Introducción

Ya hablamos de conjuntos generadores y de independencia lineal. Además, ya platicamos también del lema de intercambio de Steinitz. Con estas herramientas, tenemos todo a nuestra disposición para desarrollar la teoría de dimensión de espacios vectoriales.

Para espacios vectoriales en general, esto puede no resultar tan sencillo. Por esta razón, para este tema nos enfocaremos en el caso en el que la dimensión es finita. Sin embargo, también veremos ejemplos de espacios que no son así, y hablaremos un poco de cómo son.

Espacios de dimensión finita

Definición. Se dice que un espacio vectorial es de dimensión finita si tiene un conjunto generador con una cantidad finita de elementos.

Otra forma de interpretar la definición anterior es la siguiente:
$V$ es un espacio vectorial de dimensión finita si existe una familia finita de vectores $v_1,v_2,\dots ,v_n\in V$ tal que todos los vectores en $V$ se pueden expresar como combinación lineal de dicha familia. Por ejemplo, los espacios $F^n,M_{m,n}(F),$ y ${\mathbb{R}}_n[x]$ son de dimensión finita. Sin embargo, no todos los espacios vectoriales son de dimensión finita, de hecho la mayoría no lo son.

Problema. Demuestra que el espacio vectorial $V$ de todos los polinomios con coeficientes reales no es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ de dimensión finita.

Demostración. Supongamos que $V$ tiene un conjunto generador finito, entonces existen polinomios $p_1,p_2,\dots ,p_n\in V$ tales que $V=\text{span}(p_1,p_2,\dots ,p_n)$. Sea $d=max\{deg(p_1),\dots ,deg(p_n)\}$. Como todos los $p_i$ tienen grado a lo más $d$, entonces cualquier combinación lineal de $p_1,p_2,\dots ,p_n$ también tiene grado a lo más $d$. Se sigue que todo vector en $V$ tiene grado a lo más $d$, pero eso es imposible, pues $deg(x^{d+1})=d+1>d$. Por lo tanto $V$ no es de dimensión finita.

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Nos gustaría definir la dimensión de un espacio vectorial. Para ilustrar esto es bueno pensar primero en ${\mathbb{R}}^n$ para distintos valores de $n$. Una linea (digamos $\mathbb{R}$) debería tener dimensión $1$, un plano (digamos ${\mathbb{R}}^2$) debería tener dimensión 2, y en general ${\mathbb{R}}^n$ debería tener dimensión $n$.

Antes de profundizar más en esto, es conveniente mencionar algunas definiciones y problemas prácticos para generar una mejor intuición sobre el rumbo que estamos a punto de tomar.

Definición. Una base de un espacio vectorial $V$ es un subconjunto $B$ de $V$ tal que $B$ es linealmente independiente y generador.

Ejemplos.

• El conjunto $B=\{e_1,\dots ,e_n\}$ de vectores canónicos en ${\mathbb{F}}^n$ es una base. Esto se puede verificar con lo que hicimos al inicio del curso, cuando mostramos que cualquier vector $v$ en ${\mathbb{F}}^n$ se puede escribir de manera única como $v=x_1{e}_1+\dots +x_n{e}_n$ con $x_1,\dots ,x_n$ escalares. Como existe al menos una forma, entonces $\text{span}(B)=F^n$. Como es única, en particular la única forma de escribir al vector $0$ es si $x_1=\dots =x_n=0$. Esto muestra que $B$ es generador y linealmente independiente.
• El conjunto $B=\{E_{ij}\}$ de matrices canónicas en $M_{m,n}(F)$ es una base.
• El conjunto $1,x,\dots ,x^n$ es una base de ${\mathbb{R}}_n[x]$.

Encontrar bases de subespacios

Como los subespacios de espacios vectoriales también son espacios vectoriales, entonces también tiene sentido hablar de si un conjunto de vectores es base para un subespacio. Veamos ahora varios problemas para entender mejor esto.

