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Variable Compleja I: Continuidad en un espacio métrico

Por Pedro Rivera Herrera

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Introducción

La idea de continuidad es uno de los conceptos estructurales de la Topología y el Análisis Matemático. Al hablar de esta idea generalmente asociamos el concepto con la ininterrupción de la gráfica de una función, lo cual es claro cuando trabajamos con funciones reales definidas en algún intervalo, intuitivamente pensamos en la ininterrupción de una función considerando que para cualquier punto $z$ en el dominio de una función $f$, se tendrá que $f(x)$ no estará muy separada de $f(z)$ siempre que $x$ se mantenga lo suficientemente cerca de $z$ en el dominio. Pero, ¿qué pasa con las funciones que cuya gráfica no podemos visualizar? Hablar de continuidad para los espacios métricos resulta de gran importancia, ya que mediante la definición de métrica resulta posible generalizar el concepto de continuidad para funciones de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^m$, con lo cual podemos responder nuestra pregunta y obtener así una idea clara y general sobre lo que es la continuidad.

En esta entrada abordaremos el concepto de continuidad entre espacios métricos desde una perspectiva general, además de establecer la estrecha relación que existe entre los conceptos de sucesión, límite y continuidad, para obtener así una serie de resultados que nos permitirán caracterizar al espacio métrico $(\mathbb{C},d)$, con $d$ la métrica euclidiana, y facilitar nuestro estudio de la continuidad entre funciones complejas que estudiaremos a detalle en la siguiente unidad.

Continuidad en espacios métricos

Definición 9.1. (Continuidad.)
Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ dos espacios métricos y sea $A\subset X$. Una función $f:A \to Y$ se dice que es continua en $a\in A$ si para todo $\varepsilon>0$ existe algún $\delta>0$ (que depende de $a$ y $\varepsilon$) tal que:
\begin{equation*}
d_Y\left( f(x), f(a) \right) < \varepsilon \quad \text{si} \quad d_X(x,a)<\delta. \end{equation*} Decimos que $f$ es continua en $A$ si es continua en todo punto de $A$.

Lema 9.1.
Sea $f:X \to Y$ una función arbitraria y sean $A\subset X$ y $B\subset Y$. Entonces:
\begin{equation*}
f(A) \subset B \quad \text{si y solo si} \quad A \subset f^{-1}(B).
\end{equation*}

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Proposición 9.1
Sean $(X,d_X)$ y $(Y, d_Y)$ espacios métricos y sea $f: (X,d_X) \to (Y, d_Y)$ una función. Entonces $f$ es continua en un punto $x_0\in X$ si y solo si para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que:
\begin{equation*}
B(x_0,\delta)\subset f^{-1}\left[B(f(x_0),\varepsilon)\right],
\end{equation*} donde $B(x,r)$ denota una $r$-vecindad de $x$.

Demostración. Una función $f:X \to Y$ es continua en $x_0\in X$ si y solo si para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que:
\begin{equation*}
d_Y\left( f(x_0), f(x) \right) < \varepsilon,
\end{equation*} para toda $x\in X$ tal que $d_X(x_0,x)<\delta$, es decir:
\begin{equation*}
\text{si} \,\, x\in B\left(x_0,\delta\right) \,\, \text{entonces} \,\, f(x)\in B\left(f(x_0),\varepsilon\right),
\end{equation*} o equivalentemente: (¿por qué?)
\begin{equation*}
f\left[B\left(x_0,\delta\right)\right] \subset B\left(f(x_0),\varepsilon\right). \end{equation*} Pero por el lema 9.1 esta última condición es equivalente a:
\begin{equation*}
B\left(x_0,\delta\right) \subset f^{-1}\left[B\left(f(x_0),\varepsilon\right)\right].
\end{equation*}

$\blacksquare$

Proposición 9.2.
Sean $(X,d_X)$ y $(Y, d_Y)$ espacios métricos y sea $f: (X,d_X) \to (Y, d_Y)$ una función. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

  1. $f$ es continua en $X$.
  2. Si $A$ es abierto en $Y$, entonces $f^{-1}(A)$ es abierto en $X$.
  3. Si $B$ es cerrado en $Y$, entonces $f^{-1}(B)$ es cerrado en $X$.

Demostración.
1. $\Rightarrow$ 2.
Sea $f$ una función continua y sea $A\subset Y$ un conjunto abierto. Como queremos probar que $f^{-1}(A)$ es abierto en $X$ y dado que $X$ y $\emptyset$ son abiertos en $X$ supongamos que $f^{-1}(A)\neq X$ y $f^{-1}(A)\neq \emptyset$. Sea $x_0 \in f^{-1}(A)$, entonces tenemos que $f(x_0)\in A$ (¿por qué?). Dado que $A$ es abierto en $Y$, entonces existe $\varepsilon>0$ tal que $B(f(x_0),\varepsilon)\subset A$. Como $f$ es continua tenemos por la proposición 9.1 que existe $\delta>0$ tal que: \begin{equation*}
B(x_0,\delta)\subset f^{-1}\left[B(f(x_0),\varepsilon)\right]\subset f^{-1}(A). \end{equation*} De donde se sigue que todo punto de $f^{-1}(A)$ es un punto interior, por lo tanto $f^{-1}(A)$ es abierto en $X$.

2. $\Rightarrow$ 1.
Supongamos que $f^{-1}(A)$ es abierto en $X$ para todo conjunto $A$ abierto en $Y$. Sea $x_0\in X$. Por la proposición 6.2 sabemos que para todo $\varepsilon>0$ se cumple que la bola abierta $B(f(x_0),\varepsilon)$ es un conjunto abierto en $Y$, por lo que $f^{-1}\left[B(f(x_0),\varepsilon)\right]$, es abierto en $X$. Notemos que:
\begin{equation*}
x_0\in f^{-1}\left[B(f(x_0),\varepsilon)\right],
\end{equation*} por lo que existe $\delta>0$ tal que:
\begin{equation*}
B(x_0,\delta)\subset f^{-1}\left[B(f(x_0),\varepsilon)\right].
\end{equation*} Por lo que por la proposición 9.1 se sigue que $f$ es continua en $x_0$.

2. $\Leftrightarrow$ 3.
Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Proposición 9.3. (Composición de funciones.)
Supongamos que $(X,d_X)$, $(Y,d_Y)$ y $(Z,d_Z)$ son espacios métricos y sean $g:X \to Y$ y $f:Y \to Z$ dos funciones. Si $f$ y $g$ son continuas, entonces la composición $f \circ g$ es continua.

Demostración. Dadas las hipótesis, supongamos que $A$ es un subconjunto abierto de $Z$. Entonces por la proposición 9.2 se sigue que $f^{-1}(A)$ es abierto en $Y$, por lo que $g^{-1}(f^{-1}(A))$ es abierto en $X$. Dado que $g^{-1}(f^{-1}(A)) = (f\circ g)^{-1}(A)$, entonces por la proposición 9.2 tenemos que la función $f \circ g$ es continua.

$\blacksquare$

Proposición 9.4.
Sean $(X,d_X)$ y $(Y, d_Y)$ espacios métricos, $f:A\subset X \to Y$ una función y sea $a \in A$. Entonces se cumple que:

  1. Si $a\in A\setminus A’$, es decir si $a$ es un punto aislado, entonces $f$ es continua en $a$.
  2. Si $a\in A\cap A’$, es decir si $a$ es un punto de acumulación, entonces $f$ es continua en $a$ si y solo si \begin{equation*}
    \lim_{x \to a} f(x) = f(a).
    \end{equation*}

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Proposición 9.5.
Sean $(X,d_X)$ y $(Y, d_Y)$ espacios métricos y sea $A\subset X$. Una función $f:A \to Y$ es continua en $a \in A$ si y solo si para cualquier sucesión $\{x_n\}_{n\geq1}\subset A$ convergente a $a$ la sucesión $\{f(x_n)\}_{n\geq1}$ converge a $f(a)$.

