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Geometría Moderna I: Cuadrilátero bicéntrico

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

Introducción

Decimos que un cuadrilátero convexo es bicéntrico si es circunscrito y cíclico al mismo tiempo. Ahora que hemos estudiado a los cuadriláteros cíclicos y cuadriláteros circunscritos por separado, nos podemos preguntar cuando un cuadrilátero cumple con ambas definiciones y que propiedades tiene, en esta entrada abordaremos este tema.

Dos caracterizaciones para el cuadrilátero bicéntrico

Teorema 1. Sea $A B C D$ un cuadrilátero circunscrito y sean $E$ , $F$ , $G$ y $H$ los puntos de tangencia del incírculo a los lados $A B$ , $B C$ , $C D$ y $A D$ respectivamente, entonces $A B C D$ es bicéntrico si y solo si $E G ⊥ F H$ .

Demostración. $∠ B E F$ y $∠ E F B$ son ángulos semiinscritos que abarcan el mismo arco, $\overset{⌢}{E F}$ , por lo tanto, son iguales $∠ B E F = ∠ E F B = μ$ .

De manera análoga tenemos que, $∠ D G H = ∠ G H D = ν$ .

Así que en los triángulos $△ B E F$ y $△ D H G$ se tiene $π = ∠ B + 2 μ = ∠ D + 2 ν$ por lo que
$\begin{matrix} (1) & 2 π = ∠ B + ∠ D + 2 (μ + ν) . \end{matrix}$

Ahora supongamos que $E G$ y $F H$ son perpendiculares, y sea $P = E G \cap F H$ , entonces $∠ H P E = \frac{π}{2}$ , así que en $△ H P E$ , $\frac{π}{2} = ∠ P E H + ∠ E H P$ .

Pero $∠ E H F$ y $∠ B E F$ abren el mismo arco, por lo tanto, $∠ E H F = μ$ , de manera similar $∠ G E H = ν$ , por lo tanto $μ + ν = \frac{π}{2}$ .

Sustituyendo la ultima igualdad en $(1)$ tenemos
$2 π = ∠ B + ∠ D + π$
$\Leftrightarrow ∠ B + ∠ D = π$
$\Leftrightarrow A B C D$ es cíclico.

La proposición reciproca se muestra tomando en sentido contrario la prueba.

Teorema 2. Sea $A B C D$ circunscrito, $I$ su incentro, $K$ y $J$ las intersecciones de los lados $A B$ con $D C$ y $A D$ con $B C$ respectivamente entonces $A B C D$ es bicéntrico si y solo si $I K ⊥ I J$ .

Demostración. Notemos que el incírculo de $A B C D$ es al mismo tiempo el excentro de $△ A J B$ y $△ B K C$ opuesto a los vértices $J$ y $K$ respectivamente.

Esto implica que $I J$ e $I K$ son las bisectrices internas de $∠ J$ y $∠ K$ respectivamente.

Sean $E$ , $F$ , $G$ y $H$ los puntos de contacto del incírculo con $A B$ , $B C$ , $C D$ y $D A$ respectivamente, en la prueba del teorema anterior vimos que $∠ J H F = ∠ H F J$ y $∠ E G K = ∠ K E G$ .

Por lo tanto, $△ J H F$ y $△ K E G$ son isósceles.

Entonces las bisectrices de $∠ J$ y $∠ K$ son mediatrices de $F H$ y $E G$ respectivamente.

En consecuencia, $J L ⊥ F H$ y $K M ⊥ E G$ , donde $L$ y $M$ son los puntos medios de $F H$ y $E G$ respectivamente.

De esto último se sigue que en el cuadrilátero $L P M I$ , $∠ L I M + ∠ M P L = π$ .

Por lo tanto, $I J ⊥ I K \Leftrightarrow F H ⊥ E G \Leftrightarrow A B C D$ es bicéntrico.

La última doble implicación se da por el teorema 1.

Teorema de Fuss

Teorema 3, de Fuss. En un cuadrilátero bicéntrico el circunradio $R$ , el inradio $r$ y la distancia $d$ entre el circuncentro y el incentro se relacionan mediante la siguiente expresión:
$\frac{1}{(R + d)^{2}} + \frac{1}{(R - d)^{2}} = \frac{1}{r^{2}}$ .