Problema 1. Dada la matriz $A\in M_2(\mathbb{R})$
$$\begin{array}{r}A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)\end{array}$$
encuentra una base para el subespacio $U$ de $M_2(\mathbb{R})$ definido por
$$\begin{array}{r}U=\{X\in M_2(\mathbb{R}):XA=AX\}.\end{array}$$

Solución. Considera la matriz $X=\left(\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ a_3& a_4\end{array}\right)$. Entonces $X\in U$ si y sólo si $XA=AX$, lo anterior lo escribimos como
$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cc}2a_1& 3a_2\\ 2a_3& 3a_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2a_1& 2a_2\\ 3a_3& 3a_4\end{array}\right).\end{array}$$
De la igualdad anterior obtenemos que $a_2=a_3=0$. Por lo tanto
$$\begin{array}{r}U=\{\left(\begin{array}{cc}{a}_1& 0\\ 0& a_4\end{array}\right):a_1,a_4\in \mathbb{R}\}.\end{array}$$

Este es un primer paso, pues nos permite poner al subespacio $U$ en una forma en la que es más fácil de entender. Ahora es más fácil encontrar una base para $U$. Proponemos al siguiente conjunto de dos matrices:
$$\begin{array}{r}B=\{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\}.\end{array}$$

Por un lado, este es un conjunto generador para $U$, pues cualquier elemento de $U$ se puede escribir como combinación lineal de elementos en $B$ como sigue: $$\left(\begin{array}{cc}{a}_1& 0\\ 0& a_4\end{array}\right)=a_1\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)+a_4\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$$

Por otro lado, $B$ es un conjunto linealmente independiente pues si $a$ y $b$ son escalares que tan una combinación lineal igual a cero entonces tendríamos $$\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right).$$

Igualando la primera y última matriz entrada a entrada, tenemos que $a=b=0$.

$\mathrm{△}$

Es importante que revises el problema anterior con profundidad, pues da una idea de cómo encontrar una base $B$ de un subespacio $U$ de un espacio vectorial $V$. Una receta que funciona en algunos casos es la siguiente:

• Entender bien el subespacio $U$ del que hay que dar una base.
• Expresar a $U$ en términos simples.
• Ver cómo son los vectores de $U$, y de ahí proponer una base $B$. Para esta parte hay que jugar un poco con conjuntos de vectores, para ver si son suficientes para generar y no son demasiados como para ya no ser linealmente independientes.
• Mostrar que $B$ genera a $U$.
• Mostrar que $B$ es linealmente independiente en $V$.

Veamos más ejemplos.

Problema 2. Determina una base para el subespacio $U$ de ${\mathbb{R}}^4$ dado por
$$\begin{array}{r}U=\{(a,b,c,d)\in {\mathbb{R}}^4:a+b=0,c=2d\}.\end{array}$$

Solución. Como $b=-a$ y $c=2d$, entonces
$$\begin{array}{r}U=\{(a,-a,2d,d)\in {\mathbb{R}}^4:a,d\in \mathbb{R}\}=\{a{v}_1+d{v}_2|a,d\in \mathbb{R}\},\end{array}$$
donde $v_1=(1,-1,0,0)$ y $v_2=(0,0,2,1)$. Por lo tanto $v_1,v_2$ generan a $U$. También son linealmente independientes, pues la relación $a{v}_1+d{v}_2=0$ es equivalente a $(a,-a,2d,d)=(0,0,0,0)$ e implica $a=d=0$.Se sigue que $\{v_1,v_2\}$ es una base para $U$.

$\mathrm{△}$

Problema 3. Considera los subespacios $U,V$ de ${\mathbb{R}}^4$ definidos por
$$\begin{array}{r}U=\{(x,y,z,w)\in {\mathbb{R}}^4:y+z+w=0\}\end{array}$$
y
$$\begin{array}{r}V=\{(x,y,z,w)\in {\mathbb{R}}^4:x=-y,z=2w\}.\end{array}$$
Encuentra una base para cada uno de los subespacios $U,V$ y $U\cap V$ de ${\mathbb{R}}^4$.

