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Álgebra Lineal I: Teorema de reducción gaussiana

Introducción

Llegamos a uno de los resultados más importantes del álgebra lineal: el teorema de reducción gaussiana. Como mencionamos en una entrada previa, el teorema nos proporcionará un algoritmo que nos permitirá resolver muchos problemas prácticos: resolver sistemas lineales, invertir matrices, así como temas que veremos más adelante, como determinar la independencia lineal de vectores.

El teorema nos dice que cualquier matriz puede llevarse a una en forma escalonada reducida con solo una cantidad finita de operaciones elementales. La prueba además nos dice cómo hacerlo de una manera más o menos sencilla. Aparte de la demostración, damos una receta un poco más coloquial de cómo trabajar con el algoritmo y finalmente damos un ejemplo, muy importante para aclarar el procedimiento.

Sugerencia antes de empezar

El algoritmo que veremos es uno de esos resultados que es fácil de seguir para una matriz en concreto, pero que requiere de un buen grado de abstracción para entender cómo se demuestra en general. Una fuerte recomendación es que mientras estes leyendo la demostración del siguiente teorema, tengas en mente alguna matriz muy específica, y que vayas realizando los pasos sobre ella. Puedes usar, por ejemplo, a la matriz

    \[A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 & -2 \\ 0 & 3 & -1 & 0 \\ 0& -3 & 5 & -2 \end{pmatrix}.\]

El teorema de reducción gaussiana

Teorema. Cualquier matriz A\in M_{m,n}(F) puede llevarse a una en forma escalonada reducida realizando una cantidad finita de operaciones elementales en sus filas.

Demostración: Daremos una demostración algorítmica. Sea A\in M_{m,n}(F) cualquier matriz. Para auxiliarnos en el algoritmo, vamos a tener registro todo el tiempo de las siguientes dos variables:

  • X es la columna que «nos toca revisar»
  • Y es la cantidad de «filas no triviales» que hemos encontrado

La variable X empieza siendo 1 y la variable Y empieza siendo 0.

Haremos los siguientes pasos:

Paso 1. Revisaremos la columna X a partir de la fila Y+1 (osea, al inicio Y=0, así que revisamos toda la columna). Si todas estas entradas son iguales a 0, entonces le sumamos 1 a X (avanzamos hacia la derecha) y si X<n, volvemos a hacer este Paso 1. Si X=n, vamos al paso 7.

Paso 2. En otro caso, existe alguna entrada distinta de cero en la columna X, a partir de la fila Y+1. Tomemos la primera de estas entradas. Supongamos que sucede en la fila i, es decir, que es la entrada a_{iX}. Al número en esta entrada a_{iX} le llamamos x.

Paso 3. Hacemos un intercambio entre la fila i y la fila Y+1. Puede pasar que i=Y+1, en cuyo caso no estamos haciendo nada. Independientemente del caso, ahora el número en la entrada (X,Y+1) es x\neq 0.

Paso 4. Tomamos la fila Y+1 y la multiplicamos por el escalar 1/x. Esto hace que ahora sea la primer entrada en su fila distinta de cero, y además que sea igual a 1.

Paso 5. De ser necesario, hacemos transvecciones para hacer el resto de las entradas de la columna X iguales a 0. Esto lo podemos hacer pues, si por ejemplo la entrada a_{iX}\neq 0, entonces la transvección que a la i-ésima fila le resta a_{iX} veces la (Y+1)-ésima fila hace que la entrada (i,X) se anule.

Paso 6. Le sumamos 1 a Y (para registrar que encontramos una nueva fila no trivial) y le sumamos 1 a X (para avanzar a la columna de la derecha). Si X<n, vamos al Paso 1. Si X=n, vamos al Paso 7.

Paso 7. Reportamos la matriz obtenida como A_{red}, la forma escalonada reducida de A.

Mostremos que en efecto obtenemos una matriz escalonada reducida. El Paso 3 garantiza que las únicas filas cero están hasta abajo. El Paso 4 garantiza que todos los pivotes son iguales a 1. El ir recorriendo las columnas de izquierda a derecha garantiza que los pivotes quedan «escalonados», es decir de abajo hacia arriba quedan de izquierda a derecha. El Paso 5 garantiza que cada pivote es la única entrada no cero de su columna.

\square

El procedimiento descrito en el teorema se llama reducción gaussiana.

Como vimos en la entrada anterior realizar una operación elemental es sinónimo de multiplicar por una matriz elemental. Como el teorema nos dice que podemos obtener una matriz en forma escalonada reducida realizando una cantidad finita de operaciones elementales, se sigue que podemos obtener una matriz en forma escalonada reducida multiplicando por la izquierda por un número finito de matrices elementales. Al asociar todas estas matrices elementales en un único producto, obtenemos la demostración del siguiente corolario.

Corolario. Para cualquier matriz A\in M_{m,n}(F) podemos encontrar una matriz B\in M_{m}(F) que es un producto finito de matrices elementales y que satisface qu A_{red}=BA.

Un tutorial de reducción gaussiana más relajado

Si bien el teorema nos da la manera formal de hacer el algoritmo, el proceso es en realidad bastante intuitivo una vez que se entiende. Para esto explicamos en unos cuantos pasos en términos más sencillos como hacer la reducción:

  1. Buscamos la primer columna de la matriz que no tenga puros ceros.
  2. Una vez encontrada, buscamos la primer entrada (de arriba hacia abajo) que no sea cero.
  3. Pasamos el renglón con esa entrada hasta arriba haciendo un cambio de renglones.
  4. Multiplicamos por el inverso de esa entrada a todo el renglón, para quedarnos así con un 1 hasta arriba.
  5. Sustraemos múltiplos del primer renglón a todos los otros renglones para que todo lo que esté abajo del 1 sea cero.
  6. Buscamos la siguiente columna tal que no sea cero abajo del primer renglón.
  7. Repetimos los pasos anteriores, solo que en lugar de pasar nuestro renglón «hasta arriba» solo lo colocamos en el segundo lugar, y así sucesivamente.