Demostración.
$\Rightarrow)$
Supongamos que $f:A\to Y$ es una función continua en $a\in A$ y sea $\{x_n\}_{n\geq1}$ una sucesión de $A$ tal que $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a$. Veamos que la sucesión $\{f(x_n)\}_{n\geq1}$ converge a $f(a)$.

Sea $\varepsilon>0$, por la continuidad de $f$ en $a$ existe $\delta>0$ tal que para todo $x\in A$ con $d_X(x,a)<\delta$ se cumple que $d_Y(f(x),f(a))<\varepsilon$. Dado que $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a$, entonces existe algún $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*} d_X(x_n,a)<\delta, \quad \forall n\geq N, \end{equation*} por lo que si $n\geq N$ entonces: \begin{equation*} d_Y(f(x_n),f(a))<\varepsilon, \end{equation*} es decir $\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n) = f(a)$.

$(\Leftarrow$
Supongamos que para toda sucesión $\{x_n\}_{n\geq1}\subset A$ convergente a $a$ se cumple que $\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n) = f(a)$. Veamos que $f$ es continua en $a$.

Por reducción al absurdo supongamos que $f$ no es continua en $a$. Entonces existe algún $\varepsilon>0$ tal que para todo $\delta>0$ existe $x_\delta \in A$ tal que $d_X(x_\delta,a)<\delta$ y $d_Y(f(x_\delta),f(a))\geq \varepsilon$. Notemos que para cada $n\in\mathbb{N}^+$ el número $\frac{1}{n}$ es positivo, por lo que debe existir $x_n\in A$ tal que $d_X(x_n,a)<\frac{1}{n}$ y $d_Y(f(x_n),f(a))\geq \varepsilon$, es decir que la sucesión $\{x_n\}_{n\geq1}$ converge a $a$, pero la sucesión $\{f(x_n)\}_{n\geq1}$ no converge a $f(a)$, lo cual contradice nuestra hipótesis, por lo que $f$ debe ser continua en $a$.

$\blacksquare$

Ejemplo 9.1.
Sea $(X,d_X)$ un espacio métrico y consideremos al espacio métrico $(\mathbb{R}^n, d)$, donde $d$ es la distancia euclidiana, es decir:
\begin{equation*}
d(x,y) = \left(\sum_{k=1}^n (x_k – y_k)^2\right)^{1/2},
\end{equation*} para todo $x=(x_1, \ldots, x_n)$, $y=(y_1, \ldots, y_n)$ en $\mathbb{R}^n$. Si $f_k : X \to \mathbb{R}$, con $k\in\{1,2, \ldots, n\}$, son funciones continuas, entonces la función $f : X \to \mathbb{R}^n$ dada por $f(x) = (f_1(x), f_2(x), \ldots, f_n(x))$ es continua.

Solución. Sea $\varepsilon>0$, entonces existen $\delta_k > 0$, tales que si $d_X(x,a) < \delta_k$ entonces:
\begin{equation*}
d(f_k(x),f_k(a)) = |\,f_k(x) – f_k(a)\,| < \frac{\varepsilon}{\sqrt{n}},
\end{equation*} para toda $k\in\{1,2, \ldots, n\}$. Por lo que tomando $\delta = \text{mín}\{\delta_1, \ldots, \delta_n\}$, tenemos que si $d_X(x,a) < \delta$, entonces: \begin{equation*}
d(f(x),f(a)) = \left(\sum_{k=1}^n (f_k(x) – f_k(a))^2\right)^{1/2} < \varepsilon, \end{equation*} de donde se sigue el resultado.

Por otra parte, considerando que toda función $f:X \to \mathbb{R}^n$ se puede expresar en términos de sus funciones componentes, es decir $f(x) = (f_1(x), f_2(x), \ldots, f_n(x))$ para toda $x\in X$, y dado que para toda $k\in\{1, 2, \ldots, n\}$ se cumple:
\begin{equation*}
|\,f_k(x) – f_k(y)\,| \leq \left(\sum_{k=1}^n (f_k(x) – f_k(y))^2\right)^{1/2} = d(f(x),f(y)), \end{equation*} por lo que si $f$ es una función continua, entonces cada función componente $f_k : X \to \mathbb{R}^n$ es continua.

Definición 9.2. (Homeomorfismo.)
Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ dos espacios métricos. Un homeomorfismo entre $X$ y $Y$ es una función $f:X\to Y$ tal que:

  1. $f$ es biyectiva.
  2. $f$ es continua en $X$.
  3. La inversa de $f$ es continua en $Y$, es decir, $f^{-1}: Y \to X$ es continua.

Si existe un homeomorfismo entre $X$ y $Y$, entonces diremos que los espacios métricos $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ son homeomorfos.

Observación 9.1.
Formalmente no hemos definido lo que es una función compleja de variable compleja, sin embargo para ejemplificar los conceptos de esta entrada podemos considerar la siguiente función sin mayor problema. En caso de existir duda de dicha definición puede consultarse la entrada 12 en la cual se aborda dicho concepto de manera formal.

Ejemplo 9.2.
Sea $D = B(0,1)\subset\mathbb{C}$. Consideremos a la función $f:\mathbb{C} \to D$ dada por:
\begin{equation*}
f(z) = \frac{z}{1+|\,z\,|}, \quad z\in\mathbb{C}.
\end{equation*} Veamos que $f$ induce un homeomorfismo entre $D$ y $\mathbb{C}$.

Solución. Primeramente verifiquemos que $f$ es biyectiva. Sean $z_1,z_2\in\mathbb{C}$, es claro que si $z_1 \neq z_2$, entonces $|\,z_1\,| \neq |\,z_2\,|$, por lo que:
\begin{equation*}
\frac{z_1}{1+|\,z_1\,|} \neq \frac{z_2}{1+|\,z_2\,|},
\end{equation*} es decir que $f(z_1) \neq f(z_2)$, por lo que $f$ es inyectiva.
Por otra parte, si $w\in D$ tenemos que $|\,w\,|<1$, por lo que $1 – |\,w\,|>0$. Entonces tomando: \begin{equation*}
z = \frac{w}{1-|\,w\,|},
\end{equation*} es claro que $w = f(z)$. Como $w\in D$ era arbitrario entonces tenemos que $f$ es sobreyectiva.
Por lo tanto, como $f$ es biyectiva tenemos que existe la función inversa de $f$, es decir $f^{-1}:D \to \mathbb{C}$ dada por:
\begin{equation*}
f^{-1}(z) = \frac{z}{1-|\,z\,|}, \quad z\in\mathbb{C}.
\end{equation*} Considerando los resultados de esta entrada es fácil probar que $f$ y $f^{-1}$ son continuas, por lo que se deja como se deja como ejercicio al lector.

Proposición 9.6.
Sean $(X,d_X)$, $(Y,d_Y)$ y $(Z, d_Z)$ espacios métricos y sean $g:X \to Y$ y $f:Y \to Z$ dos funciones.

  1. Si $g$ es un homeomorfismo, entonces $f$ es continua si y sólo si $f \circ g$ es continua.
  2. Si $f$ es un homeomorfismo, entonces $g$ es continua si y sólo si $f \circ g$ es continua.

