Introducción

En esta entrada hablaremos acerca del axioma de buena fundación. Este axioma nos permitirá decir cuándo un conjunto esta bien fundado, es decir, bien construido. Además daremos otro argumento para probar que la colección de todos los conjuntos no es un conjunto.

Acerca del axioma

Axioma de buena fundación. Para cualquier conjunto $X$ no vacío, existe $u\in X$ tal que $u\cap X=\emptyset$.

En los siguiente ejemplos no será necesario invocar al axioma de buena fundación pues tendremos a todos sus elementos escritos de manera explícita. Sin embargo, ayudarán a entender qué es lo que el axioma de buena fundación siempre garantiza que existe.

Ejemplos.

• Sea $A=\set{\emptyset}$, el único elemento que tiene $A$ es $\emptyset$ y en efecto, $A\cap \emptyset=\emptyset$. Esto último ocurre pues no existe ningún conjunto $x$ tal que $x\in \set{\emptyset}$ y $x\in \emptyset$.
• Consideremos al conjunto $B=\set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}$. Veamos que existe $u\in B$ tal que $u\cap B=\emptyset$. Dado que $B$ es un conjunto pequeño podemos explorar qué ocurre con cada uno de sus elementos:
  – Para $\emptyset\in B$ tenemos que $\emptyset\cap \set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}=\emptyset$.
  – Ahora, para $\set{\emptyset}\in B$ ocurre que $\set{\emptyset}\cap \set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}=\set{\emptyset}\not=\emptyset$. Por lo tanto, $\set{\emptyset}$ no es el conjunto que nos funciona.
  – Si consideramos $\set{\set{\emptyset}}\in B$ ocurre que $\set{\set{\emptyset}}\cap \set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}=\set{\set{\emptyset}}\not=\emptyset$. Por lo tanto, $\set{\set{\emptyset}}$ tampoco funciona.
  Por lo tanto, existe $u=\emptyset\in B$ tal que $u$ y $B$ no tienen elementos en común. Por el análisis de casos, este $u$ es único.
• Tomemos $C=\set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}}$. Haciendo un análisis de los elementos del conjunto $C$ tenemos lo siguiente:
  – Para $\set{\emptyset}\in C$ tenemos que $\set{\emptyset}\cap \set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}}=\emptyset$ pues $\emptyset\in\set{\emptyset}$ pero $\emptyset\notin \set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}}$.
  – Ahora, para $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}\in C$ ocurre que $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}\cap \set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}}= \set{\set{\emptyset}}\not=\emptyset$. Por lo tanto, $\set{\emptyset}$ no es el conjunto que nos funciona.
  Por lo tanto, existe $u=\emptyset\in C$ tal que $u$ y $C$ no tienen elementos en común. Una vez más, este elemento es único.

$\square$

Conjuntos que no existen

El axioma de buena fundación juega un papel importante para decir qué conjuntos no pueden existir. Veamos los siguientes resultados:

Teorema. Para cualquier conjunto $x$, no es cierto que $x\in x$. Es decir, ningún conjunto puede pertenecer a sí mismo.

Demostración.
Supongamos que sí existe un conjunto $x$ tal que $x\in x$. Luego, $\set{x}$ es un conjunto por el axioma de par y es tal que $x\in \set{x}$.
De lo anterior, tenemos que $x\cap \set{x}\not=\emptyset$ pues $x\in x\cap\set{x}$. Esto último contradice al axioma de buena fundación, pues $x$ podría ser el único elemento en $\{x\}$ dado por dicho axioma. Dado que la contradicción vino de suponer que existe $x$ tal que $x\in x$, resulta que no existe un conjunto que haga tal cosa.

$\square$

Teorema. Sean $a$ y $b$ conjuntos no vacíos. No existen ciclos de la forma $a\in b\in a$.

Demostración.
Supongamos que sí existe algún ciclo de la forma $a\in b\in a$. Luego, por el axioma de par podemos considerar al conjunto $\set{a,b}$. Dado que $\set{a,b}$ es un conjunto pequeño podemos analizar qué pasa con cada uno de sus elementos:
– Para $a\in\set{a,b}$ tenemos que $a\cap\set{a,b}\not=\emptyset$ pues $b\in a$ y $b\in \set{a,b}$,
– Si tomamos a $b\in\set{a,b}$ tenemos que $b\cap\set{a,b}\not=\emptyset$ pues $a\in b$ y $a\in \set{a,b}$.

Sin embargo, en todas las posibilidades obtenemos una contradicción al axioma de buena fundación. Así, no existen ciclos de la forma $a\in b\in a$.

