Geometría Moderna I: Segmento dirigido y teorema de Stewart

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

En esta entrada presentamos los conceptos de segmento dirigido, razón en la que un punto divide a un segmento y punto al infinito, que nos serán de ayuda en los próximos temas, además demostramos el teorema de Stewart, el cual nos sirve para calcular el valor de cualquier ceviana en un triángulo.

Segmento dirigido

Para un segmento $AB$ hasta ahora solo habíamos considerado su magnitud, la cual siempre es positiva o $0$ si $A = B$, ahora también consideraremos el sentido en el que recorremos el segmento es decir de $A$ a $B$ o de $B$ a $A$, lo que nos permitirá asignarles un signo.

Si hacemos el recorrido $AB$ y luego el recorrido $BA$ entonces terminaremos en $A$ que es donde empezamos, por lo que podemos decir que:

$\begin{equation} AB + BA = 0 \Leftrightarrow BA = – AB \Leftrightarrow AB = – BA. \end{equation}$

Figura 1

Igualmente, si tenemos tres puntos colineales $A$, $B$ y $C$, y hacemos el recorrido $AB$, luego $BC$ y al final $CA$, regresaremos al punto inicial, es decir:

$\begin{equation} AB + BC + CA = 0 \Leftrightarrow AB + BC = – CA = AC. \end{equation}$

donde la última igualdad se da por la ecuación $(1)$.

Teorema 1, de Euler. Para cualesquiera cuatro puntos colineales $A$, $B$, $C$ y $D$ tenemos lo siguiente: $AB \times CD + AC \times DB + AD \times BC = 0$.

Demostración. Por las ecuaciones $(1)$ y $(2)$ tenemos
$CD = CA + AD = – AC + AD$,
$DB = DA + AB = – AD + AB$,
$BC = BA + AC = – AB + AC$.

Entonces,
$AB \times CD + AC \times DB + AD \times BC$
$= AB(- AC + AD) + AC(- AD + AB) + AD(- AB + AC)$
$= – (AB \times AC) + (AB \times AD) – (AC \times AD) + (AC \times AB) – (AD \times AB) + (AD \times AC)$
$ = 0$.

$\blacksquare$

División de un segmento en una razón dada

Definición 1. Sean $AB$ un segmento y $P$ un punto en la recta $AB$ definimos la razón en que $P$ divide al segmento $AB$ como $\dfrac{AP}{PB}$.

Si $P$ esta entre $A$ y $B$ decimos que la división es interna y entonces $AP$ y $PB$ tienen el mismo sentido, por lo que la razón será positiva, si $P = A$ la razón será $0$ e ira creciendo hasta llegar a $1$ en el punto medio de $AB$ y continuará creciendo positivamente tanto como queramos mientras $P$ se acerque más a $B$ pero sin llegar a ser $B$.

Figura 2

 Si $P$ esta fuera del segmento $AB$ la división es externa, en tal caso $AP$ y $PB$ tienen sentidos opuestos, por lo tanto, la razón será negativa, para valores del lado opuesto a $B$ respecto de $A$, $|AP| < |PB|$, por lo tanto, la razón será mayor a $- 1$ y menor que $0$, si $P$ está en el lado opuesto a $A$ respecto de $B$ entonces $|AP| > |PB|$, por lo tanto, la razón será menor que $- 1$.

Teorema 2. Sean $A$ y $B$ dos puntos fijos entonces para todo número real $\lambda$ diferente de $- 1$, existe un único punto $P$ en la recta que pasa por $A$ y $B$ tal que la razón $\dfrac{AP}{PB} = \lambda$.

Demostración. Sean $AB = a$ y $AP = x$, por la ecuación $(2)$,
$PB = PA + AB = – AP + AB = – x + a$.

Por lo tanto, $\dfrac{x}{a – x} = \dfrac{AP}{PB} = \lambda$.

Resolviendo para $x$ obtenemos
$PA = x = \dfrac{a \lambda}{1 + \lambda}$.

Ahora supongamos que $\lambda > 0$ y que existen $P$ y $P’$ tal que $\dfrac{AP}{PB} = \lambda =  \dfrac{AP’}{P’B}$.

Por la observación hecha en la definición 1, $P$ y $P’$ están dentro del segmento $AB$, además $AP = \dfrac{a \lambda}{1 + \lambda} = AP’$.

Por lo tanto, $P = P’$.

Similarmente, en caso de que $\lambda < 0$ vemos que $P = P’$, solo hay que considerar dos subcasos, $\lambda > – 1$ y $\lambda < – 1$.

$\blacksquare$

Punto al infinito

Ahora consideremos una recta fija $AB$ y un punto fijo $Q$ fuera de la recta y consideremos el conjunto de todas las rectas que pasan por $Q$ e intersecan a $AB$, a cada recta que pasa por $Q$ le podemos asociar el punto $P$ de intersección con $AB$, notemos que cuanto más se aleja $P$ de $A$ y de $B$, $\dfrac{AP}{PB}$ se aproxima más a $- 1$, esto pasa en ambos sentidos, pero al mismo tiempo la rectas se parecen más a la paralela a $AB$ por $Q$.

Esto motiva la siguiente definición.

Definición 2. Decimos que dos rectas paralelas se intersecan en el punto al infinito, o punto ideal, el cual cumple lo siguiente.

  • Para cada recta en el plano, existe solo un punto ideal.
  • El conjunto de todos los puntos ideales se encuentran en una recta, llamada recta al infinito o recta ideal.
  • Si $P$ es el punto ideal de la recta $AB$ entonces $\dfrac{AP}{PB} = – 1$.