Demostración.

  1. Dadas las hipótesis, por la proposición 9.3 es claro que $f = (f\circ g) \circ g^{-1}$ es continua si y sólo si $f \circ g$ es continua.
  2. Dadas las hipótesis, por la proposición 9.3 es claro que $g = f^{-1}\circ(f\circ g)$ es continua si y sólo si $f \circ g$ es continua.

$\blacksquare$

Tarea moral

  1. Demuestra el lema 9.1.
  2. Completa la demostración de la proposición 9.2.
  3. Prueba que las funciones $f$ y $f^{-1}$ del ejemplo 9.2 son continuas.
  4. Sean $a, b\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Considera a los siguientes conjuntos: \begin{align*}
    X = \{x+iy \,:\, x^2+y^2 = 1\},\\
    Y = \left\{x + iy \, : \, \left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1\right\}. \end{align*} Demuestra que $X$ y $Y$, dotados con la métrica euclidiana de $\mathbb{C}$, son homeomorfos. Hint: Considera la función $f(x+iy) = ax + iby$.
  5. Demuestra la proposición 9.4.

Más adelante…

En esta entrada hemos dado una definición clara y general del concepto de continuidad, caracterizando así a los espacios métricos mediante dicho concepto y obteniendo resultados que nos permitieron relacionar a los conceptos de sucesión y de límite con el de continuidad. Estos resultados serán de gran utilidad en las siguientes entradas al estudiar a las funciones complejas (de variable compleja).

La siguiente entrada abordaremos los conceptos de conexidad y compacidad de un espacio métrico, en particular caracterizaremos a los conjuntos de $\mathbb{C}$ mediante estos conceptos, definiremos nuevos conceptos y obtendremos nuevos resultados que relacionan a los conceptos de continuidad, conexidad y compacidad en un espacio métrico, los cuales utilizaremos a lo largo del curso al trabajar con funciones de $\mathbb{C}$ en $\mathbb{C}$.

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Introducción

En la entrada previa a esta vimos el importantísimo teorema de Bayes. Por ahora dejaremos de lado las propiedades de la probabilidad condicional. En contraste, el teorema que veremos en esta entrada es un resultado teórico que será de utilidad mucho más adelante.

El tema de esta entrada es el teorema de continuidad de las medidas de probabilidad. Esencialmente, se trata de una propiedad que satisface toda medida de probabilidad. En particular, se relaciona con la noción que tienes de continuidad en funciones. Sin embargo, se trata de una propiedad más básica de continuidad para límites de eventos, que son conjuntos.

Conceptos previos

En el contexto de cálculo y análisis, una propiedad de las funciones continuas es su capacidad de «meter» el límite. Esto es, que si $\{ a_{n} \}_{n \in \mathbb{N}^{+}} \subseteq \RR$ es una sucesión de números reales tal que existe $a \in \RR$ que satisface $\lim_{n \to \infty} a_{n} = a$, y $f\colon\RR\to\RR$ es una función continua, entonces

\[ \lim_{n\to\infty} f(a_{n}) = f{\left( \lim_{n\to\infty} a_{n} \right)} = f(a). \]

Nosotros queremos ver que cualquier medida de probabilidad satisface una propiedad similar. Sin embargo, dado un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$, el dominio de $\mathbb{P}$ no es $\RR$, ¡es $\mathscr{F}$! Es decir, ¡el argumento de una medida de probabilidad es un conjunto! Por ello, es necesario presentar una noción de límite de eventos. La manera en que lo haremos será a través de las llamadas sucesiones crecientes.

Definición. Sea $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ un espacio de probabilidad, y sea $\{A_{n}\}_{n\in\mathbb{N}^{+}} \subseteq \mathscr{F}$ una sucesión de eventos. Diremos que es una sucesión creciente de eventos si

\[ \forall n \in \mathbb{N}^{+}\colon A_{n} \subseteq A_{n+1}. \]

Esto es, que cada $A_{n}$ es un subconjunto del evento que le sigue, $A_{n+1}$. A veces esto se denota como $A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq \ldots$ Por su parte, la unión

\[ A = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \]

de una sucesión de este tipo es llamada el límite de la sucesión. Este hecho suele denotarse por $A_{n} \uparrow A$.

En la definición anterior, la unión $A = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}$ de una sucesión creciente de eventos es, nuevamente, un evento. Esto pasa gracias a las propiedades de un σ-álgebra y a que $\{A_{n}\}_{n\in\mathbb{N}^{+}}$ es una familia numerable de eventos.

Por otro lado, también se define la noción de sucesión decreciente de eventos como sigue.

Definición. Sea $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ un espacio de probabilidad, y sea $\{A_{n}\}_{n\in\mathbb{N}^{+}} \subseteq \mathscr{F}$ una sucesión de eventos. Diremos que es una sucesión decreciente de eventos si

\[ \forall n \in \mathbb{N}^{+}\colon A_{n} \supseteq A_{n+1}. \]

Es decir, cada $A_{n}$ contiene (como subconjunto) al evento que le sigue, $A_{n+1}$. En ocasiones, esto se denota como $A_{1} \supseteq A_{2} \supseteq \cdots$ Además, la intersección

\[ A = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \]

de una sucesión de este tipo es llamada el límite de la sucesión. Este hecho suele denotarse por $A_{n} \downarrow A$.

De la misma manera que con una sucesión creciente, la intersección $A = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n}$ de una sucesión decreciente de eventos también es un evento.

La continuidad de una medida de probabilidad

A continuación presentamos el teorema de continuidad de una medida de probabilidad.

Teorema. Sea $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ un espacio de probabilidad. Entonces se cumplen las siguientes propiedades.

  1. Si $\{ A_{n} \}_{n\in\mathbb{N}^{+}}$ es una sucesión creciente de eventos, entonces\[ \lim_{n\to\infty} \Prob{A_{n}} = \Prob{\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}}. \]
  2. Si $\{ A_{n} \}_{n\in\mathbb{N}^{+}}$ es una sucesión decreciente de eventos, entonces\[ \lim_{n\to\infty} \Prob{A_{n}} = \Prob{\bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n}}. \]

Demostración. Para demostrar 1, podemos utilizar un truco que usamos hace ya varias entradas. Esto es, que

\[ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} = A_{1} \cup (A_{2} \smallsetminus A_{1}) \cup (A_{3} \smallsetminus A_{2}) \cup \cdots \]

Es decir, si para cada $i \in \mathbb{N}^{+}$ definimos $B_{i} = A_{i} \smallsetminus A_{i−1}$, con $A_{0} = \emptyset$, se tiene que

\[ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} = \bigcup_{n=1}^{\infty} B_{n}. \]

Además, observa que los conjuntos $B_{i}$ son ajenos dos a dos, por construcción. Entonces podemos aplicar la σ-aditividad de $\mathbb{P}$ para obtener que

\begin{align*} \Prob{\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}} &= \Prob{B_{1}} + \Prob{B_{2}} + \Prob{B_{3}} + \cdots \\ &= \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \Prob{B_{k}}. \end{align*}

Sin embargo, sabemos que para cada $i \in \mathbb{N}^{+}$ se cumple que $A_{i} \subseteq A_{i+1}$ y $B_{i} = A_{i} \smallsetminus A_{i−1}$, así que para cada $i \in \mathbb{N}^{+}$ se tiene que

\[ \Prob{B_{i}} = \Prob{A_{i} \smallsetminus A_{i−1}} = \Prob{A_{i}} − \Prob{A_{i−1}}. \]

Por lo tanto,

\begin{align*} \Prob{ \cup_{n=1}^{\infty} A_{n}} &= \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} [\Prob{A_{k}} − \Prob{A_{k−1}}] \\ &= \lim_{n\to\infty} [\Prob{A_{n}} − \Prob{A_{0}}] \\ &= \lim_{n\to\infty} [\Prob{A_{n}} − \Prob{\emptyset}] \\ &= \lim_{n\to\infty} \Prob{A_{n}}, \end{align*}

que es justamente lo que queríamos demostrar.