Solución. Expresando a $w$ en términos de $y$ y $z$, obtenemos
$$\begin{array}{rl}U& =\{(x,y,z,-y-z)|y,z\in \mathbb{R}\}\\ & =\{x{u}_1+y{u}_2+z{u}_3|x,y,z\in \mathbb{R}\},\end{array}$$
donde $u_1=(1,0,0,0),u_2=(0,1,0,-1)$ y $u_3=(0,0,1,-1)$.

Veamos si $u_1,u_2,u_3$ son linealmente independientes. La igualdad $x{u}_1+y{u}_2+z{u}_3=0$ es equivalente a $(x,y,z,-y-z)=(0,0,0,0)$ e implica $x=y=z=0$. Por lo tanto, los vectores $u_1,u_2,u_3$ son linealmente independientes y forman una base de $U$.

Ahora, para $V$. Es fácil ver que
$$\begin{array}{rl}V& =\{(-y,y,2w,w)|y,w\in \mathbb{R}\}\\ & =\{y{v}_1+w{v}_2|y,w\in \mathbb{R}\},\end{array}$$
donde $v_1=(-1,1,0,0)$ y $v_2=(0,0,2,1)$.

Nuevamente, $v_1,v_2$ son linealmente independientes, pues la relación $y{v}_1+w{v}_2=0$ es equivalente a $(-y,y,2w,w)=(0,0,0,0)$ e implica $y=w=0$. Por lo tanto $v_1,v_2$ forman una base de $V$.

Finalmente, el vector $(x,y,z,w)\in {\mathbb{R}}^4$ pertenece a $U\cap V$ si y sólo si
$$\begin{array}{r}x=-y,z=2w,y+z+w=0.\end{array}$$
Se sigue que $x=3w,z=2w$ y $y=-3w$, o bien
$$\begin{array}{r}(x,y,z,w)=(3w,-3w,2w,w)=w(3,-3,2,1).\end{array}$$
Por lo tanto $\{(3,-3,2,1)\}$ es una base de $U\cap V$.

$\mathrm{△}$

Problema 4. Sea $V$ el espacio de funciones $f:\mathbb{R}⟶\mathbb{R}$ generado por las funciones en $B=\{1,x\mapsto \sin (2x),x\mapsto \cos (2x)\}$.

a) Demuestra que $B$ es una base de $V$.
b) Demuestra que $x\mapsto {\sin }^2(x)$ es una función en $V$ y exprésala como combinación lineal de los elementos de $B$.

Solución. a) . Como $V$ es el generado de $B$, por definición $B$ es generador. Así, basta demostrar que los vectores en $B$ son linealmente independientes. En otras palabras, queremos ver que si $a,b,c$ son números reales tales que
$$\begin{array}{r}a+b\sin (2x)+c\cos (2x)=0\end{array}$$
para todo $x\in \mathbb{R}$, entonces $a=b=c=0$.

Tomando $x=0$ se obtiene que $a+c=0$. Si tomamos $x=\frac{\pi }{2}$ obtenemos $a-c=0$. Por lo tanto $a=c=0$. Finalmente, si tomamos $x=\frac{\pi }{4}$ obtenemos $b=0$.

b) Para cada $x\in \mathbb{R}$ se tiene
$$\begin{array}{rl}\cos (2x)& =2{\cos }^2(x)-1\\ & =2(1-{\sin }^2(x))-1\\ & =1-2{\sin }^2(x),\end{array}$$
por lo tanto
$$\begin{array}{r}{\sin }^2(x)=\frac{1-\cos (2x)}{2}.\end{array}$$
Por lo tanto $x\mapsto {\sin }^2(x)$ pertence a $V$ y lo expresamos como combinación lineal de los elementos de $B$ de la siguiente manera:
$$\begin{array}{r}{\sin }^2(x)=\frac{1}{2}\cdot 1+0\cdot \sin (2x)–\frac{1}{2}\cos (2x).\end{array}$$

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Dimensión finita y bases

Ahora veamos un teorema muy importante en la teoría de la dimensión de espacios vectoriales.

Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita. Entonces
a) $V$ contiene una base con una cantidad finita de elementos.
b) Cualesquiera dos bases de $V$ tienen el mismo número de elementos (en particular, cualquier base tiene una cantidad finita de elementos).

Demostración. a) Como $V$ es de dimensión finita, entonces tiene al menos un conjunto generador finito. Sea $B$ un conjunto generador de $V$ con el menor número posible de elementos. Vamos a demostrar que $B$ es una base para $V$. $B$ ya es conjunto generador porque así lo escogimos, sólo falta probar que es linealmente independiente.

Supongamos por el contrario que $B$ no es linealmente independiente, entonces existe $v\in B$ tal que $v\in \text{span}(B\mathrm{\setminus }\{v\})$. Por lo tanto $$\text{span}(B\setminus \{v\})=\text{span}(B)=V.$$

Pero eso es imposible pues $B$ se tomó de tamaño mínimo. Por lo tanto $B$ es linealmente independiente. Se sigue el resultado deseado.

b) Sea $B$ una base con una cantidad finita de elementos, digamos $n$. Sea $B^{\prime }$ otra base de $V$. Por definición de base, $B^{\prime }$ es linealmente independiente y $B$ es un conjunto generador con $n$ elementos.

Por el lema de Steinitz, $B^{\prime }$ es finito y tiene a lo más $n$ elementos. Lo anterior nos muestra que cualquier base tiene a lo más $n$ elementos. De hecho, si $B^{\prime }$ tiene $d$ elementos, el lema de Steinitz garantiza que $n\le d$.

Ahora volvemos a aplicar el mismo argumento que antes, pero pensando a $B$ como linealmente independiente y a $B^{\prime }$ como generador. Concluimos que $k\le d$. De este modo, $k=d$ y por lo tanto toda base de $V$ tiene la misma cantidad de elementos.

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El resultado anterior justifica que la siguiente definición esté bien hecha.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita. Definimos la dimensión $dimV$ de $V$ como el número de elementos de una base de $V$.

Ejemplos y problemas de dimensión

Ejemplo 1. Considera el espacio vectorial ${\mathbb{R}}^n$ y su base canónica $B=\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$. Como $B$ es base y tiene $n$ elementos, entonces $dim({\mathbb{R}}^n)=n$.

$\mathrm{△}$

Ejemplo 2. Considera el espacio vectorial ${\mathbb{R}}_n[x]$ de polinomios con coeficientes reales y grado a lo más $n$. Una base para ${\mathbb{R}}_n[x]$ es $\{1,x,\dots ,x^n\}$, por lo tanto $dim({\mathbb{R}}_n[x])=n+1$.

$\mathrm{△}$

Ejemplo 3. Considera el espacio vectorial $M_{m,n}(\mathbb{R})$. Sea $E_{ij}\in M_{m,n}(\mathbb{R})$ la matriz cuya entrada $(i,j)$ es $1$ y el resto de sus entradas son $0$. Entonces $B=\{E_{ij}|1\le i\le m,1\le j\le n\}$ es una base para $M_{m,n}(\mathbb{R})$. Así, $\dim (M_{m,n}(\mathbb{R}))=mn$.

$\mathrm{△}$

Problema 4. Encuentra una base y la dimensión del subespacio
$$\begin{array}{r}V=\{(a,2a)|a\in \mathbb{R}\}\subset {\mathbb{R}}^2.\end{array}$$

Solución. Notemos que $V=\text{span}((1,2))$, pues $(a,2a)=a(1,2)$. Como $(1,2)\ne (0,0)$, entonces $B=\{(1,2)\}$ es una base de $V$. Por lo tanto $\dim (V)=1$.

$\mathrm{△}$

Un lema útil para demostrar que algo es base

Para finalizar esta entrada demostraremos otro teorema muy importante en la teoría de la dimensión de espacios vectoriales. En este resultado usamos de nuevo de manera repetida el lema de intercambio de Steinitz.

Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$. Entonces
a) Cualquier conjunto linealmente independiente de vectores de $V$ tiene a lo más $n$ elementos.
b) Cualquier conjunto generador de $V$ tiene al menos $n$ elementos.
c) Si $S$ es un subconjunto de $V$ con $n$ elementos, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. $S$ es linealmente independiente.
2. $S$ es un conjunto generador.
3. $S$ es una base de $V$.

Demostración. Sea $V$ una base de $B$. Por definición $B$ tiene $n$ elementos.

a) Como $B$ es un conjunto generador con $n$ elementos, por el lema de intercambio se tiene que cualquier conjunto linealmente independiente tiene a lo más $n$ elementos.

b) Sea $S$ un conjunto generador de $V$ y supongamos que $S$ tiene $d<n$ elementos. Como $B$ es linealmente independiente, entonces por el lema de intercambio se tiene que $n\le d$, lo cual sería una contradicción.

c) Es claro que (3) implica (1) y (2), por lo que solamente probaremos que (1) implica (3) y que (2) implica (3).

Supongamos que $S$ es linealmente independiente, entonces por el lema de intercambio de Steintz podemos agregar $n-n=0$ vectores a $S$ de manera que el nuevo conjunto es generador. Claramente el nuevo conjunto es $S$ mismo, pues no le agregamos nada. Por lo tanto $S$ es un conjunto generador y como estamos bajo el supuesto de que $S$ es linealmente independiente, entonces $S$ es una base de $V$.

Ahora supongamos que $S$ es un conjunto generador que no es linealmente independiente. Entonces existe $v\in S$ tal que $v\in \text{span}(S\setminus \{v\})$. Se sigue que $S\setminus \{v\}$ es un conjunto generador de $n-1$ elementos (al generar a $v$, genera todo lo que generaba $S$). Pero esto contradice el inciso b). Por lo tanto $S$ es linealmente independiente y por lo tanto es una base de $V$.

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El resultado anterior nos permite pensar a las bases de un espacio vectorial como los conjuntos linealmente independientes «más grandes», o bien como los conjuntos generadores «más chicos». En la siguiente entrada veremos ejemplos prácticos del uso del teorema anterior.

Más adelante…

A partir de la definición de dimensión, más adelante construiremos la noción de rango, que nos permite decir «qué tanta información guarda una matriz». La dimensión ayuda también a comprender cuándo hay cierto tipo de transformaciones lineales entre espacios vectoriales. Una aplicación más de la dimensión es que en muchos casos queremos probar afirmaciones para todos los espacios vectoriales de dimensión finita. Como la dimensión nos permite asociar a cada uno de estos un entero, muchas de estas demostraciones se pueden hacer por inducción.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

• En todos los problemas en donde se hable de subespacios, verifica que en efecto los conjuntos dados son subespacios del espacio vectorial mencionado.
• En todos los ejemplos y problemas en los que se menciona que algo es base, verifica que en efecto se tiene un conjunto que es generador y linealmente independiente.
• Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ y de dimensión $n$. Demuestra que si ves a $V$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$, entonces $\dim (V)=2n$.
• Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita y $W$ un subespacio de $V$. Demuestra que $W$ es de dimensión finita, que $\dim (W)\le \dim (V)$ y que la igualdad se da si y sólo si $W=V$.
• Sean $W_1,W_2$ subespacios de un espacio vectorial $V$ con dimensiones $m$ y $n$, respectivamente, con $m\ge n$.
  a) Demuestra que $\dim (W_1\cap W_2)\le n$.
  b) Demuestra que $\dim (W_1+W_2)\le m+n$.
• Encuentra la dimensión del subespacio de matrices en $M_n(\mathbb{R})$ que son simétricas.

Entradas relacionadas

• Ir a Álgebra Lineal I
• Entrada anterior del curso: El lema del intercambio de Steinitz
• Siguiente entrada del curso: Problemas de bases y dimensión de espacios vectoriales

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»