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Cálculo Diferencial e Integral I: Límites laterales

Introducción

En las entradas anteriores hemos trabajado con la definición de límite y revisamos sus propiedades. En esta ocasión, daremos la definición de límite por la derecha y límite por la izquierda, que en conjunto se les llama límites laterales; de igual forma, revisaremos algunos ejemplos y su relación con la definición vista anteriormente.

Límites laterales

Las definiciones que veremos a continuación se basan en restringir la forma en que nos acercamos a $x_0$. Así, el límite por la derecha se enfoca en acercarnos por la derecha, es decir, pediremos que $x > x_0$, lo cual se traducirá en que debe cumplirse que $0<x-x_0 < \delta$; mientras que para el límite por la izquierda pediremos que $x < x_0$, de esta forma se tendrá que $0<x_0-x< \delta$.

Definición (Límite por la derecha). Sea $A \subset \mathbb{R}$ y sea $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Se dice que $L \in \mathbb{R}$ es límite por la derecha de $f$ en $x_0$ si para todo $\epsilon >0$ existe $\delta > 0$ tal que si $0<x-x_0<\delta$ entonces $|f(x)-L| < \epsilon$. Cuando $f$ tiene límite en $L$ por la derecha, lo denotamos $$\lim_{x \to x_0+} f(x) = L $$

Análogamente, tenemos la siguiente definición.

Definición (Límite por la izquierda). Sea $A \subset \mathbb{R}$ y sea $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Se dice que $L \in \mathbb{R}$ es límite por la izquierda de $f$ en $x_0$ si para todo $\epsilon >0$ existe $\delta > 0$ tal que si $0<x_0 – x<\delta$ entonces $|f(x)-L| < \epsilon$. Cuando $f$ tiene límite en $L$ por la izquierda, lo denotamos $$\lim_{x \to x_0-} f(x) = L $$

Propiedades de los límites laterales

De forma similar al teorema que vimos para los límites, existe una relación entre el límite lateral de una función y el límite de una sucesión, basta agregar a los supuestos la condición de que la sucesión sea mayor que $x_0$ para toda $n \in \mathbb{N}$ en el caso de límite por la derecha y que sea menor que $x_0$ para toda $n \in \mathbb{N}$ en el caso de límite por la izquierda.

Teorema. Sea $f:A \rightarrow \mathbb{R}$ y sea $x_0 \in A$. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes.

  1. $$\lim_{x \to x_0+} f(x) = L $$
  2. Para toda sucesión $\{ a_n \}$ en $A$ que converge a $x_0$ y tal que $a_n > x_0$ para toda $n\in \mathbb{N}$, la sucesión $\{f(x_n)\}$ converge a $L$.

El teorema de límite por la izquierda es similar al anterior. Además, la demostración es totalmente análoga a la revisada en una entrada anterior por lo cual quedará como tarea moral. También recordemos que este teorema nos ayuda a determinar las propiedades que tienen los límites laterales debido a la herencia que nos brinda el límite de una sucesión; es gracias a ello que podremos hacer uso de tales propiedades en los siguientes ejemplos.

Ejemplo. Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, definida de la siguiente forma
$$f(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$$
Determina los límites laterales en $x_0 = 0$

Iniciemos calculando el límite por la izquierda.
$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{1+e^{-x}} = \frac{1}{2}$$

Por otro lado, el límite por la derecha
$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{1+e^{-x}} = \frac{1}{2}$$

Ejemplo. Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, definida de la siguiente forma

$$f(x) =
\begin{cases}
12x^3 & \quad \text{si } x<-1 \\
x^2+1& \quad \text{si } x \geq -1 \\
\end{cases}
$$

Determina los límites laterales en $x_0 = -1$.

Iniciemos calculando el límite por la izquierda.
$$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} 12x^3 = -12$$

Por otro lado, el límite por la derecha
$$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} x^2+1= 2 $$

Por lo tanto
$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -12 \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to 0^+} f(x) = 2$$

Ejemplo. Sea $f: \mathbb{R} \setminus \{0 \} \rightarrow \mathbb{R}$. Calcula los límites laterales en $x_0 = 0$ de

$$f(x) = \frac{|x|}{x}$$

Primero calcularemos el límite por la izquierda
\begin{align*}
\lim_{x \to 0^-} f(x) = & \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} \\
= & \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} \text{, pues x < 0} \\
= & \lim_{x \to 0^-} -1 \\
= & -1
\end{align*}
Por otro lado, el límite por la derecha
\begin{align*}
\lim_{x \to 0^+} f(x) = & \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} \\
= & \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} \text{, pues x > 0} \\
= & \lim_{x \to 0^+} 1 \\
= & 1
\end{align*}
Por lo tanto
$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$$

De los ejemplos revisados, el primero tiene la propiedad de que sus límites laterales son iguales mientras que para el segundo y el tercero tales límites son distintos en $x_0$.

Relación entre el límite de una función y sus límites laterales

Parece inmediato inferir que, considerando un punto $x_0$ dado, si los límites por la izquierda y por la derecha existen y son iguales, entonces el límite de la función sí existe en tal punto. De la misma manera, resulta natural que si el límite existe, entonces los límites laterales también existen y son iguales. Probaremos esta equivalencia, pero para hacerlo primero demostraremos la siguiente proposición.