Teorema de Stewart

Teorema 3, de Stewart. Si $A$, $B$, $C$ son tres puntos colineales y $P$ cualquier otro punto en el plano entonces:
$PA^2 \times BC + PB^2 \times CA + PC^2 \times AB + AB \times BC \times CA = 0$.

Demostración. Supongamos que $P$ no pertenece a la recta $ABC$, sea $D$ la proyección de $P$ en $ABC$, por el teorema de Pitágoras y las ecuación $(1)$ y $(2)$ tenemos:

$PC^2 = PD^2 + CD^2$,

$PA^2 = PD^2 + AD^2 = PD^2 + (AC + CD)^2 = PD^2 + AC^2 + 2AC \times CD + CD^2$
$= PC^2 + AC^2 – 2CA \times CE$,

$PB^2 = PD^2 + BD^2 = PD^2 + (BC + CD)^2 = PD^2 + BC^2 + 2BC \times CD + CD^2$
$= PC^2 + BC^2 + 2BC \times CE$.

Figura 3

Multiplicamos $PA^2$ por $BC$ y $PA^2$ por $CA$, luego sumamos,
$PA^2 \times BC = PC^2 \times BC + AC^2 \times BC – 2CA \times CE \times BC$,
$PB^2 \times CA = PC^2 \times CA + BC^2 \times CA + 2BC \times CE \times CA$.

$PA^2 \times BC + PB^2 \times CA$
$= PC^2(BC + CA) + AC^2 \times BC – BC^2 \times AC$
$= PC^2 \times BA + AC \times BC(AC – BC)$
$= – PC^2 \times AB – CA \times BC(AC + CB)$.

Como resultado,
$PA^2 \times BC + PB^2 \times CA + PC^2 \times AB + AB \times BC \times CA = 0$.

Ahora supongamos que $P$ pertenece a la recta $ABC$, sea $Q$ un punto en la perpendicular a $ABC$ por $P$, por Pitágoras y el resultado anterior tenemos,

$QA^2 = QP^2 + PA^2, QB^2 = QP^2 + PB^2, QC^2 = QP^2 + PC^2$.

$\Rightarrow$
$0 = QA^2 \times BC + QB^2 \times CA + QC^2 \times AB + AB \times BC \times CA$
$= PA^2\times BC + PB^2\times CA + PC^2 \times AB + AB \times BC \times CA + QP^2(BC + CA + AB)$.

Como, $BC + CA + AB = 0$, por la ecuación $(2)$, se tiene el resultado esperado.

$\blacksquare$

Ejemplo

Problema. Muestra que si $A$, $B$ y $O$ son tres puntos colineales entonces
$OA^2 + OB^2 = AB^2 + 2OA \times OB$.

Solución. Por la ecuacion $(1)$, $AB = AO + OB$.

Entonces,
$AB^2 = AO^2 + 2AO \times OB + OB^2 = OA^2 – 2OA \times OB + OB^2$.

Por lo tanto,
$OA^2 + OB^2 = AB^2 + 2OA \times OB$.

$\blacksquare$

Más adelante…

En la siguiente entrada estudiaremos los puntos notables del triángulo que resultan de la intersección de las mediatrices, las bisectrices, las medianas y las alturas del triángulo.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sean $A$, $B$ y $O$ tres puntos colineales, considera $M$, el punto medio de $AB$, muestra que $PM = \dfrac{PA + PB}{2}$.
  2. Si $P$, $O$, $A$, $B$ y $C$ son colineales y $OA + OB + OC = 0$, muestra que $PA + PB + PC = 3PO$.
  3. Muestra que si en la misma recta sucede que $OA + OB + OC = 0$ y $O’A’ + O’B’ + O’C’ = 0,$ entonces $AA’ + BB’ + CC’ = 3OO’$.
  4. ¿Qué nos dice el teorema de la bisectriz si el triángulo es isósceles o equilátero?
  5. Usando el teorema de Stewart, demuestra que en cualquier triángulo el cuadrado de la bisectriz interna de uno de los ángulos es igual al producto de los lados que forman dicho ángulo menos el producto de los segmentos en los cuales el lado opuesto es dividido por la bisectriz.
  6. Prueba que la suma de los cuadrados de las distancias desde el vértice del ángulo recto en un triángulo rectángulo a los puntos de trisección de la hipotenusa es igual a $\dfrac{5}{9}$ por el cuadrado de la hipotenusa.

Entradas relacionadas

Fuentes

  • Johnson, R., Advanced Euclidean Geometry. New York: Dover, 2007, pp 2-8.
  • Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 151-153.
  • Posamentier, A. y Salkind, C; Challenging Problems in Geometry. New York: Dover, 1996, pp 45-47.
  • Shively, L., Introducción a la Geómetra Moderna. México: Ed. Continental, 1961, pp 13-15, 154.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral II: Métodos Numéricos de Integración – Regla del punto medio y del trapecio

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En caso contrario a las derivadas, algunas integrales no se pueden resolver o son muy difíciles de resolver y esto es porque ninguna técnica puede ni podrá que tales integrales se puedan expresar en términos de funciones elementales, por lo que a estas integrales se recurre a aproximarlas numéricamente, por lo que en esta entrada enseñaremos solo algunos métodos numéricos para integrales definidas, ya que hay un mundo de métodos numéricos.

Métodos numéricos de integración

La idea de evaluar una integral definida $\int_{a}^{b}f(x)dx$ consiste en determinar una fórmula $F(x)$ para una de las antiderivadas $f(x)$ y calcular el número $F(b)-F(a)$, sin embargo, en algunas ocasiones es difícil o incluso imposible hallar una antiderivada, por ejemplo, es difícil hallar de manera exacta la siguiente integral definida:

$$\int_{0}^{1} e^{x^{2}}dx$$

Por lo que en estos casos se necesita hallar valores aproximados a estas integrales definidas usando algunos métodos de aproximación como la regla del punto medio o la regla del trapecio.

