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Seminario de Resolución de Problemas: Series telescópicas

Por Fabian Ferrari

Introducción

En la entrada anterior vimos las series geométricas y su uso para la resolución de problemas específicos. En esta sección trataremos otro tipo de series que resultan de utilidad al momento de resolver problemas, este tipo de series son muy utilizadas en problemas de cálculo.

Series Telescópicas

Dada una sucesión ${a_{i}}_{i \in N}$ decimos que la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} - a_{n + 1})$ es telescópica por la forma de sus sumas parciales.

$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{N} (a_{n} - a_{n + 1}) & = (a_{1} - a_{2}) + (a_{2} - a_{3}) + \dots + (a_{N - 1} - a_{N}) + (a_{N} - a_{N + 1}) \\ = a_{1} - a_{N + 1} \end{aligned}$

Notemos que la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} - a_{n + 1})$ converge solo si la sucesión es convergente.

Ejemplos de series telescópicas convergentes y no convergentes.

Determina el resultado de la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n (n + 1)})$ .

A simple vista, la serie que se nos presenta no parece ser telescópica. Sin embargo, si cambiamos un poco la estructura de $\frac{1}{n (n + 1)}$ podemos notar que

$\frac{1}{n (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$

Con esto tenemos que

$\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n (n + 1)}) = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$

Con esta última expresión, podemos observar que la serie es telescópica dado que su suma parcial queda de la siguiente manera

$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{N} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) & = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{N - 1} - \frac{1}{N} + \frac{1}{N} - \frac{1}{N + 1} \\ = 1 - \frac{1}{N + 1} \end{aligned}$

Pero como queremos la serie con límite superior infinito, basta con que calculemos el límite cuando $N \to \infty$ de la suma parcial.

$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n (n + 1)}) & = lim_{N \to \infty} \sum_{n = 1}^{N} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) \\ = lim_{N \to \infty} (1 - \frac{1}{N + 1}) = 1 \end{aligned}$

En este ejemplo la serie resulta ser convergente dado que la sucesión ${\frac{1}{n (n + 1)}}$ es convergente.

Un segundo ejemplo es si queremos calcular la $\sum_{n = 1}^{\infty} (3 n^{2} + 3 n + 1)$ .

La serie diverge ya que la sucesión ${3 n^{2} + 3 n + 1}$ diverge. Sin embargo, eso no nos impide poder calcular la suma parcial $\sum_{n = 1}^{N} (3 n^{2} + 3 n + 1)$

En principio, $\sum_{n = 1}^{N} (3 n^{2} + 3 n + 1)$ no parece ser telescópica, pero podemos modificar el problema, para verla como una serie telescópica.

Tenemos que
$\sum_{n = 1}^{N} (3 n^{2} + 3 n + 1) = \sum_{n = 1}^{N} (n^{3} - n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1)$

Como estamos sumando un cero a la expresión, no alteramos el problema.

Así que

$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{N} (n^{3} - n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1) & = \sum_{n = 1}^{N} (n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1 - n^{3}) \\ = \sum_{n = 1}^{N} [(n + 1)^{3} - n^{3}] \end{aligned}$

La serie $\sum_{n = 1}^{N} [(n + 1)^{3} - n^{3}]$ tiene forma telescópica, así que

$\sum_{n = 1}^{N} [(n + 1)^{3} - n^{3}] = (N + 1)^{3} - 1 = N^{3} + 3 N^{2} + 3 N$

La suma de los primeros $n$ números naturales impares.

Sabemos que un número impar es de la forma $2 n + 1$ o $2 n - 1$ . y podemos conjeturar observando el patrón de las sumas parciales de $\sum_{n = 1}^{N} (2 n - 1)$ , lo siguiente.

$\begin{aligned} 1 = 1 \\ 1 + 3 = 4 \\ 1 + 3 + 5 = 9 \\ 1 + 3 + 5 + 7 = 16 \\ ⋮ \\ 1 + 3 + 5 + \dots + (2 N - 1) = N^{2} \end{aligned}$

Ahora, la idea es probar que esto es cierto aplicando el concepto de series telescópicas.

Tenemos que $\sum_{n = 1}^{N} (2 n - 1) = 1 + \sum_{n = 1}^{N - 1} (2 n + 1)$

Fijémonos en $\sum_{n = 1}^{N - 1} (2 n + 1)$ , la cual podemos expresar de la siguiente manera

$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{N - 1} (2 n + 1) & = \sum_{n = 1}^{N - 1} (n^{2} + 2 n + 1 - n^{2}) & = \sum_{n = 1}^{N - 1} [(n + 1)^{2} - n^{2}] \end{aligned}$

Observemos que $\sum_{n = 1}^{N - 1} [(n + 1)^{2} - n^{2}]$ es telescópica y tenemos que

$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{N - 1} [(n + 1)^{2} - n^{2}] & = (N - 1) + 1)^{2} - 1 \\ = N^{2} - 1 \end{aligned}$

Así,

$\sum_{n = 1}^{N} (2 n - 1) = 1 + N^{2} - 1 = N^{2}$

Por lo tanto nuestra conjetura queda probada y resulta ser verdadera.

