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Geometría Analítica I: Introducción a resultados de clasificación

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

2 respuestas

Introducción

En tu formación matemática muchas veces te encontrarás con resultados de clasificación. Pero, ¿qué es clasificar en este contexto? A grandes rasgos, consiste en poder decir de manera sencilla cómo son todos los objetos matemáticos que se estén estudiando en un contexto dado.

En esta entrada hablaremos un poco más del problema de clasificar ciertos objetos matemáticos. Iniciaremos con un ejemplo «de juguete» muy básico. Luego, hablaremos de cómo en las clasificaciones geométricas podemos usar transformaciones. Finalmente, daremos un ejemplo sencillo de cómo usar estas ideas en la clasificación de los segmentos del plano.

Ejemplo básico de clasificación

Cuando queremos hacer una clasificación, en el sentido matemático, lo que queremos hacer es tomar algunos objetos matemáticos y decir, bajo algún criterio cómo son todos los «tipos posibles» que existen para esos objetos. Esto puede ser respondido de muchas formas, así que es fundamental acordar dos cosas con precisión:

  1. ¿Cuáles son los objetos que queremos clasificar?
  2. ¿Bajo qué criterio diremos que dos de esos objetos son «del mismo tipo»?

Al final del proceso, nos gustaría tener una lista relativamente fácil de escribir de todas las posibilidades. Esto puede ayudar posteriormente a resolver otros problemas matemáticos o bien a desarrollar más teoría.

Comencemos con un ejemplo «de juguete». Será muy sencillo, pero nos permitirá hablar de algunas de las sutilezas que nos encontraremos en contextos más abstractos. Considera la siguiente figura en la que hay varias figuras geométricas.

Imagina que nos piden «clasificar todas las figuras que están aquí». Lo que nos gustaría obtener al final es una lista con la clasificación, es decir con «todas las posibilidades» de figuras que hay. Si sólo nos dan esta instrucción, entonces estaríamos en problemas: hay muchas formas de clasificar estos objetos.

Una posible clasificación es por forma. Si consideramos equivalentes a dos de estas figuras cuando tienen la misma forma, entonces nuestra lista de posibilidades se reduce a tres: triángulos, cuadrados y círculos. Nuestro teorema de clasificación se vería así:

Teorema. Cualquier figura de la imagen tiene alguna de las siguientes formas:

  1. Triángulo
  2. Cuadrado
  3. Círculo

Este teorema de clasificación está padre. Pero puede ser inútil en algunos contextos. Por ejemplo, imagina que las figuras son muestras que está regalando una tienda de pinturas para que puedas llevarlas a tu casa y usarlas para ver si te gustaría pintar una pared con el color dado. Para estos fines es (prácticamente) lo mismo que te den un cuadrado azul o un triángulo azul. Lo único que importa es el color.

Pensar de esta manera nos da otra manera de clasificar a las figuras: por color. Si usamos esta noción de equivalencia, entonces nuestro resultado de clasificación sería muy distinto.

Teorema. Cualquier figura de la imagen es de alguno de los siguientes colores:

  1. Rojo
  2. Naranja
  3. Amarillo
  4. Verde
  5. Azul

Pero podríamos querer ser mucho más estrictos y querer clasificar considerando ambos criterios: tanto la forma como el color. Quizás uno podría pensar que como hay tres figuras y cinco colores, entonces hay $3\cdot 5=15$ posibilidades en esta clasificación. Obtendríamos el siguiente resultado.

Teorema. Cualquier figura de la imagen es de alguno de los siguientes 15 tipos: triángulo rojo, triángulo naranja, triángulo amarillo, triángulo verde, triángulo azul, cuadrado rojo, cuadrado naranja, cuadrado amarillo, cuadrado verde, cuadrado azul, círculo rojo, círculo naranja, círculo amarillo, círculo verde, círculo azul.

Estrictamente hablando, este resultado es correcto: cualquier figura es de alguno de esos tipos. Pero el teorema tiene algo incómodo: nos está dando posibilidades que no suceden. Por ejemplo, no hay cuadrados amarillos, ni círculos azules.

Una clasificación con forma y color que nos dejaría más satisfecho sería la siguiente:

Teorema. Cualquier figura de la imagen es de alguno de los siguientes 11 tipos:

  1. Triángulo rojo
  2. Triángulo naranja
  3. Triángulo amarillo
  4. Triángulo azul
  5. Cuadrado rojo
  6. Cuadrado naranja
  7. Cuadrado azul
  8. Círculo rojo
  9. Círculo naranja
  10. Círculo amarillo
  11. Círculo verde

Más aún, cualquiera de estas posibilidades sucede.

Este resultado se siente mucho más satisfactorio. Por un lado, no está agregando a la lista «opciones de más». Por otro lado, a partir de él podemos demostrar proposiciones sin tener que volver a ver la figura. Algunos ejemplos son los siguientes:

  • Ningún círculo de nuestra figuras es azul.
  • Todas las figuras verdes son círculos.
  • Ninguna figura amarilla es un cuadrado.

Para mostrar cualquiera de estas, basta ver nuestra clasificación.

¿Podemos dar una clasificación mucho más estricta? Sí, por supuesto. Por ejemplo, podemos considerar dos figuras iguales sólo cuando tienen exactamente la misma figura, color y posición. En este caso nuestro teorema de clasificación tendría un tipo por cada una de las 19 figuras. Esta clasificación también se siente un poco insatisfactoria pues en realidad no estamos «agrupando» figuras, sino simplemente «poniendo a cada una en su propio grupo». Pero bueno, es una clasificación válida también.

Uso de relaciones de equivalencia y particiones

Una manera de formalizar una clasificación es a partir de relaciones de equivalencia y particiones. Recordemos las siguientes dos definiciones:

Definición. Una relación de equivalencia en un conjunto $X$ es una colección de parejas $(x,y)$ en $X\times X$ tales que:

  • (Reflexividad) Para cualquier $x$ en $X$ la pareja $(x,x)$ está en la colección.
  • (Simetría) Si para algunos $x,y$ en $X$ se cumple que la pareja $(x,y)$ está en la colección, entonces la pareja $(y,x)$ también está en la colección.
  • (Transitividad) Si para algunos $x,y,z$ en $X$ se cumple que tanto las parejas $(x,y)$ como $(y,z)$ están en la colección, entonces la pareja $(x,z)$ también está.

Las relaciones de equivalencia nos ayudan a decir cuándo dos objetos de $X$ «son iguales» o «son el mismo» bajo algún criterio usualmente más relajado que la igualdad.

Definición. Una partición de un conjunto $X$ es una colección de conjuntos $(A_i)_{i \in I}$ para algún conjunto de índices $I$ tal que ninguno de los $A_i$ es vacío, cualesquiera dos de ellos tienen intersección vacía y $X=\cup_{i\in I}A_i$.

Un resultado clásico de teoría de conjuntos dice que «una relación de equivalencia da una partición, y viceversa». Formalmente, dada una relación de equivalencia $R$ en un conjunto $X$, podemos crear la clase de equivalencia de un elemento $x$ en $X$ como sigue: $$\overline(x):=\{y \in X: (x,y)\in R\}.$$ El conjunto $\{\overline{x}:x\in X\}$ da una colección de conjuntos que es una partición de $X$. Y viceversa, si tenemos una partición $(A_i)_{i \in I}$, entonces podemos considerar las parejas $(x,y)$ de elementos tales que $x$ y $y$ están en un mismo $A_i$, de donde obtenemos una relación de equivalencia.

Regresando a la idea de clasificar, podemos realizar una clasificación a través de una relación de equivalencia o de una partición. Las clases de equivalencia son los «tipos» de objetos que tenemos. Podemos dar un representante «sencillo» dentro de cada clase de equivalencia para hacer nuestra lista de los posibles «tipos» que existen.