Regla del punto medio

Para el método de la regla del punto medio comenzamos a deducir este método.

Sea una función $f(x)$ continua en un intervalo $[a, b]$. Dividimos este intervalo en $n$ subintervalos de igual longitud como se observa en la figura $1$, expresemos esta longitud como:

$$\Delta x=\frac{b-a}{n}$$

A medida que $n \to \infty$ mejor es la aproximación a la integral de la función $f(x)$.

Figura 1: Aproximación del método del punto medio a una función $f(x)$.

Recordemos que la integral definida se puede aproximar como [Hipervinculo: Calculo II-Definición de la integral]

$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx \sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x$$

Donde $x_{i}$ es cualquier punto en el i-ésimo subintervalo $[a, b]$. Se puede considerar a $x_{i}$ como el punto medio, denotemos este punto como $\bar{x_{i}}$, así como se muestra en la figura $1$.

Sumamos estos $n$ puntos medios evaluados sobre la función $f(x)$ multiplicadas por $\Delta x$, obtenemos una aproximación a la integral, a este método se le conoce como regla del punto medio y está definida como:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx M_{n}= \sum_{i=1}^{n}f(\bar{x_{i}})\Delta x=\Delta x\left [ f(\bar{x_{1}})+f(\bar{x_{2}})+…+f(\bar{x_{n}}) \right ] \tag{1}$$

Con:

$$\Delta x=\frac{b-a}{n}$$

Llamado tamaño de la malla y:

$$\tilde{x_{i}}=\frac{1}{2}\left ( a+b \right )$$

Es el punto medio del intervalo $[a, b]$.

Regla del trapecio

Este método consiste en considerar varios trapecios y aproximarse a la función $f(x)$ mediante estos, recordemos que el área de un trapecio es:

$$1/2 (base \space mayor + base \space menor) \space por \space altura$$

Así el área del i-esimo trapecio es:

$$A=\frac{f(x_{i-1})+f(x_{i})}{2}\Delta x$$

Análogamente, a la deducción del método de la regla del punto medio, consideremos una función $f(x)$ continua en el intervalo $[a, b]$, dividimos este intervalo en $n$ subintervalos con longitud $\Delta x=\frac{b-a}{n}$, en donde se aproxima el área de la integral por medio de trapecios como lo vemos en la siguiente imagen:

Figura 2: Aproximación del método del trapecio a una función $f(x)$.

Por lo que se puede aproximar la integral de la función $f(x)$ tomando $n$ subintervalos, como:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx T_{n}= \frac{1}{2}\left [ \sum_{i=1}^{n}(f(x_{i-1})+f(x_{i})) \Delta x \right ]$$

$$=\frac{\Delta x}{2}\left [ \sum_{i=1}^{n}(f(x_{i-1})+f(x_{i})) \right ]=\frac{\Delta x}{2} \left [ f_{0}+f_{1}+…+f_{n-1}+f_{1}+f_{2}+…+f_{n} \right ]=\frac{\Delta x}{2}\left [ f_{0}+2f_{1}+…+2f_{i-1}+f_{n} \right ]$$

$$\therefore \int_{a}^{b}f(x)dx\approx T_{n}=\frac{\Delta x}{2} \left [ f_{0}+2f_{1}+…+2f_{i-1}+f_{n} \right ] \tag{2}$$

Donde:

$$\Delta x=\frac{b-a}{n}$$

Y:

$$x_{i}=a+i\Delta x$$

Cotas de error

Como son métodos de aproximación, entonces hay un error en el cual se define como la cantidad que debe ser sumada a la aproximación para llegar al valor exacto. Cuando el valor $n$ tiende a ser muy grande, el valor $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ tiende a cero, por lo que $M_{n}$ y $T_{n}$ tienden al valor exacto de $\int_{a}^{b}f(x)dx$ pero es claro que hacerlo en papel es muy difícil de llegar al valor exacto por lo que a continuación se definen las estimaciones de las cotas de los errores:

Consideremos que $|f´´(x)|\leq K$ para $a\leq x \leq b$ , es decir, la segunda derivada de $f(x)$ está acotada por $K$, una cota superior para los valores de $|f´´|$ en $[a, b]$. Si $E_{M}$ y $E_{T}$ son los errores en la regla del punto medio y la regla del trapecio respectivamente, para $n$ pasos, entonces:

$$|E_{M}|\leq \frac{K(b-a)^{3}}{24n^{2}}$$

$$|E_{T}|\leq \frac{K(b-a)^{3}}{12n^{2}}$$

Obsérvese que $|f´´(x)|$ es el valor absoluto de la segunda derivada de la función.

Veamos un ejemplo de como se aplican estos dos métodos numéricos.

Ejemplos

  • Usar la regla del punto medio y del trapecio con $n=5$ para aproximar la integral $\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx$ y calculé los errores respectivos.