Un problema en el que intervienen las fracciones parciales

Problema: Determina la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{4 n^{2} - 1})$

Solución: Notemos que

$\begin{aligned} \frac{1}{4 n^{2} - 1} & = \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)} \\ = \frac{A}{2 n - 1} + \frac{B}{2 n + 1} \end{aligned}$

Resolviendo un sistema de ecuaciones, tenemos que $A = 1 / 2$ y $B = - 1 / 2$ , por lo que

$\begin{aligned} \frac{1}{4 n^{2} - 1} & = \frac{1}{2} (\frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1}) \end{aligned}$

Así, tenemos que

$\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{4 n^{2} - 1}) = \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1})$

Tenemos que $\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1})$ es telescópica, por lo que

$\sum_{n = 1}^{N} (\frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1}) = 1 - \frac{1}{2 N + 1}$

Y tenemos que

$\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1}) = lim_{N \to \infty} (1 - \frac{1}{2 N + 1}) = 1$

Por lo tanto

$\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{4 n^{2} - 1}) = \frac{1}{2} (1) = \frac{1}{2}$

Más problemas

Puedes encontrar más problemas de series telescópicas en la sección 5.3 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Seminario de Resolución de Problemas: Series geométricas

Por Fabian Ferrari

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Introducción

En esta entrada y en otras subsecuentes, trataremos el tema de series aplicado a la resolución de problemas matemáticos. Recordemos que en entradas anteriores ya se estudiaron los conceptos de sucesiones. Para esta entrada aprovecharemos lo que hemos aprendido de sucesiones geométricas.

Series geométricas

Si consideramos una sucesión geométrica ${a_{i}}_{i \in N}$ , recordemos que se cumple que existe una razón $r$ de tal manera que $a_{n} = r a_{n - 1}$ , expresado en el primer término, tenemos que $a_{n} = r^{n} a_{0}$ . Ahora bien, nos interesará saber o conocer las suma de los elementos de una sucesión geométrica. A esta suma se le conoce como serie geométrica y puede realizarse considerando una cantidad finita de elementos de la sucesión, así como una cantidad infinita de elementos de la sucesión.

Si queremos obtener la serie geométrica de los primeros $n + 1$ elementos de la sucesión ${a_{i}}_{i \in N}$ , tenemos lo siguiente

$\sum_{i = 0}^{n} a_{i} = a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} .$

Al multiplicar ambos lados de la igualdad por la razón de la sucesión tenemos que

\begin{align}
\sum_{i=0}^n a_i&=a_0+a_1+a_2 +a_3+\ldots+a_n\
r\sum_{i=0}^n a_i&=ra_0+ra_1+ra_2 +ra_3+\ldots+ra_n\
&=a_1+a_2+\ldots+a_{n+1}
\end{align*}

Y si calculamos $r \sum_{i = 0}^{n} a_{i} - \sum_{i = 0}^{n} a_{i}$ , se cancelan todos los términos excepto el último de la primer suma, y el primero de la segunda. Obtenemos entonces:

$\begin{aligned} r \sum_{i = 0}^{n} a_{i} - \sum_{i = 0}^{n} a_{i} & = a_{n + 1} - a_{0} . \end{aligned}$

Así,
$\sum_{i = 0}^{n} a_{i} = \frac{a_{n + 1} - a_{0}}{r - 1} = a_{0} \frac{r^{n + 1} - 1}{r - 1} .$

Ahora bien, si tenemos la sucesión geométrica ${a_{i}}_{i \in N}$ y queremos calcular la serie infinita de todos sus elementos basta con que calculemos el límite cuando $n \to \infty$ tiende a infinito de $\sum_{i = 0}^{n} a_{i} = a_{0} \frac{r^{n + 1} - 1}{r - 1} .$

Supogamos que $a_{0} \neq 0$ , pues en otro caso la suma de los términos es igual a $0$ . Si $| r | > 1$ , el numerador diverge y por lo tanto la serie también. Cuando $r = 1$ , la serie diverge pues cada sumando es igual a $a_{0} \neq 0$ . Cuando $r = - 1$ , tenemos una serie de términos alternante que no converge, pues es, iteradamente, $a_{0}, 0, a_{0}, 0, \dots$ .

Por otro lado, si $| r | < 1$ , entonces $r^{n + 1} \to 0$ . En este caso, la serie converge a $\frac{a_{0}}{1 - r}$ .

Aplicación de series geométricas a áreas

Si consideramos la sucesión ${x^{i}}_{i \in N}$ tenemos que dicha sucesión está dada por ${1, x, x^{2}, x^{3}, \dots}$ la sucesión es geométrica, dado que la razón es $r = x$ .

De acuerdo al análisis que hicimos arriba, la serie geométrica finita está dada por

$\sum_{i = 0}^{n} x^{i} = (1) \frac{x^{n + 1} - 1}{x - 1} = \frac{1 - x^{n + 1}}{1 - x}$

A partir de aquí deducimos que la serie geométrica infinita está dada por

$\sum_{i = 0}^{\infty} x^{i} = lim_{n \to \infty} \frac{1 - x^{n + 1}}{1 - x} = \frac{1}{1 - x}$

solo si $| x | < 1$ . En otro caso, la serie diverge.