Un ejemplo de reducción gaussiana

La mejor manera de entender el algoritmo de reducción gaussiana es con un ejemplo. Usemos el algoritmo para reducir la matriz

    \begin{align*}A=\begin{pmatrix}  0 & 1 & 2 & 3 &4\\ -1 & 0 &1 & 2 &3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 &1\\ 3 & 1  &-1 & 0 & 2\end{pmatrix}\in M_{4,5}(\mathbb{R}).\end{align*}

Aplicando los pasos en orden: Primero identificamos la primer columna que no sea idénticamente cero, y vemos que la primera columna no tiene puros ceros. La primer entrada que no es cero está en el segundo renglón. Así cambiamos el primer y segundo renglón de lugar para subir esa entrada y obtener

    \begin{align*}A_1=\begin{pmatrix} -1 & 0 &1 & 2 &3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 &4\\ 0 & 1 & 1 & 1 &1\\ 3 & 1 &-1 & 0 & 2\end{pmatrix}.\end{align*}

Ahora que la primer entrada del primer renglón es distinta de cero, multiplicamos el primer renglón por \frac{1}{-1}=-1 y obtenemos

    \begin{align*}A_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 &-1 & -2 &-3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 &4\\ 0 & 1 & 1 & 1 &1\\ 3 & 1 &-1 & 0 & 2\end{pmatrix}.\end{align*}

Ahora queremos quitar el 3 del último renglón. Para esto, multiplicamos por -3 el primer renglón y lo sumamos al último y nos queda

    \begin{align*}A_3&=\begin{pmatrix} 1 & 0 &-1 & -2 &-3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 &4\\ 0 & 1 & 1 & 1 &1\\ 3-3 & 1-3\cdot 0 &-1-3\cdot (-1) & 0-3\cdot (-2) & 2-3\cdot (-3)\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1 & 0 &-1 & -2 &-3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 &4\\ 0 & 1 & 1 & 1 &1\\ 0 & 1&2 & 6 & 11\end{pmatrix}.\end{align*}

Ya tenemos entonces nuestra primera columna en forma escalonada reducida, pasemos a la segunda. Ya tenemos un 1 en la segunda entrada de la segunda columna, por lo que no hace falta hacer un cambio de renglón o multiplicar por un inverso. Basta entonces con cancelar las otras entradas de la columna, para eso sustraemos el segundo renglón del tercero y cuarto, para obtener

    \begin{align*}A_4&= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 &4 \\ 0-0 & 1-1 & 1-2 & 1-3 & 1-4\\ 0 -0 & 1-1& 2-2 & 6-3 & 11-4\end{pmatrix}\\&= \begin{pmatrix}1 & 0 &-1 & -2 &-3\\ 0 & 1 & 2 & 3 &4  \\ 0 & 0 & -1 & -2 & -3\\ 0 & 0 & 0 &3 & 7\end{pmatrix}.\end{align*}

Seguimos entonces con la tercera columna, y observamos que la entrada (3,3) es -1, entonces la transformamos en un 1 multiplicando el tercer renglón por \frac{1}{-1}=-1.

    \begin{align*}A_5=\begin{pmatrix}1 & 0 &-1 & -2 &-3\\ 0 & 1 & 2 & 3 &4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 &3 & 7\end{pmatrix}.\end{align*}

Ahora tenemos que cancelar las entradas de la tercer columna, para eso sumamos -2 veces el tercer renglón al segundo y una vez el tercer renglón al primero:

    \begin{align*}A_6&=\begin{pmatrix}1+0 & 0+0 &-1+1 & -2+2 &-3+3\\ 0-2\cdot 0 & 1-2\cdot 0 & 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot2 &4-2\cdot3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 &3 & 7\end{pmatrix}\\&= \begin{pmatrix}1 & 0 &0 & 0 &0\\ 0 & 1 & 0 & -1 &-2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 &3 & 7\end{pmatrix}.\end{align*}

Ahora pasamos a la siguiente columna. En la entrada (4,4) tenemos un 3, pero queremos un 1, entonces multiplicamos el último renglón por \frac{1}{3}:

    \begin{align*}A_7= \begin{pmatrix}1 & 0 &0 & 0 &0\\ 0 & 1 & 0 & -1 &-2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 &1 & \frac{7}{3}\end{pmatrix}.\end{align*}

Finalmente, cancelamos las entradas restantes de los otros renglones sustrayendo dos veces el último renglón del penúltimo y sumándolo una vez al segundo para obtener

    \begin{align*}A_8=\begin{pmatrix}1 & 0 &0 &0 &0 \\ 0 & 1& 0 & 0 & \frac{1}{3}\\  0 & 0 &1 & 0 &-\frac{5}{3}\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{7}{3} \end{pmatrix}.\end{align*}

Y así termina nuestro algoritmo, y nuestra matriz está en forma escalonada reducida. Las dos cosas más importantes de A_8 son que

  • Está en forma escalonada reducida y
  • es equivalente a A, es decir, el sistema de ecuaciones AX=0 y el sistema de ecuaciones A_8 X =0 tienen exactamente las mismas soluciones.

De hecho, todas las matrices A,A_1, A_2, \ldots, A_8 son equivalentes entre sí, pues difieren únicamente en operaciones elementales. Esta propiedad es muy importante, y precisamente es la que nos permite aplicar el algoritmo de reducción gaussiana a la resolución de sistemas lineales.

Una aplicación a un sistema de ecuaciones

Usemos el ejemplo anterior para resolver un sistema de ecuaciones:

Problema. Resolver en los reales el sistema lineal homogéneo AX=0 donde A es la matriz ejemplo de la sección anterior.