Proposición. Sean $x$, $x_0$ en $\mathbb{R}$ y sea $\delta >0$. Entonces $0<|x-x_0|< \delta$ si y solo sí $0<x-x_0<\delta \quad$ ó $\quad 0<x-x_0<\delta$

Demostración.
Supongamos que $0<|x-x_0|< \delta$

Caso 1: $x-x_0 > 0$
Entonces $|x-x_0| = x-x_0$, así
\begin{gather*}
& 0<|x-x_0|< \delta \\
\iff & 0< x-x_0 < \delta
\end{gather*}

Caso 2: $x- x_0 < 0 $.
Entonces $|x-x_0| = x_0-x$, así
\begin{gather*}
& 0<|x-x_0| < \delta \\
\iff & 0< x_0-x < \delta
\end{gather*}

$$\therefore 0<|x-x_0|< \delta \iff 0<x-x_0<\delta \quad \text{ ó } \quad 0<x-x_0<\delta$$

$\square$

Teorema. El límite de una función $f$ en el punto $x_0$ existe y es igual a $L$ si y solo si los límites laterales existen y son iguales a $L$, es decir

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = L \quad \iff \quad \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L = \lim_{x \to x_0^-} f(x)$$

Demostración.

$\Rightarrow]$ Supongamos que $$\lim_{x \to x_0} f(x) = L$$
Sea $\epsilon > 0$, como $f$ converge a $L$ en $x_0$, entonces existe $\delta > 0$ tal que si $0<|x-x_0|< \delta$ entonces se tiene $|f(x)-L| < \epsilon$. Y notemos que

Si $0<x-x_0 < \delta \Rightarrow 0<|x-x_0|< \delta$ (por la proposición), entonces
\begin{gather*}
|f(x)-L| < \epsilon \\
\therefore \lim_{x \to x_0^-} f(x) = L
\end{gather*}

Si $0<x_0-x < \delta \Rightarrow 0<|x-x_0|< \delta$ (por la proposición), entonces
\begin{gather*}
|f(x)-L| < \epsilon \\
\therefore \lim_{x \to x_0^-} f(x) = L
\end{gather*}

$\Leftarrow]$ Supongamos que $$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L = \lim_{x \to x_0^-} f(x)$$
Sea $\epsilon > 0 $

Como $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L$, existe $\delta_1$ tal que si $0<x-x_0<\delta_1$ entonces $|f(x)-L| < \epsilon$.

Como $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L$, existe $\delta_2$ tal que si $0<x_0-x<\delta_2$ entonces $|f(x)-L| < \epsilon$.

Consideremos $\delta = min \{ \delta_1, \delta_2\}$. Por la proposición, si $0<|x-x_0|< \delta$, entonces $0<x-x_0<\delta \quad$ ó $\quad 0<x_0-x<\delta$.

Para el primer caso, tenemos que $0<x-x_0<\delta \leq \delta_1$, entonces $|f(x)-L| < \epsilon$.
Para el segundo caso, se tiene que $0<x_0-x<\delta \leq \delta_2$, entonces $|f(x)-L| < \epsilon$.

Por lo tanto $$\lim_{x \to x_0} f(x) = L$$

$$\therefore \lim_{x \to x_0} f(x) = L \quad \iff \quad \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L = \lim_{x \to x_0^-} f(x)$$

$\square$

Observación. Ya que hemos demostrado este teorema, podemos notar que si los límites laterales de una función son distintos en un punto $x_0$, entonces no existe el límite de la función en tal punto.

Finalizaremos esta entrada revisando los siguientes ejemplos.

Ejemplo. Determina si existe el límite en $x_0 = 0$ para la siguiente función $$f(x) = x \sqrt{\frac{1}{4x^2}-16}$$

Procederemos a calculando los límites laterales. Para el límite por la izquierda
\begin{align*}
\lim_{x \to 0^-} f(x) = & \lim_{x \to 0^-} x \sqrt{\frac{1}{4x^2}-16} \\ \\
= & \lim_{x \to 0^-} \sqrt{\frac{1-64x^2}{4x^2}} \\ \\
= & \lim_{x \to 0^-} \frac{ x \sqrt{1-64x^2} }{ \sqrt{4x^2} } \\ \\
= & \lim_{x \to 0^-} \frac{ x \sqrt{1-64x^2} }{ 2|x|} \\ \\
= & \lim_{x \to 0^-} \frac{ x \sqrt{1-64x^2} }{ -2x} \text{, pues x < 0} \\ \\
= & \lim_{x \to 0^-} – \frac{\sqrt{1-64x^2} }{2} \\ \\
= & – \frac{1}{2}
\end{align*}

De forma similar, tenemos que
\begin{align*}
\lim_{x \to 0^+} f(x) = & \lim_{x \to 0^+} x \sqrt{\frac{1}{4x^2}-16} \\ \\
= & \lim_{x \to 0^+} \sqrt{\frac{1-64x^2}{4x^2}} \\ \\
= & \lim_{x \to 0^+} \frac{ x \sqrt{1-64x^2} }{ 2x} \text{, pues x > 0} \\ \\
= & \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1-64x^2} }{2} \\ \\
= & \frac{1}{2}
\end{align*}
$$\therefore \lim_{x \to 0^-} f(x) = -\frac{1}{2} \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{1}{2}$$

Como los límites laterales son distintos, podemos concluir que el límite de la función $f$ no existe en el punto $x_0 = 0$.

