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Teoría de los Conjuntos I: El axioma de buena fundación

Por Gabriela Hernández Aguilar

Introducción

En esta entrada hablaremos acerca del axioma de buena fundación. Este axioma nos permitirá decir cuando un conjunto esta bien fundado, es decir, bien construido. Además daremos otro argumento para probar que el conjunto de todos los conjuntos no existe.

Sobre el axioma

Axioma de buena fundación: Para cualquier conjunto $X$ no vacío, existe $u\in X$ tal que $u\cap X=\emptyset$.

Ejemplos:

  • Sea $A=\set{\emptyset}$, el único elemento que tiene $A$ es $\emptyset$ y en efecto, $A\cap \emptyset=\emptyset$. Esto último ocurre pues no existe ningún conjunto $x$ tal que $x\in \set{\emptyset}$ y $x\in \emptyset$.
  • Consideremos al conjunto $B=\set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}$. Veamos que existe $u\in B$ tal que $u\cap B=\emptyset$. Dado que $B$ es un conjunto pequeño podemos explorar que ocurre con cada uno de sus elementos:
    – Para $\emptyset\in B$ tenemos que $\emptyset\cap \set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}=\emptyset$.
    – Ahora, para $\set{\emptyset}\in B$ ocurre que $\set{\emptyset}\cap \set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}=\set{\emptyset}\not=\emptyset$. Por lo tanto, $\set{\emptyset}$ no es el conjunto que nos funciona.
    – Si consideramos $\set{\set{\emptyset}}\in B$ ocurre que $\set{\set{\emptyset}}\cap \set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}=\set{\set{\emptyset}}\not=\emptyset$. Por lo tanto, $\set{\set{\emptyset}}$ tampoco funciona.
    Por lo tanto, existe $u=\emptyset\in B$ tal que $u$ y $B$ no tienen elementos en común.
  • Si $C=\set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}}$. Haciendo un análisis de los elementos del conjunto $C$ tenemos lo siguiente:
    – Para $\set{\emptyset}\in C$ tenemos que $\set{\emptyset}\cap \set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}}=\emptyset$ pues $\emptyset\in\set{\emptyset}$ pero $\emptyset\notin \set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}}$.
    – Ahora, para $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}\in C$ ocurre que $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}\cap \set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}}= \set{\set{\emptyset}}\not=\emptyset$. Por lo tanto, $\set{\emptyset}$ no es el conjunto que nos funciona.
    Por lo tanto, existe $u=\emptyset\in C$ tal que $u$ y $C$ no tienen elementos en común.

$\square$

Conjuntos que no existen

El axioma de buena fundación juega un papel importante para decir que conjuntos no pueden existir. Veamos los siguientes resultados:

Teorema: Para cualquier conjunto $x\not=\emptyset$, no es cierto que $x\in x$. Es decir, ningún conjunto se puede pertenecer a si mismo.

Demostración:
Supongamos que si existe un conjunto $x\not=\emptyset$ tal que $x\in x$. Luego, $\set{x}$ es un conjunto por el axioma de par y es tal que $x\in \set{x}$.
De lo anterior tenemos que $x\cap \set{x}=x$ lo cuál contradice al axioma de buena fundación. Dado que la contradicción vino de suponer que existe $x\not=\emptyset$ tal que $x\in x$ va a resultar que no existe un conjunto que haga tal cosa.

$\square$

Teorema: Sean $a$ y $b$ conjuntos no vacíos. No existen ciclos de la forma $a\in b\in a$.

Demostración:
Supongamos que si existen ciclos de $a\in b\in c$. Luego, por el axioma de par podemos considerar al conjunto $\set{a,b}$. Dado que $\set{a,b}$ es un conjunto pequeño podemos analizar que pasa con cada uno de sus elementos:
– Para $a\in\set{a,b}$ tenemos que $a\cap\set{a,b}\not=\emptyset$ pues $b\in a$ y $b\in \set{a,b}$,
– Si tomamos a $b\in\set{a,b}$ tenemos que $b\cap\set{a,b}\not=\emptyset$ pues $a\in b$ y $a\in \set{a,b}$.