Ejemplo. En los números enteros podemos decir que dos enteros $x$ y $y$ están relacionados cuando $x-y$ es un número par. Es fácil mostrar que esto da una relación de equivalencia y que las clases de equivalencia en este caso son los conjuntos:

\begin{align*}
P&=\{\ldots,-4,-2,0,2,4,\ldots\},
Q&=\{\ldots,-3,-1,1,3,\ldots\}.
\end{align*}

Tenemos que $P$ y $Q$ forman una partición del conjunto $\mathbb{Z}$ de números enteros. Así, esta relación clasifica a los enteros en dos tipos: los pares y los impares. Otra forma de dar esta clasificación es diciendo que «Cualquier entero es equivalente al $0$ o al $1$», o más explícitamente, «Para cualquier entero $z$ se tiene que o bien $z$ es par, o bien $z-1$ es par».

$\triangle$

Clasificación de segmentos del plano con transformaciones

Hacia donde queremos ir es hacia una clasificación relacionada con la geometría. Por esta razón, las relaciones de equivalencia, particiones o «tipos» de objetos que obtendremos estarán relacionados con nociones geométricas. Una manera de hacer esto es mediante las transformaciones que estuvimos estudiando en la unidad anterior: transformaciones afines, traslaciones, isometrías, transformaciones ortogonales, etc.

Por ejemplo, pensemos en que estamos hablando de los segmentos cerrados y acotados en el plano cartesiano. Es decir, de acuerdo a lo que estudiamos en la primera unidad, para cualesquiera dos puntos distintos $P$ y $Q$ en el plano estamos considerando el conjunto $$\overline{PQ}=\{pP+qQ:0\leq p \leq 1, 0 \leq q \leq 1, p+q=1\}.$$ En la siguiente figura puedes ver algunos de los (muchos) segmentos que hay en el plano:

Familia de segmentos

¿Cómo podemos clasificar a todos los segmentos que hay en el plano? Antes de cualquier cosa, tenemos que ponernos de acuerdo en la clasificación. Una manera de hacer esto es mediante transformaciones del plano. Veamos un par de ejemplos.

Ejemplo. Una primer opción es que digamos que dos segmentos son del mismo tipo cuando podamos trasladar uno de ellos al otro. Si hacemos esto, casi todos los segmentos de la siguiente figura serían del mismo tipo.

Familia de segmentos

El único que no es del mismo tipo que los demás sería el segmento punteado que, aunque lo dibujamos intencionalmente de la misma longitud que los demás, no resulta ser equivalente pues es imposible trasladarlo a alguno de los otros segmentos. Con esta noción de segmentos equivalentes, ¿qué posibilidades tendríamos? Es más o menos fácil convencerse de que para que dos segmentos sean del mismo tipo con esta clasificación necesitamos que a) sean paralelos y b) tengan la misma longitud. Por ello mismo, no es tampoco difícil convencerse del siguiente teorema de clasificación.

Teorema. Cualquier segmento del plano es equivalente bajo traslaciones a un segmento tal que uno de sus extremos es el origen.

$\square$

Veamos otra manera de clasificar los segmentos del plano.

Ejemplo. Diremos que dos segmentos son del mismo tipo si podemos llevar uno al otro a través de una isometría. Si hacemos esto entonces ahora sí todos los segmentos de la siguiente figura son equivalentes (pensando en que el segmento punteado tiene la misma longitud que los otros).

De hecho, por lo que sabemos de las isometrías podemos afirmar que bajo este criterio dos segmentos son del mismo tipo si y sólo si tienen la misma longitud. Esto nos llevaría a un teorema de clasificación un poco distinto.

Teorema. Cualquier segmento se puede mediante isometrías a un segmento que sale del origen y termina en un punto del la forma $(x,0)$ con $x>0$. Más aún, todos estos segmentos son de distinto tipo.

$\square$

En los dos ejemplos anteriores hemos sido un poco informales, pues dejamos varias cosas sin demostrar. Seguramente podrás detectarlas e intentar completar los argumentos que faltan. Algunas de estas cosas faltantes están en los ejercicios.

Más adelante…

En esta entrada hablamos de la noción de «clasificar» de manera muy general, con el fin de entenderla y ver algunas de las sutilezas que nos encontraremos más adelante. A partir de ahora nos enfocaremos en probar resultados de clasificación muy específicos, relacionados con las cónicas.

Sin embargo, queremos ser muy precisos con respecto a la clasificación que daremos. Por esta razón, en las siguientes dos entradas hablaremos de los objetos específicos que queremos clasificar y de las nociones de equivalencia que permitiremos.

Tarea moral

  1. Verifica que en nuestro ejemplo de juguete la relación «tener el mismo color» es una relación de equivalencia.
  2. Para cada una de las clasificaciones que dimos en nuestro ejemplo de juguete encuentra cuántas de las figuras originales hay en cada una de las clases.
  3. Demuestra que la relación en $\mathbb{Z}$ en la cual tenemos a $(x,y)$ si y sólo si $x-y$ es un número par es una relación de equivalencia. Muestra que en este caso la partición consiste en el conjunto de los números pares, y el conjunto de los números impares.
  4. Sea $S$ el conjunto de segmentos en el plano. Diremos un elemento $s_1$ de $S$ es traslacionalmente equivalente a otro elemento $s_2$ de $S$ si existe una traslación $T$ de $\mathbb{R}^2$ tal que $T(s_1)=s_2$. Demuestra que «ser traslacionalmente equivalente a» es una relación de equivalencia en $S$.
  5. Da teoremas de clasificación de las rectas en $\mathbb{R}$ usando transformaciones para cada una de las siguientes posibilidades:
    1. Dos rectas son del mismo tipo si se puede llevar una a otra mediante una traslación.
    2. Dos rectas son del mismo tipo si se puede llevar una a la otra mediante una rotación.
    3. Dos rectas son del mismo tipo si se puede llevar una a la otra mediante una isometría.

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Geometría Analítica I: Equivalencias afines e isométricas

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

En entradas anteriores hablamos de los objetos que nos interesa clasificar: los polinomios cuadráticos y las curvas cuadráticas. Ahora hablaremos de las nociones que usaremos para considerar a dos polinomios cuadráticos o curvas cuadráticas como «equivalentes». Para ello, definiremos las nociones de «afínmente equivalentes» e «isométricametne equivalentes».

Composición de un PCDV y una transformación afín

Antes de enunciar propiamente el problema de clasificación que queremos resolver, vamos a demostrar un resultado auxiliar fundamental. A grandes rasgos, lo que nos dice es que si combinamos un polinomio cuadrático en dos variables con una transformación afín, entonces de nuevo obtenemos un polinomio cuadrático en dos variables. La demostración hará evidente cómo a veces es más útil la forma matricial de un PCDV.

Teorema. Consideremos $P:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ un polinomio cuadrático en dos variables y $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ una transformación afín dados por

\begin{align*}
P(v)&=v^t M v + k^t v + F\\
T(v)&=Av+b
\end{align*}

para $A,M$ matrices de $2\times 2$, para $k,b$ vectores columna en $\mathbb{R}^2$ y $F$ un real. Entonces $P\circ T$ es nuevamente un polinomio cuadrático en dos variables y, explícitamente,

\begin{align*}
(P\circ T)(v)= v^t(A^tMA)v + (2b^t MA + k^t A) v + P(b) .
\end{align*}

Demostración. La expresión que queremos encontrar es $(P\circ T)(v)=P(T(v))=P(Av+b)$. Para evaluar $P$, hagamos cada término poco a poco. A continuación usaremos las propiedades de la multiplicación matricial y de la transposición de matrices. Recordemos que $M$ es una matriz simétrica.

Hagamos las operaciones término a término. En el primer sumando tenemos:

\begin{align*}
(Av+b)^t M (Av+b) &= (v^tA^t+b^t) M (Av+b)\\
&=v^tA^tMAv + v^t A^t M b + b^t M A v + b^t M b\\
&=v^t(A^tMA)v + (A^t M b)^t v + (b^t M A) v + b^t M b\\
&= v^t(A^tMA)v + (b^t M^t A) v + (b^t M A) v + b^t M b \\
&= v^t(A^tMA)v + 2 (b^t M A) v + b^t M b.
\end{align*}

En el segundo sumando tenemos:

\begin{align*}
k^t(Av+b)=k^tAv + k^t b.
\end{align*}

Y el último sumando es $F$. Al sumar todo notemos que aparece un término $b^t M b + k^t b + F=P(b)$. Así, concluimos que: $$(P\circ T)(v)= v^t(A^tMA)v + (2b^t MA + k^t A) v + P(b).$$

Esto muestra que $P\circ T$ es de nuevo un polinomio cuadrático en dos variables y que la fórmula es como se establece en el enunciado del teorema.

