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Teoría de los Conjuntos I: Operaciones entre conjuntos

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

A continuación definiremos algunas de las operaciones que hay entre conjuntos como lo son la unión, intersección y diferencia. Retomaremos algunos axiomas como el de unión y el esquema de comprensión, para ver que estas operaciones definen nuevos conjuntos.

Unión

Recordemos la definición de la unión de dos conjuntos.

Definición. Si $A$ y $B$ son conjuntos, entonces definimos la unión de $A$ y $B$ como:


$A\cup B=\bigcup\set{A,B}$

o bien,

$A\cup B= \set{x: x\in A\ o\ x\in B}$.

Ejemplos.

  1. Consideremos los conjuntos $A= \set{\emptyset}$ y $B= \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$. Luego, $A\cup B=\bigcup\set{A,B} = \bigcup\set{\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}=B$.
  2. Ahora, consideremos $A=\set{\set{\emptyset}}$ y $B=\set{\set{\set{\emptyset}}}$. Tendremos que $A\cup B=\set{\set{\emptyset}}\cup \set{\set{\set{\emptyset}}}=\set{\set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}$.

$\square$

Propiedades de la unión

Proposición. Para cualquier conjunto $A$ se tiene que $A\subseteq A\cup B$. Además, $A\cup B= B\cup A$.

Demostración.
Primero veamos que $A\subseteq A\cup B$. Supongamos que $x\in A$, entonces existe $A\in \set{A, B}$ tal que $x\in A$. Esto es, por definición de unión que $x\in \bigcup \set{A,B}=A\cup B$.

La unión es conmutativa

Para ver que $A\cup B=B\cup A$, notemos que $A\cup B=\bigcup\set{A,B}$ y $B\cup A=\bigcup \set{B, A}$. Sabemos que $\set{A, B}=\set{B, A}$ por axioma de extensión. Así, $A\cup B=B\cup A$.

$\square$

Intersección

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. La intersección de dos conjuntos estará definida como sigue:

$A\cap B=\set{x: x\in A\land x\in B}$.

La intersección de dos conjuntos nos permite obtener un conjunto cuyos elementos son aquellos que se encuentran en ambos conjuntos. En la imagen que proporcionamos arriba podemos ver que la intersección nos deja solamente a la manzana y la pera, pues están en ambos conjuntos y descarta al plátano y la naranja pues solo viven en el primer conjunto. Lo mismo hace con la fresa y la sandía que solo viven en el segundo conjunto.

Proposición. Se tiene que $A\cap B$ es un conjunto.

Demostración. Sean $A$ y $B$ conjuntos.

Definamos la propiedad $P(x): x\in B$. Por el esquema de comprensión se tiene que

$\set{x\in A:x\in B}$

es un conjunto.

Luego, $\set{x\in A:x\in B}=A\cap B$. En efecto, $z\in A\cap B$ si y sólo si $z\in A$ y $z\in B$ si y sólo si $z\in \set{x\in A:x\in B}$.

Por lo tanto, $A\cap B$ es conjunto.

$\square$

Ejemplos.

  1. Consideremos $A=\set{\emptyset}$ y $B=\set{\set{\emptyset}}$, tenemos que $A\cap B=\emptyset$ esto último debido a que no existe ningún elemento $x$ tal que $x\in \set{\emptyset}$ y $x\in\set{\set{\emptyset}}$ al mismo tiempo. De ocurrir, tendriamos que $x=\emptyset$ y $x=\set{\emptyset}$ y por lo tanto, $\emptyset=\set{\emptyset}$ lo cual sabemos que no ocurre. Por lo tanto, $A\cap B=\emptyset$.
  2. Sean $A=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ y $B=\set{\emptyset}$ conjuntos. Notemos que en este ejemplo el único elemento que está tanto en el conjunto $A$ como en el conjunto $B$ es $x=\emptyset$. De este modo, $A\cap B=\set{\emptyset}$.

$\square$

También podemos definir intersecciones arbitrarias, no sólo de dos conjuntos.

Definición. Sea $A$ un conjunto no vacío, definimos a la intersección de $A$ como la colección:

$\set{x: \forall y\in A(x\in y)}$.

Ejemplo.

Sea $A=\set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$, tenemos que la intersección de $A$ es $\emptyset$. En efecto, esto pasa ya que no existe ningún elemento $x$ que pertenezca a todos los elementos de $A$.

$\square$

El hecho de que la unión arbitraria es conjunto es resultado del axioma de la unión. No hay un axioma de la intersección, por lo que demostraremos que la intersección de un conjunto $A$ es un conjunto, siempre que $A$ no sea vacío.

Proposición. Para todo $A\not=\emptyset$, la intersección de $A$ es un conjunto.

Demostración:

Sea $A$ conjunto no vacío, entonces $A$ tiene al menos un elemento. Sea $z\in A$, tenemos que $\set{x\in z: \forall y\in A(x\in y)}$ es conjunto por esquema de comprensión.