$\square$

Para demostrar la parte 2 del teorema puede usarse la parte 1 de manera conveniente. La manera de hacerlo viene detallada (a manera de instrucciones) en la tarea moral.

Una aplicación del teorema de continuidad

A pesar de que, de momento, no utilizaremos con profundidad el teorema que acabamos de ver, es posible hacer un ejemplo donde se aplica de manera no teórica.

Ejemplo. Es intuitivamente claro que la probabilidad de nunca obtener un «águila» en una infinidad de lanzamientos de una moneda equiprobable es $0$. Podemos demostrarlo usando el teorema anterior. En primer lugar, el espacio muestral de este experimento es

\[ \Omega = {\left\lbrace (x_{n} )_{n\in\mathbb{N}^{+}} \mid \forall i \in \mathbb{N}^{+}\colon x_{i} \in \{ \mathrm{A, B} \} \right\rbrace} \]

el conjunto de todas las sucesiones infinitas de $\mathrm{A}$’s y $\mathrm{S}$’s. Para cada $i \in \mathbb{N}^{+}$, definimos los conjuntos

\begin{align*} A_{i} &= {\left\lbrace (x_{n})_{n\in\mathbb{N}^{+}} \in \Omega \mid x_{i} = \mathrm{A} \right\rbrace}, \\ S_{i} &= {\left\lbrace (x_{n})_{n\in\mathbb{N}^{+}} \in \Omega \mid x_{i} = \mathrm{S} \right\rbrace} \end{align*}

Es decir, $A_{i}$ es el conjunto de todas las sucesiones infinitas de $\mathrm{A}$’s y $\mathrm{S}$’s tales que su $i$-ésima entrada es una $\mathrm{A}$. Por ejemplo, para $A_{1}$, se tiene que

\begin{align*} (\mathrm{A, S, S, A, A, A, A, A, \ldots}) &\in A_{1}, \\ (\mathrm{A, S, S, S, S, S, S, S, \ldots}) &\in A_{1}, \\ (\mathrm{A, S, A, S, A, S, A, S, \ldots}) &\in A_{1}, \end{align*}

etcétera. El subíndice de $A_{i}$ indica que la $i$-ésima entrada de todos sus elementos es $\mathrm{A}$. Análogamente, $S_{i}$ es el conjunto de todas las sucesiones infinitas de $\mathrm{A}$’s y $\mathrm{S}$’s tales que su $i$-ésima entrada es una $\mathrm{S}$. Ahora, considera la siguiente familia de subconjuntos de $\Omega$:

\[ \mathscr{C} = \{ A_{i} \mid i \in \mathbb{N}^{+} \} \cup \{ S_{i} \mid i \in \mathbb{N}^{+} \} \]

Esto es, $\mathscr{C} \subseteq \mathscr{P}(\Omega)$ es el conjunto cuyos elementos son todos los $A_{i}$’s y todos los $B_{i}$’s. De este modo, tomaremos a $\sigma(\mathscr{C})$ como σ-álgebra.

Ahora, definimos nuestra medida de probabilidad para los $A_{i}$’s y $B_{i}$’s como sigue: para cada $i \in \mathbb{N}^{+}$, la probabilidad de $A_{i}$ y $B_{i}$ se define como

\[ \Prob{A_{i}} = \frac{1}{2}, \]

\[ \Prob{B_{i}} = 1 − \frac{1}{2}, \]

La definimos de esta forma pues asumimos que la moneda es equiprobable, por lo que la probabilidades de que en la $i$-ésima posición salga «águila» o salga «sol» deben de ser iguales. Además, le pediremos a $\mathbb{P}$ que cualquier familia de $A_{i}$’s y $S_{i}$’s sean independientes. Esto es, que para todo $n \in \mathbb{N}^{+}$, los eventos $A_{1}$, $A_{2}$, …, $A_{n}$ son independientes. Esto asegura que también sus complementos, $S_{1}$, $S_{2}$, …, $S_{n}$ forman una familia de eventos independientes.

Ahora, para cada $n \in \mathbb{N}^{+}$, definamos el evento $C_{n}$ como el evento en el que, de los primeros $n$ lanzamientos, ninguno es un águila. Observa que, en términos de $A_{i}$’s y $S_{i}$’s, $C_{n}$ sería

\[ C_{n} = \bigcap_{k=1}^{n} S_{k}, \]

Pues $S_{1}$ son todas aquellas sucesiones cuya primera entrada está fija como un $\mathrm{S}$, $S_{2}$ son todas aquellas en donde la segunda entrada está fija como un $\mathrm{S}$, y así sucesivamente hasta llegar a $S_{n}$. Al intersecar esos eventos, el evento resultante es aquel en el que las primeras $n$ entradas están fijas como una $\mathrm{S}$, por lo que es el evento en el que ninguno de los primeros $n$ lanzamientos es un águila. Además, observa que para cada $n \in \mathbb{N}^{+}$, se cumple que $C_{n} \supseteq C_{n+1}$. Es decir, $\{ C_{n} \}_{n\in\mathbb{N}^{+}}$ es una sucesión decreciente de eventos. Entonces, por el teorema de continuidad de la medida de probabilidad, se tiene que

\[ \lim_{n\to\infty} \Prob{C_{n}} = \Prob{\bigcap_{n=1}^{\infty} C_{n}}, \]

Por un lado, observa que

\[ \lim_{n\to\infty} \Prob{C_{n}} = \lim_{n\to\infty} \Prob{\bigcap_{k=1}^{n} S_{k}} = \lim_{n\to\infty} [\Prob{S_{1}} \cdot \Prob{S_{2}} \cdots \Prob{S_{n}}] = \lim_{n\to\infty} {\left( \frac{1}{2} \right)}^{n} = 0\]

donde $\Prob{\bigcap_{k=1}^{n} S_{k}} = \Prob{S_{1}} \cdot \Prob{S_{2}} \cdots \Prob{S_{n}}$ ocurre gracias a que supusimos que para todo $n \in \mathbb{N}^{+}$ los eventos $A_{1}$, $A_{2}$, …, $A_{n}$ son independientes.

En consecuencia, tenemos que

\[ \Prob{\bigcap_{n=1}^{\infty} C_{n}} = 0. \]

En conclusión, la probabilidad del evento $\bigcap_{n=1}^{\infty} C_{n}$ es $0$. Pero, ¿qué evento es ese? Observa que $\bigcap_{n=1}^{\infty} C_{n}$ es precisamente el evento de que nunca haya un águila, pues es la intersección de todos los eventos en los que los primeros $n$ lanzamientos no hay un águila. Esto es justamente lo que dictaba la intuición al inicio de este ejemplo.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios son opcionales. Es decir, no formarán parte de tu calificación. Sin embargo, te recomiendo resolverlos para que desarrolles tu dominio de los conceptos abordados en esta entrada.