Ejemplo. Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, definida de la siguiente forma
$$f(x) =
\begin{cases}
x^2 & \quad \text{si } x<5 \\
2x+15 & \quad \text{si } x \geq 5 \\
\end{cases}
$$
Determina sí el límite existe en $x_0 = 5$.

Iniciemos calculando el límite por la izquierda.
$$\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^-} x^2 = 25$$

Por otro lado, el límite por la derecha
$$\lim_{x \to 5^+} f(x) = \lim_{x \to 5^+} 2x+15 = 25$$

Por lo tanto
$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 25 \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to 0^+} f(x) = 25$$

Como los límites laterales existen y son iguales, podemos concluir que
$$\lim_{x \to 0} f(x) = 25.$$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Demuestra que
    $i$) $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(-x)$
    $ii$) $\lim_{x \to 0} f(|x|) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$
  • Usando la definición $\epsilon$-$\delta$ de límite por la derecha, prueba que $\lim_{x \to 8^+} \sqrt{x-8} = 0$.
  • Calcula el límite en $x_0 = 5$ de la función
    $$f(x) =
    \begin{cases}
    \frac{x^2-12x+35}{x-5} & \quad \text{si } x < 5 \\
    \frac{x-5}{1- \sqrt{x-4} } & \quad \text{si } x \geq 5
    \end{cases}
    $$
  • Usando límites laterales, determina si existe $$\lim_{x \to 0} \frac{3x + |x|}{7x-5|x|}.$$
  • Prueba que el siguiente límite no existe $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{1/x}+1}.$$

Más adelante…

¿Qué sucede cuando en lugar de acercarnos a un punto en particular $x_0$, solo hacemos que $x$ crezca indefinidamente? Esto y otras ampliaciones del concepto del límite serán revisadas en la siguiente entrada con lo cual estaremos listos para calcular todo tipo de límites y, con ello, podremos conocer el comportamiento que toman las funciones tanto en un punto específico como «en el infinito».

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Cálculo Diferencial e Integral I: Teoremas sobre el límite de una función

Introducción

Después de haber revisado algunos ejemplos de límite de funciones, estamos listos para conocer y demostrar algunas de las propiedades; para este fin, usaremos la relación existente entre el límite de una función y el de una sucesión demostrada en la entrada anterior.

Teoremas sobre el límite de una función

Considerando el criterio de sucesiones para límites visto anteriormente, es natural que haya una gran cantidad de propiedades que se hereden del límite de sucesiones. A continuación revisaremos algunas de ellas y podremos aprovechar la relación de ambos conceptos para hacer la demostración de las mismas.

Teorema. Sean $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ y $g: A \rightarrow \mathbb{R}$ dos funciones y sea $c \in \mathbb{R}$. Si $$\lim_{x \to x_0} f(x) = L \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to x_0} g(x) = M.$$
Entonces

  1. $$\lim_{x \to x_0} c \cdot f(x) = cL$$
  2. $$\lim_{x \to x_0} (f+g)(x) = L+M$$
  3. $$\lim_{x \to x_0} (f-g)(x) = L-M$$
  4. $$\lim_{x \to x_0} (f \cdot g)(x) = L\cdot M$$
  5. Si además $g(x) \neq 0$ para toda $x$ y $M \neq 0$, entonces $$\lim_{x \to x_0} (\frac{f}{g})(x) = \frac{L}{M}$$

Demostración

Daremos la demostración del inciso 2 y la demostración de los demás será análoga.

Sea $\{ a_n \}$ una sucesión en $A$ que converge a $x_0$ tal que $a_n \neq x_0$ para todo $n\in \mathbb{N}$, por el teorema anterior tenemos que
$$\lim_{n \to \infty} f(a_n) = L \quad \text{ y } \quad \lim_{n \to \infty} g(a_n) = M$$

De esta forma podemos usar las propiedades de convergencia de una sucesión, así

$$\lim_{n \to \infty} (f \cdot g)(a_n) = \lim_{n \to \infty} \left( f(a_n) \cdot g(a_n) \right) = \lim_{n \to \infty} f(a_n) \cdot \lim_{n \to \infty} g(a_n) = L \cdot M$$
Por el teorema revisado, podemos concluir que $$\lim_{x \to x_0} (f \cdot g)(x) = L \cdot M$$

$\square$

Observación. Particularmente podemos generalizar los puntos 2 y 4 mediante inducción matemática, de tal forma que si $f_1, f_2, \dots, f_n$ son funciones definidas de $A$ a $\mathbb{R}$ cada una con límite $L_1, L_2, \dots L_n$ en $x_0$. Entonces

\begin{gather*}
\lim_{x \to x_0} (f_1 + f_2 + \cdots + f_n) = L_1 + L_2 + \cdots + L_n \\
\text{y} \\
\lim_{x \to x_0} (f_1 \cdot f_2 \cdot \cdots \cdot f_n)(x) = L_1 \cdot L_2 \cdot \cdots \cdot L_n
\end{gather*}

Revisaremos un par de ejemplos donde aplicaremos las propiedades anteriores.