Demostración. Sean $A B C D$ bicéntrico, $(O, R)$ , $(I, r)$ el circuncírculo y el incírculo respectivamente, $E$ y $F$ los puntos de tangencia de los lados $A B$ y $B C$ respectivamente con $(I, r)$ .

Dado que $A B C D$ es cíclico, entonces $∠ A + ∠ C = π$ y como $I$ es la intersección de las bisectrices internas de $A B C D$ tenemos lo siguiente:

$\begin{matrix} (2) & ∠ E A I + ∠ I C F = \frac{π}{2} . \end{matrix}$

Como $△ A E I$ y $△ C F I$ son triángulos rectángulos y tienen la misma altura desde $I$ .

Al “pegar” los triángulos $△ A E I$ y $△ C F I$ por la altura formamos un triángulo rectángulo $△ A C I$ cuya área es :

$(△ A C I) = \frac{(A E + F C) r}{2} = \frac{A I \times C I}{2}$
$\Leftrightarrow (A E + F C)^{2} r^{2} = A I^{2} \times C I^{2}$ .

Podemos calcular $A C$ aplicando el teorema de Pitágoras
$A I^{2} + C I^{2} = A C^{2} = (A E + F C)^{2}$ .

De las últimas dos expresiones obtenemos $(A I^{2} + C I^{2}) r^{2} = A I^{2} \times C I^{2} \Leftrightarrow$
$\begin{matrix} (3) & \frac{1}{A I^{2}} + \frac{1}{C I^{2}} = \frac{1}{r^{2}} . \end{matrix}$

Consideremos $G$ y $H$ los puntos donde $A I$ y $C I$ intersecan a $(O, R)$ .

$∠ H A B = ∠ H C B = ∠ I C F$ pues son subtendidos por el mismo arco.

Por la ecuación $(2)$ ,
$∠ H A G = ∠ H A B + ∠ B A G = ∠ I C F + ∠ E A I = \frac{π}{2}$ ,
por lo tanto, $H G$ es diámetro.

Con el teorema de Apolonio calculamos la mediana $I O$ en $△ I H G$
$\begin{matrix} (4) & I H^{2} + I G^{2} = 2 I O^{2} + \frac{H G^{2}}{2} = 2 d^{2} + \frac{(2 R)^{2}}{2} = 2 (d^{2} + R^{2}) . \end{matrix}$

Como $A H G C$ es cíclico, entonces
$\begin{matrix} (5) & A I \times G I = H I \times C I = d^{2} - R^{2} . \end{matrix}$

Donde la última igualdad se debe a la potencia de $I$ respecto de $(O, R)$ .

De $(4)$ y $(5)$ obtenemos

$\frac{1}{A I^{2}} + \frac{1}{C I^{2}} = \frac{G I^{2}}{(R^{2} - d^{2})^{2}} + \frac{H I^{2}}{(R^{2} - d^{2})^{2}}$
$= \frac{G I^{2} + H I^{2}}{(R^{2} - d^{2})^{2}} = \frac{2 (d^{2} + R^{2})}{(R^{2} - d^{2})^{2}} = \frac{(R + d)^{2} + (R - d)^{2}}{(R^{2} - d^{2})^{2}}$
$\begin{matrix} (6) & = \frac{1}{(R + d)^{2}} + \frac{1}{(R - d)^{2}} . \end{matrix}$

De $(3)$ y $(6)$ obtenemos la relación buscada
$\frac{1}{r^{2}} = \frac{1}{(R + d)^{2}} + \frac{1}{(R - d)^{2}}$ .

Puntos colineales en el cuadrilátero bicéntrico

Teorema 4. En un cuadrilátero bicéntrico el incentro, el circuncentro y la intersección de las diagonales son colineales.

Demostración. Sean $A B C D$ bicéntrico, $I$ , $O$ , su incentro y circuncentro respectivamente y consideremos $E$ , $F$ , $G$ y $H$ las intersecciones de $A I$ , $B I$ , $C I$ y $D I$ con $(O, R)$ , el circuncírculo de $A B C D$ , respectivamente.

En $△ G D B$ la mediatriz de $B D$ pasa por $N$ el punto medio de $B D$ y $O$ , y la mediana por $G$ pasa por $G$ y $N$ .