  1. Demuestra la parte 2 del teorema de continuidad. Sugerencia: Puedes utilizar la parte 1 del teorema, pues ya la demostramos.
    1. Para hacerlo, toma $\{ B_{n} \}_{n\in\mathbb{N}^{+}}$ una sucesión decreciente de eventos. Para cada $i \in \mathbb{N}^{+}$, define $A_{i} = B_{i}^{\mathsf{c}}$, donde el complemento es relativo a $\Omega$. Demuestra que $\{ A_{n} \}_{n\in\mathbb{N}^{+}}$ es una sucesión creciente de eventos.
    2. Ahora, sabiendo que $\{ A_{n} \}_{n\in\mathbb{N}^{+}}$ es una sucesión creciente de eventos, aplica la parte 1 del teorema. ¿Qué se obtiene?
    3. Usando la parte 1 del teorema se llega a que\[ \Prob{\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}} = \lim_{n\to\infty} \Prob{A_{n}}. \]Sabiendo que cada $A_{i} = B_{i}^{\mathsf{c}}$, sustituye en la expresión anterior.
    4. Finalmente, usa la regla de complementación para concluir.

Más adelante…

Con esta entrada concluye la primera unidad de este curso. Esto es, aquí concluye el tratamiento de propiedades generales de las medidas de probabilidad. En la siguiente entrada comenzaremos el estudio de las variables aleatorias−que no son otra cosa que funciones cuyo dominio es el espacio muestral−y la gran cantidad conceptos asociados a estas.

Un consejo… ¡No olvides lo que vimos en esta unidad! Todo lo que vimos en esta unidad será importante para el resto de este curso, y para las materias de probabilidad y estadística que cursarás más adelante.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Teorema del valor medio para la integral

Por Moisés Morales Déciga

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Introducción

En una entrada anterior, presentamos un ejemplo de integración por punto medio que sirve como introducción al tema del teorema del valor medio para la integral. En dicho ejemplo, aproximamos la integral mediante sumas de áreas de rectángulos cuyas bases eran todas iguales, y cuya altura estaba dada por la evaluación de una función en el punto medio de cada intervalo.

Esta manera de aproximar una integral usando algún punto arbitrario dentro de cada intervalo de una partición, y haciendo la suma de Riemann correspondiente, será el punto de partida para entender primero a la integral como un promedio, y luego para llevar ese entendimiento más allá y enunciar el teorema del valor medio para la integral. Lo que nos dirá este teorema es que cuando una integral de una función continua exista, entonces dicha integral siempre puede calcularse como la longitud del intervalo de integración, por la evaluación de la función en algún punto del intervalo.

A continuación formalizamos estas ideas.

Función promedio e intuición del teorema del valor medio

Quizás recuerdes la siguiente definición de tu educación básica.

Definición. Sean $z_1,\ldots,z_n$ números reales. Su promedio o media aritmética es el número

$$\frac{z_1 + z_2 + … + z_n}{n}.$$

De manera similar, si tomamos $x_1,\ldots,x_n$ números en un cierto intervalo $[a,b]$ y $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, entonces podemos considerar a los valores $f(x_1),\ldots,f(x_n)$ y obtener su promedio:

$$\frac{f(x_1) + f(x_2) + … + f(x_n)}{n} .$$

A esto le llamamos el valor promedio de la función en $x_1,\ldots,x_n$.

Pensemos que tomamos una partición en $n$ partes del intervalo $[a,b]$. La longitud de cada celda sería $\Delta x_i = (b-a)/n$. Si tomamos a los puntos $x_1,\ldots,x_n$, uno en cada celda de dicha partición, entonces tendríamos que

\begin{align*}
\frac{f(x_1) + f(x_2) + … + f(x_n)}{n}&=\frac{b-a}{b-a} \sum_{i=1} ^n \frac{f(x_i)}{n}\\
&=\frac{1}{b-a} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i.
\end{align*}

A la derecha nos queda una suma de Riemann. Si la función fuera integrable en $[a,b]$, dicha suma convergería a $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, dx$ conforme $n\to \infty$ (como recordatorio, revisa la entrada de definición de la Integral). Y el lado izquierdo, conforme $n$ crece, se vuelve el promedio de más y más puntos distribuidos homogéneamente en $[a,b]$. De aquí sale la siguiente intuición: «la integral entre $b-a$ es el valor promedio de la función en todo el intervalo».

Esta intuición es buena y conviene formalizarla con un nombre apropiado.

Definición. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función acotada e integrable en un intervalo $[a,b]$, con $a<b$ reales. Definimos el promedio de $f$ en $[a,b]$ como el número $$\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, dx.$$

Observa que podemos poner a esta expresión como un cociente de integrales:

$$\frac{1}{b-a} \int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx = \frac{ \int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx }{ \int \limits_{a}^{b} 1 \ dx }.$$

Teorema del valor medio para la integral

El teorema del valor medio establece una relación muy importante entre una función continua y promedio en cierto intervalo $[a,b]$.

Teorema. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función que es continua en el intervalo $[a,b]$, con $a\leq b$ reales. Entonces, siempre existe $\xi\in[a,b]$ tal que

$$ \int \limits_{a}^{b} f(x) dx = f(\xi)(b-a).$$

Si $b>a$, podemos dividir entre $b-a$ y esto quiere decir que siempre podemos encontrar un valor $\xi\in [a,b]$ tal que $f(\xi)$ es igual al promedio de $f$ en $[a,b]$.

Demostración. Si $a=b$, entonces no hay nada que hacer, pues en ambos lados de la igualdad tenemos cero. Así, sean $a<b$ números reales y $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ función continua dentro del intervalo $[a,b]$.

Las funciones continuas tienen valor máximo y mínimo en intervalos cerrados y acotados. Así, existen $x_0$ y $y_0$ en $[a,b]$ tales que $f(x_0) = m$ es el mínimo de la función en el intervalo y, $f(y_0) = M$ es el máximo de la función en el intervalo. Como las funciones constantes son integrables y la integral respeta desigualdades, tenemos que:

\begin{align*}
m(b \ – \ a) &= f(x_0) (b \ – \ a)\\
&=\int_a^b f(x_0)\, dx\\
&\leq \int_a^b f(x)\, dx\\
&\leq \int_a^b f(y_0)\, dx\\
&=f(y_0) (b-a)\\
&=M (b-a).
\end{align*}

Nos importa recuperar de esta cadena de desigualdades que $$m(b-a)\leq \int_a^b f(x)\, dx \leq M(b-a),$$ y por lo tanto $$m\leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\, dx \leq M.$$

De esta manera, $\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)$ es un valor entre $f(x_0)$ y $f(y_0)$. Pero por el teorema del valor intermedio, si una función continua toma dos valores, entonces toma cualquier valor entre ellos. Así, existe $\xi$ entre $x_0$ y $y_0$ tal que $$f(\xi)=\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\, dx.$$

Multiplicando por $b-a$, obtenemos la igualdad deseada.

$ \square$

Para entender un poco mejor el teorema del valor medio para la integral, veamos un ejemplo.

Ejemplo. Veamos el teorema del valor medio en acción para la función $f(x)=x$ en el intervalo $[3,4]$.

Ya habíamos encontrado el valor de esta integral en la entrada «Definición de la Integral Definida». Dicho valor fue $\frac{7}{2}=3.5$.

Lo que nos diría el teorema del valor medio es que podemos encontrar un punto $\xi \in[3,4]$ tal que Sustituyendo en la expresión encontrada por el teorema, se tiene lo siguiente.

$$f(\xi)(4 \ – \ 3) = \int \limits_{3}^{4} f(x) dx=3.5,$$

es decir, tal que $f(\xi)=3.5$. Y en efecto, dicho punto es justamente $3.5$, pues $f(3.5)=3.5$. Notemos que, tal como se quería, tenemos que $3.5\in [3,4]$. Por lo tanto, el punto $\xi = 3.5 $ dentro del intervalo $[3,4]$ es tal que al evaluarlo en la función, da por resultado el promedio de $f$ en $[3,4]$.