Ejemplo. Calcula $$\lim_{x \to 2} \frac{5x-12}{2x + 10}.$$
\begin{align*}
\lim_{x \to 2} \frac{5x-12}{2x + 10} =& \frac{ \lim_{x \to 2} ( 5x-12 ) }{ \lim_{x \to 2} (2x + 10) } \text{, por el punto 5 del teorema anterior} \\ \\
= & \frac{ \lim_{x \to 2} 5x – \lim_{x \to 2} 12 }{ \lim_{x \to 2} 2x + \lim_{x \to 2} 10 } \text{, por los puntos 2 y 3 del teorema anterior} \\ \\
= & \frac{10-12}{4+10} \\ \\
= & – \frac{1}{7}
\end{align*}
$$\therefore \lim_{x \to 2} \frac{5x-12}{2x + 10} = \frac{1}{7}$$

Ejemplo. Calcula $$\lim_{x \to 5} \frac{x^3+3}{8x^2 + 7}$$
\begin{align*}
\lim_{x \to 5} \frac{x^3+3}{8x^2 + 7} = & \frac{\lim_{x \to 5} (x^3+3)}{ \lim_{x \to 5} (8x^2 + 7)} \text{, por el punto 4 del teorema anterior} \\ \\
= & \frac{\lim_{x \to 5} x^3+ \lim_{x \to 5} 3}{ \lim_{x \to 5} 8x^2 + \lim_{x \to 5} 7} \text{, por el punto 2 del teorema anterior} \\ \\
= & \frac{125+ 3}{200 + 7} \\ \\
= & \frac{128}{207}
\end{align*}
$$\therefore \lim_{x \to 5} \frac{x^3+3}{8x^2 + 7} = \frac{128}{207}$$

En los ejemplos anteriores se hizo énfasis en las propiedades que nos permitieron calcular el límite con la finalidad de mostrar claramente cómo se emplean, sin embargo, esto no será necesario y, de hecho, no se hará tal hincapié de ahora en adelante.

A continuación probaremos el teorema del sándwich para el límite de una función.

Teorema. Sean $f$, $g$, $h : A \rightarrow \mathbb{R}$ y sea $x_0 \in A$. Si

$$f(x) \leq g(x) \leq h(x) \text{, para toda } x \in A, x \neq x_0$$

y si $$\lim_{x \to x_0} f(x) = L \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to x_0} h(x) = L$$

Entonces

$$\lim_{x \to x_0} g(x) = L$$
Demostración

Sea $\epsilon > 0 $, como $f$ y $h$ convergen a $L$ en $x_0$, entonces existen $\delta_1$, $\delta_2$ tales que

\begin{gather*}
0<|x-x_0|< \delta_1 \quad \Rightarrow \quad |f(x)-L|< \epsilon \\
0<|x-x_0|< \delta_2 \quad \Rightarrow \quad |h(x)-L| < \epsilon
\end{gather*}

Consideremos $\delta = min\{ \delta_1, \delta_2 \}$, si $0<|x-x_0|< \delta$, se cumple que

\begin{gather*}
-\epsilon < f(x)-L < \epsilon \quad \Rightarrow \quad L-\epsilon < f(x) < L + \epsilon \\
-\epsilon < h(x)-L < \epsilon \quad \Rightarrow \quad L-\epsilon < h(x) < L + \epsilon
\end{gather*}

Además por hipótesis se tiene que $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$, entonces

\begin{gather*}
L-\epsilon < f(x) \leq g(x) \quad \text{ y } \quad g(x) \leq h(x) < L + \epsilon \\ \\
\Rightarrow L-\epsilon < g(x) < L + \epsilon \\ \\
\Rightarrow -\epsilon < g(x) – L< \epsilon \\ \\
\therefore |g(x) – L| < \epsilon \\ \\
\therefore \lim_{x \to x_0} g(x) = L
\end{gather*}

$\square$

A continuación veremos un ejemplo donde podemos aplicar el teorema del sándwich.