Resulta que $a\in \set{x\in z: \forall y\in A(x\in y)}$ si y sólo si $a\in y$ para todo $y\in A$. En efecto, si $a\in \set{x\in z: \forall y\in A(x\in y)}$, entonces $a\in z$ y $\forall y\in A$, $a\in y$. Entonces $a\in y$ para todo $y\in A$.

Ahora, si $a\in y$ para todo $y\in A$, en particular $a\in z$ pues $z\in A$. Por tanto, $a\in \set{x\in z: \forall y\in A(x\in y)}$.

$\square$

Si observamos, para realizar la demostración anterior usamos el hecho de que $A\not=\emptyset$, por lo que podríamos preguntarnos qué pasa si $A$ es vacío. Veremos esto con detalle en la siguiente entrada.

Ahora que hemos probado que la intersección de $A$ es un conjunto cuando $A$ es no vacío, le asignaremos una notación la cual estará dada por $\bigcap A$.

Propiedades de la intersección

Teorema. Para cualesquiera $A$, $B$ conjuntos, tenemos que:

  1. $A\cap B\subseteq A$,
  2. $A\cap A=A$,
  3. $A\cap B=B\cap A$.

Demostración.

  1. Sea $x\in A\cap B$. Veamos que $x\in A$.
    Como $x\in A\cap B$ tenemos por definición de intersección que $x\in A$ y $x\in B$. En particular, $x\in A$. Por lo tanto, $A\cap B\subseteq A$.
  2. Tomemos $x\in A\cap A$. Veamos que $x\in A$.
    Que $x\in A\cap A$ es equivalente a decir que $x\in A$ y $x\in A$, lo cual pasa si y sólo si $x\in A$. Por lo tanto, $A\cap A=A$.
  3. $A\cap B=B\cap A$ pues $x\in A\cap B$ arbitrario si y sólo si $x\in A$ y $x\in B$, si y sólo si $x\in B$ y $x\in A$, si y sólo si $x\in B\cap A$.

$\square$

Diferencia

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. La diferencia de $A$ con $B$ estará definida como sigue:

$A\setminus B=\set{x\in A: x\notin B}$.

Por esquema de comprensión $A\setminus B$ es conjunto.

La diferencia entre dos conjuntos nos permite obtener un conjunto cuyos elementos se encuentra en el primero pero no el segundo conjunto. En la imagen anterior podemos ver que la diferencia nos deja solamente al plátano y la naranja, pues el plátano y la naranja se encuentran en el primer conjunto, pero no en el segundo. La manzana y la pera no forma parte del conjunto final pues vive en ambos conjuntos. La fresa no es elemento de la diferencia pues ni siquiera es elemento del primer conjunto.

Ejemplos.

  1. Consideremos $A=\set{\emptyset}$ y $B=\set{\set{\emptyset}}$, tenemos que $A\setminus B=\set{\emptyset}$ pues el único elemento que cumple estar en $A$ y no pertenecer al conjunto $B$ es $\emptyset$.
  2. Sea $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $B=\set{\emptyset}$. Luego,
    $A\setminus B=\set{x\in A:x\notin B}=\set{x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}}: x\notin\set{\emptyset}}= \{\set{\emptyset}\}$.

Propiedades de la diferencia

Teorema. Para cualesquiera $A$, $B$ conjuntos, tenemos que:

  1. $A\setminus \emptyset= A$,
  2. $A\setminus A=\emptyset$,
  3. $A\setminus B=A\setminus (A \cap B)$.

Demostración.

  1. Sea $x\in A\setminus \emptyset$. Entonces $x\in A$ y $x\notin \emptyset$. En particular $x\in A$, por lo tanto $A\setminus \emptyset\subseteq A$.
    Luego, supongamos que $x\in A$. Como $x\notin \emptyset$ es verdadero para cualquier conjunto $x$, tenemos que $x\in A$ y $x\notin \emptyset$ es verdadero. Por lo tanto, $x\in A\setminus \emptyset$ y así $A\subseteq A\setminus \emptyset$.
    De lo anterior tenemos que $A=A\setminus \emptyset$.
  2. Supongamos que $A\setminus A\not=\emptyset$, es decir, existe al menos un elemento $x\in A\setminus A$. Entonces $x\in A$ y $x\notin A$, lo cual no puede ocurrir. Dado que la contradicción provino de suponer que $A\setminus A\not=\emptyset$, concluimos que $A\setminus A=\emptyset$.
  3. Veamos que $A\setminus B=A\setminus (A \cap B)$.
    $\subseteq$] Sea $x\in A\setminus B$, entonces $x\in A$ y $x\notin B$. Luego, como $x\notin B$ entonces $x\notin A$ o $x\notin B$ es verdadero. Lo que equivale a decir que $x\notin (A\cap B)$. Por lo tanto, $x\in A$ y $x\notin (A \cap B)$ y así, $A\setminus B\subseteq A\setminus(A\cap B)$.
    $\supseteq$] Sea $x\in A\setminus (A\cap B)$, entonces $x\in A$ y $x\notin (A\cap B)$. Lo que equivale a decir que $x\in A$ y ($x\notin A$ o $x\notin B$). Dado que $x\notin A$ no puede ocurrir pues $x\in A$, entonces $x\notin B$. Por lo tanto, $x\in A$ y $x\notin B$ y así, $A\setminus(A\cap B)\subseteq A\setminus B$.
    Por lo tanto, $A\setminus(A\cap B)= A\setminus B$.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te servirán para poner en práctica los conocimientos que has adquirido en este sección, en la siguiente lista podrás probar las siguientes propiedades de la unión, intersección y diferencia de conjuntos:

Prueba que para cualesquiera $A$, $B$ y $C$ conjuntos, $A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$.

