tiene que

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty $$

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Sea $A \subset \mathbb{R}$, sean $f$, $g: A \rightarrow \mathbb{R}$ y suponer que $(a, \infty) \subset A$ para alguna $a \in \mathbb{R}$. Si $g(x) > 0$ para toda $x > a$ y para alguna $L \in \mathbb{R}$, $L \neq 0$, se tiene que $$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L,$$ entonces
    • Si $L > 0$, entonces $$\lim_{x \to \infty} f(x)= \infty \iff \lim_{x \to \infty} g(x)= \infty$$
    • Si $L < 0$, entonces $$\lim_{x \to \infty} f(x)= -\infty \iff \lim_{x \to \infty} g(x)= \infty$$
  • Sea $p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida como $p(x) = \alpha_n x^n + \alpha_{n-1} x^{n-1} + \cdot + \alpha_1 x \alpha_0$. Demuestra que $$\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty \text{, si } a_n > 0 \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to \infty} p(x) = -\infty \text{, si } a_n < 0$$ Hint: Usa el ejercicio anterior.
  • Escribe las definiciones de divergencia a $-\infty$ para los límites laterales.
  • Usando la definición que propusiste en el ejercicio anterior, prueba que $$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty.$$

Más adelante…

En la siguiente entrada haremos uso del límite de una función en toda su extensión y emplearemos las propiedades revisadas en las entradas anteriores mediante la resolución de límites para la funciones trigonométricas que, particularmente, se habían destinado para los temas finales de esta unidad.

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Cálculo Diferencial e Integral I: Límites en el infinito

Introducción

Previamente se revisó el concepto de límite de una función así como el de límites laterales. En la revisión de estos temas nos habíamos enfocado en revisar el límite de una función $f$ en un punto $x_0$. Ahora ampliaremos el concepto estudiando $f$ para el caso cuando $x$ tiende a $\infty$.

Límite en el infinito

La intuición detrás de la definición de límite en el infinito es que $f$ tiene límite $L$ cuando $x$ tiende a infinito si para valores lo suficientemente grandes de $x$ nos acercamos arbitrariamente a $L$.

Definición. Sea $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Decimos que $f$ tiende al límite $L$ cuando $x$ tiende a infinito si para cualquier $\epsilon > 0$ existe $M \in \mathbb{R}$ tal que para cualquier $x>M$ se tiene que $|f(x)-L|<\epsilon$ y lo denotamos $$\lim_{x \to \infty} f(x) = L.$$

Ejemplo. Prueba que $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$$
Demostración.

Sea $\epsilon > 0$. Consideremos $M = \frac{1}{\epsilon}$. Entonces para todo $x > M \Rightarrow x > \frac{1}{\epsilon}$, así se tiene que $-\epsilon < 0 <\frac{1}{x} < \epsilon$, es decir $|\frac{1}{x}-0|< \epsilon$.
$$\therefore \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$$

$\square$

Podemos observar que la definición es bastante natural una vez hemos entendido el concepto de límite, por lo cual procederemos directamente a revisar algunas de sus propiedades.

Propiedades de los límites en el infinito

Al igual que la definición revisada para el límite de una función en un punto, el límite de una función cuando $x$ tiende a infinito también es único.

Proposición. El límite de una función cuando $x$ tiende a infinito es único, es decir, si $f$ tiende a $L$ cuando $x \rightarrow \infty$ y $f$ tiende a $L’$ cuando $x \rightarrow \infty$, entonces $L = L’$.

La demostración es muy similar a la realizada en la entrada de definición formal del límite, por lo cual se omitirá, pero de ser necesario puedes realizarla para repasar los conceptos.

Análogamente a las entradas anteriores, tenemos una relación entre el límite al infinito de una función y el límite de una sucesión.

Teorema. Sea $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Los siguientes enunciados son equivalentes.

  1. $$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$$
  2. Para cualquier sucesión $\{a_n\}$ en $A$ que diverge a infinito se tiene que la sucesión $\{f(a_n)\}$ converge a $L$

(Notemos que para que el límite en el infinito tenga sentido, se debe cumplir que $(a, \infty) \subset A$ para algún $a \in \mathbb{R}$.)

