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Álgebra Lineal I: Problemas de bases ortogonales, Fourier y proceso de Gram-Schmidt

Por Blanca Radillo

Introducción

Durante las últimas clases hemos visto problemas y teoremas que nos demuestran que las bases ortogonales son extremadamente útiles en la práctica, ya que podemos calcular fácilmente varias propiedades una vez que tengamos a nuestra disposición una base ortogonal del espacio que nos interesa. Veamos más problemas de bases ortogonales y otros resultados que nos permitirán reforzar estas ideas.

Problemas resueltos de bases ortogonales y proyecciones

Para continuar con este tema, veremos que las bases ortogonales nos permiten encontrar de manera sencilla la proyección de un vector sobre un subespacio. Primero, recordemos que si $V = W \oplus W_{2}$ , para todo $v \in V$ podemos definir su proyección en $W$ , que denotamos $π_{W} (v)$ , como el único elemento en $W$ tal que $v - π_{W} (v) \in W_{2}$ .

Debido a las discusiones sobre bases ortogonales, no es difícil ver que si $⟨ w, u ⟩ = 0$ para todo $w \in W$ , entonces $u \in W_{2}$ . Como consecuencia de esto, tenemos el siguiente resultado:

Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $R$ con producto interior $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ , y sea $W$ un subespacio de $V$ de dimensión finita. Sea $v_{1}, \dots, v_{n}$ una base ortogonal de $W$ . Entonces para todo $v \in V$ tenemos que

$π_{W} (v) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{⟨ v, v_{i} ⟩}{{‖ v_{i} ‖}^{2}} v_{i} .$

Demostración. Escribimos $v$ como $v = π_{W} (v) + u$ con $u \in W_{2}$ . Por la observación previa al teorema, $⟨ u, v_{i} ⟩ = 0$ para todo $i$ . Además existen $a_{1}, \dots, a_{n}$ tales que $π_{W} (v) = a_{1} v_{1} + \dots + a_{n} v_{n}$ . Entonces

$\begin{aligned} 0 & = ⟨ u, v_{i} ⟩ = ⟨ v, v_{i} ⟩ - ⟨ π_{W} (v), v_{i} ⟩ \\ = ⟨ v, v_{i} ⟩ - \sum_{j = 1}^{n} a_{j} ⟨ v_{j}, v_{i} ⟩ \\ = ⟨ v, v_{i} ⟩ - a_{i} ⟨ v_{i}, v_{i} ⟩, \end{aligned}$

porque $v_{1}, \dots, v_{n}$ es una base ortogonal. Por lo tanto, para todo $i$ , obtenemos

$a_{i} = \frac{⟨ v, v_{i} ⟩}{{‖ v_{i} ‖}^{2}} .$

Distancia de un vector a un subespacio y desigualdad de Bessel

En la clase de ayer, vimos la definición de distancia entre dos vectores. También se puede definir la distancia entre un vector y un subconjunto como la distancia entre el vector y el vector «más cercano» del subconjunto, en símbolos:

$d (v, W) = min_{x \in W} ‖ x - v ‖ .$

Dado que $x \in W$ , $x - π_{W} (v) \in W$ , y por definición de proyección $v - π_{W} (v) \in W_{2}$ , entonces

$\begin{aligned} {‖ x - v ‖}^{2} & = {‖ (x - π_{W} (v)) + (π_{W} (v) - v) ‖}^{2} \\ = {‖ x - π_{W} (v) ‖}^{2} + 2 ⟨ x - π_{W} (v), π_{W} (v) - v ⟩ + {‖ π_{W} (v) - v ‖}^{2} \\ = {‖ x - π_{W} (v) ‖}^{2} + {‖ π_{W} (v) - v ‖}^{2} \\ \geq {‖ π_{W} (v) - v ‖}^{2} . \end{aligned}$

Y dado que la proyección pertenece a $W$ , la desigualdad anterior muestra que la proyección es precisamente el vector en $W$ con el que $v$ alcanza la distancia a $W$ . En conclusión, $d (v, W) = ‖ π_{W} (v) - v ‖ .$

Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $R$ con producto interior $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ , y sea $W$ un subespacio de $V$ de dimensión finita. Sea $v_{1}, \dots, v_{n}$ una base ortonormal de $W$ . Entonces para todo $v \in V$ tenemos que

$π_{W} (v) = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ v, v_{i} ⟩ v_{i},$

$\begin{aligned} d (v, W)^{2} & = {‖ v - \sum_{i = 1}^{n} ⟨ v, v_{i} ⟩ v_{i} ‖}^{2} \\ = {‖ v ‖}^{2} - \sum_{i = 1}^{n} ⟨ v, v_{i} ⟩^{2} . \end{aligned}$

En particular

$\sum_{i = 1}^{n} ⟨ v, v_{i} ⟩^{2} \leq {‖ v ‖}^{2} .$

A esta última desigualdad se le conoce como desigualdad de Bessel.

Demostración. Por el teorema anterior y dado que $v_{1}, \dots, v_{n}$ es una base ortonormal, obtenemos la primera ecuación. Ahora, por Pitágoras,

$d (v, W)^{2} = {‖ v - π_{W} (v) ‖}^{2} = {‖ v ‖}^{2} - {‖ π_{W} (v) ‖}^{2} .$

Por otro lado, tenemos que

$\begin{aligned} {‖ π_{W} (v) ‖}^{2} & = {‖ \sum_{i = 1}^{n} ⟨ v, v_{i} ⟩ v_{i} ‖}^{2} \\ = \sum_{i, j = 1}^{n} ⟨ ⟨ v, v_{i} ⟩ v_{i}, ⟨ v, v_{j} ⟩ v_{j} ⟩ \\ = \sum_{i, j = 1}^{n} ⟨ v, v_{i} ⟩ ⟨ v, v_{j} ⟩ ⟨ v_{i}, v_{j} ⟩ \\ = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ v, v_{i} ⟩^{2} . \end{aligned}$

Por lo tanto, se cumple la igualdad de la distancia. Finalmente como $d (v, W)^{2} \geq 0$ , inmediatamente tenemos la desigualdad de Bessel.

Veamos ahora dos problemas más en los que usamos la teoría de bases ortonormales.

Aplicación del proceso de Gram-Schmidt

Primero, veremos un ejemplo más del uso del proceso de Gram-Schmidt.

Problema. Consideremos $V$ como el espacio vectorial de polinomios en $[0, 1]$ de grado a lo más $2$ , con producto interior definido por $⟨ p, q ⟩ = \int_{0}^{1} x p (x) q (x) d x .$

Aplica el algoritmo de Gram-Schmidt a los vectores $1, x, x^{2}$ .

Solución. Es fácil ver que ese sí es un producto interior en $V$ (tarea moral). Nombremos $v_{1} = 1, v_{2} = x, v_{3} = x^{2}$ . Entonces

$e_{1} = \frac{v_{1}}{‖ v_{1} ‖} = \sqrt{2} v_{1} = \sqrt{2},$

ya que ${‖ v_{1} ‖}^{2} = \int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{2} .$

Sea $z_{2} = v_{2} - ⟨ v_{2}, e_{1} ⟩ e_{1}$ . Calculando, $⟨ v_{2}, e_{1} ⟩ = \int_{0}^{1} \sqrt{2} x^{2} d x = \frac{\sqrt{2}}{3} .$ Entonces $z_{2} = x - \frac{\sqrt{2}}{3} \sqrt{2} = x - \frac{2}{3} .$ Esto implica que

$e_{2} = \frac{z_{2}}{‖ z_{2} ‖} = 6 (x - \frac{2}{3}) = 6 x - 4.$

Finalmente, sea $z_{3} = v_{3} - ⟨ v_{3}, e_{1} ⟩ e_{1} - ⟨ v_{3}, e_{2} ⟩ e_{2}$ . Haciendo los cálculos obtenemos que

$z_{3} = x^{2} - (\frac{\sqrt{2}}{4}) \sqrt{2} - (\frac{1}{5}) (6 x - 4)$

$z_{3} = x^{2} - \frac{6}{5} x + \frac{3}{10} .$

Por lo tanto

$e_{3} = \frac{z_{3}}{‖ z_{3} ‖} = 10 \sqrt{6} (x^{2} - \frac{6}{5} x + \frac{3}{10}) .$

$△$

El teorema de Plancherel y una fórmula con $π$

Finalmente, en este ejemplo, usaremos técnicas de la descomposición de Fourier para solucionar un problema bonito de series.