$\square$

Aunque parezca que se hicieron varias cuentas, son muchas menos a que si usáramos la expresión en coordenadas. Además, usaremos repetidamente el resultado para ahorrarnos cuentas posteriores. Veamos un pequeño ejemplo de lo que sucede al componer una transformación afín con un PCDV.

Ejemplo. Consideremos al polinomio cuadrático en dos variables $P((x,y))=2x^2-y^2+3x+2$ y a la transformación afín $T((x,y))=(2x,y+1)$. Al realizar la composición obtenemos lo siguiente:

\begin{align*}
(P\circ T)((x,y))&=P(T((x,y))\\
&=P((2x,y+1))\\
&=2(2x)^2-(y+1)^2+3(2x)+2\\
&=4x^2-y^2-2y-1+6x+2\\
&=4x^2-y^2+6x-2y+1.
\end{align*}

En efecto, como lo afirma el teorema, obtenemos nuevamente un polinomio cuadrático en dos variables.

$\triangle$

La imagen de una curva cuadrática bajo una transformación afín

La sección anterior nos dice qué pasa si «combinamos» un polinomio cuadrático en dos variables y una transformación afín. También podemos preguntarnos qué es lo que sucede si «combinamos» una transformación afín y una curva cuadrática. Aquí lo que estamos pensando es que la transformación afín se la aplicaremos a cada punto de la curva.

Ejemplo. Tomemos la curva cuadrática descrita por el polinomio cuadrático $y^2+3x-y+1=0$. Al trazarla en el plano obtenemos la siguiente figura.

Aparentemente, obtenemos una parábola. Tomemos ahora la transformación afín $T((x,y))=(y-1,x+y)$. Al aplicar esta transformación a cada punto de la curva cuadrática anterior obtenemos la curva roja de la siguiente figura.

Aparentemente estamos obteniendo nuevamente una parábola. Entonces, parece ser que la transformación afín envió una curva cuadrática a otra curva cuadrática.

$\triangle$

Lo que sucede en el ejemplo anterior de hecho es algo que sucede en general: cuando aplicamos una transformación afín a una curva cuadrática entonces de nuevo obtenemos una curva cuadrática. Esto es lo que afirma el siguiente resultado.

Teorema. Sea $\mathcal{C}$ la curva cuadrática descrita por el polinomio cuadrático en dos variables $P$. Sea $T$ una transformación afín. Entonces $$T(\mathcal{C})=\{T((x,y)): (x,y)\in \mathcal{C}\}$$ también es una curva cuadrática. Más específicamente, es la curva cuadrática descrita por el polinomio cuadrático en dos variables $P\circ Tˆ{-1}$.

Demostración. Como $T$ es transformación afín, entonces es invertible y su inversa $Tˆ{-1}$ también es una transformación afín. Por el teorema anterior, $P\circ Tˆ{-1}$ en efecto es una transformación afín.

Tenemos que un punto $(w,z)$ pertenece a $T\mathcal{C}$ si y sólo si es de la forma $T((x,y))$ con $(x,y)$ en $\mathcal{C}$ es decir, con $P((x,y))=0$. Aplicando $Tˆ{-1}$ en $(w,z)=T((x,y))$, obtenemos que $(x,y)=Tˆ{-1}((w,z))$. Así, $(w,z)$ está en $T(\mathcal{C})$ si y sólo si $P(Tˆ{-1})((x,y))=0$. De esta manera, $T\mathcal{C}$ es precisamente el conjunto de puntos en donde se anula el PCDV $P\circ Tˆ{-1}$.

$\square$

Podemos resumir el teorema anterior como sigue: las transformaciones afines mandan curvas cuadráticas en curvas cuadráticas.

Equivalencias de polinomios y curvas cuadráticas

Al aplicar una transformación afín a un polinomio cuadrático en dos variables, de nuevo obtenemos un polinomio cuadrático. Pero no podemos ir de un polinomio cuadrático a cualquier otro haciendo esto. De hecho, es especial que esto suceda.

Definición. Diremos un polinomio cuadrático en dos variables $P$ es afínmente equivalente a otro polinomio cuadrático en dos variables $Q$ si existe una transformación afín $T$ tal que $P=Q\circ T$.

Así mismo, no cualquier curva cuadrática puede ir a cualquier otra mediante transformaciones afines. Esto es especial.

Definición Diremos que una curva cuadrática $\mathcal{C}$ es afínmente equivalente a otra curva cuadrática $\mathcal{D}$ si existe una transformación afín $T$ tal que $\mathcal{C}=D$.

Tanto en el caso de polinomios cuadráticos en dos variables, como en el caso de curvas cuadráticas, la relación de ser afínmente equivalente es una relación de equivalencia. Demostraremos esto para el caso de polinomios cuadráticos. El caso de curvas queda como tarea.

Proposición. La relación «ser afínmente equivalente a» es una relación de equivalencia para polinomios cuadráticos en dos variables.

Demostración. Debemos mostrar que la relación es reflexiva, simétrica y transitiva. La relación es reflexiva pues cualquier polinomio cuadrático en dos variables $P$ es afínmente equivalente a sí mismo a través de la transformación afín $$I((x,y))=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix},$$ pues como simplemente es la identidad, tenemos $P \circ I = P$.

Si un polinomio $P$ es afínmente equivalente a uno $Q$, es porque existe una transformación afín $T$ tal que $P=Q\circ T$. Como $T$ es afín, su inversa también lo es, de modo que la igualdad $Q=P\circ Tˆ{-1}$ nos dice que $Q$ es afínmente equivalente a $P$. Esto muestra la simetría de la relación.

Finalmente, para la transitividad tomemos polinomios $P$, $Q$ y $R$ con $P$ afínmente equivalente $Q$ mediante una transformación afín $T$ y $Q$ afínmente equivalente a $R$ mediante una transformación afín $S$. Tenemos entonces las igualdades $P=Q\circ T$ y $Q=R\circ S$. De este modo $$P=Q\circ T = (R\circ S)\circ T=R\circ (S \circ T).$$

Como la composición de transformaciones afines es una transformación afín, entonces esto nos dice que $P$ es afínmente equivalente a $R$, como queríamos.

$\square$

Ambas nociones de equivalencia afín están muy relacionadas entre sí, aunque no son exactamente lo mismo. En la siguiente proposición veremos que la equivalencia afín de PCDVs implica la equivalencia afín de las curvas cuadráticas que describen. Sin embargo, en los ejercicios verás que hay que ser mucho más cuidadosos con el regreso.

Proposición. Si $\mathcal{C}$ y $\mathcal{D}$ son curvas curvas cuadráticas descritas por polinomios cuadráticos en dos variables $P$ y $Q$ afínmente equivalentes, entonces $\mathcal{C}$ y $\mathcal{D}$ son afínmente equivalentes.

Demostración. Como $P$ y $Q$ son afínmente equivalentes, existe una transformación afín $T$ tal que $P=Q\circ T$. Tenemos entonces que $(x,y)\in \mathcal{C}$ si y sólo si $P((x,y))=0$, lo cual sucede si y sólo si $Q(T((x,y)))=0$, si y sólo si $T((x,y))$ está en $\mathcal{D}$. Esto muestra que $\mathcal{D}=T(\mathcal{C})$.

$\square$

Con menos transformaciones es más difícil ser equivalente

Así como definimos la relación de «ser afínmente equivalente» también podríamos definir relaciones similares usando otros grupos de transformaciones. Por ejemplo:

Definición. Diremos un PCDV $P$ es isométricamente equivalente a otro PCDV $Q$ si existe una isometría $T$ tal que $P=Q\circ T$. Diremos que una curva cuadrática $\mathcal{C}$ es isométricamente equivalente a otra curva cuadrática $\mathcal{D}$ si existe una isometría $T$ tal que $\mathcal{C}=T(\mathcal{D})$

La noción de «ser isométricamente equivalentes» es, en cierto sentido «más fuerte» que la de ser «afínmente equivalentes». ¿Por qué? Porque todas las isometrías son transformaciones afines, pero lo contrario no es cierto. Así, «hay menos» isometrías que transformaciones afines. De esta forma, es «más difícil» que dos curvas cuadráticas sean isométricamente equivalentes, a que sean afínmente equivalentes. Veamos un ejemplo.