Como $C G$ es bisectriz de $∠ D C B$ , entonces $∠ D B G = ∠ D C G = ∠ G C B = ∠ G D B$ , por tanto, $△ G B D$ es isósceles y así la mediatriz de $B D$ y la mediana por $G$ coinciden, por lo que $G$ , $N$ y $O$ son colineales, al mismo tiempo que esta recta es diámetro pues pasa por $O$ .

En la prueba del teorema de Fuss vimos que $G E$ es diámetro por lo tanto $G$ , $N$ , $O$ y $E$ son colineales además $∠ O N P = \frac{π}{2}$ donde $P$ es la intersección de las diagonales $A C$ y $B D$ .

De manera análoga $F$ , $M$ , $O$ y $H$ son colineales donde $M$ es el punto medio de $A C$ y $∠ P M O = \frac{π}{2}$ .

Se sigue que $P N O M$ es cíclico, por lo tanto
$\begin{matrix} (7) & ∠ M N P = ∠ M O P . \end{matrix}$

Por otro lado, como $D B H F$ es cíclico e $I$ es la intersección de las diagonales, por construcción, se sigue que $△ I B D \sim △ I H F$ , son semejantes.

$\Rightarrow \frac{I B}{I H} = \frac{B D}{F H} = \frac{\frac{1}{2} B D}{\frac{1}{2} F H} = \frac{B N}{O H}$ y como $∠ I B N = ∠ O H I$ , por criterio de semejanza LAL, $△ I B N \sim △ I H O$ .

Por lo tanto, $∠ B N I = ∠ I O H$ y así
$\begin{matrix} (8) & ∠ I N P = ∠ M O I . \end{matrix}$

Por el teorema de Newton, sabemos que $N$ , $I$ y $M$ son colineales, además $I$ se encuentra entre $N$ y $M$ .

Por las ecuaciones $(7)$ y $(8)$ tenemos
$∠ M O I = ∠ I N P = ∠ M N P = ∠ M O P$ .

Es decir, el ángulo que forman las rectas $I O$ y $M O$ es el mismo ángulo que forman las rectas $P O$ y $M O$ , por lo tanto $I O$ y $P O$ son la misma recta, y así los puntos $I$ , $O$ y $P$ son colineales.

Acotando el área del cuadrilátero bicéntrico

Teorema 5. El área de un cuadrilátero bicéntrico $A B C D$ con inradio $r$ y circunradio $R$ cumple la siguiente desigualdad:
$4 r^{2} \leq (A B C D) \leq 2 R^{2}$ .

Demostración. Primero veamos que $4 r^{2} \leq (A B C D)$ , sean $E$ , $F$ , $G$ y $H$ los puntos de tangencia del incírculo con los lados $A B$ , $B C$ , $C D$ y $A D$ respectivamente.

Como las tangentes desde un punto a una circunferencia son iguales tenemos
$A E = A H = x$ , $B E = B F = y$ , $C F = C G = z$ y $D G = D H = w$ .

En la demostración del teorema de Fuss vimos que $∠ I A H + ∠ G C I = \frac{π}{2}$ de esto se sigue que $△ I H A$ y $△ C G I$ son semejantes
$\Rightarrow \frac{r}{z} = \frac{x}{r} \Leftrightarrow r^{2} = x z$ .

De manera análoga vemos que $r^{2} = y w$ .

Aplicando la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica obtenemos

$(A B C D) = 2 ((△ I A E) + (△ I B F) + (△ I C G) + (△ I D H))$
$= r (x + y + z + w)$
$= 2 r (\frac{x + z}{2} + \frac{y + w}{2}) \geq 2 r (\sqrt{x z} + \sqrt{y w})$
$= (2 r) (2 r) = 4 r^{2}$ .

Donde la igualdad se da si y solo si $x = y = z = w = r$ , si esto es así entonces $△ A D C$ es isósceles, entonces, $∠ I A H = ∠ G C I = \frac{π}{4}$ .

Por lo tanto, $∠ A = ∠ C = \frac{π}{2}$ .

Del mismo modo vemos que $∠ B = ∠ C = \frac{π}{2}$ , y así, $A B C D$ es un cuadrado.