Un problema aplicado a la geometría

Consideremos la siguiente figura, en donde $△ A B C$ es un triángulo equilatero y $O A = 16$ .

Imaginemos que la figura continúa internamente de manera infinita, resultando en una cantidad infinita de triángulos, todos ellos equiláteros. ¿Cuál sería la suma de las áreas de todos los triángulos?

Para ello, primero tendríamos que ver el área de cada triángulo como elemento de una sucesión, la cual parece que será geométrica.

Comencemos calculando el área del $△ A B C$ . Para ello tenemos que determinar el valor de la altura. Notemos que $C E$ es altura del triángulo, a su vez, $C E = O C + O E$ . Como $O C$ es radio de la circunferencia, tenemos que $O C = 16$ . Sólo falta determinar el valor del segmento $O E$ .

Si nos fijamos en $△ A O E$ , tenemos que es un triángulo rectángulo, además que $A O$ es bisectriz del $∠ A$ , así que $∠ O A E = 30^{o}$ . Como $\sin 30^{o} = O E / 16 = 1 / 2$ tenemos entonces que $O E = 8$ .

Por lo anterior, tenemos que que la altura del $△ A B C$ está dada por $h = 24$ . De una manera similar podemos calcular la base del triángulo, la cual está dada por $b = 16 \sqrt{3}$ . Así, el área del $△ A B C$ es $A_{0} = 192 \sqrt{3}$ .

El área del triángulo inscrito en el $△ A B C$ es la cuarta parte de $A_{0}$ , es decir $A_{1} = \frac{1}{4} A_{0}$ . De manera sucesiva $A_{2} = \frac{1}{4} A_{1}$ , $A_{3} = \frac{1}{4} A_{2}, \dots$ .

Si nos fijamos en la sucesión de las áreas de los triángulos$\{A_i\}_{i\in\mathbb{N} $t e n e m o s q u e e s g e o m é t r i c a d e r a z ó n$ r=1/4$.

De esta forma, la suma de las áreas de todos los triángulos es una serie geométrica dada por

$\begin{aligned} \sum_{i = 0}^{\infty} A_{i} & = lim_{x \to \infty} (192 \sqrt{3}) \frac{1 - (1 / 4)^{n + 1}}{1 - (1 / 4)} \\ = (192 \sqrt{3}) \frac{1}{1 - (1 / 4)} = (192 \sqrt{3}) (4 / 3) \\ = 256 \sqrt{3} \end{aligned}$

Aplicación de series geométricas a números perfectos

Un número entero positivo $n$ se dice que es perfecto si la suma de sus divisores sin incluir al mismo $n$ da como resultado $n$ . Por ejemplo, el número $6$ es un número perfecto ya que sus divisores sin incluir al mismo $6$ son $1, 2, 3$ y su suma $1 + 2 + 3 = 6$ .

Ahora veamos un problema que relaciona a los números perfectos y a las series geométricas.

Problema: Sea $n = 2^{p - 1} (2^{p} - 1)$ , donde $2^{p} - 1$ es primo. Prueba que $n$ es un número perfecto.

Solución: Tenemos que todos los divisores de $n$ sin contar al mismo $n$ están conformados por la unión de las siguientes dos sucesiones finitas.

$\begin{aligned} {2^{i}}_{i = 0}^{p - 1} = 1, 2, 2^{2}, \dots, 2^{p - 1} \\ {(2^{p} - 1) 2^{i}}_{i = 0}^{p - 2} = (2^{p} - 1), 2^{2} (2^{p} - 1), 2^{3} (2^{p} - 1), \dots, 2^{p - 2} (2^{p} - 1) \end{aligned}$

Si consideramos la suma de los elementos de cada sucesión

$\begin{aligned} \sum_{i = 0}^{p - 1} 2^{i} = \frac{2^{p} - 1}{2 - 1} = 2^{p} - 1 \\ \sum_{i = 0}^{p - 2} 2^{i} (2^{p} - 1) = (2^{p} - 1) \frac{2^{p} - 1}{2 - 1} = (2^{p} - 1) (2^{p - 1} - 1) \end{aligned}$

Así la suma de todos los divisores de $n$ sin incluir al propio $n$ es

$\begin{aligned} (2^{p} - 1) + (2^{p} - 1) (2^{p - 1} - 1) & = (2^{p} - 1) (1 + 2^{p - 1} - 1) \\ = 2^{p - 1} (2^{p} - 1) \\ = n . \end{aligned}$

Por lo tanto, tenemos que $n$ es un número perfecto.

Otro problema interesante

Problema: Una sucesión está definida por $a_{1} = 2$ y $a_{n} = 3 a_{n - 1} + 1$ , encuentra el valor de la suma $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} .$

Solución: Notemos que la sucesión que nos dan no es geométrica, dado que no es posible encontrar un número $r$ que funcione como razón. Así que busquemos un patrón que aparezca al realizar las primeras sumas.

