Introducción

Con esta entrada empieza el cuarto y último bloque del curso de Lineal I. En este último bloque hablaremos de determinantes de matrices, de eigenvectores, eigenvalores y de polinomios característicos. Además, probaremos el teorema espectral para matrices simétricas reales. Nuestro cimiento teórico para definir a los determinantes y probar sus propiedades fácilmente serán las transformaciones multilineales, que generalizan a las formas bilineales de las que ya hemos hablado.

Antes de empezar, vale la pena recapitular lo que hemos aprendido en los bloques anteriores:

• Bloque 1: Primero, hablamos de vectores y matrices con entradas reales, y sus operaciones básicas. Luego, vimos que nos ayudan a plantear y resolver sistemas de ecuaciones lineales. Aquí hablamos de varias equivalencias de matrices invertibles. Al final de este bloque, definimos espacios vectoriales en general. En ellos hablamos de conjuntos generadores, independientes y bases. Mediante el lema de Steinitz definimos y probamos propiedades de espacios de dimensión finita.
• Bloque 2: Vimos la teoría básica de transformaciones lineales. Hablamos de imágenes y kernels de transformaciones. Vimos cómo se comportan con independientes y bases. Luego hablamos de cómo representar transformaciones lineales entre espacios de dimensión finita usando matrices, y en particular cómo hacer cambios de base.
• Bloque 3: Este bloque fue más «geométrico». Primero, vimos formas lineales y la teoría de dualidad y la aplicamos para ver que todo subespacio es intersección de hiperplanos. Luego, definimos formas bilineales y cuadráticas. De ahí salió la noción de producto interior, que nos permite «hacer geometría» en espacios vectoriales. Hablamos de desigualdades vectoriales, de bases ortogonales, para qué sirven y cómo encontrarlas.

La intuición que obtuvimos de formas bilineales nos ayudará a entender formas multilineales. Pero antes de entrar en este tema, que es un poco técnico, veamos un ejemplo que nos ayudará a entender lo que nos espera en este bloque.

Elevando una matriz a la 100

Considera la matriz $$A=\left(\begin{array}{cc}-4& -10\\ 3& 7\end{array}\right).$$ Imagina que para alguna aplicación queremos elevarla a la $100$. Esto probablemente lo puedas hacer a mano, y mejor aún, a computadora. Pero en aplicaciones en la vida real, puede que hacer los cálculos matriciales sea mucho incluso para una computadora. ¿Habrá una forma de que sea más fácil hacer $A^{100}$?

Resulta que para este caso en particular, sí. Considera las matrices $$B=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right)$$ y $$D=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right).$$ La matriz $B$ es invertible, con inversa $$B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right),$$ como puedes verificar. Además, la matriz $A$ se puede «factorizar» así: $$A=B^{-1}DB.$$

Esto es muy útil para nuestros fines. Nota que
$$\begin{array}{rl}{A}^2& =(B^{-1}DB)(B^{-1}DB)\\ & =B^{-1}{D}^{2}B,\end{array}$$

y que de hecho inductivamente $A^n=B^{-1}{D}^{n}B$ para cualquier entero positivo $n$.

Por otro lado, como la matriz $D$ es diagonal, sus potencias son muy sencillas, de hecho, se puede probar inductivamente que $D^n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2^n\end{array}\right)$ para cualquier entero positivo $n$. De esta forma, podemos hacer $A^n$ con tan solo dos multiplicaciones de matrices:
$$\begin{array}{rl}{A}^n& =B^{-1}{D}^{n}B\\ & =\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 2^n& 2^{n+1}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}6-5\cdot 2^n& 10-5\cdot 2^{n+1}\\ -3+3\cdot 2^n& -5+3\cdot 2^{n+1}\end{array}\right)\end{array}$$

Así, el problema que queremos resolver es sencillo ahora. Basta tomar $n=100$ para obtener $$A^{100}=\left(\begin{array}{cc}6-5\cdot 2^{100}& 10-5\cdot 2^{101}\\ -3+3\cdot 2^{100}& -5+3\cdot 2^{101}\end{array}\right).$$

Si podemos escribir una matriz $A$ como $B^{-1}DB$ con $B$ invertible y $D$ diagonal, decimos que es diagonalizable. La conclusión anterior es que una matriz diagonalizable se puede elevar fácilmente a potencias.

Todo esto está muy bien pero, ¿de dónde salen las matrices $B$ y $D$? ¿toda matriz es diagonalizable? ¿qué otras ventajas tiene diagonalizar una matriz? Este tipo de preguntas son las que estudiaremos en este bloque.