Ahora veamos que $(A B C D) \leq 2 R^{2}$ , tracemos la diagonal $B D$ y sean $E$ y $F$ los pies de las perpendiculares a $B D$ trazadas desde $A$ y $C$ respectivamente y $P$ la intersección de las diagonales.

Por el teorema de Pitágoras, $A E \leq A P$ y $C F \leq C P \Rightarrow A E + C F \leq A C$
y se tiene la igualdad si y solo si las diagonales son perpendiculares.

Luego,
$(A B C D) = (△ A B D) + (△ C B D)$
$= \frac{B D}{2} (A E + C F) \leq \frac{A C \times B D}{2}$ .

Como $A B C D$ es cíclico entonces cada diagonal es menor o igual que el diámetro $2 R$ del circuncírculo.

Por lo tanto $(A B C D) \leq 2 R^{2}$ , donde la igualdad se da si y solo si las diagonales son perpendiculares y son diámetros del circuncírculo, es decir, $A B C D$ es un cuadrado.

Más adelante…

En la siguiente entrada veremos una generalización del teorema de Ptolomeo, el teorema de Casey.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Muestra que para un cuadrilátero bicéntrico $A B C D$ de lados $a$ , $b$ , $c$ y $d$ , diagonales $p$ y $q$ , inradio $r$ y circunradio $R$ se tiene:
$i)$ $(A B C D) = \sqrt{a b c d}$ ,
$i i)$ $8 p q \leq (a + b + c + d)^{2}$ ,
$i i i)$ $\sqrt{2} r \leq R$ .
Sea $A B C D$ un cuadrilátero circunscrito y sean $E$ , $F$ , $G$ y $H$ los puntos de tangencia del incírculo a los lados $A B$ , $B C$ , $C D$ y $A D$ respectivamente, considera los puntos medios $I$ , $J$ , $K$ y $L$ de los segmentos $H E$ , $E F$ , $F G$ y $G H$ respectivamente muestra que $A B C D$ es cíclico si y solo si $I J K L$ es un rectángulo.

Sea $A B C D$ bicéntrico, $(I, r)$ el incírculo y $P$ la intersección de las diagonales, muestra que:
$i)$ $\frac{1}{A I^{2}} + \frac{1}{C I^{2}} = \frac{1}{B I^{2}} + \frac{1}{D I^{2}} = \frac{1}{r^{2}}$ ,
$i i)$ $\frac{A P}{C P} = \frac{A I^{2}}{C I^{2}}$ , $Wikipedia\dfrac{BP}{DP} = \dfrac{BI^2}{DI^2}$.
Construye un cuadrilátero bicéntrico.

Entradas relacionadas

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Fuentes

Santos, J., Tesis Geometría del Cuadrilátero. 2010, pp 38-42.
Alsina, C. y Nelsen, R., When less is more: visualizing basic inequalities. Mathematical Association of America. 2009, pp 64–66.
Josefsson, M., Characterizations of Bicentric Quadrilaterals. Forum Geometricorum. 2010, vol 10, pp 165–173.
Cut the Kno t
Wikipedia

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Moderna I: Cuadrilátero cíclico

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

En esta entrada hablaremos sobre algunas propiedades importantes del cuadrilátero cíclico, mas allá de las primeras caracterizaciones como las vistas en el teorema de Ptolomeo.

Fórmula de Brahmagupta

Teorema 1, fórmula de Bretschneider. Sea $A B C D$ un cuadrilátero convexo, si $A B = a$ , $B C = b$ , $C D = c$ , $A D = d$ , $s = \frac{a + b + c + d}{2}$ y $β = ∠ C B A$ , $δ = ∠ A D C$ , entonces el área de $A B C D$ se puede calcular mediante la siguiente formula:
$(A B C D) = \sqrt{(s - a) (s - b) (s - c) (s - d) - \frac{a b c d}{2} (1 + \cos (β + δ))}$

Demostración. Calculamos el área de los triángulos que se forman al considerar la diagonal AC,
$(△ A B C) = \frac{a b \sin β}{2}$ ,
$(△ A C D) = \frac{c d \sin δ}{2}$ .

Por otro lado, empleando la ley de los cosenos podemos calcular $A C$
$A C^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos β = c^{2} + d^{2} - 2 c d \cos δ$ .

De la última igualdad obtenemos
$(a^{2} + b^{2} - (c^{2} + d^{2}))^{2} = (2 a b \cos β - 2 c d \cos δ)^{2}$ .