$\begin{aligned} a_{1} & = 2 \\ a_{2} & = 3 a_{1} + 1 \\ = 3 (2) + 1 \\ a_{3} & = 3 a_{2} + 1 \\ = 3 (3 (2) + 1) + 1 \\ = 3^{2} (2) + 3 + 1 \\ a_{4} & = 3 a_{3} + 1 \\ = 3 (3^{2} (2) + 3 + 1) + 1 \\ = 3^{3} (2) + 3^{2} + 3 + 1 \\ a_{5} & = 3 a_{4} + 1 \\ = 3 (3^{3} (2) + 3^{2} + 3 + 1) \\ = 3^{4} (2) + 3^{3} + 3^{2} + 3 + 1. \end{aligned}$

De manera sucesiva, podemos conjeturar y mostrar por inducción que
$\begin{aligned} a_{n} & = 3^{n - 1} (2) + 3^{n - 2} + \dots + 3 + 1 \\ = 3^{n - 1} (2) + \frac{3^{n - 1} - 1}{2} \\ = \frac{5 \cdot 3^{n - 1} - 1}{2} . \end{aligned}$

Así que

$\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} & = \sum_{i = 1}^{n} \frac{5 \cdot 3^{i - 1} - 1}{2} \\ = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} 5 \cdot 3^{i - 1} - 1 \\ = \frac{1}{2} (5 \cdot \frac{3^{n} - 1}{2} - n) . \end{aligned}$

Más problemas

Puedes encontrar más problemas de series geométricas en la sección 5.2 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Seminario de Resolución de Problemas: Geometría analítica

Por Fabian Ferrari

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Introducción

La geometría analítica se puede considerar la fusión de las ideas de la geometría euclidiana y el álgebra. Una de las funcionalidades de la geometría analítica es resolver problemas de geometría de una manera analítica, partiendo de la ubicación de los objetos geométricos en el plano cartesiano. A continuación veremos algunos problemas de la geometría analítica.

Un problema de rectas y puntos notables de un triángulo

Problema: Dado el triangulo $△ A B C$ inscrito en una circunferencias. Denotemos como $P$ a su baricentro y como $O$ a su circuncentro. Además, supongamos que $A (0, 0)$ , $B (a, 0)$ y $C (b, c)$ .
Expresa las coordenadas de $P$ y $O$ en términos de $a$ , $b$ y $c$ .

Solución: Tenemos que el baricentro $P$ es la intersección de las medianas del triángulo. Basta con que encontremos las ecuaciones de dos de las medianas para establecer un sistema de ecuaciones y encontrar las coordenadas de $P$ .

Para obtener las medianas tenemos que determinar los puntos medios de los lados del triángulo.

Consideraremos los puntos los puntos medios de $A B$ y de $A C$ , los cuales son $P_{m_{A B}} (\frac{a}{2}, 0)$ y $P_{m_{A C}} (\frac{b}{2}, \frac{c}{2})$ respectivamente.

Ahora, determinamos la ecuación de la mediana que pasa por el punto medio de $A C$ y el vértice $B$

$Erroneous nesting of equation structures$

Para la mediana que pasa por el vértice $C$ y por el punto medio de $A B$ , tenemos que

$Erroneous nesting of equation structures$

Establecemos el sistema de ecuaciones

$Erroneous nesting of equation structures$

Cuya solución es $x = \frac{a c + b c}{3}$ y $y = \frac{c}{3}$

Por lo tanto el punto del baricentro está dado por

$P (\frac{a c + b c}{3}, \frac{c}{3})$

Para obtener la coordenada del circuncentro tenemos que determinar las ecuaciones de las mediatrices y con ello calcular su intersección.

Tenemos que como la pendiente del segmento $A B$ es igual a $0$ , tenemos entonces que la mediatriz del segmento es

$x = \frac{a}{2}$

Por otro lado tenemos que la pendiente del segmento $A C$ es igual a $\frac{c}{b - a}$ con lo que la pendiente de la mediatriz de $A C$ es $\frac{a - b}{c}$ , con lo que su ecuación está dada por

$Erroneous nesting of equation structures$

Sustituyendo $x = \frac{a}{2}$ , tenemos que

$y = \frac{(a - b)^{2} + c^{2}}{2 c}$

Así, podemos concluir que el punto del circuncentro está dado por $O (\frac{a}{2}, \frac{(a - b)^{2} + c^{2}}{2 c})$

Recta tangente a una circunferencia

Problema: Encuentra la relación entre los parámetros $a$ , $b$ y $c$ tales que la línea recta $l : \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ sea tangente a la circunferencia $C : x^{2} + y^{2} = c^{2}$ .

Solución: Tenemos que la circunferencia está centrada el el origen $O (0, 0)$ y tiene radio $r = c$ .

Así, se debe cumplir que la distancia de la recta al origen debe de ser igual a $c$ para que se cumpla que sea tangente a la circunferencia.

i.e.