$A\cap (B\cap C)= (A\cap B)\cap C$.

Prueba que para cualesquiera $A$, $B$ y $C$ conjuntos:
– $A\cup (B\cap C)= (A\cup B)\cap(A\cup C)$,
– $A\cap (B\cup C)= (A\cap B)\cup(A\cap C)$.

Si $A\subseteq C$ y $B\subseteq C$ entonces $A\cap B\subseteq C\cap D$.

Demuestra que $A\setminus B=A$ si y sólo si $A\cap B=\emptyset$.

Demuestra a partir de los axiomas que en efecto si $A$ es un conjunto no vacío, entonces $\cap A$ es conjunto.

Más adelante…

En la siguiente entrada retomaremos la definición de intersección de conjuntos y mencionaremos el axioma de buena fundación. Además abordaremos el tema de la colección de todos los conjuntos apoyados de este último axioma. Finalmente, veremos que la intersección del conjunto vacío resulta ser la colección de todos los conjuntos.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Axioma de conjunto potencia

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta nueva entrada recordaremos el concepto de contención y destacaremos su diferencia con el concepto de pertenencia. También abordaremos el axioma del conjunto potencia, a partir de este axioma podremos trabajar con los subconjuntos de un conjunto.

Definición de contención y algunas propiedades

Primero vamos a recordar la definición de contención.

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Diremos que $A$ está contenido en $B$, en símbolos $A\subseteq B$, si para todo $x\in A$ se tiene $x\in B$.

Proposición. Sean $A$, $B$ y $C$ conjuntos. Muestra que los siguientes resultados son verdaderos:

  1. $\emptyset\subseteq A$.
  2. $A\subseteq A$.
  3. Si $A\subseteq B$ y $B\subseteq C$, entonces $A\subseteq C$.

Demostración.

  1. Para demostrar que $\emptyset\subseteq A$, observemos que para cualquier $x\in \emptyset$, se cumple que $x\in A$. Esto es cierto por vacuidad, pues no existe $x$ en $\emptyset$ que no pertenezca a $A$.
  2. Dado que para cualquier conjunto $A$, tenemos que $A=A$, entonces se cumple que $x\in A$ si y sólo si $x\in A$. En particular, si $x\in A$ entonces $x\in A$, esto es $A\subseteq A$.
  3. Supongamos que $A\subseteq B$ y $B\subseteq C$. Veamos que $A\subseteq C$.
    Sea $x\in A$, entonces, como $A\subseteq B$, por la definición de contención, se sigue que $x\in B$.
    Luego, como $x\in B$ y $B\subseteq C$, entonces $x\in C$. Por lo tanto, $A\subseteq C$.

$\square$

Con estos resultados podremos decir que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto, hasta de él mismo, como lo verifica la segunda propiedad. Finalmente, con la propiedad tres diremos que la contención es transitiva.

Potencia de un conjunto

Axioma del conjunto potencia. Para cualquier conjunto $X$ existe un conjunto $S$ tal que $a\in S$ si y sólo si $a\subseteq X$.

Al igual que con los conjuntos que nos otorgan los axiomas anteriores, el conjunto $S$ del axioma de conjunto potencia es único. Para que practiques las ideas que hemos visto, esto quedará como ejercicio.

Definición. Sea $A$ un conjunto, al conjunto que obtenemos a partir del axioma del conjunto potencia le llamaremos el conjunto potencia de $A$ y lo denotaremos por $\mathcal{P}(A)$.

Ejemplos.

  1. Consideremos al conjunto $\emptyset$, existe $S=\set{\emptyset}$ tal que $\emptyset\in S$ pues $\emptyset\subseteq \emptyset$, además este conjunto no tiene más elementos debido a que el único subconjunto de $\emptyset$ es él mismo.
  2. Para el conjunto $\set{\emptyset}$ tenemos que $S=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$. En efecto, como $\emptyset\subseteq \set{\emptyset}$ y $\set{\emptyset}\subseteq\set{\emptyset}$ y son los únicos que lo satisfacen, entonces $S=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$.
  3. Ahora, para el conjunto $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ tenemos que $\emptyset\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, $\set{\emptyset}\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, $\set{\set{\emptyset}}\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ tenemos que $S= \set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$.