Entonces:
$(A B C D) = (△ A B C) + (△ A C D) = \frac{a b \sin β}{2} + \frac{c d \sin δ}{2}$
$\Rightarrow (A B C D)^{2} = \frac{a^{2} b^{2} \sin^{2} β}{4} + \frac{a b c d \sin β \sin δ}{2} + \frac{c^{2} d^{2} \sin^{2} δ}{4}$ .

Por lo tanto,
$16 (A B C D)^{2} = 4 a^{2} b^{2} \sin^{2} β + 8 a b c d \sin β \sin δ + 4 c^{2} d^{2} \sin^{2} δ$
$= 4 a^{2} b^{2} (1 - \cos^{2} β) + 4 c^{2} d^{2} (1 - \cos^{2} δ) + 8 a b c d \sin β \sin δ$

$= 4 a^{2} b^{2} + 4 c^{2} d^{2} + 8 a b c d - 8 a b c d - 4 a^{2} b^{2} \cos^{2} β - 4 c^{2} d^{2} \cos^{2} δ$
$+ 8 a b c d \cos β \cos δ - 8 a b c d \cos β \cos δ + 8 a b c d \sin β \sin δ$
$= (2 a b + 2 c d)^{2} - (2 a b \cos β - 2 c d \cos δ)^{2} - 8 a b c d (1 + \cos β \cos δ - \sin β \sin δ)$
$= (2 a b + 2 c d)^{2} - (a^{2} + b^{2} - (c^{2} + d^{2}))^{2} - 8 a b c d (1 + \cos (β + δ))$

$= (2 a b + 2 c d + a^{2} + b^{2} - (c^{2} + d^{2})) (2 a b + 2 c d - a^{2} - b^{2} + (c^{2} + d^{2})) - 8 a b c d (1 + \cos (β + δ))$
$= (a^{2} + 2 a b + b^{2} - (c^{2} - 2 c d + d^{2})) (c^{2} + 2 c d + d^{2} - (a^{2} - 2 a b + b^{2})) - 8 a b c d (1 + \cos (β + δ))$
$= ((a + b)^{2} - (c - d)^{2}) ((c + d)^{2} - (a - b)^{2}) - 8 a b c d (1 + \cos (β + δ))$
$= (a + b + c - d) (a + b + d - c) (a + c + d - b) (b + c + d - a) - 8 a b c d (1 + \cos (β + δ))$

$= (2 s - 2 d) (2 s - 2 c) (2 s - 2 b) (2 s - 2 a) - 8 a b c d (1 + \cos (β + δ))$
$\Rightarrow (A B C D) = \sqrt{(s - a) (s - b) (s - c) (s - d) - \frac{1}{2} a b c d (1 + \cos (β + δ))}$ .

Corolario, fórmula de Brahmagupta. Si $A B C D$ es cíclico entonces
$(A B C D) = \sqrt{(s - a) (s - b) (s - c) (s - d)}$ .

Demostración. Si $A B C D$ es cíclico entonces $β + δ = π$
por lo que $1 + \cos (β + δ) = 0$ .

Observación. La fórmula de Bretschneider nos muestra que de todos los cuadriláteros convexos que tienen lados $a$ , $b$ , $c$ y $d$ , aquellos que son cíclicos tienen mayor área.

Una propiedad del cuadrado

Teorema 2. De entre los cuadriláteros con el mismo perímetro el cuadrado es el que tiene la mayor área.

Demostración. Notemos primero que a partir de un cuadrilátero cóncavo o un cuadrilátero cruzado con un perímetro dado es posible construir un cuadrilátero convexo que tenga los mismos lados, pero mayor área.

Si en el cuadrilátero cóncavo $A B C D$ , reflejamos $D$ respecto la diagonal $A C$ obtenemos $A B C D^{'}$ el cual es convexo y $(A B C D^{'}) = (A B C D) + (A D C D^{'})$ .

Por lo tanto $(A B C D^{'}) > (A B C D)$ .

En el caso de un cuadrilátero cruzado reflejamos algún vértice respecto de la diagonal que no pasa por el vértice a reflejar, por ejemplo, en $E F G H$ reflejamos $G$ respecto de $\overset{―}{F H}$ y obtenemos $E F G^{'} H$ .

