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Cálculo Diferencial e Integral I: Asíntotas

Introducción

En esta entrada revisaremos el concepto de asíntota de una función; de manera intuitiva podemos pensar que mientras nos vamos «moviendo» a través de una curva, si ésta comienza a tener una distancia respecto a una recta cada vez más cercana a cero, entonces tal recta es una asíntota de la curva. En otras palabras, revisaremos aquellas curvas que a partir de determinado momento comienzan a tener un comportamiento muy similar al de una recta.

Un par de funciones conocidas

Daremos inicio a esta entrada retomando la función $f(x) = tan(x)$. Para nuestra revisión, consideraremos $f: (- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \to \mathbb{R}$.

Recordemos que $f(x) = tan(x) = \frac{sen(x)}{cos(x)}$, notemos que la función tiene una particularidad cuando $x \to \frac{\pi}{2}$ y $x \to -\frac{\pi}{2}$, pues es en estos puntos donde el denominador, $cos(x)$, se hace cero. Para investigar un poco más al respecto, veamos qué pasa en el límite.

\begin{align*}
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} tan(x) = & \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \frac{sen(x)}{cos(x)} \\
= & \infty
\end{align*}

Por otro lado,
\begin{align*}
\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} tan(x) = & \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} \frac{sen(x)}{cos(x)} \\
= & -\infty
\end{align*}

Con lo anterior, podemos notar que cuando nos acercamos por la izquierda a $\frac{\pi}{2}$, la función tiende a $\infty$ y cuando nos acercamos por la derecha a $-\frac{\pi}{2}$ la función tiende a $- \infty$, este es un ejemplo de comportamiento asintótico y lo podemos visualizar con mayor facilidad en la siguiente gráfica:


Las rectas $l_1: x = -\frac{\pi}{2}$, $l_2: x = \frac{\pi}{2}$ (líneas punteadas en rojo) las llamaremos asíntotas de la función.


Revisemos un segundo ejemplo antes de dar las definiciones correspondientes. En una entrada anterior vimos que para la función $f(x) = \frac{1}{x}$, se tiene que $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$, análogamente se puede probar que $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$. Tales límites nos indican que la función $f$ comienza a parecerse mucho a la recta $y = 0$ cuando $x$ es muy grande o muy pequeño. En este sentido, dicha recta es una asíntota horizontal de $f$ tal y como lo podemos visualizar en la gráfica.

Tras haber visto la gráfica de la función es claro que también tiene un comportamiento similar al de una recta cuando $x \to 0$. Si bien el límite en tal punto no existe, ya conocemos sus límites laterales:

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty, \qquad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$$

Cuando sucede que el límite en un punto $x_0$ es $\infty$ ó $- \infty$, la recta $x=x_0$ se le llama asíntota vertical. De esta manera, en nuestro ejemplo tenemos dos tipos de asíntotas: horizontal y vertical.

Existe un tercer tipo llamado asíntota oblicua que sucede cuando la función se aproxima a una recta del tipo $y = ax + b$ con $a \neq 0$.

Asíntota de una curva

A continuación presentamos la definición de los 3 tipos de asíntotas.

Definición (Asíntota vertical). Sea $x = x_0$ una recta $l$. Decimos que $l$ es asíntota vertical de la curva $f$ si se cumple al menos una de las siguientes condiciones:

  1. $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm \infty$
  2. $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm \infty$
  3. $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm \infty$

Notemos que las condiciones nos indican que una función tiene una asíntota vertical si mientras nos acercamos a determinado punto $x_0$ (ya sea por la izquierda, derecha o de ambas formas) la función crece o decrece de forma arbitraria. Este tipo de asíntotas suelen presentarse en las funciones racionales donde el denominador se hace cero.

Definición (Asíntota horizontal). Sea $y=b$ una recta $l$. Decimos que $l$ es una asíntota horizontal de la curva $f$ si se cumple al menos una de las siguientes condiciones:

  1. $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$
  2. $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$

En este caso, la definición nos indica que existe una asíntota horizontal si la función comienza a acercarse a un número real conforme $x$ se hace arbitrariamente grande o pequeño.

Definición (Asíntota Oblicua). Sea $y = ax +b$ una recta $l$. Decimos que $l$ es una asíntota oblicua de la curva $f$ si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

  1. $\lim_{x \to \infty} [f(x)- (ax+b)] = 0$
  2. $\lim_{x \to -\infty} [f(x)- (ax+b)] = 0$

La forma práctica de encontrar las asíntotas oblicuas de una curva $f$ es de la manera siguiente:

Si existen los límites $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ y $\lim_{x \to \pm \infty} [f(x)-ax] = b$

La recta $y = ax+b$ es una asíntota oblicua. Particularmente si $a=0$, esto se reduce al caso asíntota horizontal.

Ahora veremos algunos ejemplos donde encontraremos todas las asíntotas para cada función dada.