$\square$

Propiedades del conjunto potencia

Proposición. Sean $A$ y $B$ conjuntos, prueba que los siguientes resultados son ciertos:
a) Si $A\subseteq B$, entonces $\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(B)$,
b) $A\subseteq B$ implica que $\bigcup A\subseteq \bigcup B$,
c) $\bigcup\mathcal{P}(A)= A$,
d) $\mathcal{P} (A)\cup\mathcal{P}(B)\subseteq \mathcal{P}(A\cup B)$.

Demostración.
a) Supongamos que $A\subseteq B$. Sea $x\in \mathcal{P}(A)$, por definición de potencia tenemos que $x\subseteq A$. Luego, como $A\subseteq B$ se sigue así por transitividad de la contención tenemos que $x\subseteq B$.Por lo tanto, $x\in\mathcal{P}(B)$.
Por lo tanto, $\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(B)$.

b) Supongamos que $A\subseteq B$. Sea $x\in \bigcup A$, se sigue por definición de unión que existe $y\in A$ tal que $x\in y$. Por nuestra hipótesis, tenemos también que $y\in B$ y que $x\in y$ lo que equivale a decir que $x\in \bigcup B$. Por lo tanto, $\bigcup A\subseteq \bigcup B$.

c) $\subseteq$] Tomemos $x\in \bigcup \mathcal{P}(A)$ y mostremos que $x\in A$. Que $x\in \bigcup\mathcal{P}(A)$ implica que existe $y\in \mathcal{P}(A)$ tal que $x\in y$. Por definición de conjunto potencia tenemos que $y\subseteq A$. De este modo, $x\in y\subseteq A$, de donde, $x\in A$ lo que prueba que $\bigcup \mathcal{P}(A)\subseteq A$.

$\supseteq$] Dado que $A\subseteq A$ entonces $A\in \mathcal{P}(A)$ para cualquier conjunto $A$. Por la última proposición de la entrada anterior, tenemos que si $A\in \mathcal{P}(A)$, entonces $A\subseteq \bigcup \mathcal{P}(A)$.

Por lo anterior tenemos que $A=\bigcup \mathcal{P}(A)$.

d) Sea $x\in \mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)$. Se sigue que $x\in \mathcal{P}(A)$ o $x\in \mathcal{P}(B)$. Evaluemos los dos casos:
– Si $x\in\mathcal{P}(A)$ entonces $x\subseteq A$ y como $A\subseteq A\cup B$, por transitividad se sigue que $x\subseteq A\cup B$ y así, $x\in \mathcal{P}(A\cup B)$.
– El caso en el que $x\in\mathcal{P}(B)$ entonces $x\subseteq B$ y como $B\subseteq A\cup B$, entonces por transitividad $x\subseteq A\cup B$ y así, $x\in \mathcal{P}(A\cup B)$.
Concluimos que $\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)\subseteq \mathcal{P}(A\cup B)$.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a distinguir la diferencia entre pertenencia y contención. Así mismo comenzarás a plantear algunos contraejemplos para probar la falsedad de algunos enunciados sobre el conjunto potencia:

  • Demuestra que los únicos subconjuntos de $\set{\emptyset}$ son $\emptyset$ y $\set{\emptyset}$.
  • Di si el siguiente enunciado es verdadero o falso: Si $A\in B$ y $B\in C$, entonces $A\in C$. (Argumenta tu respuesta).
  • Calcula $\mathcal{P}(\set{\emptyset,\set{\emptyset},\set{\emptyset,\set{\emptyset}}})$.
  • Argumenta por qué para cualquier conjunto $A$, se tiene que $\mathcal{P}(A)\not=\emptyset$.
  • Da un contraejemplo para ver que $\mathcal{P}(\bigcup A)= A$ es falso.
  • Demuestra que $\mathcal{P}(\emptyset)=\set{\emptyset}$.
  • Demuestra que el conjunto potencia garantizado por el axioma del conjunto potencia es único.

Más adelante…

En la siguiente entrada haremos uso de los conceptos que hemos visto hasta ahora, demostraremos algunos resultados sobre unión y definiremos nuevas operaciones entre conjuntos las cuales serán unión, intersección y diferencia. Estas operaciones nos otorgarán más resultados y estudiaremos algunas de sus propiedades.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Axioma del par y axioma de unión

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta nueva entrada abordaremos algunos axiomas de construcción: el axioma de unión y el axioma del par. Estos, junto al esquema de comprensión nos permitirán construir un montón de conjuntos nuevos. A partir de esta entrada, utilizaremos con mayor frecuencia el conjunto vacío, hasta ahora, el único conjunto que conocemos.

Axioma del par

El primer axioma que nos permitirá construir nuevos conjuntos es el axioma del par.

Axioma del par. Sean $a$ y $b$ conjuntos arbitrarios, existe $c$ un conjunto cuyos únicos elementos son $a$ y $b$.

El axioma del par nos permite construir pares no ordenados. Dados los conjuntos $a$ y $b$ resulta que $\set{a,b}=\set{b,a}$. En el caso de que $a=b$, tenemos que $c=\set{a,a}=\set{a}$, a este último conjunto le llamaremos conjunto unitario de $a$.

Ejemplo.