Vemos que $n=5$, $a=1$ y $b=2$ $\Rightarrow \Delta x=\frac{2-1}{5}=\frac{1}{5}$

Comenzamos con el método de la regla del punto medio, tenemos que los puntos medios son: $\tilde{x_{i}}=\frac{1}{2}\left [ x_{i-1}+x_{i} \right ]$, como estamos en el intervalo $[1, 2]$ dividimos este intervalo en $5$, ya que $n=5$ y tendremos los siguientes subintervalos:

$$[1, 1.2], \space [1.2, 1.4], \space [1.4, 1.6], \space [1.6, 1.8] \space y \space [1.8, 2]$$

Ahora obtengamos $\bar{x_{i}}$, que son los puntos medios respectivamente de los subintervalos anteriores, los cuales son:

$$1.1, \space 1.3, \space 1.5, \space 1.7 \space y \space 1.9$$

Usando la relación $(1)$, tenemos que:

$$\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx\approx \Delta x\left [ f(1.1)+f(1.3)+f(1.5)+f(1.7)+f(1.9) \right ]=\frac{1}{5}\left [ \frac{1}{1.1}+\frac{1}{1.3}+\frac{1}{1.5}+\frac{1}{1.7}+\frac{1}{1.9} \right ]\approx 0.691908 \tag{3}$$

Ahora usamos el método de la regla del trapecio recordando que:

$$x_{i}=a+i\Delta x$$

Entonces:

$$x_{0}=1$$

$$x_{1}=1+(1)(\frac{1}{5})=1.2$$

$$x_{2}=1+(2)(\frac{1}{5})=1.4$$

$$x_{3}=1+(3)(\frac{1}{5})=1.6$$

$$x_{4}=1+(4)(\frac{1}{5})=1.8$$

$$x_{5}=1+(5)(\frac{1}{5})=2$$

Por ende, usamos la relación $(2)$, se tiene que:

$$\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx\approx \frac{0.2}{2} \left [ f(1)+2f(1.2)+2f(1.4)+2f(1.6)+2f(1.8)+f(2) \right ]=0.1\left [ \frac{1}{1}+\frac{2}{1.2}+\frac{2}{1.4}+\frac{2}{1.6}+\frac{2}{1.8}+\frac{1}{2} \right ]\approx 0.695635 \tag{4}$$

Para calcular las cotas de los errores tomemos la segunda derivada de la función:

$$|f´´(x)|=|\frac{2}{x^{3}}|$$

Como estamos en un intervalo, entonces:

$$1\leq x \leq2 \Rightarrow 1 \geq \frac{1}{x}$$

Por lo que:

$$|f´´(x)|=|\frac{2}{x^{3}}|\leq|\frac{2}{1^{3}}|\leq 2 $$

Así tenemos que una cota superior es $K=2$, de manera que:

$$|E_{T}|\leq \frac{2(2-1)^{3}}{12(5)^{2}} \approx 0.06667$$

$$|E_{M}|\leq \frac{2(2-1)^{3}}{24(5)^{2}} \approx 0.00333$$

Observemos que las cotas de error se encuentran en un intervalo al resolver las desigualdades, es decir, el valor de la cota de error para el método del trapecio está en el intervalo $(-0.06667,0.06667 )$ y la cota de error para el método del punto medio está en el intervalo $(- 0.00333,0.00333 )$.

Si hacemos la integral de manera directa tenemos lo siguiente:

$$\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx=0.693147…. \tag{5}$$

Comparamos los resultados $(3)$ y $(4)$ de estos dos métodos y observamos que en los dos métodos se aproximan al valor de la integral definida $(5)$ incluso para $n$ pequeñas, para $n$ mucho más grandes se espera que se aproximen mejor al valor de la integral definida.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. ¿Para que valor de n se deben tomar a fin de garantizar que la aproximación de la regla del punto medio para $\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx$ sean exactas hasta dentro de 0.001?
  2. ¿Para que valor de n se deben tomar a fin de garantizar que la aproximación de la regla del trapecio para $\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx$ sean menor que $10^{-4}$?
  3. Utilice la regla del punto medio con n =4 para estimar $\int_{1}^{2}x^{2}dx$
  4. Utilice la regla del trapecio con n =4 para estimar $\int_{1}^{2}x^{2}dx$
  5. De una cota superior para aproximar la siguiente integral $\int_{1}^{2}e^{x^{2}}dx$

Más adelante…

En esta sección vimos dos métodos de aproximación numérica para las integrales que son el método del punto medio y el método del trapecio, el cual vimos que se pueden aproximar a la integral que deseemos, pero para lograr una mejor aproximación, en general, se utiliza lenguajes de programación como Python, C++, R, o software especializados como Mathematica o MatLab para mejorar la precisión de estos métodos facilitando el trabajo y obteniendo una aproximación que se quiera, siempre y cuando su computador lo permita. En el siguiente entrada veremos otro método de aproximación numérica llamado el método de la regla de Simpson.

Entradas relacionadas

Teoría de los Conjuntos I: Lenguaje de la Teoría de los Conjuntos

Por Gabriela Hernández Aguilar

1 respuesta

Introducción

Antes de comenzar con nuestro curso de Teoría de los Conjuntos I, dedicaremos esta entrada para hablar acerca de lógica de primer orden. Esto lo haremos únicamente con el fin de que veas como se van construyendo las fórmulas del lenguaje de la Teoría de los Conjuntos. Dichas fórmulas las utilizaremos en distintos momentos a lo largo de este curso.

Necesariamente, esta entrada será breve, pues todas las precisiones de lógica se ven en un curso de esta materia, y todas las precisiones de teoría de conjuntos son parte de lo que esperamos entender en este curso.

Lenguaje de la Teoría de los Conjuntos 1

Definición. El lenguaje de la teoría de los conjuntos consiste en:

Simbolos lógicos:

  1. Variables $x, y, z$
  2. Conectivos lógicos $\neg$, $\land$, $\vee$, $\rightarrow$, $\leftrightarrow$
  3. Cuantificadores $\forall$, $\exists$
  4. Parentesis (,)

Simbolos no lógicos:

  1. Símbolos de predicado $\in$ y $=$.

Es importante decir que todas las variables de nuestro lenguaje representarán conjuntos y los símbolos de predicado representarán relaciones entre estos conjuntos.

