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Álgebra Superior I: Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

En la entrada anterior, hemos revisado la definición de las funciones matemáticas. Siguiendo con este tema, ahora vamos a estudiar tres tipos de funciones: las inyectivas, suprayectivas y finalmente las inyectivas. Hemos hablado anteriormente de las primeras dos, ahora estudiaremos algunas equivalencias de las definiciones vistas en un principio y algunos resultados interesantes.

Inyectividad entre funciones

Las definiciones que daremos al estar hablando de inyectividad y supreyactividad de funciones serán las mismas que dimos al hablar de los tipos de relaciones. Primero empezaremos hablando de la inyectividad.

Cuando estemos hablando de funciones, diremos que una función inyectiva es aquella que manda a elementos distintos en el dominio a elementos distintos en el contradominio.

Definición. Diremos que una función $f: X \rightarrow Y$ es inyectiva, si $f$ es una relación inyectiva. Es decir para cada elemento $y \in Im[f]$, existe un único $x$ tal que $(x,y) \in f$

Nota que esta es la definición de inyectividad que dimos anteriormente. El hecho de que $f$ sea una función, nos permitirá tener otra forma de ver la inyectividad, para darte cuenta de ello, observa la siguiente proposición:

Proposición. Sea $f: X \rightarrow Y$ una función. Entonces son equivalentes:

  1. $f$ es inyectiva.
  2. Para cualesquiera tres elementos $x,w \in X$ y $y \in Im[f]$ sucede que si $f(x) = y \land f(w) = y$ entonces $x=w$.

Demostración.

$1) \Rightarrow 2)$. Recordemos que una equivalencia de la inyectividad en relaciones es que si $(x,y) \in f$ y $(w,y) \in R$ entonces $x=w$. Usaremos esta equivalencia para nuestra demostración. Ahora nota que si $f(x)=y$ y $f(w)=y$ entonces $(x,f(x)) \in f$ y $(w,f(w)) \in f$. Como $f$ es inyectiva entonces $x=w$.

$2) \Rightarrow 1)$.Sean $(x,y) \in f$ y $(w,y) \in f$. Para demostrar el inciso, bastará demsotrar que $x=w$, para ello note que como $f$ es una función entonces $(x,y) = (x,f(x))$ y $(w,y) =(w,f(w))$. Ahora notemos que $f(x)=f(w)$, por hipótesis, esto significa que $x=w$.

$\square$

.

Esta última equivalencia deja más claro que una función inyectiva es aquella que envía a elementos distintos en el dominio a elementos distintos en el contradominio.

Ejemplos de funciones inyectivas son:

  • La función $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ donde $f(x)=x+1$, esto es debido a que si $f(x)=f(w)$ entonces $x+1=w+1$, lo que implicaría que $x=w$.
  • La función $f:\{1,2,3\} \rightarrow \{a,b,c,d,e\}$ dada por: $f=\{(1,e),(2,b),(3,c)\}$.
  • La función identidad entre cualquier conjunto $X$, dada por $f: X \Rightarrow X $ donde $f(x)=x$.

Suprayectividad entre funciones

Siguiendo con la lista de conceptos a revisar hoy, nos encontramos nuevamente con la suprayectividad, el concepto en donde todo el contradominio de la función coincide con su imagen:

Definición. diremos que una función $f:X \rightarrow Y$ es suprayectiva si $f$ es una relación suprayectiva. Es decir, si para cada $y \in Y$, existe un $x \in X$ tal que $f(x)=y$

Esta última definición es una derivación de una equivalencia que mostramos con anterioridad. Puesto que decir que para cada $y \in Y$, existe un $x \in X$ tal que $f(x)=y$, es equivalente a decir que para cada elemento $y \in Y$, existe un elemento $x \in X$ tal que $(x,y) \in f$, basta con notar que $f(x)=y$ produce la equivalencia deseada.