Problema. Consideremos la función $2 π -$ periódica $f : R \to R$ definida como $f (0) = f (π) = 0,$ $f (x) = - 1 - \frac{x}{π}$ en el intervalo $(- π, 0)$ , y $f (x) = 1 - \frac{x}{π}$ en el intervalo $(0, π)$ .

Problemas de bases ortogonales: Aplicando el teorema de Plancherel para una fórmula que involucra a pi. — Gráfica de la función $f$ .

Usa el teorema de Plancherel para deducir las identidades de Euler

$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} & = \frac{π^{2}}{6}, \\ \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 n + 1)^{2}} & = \frac{π^{2}}{8} . \end{aligned}$

Solución. Notemos que no sólo es $2 π -$ periódica, también es una función impar, es decir, $f (- x) = - f (x)$ . Por lo visto en la clase del miércoles pasado tenemos que calcular

$a_{0} (f) = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) d x,$

$a_{k} (f) = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) c o s (k x) d x,$

$b_{k} (f) = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) s e n (k x) d x .$

Para no hacer más larga esta entrada, la obtención de los coeficientes de Fourier se los dejaremos como un buen ejercicio de cálculo. Para hacer las integrales hay que separar la integral en cada uno de los intervalos $[- π, 0]$ y $[0, π]$ y en cada uno de ellos usar integración por partes.

El resultado es que para todo $k \geq 1$ , $a_{0} = 0, a_{k} = 0, b_{k} = \frac{2}{k π} .$

Entonces por el teorema de Plancherel,

$\begin{aligned} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{4}{k^{2} π^{2}} & = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f^{2} (x) d x \\ = \frac{1}{π} (\int_{- π}^{0} {(1 + \frac{x}{π})}^{2} d x + \int_{0}^{π} {(1 - \frac{x}{π})}^{2} d x) \\ = \frac{2}{3}, \end{aligned}$

teniendo que $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} = \frac{2}{3} \frac{π^{2}}{4} = \frac{π^{2}}{6} .$

Ahora para obtener la otra identidad de Euler, notemos que

$\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 n + 1)^{2}} & = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 n)^{2}} \\ = \frac{π^{2}}{6} - \frac{π^{2}}{4 \cdot 6} = \frac{π^{2}}{8} . \end{aligned}$

$△$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Bases ortogonales

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

4 respuestas

Introducción

Como ya discutimos en las entradas anteriores, si tenemos un espacio vectorial $V$ con producto interior, entonces podemos definir varias nociones geométricas en $V$ , como ángulos, norma y distancia. Ahora vamos a definir una noción muy útil en álgebra lineal: la de bases ortogonales. Para ello, combinaremos las nociones de bases y producto interior.

Las bases ortogonales no sólo tienen aplicaciones en álgebra lineal. También son el punto de partida de muchos conceptos matemáticos avanzados. Un primer ejemplo es el análisis de Fourier, que estudia cómo aproximar funciones mediante funciones trigonométricas y que tiene aplicaciones en el mundo real en análisis de señales. Otro ejemplo es la vasta teoría de polinomios ortogonales, con aplicaciones en el mundo real en aproximación e integración numérica.

En estas entradas de bases ortogonales tomaremos espacios vectoriales sobre $R$ con un producto interior $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ .

Conjuntos ortogonales y ortonormales

Comenzamos con la siguiente definición. Recuerda que $V$ es un espacio vectorial sobre $R$ con producto interior, así que induce una norma $‖ \cdot ‖$ .

Definición. Sea $S$ un conjunto de vectores en $V$ . Decimos que $S$ es

Ortogonal si cualquier par de vectores distintos de $S$ es ortogonal, es decir, si para todo $v, w$ en $S$ , con $v \neq w$ se tiene que $⟨ v, w ⟩ = 0.$
Ortonormal si es ortogonal, y además todo vector de $S$ tiene norma $1$ .