Solución: Los sistemas AX=0 y A_{red}X=0 son equivalentes, por lo que basta resolver A_{red}X=0 con A_{red} la matriz en forma escalonada reducida que encontramos (es decir, A_8). Este sistema queda planteado por las siguientes ecuaciones lineales:

    \begin{align*}\begin{cases}x_1=0\\x_2+\frac{x_5}{3}=0\\x_{3}-\frac{5}{3}x_5=0\\x_4+\frac{7}{3}x_5=0.\end{cases}.\end{align*}

Ya hemos resuelto sistemas de este estilo. Aquí x_5 es la variable libre y x_1,x_2,x_3,x_4 son variables pivote. Fijando x_5 igual a cualquier número real t, obtenemos que las soluciones son de la forma

    \begin{align*}\left(0, -\frac{1}{3}t, \frac{5}{3} t, - \frac{7}{3}t, t\right), \hspace{2mm} t\in \mathbb{R}.\end{align*}

\square

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Aplica el algoritmo de reducción gaussiana a la matriz

        \[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 4 & 5 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 6 \end{pmatrix}.\]

    Para su sistema lineal asociado, encuentra todas las variables pivote y libres y resuélvelo por completo.
  • Aplica el algoritmo de reducción gaussiana a la matriz

        \[\begin{pmatrix} 0 & 8 \\ 0 & 2 \\ -1 & 5 \\ 2 & 3 \\ 5 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}.\]

  • Considera las matrices A_1, A_4 y A_8 de la sección con el ejemplo del algoritmo de reducción gaussiana. Toma una solución no trivial de A_8X=0 y verifica manualmente que también es solución de los sistemas lineales A_1X=0 y de A_4X=0.
  • Encuentra la matriz B, producto de matrices elementales tal que BA=A_{red} con A la matriz que usamos en el ejemplo. Para ello, tendrás que multiplicar todas las matrices correspondientes a las operaciones elementales que usamos.
  • Explica qué es lo que garantiza que el algoritmo de reducción gaussiana en efecto hace una cantidad finita de operaciones elementales.
  • Aplica el algoritmo de reducción gaussiana a la matriz

        \[A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}.\]

    Si haces los pasos correctamente, llegarás a una matriz del estilo

        \[A_{red}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & a & b \\ 0 & 1 & c & d \end{pmatrix}.\]

    Toma el bloque B de 2\times 2 de la izquierda de A, es decir B=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1\end{pmatrix}. Toma el bloque C de 2\times 2 de la derecha de A_{red}, es decir, C=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}. ¿Qué matriz obtienes al hacer el producto BC? ¿Y el producto CB? ¿Por qué crees que pasa esto?

Álgebra Lineal I: Más ejemplos de reducción gaussiana

Introducción

En esta entrada veremos varios ejemplos que nos ayudarán a comprender que la reducción gaussiana es una herramienta muy poderosa a la hora de resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Problema. Implementa el algoritmo de reducción gaussiana en la matriz

    \begin{align*}A=\begin{pmatrix}0 & 2 & 1 & 1 & 2\\1 & 1 & 0 & 2 & 1\\-3 & 1 & 1 & 0 & 2\\1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\end{align*}

Solución. Para este problema usaremos la siguiente notación para indicar las operaciones elementales que estamos efectuando :

  • R_i \leftrightarrow R_j para intercambiar el renglón i con el renglón j.
  • kR_i para multiplicar el renglón i por el escalar k.
  • R_i + kR_j para sumarle k veces el renglón j al renglón i.


    \begin{align*}A=\begin{pmatrix}0 & 2 & 1 & 1 & 2\\1 & 1 & 0 & 2 & 1\\-3 & 1 & 1 & 0 & 2\\1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix} R_1 \leftrightarrow R_2 \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 2 & 1\\0 & 2 & 1 & 1 & 2\\-3 & 1 & 1 & 0 & 2\\1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\end{align*}


    \begin{align*}R_4 - R_1\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 2 & 1\\0 & 2 & 1 & 1 & 2\\-3 & 1 & 1 & 0 & 2\\0 & 0 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix}R_3 + 3R_1\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 2 & 1\\0 & 2 & 1 & 1 & 2\\0 & 4 & 1 & 6 & 5\\0 & 0 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix}\end{align*}


    \begin{align*}\frac{1}{2}R_2\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 2 & 1\\0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1\\0 & 4 & 1 & 6 & 5\\0 & 0 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix}R_3 - 4R_2\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 2 & 1\\0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1\\0 & 0 & -1 & 4 & 1\\0 & 0 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix}\end{align*}


    \begin{align*}R_1 - R_2\begin{pmatrix}1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0\\0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1\\0 & 0 & -1 & 4 & 1\\0 & 0 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix}-1\cdot R_3 \begin{pmatrix}1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0\\0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1\\0 & 0 & 1 & -4 & -1\\0 & 0 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix}\end{align*}


    \begin{align*}R_4 - R_3\begin{pmatrix}1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0\\0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1\\0 & 0 & 1 & -4 & -1\\0 & 0 & 0 & 3 & 1\end{pmatrix}R_2 - \frac{1}{2} R_3\begin{pmatrix}1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0\\0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\0 & 0 & 1 & -4 & -1\\0 & 0 & 0 & 3 & 1\end{pmatrix}\end{align*}


    \begin{align*}R_1 + \frac{1}{2}R_3\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\0 & 0 & 1 & -4 & -1\\0 & 0 & 0 & 3 & 1\end{pmatrix}\frac{1}{3} R_4\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\0 & 0 & 1 & -4 & -1\\0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}\end{pmatrix}\end{align*}


    \begin{align*}R_3 + 4R_4\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3}\\0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}\end{pmatrix}R_2 - \frac{5}{2}R_4\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\0 & 1 & 0 & 0 & \frac{2}{3}\\0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3}\\0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}\end{pmatrix}\end{align*}


    \begin{align*}R_1 + \frac{1}{2}R_4\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{3}\\0 & 1 & 0 & 0 & \frac{2}{3}\\0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3}\\0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}\end{pmatrix}=A_{red}\end{align*}

\square

Problema. Resuelve el siguiente sistema homogéneo.

    \begin{align*}\begin{cases}x+2y-3z &=0\\2x+5y+2z &=0\\3x-y-4z &=0\end{cases}\end{align*}

Solución. La matriz asociada al sistema anterior es

    \begin{align*}\begin{pmatrix}1 & 2 & -3\\2 & 5 & 2\\3 & -1 & -4 \end{pmatrix}\end{align*}