$\d (l, O) = \frac{| \frac{0}{a} + \frac{0}{b} - 1 |}{\sqrt{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}} = c$

Tenemos entonces que

$Erroneous nesting of equation structures$

Concluimos que la condición que deben de cumplir los parámetros para que se cumpla que la recta $l$ sea tangente a la circunferencia $C$ es

$c^{2} = \frac{a b}{a + b}$

Circunferencia que pasa por tres puntos

Problema: Consideremos una circunferencia con centro en el origen y radio $1$ . Si $M$ es un punto de la circunferencia, $N$ un punto diametralmente opuesto a $M$ y $A (2, 3)$ un punto fuera de la circunferencia. Determina el lugar geométrico formado por los centros de las circunferencias que pasan por $M$ , $N$ y $A$ al variar $M$

Solución: Sea $M (a, b)$ , tenemos que $N$ por ser diametralmente opuesto está dado por $N (- a, - b)$ . Si denotamos como $C_{1} (x, y)$ al centro de la circunferencia que pasa por $M$ , $N$ y $A$ , tenemos que las distancias desde los puntos dados al centro $C_{1} (x, y)$ son todas iguales.

$d (C_{1}, M) = d (C_{1}, N) = d (C_{1}, A)$

Además,

$Erroneous nesting of equation structures$

Como $d (C_{1}, M) = d (C_{1}, N)$ tenemos que

$Erroneous nesting of equation structures$

Por otro lado tenemos que $d (C_{1}, N) = d (C_{1}, M)$ , entonces

$Erroneous nesting of equation structures$

Al hacer la diferencia de esta última ecuación con la primera que obtuvimos, tenemos la ecuación:

$Erroneous nesting of equation structures$

Lo cual nos describe una línea recta

Por lo tanto, el lugar geométrico formado por los centros de las circunferencias que pasan por $M$ , $N$ y $A$ al variar $M$ , es la recta con ecuación general $2 x + 3 y - 6 = 0$

Más problemas

Puedes encontrar más problemas de Geometría Analítica en la sección 8.2 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Seminario de Resolución de Problemas: Factorización de polinomios

Por Fabian Ferrari

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Introducción

En la entradas anteriores se trataron algunos temas de identidades algebraicas y se profundizó en el binomio de Newton y la identidad de Gauss. En esta y la siguiente entrada hablaremos de polinomios. Por ahora, comenzaremos recordando las nociones básicas de la aritmética de polinomios y hablando un poco de la factorización de polinomios. Más adelante hablaremos del poderoso teorema de la identidad.

Recordatorio de polinomios

Tenemos que un polinomio de grado $n$ , donde $n$ es un número entero no negativo, es una expresión algebraica de la forma

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} .$

Dicha expresión también podemos denotarla como

$P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0},$

en donde $a_{n}$ es distinto de $0$ .

Los elementos ${a_{n}, a_{n - 1}, \dots, a_{0}}$ se conocen como coeficientes. Si $a_{n} = 1$ , decimos que el polinomio es mónico.

Nota: El polinomio cuyos coeficientes son todos ceros, se le conoce como el polinomio cero y no tiene grado.

Si dos polinomios son idénticos coeficiente por coeficiente, decimos que dichos polinomios son iguales. Esta noción será de utilidad más adelante en la entrada del teorema de la identidad.

Si todos los coeficientes de un polinomio son enteros, decimos que es un polinomio sobre los enteros. Si los coeficientes son números reales, entonces es un polinomio sobre los reales. De manera similar definimos a los polinomios sobre los racionales, los complejos o incluso sobre $Z_{n}$ . Aunque parezca irrelevante, conocer las características de los coeficientes de un polinomio, nos da mucha información sobre su constitución. Hay resultados que, por ejemplo, se valen para los polinomios sobre los complejos, pero no para los polinomios sobre los reales.

Otra cosa que es de nuestro interés son las operaciones en los polinomios, y es que al igual que los números enteros, podemos sumar, multiplicar y dividir polinomios.

Algoritmo de la división para polinomios

Para los polinomios, al igual que en los números enteros, existe un algoritmo de la división. Este nos ayudará posteriormente para cuando queramos hacer factorización en polinomios.

Teorema. Sean los polinomios $P (x)$ y $Q (x)$ definidos sobre un campo $K$ con $Q (x)$ distinto de cero. Entonces existen dos únicos polinomios $C (x)$ y $R (x)$ tales que

$P (x) = C (x) Q (x) + R (x),$

donde $C (x)$ y $R (x)$ son el coeficiente y el residuo respectivamente, resultado de dividir $P (x)$ entre $Q (x)$ , y se tiene que $R (x)$ es el polinomio $0$ o bien tiene grado menor o igual al grado de $C (x)$ .

Ejemplo. Dados los polinomios $P (x) = x^{2} - 3 x - 28$ y $Q (x) = x - 5$ , tenemos que $C (x) = x + 2$ y $R (x) = - 18$ .

En efecto,

$x^{2} - 3 x - 28 = (x + 2) (x - 5) - 18.$

Algoritmo de Euclides para polinomios

Al igual que en los enteros, el algoritmo de la división es de ayuda para determinar el máximo común divisor entre dos polinomios: simplemente seguimos los pasos del algoritmo de Euclides. Es por ello que tenemos el siguiente resultado.