Algunos ejemplos de funciones suprayectivas son:

  • La función identidad $f: X \rightarrow X$. Para ello, nota que para cada $y \in X$, sucede que $(y,f(y)) \in f$, por lo que es suprayectiva, pues $f(y)=y$.
  • Sea $X =\{0\}$, entonces la función $f: \mathbb{Z} \rightarrow X$ dada por $f(n)=0$ es una función suprayectiva.
  • La función proyección $f: \mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}$ dada por $f((x,y)) = x$ es suprayectiva.

Funciones biyectivas

El último concepto que revisaremos será el de funciones biyectivas. Estas funciones serán importantes porque en pocas palabras podrán «trasladar» un conjunto a otro. Definiremos a estas funciones como aquellas que son inyectivas y suprayectivas al mismo tiempo.

Definición. Sea $f: X \rightarrow Y$ una función. Diremos que $f$ es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

Si una función es inyectiva, entonces manda distintos elementos del dominio a distintos elementos del contradominio. Mientras que si es suprayectiva, entonces todo el contradominio tiene su correspondencia. Así que si una función es biyectiva, entonces todo elemento del contradominio vendrá de uno y solamente un elemento del dominio. Esto significa que una función biyectiva «transforma» un conjunto en otro. A cada elemento del dominio lo vuelve uno del contradominio.

Por ejemplo, considera la función $f: X \rightarrow Y$ donde $X=\{1,2,3\}$ y $Y=\{a,b,c\}$ donde $f = \{(1,a),(2,b),(3,c)\}$. Nota que la función va de un conjunto $X$ y «traduce» cada uno de sus elementos a un elemento del conjunto $Y$. Esta es una forma en que las biyecciones nos dan información de cómo «traducir» un conjunto en otro.

Ahora considera la función $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ dada por $f(n)=n+1$. Esta es una función biyectiva. Y «traduce» cada número a su sucesor.

Otro ejemplo sería la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x)=2x$. Nota que lo que hace esta función es «alejar» puntos del origen. Mientras que $f(0)=0$, a todos los números positivos los «aleja» más del origen del lado derecho, y a los número negativos los «aleja» del origen por la izquierda. Así que esta función biyectiva se podría pensar como una liga que pegamos a la mitad y jalamos por ambos lados hasta que cada lado mida el doble de lo que medía antes. Esta es una forma en que pasamos de una liga normal a una liga estirada, si cada punto de la recta real, fuera un pedazo de la liga, entonces «traducimos» ese punto estirando la liga.

Con estos ejemplos, vimos como una función biyectiva es una traductora de puntos, mandando cada punto del dominio a uno del contradominio, y cada punto del dominio tiene su propia traducción en el contradominio sin que otro punto del dominio comparta su traducción.

Así es como hemos revisado los tres tipos de funciones principales que usarás en muchas áreas de las matemáticas. La inyectividad nos dice que a cada elemento de la imagen de una función solo le corresponde una del dominio. La supreyactividad nos dice que la imagen de una función es igual al contradominio de la función. Mientras que la biyectividad nos habla de traducciones, o formas de ver un conjunto reflejado en otro conjunto.

Más adelante…

En la siguiente entrada daremos el paso de hablar de una función a más de una función, y esto lo haremos componiendo funciones. En un principio se pueden pensar las composiciones como mandar un elemento de un conjunto a otro conjunto mediante una función y después mandar este elemento a otro conjunto mediante otra función. Verás que será útil las composiciones cuando estemos hablando de distintas funciones entre conjuntos.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Da un ejemplo de una función inyectiva pero no suprayectiva.
  2. Sea $X$ un conjunto y $Y$ un subconjunto de $X$. La función inclusión está dada por $f: Y \rightarrow X$ donde $f(y)=y$.
    1. Demuestra que la función inclusión es inyectiva.
    2. Da condiciones necesarias para que la función inclusión sea biyectiva.
  3. Considera la función $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ dada por $f(n) = an +b$. ¿Para qué valores $a,b$ la función es biyectiva?
  4. Demuestra que una función $f: X \rightarrow Y$ es biyectiva si y solo si para cualquier subconjunto $A \subset X$ sucede que $f[X \setminus A] = Y \setminus f[A] $.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Superior I: Tipos de relaciones en conjuntos

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

Hemos hablado ya de relaciones entre conjuntos, sobre imagen, dominio y composición. Ahora vamos a ver algunas relaciones especiales entre conjuntos, que son la inyectividad, la suprayectividad y relaciones de un conjunto en sí mismo.