$\triangle$

Teorema del valor medio generalizado para la integral

Hay otra versión del teorema del valor medio que generaliza la noción de promedio. Quizás en tu educación básica cursaste una materia en donde el $30\%$ de tu calificación eran tareas, el $20\%$ era participaciones y el $50\%$ el examen. En este caso, si sacaste $x,y,z$ en las tareas, participaciones y examen respectivamente, entonces tu calificación final era $0.3 x + 0.2 y + 0.5 z$. Este tipo de promedios en donde distintos números tienen distinto valor quedan reflejados en la siguiente definición.

Definición. Sean $z_1,\ldots,z_n$ números reales y $p_1,\ldots,p_n$ números positivos. La media aritmética ponderada con dichos pesos es el número real $$\frac{p_1z_1+p_2z_2+\ldots+p_nz_n}{p_1+p_2+\ldots+p_n}.$$

El promedio se recupera eligiendo todos los pesos $p_i$ iguales a $1$, es decir, dando la misma ponderación para todos los valores que tenemos dentro del conjunto, independientemente del valor que hayan tenido. Las medias aritméticas son importantes pues aparecen en las aplicaciones. Por ejemplo, en física podemos pensar que los $p_i$ son pesos de partículas localizadas en los puntos $z_i$. En este caso la media aritmética ponderada representará el centro de gravedad de dichos objetos.

Estas ideas pueden llevarse al contexto continuo. Se pueden pensar en las ideas del teorema del valor medio, pero donde ahora en cada punto ponderaremos de acuerdo a una función peso. Esto hará que ahora distintos puntos tengan distinta preferencia, y que a su vez ya no se tenga una media aritmética, sino una media aritmética ponderada.

Definición. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función integrable en $[a,b]$ y sea $p:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función integrable en $[a,b]$ y no negativa, con integral positiva. Definimos el promedio ponderado de $f$ como el número

$$\frac{\int_a^b f(x) p(x) \, dx}{\int_a^b p(x)\, dx}.$$

Se puede demostrar el siguiente teorema, que generaliza al teorema del valor medio para la integral.

Teorema. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función continua en $[a,b]$ y sea $p:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función continua en $[a,b]$ y no negativa, con integral positiva. Entonces existe un valor $\xi\in [a,b]$ tal que:

$$\int \limits_{a}^{b} f(x) \ p(x) \ dx = f(\xi) \ \int \limits_{a}^{b} p(x) \ dx .$$

Observación. Si $p(x)$ es la función constante $1$, recuperamos el teorema del valor medio para la integral.

Ya tienes todas las herramientas para probar esta generalización. ¡Te espera en los problemas!

Más adelante…

A partir de la definición de la integral mediante sumas se obtienen teoremas y propiedades que nos permiten simplificar el cálculo de la integral y tener herramientas para resolver problemas mediante diferentes métodos.

Este teorema nos permite calcular la integral a partir del punto medio del intervalo, simplificando el proceso ya que no es necesario determinar el ínfimo o el supremo de cada partición.

Un poco después veremos algunas aplicaciones de este teorema. Será de suma importancia cuando enunciemos y mostremos los teoremas fundamentales del cálculo.

Tarea moral

  1. Encuentra el valor promedio la función dada, en el intervalo dado. Luego, encuentra un valor $\xi$ en el intervalo dado tal que $f(\xi)$ sea la integral que encontraste.
    • $f(x)=1 + x^2$ en $[-1,2]$.
    • $f(x)=\sqrt x$ en el intervalo $[0,4]$.
    • $f(x)=1+2x-x^2$ en el intervalo $[-2,2]$.
  2. Determina el valor promedio ponderado de las siguientes funciones, usando la función ponderación dada.
    • $f(x)=1+x^2$ en $[-1,2]$, con función ponderación $p(x)=x+1$.
    • $f(x)=4x^2 – 2x$ en $[1,4]$, con función ponderación $p(x)=3$.
    • $f(x)=(x-3)^2$ en en $[2,5]$, con función ponderación $p(x)=x-2$.
  3. Demuestra el teorema del valor medio generalizado para la integral.
  4. El teorema del valor medio es falso en general si la función no es continua. Considera la siguiente función $$f(x)=\begin{cases} 0 & \text{si $x\in [0,1]$}\\ 1 & \text{si $x\in[1,3].$}\end{cases}$$
    • Demuestra que esta función es integrable en $[0,3]$.
    • Encuentra explícitamente el valor de esa integral mediante la definición.
    • Muestra que no existe ningún $\xi\in [0,3]$ tal que $f(\xi)=\frac{1}{3-0} \int_a^b f(x)\, dx.$
  5. Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función continua y tal que $f(x)\geq 3$ para todo $x$ en cierto intervalo $[a,b]$. Demuestra que si el promedio de $f$ en $[a,b]$ es $3$, entonces $f(x)=3$ para todo $x\in [a,b]$. ¿Fue importante que el número fuera $3$? Enuncia y demuestra una generalización.

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Cálculo Diferencial e Integral I: Continuidad de la función inversa

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

Esta entrada será la última referente a las funciones continuas y se hará el estudio de las condiciones necesarias para que, dada una función continua, su inversa también sea continua. Para lograr nuestro objetivo, haremos uso de los conceptos revisados en la entrada anterior e iniciaremos retomando la definición de intervalo y probaremos un teorema que nos permite caracterizarlos.

Intervalos

Anteriormente, se había dado la siguiente definición de intervalos.

Definición: Sean $a,b \in \r$. Definimos los siguientes intervalos en $\RR$ como sigue:

  • Intervalo cerrado
    \[
    [a,b]=\left\{x : a \leq x \leq b\right\}
    \]
  • Intervalo abierto
    \[
    (a,b)=\left\{x : a < x < b\right\}
    \]
  • Abierto por la izquierda / Cerrado por la derecha
    \[
    (a,b]=\left\{x : a < x \leq b\right\}
    \]
  • Abierto por la derecha / Cerrado por la izquierda
    \[
    [a,b)=\left\{x : a \leq x < b\right\}
    \]

Sea $a\in \r$. Para los intervalos que involucran al infinito tenemos las siguientes definiciones:

  • \[
    (-\infty ,a)=\left\{x : x < a \right\}
    \]
  • \[
    (-\infty ,a]=\left\{x : x \leq a \right\}
    \]
  • \[
    (a, \infty) =\left\{x : a < x\right\}
    \]
  • \[
    [a, \infty) =\left\{x : a \leq x\right\}
    \]
  • \[
    (- \infty, \infty)=\r
    \]

Ahora revisaremos un teorema que nos permite caracterizar a los intervalos y éste nos dice que si se toman cualesquiera dos puntos de un intervalo $A$, entonces el intervalo generado por tales puntos está contenido dentro de $A$.

Teorema. Si $A$ es un subconjunto de $\mathbb{R}$ que contiene al menos dos puntos y tiene la propiedad

$$\text{si } x, y \in A \quad \Rightarrow \quad [x,y] \subset A. \tag{1}$$

Entonces $A$ es un intervalo.

Demostración.

La demostración se divide en cuatro casos de acuerdo a si está o no acotado.