Teorema. Si tenemos dos polinomios $P (x)$ y $Q (x)$ sobre un campo $K$ , tenemos que existen polinomios $S (x)$ y $T (x)$ tales que

$MCD (P, Q) = P S + Q T .$

Aquí $MCD (P, Q)$ es el máximo común divisor de $P (x)$ y $Q (x)$ .

Otra forma de ver o de entender el máximo común divisor entre dos polinomios es como el producto de todos aquellos factores que tienen en común.

Problema: Encuentra polinomios $F (x)$ y $G (x)$ tales que

$(x^{8} - 1) F (x) + (x^{5} - 1) G (x) = x - 1.$

Sugerencia pre-solución. Recuerda cómo encontrar el máximo común divisor de dos enteros usando el algoritmo de Euclides. Además, usa una factorización para cancelar el factor $x - 1$ de la derecha.

Solución. Definamos

$\begin{aligned} A (x) & = x^{7} + x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 \\ B (x) & = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1. \end{aligned}$

Notemos que la ecuación es equivalente a

$A (x) F (x) + B (x) G (x) = 1.$

Tendría que suceder entonces que $A (x)$ y $B (x)$ sean primos relativos.

Aplicando el algoritmo de la división repetidamente, tenemos lo siguiente:

$\begin{aligned} A (x) & = x^{3} B (x) + (x^{2} + x + 1) \\ B (x) & = x^{2} (x^{2} + x + 1) + (x + 1) \\ x^{2} + x + 1 & = x (x + 1) + 1. \end{aligned}$

Esto muestra que $A (x)$ y $B (x)$ son primos relativos, así que la combinación lineal que buscamos debe existir. Para encontrarla de manera explícita, invertimos los pasos. Trabajando hacia atrás, tenemos que

$\begin{aligned} 1 & = (x^{2} + x + 1) - x (x + 1) \\ = (x^{2} + x + 1) - x (B (x) - x^{2} (x^{2} + x + 1)) \\ = (x^{2} + x + 1) (x^{3} + 1) - x B (x) \\ = (x^{3} + 1) (A (x) - x^{3} (B (x)) - x B (x) \\ = (x^{3} + 1) A (x) - x^{3} (x^{3} + 1) B (x) - x B (x) \\ = (x^{3} + 1) A (x) + (- x^{6} - x^{3} - x) B (x) \end{aligned}$

Así que podemos tomar a $F (x) = x^{3} + 1$ y $G (x) = - x^{6} - x^{3} - x$ .

El teorema del factor

Sea $P (x)$ un polinomio sobre un dominio entero $D$ . Decimos que un elemento $a$ de $D$ es raíz del polinomio $P (x)$ si $P (a) = 0$ . Si aplicamos el algoritmo de la división en los polinomios $P (x)$ y $x - a$ obtenemos el siguiente teorema, que es fundamental en la factorización de polinomios.

Teorema El elemento $a$ es raíz de $P (x)$ si y solo si $(x - a)$ es factor de $P (x)$ .

Veamos cómo aplicar este teorema en un ejemplo concreto.

Problema. Dado $ω = \cos (\frac{2 π}{n}) + i \sin (\frac{2 π}{n})$ , prueba que

$x^{n - 1} + \dots + x + 1 = (x - ω) (x - ω^{2}) \cdot \dots \cdot (x - ω^{n - 1}) .$

Sugerencia pre-solución. Recuerda los resultados básicos de aritmética de los números complejos.

Solución. Por De Moivre tenemos que si

$ω = \cos (\frac{2 π}{n}) + i \sin (\frac{2 π}{n}) = e^{\frac{2 π i}{n}}$

entonces ${1, ω, ω^{2}, \dots, ω^{n - 1}}$ son raíces de $x^{n} - 1 = 0$ . Además, como $e^{π i} = - 1$ , tenemos que $ω^{n} = 1$ .

Así, tenemos que $ω^{n + 1} = ω$ y de manera general $ω^{n + k} = ω^{k}$ .

Por otro lado,

$x^{n} - 1 = (x - 1) (x^{n - 1} + \dots + x + 1)$

Y como ${1, ω, ω^{2}, \dots, ω^{n - 1}}$ son raíces de $x^{n} - 1$ , tenemos entonces que ${ω, ω^{2}, \dots, ω^{n - 1}}$ deben de ser las raíces de $x^{n - 1} + \dots + x + 1.$

Aplicando repetidamente el teorema del factor, tenemos que

$x^{n - 1} + \dots + x + 1 = (x - ω) (x - ω^{2}) \cdot \dots \cdot (x - ω^{n - 1}) .$

Un problema para números algebraicos

Un número real es algebraico si es raíz de un polinomio sobre los números enteros.

Problema. Prueba que $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ es un número algebraico.

Sugerencia pre-solución. Realiza operaciones de suma, resta y producto con $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ y con enteros. Ve si puedes encontrar un patrón de cómo se comportan.