Inyectividad de una relación

Las ideas de los dos tipos de relación que vamos a exponer son inyectividad y suprayactividad. La inyectividad es una idea que nos va a hablar de cómo podemos relacionar un elemento de la imagen de una relación con un elemento del dominio. En pocas palabras lo que nos dirá la inyectividad es: Una relación inyectiva es aquella en la que los distintos elementos del dominio van a elementos de la imagen distintos. Veamos esto con calma con un ejemplo.

Supongamos que a nosotros nos interesa recuperar los elementos del dominio con los de la imagen, es decir, quisiéramos ver para cada pareja $y$ de la imagen, de qué $x$ proviene. En el caso de que haya dos relaciones distintas $(x,y),(z,y)$ nos causaría conflicto, pues podríamos decir que $y$ «viene» de dos distintos elementos del dominio.

Una relación inyectiva es aquella en donde para cada elemento de la imagen, existe un único elemento del dominio que se relaciona con esta. Es decir, una relación inyectiva $R$ será aquella en donde para cada $y \in Im(R)$, solo existe un elemento $x \in Dom(R)$ tal que $(x,y) \in R$. Otra forma de verlo es con la siguiente definición:

Definición. Sean $X,Y$ dos conjuntos y $R$ una relación de $X$ en $Y$. Diremos que $R$ es inyectiva si $$\forall y \in Im(R) (\exists ! x \in X:(x,y) \in R)$$

Observa ahora que esto significa que si $R$ es una relación inyectiva y dos parejas $(x,y),(z,y)$ pertenecen a la relación $R$, entonces no les queda de otra que ser la misma pareja, esto implica que $x=z$.

Proposición. Sea $R$ una relación entre dos conjuntos $X$ y $Y$. Entonces son equivalentes:

  1. $R$ es una relación inyectiva.
  2. Si $(x,y) \in R$ y $(w,y) \in R$ entonces $x=w$.

Demostración.

$1) \Rightarrow 2)$. Consideremos $(x,y) \in R$ y $(w,y) \in R$. Lo que queremos demostrar es que $x=w$, para ello notemos que $R$ es inyectiva, lo que quiere decir que existe una única pareja $(x,y) \in R$. Esto quiere decir que $(x,y)=(w,y)$ y esto solo sucede si $y=y$ y $x=w$. Siendo la segunda igualdad la buscada.

$2) \Rightarrow 1)$. Ahora supongamos que si $(x’,y’) \in R$ y $(w’,y’) \in R$ entonces $x’=w’$. Y supongamos que $y$ es un elemento de la imagen de $R$. Demostremos ahora que existe un único elemento $x$ tal que $(x,y) \in R$. Para ello mostraremos que existe al menos un elemento $x$ tal que $(x,y)$ y cualquier otro elemento $w$ no cumple tal propiedad. Para demostrar lo primero, notemos que $y$ es un elemento del contradominio, lo que quiere decir que existe al menos un elemento $x \in X$ tal que $(x,y) \in R$. Y finalmente para demostrar que $x$ es único, supongamos existe un elemento $w \in X$ distinto a $x$ tal que $(w,y) \in R$. Pero por hipótesis, si pasa esto entonces $x=w$, lo cual es una contradicción pues hemos dicho que $x$ es distinto a $w$. De esta manera, $x$ sí es único.

