Variable Compleja I : El Campo de los Números Complejos

Introducción

Aunque la teoría de los Números Complejos ha ido formalizándose a lo largo del tiempo, el término «imaginario» ha trascendido hasta nuestros días, es claro que dicha expresión está ligada con la concepción con la que surgieron dichos números y que es simplemente una expresión para referirse a dichos números. El término «complejo» fue introducido por primera vez por el matemático Carl Friedrich Gauss, mientras que el símbolo $i$, para denotar a $\sqrt{-1}$, fue introducido por primera vez por el matemático Leonhard Euler.

Para las ecuaciones como $x^2+2x+2 = 0$ y $x^3=6x+4$, durante el siglo XVI, se encontraron soluciones como $1+\sqrt{-1}$ y $\sqrt[3]{2+\sqrt{-2}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-2}}$ respectivamente, lo cual genero incertidumbre entre los matemáticos de la época, puesto que expresiones como $\sqrt{-1}$ y $\sqrt{-2}$ no tenían sentido. Conforme la teoría de los números complejos se desarrollo, para evitar expresiones como las anteriores, se opto por definir una nueva cantidad, la unidad imaginaria, denotada por el símbolo $i$, la cual es caracterizada por cumplir la propiedad $i^2 = -1$, es decir, es la raíz cuadrada de $-1$. Considerando esta notación las expresiones $\sqrt{-1}$ y $\sqrt{-2}$ ahora pueden reescribirse como $i$ y $\sqrt{2} i$, respectivamente.

El Campo de los Números Complejos $\mathbb{C}$

Definición 1. (Número complejo.)
Un número complejo es un número de la forma $z = a+ib$ donde $a$ y $b$ son números reales e $i$ es la unidad imaginaria.
Al número real $a$ se le conoce como la parte real de $z$ y se denota como Re$(z)$, mientras que al número real $b$ se le conoce como la parte imaginaria de $z$ y se le denota como Im$(z)$. Además, si Re$(z) = 0$, entonces se dice que $z$ es un número imaginario puro.

Ejemplo.

  • Si $z = 9 – 6i$, entonces Re$(z) = 9$, mientras que Im$(z) = -6$.
  • Si $z = -8i$, entonces Re$(z) = 0$, mientras que Im$(z) = -8$.
    En este caso $z$ es un número imaginario puro.

Veamos ahora la justificación de ésta definición.

Definición 2. (El Campo de los Números Complejos.)
El campo de los números complejos, denotado por $\mathbb{C}$, en el $\mathbb{R}$ – espacio vectorial de 2 dimensiones $\mathbb{R}^2$ (el plano cartesiano), es el conjunto formado por pares ordenados de números reales $z:=(a, b)$, dotado con las operaciones binarias de suma y multiplicación definidas respectivamente como:

\begin{equation}
(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d).
\end{equation}

\begin{equation}
(a, b) \cdot (c, d) = (ac – bd, ad + bc).
\end{equation}

Considerando que $a, b, c$ y $d$ son números reales, se sabe que las parejas ordenadas $(a, b)$ y $(c, d)$ son iguales, es decir $(a, b) = (c, d)$, si y solo si $a=c$ y $b=d$, por lo que si $a \neq b$, entonces $(a, b) \neq (b, a)$, esto es, como parejas ordenadas $(a, b)$ y $(b, a)$ son diferentes, por lo que como números complejos también lo son.

Usando las propiedades de los números reales, es fácil verificar que la suma y el producto recién definidos satisfacen las siguientes propiedades:

Para todo $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$:

  1. Conmutatividad de la suma.

\begin{equation*}
z_1 + z_2 = z_2 + z_1.
\end{equation*}

  1. Asociatividad de la suma.

\begin{equation*}
z_1 + (z_2 + z_3) = (z_1 + z_2) + z_3.
\end{equation*}

  1. Conmutatividad de la multiplicación.

\begin{equation*}
z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1.
\end{equation*}

  1. Asociatividad de la multiplicación.

\begin{equation*}
z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) = (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3.
\end{equation*}

  1. Distributividad de la multiplicación sobre la suma.

\begin{equation*}
z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3.
\end{equation*}

\begin{equation*}
(z_1 + z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot z_3 + z_2 \cdot z_3.
\end{equation*}

  1. Existencia de un elemento neutro para la suma, a decir el cero, dado por el par ordenado $(0,0)$, tal que para todo $z = (a, b) \in \mathbb{C}$:

\begin{equation*}
(a, b) + (0, 0) = (a, b).
\end{equation*}

  1. Existencia de los inversos aditivos. Para todo $z = (a, b) \in \mathbb{C}$, existe $-z = (-a, -b) \in \mathbb{C}$ tal que:

\begin{equation*}
z + (-z) = (0, 0).
\end{equation*}

  1. Existencia de un elemento neutro para el producto, a decir el uno, dado por el par ordenado $(1,0)$, tal que para todo $z = (a, b) \in \mathbb{C}$:

\begin{equation*}
(a, b) \cdot (1, 0) = (a, b).
\end{equation*}

Dado un número complejo $z = (a, b)$ distinto de cero, para encontrar su inverso multiplicativo, a decir $z^{-1} = (x, y)$, planteamos:

\begin{equation}
(a, b)\cdot(x, y) = (1, 0).
\end{equation}

de donde, usando la definición del producto de números complejos, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:

\begin{equation}
ax – by = 1.
\end{equation}

\begin{equation}
bx + ay = 0.
\end{equation}

Procedemos a resolver dicho sistema, de (3) tenemos que:

\begin{equation*}
x = \frac{1+by}{a}.
\end{equation*}

mientras que de (4) tenemos que:

\begin{equation*}
x = -\frac{ay}{b}.
\end{equation*}

Igualando éstas dos últimas expresiones obtenemos que:

\begin{equation*}
-\frac{ay}{b} = \frac{1+by}{a} \quad \Longrightarrow \quad -a^2 y = b + b^2 y \quad \Longrightarrow \quad y(a^2 + b^2) = -b.
\end{equation*}

por lo que:

\begin{equation*}
y = \frac{-b}{a^2 + b^2}.
\end{equation*}

Por otra parte, sustituyendo este resultado tenemos que:
\begin{equation*}
x = -\frac{ay}{b} = \frac{-a\left(\frac{-b}{a^2 + b^2}\right)}{b} = \frac{ab}{b(a^2 + b^2)} = \frac{a}{a^2 + b^2}.
\end{equation*}

  1. Existencia de los inversos multiplicativos. Para todo $z=(a, b) \in \mathbb{C}$ distinto de cero, existe su inverso multiplicativo, a decir $z^{-1}$ el cual está dado por:

\begin{equation*}
z^{-1} = \left( \frac{a}{a^2 + b^2}, \frac{-b}{a^2 + b^2} \right).
\end{equation*}

Considerando lo anterior, tenemos ya definido el campo de los números complejos.

Procedemos ahora a analizar un subconjunto importante de los números complejos, a decir los números de la forma $z = (a, 0)$, con $a \in \mathbb{R}$. A partir de ahora denotaremos al número real $a$ por el número complejo $(a, 0)$.

Observación. Sean $a, b \in \mathbb{R}$, entonces:

\begin{equation*}
(a, 0) + (b, 0) = (a+b, 0), \quad \text{es decir} \quad a+b.
\end{equation*}

\begin{equation*}
(a, 0) \cdot (b, 0) = (ab, 0), \quad \text{es decir} \quad ab.
\end{equation*}

Notamos que los números complejos de la forma $(a, 0)$ se comportan con respecto a la suma y la multiplicación definidas en (1) y (2) como los números reales.

Es interesante notar que el mapeo $a \rightarrow (a,0)$ define un isomorfismo de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{C}$, por lo que podemos trabajar de manera indistinta con estos números complejos como si fuesen números reales y más aún, podemos considerar a $\mathbb{R}$ como un subconjunto de $\mathbb{C}$, de forma que todo número real es un número complejo cuya parte imaginaria es igual a cero.
Por otra parte, el conjunto de los números complejos de la forma $(0,a)$, con $a \in \mathbb{R}$, será el de los números complejos puros.

Si definimos a $i:=(0, 1)$, entonces notamos que:

\begin{equation*}
i^2 = (0, 1) \cdot (0, 1) = (0 – 1, 0) = (-1, 0), \quad \text{es decir} \quad -1.
\end{equation*}
De esta forma podemos concluir que $i = (0, 1)$ es la raíz cuadrada de $-1$. Además tenemos que:

\begin{equation*}
a + ib = (a, 0) + (0, 1) \cdot (b, 0) = (a, 0) + (0, b) = (a, b).
\end{equation*}

Por lo que por simplicidad utilizaremos la Definición 1 para escribir a los números complejos.

La extensión del campo de los números reales al campo de los números complejos permite dar solución a ecuaciones como $z^2 + 1 = 0$, la cual en $\mathbb{R}$ no tenía solución, mientras que en $\mathbb{C}$ notamos que la raíz $z = i$ satisface dicha ecuación.

Definición 3. (Conjugado de un número complejo.)
Dado un número complejo $z=a+ib$, se define el conjugado de $z$ como el número complejo:

\begin{equation*}
\bar{z} := a – ib
\end{equation*}

Ejemplo.

  • Si $z = 6 + 5i$, entonces $\bar{z} = 6 – 5i$.
  • Si $z = -5 – i$, entonces $\bar{z} = -5 + i$.

Definición 4. (Operaciones Aritméticas).
Sean $z_1 = a_1 + ib_1, z_2 = a_2 + i b_2 \in \mathbb{C}$, entonces se definen las siguientes operaciones:

  • Suma.

\begin{equation*}
z_1 + z_2 = (a_1 + ib_1) + (a_2 + i b_2) = (a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2)
\end{equation*}

  • Resta.

\begin{equation*}
z_1 – z_2 = (a_1 + ib_1) – (a_2 + i b_2) = (a_1 – a_2) + i(b_1 – b_2)
\end{equation*}

  • Multiplicación.

\begin{equation*}
z_1 \cdot z_2 = (a_1 + ib_1) \cdot (a_2 + i b_2) = (a_1a_2 – b_1b_2) + i (b_1a_2 + a_1b_2)
\end{equation*}

  • División. Para $z_2 \neq 0$:

\begin{equation*}
\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + ib_1}{a_2 + i b_2} \cdot \frac{a_2 – ib_2}{a_2 – i b_2} = \left(\frac{a_1 a_2 +
b_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2}\right) + i\left( \frac{b_1a_2 – a_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2}\right)
\end{equation*}

Observación. Notemos que si $z=a+ib$, entonces:

\begin{equation*}
z \cdot \overline{z} = (a+ib) \cdot (a-ib) = (a^2 – (-b^2)) + i(ab-ab) = a^2 + b^2.
\end{equation*}

Ejemplo.

Sean $z_1 = 2 + 4i$ y $z_2 = -3 + 8i$. Calculemos $z_1 + z_2$ y $z_1 \cdot z_2$.

  • $z_1 + z_2 = (2 + 4i) + (-3 + 8i) = (2-3) + (4+8)i = -1 + 12i$.
  • $z_1 \cdot z_2 = (2 + 4i) \cdot (-3 + 8i) = \left[2(-3) – 4(8)\right] + \left[4(-3) + 2(8)\right]i = -38 + 4i$.

De acuerdo con las definiciones 3 y 4 es fácil probar las siguientes propiedades:

Proposición 1. Sean $z, w \in \mathbb{C}$, entonces:

  1. $\overline{z+w} = \overline{z}+\overline{w}$.
  2. $\overline{z-w} = \overline{z}-\overline{w}$.
  3. $\overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w}$.
  4. Si $w \neq 0$, entonces $\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}$.
  5. $\overline{\overline{z}} = z$.
  6. Re$(z) = \frac{z+\overline{z}}{2}$ e Im$(z) = \frac{z – \overline{z}}{2i}$.
  7. $z$ es un número real si y solo si $z = \overline{z}$.