Las fórmulas atómicas son de la forma: $x\in y$ y $x=y$.

A partir de aquí, podemos formar más fórmulas, ya que si $\phi$ y $\varphi$ son fórmulas, entonces $\neg \phi$, $\phi \land \varphi$, $\phi \vee \varphi$, $\phi \rightarrow \varphi$, $\phi \leftrightarrow \varphi$ tambien lo son.

Ejemplo.

$\neg (x=y)$, $(x\in y)\land (x=y)$, $(x\in y)\vee (x\in z)$, $(x\in z)\rightarrow (x=z)$, $(x\in z)\leftrightarrow (y\in w)$ son fórmulas de la teoría de conjuntos.

$\square$

Si $\varphi$ es una fórmula de la teoría de los conjuntos, entonces $\exists x \varphi$ y $\forall x \varphi$ también lo son.

Ejemplo.

  • Dado que $(x\in y)\vee (x\in z)$ es una fórmula de la teoría de los conjuntos. Entonces, $\forall x((x\in y) \vee (x\in z))$ también lo es.
  • $\forall x((x\in y) \rightarrow \neg(x\in z))$ es fórmula de la teoría de conjuntos.
  • $\exists x(x\in y)$ es fórmula de la teoría de conjuntos.

$\square$

Las fórmulas del lenguaje de la teoría de los conjuntos nos permiten:

  1. Describir propiedades que pueden o no satisfacer conjuntos dados de antemano.
  2. Expresar relaciones entre dos o más conjuntos.

A partir de ahora, a aquellas fórmulas que describen una característica particular de un conjunto $x$ les llamaremos propiedades y las denotaremos con $P(x)$, $Q(x)$, $P_1(x)$, $P_2(x)$, etcétera. Dichas fórmulas tienen a $x$ como variable libre.

Dado que las fórmulas que podemos ir construyendo con el lenguaje de la teoría de los conjuntos se vuelven muy complejas, vamos a abreviarlas para facilitar su escritura.

Abreviaturas.

  • $\neg(x\in y)$ lo escribiremos como $x\notin y$.
  • $\neg(x=y)$ lo escribiremos como $x\not= y$.
  • $\forall x((x\in y)\rightarrow (x\in z))$ lo escribiremos como $y\subseteq z$.
  • Si $\varphi$ es una fórmula dada, $\forall x(x\in y\rightarrow \varphi)$ y $\exists x(x\in y\land \varphi)$ las escribiremos como $(\forall x\in y) \varphi$ y $(\exists x\in y) \varphi$, respectivamente.

Tarea moral

Construye 10 fórmulas del lenguaje de la teoría de los conjuntos. Utiliza cuantificadores y conectivos lógicos.

Más adelante…

En la siguiente entrada daremos inicio al curso de Teoría de los Conjuntos I. Comenzaremos hablando de los primeros axiomas de Zermelo-Fraenkel, estos axiomas son los de existencia, de comprensión y de extensión. El primero de ellos nos permitirá siquiera asegurar la existencia de un conjunto.

Entradas relacionadas

Los siguientes enlaces te servirán para revisar con mejor detalle el tema:

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

  1. Puede consultar más información sobre esto en Fernández de Castro M., Villegas Silva L. (2011). Lógica Matemática II: Clásica, Intuicionista y Modal (1.ª ed.) Universidad Autónoma Metropolitana. pp. 151-152. ↩︎

Cálculo Diferencial e Integral II: Método de sustitución o cambio de variable

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En las unidades anteriores, se dieron las bases para la integración de funciones, así como, la integración de funciones con rigurosidad matemática. En esta unidad se estudiaran varias técnicas de integración para determinar integrales sin demasiada rigurosidad matemática y aunque no se estudiaran todas las técnicas de integración se verán las más relevantes.

Método de sustitución o cambio de variable

La integración por sustitución o cambio de variable, que como bien se menciona, es una técnica de integración que necesita uno o más cambios de variables adecuados en el integrando, de tal forma que la integral sea más sencilla de resolver. Comenzamos enunciando el teorema siguiente, la integración por sustitución.

Teorema: Método de sustitución

Sea $g$ una función derivable y con derivada continua, sea $f$ una función continua en un intervalo. Supón además que $F$ es una antiderivada de $f$ entonces:

$$\int_{a}^{b}f(g(x)) \cdot g'(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du= F(g(x)){\bigg|}_{ a }^{ b } $$

Demostración:

Por hipótesis, $F$ es primitiva de $f$, entonces por el segundo teorema fundamental del Cálculo [ Hipervinculo: Calculo II-Segundo Calculo fundamental del calculo] tenemos que:

$$\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du = F(g(b))-F(g(a)) \tag{1}$$

Por otro lado, dado que $f$ es continua, entonces tiene una antiderivada $F$, la función compuesta $f\circ g$ está definida, ya que $g$ es una función, como $g$ es diferenciable, tenemos que, por la regla de la cadena y la definición de antiderivada obtenemos que:

$$\frac { d }{ dx } (F(g(x))=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x) \tag{2}$$

Integramos de $a$ hasta $b$, nos fijamos en el lado derecho e izquierdo de la ecuación $(2)$ como sigue:

$$\int_{a}^{b} \frac { d }{ dx } (F(g(x))dx=\int_{a}^{b} f(g(x)) \cdot g'(x) dx $$

Utilizamos nuevamente el teorema fundamental del Cálculo, obteniendo lo siguiente:

$$\int _{ a }^{ b }{ f(g(x)) \cdot g'(x)dx=F(g(b))-F(g(a)) } \tag{3}$$

Observamos las ecuaciones $(1)$ y $(3)$, vemos que se obtuvo la igualdad deseada, por lo que:

$$\int _{ a }^{ b }{ f(g(x)) \cdot g'(x)=F(g(b))-F(g(a)) } = \int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$$

$\square$

Puede quedar no muy claro el cómo utilizar este teorema, por lo que a continuación se ejemplificara con varios ejercicios el método de sustitución.

Ejemplos:

  • $\int { { ({ x }^{ 2 }+1) }^{ 2 }(2x)dx }$

Se hace un cambio de variable para resolver esta integral, cabe destacar que el símbolo para el cambio de variable puede ser cualquiera que guste, por ejemplo cualquier letra del alfabeto o incluso una carita feliz, en la literatura es común utilizar los símbolos de $u$ y $v$ para tales cambios de variable.

Para resolver esta integral, proponemos a $u = {x}^{2}+1$, por lo que, al derivar, se obtiene: $du = 2x dx$, así, al sustituir estas variables, el integrando queda de la siguiente forma:

$$\int u^{2}du$$

Vemos que al hacer el cambio de variable la integral es más sencilla, ya que sabemos que en general cualquier polinomio de grado $n$ se integra como:

$$\int { { x }^{ n }dx } =\frac { { x }^{ n+1 } }{ n } +C$$

Donde $C$ es la constante de integración, siguiendo con el ejercicio:

$$\int { { u }^{ 2 }du= \frac { { u }^{ 3 } }{ 3 } +C } $$

Volviendo a la variable original $x$, la resolución de la integral es:

$$\int { { ({ x }^{ 2 }+1) }^{ 2 }(2x)dx } = \frac { { ({ x }^{ 2 }+1) }^{ 3 } }{ 3 } +C $$

Obsérvese que este integral se puede resolver también multiplicando los factores y utilizar la linealidad de la integral, pero esto es un poco más laborioso. Así vemos que este método nos ayuda a resolver integrales fácilmente.

  • $\int { \frac { 2x-9 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-9x+1 } } } dx$

A simple vista esta integral puede ser complicada y necesitar de otros métodos, pero veamos que no es necesario.

Proponemos como cambio de variable: $u={ x }^{ 2 }-9x+1$, la derivada es: $du=(2x-9)dx$, por lo que la integral se reescribe como:

$$\int { \frac { du }{ \sqrt { u } } }=\int { { u }^{ -1/2 }du }$$

Esta integral se resuelve como:

$$\int { { u }^{ -1/2 }du }=\frac { { u }^{ -1/2+1 } }{ -\frac{1}{2}+1 } +C={ 2u }^{ 1/2 }+C$$

Volviendo a la variable original, el resultado es:

$$\int { \frac { 2x-9 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-9x+1 } } } dx=2\sqrt { { x }^{ 2 }-9x+1 } +C$$

  • $\int { \frac { x+1 }{ { x }^{ 2 }+2x } dx }$

Proponemos como cambio de variable: $u={x}^{2}+2x \Rightarrow du=(2x+2)dx=2(x+1)dx$

Vemos en el integrando que solo está el término $x+1$, por lo que en la relación de la diferencia de $u$, al ser una igualdad, pasamos el $2$ dividiendo como sigue:

$$\Rightarrow \frac { du }{ 2 } =\left(x+1 \right) dx$$

Por lo que reescribimos la integral y la resolvemos:

$$\int \frac { 1 }{ u } \frac{du}{2}=\frac { 1 }{ 2 } ln\left| u \right| +C$$

Volviendo a la variable original, se obtiene que la resolución de la integral es:

$$\int { \frac { x+1 }{ { x }^{ 2 }+2x } dx }=\frac { 1 }{ 2 } ln\left| { x }^{ 2 }+2x \right| +C $$

  • $\int _{ 1 }^{ 3 }{ \frac { { e }^{ 3/x } }{ { x }^{ 2 } } dx }$

Vemos en este caso que tenemos una integral definida. Proponemos como cambio de variable: $$u=\frac { 3 }{ x } \Rightarrow du=-3{ x }^{ -2 }dx$$

Al hacer un cambio de variable en las integrales con límites de integración, se tiene que cambiar los límites de integración como sigue: Si $x=1 \Rightarrow u=3$, si $x=3 \Rightarrow u=1$, así la integral se reescribe como:

$$\int _{ 3 }^{ 1 }{\left ( -\frac { 1 }{ 3 }\right ) { e }^{ u }du }$$

Resolviendo esta integral, sabemos que al cambiar los límites de integración se cambia el signo de la integral [ Hipervinculo: Calculo II-Tema que contiene el cambio de signo al cambiar los límites de integración], entonces tenemos que:

$$\int _{ 1 }^{ 3 }{ \frac { 1 }{ 3 } { e }^{ u }du}={ \left[ \frac { 1 }{ 3 } { e }^{ u }du \right] }{\bigg|}_{ 1 }^{ 3 }=\frac { 1 }{ 3 } \left( { e }^{ 3 }-{ e } \right)$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Resuelve las siguientes integrales utilizando el método de sustitución:

  1. $$\int \sqrt { 2x+1 }dx$$
  2. $$\int 3{ x }^{ 2 }\sqrt { { x }^{ 3 }-2 } dx$$
  3. $$\int \frac { { x }^{ 2 }+x+1 }{ { x }^{ 2 }+1 } dx $$ Hint: Hacer la división de polinomios.
  4. $$\int _{ -2 }^{ 3 } x \cos { {( x }^{ 2 }+3)}dx$$
  5. $$\int _{ 0 }^{ \pi /4 } \sqrt { 1+\cos(4x)} dx$$ Hint: Utilizar la identidad ${ \cos }^{2 }(\theta) =\frac { 1+\cos { (2\theta) } }{ 2 }$ y utilizar un cambio de variable.