$\square$

También es análogo pensar que si una relación $R$ es inyectiva, entonces para cada elemento de la imagen $y$, sucede que $Im^{-1}[\{y\}]$ tiene un único elemento, pues la definición nos dice que solo existe un elemento $x$ del dominio que se relaciona con $y$.

Ahora observa por ejemplo a los conjuntos de animales $X$ y el tipo de animales $Y$. Podríamos decir que en tipos de animales, tenemos aquellos que viven en la tierra (terrestres) y los que viven en el agua (acuáticos). Entonces una parte de la relación $R$ que relaciona el animal con el hábitat que tiene, se vería de la siguiente manera:

Ahora, si nos preguntamos, cuáles son los animales terrestres, deberíamos observar que al menos los animales terrestres son los perros, gatos, camellos, etc. Una relación que no es inyectiva, no nos regresa un único elemento, sino que un subconjunto del dominio de más de un elemento. Así que esta relación no es inyectiva.

Por otro lado, una relación que sí es inyectiva entre los conjuntos $X=\{a,b,c,d,e,f\}$ y $\mathbb{Z}$ es la relación $R$:

$$R=\{(a,y): y \in Z\} $$

Es inyectiva pues los elementos de esta relación se ven como: $R=\{\dots,(a,-1),(a,0),(a,1),(a,2),\dots\}$ Y si agarramos cualquier número en la imagen de la relación, solo vendrá de un elemento, el elemento $a$.

Otros ejemplos de relaciones inyectivas son:

$R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2:x=y\}$
$R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2:x=2y\}$
$R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2:(0,y) \text{ si }y\text{ es par,}(1,y)\text{ en otro caso}\}$

Relaciones suprayectivas

Otro concepto que será interesante es el de la suprayactividad. Este en términos simples nos dice que una relación $R$ es suprayectiva entre dos conjuntos $X,Y$ si cada elemento de $Y$ se relaciona con algún elemento de $X$. Es así como la siguiente definición nos lo menciona:

Definción. Sean $X,Y$ dos conjuntos y $R$ una relación de $X$ en $Y$. Diremos que $R$ es suprayectiva si $Im[Y]=Y$.

Una forma alterna de verlo es como en la siguiente proposición nos lo demuestra, siendo que siempre podremos encontrar una pareja para cada elemento $y$ de $Y$:

Proposición. Una relación $R$ es suprayectiva si y solo si $\forall y\in Y(\exists x \in X:(x,y) \in Y)$

Demostración Sean $X,Y$ dos conjuntos y $R$ una relación de $X$ en $Y$

$\Rightarrow$] Por hipótesis, $R$ es suprayectiva. Para demostrar que $\forall y\in Y(\exists x \in X:(x,y) \in Y)$ consideraremos un elemento $y \in Y$ arbitrario y demostraremos que existe algún elemento $x \in X$ tal que $(x,y)$ sea un elemento de la relación.
Como hipótesis, sabemos que la imagen de $R$ es igual a $Y$, esto quiere decir que:$$Y=Im(R)=\{y \in Y: \exists x \in X \text{ tal que }(x,y)\in R\}.$$ De esta manera, $$y \in \{y \in Y: \exists x \in X \text{ tal que }(x,y)\in R\}.$$ De manera que $\exists x \in X \text{ tal que }(x,y)\in R$. Por lo tanto, $\forall y\in Y(\exists x \in X:(x,y) \in Y)$

$\Leftarrow$]. Ahora supongamos por hipótesis que para cada elemento $y \in Y$, existe un elemento $x \in X$ tal que $(x,y) \in R$. Ahora, demostremos que $R$ es suprayectiva, es decir $Im(R)=Y$. Para esto, tendremos que demostrar que $Y$ está contenido en $Im(R)$ y viceversa. Pero nota que $Im(R)$ siempre es un subconjunto de $Y$ (pues por definición, sus elementos son elementos de $Y$). Así que bastará demostrar que $Y \subset Im[R]$. Para ello, considera un elemento $y \in Y$. Por hipótesis, para aquel elemento, existirá $x \in X$ tal que $(x,y) \in R$. Pero esto significa que $y \in Im[Y]$. Así, $Y \subset Im[R]$.