Ejemplo. Encuentra las asíntotas de la función $f(x) = \frac{x^2+5}{x-1}$

  • Asíntota vertical
    Notemos que de la primera definición nos interesa encontrar los puntos en los cuales la función tiende a infinito, y el denominador se acerca a cero cuando $x \rightarrow 1$. Es decir $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2+5}{x-1} = \infty \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2+5}{x-1} = -\infty$$
    Por lo tanto, $x=1$ es una asíntota.
  • Asíntota horizontal
    $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+5}{x-1} = \infty \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+5}{x-1} = -\infty$$
    Por lo que no hay asíntotas horizontales.
  • Asíntota oblicua
    Veamos ahora que
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{x^2+5}{x-1}}{x} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+5}{x^2-x} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+5}{x^2-x} \cdot \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1+\frac{5}{x^2}}{1-\frac{1}{x}} \\ \\
    = & 1
    \end{align*}

    Por otro lado,
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} [f(x)-ax] = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+5}{x-1} -x \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+5-x^2+x}{x-1} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x+5}{x-1} \\ \\
    = & 1
    \end{align*}
    Así, tenemos una asíntota oblicua en $y = x+1$.

Ejemplo. $f(x) = \frac{x^2+x-3}{x}$

  • Asíntota vertical
    Notemos que
    $$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2+x-3}{x} = -\infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2+x-3}{x} = \infty$$
    Por lo tanto, hay una asíntota vertical en $x=0$.
  • Asíntota horizontal
    $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+x-3}{x} = \infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+x-3}{x} = -\infty $$
    Por lo tanto, no hay asíntota horizontal.
  • Asíntota Oblicua
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{x^2+x-3}{x}}{x} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+x-3}{x^2} \\ \\
    = & 1
    \end{align*}
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} [f(x)-ax] = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+x-3}{x} – x \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+x-3-x^2}{x} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x-3}{x} \\ \\
    = & 1
    \end{align*}

    Así, $f$ tiene como asíntota oblicua la recta $y = x+1$.



Ejemplo. $f(x) = \frac{1}{x^2+x-30}$

  • Asíntota vertical
    Revisemos en qué momento el denominador se hace cero
    $x^2+x-30 = 0 \iff (x+6)(x-5) = 0 \iff x =-6 \text{ ó } x = 5$
    Así,
    $$\lim_{x \to -6^+} \frac{1}{x^2+x-30} = -\infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to -6^-} \frac{1}{x^2+x-30} = \infty$$
    $$\lim_{x \to 5^+} \frac{1}{x^2+x-30} = \infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 5^-} \frac{1}{x^2+x-30} = -\infty$$
    Por tanto, hay dos asíntotas verticales, una en $x = 5$ y otra en $x= -6$.
  • Asíntota horizontal
    $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^2+x-30} = 0$$
    Hay una asíntota horizontal en $y = 0$.
  • Asíntota oblicua
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{1}{x^2+x-30}}{x} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^3+x^2-30x} \\ \\
    = & 0
    \end{align*}
    Como el límite es cero, no hay asíntota oblicua.

Ejemplo. $f(x) = \frac{x^5}{x^4-1}$

  • Asíntota vertical
    El denominador se hace cero si $x^4 – 1 = 0 \iff x = 1 \text{ ó } x = -1$
    $$\lim_{x \to -1^+} \frac{x^5}{x^4-1} = \infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to -1^-} \frac{x^5}{x^4-1} = -\infty$$
    $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^5}{x^4-1} = \infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 1^-} \frac{x^5}{x^4-1} = -\infty$$
    Por lo tanto, hay dos asíntotas verticales, una en $x=1$ y otra en $x=-1$.
  • Asíntota horizontal
    Notemos que
    $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^5}{x^4-1} = \pm \infty$$
    Por lo que no hay asíntota horizontal.
  • Asíntota oblicua
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{x^5}{x^4-1}}{x} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^5}{x^5-x} \\ \\
    = & 1
    \end{align*}
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} [f(x)-ax] = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^5}{x^4-1} – x \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^5-x^5+x}{x^4-1} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x}{x^4-1} \\ \\
    = & 0
    \end{align*}
    Así, $f$ tiene como asíntota oblicua la recta $y = x$.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

Encuentra todas las asíntotas de las siguientes funciones:

  1. $f(x) = \frac{x^2+2}{x+1}$
  2. $f(x) = \frac{x^5+1}{x^2-1}$
  3. $f(x) = x \sqrt{\frac{x+10}{x-10}}$
  4. $f(x) = \frac{x^2+3}{\sqrt{x^2+4}}$
  5. $f(x) = \frac{1-x^2}{x^2-4}$

Más adelante…

En las siguientes entradas estudiaremos el concepto de continuidad puntual y en un intervalo, también veremos diversos teoremas de las funciones continuas; para hacer la revisión de este nuevo concepto haremos amplio uso de la definición de límite así como las propiedades que se revisaron a lo largo de esta unidad.

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