Ejemplo. Encuentra el siguiente límite: $$\lim_{x_0 \to 0} x^2 e^{sen(\frac{1}{x})}$$
Sabemos que

\begin{gather*}
– 1 \leq sen(\frac{1}{x}) \leq 1 \text{, para todo } x \neq 0
\end{gather*}
Dado que la función exponencial no altera la relación de orden, entonces tenemos
\begin{gather*}
e^{- 1} \leq e^{sen(\frac{1}{x})} \leq e^{ 1} \\
\Rightarrow x^2 e^{- 1} \leq x^2 e^{sen(\frac{1}{x})} \leq x^2 e^{ 1}
\end{gather*}

Entonces la función original está acotada por $f(x) = x^2 e^{- 1}$ y $f(x) = x^2 e^{1}$. Notemos que
$$\lim_{x \to 0} x^2 e^{- 1} = 0 \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to 0} x^2 e^{1} = 0$$
Por el teorema del sándwich podemos concluir que $$\lim_{x_0 \to 0} x^2 e^{sen(\frac{1}{x})} = 0.$$

En esta entrada revisamos algunas de las propiedades que tiene el límite de una función haciendo uso del límite de sucesiones, pero vale la pena destacar que también se pudo recorrer este tramo del camino usando la definición $\epsilon$-$\delta$ y te invitamos a realizar el ejercicio de demostrar algunas de las propiedades haciendo uso de tal definición con la finalidad de tener un dominio mayor del concepto.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Prueba que si $$\lim_{x \to x_0} f(x) = L \text{, entonces } \lim_{x \to x_0} |f(x)| = |L|$$
  • Demuestra que si $f(x) = 0$ para todo $x$ irracional y $f(x) = 1$ para todo irracional, entonces $\lim_{x \to x_0} f(x)$ no existe para ningún $x \in \mathbb{R}$
  • Calcula el límite $$\lim_{x \to 0} \frac{(x+1)^2-1}{x}$$
  • Calcula el límite $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$$
  • Calcula el límite $$\lim_{x \to 0} x^2 cos \left( \frac{1}{x^2} \right) $$

Más adelante…

Extenderemos la noción de límite de una función definiendo una nueva clase de límites: los límites laterales. Veremos la definición de límite por la derecha y límite por la izquierda que son definiciones menos exigentes y las cuales nos permiten tener un análisis más detallado para aquellas funciones donde el límite no existe.

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Cálculo Diferencial e Integral I: Definición formal de límite de una función

Introducción

Anteriormente revisamos una definición intuitiva del límite con la finalidad de facilitar la comprensión de la definición formal. En esta entrada se dará la definición formal así como algunos ejemplos para que el concepto sea comprendido en su totalidad.

Definición formal de límite

Retomemos la idea intuitiva a la que llegamos al final de la entrada anterior: Logramos que $f$ se aproxime arbitrariamente ($\epsilon$) a $L$ siempre que logremos que $x$ esté lo suficientemente cerca ($\delta$) de $x_0$ sin ser $x_0$.

Observación. Notemos que la última parte la podemos expresar como $0<|x-x_0|< \delta$, pues al pedir que la distancia entre $x$ y $x_0$ sea mayor que $0$ se captura la idea de que $x \neq x_0$. Sin más preámbulos daremos la definición.

Definición. Decimos que $f$ tiende hacia el límite $L$ en $x_0$ si para todo $\epsilon > 0$ existe algún $\delta > 0$ tal que, para todo $x$, si $0<|x-x_0|< \delta$, entonces $|f(x)-L|< \epsilon$.

A continuación tenemos una imagen que nos permitirá visualizar la definición:

En la imagen podemos ver que si definimos un valor arbitrario $\epsilon >0$, entonces lo que buscamos es un valor positivo $\delta$, tal que si $x$ está a una distancia menor de $\delta$ con respecto a $x_0$, entonces eso implique que $f(x)$ esté a una distancia menor de $\epsilon$ con respecto a $L$.


A continuación revisaremos un ejemplo sencillo aplicando la definición.

Ejemplo. Demuestra que $$\lim_{x \to -1} \frac{x^2-5x-6}{x+1} = -7$$

Demostración.
Sea $\epsilon >0$. Notemos lo siguiente

\begin{align*}
\left\lvert \frac{x^2-5x-6}{x+1} – (-7) \right\rvert = & \left\lvert \frac{x^2-5x-6}{x+1} +7 \right\rvert \\ \\
= & \left\lvert \frac{x^2-5x-6+7x+7}{x+1} \right\rvert \\ \\
= & \left\lvert \frac{x^2+2x+1}{x+1} \right\rvert \\ \\
= & \left\lvert \frac{(x+1)^2}{x+1} \right\rvert \\ \\
= & \left\lvert x+1 \right\rvert
\end{align*}
Tomemos entonces $\delta = \epsilon$. Si $0<|x- (-1) | = |x+1 |< \delta$, entonces
$$\left\lvert \frac{x^2-5x-6}{x+1} – (-7) \right\rvert = \left\lvert x+1 \right\rvert < \delta = \epsilon$$
$$\Rightarrow \left\lvert \frac{x^2-5x-6}{x+1} – (-7) \right\rvert < \epsilon$$
$$\therefore \lim_{x \to -1} \frac{x^2-5x-6}{x+1} = -7$$

$\square$

Hagamos algunos comentarios respecto a la demostración. Como primer paso, establecimos un valor arbitrario positivo para $\epsilon$. Después hicimos algunas manipulaciones algebraicas que nos permitieron simplificar las expresión original en una más simple con la cual logramos encontrar el valor de $\delta$ que sería útil, en este caso, ese valor fue justamente el mismo que $\epsilon$.