En otras palabras, $S$ es ortonormal si para todo $v$ en $S$ se tiene $⟨ v, v ⟩ = 1$ y para $v$ y $w$ en $S$ distintos se tiene $⟨ v, w ⟩ = 0$ .

Ejemplo. Si tomamos a $R^{n}$ con el producto punto, entonces la base canónica es un conjunto ortonormal pues, en efecto, $e_{i} \cdot e_{i} = 1$ y para $i \neq j$ se tiene $e_{i} \cdot e_{j} = 0$ .

Todo conjunto de un sólo elemento es ortogonal, pues no hay nada que probar. Otro conjunto ortonormal en $R^{2}$ es el conjunto que sólo tiene al vector $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ , pues este es un vector de norma $1$ .

Los vectores $(1, 1, 0)$ , $(1, - 1, 0)$ y $(0, 0, 1)$ forman otro conjunto ortogonal en $R^{3}$ , pues en efecto
$\begin{aligned} (1, 1, 0) \cdot (1, - 1, 0) & = 1 - 1 = 0 \\ (1, - 1, 0) \cdot (0, 0, 1) & = 0 \\ (0, 0, 1) \cdot (1, 1, 0) & = 0. \end{aligned}$

Sin embargo, este no es un conjunto ortonormal, pues la norma de $(1, 1, 0)$ es $\sqrt{2} \neq 1$ . Si normalizamos a cada vector, es decir, si lo dividimos entre su norma, entonces obtenemos los vectores ortonormales $(1 / \sqrt{2}, 1 / \sqrt{2}, 0)$ , $(1 / \sqrt{2}, - 1 / \sqrt{2}, 0)$ y $(0, 0, 1)$ .

$△$

Propiedades de conjuntos ortogonales y ortonormales

Todo conjunto ortogonal de vectores no nulos se puede normalizar como en el ejemplo de la sección anterior para obtener un conjunto ortonormal. Es decir, si $S$ es un conjunto de vectores distintos de $0$ , entonces $S^{'} = {\frac{v}{‖ v ‖} : v \in S}$ es un conjunto ortonormal.

Una propiedad fundamental de los conjuntos ortonormales de vectores es que son linealmente independientes. Se puede probar algo un poco más general.

Proposición. Si $S$ es un conjunto ortogonal de vectores no nulos, entonces los elementos de $V$ son linealmente independientes.

Demostración. Tomemos $v_{1}, \dots, v_{n}$ elementos de $S$ y supongamos que existen $α_{1}, \dots, α_{n}$ escalares tales que $v := \sum_{i = 1}^{n} α_{i} v_{i} = 0.$

Tomemos un índice $j$ en $1, \dots, n$ y hagamos el producto interior $⟨ v, v_{j} ⟩$ . Por un lado, como $v = 0$ , este produto es $0$ . Por otro lado, por linealidad es $\sum_{i = 1}^{n} α_{i} ⟨ v_{i}, v_{j} ⟩ .$

Cuando $i \neq j$ , el sumando correspondiente es igual a $0$ . De este modo, el único sumando no cero es cuando $i = j$ , el cual es $α_{j} ⟨ v_{j}, v_{j} ⟩$ . De estos argumentos, deducimos que $α_{j} ⟨ v_{j}, v_{j} ⟩ = 0.$ Como los vectores son no nulos, se tiene que $⟨ v_{j}, v_{j} ⟩ \neq 0$ . Así, $α_{j} = 0$ para todo $j = 1, \dots, n$ , lo cual muestra que los vectores son linealmente independientes.

Como cada elemento de un conjunto ortonormal tiene norma $1$ , entonces no puede ser nulo, así que como corolario de la proposición anterior, todo conjunto ortonormal es linealmente independiente. Otro corolario es el siguiente.

Corolario. En un espacio Euclideano de dimensión $d$ , los conjuntos ortogonales sin vectores nulos tienen a lo más $d$ elementos.

Bases ortogonales y ortonormales

Cuando una base de un espacio vectorial es ortogonal (o bien, ortonormal), pasan varias cosas buenas. Esto amerita una definición por separado.