  • Caso 1: $A$ está acotado.
    Dado que $A$ está acotado y $A \neq \varnothing$, podemos definir el supremo y el ínfimo. Sean $a = infA$ y $b = supA.$ Entonces $A \subset [a,b]$. Nos enfocaremos en demostrar que $(a,b) \subset A$.

    Si $z \in (a,b)$, es decir, $a<z<b$, entonces $z$ no es cota inferior de $A$, por lo que existe $x \in A$ tal que $x<z$. De la misma forma, $z$ no es una cota superior de $A$, por lo que existe $y \in A$ tal que $z<y.$ Por lo tanto, $z \in [x,y]$ y por $(1)$ se tiene que $z \in A$. Puesto que $z$ es un elemento arbitrario de $(a,b)$, podemos concluir que $(a,b) \subset A$.

    Notemos que si $a \in A$ y $b \in A$, se tiene que $A= [a,b]$ pues $a$ y $b$ son el ínfimo y supremo respectivamente. Si $a \notin A$ y $b \notin A$, entonces $A = (a,b)$. Si $a \notin A$ y $b \in A$, entonces $A = (a,b]$. Finalmente, si $a \in A$ y $b \notin A$, entonces $A = [a,b)$.

  • Caso 2: $A$ está acotado superiormente pero no inferiormente.
    Definimos $b = supA$. Entonces $A \subset (- \infty, b]$. Veremos que $(- \infty, b) \subset A$.

    Si $z \in (- \infty, b)$, es decir $z<b$, entonces no es cota superior, por lo que existe $y \in A$ tal que $z < y$, además dado que $A$ no está acotado inferiormente, existe $x \in A$ tal que $x < z$. De esta forma, gracias a $(1)$ se tiene que $z \in [x,y] \subset A$. Dado que $z$ es un elemento arbitrario de $(- \infty, b)$, entonces $(-\infty, b) \subset A$.

    Notemos que si $b \in A$, entonces $A = (- \infty, b]$ y si $b \notin A$, entonces $A = (- \infty, b)$.

  • Caso 3: $A$ está acotado inferiormente pero no superiormente.
    La prueba es análoga al caso 2.

  • Caso 4: $A$ no está acotado inferiormente ni superiormente.
    La prueba es muy similar a la de los casos anteriores por lo cual se dejará como tarea moral.

$\square$

Notemos que el regreso también es cierto, es decir, si $A$ es un intervalo, entonces cumple $(1)$ y la demostración también quedará como tarea moral.

Continuidad de la función inversa

El siguiente teorema nos indica que una función continua mapea intervalos en intervalos.

Teorema (Preservación de intervalos). Sea $I$ un intervalo y sea $f: I \to \mathbb{R}$ continua en $I$. Entonces el conjunto $f(I)$ es un intervalo.

Demostración.

Sean $y_1$, $y_2 \in f(I)$ tal que $y_1 < y_2$, entonces existen los puntos $x_1$, $x_2$ tal que $y_1 = f(x_1)$ y $y_2 = f(x_2)$. Por el teorema del valor intermedio, se tiene que si $y \in [y_1,y_2]$, entonces existe $x \in I$ tal que $y = f(x) \in f(I)$. Por lo tanto, se tiene que $[y_1,y_2] \subset f(I)$ y por el teorema de caracterización de intervalos, se concluye que $f(I)$ es un intervalo.

$\square$

Ahora veremos que la monotonía también se preserva bajo la función inversa.

Proposición. Si $f: A \to \mathbb{R}$ es una función estrictamente creciente, entonces $f^{-1}: f(A) \to \mathbb{R}$ también es estrictamente creciente. Si $f$ es estrictamente decreciente, $f^{-1}$ también lo es.

Demostración.

Sea $f$ una función estrictamente creciente y sean $y_1$, $y_2 \in f(A)$ tal que $y_1<y_2$ y sean $x_1 = f^{-1}(y_1)$, $x_2 = f^{-1}(y_2)$.

Supongamos que $x_2 < x_1$, pero $f$ es creciente lo que implica que $y_2 = f(x_2) < f(x_1) = y_1$ lo cual es una contradicción pues $y_1<y_2$. Por lo tanto, $f^{-1}(y_1)=x_1 < x_2 = f^{-1}(y_2)$. Por lo tanto $f^{-1}$ es estrictamente creciente.

La prueba es análoga para el caso donde $f$ es estrictamente decreciente.

$\square$

Los últimos dos teoremas de la entrada hacen referencia a las condiciones que deben estar presentes para que la inversa de una función continua también sea continua.

Teorema. Si $I$ es un intervalo y $f: I \to \mathbb{R}$ es estrictamente monótona, entonces $f^{-1}$ es continua.

Demostración.

Por la proposición, anterior tenemos que $f^{-1}: f(I) \to \mathbb{R}$ también es estrictamente monótona y sabemos que $f(I)$ es un intervalo. Por el teorema revisado en la entrada anterior, concluimos que $f^{-1}$ también es continua.

$\square$

Teorema. Si $I$ es un intervalo y $f: I \to \mathbb{R}$ es continua e inyectiva, entonces $f^{-1}$ es continua.

Demostración.

Por lo revisado en la entrada anterior, sabemos que si $f$ es continua e inyectiva, entonces es estrictamente monótona y se sigue por el teorema anterior que $f^{-1}$ es continua.

$\square$

Más adelante…

En la siguiente entrada daremos inicio a una nueva unidad y entraremos a uno de los temas más famosos del cálculo: la derivada. Dentro de esta nueva unidad, veremos a profundidad la definición de derivada, así como su interpretación geométrica y sus propiedades. Una vez se conozcan los fundamentos teóricos, se verán aplicaciones que existen en diversos campos tales como la economía, la física, etc.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Prueba el caso 4 para el teorema de preservación de intervalos.
  • Prueba que si $A$ es un intervalo con al menos dos puntos, entonces se cumple que
    $$\text{si } x, y \in A \quad \Rightarrow \quad [x,y] \subset A.$$
  • Sea $I$ un intervalo y sea $f: I \to \mathbb{R}$ una función inyectiva. Menciona qué relación existe entre las siguientes condiciones:
    • $f$ es continua.
    • $f(I)$ es un intervalo.
    • $f$ es estrictamente monótona.
    • $f^{-1}$ es continua.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Continuidad y monotonía

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

En esta entrada estableceremos la relación existente entre la monotonía y la continuidad. Para lo cual haremos un repaso rápido de algunos conceptos revisados previamente.

Definición. Sea $A \subset \mathbb{R}$ y $f: A \to \mathbb{R}$.

  • Se dice que $f$ es creciente si para cada $x_1$, $x_2 \in A$ tales que $x_1 < x_2$, entonces se tiene que $f(x_1) \leq f(x_2)$. Decimos que es estrictamente creciente si se da la desigualdad estricta, es decir, $f(x_1) < f(x_2)$.
  • Análogamente, decimos que $f$ es decreciente si para cada $x_1$, $x_2 \in A$ tales que $x_1 < x_2$, entonces se tiene que $f(x_1) \geq f(x_2)$. Decimos que es estrictamente decreciente si se da la desigualdad estricta, es decir, $f(x_1) > f(x_2)$.
  • Si una función es creciente o decreciente decimos que es monótona. Si la función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, decimos que es estrictamente monótona.

Tras haber retomado las definiciones anteriores, vale la pena mencionar que el hecho de que una función sea monótona en un intervalo no implica que sea continua. Podemos considerar como ejemplo:
$$f(x) = \begin{cases}
-1 & \text{ si } x < 0 \\
1 & \text{ si } x \geq 0.
\end{cases}$$

Se tiene que $f$ es monótona en $\mathbb{R}$, pero no es continua en $x=1$.