Revisemos un segundo ejemplo.

Ejemplo. Sea $f(x) = \frac{3x+1}{2x}$, entonces $$\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{7}{4}$$

Demostración.

Sea $\epsilon > 0$. Veamos que

\begin{align*}
\left\lvert f(x) – \frac{7}{4}\right\rvert = & \left\lvert \frac{3x+1}{2x} – \frac{7}{4} \right\rvert \\ \\
= & \left\lvert \frac{6x+2-7x}{4x} \right\rvert \\ \\
= & \left\lvert \frac{2-x}{4x} \right\rvert \\ \\
= & \frac{|2-x|}{|4x|} \\ \\
= & \frac{|x-2|}{|4x|} \\ \\
= & \frac{1}{|4x|} \cdot |x-2|
\end{align*}
\begin{align*}
\therefore \left\lvert f(x) – \frac{7}{4}\right\rvert = \frac{1}{|4x|} \cdot |x-2| \tag{1}
\end{align*}

Buscamos entonces acotar la expresión $(1)$, para ello podemos ver lo siguiente, si $|x-2| < 1$, entonces

\begin{gather*}
|2|-|x| \leq |x-2| < 1 \\
\Rightarrow |2|-|x| < 1 \\
\Rightarrow 2-1 < |x| \\
\Rightarrow 1 < |x| \\
\Rightarrow 1 >\frac{1}{|x|} \\
\Rightarrow \frac{1}{4} >\frac{1}{4|x|} = \frac{1}{|4x|} \\
\therefore \frac{1}{|4x|} < \frac{1}{4} \tag{2}
\end{gather*}

Entonces si $|x-2| < 1$, por (1) y (2), tenemos lo siguiente
\begin{align*}
\left\lvert f(x) – \frac{7}{4}\right\rvert = & \frac{1}{|4x|} \cdot |x-2| \\ \\
< & \frac{1}{4} \cdot |x-2|\\
\end{align*}

Previamente acotamos $|x-2|$ por el valor $1$, pero de la última expresión se sigue que deberemos acotarlo también por $4 \epsilon$ para llegar a nuestro objetivo, tomemos así $\delta = min\{1, 4 \epsilon\}$.


Si $0<|x- 2| \leq \delta$ (es decir, si $|x- 2| \leq 1$ y $|x- 2| \leq 4\epsilon$), entonces
$$\left\lvert f(x) – \frac{7}{4}\right\rvert < \frac{1}{4} |x-2| \leq \frac{1}{4} \cdot 4\epsilon $$
$$ \therefore \left\lvert f(x) – \frac{7}{4}\right\rvert < \epsilon$$

$\square$

Nuevamente haremos énfasis en los pasos generales de la demostración. Iniciamos dando un valor de $\epsilon$ arbitrario, y la tarea es encontrar el valor $\delta >0$ que acote la distancia entre $x$ y $x_0 = 2$ de tal manera que aproximemos la función $f$ a $L$ lo suficiente para que su distancia sea menor que $\epsilon$.

Trabajemos ahora sobre el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Para todo $x_0 \in \mathbb{R}$ se tiene que $$\lim_{x \to x_0} x^2 = x_0^2$$

Demostración.

Sea $\epsilon > 0$ y $x_0 \in \mathbb{R}$. Notemos que

$|x^2 – x_0^2| = |x-x_0||x+x_0|$

Haciendo uso de la misma manipulación que en el ejemplo anterior, podemos ver que si $|x-x_0| < 1$, entonces

$|x|-|x_0| \leq |x-x_0| < 1 \quad \Rightarrow \quad |x| < 1 + |x_0|$

Además,
\begin{align*}
|x + x_0| \leq & |x|+ |x_0| \\
< & 1 + |x_0|+|x_0| \text{, pues} \quad |x| < 1 + |x_0| \\
= & 1 + 2|x_0|
\end{align*}


$ \therefore |x + x_0| < 1 + 2|x_0|$

En esta ocasión queremos que $|x-x_0| < 1$ y, por la última expresión, también queremos que $|x-x_0| <\frac{\epsilon}{1+2|x_0|}$, definimos así $\delta = min \{ 1, \frac{\epsilon}{1+2|x_0|} \}$. Si $0 < |x-x_0| < \delta$, entonces

\begin{align*}
|x^2-x_0^2| = & |x-x_0||x+x_0| \\ \\
< & |x-x_0|(1+2|x_0|) \\ \\
< & \delta (1+2|x_0|) \\ \\
\leq & \frac{\epsilon}{1+2|x_0|} \cdot (1+2|x_0|) = \epsilon
\end{align*}


$\therefore |x^2-x_0^2| < \epsilon$


$$\lim_{x \to x_0} x^2 = x_0^2$$

$\square$

Unicidad del límite de una función

Después de haber revisado estos ejemplos, la definición de límite de una función (también llamada definición $\epsilon-\delta$), estamos listos para revisar la primera propiedad del límite.

Proposición. El límite de una función en $x_0$ es único, es decir, si $f$ tiende a $L$ en $x_0$ y $f$ tiende a $L’$ en $x_0$, entonces $L = L’$.