Ejemplo. Consideremos las curvas cuadráticas descritas por los siguientes polinomios:

\begin{align*}
P_1((x,y))&=x^2+2x+y^2\\
P_2((x,y))&=x^2+y^2-1\\
P_3((x,y))&=2x^2+y^2-1.
\end{align*}

Al graficarlas obtenemos respectivamente las curvas $\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2, \mathcal{C}_3$ en la siguiente figura. De lo que sabemos de circunferencias y elipses, tenemos que $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ son circunferencias de radio $1$ y que $\mathcal{C}_3$ es una elipse canónica con focos en el eje $y$ y centro en $(0,0)$.

Pensemos primero en equivalencia afín. Las tres curvas cuadráticas son afínmente equivalentes. Para ello, basta ver que los PCDVs que las describen son afínmente equivalentes. Para la equivalencia entre $P_1$ y $P_2$ tomamos la transformación afín $(x,y)\mapsto (x+1,y)$ y notamos que $$P_2((x+1,y))=(x+1)^2+y^2-1=x^2+2x+y^2=P_1((x,y)).$$ Para la equivalencia entre $P_2$ y $P_3$ tomamos la transformación afín $(x,y)\mapsto (\sqrt{2}x,y)$ y notamos que $$P_2((\sqrt{2}x,y))=(\sqrt{2}x)^2+y^2-1=2x^2+y^2-1=P_3((x,y)).$$ La equivalencia afín entre $P_1$ y $P_3$ se obtiene por transitividad.

Como la transformación afín $(x,y)\mapsto (x+1,y)$ es de hecho una traslación, entonces es una isometría. De esta manera, $P_1$ y $P_2$ no sólo son afínmente equivalentes, sino que también son isométricamente equivalentes. Sin embargo, es imposible encontrar una isometría que envíe $\mathcal{C}_2$ a $\mathcal{C}_3$, pues tendría que llevar a $(0,0)$ a un punto equidistante a todos los puntos de $\mathcal{C}_3$. Pero $\mathcal{C}_3$ no es una circunferencia.

En resumen:

  • $\mathcal{C}_1,\mathcal{C}_2,\mathcal{C}_3$ son todas ellas afínmente equivalentes.
  • $\mathcal{C}_1$ es isométricamente equivalente a $\mathcal{C}_2$.
  • $\mathcal{C}_3$ no es isométricamete equivalente a $\mathcal{C}_2$, y por lo tanto tampoco a $\mathcal{C}_1$.

$\triangle$

Más adelante…

Ya dijimos qué objetos nos interesa clasificar: los polinomios cuadráticos y las curvas cuadráticas. También ya dijimos qué noción de clasificación usaremos: la equivalencia afín o la equivalencia isométrica. Estamos listos para enunciar los teoremas de clasificación que queremos demostrar. Haremos esto en la siguiente entrada. Después, en entradas posteriores, nos enfocaremos a dar la demostración poco a poco. Esto a su ves nos permitirá resolver problemas prácticos de cónicas como poder encontrar su centro o qué tan rotadas están.

Tarea moral

  1. Demuestra que la relación «es afínmente equivalente a» es una relación de equivalencia para curvas cuadráticas.
  2. Encuentra de manera explícita una transformación afín que ayude a ver que los polinomios cuadráticos $x^2+6x+y^2+8$ y $x^2+y^2-4y+3$ son afínmente equivalentes. ¿Son isométricamente equivalentes?
  3. Demuestra que los polinomios cuadráticos en dos variables $P((x,y))=x^2+y^2+1$ y $Q((x,y))=x^2+1$ no pueden ser afínmente equivalentes. Luego, muestra que las curvas cuadráticas que definen sí son afínmente equivalentes. Como sugerencia, para ver que los polinomios no son afínmente equivalentes procede por contradicción. Supón que sí y obtén una contradicción con el coeficiente de $y^2$.
  4. Muestra lo siguiente:
    1. Dos parábolas canónicas cualesquiera (i.e. descritas por ecuaciones de la forma $y=cx^2$) son afínmente equivalentes.
    2. Dos elipses canónicas cualesquiera (i.e. descritas por ecuaciones de la forma $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$) son afínmente equivalentes.
    3. Dos hipérbolas canónicas cualesquiera (i.e. descritas por ecuaciones de la forma $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$) son afínmente equivalentes.
  5. Usa como ejemplo las definiciones de la entrada para definir la noción de ser «traslacionalmente equivalente». Demuestra lo siguiente:
    1. La relación «es traslacionalmente equivalente a» es una relación de equivalencia.
    2. Dos rectas son traslacionalmente equivalentes si y sólo si son paralelas.
    3. Dos circunferencias son traslacionalmente equivalentes si y sólo si son del mismo radio.
    4. Existen elipses isométricamente equivalentes, pero que no son traslacionalmente equivalentes.

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Teoría de los Conjuntos I: Conjunto cociente

Por Gabriela Hernández Aguilar

2 respuestas

Introducción

En esta entrada partimos de una relación de equivalencia y con ella definimos al conjunto cociente. Dicho conjunto tendrá como elementos a las clases de equivalencia de una relación. Además probaremos que toda relación de equivalencia induce una partición y viceversa.

Conjunto cociente

A continuación definimos un nuevo conjunto. Como parte de los ejercicios de la tarea moral, se incluye verificar que en efecto esta definición da un conjunto a partir de los axiomas.

Definición. Sea $R$ una relación de equivalencia en $A$. Definimos al conjunto cociente por la relación $R$ como el conjunto:

$A/R=\set{[a]_R: a\in A}$.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo.

Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $R$ la relación identidad en $A$. Sabemos que $R$ es de equivalencia en $A$. Luego, siguiendo la definición de conjunto cociente tenemos que $A\diagup R=\set{[1]_R, [2]_R, [3]_R, [4]_R}$, donde $[1]_R=\set{1}$, $[2]_R=\set{2}$, $[3]_R=\set{3}$, $[4]_R=\set{4}$.

$\square$

Ejemplo.

Sean $A=\set{1,2,3,4}$ y $R=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,4), (4,1)}$. Se tiene que $R$ es una relación de equivalencia en $A$. Luego, tenemos que

$A\diagup R=\set{[1]_R, [2]_R, [3]_R, [4]_R}$,

donde

  • $[1]_R=\set{1,4}$,
  • $[2]_R=\set{2}$,
  • $[3]_R=\set{3}$,
  • $[4]_R=\set{4,1}$, pero este conjunto es igual a $[1]_R$.

Por lo tanto, $A\diagup R=\set{[1]_R, [2]_R, [3]_R}$.

$\square$

Cada relación de equivalencia induce una partición

Teorema. Sea $R$ una relación de equivalencia en $A$. El conjunto cociente $A\diagup R$ es una partición de $A$.

Demostración.

Supongamos que $R$ es una relación de equivalencia en $A$. Veamos que $A\diagup R$ es una partición de $A$.

  1. Sea $a\in A$, vimos en la entrada de particiones que $[a]_R\not=\emptyset$.
  2. Sean $[a]_R,[b]_R\in A\diagup R$ tales que $[a]_R\not=[b]_R$ y veamos que $[a]_R\cap [b]_R=\emptyset$. En la entrada anterior probamos que $aRb$ si y sólo si $[a]_R=[b]_R$ lo cual ocurre si y sólo si $[a]_R\cap[b]_R=\emptyset$. De este modo, si $[a]_R\not=[b]_R$, $[a]_R\cap[b]_R=\emptyset$.
  3. Por último, $\bigcup_{a\in A} [a]_R= A$ pues para cada $a\in A$, $a\in [a]_R$.

