Introducción
La geometría analítica se puede considerar la fusión de las ideas de la geometría euclidiana y el álgebra. Una de las funcionalidades de la geometría analítica es resolver problemas de geometría de una manera analítica, partiendo de la ubicación de los objetos geométricos en el plano cartesiano. A continuación veremos algunos problemas de la geometría analítica.
Un problema de rectas y puntos notables de un triángulo
Problema: Dado el triangulo inscrito en una circunferencias. Denotemos como
a su baricentro y como
a su circuncentro. Además, supongamos que
,
y
.
Expresa las coordenadas de y
en términos de
,
y
.
Solución: Tenemos que el baricentro es la intersección de las medianas del triángulo. Basta con que encontremos las ecuaciones de dos de las medianas para establecer un sistema de ecuaciones y encontrar las coordenadas de
.
Para obtener las medianas tenemos que determinar los puntos medios de los lados del triángulo.
Consideraremos los puntos los puntos medios de y de
, los cuales son
y
respectivamente.
Ahora, determinamos la ecuación de la mediana que pasa por el punto medio de y el vértice
Para la mediana que pasa por el vértice y por el punto medio de
, tenemos que
Establecemos el sistema de ecuaciones
Cuya solución es y
Por lo tanto el punto del baricentro está dado por
Para obtener la coordenada del circuncentro tenemos que determinar las ecuaciones de las mediatrices y con ello calcular su intersección.
Tenemos que como la pendiente del segmento es igual a
, tenemos entonces que la mediatriz del segmento es
Por otro lado tenemos que la pendiente del segmento es igual a
con lo que la pendiente de la mediatriz de
es
, con lo que su ecuación está dada por
Sustituyendo , tenemos que
Así, podemos concluir que el punto del circuncentro está dado por
Recta tangente a una circunferencia
Problema: Encuentra la relación entre los parámetros ,
y
tales que la línea recta
sea tangente a la circunferencia
.
Solución: Tenemos que la circunferencia está centrada el el origen y tiene radio
.
Así, se debe cumplir que la distancia de la recta al origen debe de ser igual a para que se cumpla que sea tangente a la circunferencia.
i.e.
Tenemos entonces que
Concluimos que la condición que deben de cumplir los parámetros para que se cumpla que la recta sea tangente a la circunferencia
es
Circunferencia que pasa por tres puntos
Problema: Consideremos una circunferencia con centro en el origen y radio . Si
es un punto de la circunferencia,
un punto diametralmente opuesto a
y
un punto fuera de la circunferencia. Determina el lugar geométrico formado por los centros de las circunferencias que pasan por
,
y
al variar
Solución: Sea , tenemos que
por ser diametralmente opuesto está dado por
. Si denotamos como
al centro de la circunferencia que pasa por
,
y
, tenemos que las distancias desde los puntos dados al centro
son todas iguales.
Además,
Como tenemos que
Por otro lado tenemos que , entonces
Al hacer la diferencia de esta última ecuación con la primera que obtuvimos, tenemos la ecuación:
Lo cual nos describe una línea recta
Por lo tanto, el lugar geométrico formado por los centros de las circunferencias que pasan por ,
y
al variar
, es la recta con ecuación general
Más problemas
Puedes encontrar más problemas de Geometría Analítica en la sección 8.2 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.