Por lo tanto,
$(E F G^{'} H) = (△ E F H) + (△ F G^{'} H) = (△ E F H) + (△ F G H) > (E F G H)$ .

De esta forma podemos fijarnos solo en el área de los cuadriláteros convexos, pero por la observación bastara con restringirnos a los cuadriláteros convexos y cíclicos.

Por la fórmula de Brahmagupta sabemos que el área depende de los lados del cuadrilátero cíclico.

En la entrada desigualdades geométricas vimos que para $w$ , $x$ , $y$ , $z$ números reales positivos tesemos lo siguiente:
$w x y z \leq (\frac{w + x + y + z}{4})^{4}$ , y la igualdad se da si y solo si $w = x = y = z$ .

Aplicamos este resultado al área del cuadrilátero cíclico $A B C D$ de perímetro $P$ y lados $a$ , $b$ , $c$ y $d$ .

$(A B C D)^{2} = (s - a) (s - b) (s - c) (s - d) \leq (\frac{(s - a) + (s - b) + (s - c) + (s - d)}{4})^{4}$
$= (\frac{(4 s - (a + b + c + d)}{4})^{4} = (\frac{2 P - P}{4})^{4} = (\frac{P}{4})^{4}$

Por lo tanto,
$(A B C D) \leq (\frac{P}{4})^{2}$ y la igualdad se da
$\Leftrightarrow$ $(s - a) = (s - b) = (s - c) = (s - d)$
$\Leftrightarrow$ $a = b = c = d$
$\Leftrightarrow A B C D$ es un cuadrado.

Anticentro del cuadrilátero cíclico

Definición. Las rectas perpendiculares a los lados de un cuadrilátero que pasan por los puntos medios de los lados opuestos, se conocen como $m$ -alturas.

Teorema 3. Las $m$ -alturas de un cuadrilátero cíclico son concurrentes, al punto de concurrencia se le conoce como anticentro, además, el circuncentro, el centroide y el anticentro de un cuadrilátero cíclico son colineales.

Demostración. Sea $A B C D$ cíclico y sean $E$ , $F$ , $G$ y $H$ los puntos medios de $A B$ , $B C$ , $C D$ y $D A$ respectivamente consideremos $O$ y $J$ , el circuncentro y el centroide respectivamente de $A B C D$ .

La perpendicular a $B C$ desde $H$ interseca a $B C$ en $H^{'}$ , $H H^{'}$ interseca a la recta determinada por $O$ y $J$ en $M$ .

Como $O$ esta en la mediatriz de $B C$ entonces $O F ⊥ B C$ , y asi, $O F ∥ H H^{'}$ , en consecuencia $∠ J F O = ∠ J H M$ , además $∠ O J F = ∠ M J H$ por ser opuestos por el vértice.

Por lo tanto, $△ J F O$ y $△ J H M$ son semejantes y como $J$ es el punto medio de $H F$ , entonces, $J O = J M$ , en otras palabras, $H H^{'}$ pasa por $M$ , el punto simétrico de $O$ respecto a $J$ .

De manera similar podemos ver que las demás $m$ -alturas de $A B C D$ pasan por $M$ .

Proposición 1. Los ortocentros de los triángulos determinados por los cuatro vértices de un cuadrilátero cíclico forman un cuadrilátero simétrico al cuadrilátero original respecto del anticentro.

Demostración. Sean $A B C D$ cíclico y $H_{a}$ , $H_{b}$ , $H_{c}$ y $H_{d}$ los ortocentros de $△ B C D$ , $△ A C D$ , $△ A B D$ y $△ A B C$ respectivamente y $F$ el punto medio de $B C$ .

Considerando los triángulos $△ A B C$ y $△ D B C$ y por la proposición 6 de la entrada triangulo órtico, tenemos que $A H_{d} = 2 O F = D H_{a}$ , además $A H_{d}$ y $D H_{a}$ son perpendiculares a $B C$ por lo tanto $A H_{d} ∥ D H_{a}$ .

De esto se sigue que $A H_{d} H_{a} D$ es un paralelogramo, así que las diagonales $A H_{a}$ y $D H_{d}$ se intersecan en su punto medio.

De manera análoga vemos que $A H_{a}$ y los segmento $B H_{b}$ , $C H_{c}$ , se intersecan en su punto medio.