$\square$

Este último teorema demuestra que toda relación de equivalencia induce una partición.

Las particiones inducen una relación de equivalencia

El teorema anterior nos permitió probar que cada relación de equivalencia induce una partición y de hecho, esta partición será el conjunto cociente, Podemos preguntarnos si el resultado se cumple «de regreso», en el sentido de si dada una partición podemos inducir una relación de equivalencia. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Este ejemplo es todavía algo informal, pues no hemos introducido formalmente a los números naturales, a los pares y los impares. Haremos esto más adelante. Por el momento, puedes usar lo que ya sabes de los números naturales y de su paridad.

Sea $A=\set{0,1,2, 3, \cdots}$ y sean $A_1=\set{0,2,4,\cdots}$ y $A_2=\set{1,3, 5,\cdots}$. Resulta que $\mathcal{P}$ es una partición de $A$ pues tanto $A_1$ y $A_2$ son conjuntos no vacíos, además $A_1\cap A_2=\emptyset$ y $A_1\cup A_2=A$.

Queremos ver si existe la manera de relacionar a los elementos de $A$ tal que la relación que resulte sea de equivalencia. Consideremos la relación definida como sigue:

$R_\mathcal{P}=\set{(a,b)\in A\times A: a,b\in A_1\vee a,b\in A_2}$.

Notemos que la relación $R_\mathcal{P}$ es una relación en $A$ y además relaciona a los elementos si pertenecen a un mismo conjunto de la partición.

Veamos que $R_\mathcal{P}$ es una relación de equivalencia, para ello verifiquemos si es una relación reflexiva, simétrica y transitiva.

  1. Sea $a\in A$. Si $a$ es un número par (existe $k$ tal que $a= 2k$), entonces $a\in A_1$ y por lo tanto $(a,a)\in R_\mathcal{P}$.
    Si $a$ es un número impar (existe $k$ tal que $a= 2k+1$), entonces $a\in A_2$ y por lo tanto $(a,a)\in R_\mathcal{P}$.
    Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación reflexiva.
  2. Supongamos que $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ y veamos que $(b,a)\in R_\mathcal{P}$.
    Como $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ entonces $a,b\in A_1$ o $a,b\in A_2$, lo que es equivalente a decir que $b,a\in A_1$ o $b,a\in A_2$, es decir, $(b,a)\in R_\mathcal{P}$.
    Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación simétrica.
  3. Supongamos que $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ y $(b,c)\in R_\mathcal{P}$.
    Como $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ entonces $a,b\in A_1$ o $a,b\in A_2$. Luego, como $(b,c)\in R_\mathcal{P}$ entonces $b,c\in A_1$ o $b,c\in A_2$. Si $a,b\in A_1$, entonces $b,c\in A_1$, pues de lo contrario $b,c\in A_2$ y, por tanto, $b\in A_1$ al mismo tiempo que $b\in A_2$ y así, $b$ es par e impar, lo cuál no puede ocurrir. Por lo tanto, $b,c\in A_1$, de modo que $a,c\in A_1$ y así, $(a,c)\in R_\mathcal{P}$. Análogamente, si $a,b\in A_2$, entonces, $b,c\in A_2$ y, por tanto, $a,c\in A_2$ y $(a,c)\in R_{\mathcal{P}}$. Por lo tanto $R_\mathcal{P}$ es una relación transitiva.

Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación de equivalencia.

$\square$

Podemos demostrar que esto ocurre para cualquier conjunto y cualquier partición. Veamos el siguiente teorema.

Teorema. Toda partición induce una relación de equivalencia.

Demostración.

Sea $A$ un conjunto y $\mathcal{P}$ una partición de $A$. Defimos a $R_\mathcal{P}$ como el siguiente conjunto:

$R_\mathcal{P}=\set{(a,b)\in A\times A: \exists p\in \mathcal{P}\ \text{tal que}\ a,b\in p}$.

Notemos que $R_\mathcal{P}$ es una relación en $A$ pues es un subconjunto de $A\times A$. Veamos que $R$ es de equivalencia, es decir, $R$ es reflexiva, simétrica y transitiva.

  1. Sea $a\in A$. Dado que $\mathcal{P}$ es una partición de $A$, entonces $A=\bigcup\mathcal{P}$. Entonces existe $p\in \mathcal{P}$ tal que $a\in p$, de donde $(a,a)\in R_\mathcal{P}$. Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación reflexiva.
  2. Supongamos que $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ y veamos que $(b,a)\in R_\mathcal{P}$.
    Como $(a,b)\in R_\mathcal{P}$, existe $p\in \mathcal{P}$ tal que $a, b\in p$. Lo que es equivalente a decir que existe $p\in \mathcal{P}$ tal que $b,a\in p$, es decir, $(b,a)\in R_\mathcal{P}$. Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación simétrica.
  3. Supongamos que $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ y $(b,c)\in R_\mathcal{P}$.
    Como $(a,b)\in R_\mathcal{P}$, existe $p\in \mathcal{P}$ tal que $a, b\in p$. Luego, como $(b,c)\in R_\mathcal{P}$, existe $q\in \mathcal{P}$ tal que $b,c\in q$. Además $p=q$ pues de lo contrario, $p\not= q$ y $b\in p$ al mismo tiempo que $b\in q$ y así, $b\in p\cap q$ lo cual es una contradicción a la definición de partición. Por lo tanto, $p=q$ y así $a,c\in p$, por lo que $(a,c)\in R_\mathcal{P}$. Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación transitiva.

Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación de equivalencia en $A$.

$\square$

Con este último teorema hemos probado que en efecto, así como cada relación de equivalencia induce una partición, se cumple que cada partición induce una relación de equivalencia. Además, estas correspondencias son en cierto sentido «una la inversa de la otra» como explorarás en los ejercicios a continuación.

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te ayudará a reforzar el contenido de esta entrada:

  1. Demuestra mediante los axiomas que si $A$ es un conjunto y $R$ es una relación de equivalencia en $A$, entonces $A\diagup R$ es un conjunto.
  2. Sea $A=\set{1,2,3,4,5,6}$ y $R=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (5,6), (6,5), (4,6), (6,4), (4,5), (5,4)}$ relación de equivalencia en $A$. Determina al conjunto cociente de $A$ con respecto a $R$.
  3. Demuestra mediante los axiomas que $R_{\mathcal{P}}$ del último teorema en efecto es un conjunto.
  4. Demuestra lo siguiente, en términos de la notación usada en esta entrada:
    • Si $A$ es conjunto y $R$ es relación de equivalencia en $A$, entonces $R_{A\diagup R}=R$.
    • Si $A$ es conjunto $\mathcal{P}$ es partición de $A$, entonces $A\diagup R_{\mathcal{P}}=\mathcal{P}$.
  5. Si $R_1$ y $R_2$ son relaciones de equivalencia en $A$, ya demostramos que $R_1\cap R_2$ también lo es. ¿Cómo es $A\diagup (R_1\cap R_2)$ con respecto a $A\diagup R_1$ y $A\diagup R_2$?

Más adelante…

En la siguiente entrada introduciremos el concepto de orden parcial y de orden total. Estos son otro tipo especial de relaciones. Volveremos a usar las propiedades de reflexividad y transitividad. Sin embargo, tendremos que introducir otras como la asimetría, la antisimetría y la irreflexibilidad.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Geometría Analítica I: Polinomios cuadráticos y curvas cuadráticas

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

Lo primero que queremos determinar en un problema de clasificación es cuáles son los objetos que clasificaremos. En esta entrada los definimos con toda precisión: serán los polinomios cuadráticos en dos variables y las curvas cuadráticas.

Los primeros son expresiones algebraicas que mezclan a dos variables $x$ y $y$ mediante sumas y productos, pero teniendo grado dos. Las segundas son aquellos conjuntos del plano en donde se anula un polinomio cuadrático.

Polinomios cuadráticos en dos variables

Comencemos con una definición algebraica.

Definición. Un polinomio cuadrático en dos variables $P$ es una función $P:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ de la forma $$P((x,y))=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F,$$ para algunos reales $A,B,C,D,E,F$, en donde alguno de $A$, $B$ ó $C$ es distinto de cero.