Consideremos al conjunto vacío. Por el axioma del par, tenemos que $\set{\emptyset}$ es conjunto. Luego, como $\set{\emptyset}$ es conjunto si volvemos a aplicar el axioma del par tendremos que $\set{\set{\emptyset}}$ es conjunto. Si aplicamos iteradamente el axioma del par tendremos que $\set{\dots \set{\emptyset}\dots}$ es conjunto.

$\square$

Si observas con cuidado hemos construido muchos conjuntos que constan de un solo elemento. Por lo que podemos preguntarnos si el axioma del par nos permite construir nuevos conjuintos o todos los que hemos obtenido son el mismo. La respuesta es que no. La proposición que sigue nos ayudará a probar que $\emptyset$ es distinto de $\set{\emptyset}$.

Proposición. $\emptyset\not= \set{\emptyset}$.

Demostración.

Recordemos que para probar que $A\not=B$, queremos probar que $A\not\subseteq B$ o $B\not\subseteq A$.

Para mostrar que $\set{\emptyset}\not\subseteq\emptyset$ tenemos que exhibir un conjunto $x\in\set{\emptyset}$ tal que $x\notin\emptyset$. Tenemos que $\set{\emptyset}$ es un conjunto que tiene como único elemento al conjunto $\emptyset$, es decir, $\emptyset\in\set{\emptyset}$. Luego, como $\emptyset\notin\emptyset$, se sigue que $\set{\emptyset}\not\subseteq\emptyset$.

$\square$

En la tarea moral será tu turno de probar que $\set{\emptyset}\not=\set{\set{\emptyset}}$, $\set{\set{\emptyset}}\not=\set{\set{\set{\emptyset}}}$,…

Es importante poder ir simplificando nuestra notación. Como ya tenemos dos conjuntos que son distintos, les pondremos un nombre especial.

Definición. Llamaremos $0$ a $\emptyset$ y $1$ a $\{\emptyset\}$.

Aquí estamos usando los símbolos $0$ y $1$, que seguramente conoces mejor como números que como conjuntos. En los ejercicios de esta entrada definiremos también quiénes son $2$, $3$ y $4$. Pero, ¡no te apresures! Todavía no podemos definir a todos todos los naturales como conjuntos. Esto lo formalizaremos hasta la tercera unidad.

Por ahora podemos preguntarnos de que manera podemos definir al $3$ y $4$ pues el axioma del par solo nos permite construir conjuntos de a lo más dos elementos, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Consideremos $\emptyset$ y $\set{\emptyset}$ conjuntos. Por axioma del par tenemos que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ es conjunto.

Ahora, podemos considerar a los conjuntos $\set{\emptyset}$ y $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, tenemos que $\set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ es conjunto.

Luego, $\set{\set{\emptyset, \set{\emptyset}}, \set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}}$ también lo es.

De manera que, podemos construir conjuntos más y más complejos con el axioma del par pero siempre tendran por mucho dos conjuntos como elementos.

$\square$

Axioma de la unión

Axioma de la unión. Para cualquier conjunto $A$, existe un conjunto $U$ tal que $x\in U$ si y sólo si existe $y\in A$ tal que $x\in y$.

Ejemplo.

Consideremos los conjuntos $\emptyset$ y $\set{\emptyset}$, luego por axioma del par tenemos que $A=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ es conjunto. Veamos quién es $U$ para el conjunto $A$. Resulta que en este caso, $U=\set{\emptyset}$.

En efecto: si $x\in U$ entonces $x\in y$ para algún $y\in A$. Luego, los únicos elementos de $A$ son $\emptyset$ y $\set{\emptyset}$. Así, $x\in\emptyset$ o $x\in\set{\emptyset}$.

Si $x\in\emptyset$ entonces $x\in\set{\emptyset}$ por vacuidad. La otra posibilidad es que $x\in\set{\emptyset}$. En ambos casos, $x\in\set{\emptyset}$ y, por tanto, $U\subseteq\set{\emptyset}$.

Luego, si $x\in\set{\emptyset}\in A$ se sigue por definición de $U$ que $x\in U$. Así, $\set{\emptyset}\subseteq U$. De esta manera podemos concluir que $U=\set{\emptyset}$.

$\square$

Si ponemos atención al ejemplo anterior, va a resultar que los elementos del conjunto $U$ son los elementos de los elementos de $A$. $A$ tiene como elementos a $\emptyset$ y $\set{\emptyset}$, el conjunto vacío no tiene elementos por lo que el único elemento de $U$ es el elemento de $\set{\emptyset}$ que es $\emptyset$.

El axioma de la unión nos va a permitir construir conjuntos con más de dos elementos. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Consideremos a los conjuntos $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $\set{\set{\set{\emptyset}}}$. Por axioma del par, $A= \set{\set{\emptyset, \set{\emptyset}}, \set{\set{\set{\emptyset}}}}$ es conjunto. Luego, $U$ para el conjunto $A$ es $U=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$. Veamos que se dan ambas contenciones.

$\subseteq$] Sea $x\in U$, entonces existe $y\in A$ tal que $x\in y$. En este caso, los únicos elementos de $A$ son $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $\set{\set{\set{\emptyset}}}$, por lo que $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ o $x\in \set{\set{\set{\emptyset}}}$.