Definición. Sea $S$ un conjunto de vectores en $V$ . Decimos que $S$ es

Una base ortogonal si $S$ es una base de $V$ y es un conjunto ortogonal.
Una base ortonormal si $S$ una base de $V$ y es un conjunto ortonormal.

Ejemplo. En $R^{n}$ la base canónica es una base ortonormal.

En $R^{2}$ el conjunto $S = {(2, 3), (9, - 6)}$ es un conjunto ortogonal. Además, se puede verificar fácilmente que son dos vectores linealmente independientes. De este modo, $S$ es una base ortogonal.

Sin embargo, $S$ no es una base ortonormal pues el primero de ellos tiene norma $\sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13}$ . Si quisiéramos convertir a $S$ en una base ortonormal, podemos normalizar a cada uno de sus elementos.

$△$

En la sección anterior vimos que los conjuntos ortonormales son linealmente independientes. Otro corolario de este resultado es lo siguiente.

Corolario. En un espacio Euclideano de dimensión $n$ , un conjunto ortonormal de $n$ vectores es una base ortonormal.

La importancia de las bases ortogonales yace en que dada una base ortonormal $B$ y un vector $v$ , podemos encontrar varias propiedades de $v$ en términos de $B$ fácilmente. Por ejemplo, veremos más adelante que:

Las coordenadas de $v$ con respecto a la base $B$ son sencillas.
Hay una fórmula simple para la norma de $v$ en términos de sus coordenadas en la base $B .$
Si $B$ es una base de un subespacio $W$ de $V$ , entonces es fácil encontrar la distancia de $v$ a $W .$

Mejor aún, las bases ortonormales siempre existen.

Teorema. Todo espacio Euclideano tiene una base ortonormal.

Es decir, sin importar qué espacio vectorial real de dimensión finita tomemos, y sin importar qué producto punto le pongamos, podemos dar una base ortogonal. De hecho, veremos un resultado un poco más fuerte, que nos dará un procedimiento para encontrar dicha base, incluso imponiendo restricciones adicionales.

Ejemplo de bases ortogonales en polinomios

Ejemplo. Tomemos $R_{n} [x]$ el espacio de polinomios de grado a lo más $n$ con coeficientes reales. Además, tomemos números reales distintos $x_{0}, \dots, x_{n}$ . A partir de estos reales podemos definir la operación $⟨ P, Q ⟩ = \sum_{j = 0}^{n} P (x_{j}) Q (x_{j}),$ la cual es claramente bilineal y simétrica.

Tenemos que $⟨ P, P ⟩$ es una suma de cuadrados, y por lo tanto es no negativa. Además, si $⟨ P, P ⟩ = 0$ , es porque $\sum_{j = 0}^{n} P (x_{j})^{2} = 0,$ y como estamos trabajando en $R$ esto implica que cada sumando debe ser cero. Pero las igualdades $P (x_{0}) = \dots = P (x_{n}) = 0$ dicen que los $n + 1$ reales distintos $x_{i}$ son raíces de $P$ , y como $P$ es de grado a lo más $n$ , tenemos que $P$ es el polinomio $0$ . En resumen, $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ es un producto interior en $R_{n} [x]$ . Vamos a dar una base ortogonal con respecto a este producto interior.

Para $i = 0, \dots, n$ , consideremos los polinomios $L_{i} (x) = \prod_{0 \leq k \leq n, k \neq i} \frac{x - x_{k}}{x_{i} - x_{k}} .$ Observa que $L_{j} (x_{j}) = 1$ y si $j \neq i$ , tenemos $L_{i} (x_{j}) = 0$ . Afirmamos que $B = {L_{j} : j = 0, \dots, n + 1}$ es una base ortonormal de $R_{n} [x]$ con el producto interior que definimos. Como consiste de $n + 1$ polinomios y $\dim (R_{n} [x]) = n + 1$ , basta con que veamos que es un conjunto ortonormal.