Para resolver el sistema AX=0 nos bastará con encontrar A_{red}, pues el sistema A_{red}X=0 es equivalente al sistema AX=0.

    \begin{align*}\begin{pmatrix}1 & 2 & -3\\2 & 5 & 2\\3 & -1 & -4\end{pmatrix} R_2 -2R_1\begin{pmatrix}1 & 2 & -3\\0 & 1 & 8\\3 & -1 & -4\end{pmatrix}\end{align*}


    \begin{align*}R_3 - 3R_1\begin{pmatrix}1 & 2 & -3\\0 & 1 & 8\\0 & -7 & 5\end{pmatrix} R_1 - 2R_2\begin{pmatrix}1 & 0 & -19\\0 & 1 & 8\\0 & -7 & 5\end{pmatrix}\end{align*}


    \begin{align*}R_3 + 7R_2\begin{pmatrix}1 & 0 & -19\\0 & 1 & 8\\0 & 0 & 61\end{pmatrix} R_2 - \frac{8}{61}R_3\begin{pmatrix}1 & 0 & -19\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 61\end{pmatrix}\end{align*}


    \begin{align*}R_1 + \frac{19}{61}R_3\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 61\end{pmatrix}\end{align*}


    \begin{align*} \frac{1}{61}R_3\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}=A_{red}\end{align*}

De lo anterior se sigue que

    \begin{align*}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\end{align*}


Por lo que x=y=z=0.

\square

Problema. Determina las soluciones fundamentales del sistema homogéneo AX=0, donde A es la matriz

    \begin{align*}A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & 0\\-2 & 4 & 0 & 2\\-1 & 2 & 1 & 2\end{pmatrix}.\end{align*}

Solución. Sea AX=0 el sistema

    \begin{align*}\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & 0\\-2 & 4 & 0 & 2\\-1 & 2 & 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\\w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0 \end{pmatrix}\end{align*}

Para este problema nuevamente nos interesa llevar la matriz asociada al sistema a su forma reducida escalonada.
Aunque es muy importante saber cómo se hacen estos procedimientos, es cierto que también existen herramientas que nos ayudan a hacer estos cálculos de manera más rápida. En esta ocasión usaremos una calculadora de forma reducida escalonada disponible en línea, la cual nos indica que la forma escalonada reducida de la matriz A es

    \begin{align*}A_{red}=\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{align*}


Lo que nos da el sistema equivalente A_{red}X=0

    \begin{align*}\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\\w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0 \end{pmatrix}\end{align*}


Las variables pivote son x y z.
Las variables libres son y y w.
Como se mencionó en una entrada anterior, para encontrar las soluciones fundamentales hay que expresar a las variables pivote en términos de las variables libres. En el sistema anterior podemos notar que

    \begin{align*}\begin{cases}x =2y-w\\z=-w\end{cases}\end{align*}


por lo que

    \begin{align*}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2y-w\\y\\-w\\w\end{pmatrix}\end{align*}


    \begin{align*}=y\begin{pmatrix}2\\1\\0\\0\end{pmatrix} + w \begin{pmatrix}-1\\0\\-1\\1\end{pmatrix}\end{align*}


siendo los vectores columna de la última igualdad las soluciones fundamentales del sistema AX=0, es decir que con estas soluciones se pueden generar todas las demás.

\square

Problema. Sea n>2 un número entero. Resuelve en números reales el sistema

    \begin{align*}x_2=\frac{x_1+x_3}{2}, x_3= \hspace{2mm} \frac{x_2+x_4}{2}, \hspace{2mm} \dots , \hspace{2mm}, x_{n-1}=\frac{x_{n-2}+x_n}{2}.\end{align*}

Solución.

Álgebra Lineal I: Problemas de sistemas de ecuaciones y forma escalonada reducida

Introducción

En esta entrada nos encargaremos de resolver algunos problemas de sistemas de ecuaciones lineales y de dar algunos ejemplos más de matrices en forma escalonada reducida.

Problemas de sistemas de ecuaciones lineales

Problema. ¿Para cuáles números reales a se tiene que el siguiente sistema es consistente?. Resuelve el sistema para estos casos.

    \begin{align*}\begin{cases}x + 2y &=1\\4x+8y &=a.\end{cases}\end{align*}

Solución. Tomando la primera ecuación y multiplicandola por 4 vemos que

    \begin{align*}4x+8y=4\end{align*}

De lo anterior se sigue que el único número real a para el cuál el sistema es consistente es a=4, pues en otro caso tendríamos ecuaciones lineales que se contradicen entre sí.

Cuando a=4, tenemos entonces una única ecuación x+2y=1. Para encontrar todas las soluciones a esta ecuación lineal, podemos fijar el valor de y arbitrariamente como un número real r. Una vez fijado y, obtenemos que x=1-2y=1-2r. Así, el conjunto de soluciones es

    \[\{(1-2r,r): r \in \mathbb{R}\}.\]

\square

Problema. Encuentra todos a,b\in\mathbb{R} para los cuales los sistemas

    \begin{align*}\begin{cases}2x + 3y &=-2\\x - 2y &=6\end{cases}\end{align*}


y

    \begin{align*}\begin{cases}x + 2ay &=3\\-x - y &=b\end{cases}\end{align*}


son equivalentes.

Solución. Para resolver el primer sistema tomamos la segunda ecuación y despejamos x:

    \begin{align*}x=6+2y.\end{align*}


Sustituyendo lo anterior en la primera ecuación se tiene

    \begin{align*}2(6+2y)+3y&=-2\\ 12+7y&=-2\\7y&=-14\\y&=-2.\end{align*}


Luego sustituimos el valor de y para encontrar x

    \begin{align*}x&=6+2y\\&=6+2(-2)\\&=2.\end{align*}


Ahora, para encontrar los valores de a y b, sustituimos los valores de x y y que encontramos en el primer sistema y de esta forma garantizamos que ambos sistemas tendrán el mismo conjunto de soluciones, es decir, son equivalentes.

    \begin{align*}\begin{cases}x + 2ay &=3\\-x - y &=b\end{cases}\end{align*}


    \begin{align*}\begin{cases}2 + 2a(-2) &=3\\-2 - (-2) &=b\end{cases}\end{align*}


De la segunda ecuación es inmediato que b=0.
Por otro lado, despejando a de la primera ecuación se tiene

    \begin{align*}2-4a&=3\\-4a&=1\\a&=-\frac{1}{4}\end{align*}


Concluimos que los sistemas son equivalentes cuando

    \begin{align*}a=-\frac{1}{4}, \hspace{4mm} b=0.\end{align*}

\square

Más ejemplos de forma escalonada reducida

Para finalizar con esta entrada veremos más ejemplos de matrices que están en forma escalonada reducida y de matrices que no lo están.