  • Si $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, entonces $x=\emptyset$ o $x=\set{\emptyset}$. En el caso de que $x=\emptyset$, se sigue que $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$ y en caso de que $x=\set{\emptyset}$ ocurre también que $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$.
  • Si $x\in \set{\set{\set{\emptyset}}}$, entonces $x=\set{\set{\emptyset}}$ y $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$.

Así, $U\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$.

$\supseteq$] Sea $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$. Entonces $x=\emptyset$ o $x=\set{\emptyset}$ o $x=\set{\set{\emptyset}}$.

  • Si $x=\emptyset$, entonces $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y, dado que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\in A$, se sigue por definición de $U$ que $x\in U$.
  • Si $x=\set{\emptyset}$, entonces $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y nuevamente $x\in U$ por definición, ya que $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}\in A$.
  • Si $x=\set{\set{\emptyset}}$, entonces $x\in \set{\set{\set{\emptyset}}}$ y como $\set{\set{\set{\emptyset}}}\in A$, $x\in U$.

Por lo tanto, $\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}\subseteq U$.

$\square$

Definición. Sea $A$ un conjunto, el conjunto que nos otorga el axioma de la unión es único debido al axioma de extensión. Le llamaremos unión de $A$ y lo denotaremos como $\bigcup A$.

La definición de unión se puede particularizar a cuando queremos unir solamente dos conjuntos. Esto lo ponemos en una definición especial pues se usa muy frecuentemente.

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Definimos al conjunto $A\cup B=\bigcup\set{A,B}$.

En la siguiente observación mostramos que $A\cup B$ se puede describir por medio de la colección $\set{x:x\in A\vee x\in B}$.

Observación. $x\in A\cup B$ si y sólo si $x\in A$ o $x\in B$.

Demostración.

Sea $x\in A\cup B$. Entonces, $x\in z$ para algún $z\in\set{A,B}$. Si $z=A$, entonces $x\in A$ y, si $z=B$, entonces, $x\in B$. Si ahora suponemos que $x\in A$ o $x\in B$, $x\in z$ para algún $z\in\set{A,B}$, por lo que $x\in A\cup B$.

$\square$

Ejemplo.

Consideremos ahora a los conjuntos $A= \set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$ y $B= \set{\set{\set{\emptyset}}}$ construidos con el axioma de par. Tenemos que $A\cup B= \bigcup \set{\set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}, \set{\set{\set{\emptyset}}}}= \set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$.

$\square$

A continuación vamos a demostrar que los elementos de un conjunto $S$ se quedan contenidos en la unión de $S$.

Proposición. Sea $A$ un conjunto tal que $A\in S$, entonces $A\subseteq \bigcup S$.

Demostración.
Supongamos que $A\in S$ y sea $x\in A$, tenemos que $x\in \bigcup S$. En efecto, para $x\in A$ arbitrario existe $y\in S$ tal que $x\in y$, a saber $y=A$. Por lo tanto, $A\subseteq S$.

$\square$

Ejemplo.

Consideremos al conjunto $S=\set{\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$. Resulta que $\bigcup S=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$.

Los elementos de $S$ son $\emptyset$ y $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ en este ejemplo se cumple que $\emptyset\subseteq \bigcup S$ y $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\subseteq\bigcup S$.

$\square$

Tarea moral

  • Demuestra que $\set{\emptyset}\not=\set{\set{\emptyset}}$, $\set{\set{\emptyset}}\not=\set{\set{\set{\emptyset}}}$,…
  • Sean $A$ y $B$ conjuntos, prueba que $A=B$ si y sólo si $\set{A}=\set{B}$.
  • Prueba que $\set{\set{\emptyset, \set{\emptyset}}, \set{\set{\emptyset}}}$ es conjunto.
  • Calcula $\bigcup\set{\set{\emptyset, \set{\emptyset}}, \set{\set{\emptyset}}}$.
  • Definimos $2=1\cup \{1\}$, $3=2\cup \{2\}$ y $4=3\cup \{3\}$.
    • Justifica mediante los axiomas que $2,3,4$ en efecto son conjuntos.
    • Verifica que $4=\{0,1,2,3\}$.
    • Muestra que $0,1,2,3,4$ son todos ellos conjuntos diferentes entre sí.

Más adelante…

En la siguiente entrada continuaremos con el axioma del conjunto potencia, el cual nos permitira hablar acerca de los subconjuntos de un conjunto. Con este axioma y los que hemos visto en las entradas anteriores tendremos las herramientas suficientes para abordar el álgebra de conjuntos y probar algunas contenciones importantes entre conjuntos.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Axiomas de existencia, de comprensión y de extensión

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

«Se entiende por un conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente».

Georg Cantor

Para iniciar tu aventura por la teoría de los conjuntos es importante plantear un sistema axiomático pues en este curso entenderemos por conjunto todo aquello que los axiomas nos permitan obtener como conjunto. Una particularidad de nuestros axiomas es que los elementos de conjuntos siempre serán otros conjuntos y es que de hecho en este curso todo es conjunto.