Funciones continuas que son monótonas

Estamos listos para ver la relación que existe entre la monotonía y la continuidad. Iniciaremos de viendo un resultado que va de continuidad a monotonía.

Teorema. Sea $A = [a, b]$ un intervalo y $f : A \to \mathbb{R}$ una función continua e inyectiva. Entonces $f$ es estrictamente monótona.

Demostración.

Dado que la función es inyectiva, se tiene que $f(a) \neq f(b)$. Así, tenemos dos casos.

  • Caso 1: $f(a) < f(b)$.
    Primero veamos que si $x \in [a,b]$, entonces se tiene que
    $$f(a) \leq f(x) \leq f(b) \tag{1}.$$
    Sea $x \in [a,b]$ y supongamos que $f(x) < f(a)$. Por el teorema del valor intermedio, sabemos que existe $y \in [x, b]$ tal que $f(y) = f(a)$, pero esto contradice la inyectividad. Por tanto, se concluye que $f(a) \leq f(x)$.

    Análogamente, si $x \in [a,b]$ y supongamos que $f(b) < f(x)$. Por el teorema del valor intermedio, existe $y \in [a,x]$ tal que $f(y) = f(b)$, pero esto contradice la inyectividad. Por tanto, se concluye que $f(x) \leq f(b)$.

    Ahora probaremos que $f$ es estrictamente creciente. Sean $x$, $y \in [a,b]$ tal que $x<y$. Por $(1)$, se tiene que $f(x) \leq f(b)$, más aún, se tiene la desigualdad estricta $f(x) < f(b)$ dado que la función es inyectiva y $x< y \leq b$. Tomemos el intervalo $[x,b]$ donde $f$ sigue siendo continua e inyectiva y se cumple que $f(x) < f(b)$, aplicando nuevamente $(1)$, se tiene que $f(x) \leq f(y)$ y por ser $f$ inyectiva se tiene la desigualdad estricta, es decir, $f(x) < f(y)$ y por tanto $f$ es estrictamente creciente.

  • Caso 2: $f(b) > f(a)$.
    Definimos $g: [a,b] \to \mathbb{R}$ tal que $g(x) = -f(x)$ para todo $x \in \mathbb{R}$. De esta forma $g$ también es continua e inyectiva en $[a,b]$. Notemos que $g(a) = -f(a) < -f(b) = g(b)$, es decir, $g(a) < g(b)$; y por el Caso 1, se tiene que si $x$, $y \in [a,b]$ tales que $x <y$, entonces $g(x) < g(y)$, esto implica que $-f(x) < -f(y)$ por lo que se concluye que $f(y) > f(x)$. Es decir, se tiene que $f$ es estrictamente decreciente.

De ambos casos, se concluye que si $f$ es continua e inyectiva en el intervalo $[a,b]$ entonces $f$ es estrictamente monótona.

$\square$

En el teorema anterior, nos limitamos a intervalos de la forma $[a, b]$. Sin embargo, podemos extender aún más este resultado para cualquier tipo de intervalo.

Teorema. Sea $A \subset \mathbb{R}$ un intervalo y $f : A \to \mathbb{R}$ una función continua e inyectiva. Entonces $f$ es estrictamente monótona.

Demostración.

Procederemos a realizar esta demostración por contradicción.

Supongamos que $f : A \to \mathbb{R}$ es una función continua e inyectiva, pero no es monótona. Es decir, existen $x_1,$ $x_2,$ $y_1,$ $y_2 \in A$ tales que

$$ x_1 < y_1, \quad x_2 < y_2 \quad \text{ y } \quad f(x_1) > f(y_1), \quad f(x_2) < f(y_2) \tag{1}.$$

Sea $a = min\{x_1, x_2 \}$ y $b = max \{y_1, y_2\}$.

Haremos uso de un resultado que se probará en la siguiente entrada: Si $A$ es un intervalo, entonces para cualesquiera $x$, $y \in A$, $x < y$, se tiene que $[x,y] \subset A$.

Aplicando lo anterior, tenemos que $[a,b] \subset A$ y así $f$ es continua e inyectiva en el intervalo $[a,b]$. Dado que $x_1$, $x_2$, $y_1$, $y_2 \in [a,b]$ y por $(1)$ se sigue que $f$ no es monótona en el intervalo lo cual es una contradicción al teorema anterior. Por tanto, $f$ sí es monótona en $A$.

$\square$

Funciones monótonas que son continuas

Para finalizar, veremos un teorema que relaciona funciones monótonas con la continuidad.

Teorema. Si $f : A \to \mathbb{R}$ es una función creciente y $f(A)$ es un intervalo, entonces $f$ es continua en $A$.

Demostración.

Supongamos que $f$ es creciente. Sea $x \in A$. Para probar que $f$ es continua en $x$ haremos uso de la relación existente entre el límite de una función y el de una sucesión. Tomaremos una sucesión monótona arbitraria $\{a_n\}$ tal que $a_n \to x$ y probaremos que $\{f(a_n)\} \to f(x)$.

Sea $\{a_n\}$ una sucesión creciente que converge a $x$. Entonces para todo $n \in \mathbb{N}$ se cumple que $a_n \leq a_{n+1} \leq x$ y debido a que $f$ es creciente se tiene que $f(a_n) \leq f(a_{n+1}) \leq f(x)$. Por lo anterior, se tiene que $\{f(a_n)\}$ es una sucesión creciente y acotada superiormente por lo que también es convergente.

Sea $L = \lim\limits_{n \to \infty} f(a_n)$, se cumple que $L \leq f(x)$.

Supongamos que $L < f(x)$ y consideremos $y \in \mathbb{R}$ tal que $L < y < f(x)$. Como $\{f(a_n)\}$ es creciente, se sigue que $f(a_1) < y < f(x)$. Dado que $f(A)$ es un intervalo, entonces existe $z \in A$ tal que $f(z) = y$. Se tienen dos casos.

  • Caso 1: $z \geq x$.
    Esto genera una contradicción al hecho de que $f$ es creciente, pues $y = f(z) < f(x)$.

  • Caso 2: $z < x$.
    Como $\{a_n\} \to x$, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $z < a_{n_0} < x$ lo que implica que $y = f(z) \leq f(a_{n_0}) \leq f(x)$, lo cual es una contradicción pues estamos suponiendo que $L < y < f(x)$.

De ambos casos, se concluye que $L = f(x)$. Es decir, $\{f(a_n)\} \to f(x)$ y dado que $x$ es un punto arbitrario se $A$, se concluye que $f$ es continua en $A$.

$\square$

Más adelante…

En la siguiente entrada veremos qué sucede con la inversa de una función continua para lo cual será fundamental tener presentes los conceptos y teoremas revisados en esta entrada respecto a funciones monótonas.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista

  • Da un ejemplo de una función que sea creciente y continua y un ejemplo de una función que sea decreciente y discontinua.
  • Demuestra que si $f$ y $g$ son funciones crecientes y positivas en un intervalo $A$, entonces su producto es creciente en $A$.
  • Prueba que si $f : A \to \mathbb{R}$ es una función decreciente y $f(A)$ es un intervalo, entonces $f$ es continua en $A$.
  • Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función continua. Prueba que si $f|_{\mathbb{Q}}$ es monótona, entonces $f$ es monótona.
  • Sea $A=[a,b]$ un intervalo y $f: A \to \mathbb{R}$ una función creciente. Entonces el punto $a$ se tiene un mínimo de $f$ y en $b$ un máximo.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»