Demostración.

$1) \Rightarrow 2)]$ Sea $\epsilon >0$. Supongamos que $$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$$
Y sea $\{ a_n \}$ en $A$ que diverge a infinito.

Por hipótesis $f$ converge a $L$ cuando $x$ tiende a infinito, entonces existe $M \in \mathbb{R}$ tal que si $x > M$, entonces $|f(x)-L| < \epsilon$

Además como $\{a_n\}$ diverge a infinito, entonces para $M$ existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_0$ entonces $a_n > M$ y por lo tanto $|f(a_n)-L| < \epsilon$
$$\therefore \lim_{x \to \infty} f(x) = L$$


$1) \Leftarrow 2)]$ Quedará como tarea moral.
Hint: Revisar la entrada Teoremas sobre límite de una función.

$\square$

Después de este teorema, nuevamente logramos obtener las mismas propiedades que conocemos del límite de una sucesión.

Proposición. Sean $f: A \rightarrow \mathbb{R}$, $g: A \rightarrow \mathbb{R}$ con $A \subset \mathbb{R}$ tal que $(a, \infty) \subset A$ para algún $a \in \mathbb{R}$. Si además

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = L \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to \infty} g(x) = T$$

entonces

  1. $$\lim_{x \to \infty} c \cdot f(x) = cL$$
  2. $$\lim_{x \to \infty} (f+g)(x) = L+T$$
  3. $$\lim_{x \to \infty} (f-g)(x) = L-T$$
  4. $$\lim_{x \to \infty} (f \cdot g)(x) = LT$$
  5. Si $T \neq 0$ y $g(x) \neq 0$ para $x > a$, entonces $$\lim_{x \to \infty} \frac{f}{g}(x) = \frac{L}{T}$$

Ahora veremos una proposición que nos será útil para el cálculo de límites.

Proposición. Para todo $k \in \mathbb{N}$ se tiene que $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^k} = 0$$

Demostración.

Procederemos a realizar esta demostración mediante inducción.
Caso base: $k = 1$
En el ejemplo anterior se probó mediante la definición que $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0.$$
Hipótesis de inducción: $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^k} = 0$$
Ahora veamos que también se cumple para $k+1$.

\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{k+1}} = & \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^k} \cdot \frac{1}{x^1} \\ \\
= & \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^k} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^1} \\ \\
= & 0 \cdot 0 = 0
\end{align*}

\begin{gather*}
\therefore \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{k+1}} = 0 \\ \\
\therefore \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^k} = 0 \text{, } \forall k \in \mathbb{N}
\end{gather*}

$\square$

Revisaremos un par de ejemplos donde aplicaremos las propiedades enunciadas.

Ejemplo. Determina $$\lim_{x \to \infty} \frac{8x+5}{x^3+10}$$

Notemos que
\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \frac{8x+5}{x^3+10} = & \lim_{x \to \infty} \frac{8x+5}{x^3+10} \cdot \frac{\frac{1}{x^3}}{\frac{1}{x^3}} \\ \\
= & \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8x}{x^3} + \frac{5}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3}+\frac{10}{x^3}} \\ \\
= & \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8}{x^2} + \frac{5}{x^3}}{1+\frac{10}{x^3}} \\ \\
= & \frac{\lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^2} + \frac{5}{x^3}}{\lim_{x \to \infty} 1+\frac{10}{x^3}} \\ \\
= & \frac{0 + 0}{1+0} \\ \\
= & \frac{0}{1} \\ \\
= & 0
\end{align*}
$$\therefore \lim_{x \to \infty} \frac{8x+5}{x^3+10} = 0$$

Ejemplo. Calcula el siguiente límite $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2-2x}-x}$$