Solución. Tenemos que encontrar un polinomio $P (x)$ sobre los número enteros de tal forma que $P (\sqrt{2} + \sqrt{3}) = 0$ .

Si consideramos $x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ , entonces $x^{2} = 5 + 2 \sqrt{6}$

Para $P (x) = x^{2} - 5$ , tenemos que $P (\sqrt{2} + \sqrt{3}) = 2 \sqrt{6}$

Así,

$(P (\sqrt{2} + \sqrt{3}))^{2} = (2 \sqrt{6})^{2} = 144.$

Ahora, si consideramos el polinomio

$Q (x) = (P (x))^{2} - 144.$

Tenemos que

$Q (\sqrt{2} + \sqrt{3}) = (P (\sqrt{2} + \sqrt{3}))^{2} - 144 = 0.$

Por lo tanto como el polinomio $Q (x) = x^{4} - 10 x^{2} - 119$ es un polinomio sobre los enteros, y como $Q (\sqrt{2} + \sqrt{3}) = 0$ concluimos que $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ es un número algebraico.

Más problemas

Puedes encontrar más problemas de aritmética y factorización de polinomios en la Sección 4.2 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Seminario de Resolución de Problemas: El teorema fundamental del cálculo

Por Fabian Ferrari

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Introducción

Ya platicamos de continuidad, diferenciabilidad e integrales, así como de otros temas de cálculo. En esta sección reuniremos varias de estas ideas a través de uno de los resultados más importantes: el teorema fundamental del cálculo. Este teorema nos exhibe la relación que hay entre la derivada y la integral, distinguiéndolas como procedimientos inversos el uno del otro.

El teorema nos dice que si tenemos una función $F (x)$ derivable sobre un intervalo $[a, b]$ , entonces

$\int_{a}^{b} F^{'} (t) d t = F (b) - F (a) .$

Ahora bien, si nuestra función $F (t)$ es derivable en $[0, x]$ , tenemos que

$\int_{0}^{x} F^{'} (t) d t = F (x) - F (0),$

a lo que le sigue que

$F (x) = \int_{0}^{x} F^{'} (t) d t + F (0) .$

Esto nos recuerda a la constante de integración

$F (x) = \int_{0}^{x} F^{'} (t) d t + C .$

Es decir, tenemos que $C = F (0)$ .

Aquí en el blog, en la entrada «Teoremas fundamentales de los cuadraditos» damos la intuición acerca de este teorema, comenzando con el caso discreto. Puedes leerlo antes de continuar.

Usar el teorema fundamental del cálculo para obtener una identidad trigonométrica

Veamos un ejemplo. Tenemos que la derivada de la función $F (t) = \sin^{2} t$ es $F^{'} (t) = 2 \cos t \sin t$ . Por el teorema fundamental del cálculo, la integral de $F^{'} (t)$ en el intervalo $[0, x]$ está dada por

$\int_{0}^{x} 2 \sin t \cos t d t = \sin^{2} x,$

en donde usamos que $F (0) = \sin^{2} (0) = 0$ .

Por otro lado, resolviendo la integral utilizando el cambio de variable $u = \cos t$ , tenemos que $\int_{0}^{x} 2 \sin t \cos t d t = {- \cos^{2} t |}_{0}^{x} = - \cos^{2} x + 1.$

Igualando ambos valores de la integral, tenemos que $\sin^{2} x = - \cos^{2} x + 1$ . De aquí obtenemos la identidad trigonométrica pitagórica $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ para toda $x$ .

Veamos ahora un problema en el que, mediante el problema fundamental del cálculo,

Problema. Aplicando el teorema fundamental del calculo halla $\int_{a}^{b} \sec x d x .$

Sugerencia pre-solución. Formula un problema equivalente multiplicando y dividiendo la expresión por $\sec x + \tan x$ . Intenta identificar la expresión resultante como la derivada de otra función.

Solución. Para resolver este problema tenemos que hallar una función $F (x)$ de tal forma que $F^{'} (x) = \sec x$ .

Para ello, tenemos que notar que

$\begin{aligned} \sec x & = \sec x (\frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}) \\ = \frac{\sec^{2} x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x} . \end{aligned}$

Y entonces la derivada de $\ln (\sec x + \tan x)$ es igual a

$\begin{aligned} (\frac{1}{\sec x + \tan x}) & (\sec^{2} x + \sec x \tan x) \\ = \frac{\sec^{2} x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x} \\ = \sec x . \end{aligned}$

Proponemos a la función

$F (x) = \ln (\sec x + \tan x)$

dado que

$F^{'} (x) = \sec x .$

Ahora, aplicando el teorema fundamental del cálculo tenemos que

$\begin{aligned} \int_{a}^{b} \sec x d x & = F (b) - F (a) \\ = \ln (\sec b + \tan b) - \ln (\sec a + \tan a) \end{aligned}$

Segundo teorema fundamental del cálculo

Veamos una implicación del teorema fundamental del cálculo, que también se le conoce como el «segundo teorema fundamental del cálculo».