Sin embargo, en todas las posibilidades obtenemos una contradicción al axioma de fundación. Así, no existen ciclos de la forma $a\in b\in a$.

$\square$

El conjunto de todos los conjuntos

Antes probamos que la colección que tiene como elementos a todos los conjuntos no es un conjunto con ayuda de la paradoja de Russell. En esta sección también probaremos que no es un conjunto pero esta vez apoyados del axioma de buena fundación.

Proposición: Para cualquier conjunto $x$, $\mathcal{P}(x)\not\subseteq x$.

Demostración:

Supongamos que $\mathcal{P}(x)\subseteq x$, entonces para cualquier $y\in \mathcal{P}(x)$, $y\in x$. Dado que $x\subseteq x$, entonces $x\in \mathcal{P}(x)$. Así, $x\in x$ y por lo tanto, $x\cap \mathcal{P}(x)\not=\emptyset$. Esto último contradice al axioma de buena fundación. Por lo tanto, para cualquier conjunto $x$, $\mathcal{P}(x)\not\subseteq x$.

$\square$

Teorema: Demuestra que el conjunto de todos los conjuntos no existe.

Demostración:

Supongamos que si existe. Sea $V$ el conjunto de todos los conjuntos. Por axioma de conjunto potencia tenemos que $\mathcal{P}(V)$ es un conjunto y es tal que $\mathcal{P}(V)\not\subseteq V$. Así, existe $x\in \mathcal{P}(V)$ tal que $x\notin V$ lo que comtradice que $V$ tiene a todos los conjuntos.

Por lo tanto, el conjunto de todos los conjuntos no existe.

$\square$

La intersección del conjunto vacío

Así como existen diversas formas de escribir al conjunto vacío, también hay varias formas de escribir a la colección de todos los conjuntos. Resulta que si queremos intersecar al conjunto vacío no obtenemos al vacío, sino que obtenemos dicha colección, al conjunto universo.

$\bigcap \emptyset$ no es un conjunto.

Demostración: Supongamos que $\bigcap\emptyset$ si es un conjunto. Sea $x\in \bigcap\emptyset$, entonces para cualquier $y$ tal que $y\in \emptyset$ implica que $x\in y$. Sin embargo, $y\in \emptyset$ es falso para cualquier conjunto $y$ y por lo tanto, para cualquier $y$ tal que $y\in \emptyset$ implica que $x\in y$ es verdadero. (Ver tabla de verdad del conectivo implicación: Teoría de los Conjuntos I: Repaso sobre lenguaje de la Teoría de los Conjuntos)

Esto significa que cualquier conjunto que demos va a pertenecer a $\bigcap \emptyset$, es decir, este conjunto tiene como elementos a todos los conjuntos. Es decir, $\bigcap \emptyset= V$, y por tanto no es un conjunto.

$\square$

Tarea moral

  • Prueba que para $A_1, A_2,\cdots A_n$ conjuntos, el ciclo $A_0\in A_1\in A_2\in\cdots\in A_n\in A_0$ no existe.
  • Sea $A=\set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}}$. Exhibe $u\in A$ tal que $u\cap A=\emptyset$.
  • Sea $B=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}}$. Exhibe $u\in B$ tal que $u\cap B=\emptyset$.
  • Da una propiedad que describa al conjunto de todos los conjuntos.
  • Prueba que para cualquier conjunto $X$, $X\cap \emptyset=\emptyset$.

Más adelante…

En la siguiente sección hablaremos acerca de los axiomas débiles de la teoría de los conjuntos. Así mismo veremos como dichos axiomas junto con el de esquema de comprensión implican los axiomas que hemos visto hasta ahora. De modo que la siguiente entrada nos servirá para hacer un recordatorio sobre todo lo que hemos visto hasta este momento.

Enlaces

Puedes acceder a los siguientes enlaces para recordar la paradoja de Russell y la operación intersección: