Variable Compleja I : El campo de los números complejos $\mathbb{C}$

Introducción

Aunque la teoría de los Números Complejos ha ido formalizándose a lo largo del tiempo, el término «imaginario» ha trascendido hasta nuestros días. Es claro que dicha expresión está ligada con la concepción con la que surgieron dichos números y que es simplemente una forma para referirse a dichos números. El término «complejo» fue introducido por primera vez por el matemático Carl Friedrich Gauss, mientras que el símbolo $i$, para denotar a $\sqrt{-1}$, fue introducido por primera vez por el matemático Leonhard Euler.

Durante el siglo XVI se encontraron soluciones para las ecuaciones $x^2+2x+2 = 0$ y $x^3=6x+4$, tales como $1+\sqrt{-1}$ y $\sqrt[3]{2+\sqrt{-2}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-2}}$ respectivamente, lo cual generó incertidumbre entre los matemáticos de la época, puesto que expresiones como $\sqrt{-1}$ y $\sqrt{-2}$ no tenían sentido. Conforme se iba desarrollando la teoría de los números complejos, para evitar expresiones como las anteriores, se optó por definir una nueva cantidad, la unidad imaginaria, denotada por el símbolo $i$, la cual es caracterizada por cumplir la propiedad $i^2 = -1$, es decir, es la raíz cuadrada de $-1$. Considerando esta notación las expresiones $\sqrt{-1}$ y $\sqrt{-2}$ ahora pueden reescribirse como $i$, $i\sqrt{2}$, respectivamente.

El Campo de los Números Complejos $\mathbb{C}$

Definición 2.1. (El campo de los números complejos.)
El campo de los números complejos, denotado por $\mathbb{C}$, es el conjunto formado por pares ordenados de números reales $z=(a, b)$, dotado con las operaciones binarias de suma y multiplicación definidas respectivamente como:

\begin{equation*}
(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d). \tag{2.1}
\end{equation*}

\begin{equation*}
(a, b) \cdot (c, d) = (ac – bd, ad + bc). \tag{2.2}
\end{equation*}

Considerando a $(0,0)$ y $(1,0)$ como los neutros aditivo y multiplicativo respectivamente, es decir, tales que para todo $z=(a,b)\in\mathbb{C}$:

\begin{equation*}
(0,0) + (a,b) = (0,0).
\end{equation*}

\begin{equation*}
(1,0) \cdot (a,b) = (a,b).
\end{equation*}

Y para $z=(a, b) \in \mathbb{C}$ distinto de cero, su inverso multiplicativo, denotado como $z^{-1}$, dado por:
\begin{equation*}
z^{-1} = \left( \frac{a}{a^2 + b^2}, \frac{-b}{a^2 + b^2} \right),
\end{equation*}

es decir, es tal que:

\begin{equation*}
z \cdot z^{-1} = (1,0).
\end{equation*}

Entonces es fácil verificar, usando las propiedades de los números reales, que $\mathbb{C}$ con la suma y el producto recién definidos satisface las propiedades de campo.

Observación 2.1.
Sean $a, b, c, d$ números reales. Sabemos que las parejas ordenadas $(a, b)$ y $(c, d)$ son iguales, es decir $(a, b) = (c, d)$, si y solo si $a=c$ y $b=d$, por lo que la igualdad entre números complejos está sujeta a dicha condición.
Además, si $a \neq b$, entonces $(a, b) \neq (b, a)$, esto es, como parejas ordenadas $(a, b)$ y $(b, a)$ son diferentes, por lo que como números complejos también lo son.

Procedemos ahora a analizar un subconjunto importante de los números complejos, es decir los números de la forma $z = (a, 0)$, con $a \in \mathbb{R}$. A partir de ahora denotaremos al número real $a$ por el número complejo $(a, 0)$.

Observación 2.2
Sean $a, b \in \mathbb{R}$, entonces:

\begin{equation*}
(a, 0) + (b, 0) = (a+b, 0), \quad \text{es decir} \quad a+b.
\end{equation*}

\begin{equation*}
(a, 0) \cdot (b, 0) = (ab, 0), \quad \text{es decir} \quad ab.
\end{equation*}

Notamos que los números complejos de la forma $(a, 0)$ se comportan con respecto a la suma y la multiplicación definidas en (1) y (2) como los números reales. Lo anterior se debe a que el mapeo $a \mapsto (a,0)$ define un isomorfismo de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{C}$, es decir:

Proposición 2.1.
La función $\phi: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C}$ dada por $\phi(a) = (a,0)$ satisface:

  1. $\phi$ es biyectiva.
  2. $\varphi(a+b) = \varphi(a)+\varphi(b)$ y $\varphi(ab) = \varphi(a)\cdot\varphi(b)$.
  3. $\varphi(0) = (0,0)$ y $\varphi(1) = (1,0)$.
  4. $\varphi(-a) = -\varphi(a)$.
  5. Si $a \in \mathbb{R}$, con $a\neq0$, entonces $\varphi(a^{-1}) = \left(\varphi(a)\right)^{-1}$.

Demostración.

  1. La inyectividad se sigue de la observación 2.1.
    La suprayactividad es clara por la definición de $\phi$. (¿Por qué? Ejercicio.)
  2. Observación 2.2.
  3. Definición.
  4. Ejercicio.
  5. Supongamos que $a \in \mathbb{R}$, con $a \neq 0$, entonces $\phi(a) = (a, 0) \neq (0,0)$ y :

\begin{equation*}
(1, 0) = \phi(1) = \phi(a a^{-1}) = \phi(a)\cdot\phi\left(a^{-1}\right).
\end{equation*}

Entonces $\phi\left(a^{-1}\right) = \left(\phi(a)\right)^{-1}$.

$\blacksquare$

De acuerdo con este resultado, podemos trabajar de manera indistinta con este conjunto de números complejos y los números reales, como si fuesen el mismo conjunto.

Por otra parte, el conjunto de los números complejos de la forma $(0,b)$, con $b \in \mathbb{R}$, será considerado como el conjunto de los números imaginarios puros.

Si definimos a $i:=(0, 1)$, la unidad imaginaria, entonces notamos que:

\begin{equation*}
i^2 = (0, 1) \cdot (0, 1) = (0 – 1, 0) = (-1, 0), \quad \text{es decir} \quad -1.
\end{equation*}
De esta forma podemos concluir que $i = (0, 1)$ es la raíz cuadrada de $-1$. Además tenemos que:

\begin{equation*}
a + ib = (a, 0) + (0, 1) \cdot (b, 0) = (a, 0) + (0, b) = (a, b).
\end{equation*}

De acuerdo a lo anterior, es posible dar la siguiente:

Definición 2.2. (Número complejo.)
Un número complejo es un número de la forma $z = a+ib$ donde $a$ y $b$ son números reales e $i$ es la unidad imaginaria.
Al número real $a$ se le conoce como la parte real de $z$ y se denota como Re$(z)$, mientras que al número real $b$ se le conoce como la parte imaginaria de $z$ y se le denota como Im$(z)$. Además, si Re$(z) = 0$, entonces se dice que $z$ es un número imaginario puro.

Ejemplo 2.1.

  • a) Si $z = 9 – 6i$, entonces Re$(z) = 9$, mientras que Im$(z) = -6$.
  • b) Si $z = -8i$, entonces Re$(z) = 0$, mientras que Im$(z) = -8$. En este caso $z$ es un número imaginario puro.

Considerando la definición 2.2 y la proposición 2.1, es posible considerar a $\mathbb{R}$ como un subconjunto de $\mathbb{C}$, de forma que todo número real es un número complejo cuya parte imaginaria es igual a cero.

Definición 2.3. (Conjugado de un número complejo.)
Dado un número complejo $z=a+ib$, se define el conjugado de $z$ como el número complejo:
\begin{equation*}
\overline{z} = a – ib.
\end{equation*}

Ejemplo 2.2.

  • a) Si $z = 6 + 5i$, entonces $\bar{z} = 6 – 5i$.
  • b) Si $z = -5 – i$, entonces $\bar{z} = -5 + i$.

Definición 4. (Operaciones Aritméticas).
Sean $z_1 = a_1 + ib_1, z_2 = a_2 + i b_2 \in \mathbb{C}$, entonces se definen las siguientes operaciones:

  1. Suma.
    \begin{equation*}
    z_1 + z_2 = (a_1 + ib_1) + (a_2 + i b_2) = (a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2)
    \end{equation*}
  2. Resta.
    \begin{equation*}
    z_1 – z_2 = (a_1 + ib_1) – (a_2 + i b_2) = (a_1 – a_2) + i(b_1 – b_2).
    \end{equation*}
  3. Multiplicación.
    \begin{equation*}
    z_1 \cdot z_2 = (a_1 + ib_1) \cdot (a_2 + i b_2) = (a_1a_2 – b_1b_2) + i (b_1a_2 + a_1b_2).
    \end{equation*}
  4. División. Para $z_2 \neq 0$:
    \begin{equation*}
    \frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + ib_1}{a_2 + i b_2} \frac{a_2 – ib_2}{a_2 – i b_2} =\left(\frac{a_1 a_2 + b_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2}\right) + i\left( \frac{b_1a_2 – a_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2}\right).
    \end{equation*}

Observación 2.3.
Notemos que si $z=a+ib \in \mathbb{C}$, entonces:
\begin{equation*}
z \cdot \overline{z} = (a+ib) \cdot (a-ib) = (a^2 – (-b^2)) + i(ab-ab) = a^2 + b^2.
\end{equation*}
\begin{equation*}
z + \overline{z} = (a+ib) + (a-ib) = 2a = 2\,\text{Re}(z), \quad \Longrightarrow \quad \text{Re}(z) = \frac{ z + \overline{z}}{2}.
\end{equation*}
\begin{equation*}
z – \overline{z} = (a+ib) – (a-ib) = 2ib = 2\,i\,\text{Im}(z), \quad \Longrightarrow \quad \text{Im}(z) = \frac{ z – \overline{z}}{2i}.
\end{equation*}

Observación 2.4.
A partir de ahora, si es claro que se está efectuando el producto entre números complejos, entonces se omitirá el símbolo “$\cdot$” para indicarlo.

Ejemplo 2.3.
Sean $z_1 = 2 + 4i$ y $z_2 = -3 + 8i$. Calculemos:

  • a) $ \quad z_1 + z_2$,
  • b) $\quad z_1 z_2$.

Solución.

  • a) $ \quad z_1 + z_2 = (2 + 4i) + (-3 + 8i) = (2-3) + (4+8)i = -1 + 12i$.
  • b) $ \quad z_1 z_2 = (2 + 4i) (-3 + 8i) = \left[2(-3) – 4(8)\right] + \left[4(-3) + 2(8)\right]i = -38 + 4i$.

De acuerdo con las definiciones 2.3 y 2.4 es fácil probar las siguientes propiedades:

Proposición 2.2.
Sean $z, w \in \mathbb{C}$, entonces:

  1. $\overline{z \pm w} = \overline{z} \pm \overline{w}$.
  2. $\overline{z w} = \overline{z} \overline{w}$.
  3. Si $w \neq 0$, entonces $\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}$.
  4. $\overline{\overline{z}} = z$.
  5. $z$ es un número real si y solo si $z = \overline{z}$.

Demostración. Sean $z=a_1 + i b_1$ y $w=a_2 + i b_2$, tenemos que:


  1. \begin{align*}
    \overline{z+w} & = \overline{(a_1 + i b_1) + (a_2 + i b_2)} \\
    & = \overline{(a_1 + a_2) + i (b_1 + b_2)} \\
    & = (a_1 + a_2) – i (b_1 + b_2) \\
    & = (a_1 – ib_2) + (a_2 – i b_2) \\
    & = \overline{a_1 + ib_1} + \overline{a_2 + i b_2}\\
    & = \overline{z} + \overline{w}.
    \end{align*}
  1. Ejercicio.
  2. Si $w \neq 0$, entonces:
    \begin{align*}
    \overline{\left(\frac{z}{w}\right)} & = \overline{\left(\frac{a_1 + i b_1}{a_2 + i b_2}\right)} \\
    & = \overline{\left(\frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 }{a_1^2 + a_2^2}\right) + i \left(\frac{b_1 a_2 – a_1 b_2 }{a_1^2 + a_2^2}\right)}\\
    & = \left(\frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 }{a_1^2 + a_2^2}\right) – i \left(\frac{b_1 a_2 – a_1 b_2 }{a_1^2 + a_2^2}\right)\\
    & = \frac{\overline{\left(a_1 + i b_1\right)}}{\overline{\left(a_2 + i b_2\right)}}\\
    & = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}.
    \end{align*}
  1. Ejercicio.
  1. Ejercicio.

Observación 2.5.
Notemos que las propiedades 1 y 2 de la proposición 2.2 se pueden generalizar mediante inducción matemática para un número finito de números complejos, esto es, para $z_1, z_2, \ldots, z_n \in \mathbb{C}$, $n\geq2$, se cumple que:
\begin{equation*}
\overline{z_1 + z_2 + \cdots + z_n} = \overline{z_1} +\overline{z_2} + \cdots + \overline{z_n}.
\end{equation*}

\begin{equation*}
\overline{z_1 z_2 \cdots z_n} = \overline{z_1} \, \overline{z_2} \,\overline{z_n}. \end{equation*}

Tarea moral

  1. Verifica que el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$ con las operaciones definidas en (2.1) y (2.2) satisface los axiomas de campo, es decir, verificar las propiedades de la definición de campo.
  2. En la proposición 2.1 argumenta porqué se cumple la suprayectividad de la función en el inciso 1 y completa la demostración del inciso 4.
  3. Completa las demostraciones de los incisos (1), (2), (4) y (5) de la proposición 2.2.
  4. Prueba los resultados de la observación 2.5 utilizando inducción matemática. ¿Se puede generalizar la propiedad (3) de la proposición 2.2?
  5. Identifica la parte real y la parte imaginaria de los siguientes números complejos:
  • a) $\dfrac{3+5i}{1 + 7i}$.
  • b) $\left(\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^3$.
  • c) $\left(\dfrac{i}{3-i}\right) \left(\dfrac{1}{2+3i}\right)$.

Más adelante…

En esta segunda entrada hemos dado una definición formal de lo que es un número complejo. Realizamos la construcción del campo de los números complejos, analizando la relación que existe entre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ como conjuntos. También definimos las operaciones aritméticas básicas de estos números e introducimos una nueva operación llamada la conjugación compleja.

Es importante notar que la extensión del campo de los números reales al campo de los números complejos nos permite dar solución a ecuaciones como $z^2 + 1 = 0$, la cual en $\mathbb{R}$ no tenía solución, mientras que en $\mathbb{C}$ tenemos que los números $z = \pm i$ satisfacen dicha ecuación. En general, notaremos que el campo de los números complejos $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado, de hecho es la clausura algebraica de $\mathbb{R}$, por lo que siempre será posible hallar soluciones para polinomios con coeficientes en $\mathbb{C}$ de grado $n\geq1$. Más aún, dichos polinomios tendrán exactamente $n$ raíces, lo cual probaremos más adelante cuando veamos el Teorema Fundamental del Álgebra.

En la siguiente entrada daremos una interpretación geométrica de estos números y sus operaciones, por lo que definiremos una nueva cantidad en $\mathbb{C}$ que nos permitirá realizar una mejor comprensión y caracterización de estos números de acuerdo con su posición en un plano, así como la obtención de nuevos resultados y propiedades que nos permitan diferenciarlos de los números reales.

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