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Teoría de los Conjuntos I: Axioma de conjunto potencia

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta nueva entrada recordaremos el concepto de contención y destacaremos su diferencia con el concepto de pertenencia. También abordaremos el axioma del conjunto potencia, a partir de este axioma podremos trabajar con los subconjuntos de un conjunto.

Definición de contención y algunas propiedades

Primero vamos a recordar la definición de contención.

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Diremos que $A$ está contenido en $B$, en símbolos $A\subseteq B$, si para todo $x\in A$ se tiene $x\in B$.

Proposición. Sean $A$, $B$ y $C$ conjuntos. Muestra que los siguientes resultados son verdaderos:

  1. $\emptyset\subseteq A$.
  2. $A\subseteq A$.
  3. Si $A\subseteq B$ y $B\subseteq C$, entonces $A\subseteq C$.

Demostración.

  1. Para demostrar que $\emptyset\subseteq A$, observemos que para cualquier $x\in \emptyset$, se cumple que $x\in A$. Esto es cierto por vacuidad, pues no existe $x$ en $\emptyset$ que no pertenezca a $A$.
  2. Dado que para cualquier conjunto $A$, tenemos que $A=A$, entonces se cumple que $x\in A$ si y sólo si $x\in A$. En particular, si $x\in A$ entonces $x\in A$, esto es $A\subseteq A$.
  3. Supongamos que $A\subseteq B$ y $B\subseteq C$. Veamos que $A\subseteq C$.
    Sea $x\in A$, entonces, como $A\subseteq B$, por la definición de contención, se sigue que $x\in B$.
    Luego, como $x\in B$ y $B\subseteq C$, entonces $x\in C$. Por lo tanto, $A\subseteq C$.

$\square$

Con estos resultados podremos decir que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto, hasta de él mismo, como lo verifica la segunda propiedad. Finalmente, con la propiedad tres diremos que la contención es transitiva.

Potencia de un conjunto

Axioma del conjunto potencia. Para cualquier conjunto $X$ existe un conjunto $S$ tal que $a\in S$ si y sólo si $a\subseteq X$.

Al igual que con los conjuntos que nos otorgan los axiomas anteriores, el conjunto $S$ del axioma de conjunto potencia es único. Para que practiques las ideas que hemos visto, esto quedará como ejercicio.

Definición. Sea $A$ un conjunto, al conjunto que obtenemos a partir del axioma del conjunto potencia le llamaremos el conjunto potencia de $A$ y lo denotaremos por $\mathcal{P}(A)$.

Ejemplos.

  1. Consideremos al conjunto $\emptyset$, existe $S=\set{\emptyset}$ tal que $\emptyset\in S$ pues $\emptyset\subseteq \emptyset$, además este conjunto no tiene más elementos debido a que el único subconjunto de $\emptyset$ es él mismo.
  2. Para el conjunto $\set{\emptyset}$ tenemos que $S=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$. En efecto, como $\emptyset\subseteq \set{\emptyset}$ y $\set{\emptyset}\subseteq\set{\emptyset}$ y son los únicos que lo satisfacen, entonces $S=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$.
  3. Ahora, para el conjunto $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ tenemos que $\emptyset\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, $\set{\emptyset}\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, $\set{\set{\emptyset}}\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ tenemos que $S= \set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$.

$\square$

Propiedades del conjunto potencia

Proposición. Sean $A$ y $B$ conjuntos, prueba que los siguientes resultados son ciertos:
a) Si $A\subseteq B$, entonces $\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(B)$,
b) $A\subseteq B$ implica que $\bigcup A\subseteq \bigcup B$,
c) $\bigcup\mathcal{P}(A)= A$,
d) $\mathcal{P} (A)\cup\mathcal{P}(B)\subseteq \mathcal{P}(A\cup B)$.

Demostración.
a) Supongamos que $A\subseteq B$. Sea $x\in \mathcal{P}(A)$, por definición de potencia tenemos que $x\subseteq A$. Luego, como $A\subseteq B$ se sigue así por transitividad de la contención tenemos que $x\subseteq B$.Por lo tanto, $x\in\mathcal{P}(B)$.
Por lo tanto, $\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(B)$.

b) Supongamos que $A\subseteq B$. Sea $x\in \bigcup A$, se sigue por definición de unión que existe $y\in A$ tal que $x\in y$. Por nuestra hipótesis, tenemos también que $y\in B$ y que $x\in y$ lo que equivale a decir que $x\in \bigcup B$. Por lo tanto, $\bigcup A\subseteq \bigcup B$.

c) $\subseteq$] Tomemos $x\in \bigcup \mathcal{P}(A)$ y mostremos que $x\in A$. Que $x\in \bigcup\mathcal{P}(A)$ implica que existe $y\in \mathcal{P}(A)$ tal que $x\in y$. Por definición de conjunto potencia tenemos que $y\subseteq A$. De este modo, $x\in y\subseteq A$, de donde, $x\in A$ lo que prueba que $\bigcup \mathcal{P}(A)\subseteq A$.

$\supseteq$] Dado que $A\subseteq A$ entonces $A\in \mathcal{P}(A)$ para cualquier conjunto $A$. Por la última proposición de la entrada anterior, tenemos que si $A\in \mathcal{P}(A)$, entonces $A\subseteq \bigcup \mathcal{P}(A)$.

Por lo anterior tenemos que $A=\bigcup \mathcal{P}(A)$.

d) Sea $x\in \mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)$. Se sigue que $x\in \mathcal{P}(A)$ o $x\in \mathcal{P}(B)$. Evaluemos los dos casos:
– Si $x\in\mathcal{P}(A)$ entonces $x\subseteq A$ y como $A\subseteq A\cup B$, por transitividad se sigue que $x\subseteq A\cup B$ y así, $x\in \mathcal{P}(A\cup B)$.
– El caso en el que $x\in\mathcal{P}(B)$ entonces $x\subseteq B$ y como $B\subseteq A\cup B$, entonces por transitividad $x\subseteq A\cup B$ y así, $x\in \mathcal{P}(A\cup B)$.
Concluimos que $\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)\subseteq \mathcal{P}(A\cup B)$.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a distinguir la diferencia entre pertenencia y contención. Así mismo comenzarás a plantear algunos contraejemplos para probar la falsedad de algunos enunciados sobre el conjunto potencia:

  • Demuestra que los únicos subconjuntos de $\set{\emptyset}$ son $\emptyset$ y $\set{\emptyset}$.
  • Di si el siguiente enunciado es verdadero o falso: Si $A\in B$ y $B\in C$, entonces $A\in C$. (Argumenta tu respuesta).
  • Calcula $\mathcal{P}(\set{\emptyset,\set{\emptyset},\set{\emptyset,\set{\emptyset}}})$.
  • Argumenta por qué para cualquier conjunto $A$, se tiene que $\mathcal{P}(A)\not=\emptyset$.
  • Da un contraejemplo para ver que $\mathcal{P}(\bigcup A)= A$ es falso.
  • Demuestra que $\mathcal{P}(\emptyset)=\set{\emptyset}$.
  • Demuestra que el conjunto potencia garantizado por el axioma del conjunto potencia es único.

Más adelante…

En la siguiente entrada haremos uso de los conceptos que hemos visto hasta ahora, demostraremos algunos resultados sobre unión y definiremos nuevas operaciones entre conjuntos las cuales serán unión, intersección y diferencia. Estas operaciones nos otorgarán más resultados y estudiaremos algunas de sus propiedades.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»