Para una función $f : [a, b] \to R$ continua en el intervalo $[a, b]$ se tiene que:

$\frac{d}{d x} (\int_{a}^{x} f (t) d t) = f (x)$

Problema. Determina $\frac{d}{d x} (\int_{3 x - 1}^{0} \frac{1}{t + 4} d t) .$

Sugerencia pre-solución. Usa el segundo teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena.

Solución. Como $\int_{3 x - 1}^{0} \frac{1}{t + 4} d t = - \int_{0}^{3 x - 1} \frac{1}{t + 4} d t,$ tenemos entonces que

$\frac{d}{d x} (\int_{3 x - 1}^{0} \frac{1}{t + 4} d t) = - \frac{d}{d x} (\int_{0}^{3 x - 1} \frac{1}{t + 4} d t) .$

Por otro lado, consideremos las funciones

$\begin{aligned} f (x) & = \int_{0}^{x} \frac{1}{t + 4} d t y \\ g (x) & = 3 x - 1. \end{aligned}$

Aplicando el teorema fundamental del cálculo y derivando tenemos que

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = \frac{1}{x + 4} y \\ g^{'} (x) & = 3. \end{aligned}$

Notemos que

$\begin{aligned} (f \circ g) (x) & = f (g (x)) \\ = f (3 x - 1) \\ = \int_{0}^{3 x - 1} \frac{1}{t + 4} d t . \end{aligned}$

Así, aplicando la regla de la cadena, tenemos que

$\begin{aligned} - \frac{d}{d x} (\int_{0}^{3 x - 1} \frac{1}{t + 4} d t) & = - \frac{d}{d x} (f (g (x)) \\ = - f^{'} (g (x)) g^{'} (x) \\ = - \frac{1}{(3 x - 1) + 4} \cdot 3 \\ = - \frac{1}{x + 1} . \end{aligned}$

Veamos un último problema en el que se usa la segunda forma del teorema fundamental del cálculo.

Problema: Supongamos que $f$ es una función continua para toda $x$ , la cual satisface la ecuación

$\begin{matrix} (1) & \int_{0}^{x} f (t) d t = \int_{x}^{1} t^{2} f (t) d t + \frac{x^{16}}{8} + \frac{x^{18}}{9} + C, \end{matrix}$

donde $C$ es una constante. Encuentra la forma explícita de la función $f (x)$ y determina el valor de la constante $C$ .

Sugerencia pre-solución.

Solución. De la ecuación, tenemos lo siguiente

$\frac{d}{d x} (\int_{0}^{x} f (t) d t) = \frac{d}{d x} (\int_{x}^{1} t^{2} f (t) d t + \frac{x^{16}}{8} + \frac{x^{18}}{9} + C)$

Como $f$ es continua para toda $x$ , por el teorema fundamental del cálculo en su segunda forma tenemos que

$\frac{d}{d x} (\int_{0}^{x} f (t) d t) = f (x)$

$\begin{aligned} \frac{d}{d x} (\int_{x}^{1} t^{2} f (t) d t) & = - \frac{d}{d x} (\int_{1}^{x} t^{2} f (t) d t) \\ = - x^{2} f (x) . \end{aligned}$

Entonces, derivando ambos lados de la expresión original nos resulta la ecuación

$f (x) = - x^{2} f (x) + 2 x^{15} + 2 x^{17},$

de la cual se obtiene

$\begin{aligned} f (x) (x^{2} + 1) & = 2 x^{15} + 2 x^{17} \\ = 2 x^{15} (x^{2} + 1) \end{aligned}$

Así, tenemos que

$f (x) = 2 x^{15} .$

Sustituyendo $f (t) = 2 t^{15}$ en la ecuación (1), tenemos que

$\int_{0}^{x} 2 t^{15} d t = \int_{x}^{1} t^{2} (2 t^{15}) d t + \frac{x^{16}}{8} + \frac{x^{18}}{9} + C$

Así,

$\begin{aligned} \int_{0}^{x} 2 t^{15} d t & = \int_{x}^{1} t^{2} (2 t^{15}) d t + \frac{x^{16}}{8} + \frac{x^{18}}{9} + C \\ \int_{0}^{x} 2 t^{15} d t & = - \int_{1}^{x} 2 t^{17} d t + \frac{x^{16}}{8} + \frac{x^{18}}{9} + C \\ {\frac{2 t^{16}}{16} |}_{0}^{x} & = - {(\frac{2 t^{18}}{18}) |}_{1}^{x} + \frac{x^{16}}{8} + \frac{x^{18}}{9} + C \\ \frac{x^{16}}{8} & = - (\frac{x^{18}}{9} - \frac{1}{9}) + \frac{x^{16}}{8} + \frac{x^{18}}{19} + C \end{aligned}$

Con ello, tenemos que

$C + \frac{1}{9} = 0.$

Por lo tanto la función que satisface la ecuación es $f (x) = 2 x^{15}$ y el valor de la constante es $C = - \frac{1}{9}$ .

Más problemas

Hay más ejemplos de problemas relacionados con la aplicación del teorema fundamental del cálculo en la Sección 6.9 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

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