Por lo tanto, estos cuatro segmentos se bisecan mutuamente, es decir el punto de intersección $X$ es el centro de simetría de $A B C D$ y $H_{a} H_{b} H_{c} H_{d}$ .

Ahora en $△ A H_{d} D$ consideremos la recta que pasa por $H$ el punto medio de $D A$ y el centro de simetría $X$ , entonces $H X ∥ A H_{d}$ , por lo tanto, $H X ⊥$ BC $y a s í$ HX $e s u n a$ m$-altura.

De manera análoga vemos que las otras $m$ -alturas pasan por $X$ , por lo tanto, $X$ es el anticentro de $A B C D$ .

Teorema Japonés

Proposición 2. Sea $A B C D$ cíclico, considera $E$ , $F$ , $G$ , $H$ , los puntos medios de los arcos, $B C$ , $C D$ , $D A$ , $A B$ , respectivamente del circuncírculo de $A B C D$ , entonces $E G ⊥ F H$ .

Demostración. Considera $O$ el circuncentro de $A B C D$ y $X = E G \cap F H$ .

Como $∠ E X F$ es un ángulo interior, tenemos lo siguiente:
$∠ E X F = \frac{∠ E O F + ∠ G O H}{2}$
$= ∠ E A F + ∠ G C H = ∠ E A C + ∠ C A F + ∠ G C A + ∠ A C H$
$= \frac{∠ B A C}{2} + \frac{∠ C A D}{2} + \frac{∠ D C A}{2} + \frac{∠ A C B}{2}$
$= \frac{∠ B A D + ∠ D C B}{2} = \frac{π}{2}$ .

Teorema 4, teorema japonés. Los incentros de los cuatro triángulos que se forman al considerar las diagonales de un cuadrilátero cíclico, son los vértices de un rectángulo.

Demostración. Sean $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ , $D^{'}$ , los incentros de $△ B C D$ , $△ A C D$ , $△ A B D$ , $△ A B C$ , donde $A B C D$ es cíclico (figura 5).

En $△ A C D$ , como $A B^{'}$ es la bisectriz de $△ C A D$ entonces $A B^{'}$ interseca al circuncírculo de $A B C D$ en $F$ el punto medio del arco $\overset{⌢}{C D}$ .

Por el teorema 1 de la entrada circunferencias tritangentes, $B^{'}$ pertenece a la circunferencia $(F, F C)$ , con centro en $F$ y radio $F C = F D$ .

De manera análoga podemos ver que $A^{'} \in (F, F C)$ , por lo tanto, $△ A^{'} F B^{'}$ es isósceles.

Sea $H$ el punto medio del arco $\overset{⌢}{A B}$ , entonces $F H$ es bisectriz de $△ A F B$ , en consecuencia, $A^{'} B^{'} ⊥ F H$ .

De mamera análoga vemos que $C^{'} D^{'} ⊥ F H$ y $B^{'} C^{'} ⊥ E G ⊥ D^{'} A^{'}$ , donde $E$ y $G$ son los puntos medios de los arcos $\overset{⌢}{B C}$ y $\overset{⌢}{D A}$ respectivamente.

Por la proposición anterior, $E G ⊥ F H$ , por lo tanto, $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ es un rectángulo.

Teorema 5. De los cuatro triángulos que se forman al trazar las diagonales de un cuadrilátero cíclico, si consideremos tres que comparten un mismo vértice, entonces los tres excentros opuestos al vértice que comparten, son los vértices de un rectángulo, y el cuarto vértice es el incentro del triángulo restante.

Demostración. Usaremos la misma notación del teorema anterior.

En $A B C D$ , consideremos los tres triángulos que comparten el vértice $C$ , $△ C D B$ , $△ C D A$ , $△ C A B$ y sus respectivos excentros opuestos a $C$ , $C_{a}$ , $C_{b}$ , $C_{d}$ .

Nos apoyaremos en el teorema 1 de la entrada circunferencias tritangentes para hacer las siguientes afirmaciones.

$D^{'} C_{d}$ es diámetro de la circunferencia $(H, H A)$ , con centro en $H$ el punto medio de $\overset{⌢}{A B}$ , y radio $H A = H B = H C^{'}$ .