Demostración.
Sea $\epsilon > 0$. Como $f$ tiende a $L$ y $L’$ en $x_0$, entonces para $\frac{\epsilon}{2} > 0$ existen $\delta_1$ y $\delta_2$ tales que

\begin{gather*}
\text{Si } 0<|x-a|<\delta_1 \quad \Rightarrow \quad |f(x)-L| < \frac{\epsilon}{2} \\
\text{Si } 0<|x-a|<\delta_2 \quad \Rightarrow \quad |f(x)-L’| < \frac{\epsilon}{2} \\
\end{gather*}

Consideremos ahora $\delta = min\{\delta_1, \delta_2 \}$. Entonces si $0<|x-x_0|<\delta$ y, por la desigualdad del triángulo, esto implica que

\begin{align*}
|L-L’| \leq & |L-f(x)|+|L’-f(x)|
< & \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}
= & \epsilon
\end{align*}

$\therefore |L-L’| < \epsilon$


Como $\epsilon$ es un valor arbitrario positivo, podemos concluir que $L-L’ = 0$, es decir, $L=L’$

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

Usando la definición $\epsilon-\delta$, demuestra lo siguiente:

  • $$\lim_{x \to x_0} c = c$$
  • $$\lim_{x \to x_0} x = x_0$$
  • $$\lim_{x \to 5} \frac{1}{x} = \frac{1}{5}$$
  • $$\lim_{x \to -2c} (2c-3x) = 8c$$
  • $$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{|x|} = 0 $$

Más adelante…

En la siguiente entrada revisaremos con detalle varias propiedades que tienen los límites para lo cual haremos uso de una bella relación existente entre el límite de una sucesión y el de una función. Una vez revisadas estas propiedades, el cálculo de los límites se hará considerablemente más simple.

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Cálculo Diferencial e Integral I: Definición intuitiva de límite de una función

Introducción

La definición de límite de una función suele ser uno de los conceptos más retadores dentro del cálculo y es por ello que, antes de entrar a su análisis formal, queremos dar una introducción con la finalidad de desarrollar la intuición necesaria para lograr el dominio de esta definición.

Idea intuitiva de límite de una función

Consideremos la función $f(x) = 5x$.

Supongamos que en este caso $x_0 = 7$ y, por tanto, $L = f(x_0) = 35$. Sabemos que $f(x)$ se aproxima a $35$ mientras más cerca estemos de $7$.

¿Podemos encontrar un valor de $x$ lo suficientemente cercano a $7$, sin ser $7$, tal que $f(x)$ esté a una distancia menor de $11$ del $35$, es decir, $|f(x) – 35| < 11$?

Sí. Si consideramos $x = 5$, entonces $f(5) = 25$ y $|f(5) – 35| = |25 – 35| = 10 < 11$

¿Podemos encontrar un valor de $x$ lo suficientemente cercano a $7$, sin ser $7$, tal que $f(x)$ esté a una distancia menor de $7$ del $35$, es decir, $|f(x) – 35| < 7$?

Nuevamente la respuesta es sí, y podemos considerar $x=8$. De esta forma $|f(8) – 35| = |40 – 35| = 5 < 7$.

Hasta este momento se han encontrado valores puntuales que nos permiten aproximarnos a $35$ mediante $f$, pero para nuestro estudio requerimos más que solo un punto, buscamos más bien un intervalo de $x$, específicamente un intervalo de $x$ al rededor de $x_0$, que en este caso es $7$. A partir de ahora nos enfocaremos en encontrar dicho intervalo.

¿Qué pasa si ahora queremos encontrar un intervalo de $x$ al rededor de $7$ para tener una distancia menor a $\frac{1}{1000}$ en nuestra aproximación, es decir, $|f(x) – 35| < \frac{1}{1000}$?

Un poco menos inmediato, pero definitivamente podemos resolver el problema. Buscamos lo siguiente:

\begin{gather*}
|f(x) – 35| < \frac{1}{1000} \\
\Rightarrow |5x – 35|< \frac{1}{1000} \\
\Rightarrow |x – 7| < \frac{1}{5000} \text{, al dividir entre } 5
\end{gather*}

Lo que indica que para que $f(x)$ esté a una distancia menor $\frac{1}{1000}$ de $35$, entonces $x$ debe estar a una distancia menor de $\frac{1}{5000}$ respecto al $7$. Después de este último ejercicio, parece que podemos aproximarnos arbitrariamente a $35$ y a este valor arbitrario le llamaremos $\epsilon$, el cual puede ser cualquier número positivo. Haciendo las cuentas de forma análoga para una distancia $\epsilon > 0$, llegamos a la siguiente expresión:

$$|x – 7| < \frac{\epsilon}{5}.$$

Es decir, para aproximar arbitrariamente ($\epsilon$) $f(x)$ al valor $35$, $x$ debe estar a una distancia menor de $\frac{\epsilon}{5}$ del valor de $7$.

Generalizando un poco la idea construida a través de este ejemplo obtenemos la siguiente definición intuitiva.