Ejemplo. La matriz

    \begin{align*}\begin{pmatrix}2 & -1 & 3 & 1\\1 & 0 & 2 & 2\\3 & 1 & 7 & 0\\1 & 2 & 4 & -1\end{pmatrix}\end{align*}


no está en forma escalonada reducida, pues todas las entradas de la primera columna son distintas de cero.
En cambio, la matriz

    \begin{align*}\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 0\\0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{align*}


sí está en forma escalonada reducida. Queda como tarea moral verificar que esto es cierto.

\square

Ejemplo. La matriz

    \begin{align*}\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & -5 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 3\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{align*}


no está en forma escalonada reducida, pues hay filas cero por encima de filas no cero. Otro problema que tiene es que el pivote de la tercer fila no es igual a 1.


En cambio

    \begin{align*}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & -1\\0 & 1 & 0 & 0 & 2\\0 & 0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\end{align*}


sí está en forma escalonada reducida.

\square

Ejemplo. La matriz \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2  \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} no está en forma escalonada reducida pues el pivote de la segunda fila está más a la izquierda que el de la primera. Sin embargo, si intercambiamos las filas, la matriz \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} sí está en forma escalonada reducida.

\square

Más adelante veremos un método para llevar una matriz a su forma escalonada reducida y veremos que esto es muy útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Álgebra Lineal I: Matrices de bloques

Introducción

En esta entrada definimos el concepto de submatriz y estudiamos las llamadas matrices de bloques que esencialmente son matrices grandes obtenidas por matrices más pequeñas (esto tendrá sentido después de algunos ejemplos). Las matrices de bloque aparecen frecuentemente en muchas áreas y permiten realizar cálculos que podrían ser bastante complicados de otra manera.

Dentro de este curso, nos encontraremos con las matrices de bloque cuando hablemos de solución de ecuaciones lineales y de encontrar inversas de matrices usando el método de reducción gaussiana.

Definición de matrices de bloques

Definición. Una submatriz de una matriz A\in M_{m,n}(F) es una matriz que se obtiene al quitar filas y/o columnas de A.

Notamos que A es submatriz de si misma. Una matriz puede partirse en submatrices marcando líneas verticales u horizontales en la matriz. Llamamos a una matriz de este estilo una matriz de bloques y a las submatrices marcadas las llamamos bloques.

Unos ejemplos de matrices de bloques:

    \begin{align*}\left( \begin{array}{c|cc}1 & 2 & 3\\0& 5 & 6\\0 & 0&9\end{array}\right),\hspace{2mm} \left( \begin{array}{c|cc} 1 & 0 & 1 \\ \hline 2 & 5 & -3\end{array}\right),\\ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\ \hline 5 & 16 & 2 & 0\\ 17 & 19 & -5 & 3\\ 117 & 0 & 0 & 11\end{array}\right). \end{align*}

Como mencionamos en la introducción, podemos ver a una matriz de bloques como una ‘matriz de matrices’: una matriz de bloques en M_{m,n}(F) típica se ve como

    \begin{align*}\begin{pmatrix}A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1k}\\A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2k}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\A_{l1} & A_{l2} & \dots & A_{lk} \end{pmatrix},\end{align*}

en donde cada submatriz A_{ij} es una matriz de tamaño m_i\times n_j para algunos enteros positivos m_1,\dots, m_l y n_1,\dots, n_k tales que m_1+\dots +m_l=m y n_1+\dots+n_k=n. La matriz tiene entonces l filas de bloques y k columnas de bloques.

Si l=k, llamamos a los bloques A_{11}, \dots, A_{kk} los bloques diagonales y decimos que A es diagonal por bloques si todos los bloques aparte de los diagonales son la matriz cero del tamaño corresponidente. Es decir, una matriz diagonal por bloques es de la forma

    \begin{align*}A=\begin{pmatrix} A_{11} & 0 &\dots & 0\\0 & A_{21} & \dots & 0\\\vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\0 & 0 &\dots & A_{kk}.\end{pmatrix}\end{align*}

Observa que sólo estamos pidiendo que k=l, es decir, que haya la misma cantidad de filas de bloques y de columnas de bloques. Sin embargo, no es necesario que la matriz A sea cuadrada para que sea diagonal por bloques.

Por más que la definición en abstracto pueda ocultar su sentido práctico, uno siempre reconoce una matriz diagonal por bloques cuando la ve.

Ejemplo. La matriz

    \begin{align*}\begin{pmatrix}1& -1 & 0 & 0\\0& 2 & 0 & 0\\0&0 & 3 &0\\0 & 0 & 15 & -2\end{pmatrix}\end{align*}

es diagonal por bloques, y los resaltamos con las líneas de división

    \begin{align*}\left( \begin{array}{cc|cc}  1& -1 & 0 & 0\\0& 2 & 0 & 0\\ \hline0&0 & 3 &0\\0 & 0 & 15 & -2\end{array}\right).\end{align*}

La matriz

    \begin{align*}\begin{pmatrix}2 & -1 & 0 & 0\\8 & 3 & 0 & 0\\0& 3 & 0 &0\\0&0 & 0 & -2\\0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\end{align*}

también es diagonal por bloques, aunque los bloques no necesariamente sean cuadrados. Resaltamos la lineas divisorias a continuación:

    \begin{align*}\left( \begin{array}{cc|cc}2& -1 & 0 & 0\\8 & 3 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 0 & 0\\ \hline0 & 0 & 0 &-2\\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right).\end{align*}

Los bloques diagonales son

    \begin{align*}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 8 & 3 \\2 & 3 \end{pmatrix}\end{align*}

y

    \begin{align*}\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{align*}

\square

Operaciones con matrices de bloques

Al ser ‘matrices de matrices’, las matrices de bloques se comportan adecuadamente con las operaciones de suma y producto de matrices que conocemos. Enunciamos esto con más detalle en la siguiente proposición que no demostraremos. Las demostraciones son directas pero tediosas.