En ocasiones, para abreviar «polinomio cuadrático en dos variables» simplemente usaremos las siglas «PCDV».

Ejemplo. Todas las expresiones que aparecen en las cónicas canónicas que hemos estudiado son PCDVs. Por ejemplo, la ecuación canónica de la elipse $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ puede reescribirse como $$b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0.$$ Del lado izquierdo de esta igualdad tenemos un PCDV. De manera similar, la ecuación canónica de la parábola $y^2=4px$ puede reescribirse como $y^2-4px=0$. Una vez más al lado izquierdo nos aparece un PCDV.

$\triangle$

Ejemplo. Si consideramos las dos rectas $3x+5y+1=0$ y $2x-2y+1=0$ y «multiplicamos» sus ecuaciones, entonces obtenemos de nuevo un PCDV pues el producto es:

\begin{align*}
(3x+5y+1)(2x-2y+1)&=6x^2-6xy+3x+10xy-10y^2+5y+2x-2y+1\\
&=6x^2+4xy-10y^2+5x+3y+1.
\end{align*}

$\triangle$

Curvas cuadráticas

Cuando tenemos una expresión algebraica que depende de dos variables $x$ y $y$, entonces podemos preguntarnos por cómo es la figura geométrica que se obtiene al considerar los puntos $(x,y)$ del plano que hacen que la expresión algebraica sea igual a cero. Un ejemplo de esto es cuando consideramos las expresiones del estilo $Ax+By+C$. Las parejas $(x,y)$ que hacen que esta expresión sea igual a cero forman una recta en el plano. En efecto, forman la recta en forma normal dada por la ecuación $(A,B)\cdot (x,y)=-C$, como puedes verificar.

Esta idea es mucho más general. A partir de los polinomios cuadráticos en dos variables también podemos hacernos la misma pregunta: ¿cómo se ven las parejas $(x,y)$ que anulan un polinomio cuadrático? La respuesta será importante, así que las figuras que se construyen así les damos su propio nombre.

Definición. Una curva cuadrática es el conjunto de puntos $(x,y)$ del plano que anulan a un polinomio cuadrático en dos variables $P$. En otras palabras, es un conjunto de la forma $$\mathcal{C}:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F = 0\}.$$

A $P$ le llamamos el polinomio asociado a $\mathcal{C}$. A $\mathcal{C}$ le llamamos la curva descrita (o dada) por $P$. Quizás usaremos terminología un poco distinta, pero que siga dejando evidente que $P$ y $\mathcal{C}$ están relacionados.

Ejemplo. Ya hemos estudiado anteriormente algunas curvas cuadráticas: las cónicas canónicas. Por ejemplo, si tomamos el PCDV $P((x,y))=4x^2-9y^2-36$ y nos preguntamos para cuáles parejas $(x,y)$ esto es igual a cero, como respuesta tenemos que son aquellas parejas $(x,y)$ tales que $ 4x^2-9y^2-36=0$, lo cual podemos reescribir como $$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1.$$ Esta es la hipérbola canónica de semieje mayor $3$ y semieje menor $2$. Podemos verla en la siguiente figura.

$\triangle$

Ejemplo. ¿Qué sucede si nos fijamos en la curva descrita por el polinomio cuadrático en dos variables $$ 6x^2+4xy-10y^2+5x+3y+1$$ que construimos en un ejemplo anterior? Si recuerdas, obtuvimos este polinomio cuadrático en dos variables a partir de multiplicar dos expresiones. De esta forma, tenemos que $$ 6x^2+4xy-10y^2+5x+3y+1=0$$ si y sólo si $$ (3x+5y+1)(2x-2y+1) =0.$$ Pero el producto de dos cosas es igual a cero si y sólo si alguna es igual a cero. Así, alguna de las expresiones $3x+5y+1$ y $2x-2y+1$ debe ser igual a cero. Si la primera es cero, entonces $(x,y)$ es un punto en la recta normal $\ell_1$ de ecuación $(3,5)\cdot (x,y) = -1$. Si la segunda es cero, entonces $(x,y)$ es un punto en la recta normal $\ell_2$ de ecuación $(2,-2)\cdot(x,y) = -1$. Así, la curva cuadrática descrita por el PCDV es la unión de $\ell_1$ con $\ell_2$. Podemos verla en la siguiente figura.

$\triangle$

Forma matricial de polinomios cuadráticos en dos variables

Cuando trabajamos con rectas, nos convenía tener varias formas de expresarlas: la forma paramétrica ayudaba a determinar fácilmente el paralelismo, la forma baricéntrica nos daba fórmulas sencillas para los puntos medios, la forma normal nos permitía encontrar distancias, etc. Así mismo, cuando trabajamos con polinomios cuadráticos en dos variables es de ayuda tener más de una expresión.

Podemos reescribir un polinomio cuadrático en dos variables $$P((x,y))=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F$$ de una manera más compacta usando multiplicación matricial. Para ello, definimos $$M=\begin{pmatrix} A & \frac{B}{2} \\ \frac{B}{2} & C \end{pmatrix}, k=\begin{pmatrix} D \\ E \end{pmatrix}, v=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$$ Con esta notación, e interpretando a las matrices de $1\times 1$ como reales, tenemos que $P$ se puede reescribir de la siguiente manera: $$P(v)=v.$$

En efecto, al realizar las operaciones en el lado derecho obtenemos:

\begin{align*}
v^t M v + k^t v + F &=\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & \frac{B}{2} \\ \frac{B}{2} & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} D & E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + F\\
&=\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Ax + \frac{B}{2} y \\ \frac{B}{2} x + C y \end{pmatrix} + Dx + Ey + F\\
&=Ax^2 + Bxy + Cy^2+Dx+Ey+F.
\end{align*}

Observa que cuando pasamos un polinomio cuadrático en dos variables a forma matricial entonces siempre obtenemos una matriz $M$ simétrica.

Ejemplo. La forma matricial del PCDV que encontramos anteriormente $$6x^2+4xy-10y^2+5x+3y+1$$ es

$$ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + 1.$$

nota que el coeficiente de $xy$ se tuvo que dividir entre $2$ para llegar a las entradas de la matriz. Es importante recordar esto al pasar de la forma en coordenadas a la forma matricial.

$\triangle$

En caso de ser necesario, también podemos pasar fácilmente de la forma matricial de un polinomio cuadrático en dos variables a su forma en coordenadas.

Ejemplo. Si comenzamos con el polinomio cuadrático en dos variables con forma matricial $$ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} – 1, $$

entonces su forma en coordenadas es $$2x^2-2xy+3y^2 – 3y -1.$$

Observa que las entradas $-1$ fuera de la diagonal principal de la matriz al salir se duplican para conformar el coeficiente de $xy$. Es importante recordar esto al pasar de forma matricial a forma en coordenadas.

$\triangle$

Más adelante…

En esta entrada definimos qué son los polinomios cuadráticos en dos variables y qué son las curvas cuadráticas.

Por un lado, mencionamos que todas las ecuaciones de cónicas canónicas que hemos visto tienen polinomios cuadráticos en dos variables. ¿Será que todas las ecuaciones de cónicas también tienen polinomios cuadráticos en dos variables? Por otro lado, vimos que algunas curvas cuadráticas son cónicas. Pero nos pasó algo un poco raro: en un ejemplo salieron dos rectas que se intersectan, que quizás estrictamente no pensamos como una cónica usual (elipse, hipérbola, parábola).

¿Cómo serán todas las curvas cuadráticas? ¿Serán sólo las cónicas usuales y algunas excepciones o podrán tener formas muy extrañas? Eso lo estudiaremos después.

También en esta entrada vimos la forma matricial de un polinomio cuadrático en dos variables. De momento, no hemos hablado de la utilidad que tiene pensar a un PCDV así. Sin embargo, en la siguiente entrada veremos que esta expresión es fundamental para ver qué sucede cuando «combinamos» un polinomio cuadrático con una transformación afín.