Axioma de existencia

Para siquiera hablar de conjuntos, es importante garantizar que hay por lo menos un conjunto. El axioma de existencia nos garantiza eso.

Axioma de existencia. Existe un conjunto que no tiene elementos.

Hay diversas formas para describir a un conjunto que no tiene elementos. Una de las propiedades que podemos utilizar es la siguiente:

«$P(x): x\ \text{es un conjunto distinto de sí mismo}$».

Si lo piensas, no existe nadie que cumpla esta propiedad pues cualquier conjunto que demos siempre será igual a sí mismo. Una forma de imaginarnos a este conjunto es pensar en una bolsa que no tenga nada adentro, como se muestra en la siguiente imagen.

Ten cuidado, pues esta manera de pensar a un conjunto sin elementos es informal. Sin embargo, en los ejercicios al final, verás cómo formalizarla.

La siguiente noción importante que nos dan los axiomas es la de igualdad de conjuntos.

Axioma de extensión. $X=Y$ si para cualquier conjunto $x$, $x\in X$ si y sólo si $x\in Y$.

Este axioma nos permite decir cuándo dos conjuntos $X$ e $Y$ son iguales. Esto ocurre cuando todos los conjuntos que son elementos de $X$ también lo son de $Y$ y viceversa.

Definición. Sean $X$ y $Y$ conjuntos. Diremos que $X$ está contenido en $Y$, en símbolos $X\subseteq Y$, si para todo $x\in X$ se tiene $x\in Y$.

Para demostrar la igualdad entre conjuntos, tenemos que probar que $X\subseteq Y$ y $Y\subseteq X$ de acuerdo al axioma de extensión.

Con este axioma y la definición de contención, podemos probar que el conjunto que nos otorga el axioma de existencia es único. Podríamos pensar, a partir de nuestra imagen anterior, que si tenemos dos bolsas de un color distinto que no tengan nada adentro, resultarían en dos conjuntos distintos. Sin embargo, dado que solo nos interesa quienés son los elementos de estas bolsas, si ambas no tienen nada adentro resultará que son iguales.

Antes de realizar la demostración de que el conjunto que nos da el axioma de existencia es único, acordaremos que, para demostrar la igualdad entre conjuntos $x$ y $y$, es necesario demostrar que $x\subseteq y$ y $y\subseteq x$, por lo que para referirnos a que se esta demostrando la primera contención pondremos «$\subseteq$]» al inicio de la prueba y para probar la segunda contención pondremos «$\supseteq$]» al inicio de la prueba.

Previo a realizar la demostración haremos una pausa para hablar acerca del argumento por vacuidad. En la entrada anterior hicimos mención de que las propiedades en el lenguaje de la teoría de los conjuntos nos permitirian describir propiedades que pueden o no satisfacer conjuntos dados.

De esta manera, si consideramos a $z$ como un conjunto sin elementos, la propiedad $\forall x(x\in z\rightarrow \varphi(x))$ es verdadera siempre, pues no hay conjunto $x$ que cumpla la propiedad ya que $z$ no tiene elementos.

Proposición. Existe un único conjunto sin elementos.

Demostración. Sean $A$ y $B$ conjuntos que no tienen elementos, veamos que $A=B$.

$\subseteq$] Por vacuidad, si $x\in A$, entonces $x\in B$, pues no hay nadie en $A$.

$\supseteq$] Por vacuidad, si $x\in B$, entonces $x\in A$, pues no hay nadie en $B$.

Por lo tanto, $A=B$.

$\square$

Definición. Al único conjunto que no tiene elementos le llamaremos conjunto vacío y será denotado por $\emptyset$.

Presentamos el último ingrediente axiomático de esta entrada. En vez de llamarse «axioma» se llama «esquema» pues condensa muchos axiomas, uno por cada propiedad $P$ y cada conjunto $A$.

Esquema de comprensión. Sea $P(x)$ una propiedad. Para cualquier conjunto $A$ existe un conjunto $B$ tal que $x\in B$ si y sólo si $x\in A$ y satisface $P(x)$.

Este esquema nos permite construir conjuntos con elementos de otro conjunto que satisfacen una propiedad. Esto último evitará tener contradicciones como la paradoja del barbero que veremos en la siguiente entrada.

Tarea moral

  1. Da 2 propiedades diferentes tal que para cualquier conjunto que des, no exista un conjunto que las cumpla y nos den otra forma de escribir al conjunto vacío.
  2. ¿Es verdadero o falso $\emptyset\in \emptyset$? Argumenta tu respuesta.
  3. Prueba que si $P(x)$ es una propiedad, para todo conjunto $A$ existe un único conjunto $B$ tal que $x\in B$ si y sólo si $x\in A$ y $P(x)$. (Esto prueba que el conjunto que nos otorga el esquema de comprensión es único).
  4. Imagina que cambiamos el axioma de existencia por «Existe por lo menos un conjunto $X$.» Mediante este nuevo axioma y el esquema de comprensión, demuestra la existencia del conjunto vacío. Como sugerencia usa la discusión intuitiva que dimos del vacío.