Proposición.

  • Si

        \begin{align*}A= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1k}\\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{l1} & A_{l2} & \dots & A_{lk} \end{pmatrix}\end{align*}

    y

        \begin{align*} B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1k}\\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ B_{l1} & B_{l2} & \dots & B_{lk} \end{pmatrix} \end{align*}


    son matrices de bloques con A_{ij} y B_{ij} del mismo tamaño para cada i,j (es decir, la partición es igual) entonces

        \begin{align*}A+B=\begin{pmatrix} A_{11} +B_{11} & A_{12}+B_{12} & \dots & A_{1k}+B_{1k}\\ A_{21} +B_{21}& A_{22}+B_{22} & \dots & A_{2k}+B_{2k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{l1}+B_{l1} & A_{l2}+B_{l2} & \dots & A_{lk}+B_{lk} \end{pmatrix}\end{align*}

  • Si

        \begin{align*}A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1k}\\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{l1} & A_{l2} & \dots & A_{lk} \end{pmatrix}\end{align*}

    y

        \begin{align*} B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1r}\\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2r}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ B_{k1} & B_{k2} & \dots & B_{kr} \end{pmatrix} \end{align*}


    son de tamaño m\times n y n\times p respectivamente tal que A_{ij} es de tamaño m_i \times n_jy B_{ij} de tamaño n_i\times p_j, entonces

        \begin{align*}AB=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & \dots & C_{1r}\\ C_{21} & C_{22} & \dots & C_{2r}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ C_{l1} & C_{l2} & \dots & C_{lr} \end{pmatrix}\end{align*}


    donde

        \begin{align*}C_{ij}=\sum_{u=1}^{k} A_{iu} B_{uj}.\end{align*}

Más adelante

En unas cuantas entradas hablaremos del algoritmo de reducción gaussiana y lo usaremos para resolver sistemas de ecuaciones y encontrar inversas de matrices. Nos encontraremos con matrices de bloque muy específicas, por ejemplo, las que resultan de «pegarle» un vector columna a una matriz, por ejemplo

    \begin{align*}\left( \begin{array}{cccc|c}-3& -1 & 3 & -11 & 0\\8 & 3 & 0 & 2 & -1\\1 & -5 & 0 & 0 & 0\end{array}\right).\end{align*}

y las que resultan de «pegarle» la matriz identidad a una matriz cuadrada, por ejemplo

    \begin{align*}\left( \begin{array}{ccc|ccc}-3& -1 & 3 & 1 & 0 & 0\\8 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0\\1 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right).\end{align*}

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • ¿Cómo se portan las matrices de bloques respecto a la transposición?
  • Escribe todas las formas en las que puedes dividir a la matriz I_3 para que quede como una matriz de bloques. Aquí hay algunas:

        \begin{align*}\left(\begin{array}{c|cc} 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \left(\begin{array}{c|c|c} 1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right). \end{align*}

  • Demustra que toda matriz diagonal puede verse como una matriz diagonal por bloques. Muestra que no toda matriz diagonal por bloques es una matriz diagonal.
  • Escribe todas las formas en las que puedes dividir a la matriz I_4 para que quede como una matriz diagonal por bloques.
  • ¿Cómo es la inversa de una matriz diagonal por bloques?

Álgebra Lineal I: Técnicas básicas de cálculo de determinantes

Introducción

Ya definimos a los determinantes para vectores, para transformaciones y para matrices. Además, mostramos algunas propiedades básicas de determinantes y las usamos para resolver varios problemas. Como hemos discutido, los determinantes guardan información importante sobre una transformación lineal o sobre una matriz. También ayudan a implementar la técnica de diagonalización la cual introdujimos hace algunas entradas y en la cual profundizaremos después. Es por esta razón que es importante tener varias técnicas para el cálculo de determinantes.

Fuera de este curso, los determinantes sirven en muchas otras áreas de las matemáticas. Cuando se hace cálculo de varias variables ayudan a enunciar el teorema del cambio de variable. En combinatoria ayudan a calcular el número de árboles generadores de una gráfica. Más adelante en tu formación matemática es probable que te encuentres con otros ejemplos.

Calculo de determinantes de 2\times 2

Como ya discutimos anteriormente, una matriz en M_2(F), digamos A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix} tiene determinante ad-bc.

Problema. Calcula el determinante de la matriz

    \[\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}^8.\]

Solución. Por la fórmula para el determinante de las matrices de 2\times 2, se tiene que \begin{vmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{vmatrix} = 0\cdot 1 - 1\cdot 1 = -1.

Como el determinante es multiplicativo, \det(A^2)=\det(A)\det(A)=(\det(A))^2, e inductivamente se puede mostrar que para todo entero positivo n se tiene que \det(A^n)=(\det(A))^n. De esta forma, el determinante que buscamos es (-1)^8=1.