Definición intuitiva. Decimos que la función $f$ se aproxima al límite $L$ cerca de $x_0$ si $f(x)$ se aproxima arbitrariamente a $L$ si $x$ está lo suficientemente de $x_0$ pero es distinto de $x_0$.

Después de esta definición intuitiva, veamos otro ejemplo y tratemos de usarla.

Consideremos ahora la función $f(x) = x^2$.

Veremos que $f(x)$ se aproxima al límite $16$ cerca de $4$. En esta ocasión queremos que $f$ esté más próximo que $\epsilon$ a $16$, es decir, queremos que

\begin{gather*}
|f(x) – 16| < \epsilon \\
|x^2 – 16| < \epsilon \\
|(x-4)(x+4)| < \epsilon \\
|x-4||x+4| < \epsilon
\end{gather*}

A diferencia del caso anterior, parece que no es tan directo llegar a nuestro objetivo, pero notemos que particularmente podemos pedir que $|x-4| < 1$, entonces

\begin{gather*}
-1< x-4 < 1 \\
\Rightarrow 3 < x < 5 \\
\Rightarrow 7 < x+4<9
\end{gather*}

En resumen, si $|x-4|<1$, entonces $|x+4| < 9$. Lo cual implica que
$$|x^2 – 16| = |x-4||x+4| < 9|x-4|$$
Si además restringimos la distancia de $x$ respecto a $4$ de tal manera que $|x-4| < \frac{\epsilon}{9}$ y retomando la expresión anterior llegamos a lo siguiente:

\begin{gather*}
|x^2 – 16| = |x-4||x+4| < 9|x-4| < 9 \cdot \frac{\epsilon}{9} = \epsilon \\
\therefore |x^2 – 16| < \epsilon
\end{gather*}

Esto siempre que $|x-4|$ sea menor que $1$ y $\frac{\epsilon}{9}$, es decir, siempre que $|x-4| < min\{1, \frac{\epsilon}{9} \}$.


De los dos ejemplos revisados en esta entrada, podemos notar que logramos que $f$ se aproxime arbitrariamente ($\epsilon$) a $L$ siempre que logremos que $x$ esté lo suficientemente cerca de $x_0$ y para lograr esto último acotamos $x-x_0$ en términos de un valor positivo que depende de $\epsilon$ (para el primer ejemplo fue $\frac{\epsilon}{5}$ y para el segundo $min\{1, \frac{\epsilon}{9} \}$), vale la pena entonces darle un nombre a este valor positivo: $\delta$.

Refraseando: Logramos que $f$ se aproxime arbitrariamente ($\epsilon$) a $L$ siempre que logremos que $x$ esté lo suficientemente cerca ($\delta$) de $x_0$.

Este último refraseo nos da un indicio muy importante, para probar que $f$ se aproxima arbitrariamente a $L$ en $x_0$, habrá que dar un valor arbitrario positivo $\epsilon > 0$ para el cual necesitaremos encontrar otro valor positivo $\delta > 0$ que acote a $x$ al rededor de $x_0$, es decir, $|x-x_0|<\delta$ y que si $x$ cumple tal condición, entonces también se tenga que $|f(x)-L| < \epsilon$. Adicionalmente pedíamos que $x \neq x_0$, tal condición puede ser compactada de la siguiente forma $0 < |x-x_0| < \delta$, pues que la distancia entre $x$ y $x_0$ sea mayor que cero implica directamente que son distintos.

Antes de finalizar con esta entrada es conveniente aclarar que no siempre tendremos funciones tan amigables en las cuales podamos evaluar directamente el valor de $x_0$ en $f$ para encontrar $L$ e incluso habrá ocasiones en las cuales no nos podamos aproximar de la manera en la que lo hicimos en estos ejemplos, pero por ahora no daremos muchos detalles extra al respecto, será tema para entradas posteriores.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

Para corroborar que la idea intuitiva de límite de una función se ha comprendido, se queda como ejercicio realizar un análisis similar al expuesto en esta entrada. Consideremos la función $f(x) = \frac{1}{x}$ definida para todo $x \neq 0$. En este caso, tomaremos $x_0=1$ y $L = f(x_0) = \frac{1}{1} =1$.

  • Grafica $f(x)$ para $x >0$.
  • Encuentra un valor de $x$ tal que $|f(x)-1| < \frac{1}{2}$.
  • Encuentra un valor de $x$ tal que $|f(x)-1| < \frac{1}{10}$.
  • Encuentra un intervalo de $x$ al rededor de $x_0 = 1$ tal que $|f(x)-1| < \frac{1}{100}$.
  • Encuentra un intervalo de $x$ al rededor de $x_0 = 1$ tal que $|f(x)-1| < \epsilon$, con $\epsilon > 0$.

Más adelante…

En la siguiente entrada daremos la definición formal de límite de una función y veremos varios ejemplos de funciones cuyo límite existe. Una vez dominemos la definición podremos incursionar en varias de sus propiedades y podremos tomar ventaja de estos conocimientos para tener una mayor comprensión sobre el comportamiento de diversas funciones de interés.

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