Demostración. Sean $z=a_1 + i b_1$ y $w=a_2 + i b_2$, tenemos que:


  1. \begin{align*}
    \overline{z+w} & = \overline{(a_1 + i b_1) + (a_2 + i b_2)} \\
    & = \overline{(a_1 + a_2) + i (b_1 + b_2)} \\
    & = (a_1 + a_2) – i (b_1 + b_2) \\
    & = (a_1 – ib_2) + (a_2 – i b_2) \\
    & = \overline{a_1 + ib_1} + \overline{a_2 + i b_2}\\
    & = \overline{z} + \overline{w}.
    \end{align*}
  1. Ejercicio.
  2. Ejercicio.
  1. Si $w \neq 0$, entonces:
    \begin{align*} \overline{\left(\frac{z}{w}\right)} & = \overline{\left(\frac{a_1 + i b_1}{a_2 + i b_2}\right)} \\
    & = \overline{\left(\frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 }{a_1^2 + a_2^2}\right) + i \left(\frac{b_1 a_2 – a_1 b_2 }{a_1^2 + a_2^2}\right)}\\
    & = \left(\frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 }{a_1^2 + a_2^2}\right) – i \left(\frac{b_1 a_2 – a_1 b_2 }{a_1^2 + a_2^2}\right)\\
    & = \frac{\left(a_1 a_2 + b_1 b_2\right) – i \left( b_1 a_2 – a_1 b_2 \right)}{a_1^2 + a_2^2}\\
    & = \frac{a_1 a_2 + i a_1 b_2 – i b_1 a_2 + b_1 b_2}{a_1^2 + a_2^2}\\
    & = \frac{a_1 – i b_1}{a_2 – i b_2} \cdot \frac{a_2 + i b_2}{a_2 + i b_2}\\
    & = \frac{\overline{\left(a_1 + i b_1\right)}}{\overline{\left(a_2 + i b_2\right)}}\\
    & = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}.
    \end{align*}
  1. Ejercicio.

  1. \begin{align*}
    \frac{z + \overline{z}}{2} & = \frac{(a_1 + ib_1) + \overline{(a_1 + ib_1)}}{2}\\
    & = \frac{a_1 + ib_1 + a_1 – ib_1 }{2}\\
    & = \frac{2 a_1}{2}\\
    & = a_1\\
    & = \text{Re}(z).
    \end{align*}
    \begin{align*}
    \frac{z – \overline{z}}{2i} & = \frac{(a_1 + ib_1) – \overline{(a_1 + ib_1)}}{2i}\\
    & = \frac{a_1 + ib_1 – a_1 + ib_1 }{2i}\\
    & = \frac{2i b_1}{2i}\\
    & = b_1\\
    & = \text{Im}(z).
    \end{align*}
  2. Ejercicio.

Tarea moral

  • Verificar que el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$ con las operaciones definidas en (1) y (2) satisfacen los axiomas de campo, es decir, verificar las 9 propiedades enunciadas.
  • Completar las demostraciones de los incisos (2), (3), (6) y (7) de la Proposición 1.
  • Identifica la parte real y la parte imaginaria de los siguientes números complejos:

\begin{equation*}
\frac{3+5i}{1 + 7i}.
\end{equation*}

\begin{equation*}
\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^3.
\end{equation*}

\begin{equation*}
\left(\frac{i}{3-i}\right) \left(\frac{1}{2+3i}\right).
\end{equation*}

Más adelante

En esta segunda entrada hemos definido ya lo que es un número complejo y hemos realizado la construcción del campo de los Números Complejos, analizando la relación que existe entre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ como conjuntos. También definimos las operaciones aritméticas básicas de estos números.

En la siguiente entrada daremos una interpretación geométrica de estos números y sus operaciones, por lo que definiremos una métrica en $\mathbb{C}$ que nos permitirá realizar una mejor comprensión de estos números y la obtención de nuevos resultados y propiedades.

Entradas relacionadas

  • Ir a Variable Compleja I.
  • Entrada anterior del curso: Introducción a los Números Complejos.
  • Siguiente entrada del curso: El Plano Complejo.

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.