Primero, notemos que
$\begin{array}{r} ⟨ L_{i}, L_{i} ⟩ = \sum_{j = 0}^{n} L_{i} (x_{j})^{2} = L_{i} (x_{i})^{2} = 1, \end{array}$

de modo que cada $L_{i}$ tiene norma $1$ .

Luego, notemos que si $i \neq j$ , entonces $L_{i} (x_{k}) L_{j} (x_{k}) = 0$ pues $x_{k}$ no puede ser simultáneamente $x_{i}$ y $x_{j}$ . De este modo,

$\begin{array}{r} ⟨ L_{i}, L_{j} ⟩ = \sum_{k = 0}^{n} L_{i} (x_{k}) L_{j} (x_{k}) = 0. \end{array}$

Con esto mostramos que cada par de polinomios distintos es ortogonal. Esto termina la demostración de que $B$ es base ortonormal.

Ejemplo de conjuntos ortogonales en funciones periódicas

Ejemplo. Consideremos $V$ el conjunto de funciones $f : R \to R$ continuas y periódicas de periodo $2 π$ . Definimos $⟨ f, g ⟩ = \int_{- π}^{π} f (x) g (x) d x .$ Se puede mostrar que $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ así definido es un producto interior en $V$ .

Para cada entero positivo $n$ , definimos
$\begin{aligned} C_{n} (x) & = \frac{\cos (n x)}{\sqrt{π}} \\ S_{n} (x) & = \frac{\sin (n x)}{\sqrt{π}} . \end{aligned}$

Además, definimos $C_{0} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}}$ . Afirmamos que $F := {C_{n} : n \geq 0} \cup {S_{n} : n \geq 1}$ es un conjunto ortonormal de vectores. Mostremos esto.

Para empezar, notamos que $‖ C_{0} ‖^{2} = \int_{- π}^{π} \frac{1}{2 π} d x = 1.$

Luego, tenemos que para $n \geq 1$ que
$\begin{aligned} ‖ C_{n} ‖^{2} & = \int_{- π}^{π} \frac{1}{π} \cos^{2} (n x) d x \\ = \int_{- π}^{π} \frac{1 + \cos (2 n x)}{2 π} d x \\ = 1, \end{aligned}$

ya que para todo entero $m \neq 0$ se tiene que $\int_{- π}^{π} \cos (m x) d x = 0.$ De manera similar, usando la identidad $\sin^{2} (n x) = \frac{1 - \cos (n x)}{2},$ se puede ver que la norma de $S_{n}$ es $1$ .

Para ver que las parejas de elementos distintas son ortogonales, tenemos varios casos. Si tomamos $n \geq 1$ , el resultado para $⟨ C_{0}, C_{n} ⟩$ ó $⟨ C_{0}, S_{n} ⟩$ se deduce de que
$\int_{- π}^{π} \cos (m x) d x = \int_{- π}^{π} \sin (m x) d x = 0$ para todo entero $m \neq 0$ .

Si tomamos dos $C_{i}$ ’s distintos, dos $S_{i}^{'} s$ distintos o un $C_{i}$ y un $S_{i}$ , el resultado se deduce de las fórmulas «producto a suma» de las funciones trigonométricas.

Más adelante…

En esta entrada combinamos las nociones de bases y el producto interior, estudiadas en entradas anteriores, para definir a las bases ortogonales. Vimos algunas propiedades de conjuntos ortogonales y ortonormales, para extenderlos a bases ortogonales y ortonormales. Vimos unos ejemplos de bases ortogonales de los polinomios y otros ejemplos de conjuntos ortogonales en funciones periódicas.

En la siguiente entrada veremos aplicaciones de estos conceptos, culminando en una descomposición de Fourier.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Encuentra un conjunto ortogonal de vectores en $R^{4}$ tal que ninguna de las entradas de ninguno de sus vectores sea igual a $0$ .
Escribe las demostraciones de los corolarios enunciados en esta entrada.
Muestra que $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ definido en el ejemplo de funciones periódicas es un producto interior.
Termina de mostrar que la familia $F$ del ejemplo de funciones periódicas es ortonormal. Sugerencia: Usa identidades de suma y resta de ángulos para poner el producto de senos (o cosenos o mixto) como una suma de senos y/o cosenos.

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