\square

Observa que hubiera tomado más trabajo elevar la matriz a la octava potencia. Aunque esto usualmente no es recomendable, en este problema hay algo interesante que sucede con esta matriz. Llamémosla A=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}. Haciendo las cuentas para las primeras potencias, se tiene que

    \begin{align*}A&=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\\A^2&=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}\\A^3&=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 3\end{pmatrix}\\A^4&=\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 3 & 5\end{pmatrix}\\A^5&=\begin{pmatrix} 3 & 5\\ 5 & 8\end{pmatrix}\end{align*}

Aquí aparece la sucesión de Fibonacci, dada por F_0=0, F_1=1 y F_{n+2}=F_{n+1}+F_n para n\geq 0, cuyos primeros términos son

    \[0,1,1,2,3,5,8,13,21,\ldots.\]

De hecho se puede probar por inducción que

    \[A^n=\begin{pmatrix} F_{n-1} & F_n\\ F_n & F_{n+1}\end{pmatrix}.\]

Así, por un lado el determinante de la matriz A^n es F_{n-1}F_{n+1}-F_n^2, usando la fórmula de determinante de 2\times 2. Por otro lado, es (-1)^n, por el argumento del problema. Con esto hemos demostrado que para cualquier entero n tenemos la siguiente identidad para los números de Fibonacci:

    \[F_{n-1}F_{n+1}-F_n^2 = (-1)^n.\]

Cálculo de determinantes de 3\times 3

Para calcular el determinante de una matriz en M_3(F) por definición, digamos de A=\begin{pmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\end{pmatrix}, tenemos que hacer una suma de 3!=6 términos. Si se hacen las cuentas de manera explícita, el valor que se obtiene es

    \[aei+bfg+cdh-ceg-afh-bdi.\]

Esto se puede recordar mediante el siguiente diagrama, en el cual se ponen la primera y la segunda columna de nuevo, a la derecha. Las diagonales hacia abajo son términos positivos y las diagonales hacia arriba son términos negativos.

Cálculo de determinantes de matrices de 3x3
Cálculo de determinantes de 3\times 3

Veamos un ejemplo de un problema en el que se puede aprovechar esta técnica.

Problema. Determina para qué reales a,b,c se tiene que los vectores (a,b,0), (a,0,b) y (0,a,b) son una base de \mathbb{R}^3.

Solución. Para que estos vectores sean una base de \mathbb{R}^3, basta con que sean linealmente independientes, pues son 3. Como hemos visto en entradas anteriores, para que sean linealmente independientes, es necesario y suficiente que el determinante de la matriz \begin{pmatrix}a&b&0\\ a&0&b\\ 0&a&b\end{pmatrix} sea distinto de cero.

Usando la técnica de arriba, hacemos siguiente diagrama:

De aquí, vemos que el determinante es

    \[0+0+0-0-a^2b-ab^2=-ab(a+b).\]

Esta expresión es igual a cero si a=0, si b=0 o si a+b=0. En cualquier otro caso, el determinante no es cero, y por lo tanto los vectores forman una base.

\square

Ten mucho cuidado. Esta técnica no funciona para matrices de 4\times 4 o más. Hay una forma sencilla de convencerse de ello. Por ejemplo, el determinante de una matriz de 4\times 4 debe tener 4!=24 sumandos. Si intentamos copiar la técnica de arriba, tendremos solamente 8 sumandos (4 en una diagonal y 4 en otra). Para cuando tenemos matrices de 4\times 4 o más, tenemos que recurrir a otras técnicas.

Reducción gaussiana para determinantes

Cuando vimos el tema de sistemas de ecuaciones hablamos del algoritmo de reducción gaussiana, y vimos que este siempre lleva una matriz en M_{m,n}(F) a su forma escalonada reducida mediante operaciones elementales. Cuando aplicamos el algoritmo a matrices en M_n(F), siempre llegamos a una matriz diagonal, en donde sabemos fácilmente calcular el determinante: es simplemente el producto de las entradas en la diagonal.

Por esta razón, es fundamental para el cálculo de determinantes saber qué le hacen las operaciones elementales al determinante de una matriz.

Teorema. Las operaciones elementales tienen el siguiente efecto en el determinante de una matriz A:

  1. Si todos los elementos de un renglón o columna de A se multiplican por \lambda, entonces el determinante se multiplica por \lambda.
  2. Cuando se intercambian dos renglones o columnas de A, el determinante se multiplica por -1.
  3. Si a un renglón de A se le suma un múltiplo escalar de otro renglón, entonces el determinante no cambia. Sucede algo análogo para columnas.

Demostración. El punto 1 ya lo demostramos en la entrada anterior, en donde vimos que el determinante es homogéneo.

Para los puntos 2 y 3, usemos que si e_1,\ldots e_n es la base canónica de F^n, el determinante de una matriz con renglones R_1,\ldots,R_n es

    \[\det_{(e_1,\ldots,e_n)}(R_1,\ldots,R_n).\]

Intercambiar los renglones i y j es hacer \det_{(e_1,\ldots,e_n)}(R_{\sigma(1)},\ldots,R_{\sigma(n)}) para la transposición \sigma que intercambia i y j. Como el determinante es antisimétrico y \sigma tiene signo -1, obtenemos la conclusión.

Hagamos ahora el tercer punto. Tomemos i\neq j y un escalar \lambda. Si al i-ésimo renglón de A le sumamos \lambda veces el j-ésimo renglón de A, esto es lo mismo que multiplicar a A por la izquierda por la matriz B que tiene unos en la diagonal y \lambda en la entrada (i,j). La matriz B es triangular, de modo que su determinante es el producto de las entradas, que es 1. De esta forma,

    \[\det(BA)=\det(B)\det(A)=\det(A).\]

\square

Así, una estrategia para calcular el determinante de una matriz es hacer reducción gaussiana hasta llegar a una matriz diagonal (incluso es suficiente que sea triangular superior) de determinante \Delta. Si en el camino se hicieron r intercambios de renglones y se multiplicaron los renglones por escalares \lambda_1,\ldots,\lambda_s, entonces el determinante de A será

    \[\frac{(-1)^r \Delta}{\lambda_1\cdot\ldots\cdot \lambda_s}.\]

Otras propiedades para calcular determinantes

Aquí recolectamos otras propiedades de determinantes que pueden ayudar a calcularlos. Ya mostramos todas ellas, salvo la número 2. Esta la mostramos después de la lista.

  1. Si se descompone una columna de una matriz como suma de dos columnas, entonces el determinantes es la suma de los determinantes en los que ponemos cada columna en vez de la original.
  2. Si A es una matriz en M_n(\mathbb{C}), entonces el determinante de la matriz conjugada \overline{A} es el conjugado del determinante de A.
  3. El determinante es multiplicativo.
  4. Si A es una matriz en M_n(F), el determinante de \lambda A es \lambda^n veces el determinante de A.
  5. El determinante de una matriz triangular es el producto de sus entradas en la diagonal.
  6. El determinante de una matriz invertible es el inverso multiplicativo del de la matriz.
  7. Una matriz tiene el mismo determinante que su transpuesta.