Tarea moral

  1. Usa alguna herramienta tecnológica (como GeoGebra) para trazar las curvas cuadráticas descritas por los siguientes polinomios cuadráticos en dos variables:
    • $x^2-2xy+3y^2+x-5y+7$
    • $3y^2+5y+x$
    • $x^2+y^2-5x-5y+3$
    • $xy-x-y+7$
    • $-x^2+2xy-3y^2-x+5y-7$
  2. Sea $P:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ dada por $P((x,y))=(Ax+By+C)(Dx+Ey+F)$. Demuestra que $P$ es un polinomio cuadrático en dos variables. Luego, demuestra que:
    1. Si $AE-BD\neq 0$, entonces la curva cuadrática dada por $P$ es la unión de dos rectas que se intersectan.
    2. Si $AE-BD=0$, entones la curva cuadrática dada por $P$ es la unión de dos rectas paralelas (no necesariamente distintas).
  3. Demuestra que la intersección de una recta con una curva cuadrática sólo puede ser:
    1. Vacía,
    2. Un punto,
    3. Dos puntos, o
    4. Una infinidad de puntos.
  4. Demuestra que cualquier curva cuadrática $\mathcal{C}$ puede ser descrita a través de una infinidad de polinomios cuadráticos en dos variables.
  5. Considera la gráfica de la función $f(x)=\sin(x)$. ¿Será que esta gráfica es una curva cuadrática? Intenta demostrar por qué sí o por qué no.

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Teoría de los Conjuntos I: Funciones inversas

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En la entrada de composición de relaciones vimos que al componer una relación $R$ con la relación $Id$ obtenemos la relación $R$. Lo mismo ocurre para funciones. Ahora podríamos preguntarnos si dada una función $f$ existe alguna función que al componerla con $f$ nos devuelva la función identidad. Veremos que no siempre es posible y analizaremos cuáles condiciones se requieren para que sí ocurra. Funciones que satisfagan la propiedad de que al componerlas con alguna otra función el resultado sea la identidad les llamaremos funciones invertibles o diremos que tienen una inversa. Como la composición de funciones no es conmutativa, esto nos lleva a tres preguntas: ¿cuándo una función tiene inversa izquierda? ¿cuándo tiene inversa derecha? ¿cuándo tiene una función que sirva de inversa por ambos lados?

En esta entrada exploramos estas preguntas en las siguientes secciones, y las conectamos con las nociones de inyectividad, suprayectividad y biyectividad que trabajamos previamente.

Inversa izquierda

Estudiemos primero la noción de invertibilidad por la izquierda.

Definición. Sea $f:X\to Y$ una función. Si $g:Y\to X$ es una función tal que $g\circ f=Id_X$, entonces decimos que $g$ es inversa izquierda de $f$.

Ejemplo.

Sean $X=\set{1,2}$ y $Y=\set{1,2,3}$ conjuntos. Sea $f:X\to Y$ la función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2)}$.

Luego, si tomamos $g:Y\to X$ definida como $g=\set{(1,1), (2,2), (3,2)}$ es inversa izquierda de $f$. En efecto, tenemos que $g\circ f=Id_X$ pues:

$(g\circ f)(1)= g(f(1))= g(1)=1= Id_X(1)$ y $(g\circ f)(2)= g(f(2))= g(2)=2= Id_X(2)$.

Por lo tanto, $g\circ f=Id_X$ y así $g$ es inversa izquierda de $f$.

$\square$

La invertibilidad por la izquierda está conectada con la inyectividad, como lo afirma la siguiente proposición.

Proposición. Sea $f:X\to Y$ una función, se tiene que $f$ es inyectiva si y sólo si $f$ tiene inversa izquierda.

Demostración. Un caso aparte sencillo es qué sucede si el conjunto $X$ es vacío. En este caso, cualquier función $f:\emptyset \to Y$ es vacía y por lo tanto inyectiva por vacuidad, y $f\circ f = \emptyset =Id_{\emptyset}$, es decir, $f$ es inversa izquierda de sí misma. Así que supondremos que $X\neq \emptyset$.

Supongamos que $f$ es inyectiva, es decir, para cualesquiera $x,y\in X$ se tiene que $f(x)= f(y)$ implica $x=y$. Vamos a demostrar que existe $g:Y\to X$ función tal que $g\circ f= Id_X$.

Para ello, como $X\neq \emptyset$, podemos tomar un $x_0\in X$ cualquiera y definir la siguiente función de $Y$ en $X$:

$$g(y)=\begin{cases} x & \text{si $y\in \text{Im}(f)$ y $f(x)=y$}\\ x_0 & \text{si $y\not \in \text{Im}(f)$}\end{cases}.$$

Veamos primero que $g$ en efecto está bien definida. Esta forma de asignar sí es total, pues para cualquier $y\in Y$ se tiene que o bien $y\in \text{Im}(f)$ o bien $y \not \in \text{Im}(f)$. En el primer caso, por definición existe un $x$ tal que $f(x)=y$ y entonces podemos usar la primera parte de la definición. En el segundo caso usamos la segunda parte de la definición. Además, esta forma de asignar sí es funcional. Cualquier $y\in Y$ está en uno y sólo uno de los casos de arriba. Si está en el primer caso, existe una y sólo una $x$ que cumple $f(x)=y$, pues $f$ es inyectiva. Si está en el segundo caso, $f(y)$ sólo puede valer $x_0$.

Ahora veamos que $g$ es inversa izquierda de $f$. En efecto, sea $x\in X$, entonces

$(g\circ f)(x)=g(f(x))= x=Id_X(x)$.

Ahora, supongamos que $f$ es una función invertible por la izquierda, es decir, existe $g$ tal que $g\circ f=Id_X$. Veamos que $f$ es inyectiva. Sean $x_1, x_2$ tales que $f(x_1)=f(x_2)$. Tenemos que

\begin{align*}
x_1&=Id_X(x_1)\\
&=(g\circ f)(x_1)\\
&=g(f(x_1))\\
&=g(f(x_2))\\
&=(g\circ f)(x_2)\\
&=Id_X(x_2)\\
&=x_2.
\end{align*}

Por lo tanto, $f$ es inyectiva.

$\square$

Inversa derecha

Una noción parecida a la invertibilidad por la izquierda es la invertibilidad por la derecha.

Definición. Sea $f:X\to Y$ una función. Si $g:Y\to X$ es una función tal que $f\circ g=Id_Y$, entonces decimos que $g$ es inversa derecha de $f$.

Ejemplo.

Sean $X=\set{1,2,3}$ y $Y=\set{1,2}$ conjuntos. Sea $f:X\to Y$ la función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2), (3,1)}$.

Luego, se tiene que $g:Y\to X$ definida como $g=\set{(1,1), (2,2)}$ es inversa derecha de $f$. En efecto, tenemos que $f\circ g=Id_Y$ pues:

$(f\circ g)(1)= f(g(1))= f(1)=1= Id_Y(1)$ y $(f\circ g)(2)= f(g(2))= f(2)=2= Id_Y(2)$.

Por lo tanto, $f\circ g=Id_Y$ y así $g$ es inversa derecha de $f$.

$\square$

Del ejemplo anterior podrás notar que $f$ es suprayectiva pero no inyectiva por lo que $f$ no puede tener ninguna inversa izquierda. En general, el siguiente resultado nos dice que $f$ es invertible por la derecha justo cuando es suprayectiva.

Teorema. Sea $f:X\to Y$ una función, se tiene que $f$ es suprayectiva si y sólo si $f$ tiene inversa derecha.

Demostración (parcial).

Ahora, supongamos que $f$ tiene inversa derecha, digamos $g$. Sea $y\in Y$, veamos que existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$.
Dado que $g$ es inversa derecha de $f$, entonces $f\circ g=Id_Y$, por lo que para cualquier $y\in Y$, $(f\circ g)(y)= Id_Y(y)=y$, por lo que al tomar $x= g(y)\in X$, se cumple que $f(x)=f(g(y))=y$. Por lo tanto, $f$ es suprayectiva.

Nos faltaría demostrar que si $f$ es suprayectiva, entonces tiene inversa derecha. Esto no lo podemos hacer ahora y postergamos la demostración para la última parte del curso, cuando hablemos del axioma de elección.