Más adelante…

En esta entrada hablamos de axiomas básicos y de construcción, los cuales nos permitirán hablar de nuevos conjuntos, así mismo, con ellos probaremos teoremas importantes de la teoría de los conjuntos. En la siguiente sección, abordaremos una de las famosas paradojas que tiene las matemáticas en esta área, la cual es conocida como la paradoja del barbero o la paradoja de Russell.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Lenguaje de la Teoría de los Conjuntos

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

Antes de comenzar con nuestro curso de Teoría de los Conjuntos I, dedicaremos esta entrada para hablar acerca de lógica de primer orden. Esto lo haremos únicamente con el fin de que veas como se van construyendo las fórmulas del lenguaje de la Teoría de los Conjuntos. Dichas fórmulas las utilizaremos en distintos momentos a lo largo de este curso.

Necesariamente, esta entrada será breve, pues todas las precisiones de lógica se ven en un curso de esta materia, y todas las precisiones de teoría de conjuntos es parte de lo que esperamos entender en este curso.

Lenguaje de la Teoría de los Conjuntos 1

Definición. El lenguaje de la teoría de los conjuntos consiste en:

Simbolos lógicos:

  1. Variables $x, y, z$
  2. Conectivos lógicos $\neg$, $\land$, $\vee$, $\rightarrow$, $\leftrightarrow$
  3. Cuantificadores $\forall$, $\exists$
  4. Parentesis (,)

Simbolos no lógicos:

  1. Símbolos de predicado $\in$ y $=$.

Es importante decir que todas las variables de nuestro lenguaje representarán conjuntos y los símbolos de predicado representarán relaciones entre estos conjuntos.

Las fórmulas atómicas son de la forma: $x\in y$ y $x=y$.

A partir de aquí, podemos formar más fórmulas, ya que si $\phi$ y $\varphi$ son fórmulas, entonces $\neg \phi$, $\phi \land \varphi$, $\phi \vee \varphi$, $\phi \rightarrow \varphi$, $\phi \leftrightarrow \varphi$ tambien lo son.

Ejemplo.

$\neg (x=y)$, $(x\in y)\land (x=y)$, $(x\in y)\vee (x\in z)$, $(x\in z)\rightarrow (x=z)$, $(x\in z)\leftrightarrow (y\in w)$ son fórmulas de la teoría de conjuntos.

$\square$

Si $\varphi$ es una fórmula de la teoría de los conjuntos, entonces $\exists x \varphi$ y $\forall x \varphi$ también lo son.

Ejemplo.

  • Dado que $(x\in y)\vee (x\in z)$ es una fórmula de la teoría de los conjuntos. Entonces, $\forall x((x\in y) \vee (x\in z))$ también lo es.
  • $\forall x((x\in y) \rightarrow \neg(x\in z))$ es fórmula de la teoría de conjuntos.
  • $\exists x(x\in y)$ es fórmula de la teoría de conjuntos.

$\square$

Las fórmulas del lenguaje de la teoría de los conjuntos nos permiten:

  1. Describir propiedades que pueden o no satisfacer conjuntos dados de antemano.
  2. Expresar relaciones entre dos o más conjuntos.

A partir de ahora, a aquellas fórmulas que describen una característica particular de un conjunto $x$ les llamaremos propiedades y las denotaremos con $P(x)$, $Q(x)$, $P_1(x)$, $P_2(x)$, etcétera.

Dado que las fórmulas que podemos ir construyendo con el lenguaje de la teoría de los conjuntos se vuelven muy complejas, vamos a abreviarlas para facilitar su escritura.

Abreviaturas.

  • $\neg(x\in y)$ lo escribiremos como $x\notin y$.
  • $\neg(x=y)$ lo escribiremos como $x\not= y$.
  • $\forall x((x\in y)\rightarrow (x\in z))$ lo escribiremos como $y\subseteq z$.
  • Si $\varphi$ es una fórmula dada, $\forall x(x\in y\rightarrow \varphi)$ y $\exists x(x\in y\land \varphi)$ las escribiremos como $\forall x\in y \varphi$ y $\exists x\in y \varphi$, respectivamente.

Tarea moral

Construye 10 fórmulas del lenguaje de la teoría de los conjuntos. Utiliza cuantificadores y conectivos lógicos.

Más adelante…

En la siguiente entrada daremos inicio al curso de Teoría de los Conjuntos I. Comenzaremos hablando de los primeros axiomas de Zermelo-Fraenkel, estos axiomas son los de existencia, de comprensión y de extensión. El primero de ellos nos permitirá siquiera asegurar la existencia de un conjunto.

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Los siguientes enlaces te servirán para revisar con mejor detalle el tema:

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

  1. Puede consultar más información sobre esto en Fernández de Castro M., Villegas Silva L. (2011). Lógica Matemática II: Clásica, Intuicionista y Modal (1.ª ed.) Universidad Autónoma Metropolitana. p. 151-152. ↩︎