Proposición. Si A es una matriz en M_n(\mathbb{C}), entonces el determinante de la matriz conjugada \overline{A} es el conjugado del determinante de A.

Demostración. La conjugación compleja abre sumas y productos. Aplicando esto repetidas veces obtenemos la siguiente cadena de igualdades:

    \begin{align*}\overline{\det(A)}&=\overline{\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)}}\\&=\sum_{\sigma \in S_n} \overline{\text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)}}\\&=\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma)\overline{a_{1\sigma(1)}}\cdot\ldots\cdot \overline{a_{n\sigma(n)}}\\&=\det(\overline{A}).\end{align*}

\square

Hay una última técnica que es fundamental para el cálculo de determinantes: la expansión de Laplace. En algunos textos incluso se usa para definir el determinante. Probablemente la conoces: es la que consiste en hacer el determinante «con respecto a una fila o columna» y proceder de manera recursiva. Hablaremos de ella más adelante y veremos por qué funciona.

Dos problemas de cálculo de determinantes

Problema. Considera la matriz

    \[A=\begin{pmatrix}5& 1 & 2& 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 2\\ -1 & -3 & 0 & 1\end{pmatrix}.\]

Calcula los siguientes determinantes:

  • \det A
  • \det(^t A)
  • \det(A^{-1})
  • \det(^t A A)
  • \det(-2A)

Solución. Hagamos primero el determinante de la matriz A. Para ello, haremos operaciones elementales como sigue

    \begin{align*}&\begin{pmatrix}5& 1 & 2& 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 2\\ -1 & -3 & 0 & 1\end{pmatrix}\\\to&\begin{pmatrix}5& 1 & 2& 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 2\\ 0 & -\frac{14}{5} & \frac{2}{5} & 1\end{pmatrix}\\\to &\begin{pmatrix}5& 1 & 2& 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 2\\ 0 & 0 & -\frac{12}{5} & \frac{33}{5}\end{pmatrix}\\\to& \begin{pmatrix}5& 1 & 2& 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 2\\ 0 & 0 & 0 & \frac{189}{25}\end{pmatrix}.\end{align*}

En el primer paso sumamos 1/5 veces el primer renglón al último. Luego, sumamos 14/5 veces el segundo renglón al último. Finalmente, sumamos 12/25 veces el tercer renglón al último. De esta forma, nunca cambiamos el determinante de la matriz. Así, del determinante de A es el mismo que el de la matriz final, que por ser triangular superior es el producto de las entradas en su diagonal. De este modo,

    \[\det(A) = 5\cdot 1 \cdot 5 \cdot 189 = 189.\]

El determinante de una matriz es igual al de su transpuesta, así que \det(^t A)=\det(A). El determinante \det(A^{-1}) es el inverso multiplicativo de \det(A), así que es \frac{1}{189}.

Como el determinante es multiplicativo,

    \[\det({^tA}A)=\det({^tA})\det(A)=189\cdot 189=35721.\]

Finalmente, usando que el determinante es homogéneo y que estamos en M_4(\mathbb{R}), tenemos que

    \begin{align*}\det(-2A)&=(-2)^4\det(A)\\&=8\cdot 189\\&=1512.\end{align*}

\square

Problema. Sean a,b,c números complejos. Calculando el determinante de la matriz

    \[A=\begin{pmatrix}a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a\end{pmatrix}\]

en M_3(\mathbb{C}) de dos formas distintas, muestra que

    \[a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).\]

Solución. Usando la técnica para determinantes de 3\cdot 3 tenemos que por un lado,

    \begin{align*}\det(A) &= a^3 + b^3 + c^3 - abc - bca - cab\\&=a^3+b^3+c^3-3abc.\end{align*}

Por otro lado, el determinante no cambia si al primer renglón le sumamos los otros dos, así que el determinante de A también es

    \[\begin{vmatrix}a+b+c&a+b+c&a+b+c\\ c&a&b\\ b&c&a\end{vmatrix}.\]

Como el determinante es homogéneo, podemos factorizar a+b+c de la primera entrada para obtener que

    \[\det(A)=(a+b+c)\begin{vmatrix}1&1&1\\ c&a&b\\ b&c&a\end{vmatrix}.\]

Aplicando de nuevo la fórmula de determinantes de 3\times 3, tenemos que

    \[\begin{vmatrix}1&1&1\\ c&a&b\\ b&c&a\end{vmatrix} = a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca.\]

Concluimos entonces que

    \[\det(A)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).\]

Igualando ambas expresiones para \det(A) obtenemos la identidad deseada.

\square

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Sea \alpha un número real. Encuentra el determinante de la matriz

        \[\begin{pmatrix}\sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{pmatrix}.\]

  • Determina para qué valores de a la matriz

        \[\begin{pmatrix} a & 0 & a & 0 & a \\0 & a & 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & a & 0 \\ a & 0 & a & 0 & a \end{pmatrix}\]

    es invertible.
  • Encuentra el determinante de la matriz

        \[\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.\]

  • Sea x un número complejo. Muestra que el determinante de la matriz

        \[\begin{pmatrix}3x^2-6x+5&2x^2-4x+2&x^2-2x\\ 2x^2-4x+2&2x^2+2x+1&x^2-x\\ x^2-2x&x^2-x&x^2\end{pmatrix}\]

    es x^6. Sugerencia. Hay una solución simple, factorizando a la matriz como el producto de dos matrices triangulares, una superior y una inferior, una transpuesta de la otra.
  • Muestra que si A=\begin{pmatrix}0& 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}, entonces

        \[A^n=\begin{pmatrix} F_{n-1} & F_n\\ F_n & F_{n+1}\end{pmatrix},\]

    donde \{F_n\} es la sucesión de Fibonacci. Muestra que para los números de Fibonacci se satisface que

        \[F_{2n}=F_n(F_{n+1}+F_{n-1}).\]