Como consideraremos que $x \rightarrow \infty$, podemos suponer, particularmente, que $x>0$, entonces

\begin{align*}
\frac{1}{\sqrt{x^2-2x}-x} = & \frac{1}{\sqrt{x^2-2x}-x} \cdot \frac{\sqrt{x^2-2x}+x}{\sqrt{x^2-2x}+x} \\ \\
= & \frac{\sqrt{x^2-2x}+x}{\left( \sqrt{x^2-2x} \right)^2 – x^2}\\ \\
= & \frac{\sqrt{x^2-2x}+x}{x^2-2x – x^2} \\ \\
= & \frac{\sqrt{x^2-2x}+x}{-2x} \\ \\
= & -\frac{\sqrt{x^2-2x}}{2x} – \frac{x}{2x} \\ \\
= & -\frac{\sqrt{x^2-2x}}{\sqrt{4x^2}} – \frac{1}{2} \text{, pues x es positivo} \\ \\
= & -\sqrt{\frac{x^2-2x}{4x^2}} – \frac{1}{2} \\ \\
= & -\sqrt{\frac{x^2}{4x^2} – \frac{2x}{4x^2}} – \frac{1}{2} \\ \\
= & -\sqrt{\frac{1}{4} – \frac{1}{2x}} – \frac{1}{2}
\end{align*}
$$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x^2-2x}-x} = -\sqrt{\frac{1}{4x^2} – \frac{1}{2x}} – \frac{1}{2}$$

Entonces tenemos que
\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2-2x}-x} = & \lim_{x \to \infty} \left( -\sqrt{\frac{1}{4} – \frac{1}{2x}} – \frac{1}{2} \right) \\
= & -\sqrt{\frac{1}{4} – 0} – \frac{1}{2} \\
= & -\frac{1}{2} -\frac{1}{2} \\
= & -1
\end{align*}
$$\therefore \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2-2x}-x} = -1$$

A continuación enunciaremos el teorema del sándwich para este tipo de límites.

Proposición. Sean $f$, $g$, $h: A \rightarrow \mathbb{R}$ con $A \subset \mathbb{R}$ tal que $(a, \infty) \subset A$ para algún $a \in \mathbb{R}$. Si existe $M_1 \in \mathbb{R}$ tal que para todo $x >M_1$ se tiene que $$f(x) \leq g(x) \leq h(x) \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to \infty} f(x) = L = \lim_{x \to \infty} h(x)$$

Entonces $$ \lim_{x \to \infty} g(x) = L$$

Nuevamente, omitiremos la demostración pues es análoga a la revisada en una entrada anterior.

Extensión del límite en el infinito

Así como tenemos el límite en el infinito, existe una definición análoga que considera el límite de una función cuando $x$ tiende a $- \infty$.

Definición. Sea $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Decimos que $f$ tiende al límite $L$ cuando $x$ tiende a $- \infty$ si para cualquier $\epsilon > 0$ existe $m \in \mathbb{R}$ tal que para cualquier $x<m$ se tiene que $|f(x)-L|<\epsilon$ y lo denotamos $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = L.$$

La definición nos indica que $f$ tiene límite $L$ cuando $x$ tiende a $-\infty$ si para valores lo suficientemente pequeños de $x$ nos acercamos arbitrariamente a $L$.

Esta extensión de límite tiene propiedades análogas revisadas en esta entrada.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Demostrar que si $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ es tal que $$\lim_{x \to \infty} x f(x) = L$$ con $L \in \mathbb{R}$, entonces $$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$$
  • Sean $f$ y $g$ dos funciones definidas en $(a, \infty)$ tales que $$\lim_{x \to \infty} f(x) = L \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to \infty} g(x) = \infty$$
    Entonces se tiene que $$\lim_{x \to \infty} f(g(x)) = L$$
  • Prueba que $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(-x)$$
  • Prueba que $$\lim_{x \to 0^-} f(\frac{1}{x}) = \lim_{x \to -\infty} f(x)$$
  • Calcula los siguientes límites
    $i$) $$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x+1}}{x} \text{, definido para } x >0$$
    $ii$) $$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}+x} \text{, definido para } x >0$$

Más adelante…

En la siguiente entrada revisaremos una nueva variante del límite de una función: los límites infinitos. Es decir, veremos el caso donde el límite de una función diverge a $\infty$/$-\infty$.

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