Más adelante…

Como se mencionó anteriormente, esta técnica de integración facilita resolver algunas integrales utilizando uno o más cambios de variables apropiados para poder resolver la integral como se vio en esta sección, pero en otros casos no se pueden resolver integrales solo utilizando el cambio de variable, en la siguiente sección veremos otro método de integración llamado integración por partes.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Integración de funciones racionales por fracciones parciales

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En la sección anterior vimos el método de sustitución trigonométrica que es un método que utiliza sustituciones con funciones básicas trigonométricas para poder resolver ciertos tipos de integrales, en esta sección mostraremos como integrar cualquier función racional como una suma de fracciones más simples llamadas fracciones parciales y que son más fáciles de integrar, a este método se le denomina el método por fracciones parciales.

Método de las fracciones parciales

Considérese una función racional: $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$

Donde $P(x)$ y $Q(x)$ son polinomios de grado $n$ y $m$ respectivamente, es posible reescribir el polinomio $f(x)$ si el grado de $P(x)$ es menor que el grado de $Q(x)$, es decir, $n < m$.

Al reescribir la función $f(x)$ como combinación lineal de más polinomios se le conoce como método de fracciones parciales, así, al integrar la función $f(x)$ se integran estos polinomios facilitando la integración en algunos casos.

A continuación veremos los casos en los que se puede utilizar este método

Caso 1: El denominador $Q(x)$ es un producto de factores lineales distintos

Como los factores del polinomio $Q(x)$ son productos de factores lineales distintos, entonces podemos escribir a $Q(x)$ como: $(a_{1}x+b_{1})(a_{2}x+b_{2})….(a_{k}x+b_{k})$ donde ningún factor se repite y ningún factor es un múltiplo constante de otro, entonces existen constantes $A_{1}, A_{2}…., A_{k}$ tales que:

$$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A_{1}}{a_{1}x+b_{1}}+\frac{A_{2}}{a_{2}x+b_{2}}+….+\frac{A_{k}}{a_{k}x+b_{k}}$$

Veamos el ejemplo siguiente.

  • $\int \frac{1}{x^{2}-5x+6}dx$

Notamos que el grado del numerador es menor que el grado del denominador, pero para utilizar el caso anterior podemos reescribir el denominador como sigue:

$$x^{2}-5x+6=(x-3)(x-2)$$

Lo cual los factores son lineales, entonces podemos usar las fracciones parciales como:

$$\frac{1}{x^{2}-5x+6}=\frac{1}{(x-3)(x-2)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{(x-2)}=\frac{A(x-2)+B(x-3)}{(x-3)(x-2)}$$

Tenemos que identificar los valores de las variables $A$ y $B$.

Observamos la igualdad, vemos que se debe tener que tanto los denominadores y los numeradores de ambos lados de la igualdad deben ser iguales respectivamente, por lo que:

$$1=A(x-2)+B(x-3)=Ax-2A+Bx-3B=x(A+B)-2A-3B$$

$$1= x(A+B)-2A-3B $$

Vemos que: $A+B=0$ ya que no hay un factor de $x$ en el lado izquierdo de la igualdad $\Rightarrow A=-B$

Por otro lado: $1=-2A-3B=-2(-B)-3(B) \Rightarrow B=-1 \Rightarrow A=1$

Por lo que la integral se reescribe como:

$$\int \frac{1}{x^{2}-5x+6}dx=\int \frac{1}{(x-3)}-\frac{1}{(x-2)}dx=\int \frac{1}{(x-3)}dx-\int \frac{1}{(x-2)}dx$$

Estas integrales se pueden resolver por el método de sustitución, quedando como resultado:

$$\int \frac{1}{(x-3)}dx-\int \frac{1}{(x-2)}dx=ln(x-3)-ln(x-2)+C$$

$$\therefore \int \frac{1}{x^{2}-5x+6}dx =ln(x-3)-ln(x-2)+C$$

Caso 2: El denominador es un producto de factores lineales algunos de los cuales se repiten

Suponga que el primer factor lineal: $a_{1}x+b_{1}$ se repite $k$ veces, es decir, el factor lineal está elevado a la $k$, por lo que podemos usar las fracciones parciales como:

$$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A_{1}}{a_{1}x+b_{1}}+\frac{A_{2}}{(a_{1}x+b_{1})^{2}}+….+\frac{A_{k}}{(a_{1}x+b_{1})^{k}}$$

Veamos un ejemplo.

  • $\int \frac{5x^{2}-36x+48}{x(x-4)^{2}}dx$

Vemos que el denominador es de grado mayor que el nominador y que el factor $(x-4)$ se repite dos veces, utilizando lo visto del caso $(2)$ y el caso $(1)$, tenemos que:

$$\frac{5x^{2}-36x+48}{x(x-4)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-4}+\frac{C}{(x-4)^{2}}$$

Hacemos la suma de las fracciones:

$$\frac{A(x-4)^{2}}{x(x-4)^{2}}+\frac{Bx(x-4)}{x(x-4)^{2}}+\frac{Cx}{x(x-4)^{2}}=\frac{A(x-4)^{2}+Bx(x-4)+Cx}{x(x-4)^{2}}$$

Vemos que:

$5x^{2}-36x+48=A(x-4)^{2}+Bx(x-4)+Cx=A(x^{2}-8x+16)+Bx(x-4)+Cx=x^{2}(A+B)+x(-8A-4B+C)+16A$