$\square$

Diferencias entre la pertencia y contención

Vistos estos teoremas, nos tomaremos el tiempo para establecer las diferencias que hay entre la contención y la pertenencia.

Por un lado, $a\subseteq a$ siempre ocurre para cualquier conjunto $a$, mientras que $a\in a$ ya vimos que es imposible.

Vimos que la contención es transitiva (ver Teoría de los Conjuntos I: Axioma de conjunto potencia), es decir, si $a\subseteq b$ y $b\subseteq c$, entonces $a\subseteq c$. Resulta que si $a\in b$ y $b\in c$, entonces $a\in c$ no siempre ocurre, es decir, la pertenencia no es transitiva.

Ejemplo.

Consideremos $a=\set{\emptyset}$,$b= \set{\set{\emptyset}}$ y $c=\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}$. Tenemos que $a\in b$ y $b\in c$, sin embargo, $a\notin c$.

$\square$

La colección de todos los conjuntos

Anteriormente, probamos con ayuda de la paradoja de Rusell que la colección que tiene como elementos a todos los conjuntos no es un conjunto. En esta sección, reforzaremos esta afirmación utilizando el axioma de buena fundación para demostrar una vez más que está colección no es un conjunto.

Proposición. Para cualquier conjunto $x$, $\mathcal{P}(x)\not\subseteq x$.

Demostración.

Supongamos que $\mathcal{P}(x)\subseteq x$, entonces para cualquier $y\in \mathcal{P}(x)$, $y\in x$. Dado que $x\subseteq x$, entonces $x\in \mathcal{P}(x)$. Así, $x\in x$ y lo cual contradice el primer teorema de la sección anterior. Por lo tanto, para cualquier conjunto $x$, $\mathcal{P}(x)\not\subseteq x$.

$\square$

Teorema. La colección de todos los conjuntos no es conjunto.

Demostración.

Supongamos que sí existe. Sea $V$ el conjunto de todos los conjuntos. Por axioma de conjunto potencia tenemos que $\mathcal{P}(V)$ es un conjunto y es tal que $\mathcal{P}(V)\not\subseteq V$. Así, existe $x\in \mathcal{P}(V)$ tal que $x\notin V$ lo que contradice que $V$ tiene a todos los conjuntos.

Por lo tanto, el conjunto de todos los conjuntos no existe.

$\square$

La intersección del conjunto vacío

Así como existen diversas formas de escribir al conjunto vacío, también hay varias formas de escribir a la colección de todos los conjuntos. Resulta que si queremos intersecar al conjunto vacío no obtenemos al vacío, sino que obtenemos dicha colección, al conjunto universo.

Afirmación. $\bigcap \emptyset$ no es un conjunto.

Demostración. Supongamos que $\bigcap\emptyset$ sí es un conjunto. Sea $x\in \bigcap\emptyset$, entonces para cualquier $y$ tal que $y\in \emptyset$ implica que $x\in y$. Sin embargo, $y\in \emptyset$ es falso para cualquier conjunto $y$ y por lo tanto, para cualquier $y$ tal que $y\in \emptyset$ implica que $x\in y$ es verdadero. (Ver tabla de verdad del conectivo implicación: Teoría de los Conjuntos I: Repaso sobre lenguaje de la Teoría de los Conjuntos)

Esto significa que cualquier conjunto que demos va a pertenecer a $\bigcap \emptyset$, es decir, este conjunto tiene como elementos a todos los conjuntos. Esto, como vimos arriba, es imposible.

$\square$

Tarea moral

• Prueba que para $A_0,A_1, A_2,\cdots A_n$ conjuntos, el ciclo $A_0\in A_1\in A_2\in\cdots\in A_n\in A_0$ no existe (Estrictamente hablando, esta demostración requerirá que formalicemos estos «puntos suspensivos». De cualquier forma, intenta dar una demostración inductiva con lo que sabes de este tipo de demostraciones.)
• Sea $A=\set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}}$. Exhibe $u\in A$ tal que $u\cap A=\emptyset$.
• Sea $B=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}}$. Exhibe $u\in B$ tal que $u\cap B=\emptyset$.
• Da otro ejemplo de una propiedad que describa a la clase de todos los conjuntos.
• Prueba que para cualquier conjunto $X$, se tiene que $X\cap \emptyset=\emptyset$.

Más adelante…

En la siguiente entrada hablaremos acerca de los axiomas débiles de la teoría de los conjuntos. Así mismo veremos cómo dichos axiomas junto con el esquema de comprensión implican los axiomas que hemos visto hasta ahora. De modo que la siguiente entrada nos servirá para hacer un recordatorio sobre todo lo que hemos visto hasta este momento.

Entradas relacionadas

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»