Diagonalizar matrices de 2×2

El determinante de una matriz $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ en $M_2(\mathbb{R})$, como quizás hayas visto antes, está dado por $ad-bc$. Resulta que una forma sistemática para encontrar matrices $B$ y $D$ como las del ejemplo de arriba es la siguiente:

• Tomar una matriz $A$.
• Considerar el polinomio $P(\lambda )=det(\lambda I–A)$. A este polinomio se le conoce como el polinomio característico de $A$.
• Encontrar las raíces ${\lambda }_1$ y ${\lambda }_2$ de $P(\lambda )$. A estos valores se les llama los eigenvalores de $A$.
• Encontrar vectores $v_1$ y $v_2$ no cero tales que $(A-{\lambda }_{1}I)v_1=0$ y $(A-{\lambda }_{2}I)v_2=0$. Estos simplemente son sistemas lineales homogéneos, que ya sabemos resolver con reducción gaussiana. A estos vectores se les llama eigenvectores de $A$.
• Usar a ${\lambda }_1$ y ${\lambda }_2$ como las entradas de la matriz diagonal $D$.
• Usar a $v_1$ y $v_2$ como columnas de la matriz $B^{-1}$. Encontrar la inversa de $B^{-1}$ para encontrar a $B$.

¿Cómo se hace en dimensiones más altas? ¿Siempre podemos seguir este proceso esto? ¿Hay algunos tipos de matrices para los que siempre funcione? Estas son otras preguntas que responderemos en el transcurso de estas semanas.

Mientras tanto, veamos qué sucede si aplicamos este método para la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}-4& -10\\ 3& 7\end{array}\right)$ del ejemplo. Tenemos que el determinante de $\lambda I-A=\left(\begin{array}{cc}\lambda +4& 10\\ -3& \lambda –7\end{array}\right)$ es el polinomio $$\begin{array}{rl}P(\lambda )& =(\lambda +4)(\lambda -7)+30\\ & ={\lambda }^2-3\lambda -28+30\\ & ={\lambda }^2-3\lambda +2,\end{array}$$ cuyas raíces son $1$ y $2$. De aquí construimos $$D=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right).$$

Busquemos los eigenvectores. Por un lado, si queremos que suceda que $Av=v$ para un vector $v=(x,y)$, necesitamos que $$(-4x-10y,3x+7y)=(x,y),$$ y una de las soluciones es $(x,y)=(2,-1)$. Por otro lado, si queremos que suceda que $Av=2v$ para un vector $v=(x,y)$, necesitamos que $$(-4x-10y,3x+7y)=(2x,2y),$$ y una de las soluciones es $(x,y)=(-5,3)$. De aquí construimos $$B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right),$$ y podemos hacer reducción gaussiana para encontrar $B$. Observa que obtenemos exactamente las mismas matrices que propusimos en el ejemplo.

Nos gustaría poder hacer esto mismo en dimensiones más altas y entender cuándo y por qué funciona. Para ello, lo primero que necesitamos hacer es entender muy bien el concepto de determinante y aprender a manejar hábilmente sus propiedades principales.

Hay varias formas de definir determinante y quizás ya hayas visto algunas en cursos anteriores. En este curso definiremos determinante mediante transformaciones multilineales. Es un poco más abstracto, pero ayuda a que sea más fácil probar técnicas para trabajar con determinantes y entender por qué funcionan.

Transformaciones multilineales

En el bloque anterior ya hablamos de formas bilineales. Como recordatorio, tomábamos un espacio vectorial real $V$ y una forma bilineal era una función $b:V\times V\to \mathbb{R}$ tal que cada que fijábamos una entrada, la función era lineal en la otra. La palabra «forma» la usábamos porque la imagen caía en el campo.

Generalizaremos esta idea para más entradas, y para cuando la imagen cae en cualquier espacio vectorial. Trabajaremos en espacios vectoriales sobre un campo $F$, que puedes pensar que es $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$.

Definición. Sean $V_1,\dots ,V_d$ y $W$ espacios vectoriales sobre $F$. Una función $f:V_1\times \dots \times V_d\to W$ es multilineal si cada que fijamos una $i$ y para cada $j\ne i$ fijamos vectores $v_j$ en $V_j$, la transformación $$V_i\to W$$ dada por $$v_i\mapsto f(v_1,v_2,\dots ,v_d)$$ es lineal.

Aclaración. De nuevo, es muy importante no confundir una transformación multilineal con una transformación lineal del espacio vectorial $V_1\times \dots \times V_d$ a $W$.

Ejemplo 1. Consideremos ${\mathbb{R}}^3=\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ y consideramos la transformación $T:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$ dada por $T(x,y,z)=xyz.$ Afirmamos que esta es una transformación multilineal.

Si fijamos $y$ y $z$, tenemos que mostrar que la transformación $x\mapsto xyz$ es lineal, lo cual es cierto pues para $x_1,x_2$ reales y $r$ real se cumple que
$$\begin{array}{rl}T(x_1+r{x}_2,y,z)& =(x_1+r{x}_2)yz\\ & =x_{1}yz+r{x}_{2}yz\\ & =T(x_1,y,z)+rT(x_2,y,z).\end{array}$$

De manera similar se prueba para las otras entradas.

Sin embargo, $T$ no es una transformación lineal. Por ejemplo, no saca escalares ya que $T(1,1,1)=1\cdot 1\cdot 1=1$ y $$T(2,2,2)=8\ne 2=2T(1,1,1).$$

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Las transformaciones multilineales son muy generales, y ayudan a crear algo que se llama el producto tensorial. Sin embargo, para los fines que necesitamos ahora, no hace falta tanta generalidad. Sólo nos enfocaremos en las transformaciones multilineales cuando $V_1=V_2=\dots =V_d$, es decir, en transformaciones $f:V^d\to W$.

Definición. Para $d$ un entero positivo y $V$, $W$ espacios vectoriales, una transformación $d$-lineal es una transformación multilineal de $V^d$ a $W$.

Ejemplo 2. Si $V$ es un espacio vectorial real y $W=\mathbb{R}$, entonces toda forma bilineal $b:V\times V\to \mathbb{R}$ es una transformación $2$-lineal.

Ejemplo 3. Tomemos $V={\mathbb{R}}^3$ y $d=4$. Tomemos las siguientes formas lineales en $V$:
$$\begin{array}{rl}{l}_1(x,y,z)& =x+y+z\\ l_2(x,y,z)& =3x-2y+z\\ l_3(x,y,z)& =y\\ l_4(x,y,z)& =x+z.\end{array}$$

Consideremos la transformación $T:V^4\to \mathbb{R}$ dada por $$T(v_1,v_2,v_3,v_4)=l_1(v_1)l_2(v_2)l_3(v_3)l_4(v_4),$$ por ejemplo, si $v_1=(1,0,0)$, $v_2=(0,1,0)$, $v_3=(0,1,1)$ y $v_4=(1,1,1)$, tenemos que

$$\begin{array}{rl}{l}_1(v_1)& =l_1(1,0,0)=1+0+0=1\\ l_2(v_2)& =l_2(0,1,0)=0-2+0=-2\\ l_3(v_3)& =l_3(0,1,1)=1\\ l_4(v_4)& =l_4(1,1,1)=1+1=2,\end{array}$$

y por lo tanto $$T(v_1,v_2,v_3,v_4)=(1)(-2)(1)(2)=-4.$$

Tenemos que $T$ es $4$-lineal pues para cada $i$, al fijar las tres entradas $v_j$ con $j\ne i$ tenemos que $T(v_1,v_2,v_3,v_4)$ es de la forma $c{l}_i(v_i)$ con $c$ un escalar. Como $l_i$ es una forma lineal, $c{l}_i$ también.

$\mathrm{△}$

Nos interesan un tipo todavía más restringido de transformaciones multilineales. Para definirlas, tenemos que hacer una pequeña desviación hacia el tema de permutaciones.

Permutaciones y signos

Tomemos un entero positivo y usemos $[n]$ para hablar del conjunto de los enteros de $1$ a $n$, es decir, $[n]:=\{1,2,\dots ,n\}$.

Definicion. Una permutación de $[n]$ es una función biyectiva $\sigma :[n]\to [n]$.

En otras palabras, una permutación básicamente «revuelve los elementos» de $[n]$. Usualmente expresamos a la permutación con la notación $$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \dots & n\\ \sigma (1)& \sigma (2)& \dots & \sigma (n)\end{array}\right)$$

Ejemplo 1. La función $\sigma :[3]\to [3]$ tal que $\sigma (1)=2$, $\sigma (2)=3$ y $\sigma (3)=1$ es una permutación que manda al conjunto ordenado $(1,2,3)$ al conjunto ordenado $(2,3,1)$. La expresamos como $$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right).$$

$\mathrm{△}$

Como las permutaciones son funciones, entonces podemos componerlas. Para evitar complicar la notación, no pondremos el signo de composición $\circ$, sino simplemente permutaciones adyacentes. La composición usualmente no es conmutativa.

Ejemplo 2. Tomemos la permutación ${\sigma }_1:[4]\to [4]$ representada por $$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 2& 1& 4\end{array}\right)$$ y la permutación ${\sigma }_2:[4]\to [4]$ representada por $$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 2& 3& 1\end{array}\right).$$

¿Qué hace la función ${\sigma }_1{\sigma }_2$? Es una función de $[4]$ a $[4]$ y cumple lo siguiente:
$$\begin{array}{rl}{\sigma }_1({\sigma }_2(1))& ={\sigma }_1(4)=4,\\ {\sigma }_1({\sigma }_2(2))& ={\sigma }_1(2)=2,\\ {\sigma }_1({\sigma }_2(3))& ={\sigma }_1(3)=1,\\ {\sigma }_1({\sigma }_2(4))& ={\sigma }_1(1)=3,\end{array}$$

es decir, la composición es la permutación representada por $$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 2& 1& 3\end{array}\right).$$

Por otro lado, la función ${\sigma }_2{\sigma }_1$ hace algo un poco diferente. También es una función de $[4]$ a $[4]$ y cumple lo siguiente:
$$\begin{array}{rl}{\sigma }_2({\sigma }_1(1))& ={\sigma }_2(3)=3,\\ {\sigma }_2({\sigma }_1(2))& ={\sigma }_2(2)=2,\\ {\sigma }_2({\sigma }_1(3))& ={\sigma }_2(1)=4,\\ {\sigma }_2({\sigma }_1(4))& ={\sigma }_2(4)=1,\end{array}$$

así que es la permutación representada por $$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 2& 4& 1\end{array}\right).$$

$\mathrm{△}$

Al conjunto de permutaciones de $[n]$ le llamamos $S_n$. Tomemos una permutación $\sigma$ en $S_n$. Para dos elementos $i<j$ en $[n]$, decimos que $\sigma$ los invierte si $\sigma (i)>\sigma (j)$.

Definición. Sea $\sigma$ un elemento de $S_n$. Decimos que el signo de $\sigma$ es $1$ si invierte una cantidad par de parejas, y es $-1$ si invierte una cantidad impar de parejas. Al signo de $\sigma$ lo denotamos $\text{sign}(\sigma )$.

Ejemplo 3. La permutación $$\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 5& 2& 1& 4& 3\end{array}\right)$$ invierte a la pareja $(1,2)$ pues $\sigma (1)=5>2=\sigma (2)$. Todas las parejas que invierte son $(1,2)$, $(1,3)$, $(1,4)$, $(1,5)$, $(2,3)$, $(4,5)$. Estas son $6$ parejas, que son una cantidad par, así que la permutación tiene signo $1$.

La permutación identidad en $S_n$ no invierte ninguna pareja, así que tiene signo $1$.

$\mathrm{△}$

En la siguiente entrada combinaremos estas nociones de permutaciones y de transformaciones multilineales para hablar de antisimetría y alternancia. Por el momento, reflexiona en lo siguiente: si $\sigma$ es una permutación en $S_n$ y $f:V^n\to W$ es una transformación $n$-lineal, entonces la transformación $\sigma f:V^n\to W$ definida por $$(\sigma f)(x_1,x_2,\dots ,x_n)=f(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\dots ,x_{\sigma (n)})$$ también es una transformación $n$-lineal.

Más adelante…

En esta primera entrada de la cuarta unidad hemos visto cómo la intuición que obtuvimos cuando estudiamos formas bilineales, nos ha ayudado a entender el concepto de formas multilineales. En las siguientes entradas del blog, abordaremos el concepto de determinante y aprenderemos cómo se usa.

Para la definición de determinante y para demostrar algunas de sus propiedades , usaremos lo que aprendimos en esta entrada sobre las transformaciones multilineales. Veremos que es una herramienta del álgebra lineal bastante útil y entender detalladamente cómo funciona será fundamental para abordar uno de los teoremas más importantes del curso: el teorema espectral.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

• Toma $T:V^d\to W$ una transformación $d$-lineal. Muestra que si de entre $x_1,\dots ,x_d$ elementos de $V$ alguno de ellos es el vector $0$, entonces $T(x_1,\dots ,x_d)=0$.
• Muestra que la transformación del ejemplo de transformaciones multilineales también es lineal en la segunda y tercera entradas.
• Supón que $l_1,\dots ,l_d$ son formas lineales de $V$ al campo $F$. Muestra que $f:V^d\to F$ dada por $$f(x_1,\dots ,x_d)=l_1(x_1)\dots l_d(x_d)$$ es una transformación $d$-lineal.
• Encuentra una transformación lineal $T:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$ que no sea una transformación multilineal.
• Muestra que la composición de dos permutaciones siempre es una permutación.
• Muestra que para dos permutaciones ${\sigma }_1$ y ${\sigma }_2$ se tiene que $$\text{sign}({\sigma }_1{\sigma }_2)=\text{sign}({\sigma }_1)\text{sign}({\sigma }_2).$$

Entradas relacionadas

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• Entrada anterior del curso: Problemas de bases ortogonales, Fourier y proceso de Gram-Schmidt
• Siguiente entrada del curso: Transformaciones multilineales antisimétricas y alternantes

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»