Consideremos $D_{c}$ el excentro de $△ A B D$ opuesto a $D$ , $C^{'} D_{c}$ es diámetro de $(H, H A)$ .

Como $D^{'} C_{d}$ y $C^{'} D_{c}$ , se bisecan y tienen la misma longitud, entonces, $C_{d} D_{C} D^{'} C^{'}$ es un rectángulo.

En consecuencia, las dos tercias de puntos, $C_{d}$ , $C^{'}$ , $B^{'}$ ; $D_{c}$ , $D^{'}$ , $A^{'}$ , son colineales.

Igualmente, si consideramos $B_{c}$ el excentro de $△ A B D$ opuesto a $B$ , podemos ver $B^{'} C_{b}$ y $C^{'} B_{c}$ son diámetros de $(G, G A)$ con $G$ el punto medio de $\overset{⌢}{D A}$ y que las dos tercias $C_{b}$ , $C^{'}$ , $D^{'}$ ; $B_{C}$ , $B^{'}$ , $A^{'}$ , son colineales.

Por otra parte, como $B_{c}$ , $D_{c}$ son excentros de $△ A B D$ , entonces $B_{c} D_{c}$ es diámetro de $(K, K B)$ , la circunferencia con centro en $K$ , el punto medio de $\overset{⌢}{D B}$ , y radio $K B = K D$ .

Similarmente, como $A^{'}$ y $C_{a}$ , son dos centros tritangentes de $△ C B D$ entonces $A^{'} C_{a}$ es diámetro de $(K, K B)$ .

Por lo tanto, $C_{a} D_{c} A^{'} B_{c}$ es un rectángulo.

En consecuencia, $C_{a} C_{d} C^{'} C_{b}$ es un rectángulo.

Más adelante…

En la siguiente entrada estudiaremos propiedades de los cuadriláteros cuyas diagonales son perpendiculares y veremos que pasa cuando además son cíclicos.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Demuestra la fórmula de Brahmagupta usando la fórmula de Herón.
En la tarea moral de la entrada teorema de Ptolomeo se pide mostrar que es posible construir tres cuadriláteros cíclicos diferentes de lados $a$ , $b$ , $c$ y $d$ siempre que la suma de cualesquiera tres de ellos sea mayor que el restante, y que de estos se obtienen tres diagonales diferentes digamos $l$ , $m$ , y $n$ si $A B C D$ es construido de esa manera y $R$ es el circunradio muestra que:
$i)$ $(A B C D) = \frac{l m n}{4 R}$
$i i)$ $(A B C D)^{2} = \frac{(a b + c d) (a c + b d) (a d + b c)}{16 R^{2}}$ .
Demuestra que los centroides de los cuatro triángulos determinados por los cuatro vértices de un cuadrilátero cíclico son los vértices de otro cuadrilátero cíclico.
Muestra que la suma de los cuadrados de las distancias del anticentro de un cuadrilátero cíclico a los cuatro vértices es igual al cuadrado del diámetro de la circunferencia en la que esta inscrito dicho cuadrilátero.
Muestra que el anticentro de un cuadrilátero cíclico es el ortocentro del triángulo formado por los puntos medios de las diagonales y el punto en que estas rectas coinciden.
Prueba que las circunferencia de los nueve puntos de los cuatro triángulos que se forman al considerar las dos diagonales de un cuadrilátero cíclico, concurren en el anticentro del cuadrilátero.
Demuestra que la suma de los inradios de los triángulos obtenidos al trazar una diagonal de un cuadrilátero cíclico es igual a la suma de los inradios de los otros dos triángulos que se obtienen al considerar la otra diagonal.

Entradas relacionadas

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Otros cursos.

Fuentes

Gomez, A. y Bulajich, R., Geometría. México: Instituto de Matemáticas, 2002, pp 143-146.
Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 127-135.
Coxeter, H. y Greitzer, L., Geometry Revisited. Washington: The Mathematical Association of America, 1967, pp 57-60.
Wikipedia

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

El blog de Leo

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Geometría Moderna I: Cuadrilátero bicéntrico

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Dos caracterizaciones para el cuadrilátero bicéntrico

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Puntos colineales en el cuadrilátero bicéntrico

Acotando el área del cuadrilátero bicéntrico

Más adelante…

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Una propiedad del cuadrado

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