$\Rightarrow 5=A+B$

$-36=-8A-AB+C$

$48=16A$

Resolviendo este sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas tenemos que:

$$A=3 \Rightarrow B=2 \Rightarrow C=-4$$

Así la integral se reescribe como:

$$\int \frac{5x^{2}-36x+48}{x(x-4)^{2}}dx=\int \left (\frac{3}{x}+\frac{2}{x-4}-\frac{4}{(x-4)^{2}} \right )dx=\int \frac{3}{x}dx+\int \frac{2}{x-4}dx-\int \frac{4}{(x-4)^{2}}dx$$

Resolvemos estas integrales por el método de sustitución resultando:

$$\int \frac{5x^{2}-36x+48}{x(x-4)^{2}}dx=3ln(x)+2ln(x-4)+\frac{4}{x-4}+C$$

Caso 3: El denominador contiene un factor cuadrático irreducible, ninguno de los cuales se repite

Si el denominador $Q(x)$ tiene un factor $ax^{2}+bx+c$ irreducible, entonces se tendrá un término de la forma;

$$\frac{1}{Q(x)}=\frac{Ax+B}{ax^{2}+bx+c}$$

Veamos un ejemplo donde se use este caso, pero sin integrar la función $f(x)$, ya que esta entrada se haría un poco larga y tediosa.

  • $\frac{4x^2-8x+1}{(x+2)(x^{2}-2x+3)}$

Combinando lo visto del caso $1$ y caso $3$ tenemos que:

$$\frac{4x^2-8x+1}{(x+2)(x^{2}-2x+3)}=\frac{A}{(x+2)}+\frac{Bx+C}{(x^{2}-2x+3)}=\frac{A(x^{2}-2x+3)+(Bx+C)(x+2)}{(x+2)(x^{2}-2x+3)}$$

$\Rightarrow 4x^2-8x+1=A(x^{2}-2x+3)+(Bx+C)(x+2)=Ax^{2}-2Ax+3A+Bx^{2}+2Bx+Cx+2C$

$\Rightarrow 4x^2-8x+1=x^{2}(A+B)+x(-2A+2B+C)+3A+2C$

$\Rightarrow 4=A+B$

$-8=-2A+2B+C$

$1=3A+2C$

Resolviendo este sistema de 3 ecuaciones y 3 variables tenemos que:

$$A=3 \Rightarrow B=1\Rightarrow C=-4$$

Así podemos reescribir la división polinómica como:

$$\frac{4x^2-8x+1}{(x+2)(x^{2}-2x+3)}=\frac{3}{x+2}+\frac{x-4}{x^{2}-2x+3}$$

Caso 4: El denominador contiene un factor cuadrático irreducible que se repite $k$ veces

Si $Q(x)$ tiene un factor $ax^{2}+bx+c$ irreducible y se repite $k$ veces, entonces se tendrá la siguiente forma:

$$\frac{1}{Q(x)}=\frac{A_{1}x+B_{1}}{ax^{2}+bx+c}+\frac{A_{2}x+B_{2}}{(ax^{2}+bx+c)^{2}}+….+\frac{A_{k}x+B_{k}}{(ax^{2}+bx+c)^{k}}$$

Veamos un ejemplo utilizando este caso sin integrar.

  • $\frac{1-x+2x^2-x^3}{x(x^{2}+1)^{2}}$

De los casos anteriores tenemos que:

$$\frac{1-x+2x^2-x^3}{x(x^{2}+1)^{4}}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}+\frac{Dx+E}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{A(x^{2}+1)^{2}+(Bx+C)x(x^{2}+1)+x(Dx+E)}{x(x^{2}+1)^{2}}$$

$\Rightarrow 1-x+2x^2-x^3=A(x^{2}+1)^{2}+(Bx+C)x(x^{2}+1)+x(Dx+E)=A(x^{4}+2x^{2}+1)+B(x^{2}+Cx)(x^2+1)+Dx^{2}+Ex$

$=Ax^{4}+2Ax^{2}+A+Bx^{4}+Bx^{2}+C^{3}+Cx+Dx^{2}+Ex=(A+B)x^{4}+Cx^{3}+x^{2}(2A+B+D)+(C+E)x+A$

$\Rightarrow 0=A+B$

$-1=C$

$2=2A+B+D$

$1=C+E$

$1=A$

Resolviendo este sistema de ecuaciones con 5 incógnitas y 5 ecuaciones, vemos que: $A=1$ y $C=-1 \Rightarrow B=1$, $D=1$ y $E=0$

Así tenemos que:

$$\frac{1-x+2x^2-x^3}{x(x^{2}+1)^{4}}=\frac{1}{x}+\frac{-x-1}{x^{2}+1}+\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Resolver las siguientes integrales:

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. $$\int \frac{x^{2}+4x+1}{(x-1)(x+1)(x+3)}dx$$
  2. $$\int \frac{6x+7}{(x+2)^{2}}dx$$
  3. $$\int \frac{2x^{2}-4x-8}{(x^{2}-x)(x^2+4)}dx$$
  4. $$\int \frac{5x^{2}+20x+6}{x^{3}+2x^{2}+x}dx$$
  5. $$\int \frac{4x}{(x^{2}+1)(x^{2}+2x+3)}dx$$

Más adelante…

Aunque el método de fracciones parciales es un poco laborioso, es un gran método para resolver este tipo de integrales con funciones racionales, utilizando también el método de fracciones parciales en el cual se divide en 4 casos diferentes para que la función racional sea más sencilla de integrar. En la siguiente sección comenzaremos a ver algunos métodos numéricos para la integral.

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