$\square$

¿Por qué no podemos hacer la demostración todavía? Un poco más adelante hablaremos de cómo incluir axiomáticamente a los números naturales en todo lo que estamos construyendo, así que en nuestra teoría tendremos conjuntos infinitos. La razón por la que no podemos hacer la demostración anterior es que los axiomas de teoría de conjuntos que hemos presentado hasta ahora no nos dicen cómo le podemos hacer para tomar «una infinidad de decisiones» para crear un conjunto, y justo necesitamos esto en este momento. ¿Por qué? Sabemos que $f:X\to Y$ es una función suprayectiva, y que entonces todos los elementos de $f$ vienen de por lo menos un elemento de $X$. Pero si cada elemento de $Y$ viene de dos elementos de $X$ (digamos) y $Y$ es infinito, ¿cómo construimos la inversa derecha $g$ de $f$? Tendríamos que decidir para cada $y\in Y$ el valor de $g(y)$ entre dos posibilidades. Esto lo resolveremos incluyendo otro axioma que nos permita tomar una infinidad de decisiones, conocido como Axioma de elección, el cual veremos en entradas posteriores.

Inversa izquierda pero no derecha y viceversa

Podemos preguntarnos por qué hasta este momento tenemos dos conceptos: uno de inversa izquierda y otro de inversa derecha. La respuesta es que en ocasiones la inversa izquierda no será inversa derecha y viceversa. Además habrá veces en las que una función sólo tenga inversa izquierda y no derecha, así como funciones que solo tengan inversa derecha pero no izquierda. Retomemos los ejemplos anteriores para ver esto último.

Ejemplo.

Sean $X=\set{1,2}$ y $Y=\set{1,2,3}$ conjuntos. Sea $f:X\to Y$ la función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2)}$. Antes vimos que $g=\set{(1,1), (2,2), (3,2)}$ es inversa izquierda de $f$, sin embargo, $g$ no es inversa derecha pues $f\circ g= \set{(1,1), (2,2), (3, 2)}$ y $f\circ g\not= Id_Y$ pues $(f\circ g)(3)= 2\not= 3=Id_Y(3)$. Además $f$ no tiene inversa derecha pues $g$ debe enviar a $3$ a un elemento de $X$, en este caso las únicas posibilidades son $1$ o $2$. En cualquiera de los casos al componer a la función $g$ con $f$, la composición resulta ser distinta de la función identidad.

Ahora, sean $X=\set{1,2,3}$ y $Y=\set{1,2}$ conjuntos. Sea $f:X\to Y$ la función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2), (3,1)}$. Vimos que $g=\set{(1,1), (2,2)}$ es inversa derecha de $f$. Sin embargo, $g$ no es inversa izquierda de $f$ pues $g\circ f=\set{(1,1), (2,2), (3,1)}$ y $g\circ f\not=Id_X$. De hecho, no podría tener inversa izquierda pues como ya demostramos arriba, $f$ tendría que ser inyectiva, pero no lo es pues $f(1)=1=f(3)$.

$\square$

Inversa de una función

La tercera noción que estudiaremos es la siguiente.

Definición. Sea $f:X\to Y$ una función. Si existe $g:Y\to X$ tal que $g$ es inversa izquierda e inversa derecha de $f$, entonces decimos que $g$ es una inversa de $f$. En este caso, diremos que $f$ es invertible.

Ejemplo.

Sea $X$ un conjunto, consideremos $Id_X$. Resulta que $Id_X$ es invertible. En efecto, si consideramos la función $g=Id_X$ tenemos $g\circ Id_X=Id_X\circ Id_X=Id_X=Id_X\circ Id_X=Id_X\circ g$. Por tanto, $g=Id_X$ es una inversa de $Id_X$.

$\square$

Ejemplo.

Sea $X=\set{0,1}$. Cualquier función inyectiva en $X$ es una función invertible. Para mostrar esto, notemos que las únicas funciones inyectivas en $X$ son $f_1=Id_X$ y $f_2=\set{(0,1),(1,0)}$. Luego, una inversa de $f_1$ es $f_1$ como lo vimos en el ejemplo anterior y, una inversa de $f_2$ es $f_2$ ya que $(f_2\circ f_2)(0)=f_2(f_2(0))=f_2(1)=0$ y $(f_2\circ f_2)(1)=f_2(f_2(1))=f_2(0)=1$, es decir, $f_2\circ f_2=Id_X$.

El siguiente resultado conecta varias propiedades de las que hemos platicado.

Teorema. Sea $f:X\to Y$. Las siguientes tres cosas son equivalentes:

  1. $f$ es biyectiva.
  2. $f$ tiene inversa.
  3. $f$ tiene inversa derecha y $f$ tiene inversa izquierda.

Demostración.

$1)\rightarrow 2)$. Supongamos que $f$ es biyectiva, entonces $f$ es inyectiva y suprayectiva. Para definir $g:Y\to X$ su inversa, notamos que para cada $y\in Y$ existe un único $x\in X$ tal que $f(x)=y$ y entonces definimos $g(y)=x$. Debemos ver que dicha $g$ compuesta tanto por la derecha como por la izquierda con $f$ nos da la identidad. Por un lado, para cualquier $x\in X$ tenemos que $g(f(x))=x$ por cómo definimos $g$, así que $g\circ f = Id_X$.

Tomemos ahora $y\in Y$ y estudiemos $f(g(y))$. Como $f$ es suprayectiva, existe un $x$ tal que $y=f(x)$. Por definición de $g$, tenemos $f(g(y))=f(g(f(x))=f(x)$. Y como $f$ es inyectiva, tenemos que $g(y)=x$. Así, $f(g(y))=f(x)=y$. Concluimos entonces que $f\circ g=Id_Y$. Con esto concluimos la prueba de que $g$ es inversa de $f$.

$2)\rightarrow 3)$. Si $f$ tiene inversa $g$, entonces $g\circ f = Id_X$ y $f\circ g = Id_Y$, que es justo lo que se pide para que $g$ sea inversa izquierda y derecha respectivamente.

$3)\rightarrow 1)$. Esto es conclusión de lo que ya mostramos anteriormente. Como $f$ tiene inversa derecha, entonces es suprayectiva. Como $f$ tiene inversa izquierda, entonces $f$ es inyectiva. Así, $f$ es biyectiva.

$\square$

Observa que en la demostración del resultado anterior estamos usando que si $f$ tiene inversa derecha, entonces es suprayectiva. Esto es algo que sí pudimos demostrar en esta entrada y por lo tanto la demostración que acabamos de hacer no necesita del axioma de elección. Por otro lado, observa que el teorema anterior nos da una condición necesaria y suficiente para determinar cuándo una función posee inversa, incluso sabemos que ésta es única y por ello podemos adoptar una notación para la inversa de una función; si existe la inversa de una función $f$, la denotaremos por $f^{-1}$, notación que coincide con la de la inversa de una relación.

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá identificar cuándo una función tiene inversa ya sea izquierda o derecha

  • Sea $f:X\to Y$ una función inyectiva. Da un ejemplo en donde la relación inversa de $f$ no es total y por lo tanto no es función.
  • En la definición de función inversa para una función $f:X\to Y$ le llamamos a su inversa $f^{-1}$. Pero aquí implícitamente ya estamos suponiendo que la inversa es única. Demuestra que, en efecto, si una función $f:X\to Y$ tiene inversa, entonces dicha inversa es única.
  • Las inversas derechas e izquierdas no necesariamente son únicas. Para pensar en esto, haz lo siguiente:
    • Da una función que tenga dos inversas derechas distintas.
    • Da una función que tenga dos inversas izquierdas distintas.
  • Sean $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ funciones biyectivas. Demuestra que $g\circ f$ es invertible, más aún que $(g\circ f)^{-1}= f^{-1}\circ g^{-1}$.

Más adelante…

En la siguiente sección comenzaremos con el tema de relaciones de equivalencia. En esta parte retomaremos el concepto de relación, sin embargo nos enfocaremos en las relaciones de un conjunto $A$ que cumplen determinadas propiedades, lo que las hará especiales y recibirán el nombre de relaciones de equivalencia.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»