$\square$

Un ejemplo de una función suprayectiva sobre los conjuntos $X = \{1,2,3\}, Y=\{0\}$ es la relación $R=\{(1,0),(3,0)\}$. Esto puesto que hay solo un elemento en el conjunto $Y$ y hay al menos una relación para cada elemento del conjunto $Y$. Esto quiere decir que «cubrimos» a todo el contradominio. Otros ejemplos de funciones suprayectivas son:
$R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2:x=y\}$
$R = \{(x,y) \in \mathbb{Z} \times \{0,1,2,3,4\} : x =1 \land y \in \{0,1,2,3,4\}\}$
Si $R$ es una relación entre dos conjuntos, $X,Y$, la relación $R=X \times Y$ es suprayectiva.

Relaciones de un conjunto en sí mismo

Hemos estado hablando ya de un conjunto muy particular, $\mathbb{Z}^2$ que lo definimos como $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$, es decir de relaciones en el conjunto de los números enteros en sí mismo. Este tipo de relaciones, como ya lo hemos mencionado, se les acostumbra a poner un subíndice $^2$ para indicar que estamos hablando del producto cartesiano de un conjunto sobre él mismo. Por ejemplo si $X$ es un conjunto, entonces $X^2=X \times X$. Vamos a concentrarnos ahora en algunas relaciones especiales de un conjunto en sí mismo.

La primera relación que veremos será la reflexividad, y esto se da cuando un elemento está relacionado consigo mismo. Por ejemplo, en $\mathbb{Z}^2$, la relación cuyos elementos son de la forma $(x,x)$ siempre será reflexiva, pues cada elemento $x$ está relacionado consigo mismo.

La segunda relación se llama la simetría, que nos indica que para cada pareja $(x,y)$ de la relación, sucederá que igual $(y,x)$ estará en la relación. Si te das cuenta, algo que nos dice esta relación es que el orden «no importa», pues da igual cuál elemento escribamos del lado izquierdo y del lado derecho, pues su homónimo simétrico estará igual en la relación.

La tercera es un concepto similar al segundo pero en su antónimo. Diremos que una relación es antisimétrica si para cada pareja que tengamos en la relación $(x,y) \in R$, no sucederá que $(y,x) \in R$ a menos que $x=y$. Piensa por ejemplo para esto, en la relación «ser menor o igual a un número» $\leq$. Sucede que $1 \leq 2$ pero no que $2 \leq 1$.

Finalmente, la cuarta propiedad es llamada la transitividad. Esto lo que nos indica es que la composición de la relación también es parte de la relación. En otras palabras, si $(x,y),(y,z) \in R$ entonces $(x,z) \in R$. Para pensar en un ejemplo, piensa en la igualdad entre números, si $1+1=2$ y $2=4-2$, entonces $1+1=4-2$.

Anotaremos este tipo de relaciones como una definición

Definición. Sea $R$ una relación de un conjunto $X$ en sí mismo. Diremos que:

  • $R$ es reflexiva si $\forall x \in X,(x,x) \in R$
  • $R$ es simétrica si $\forall x \in X \forall y \in X\big( (x,y) \in R \Rightarrow (y,x) \in R \big)$
  • $R$ es antisimétrica si $\forall x \in X \forall y \in X\big( ((x,y) \in R \land (y,x) \in R) \Rightarrow (x=y) \big)$
  • $R$ es transitiva si $\forall x \in X \forall y \in X \forall z \in Z \big( ((x,y) \in R \land (y,z) \in R ) \Rightarrow (x,z) \in R \big)$

Más adelante…

En la siguiente entrada entraremos a los ordenes parciales, los cuales son relaciones de un conjunto sobre sí mismo que cumplen algunas de las clases especiales de relaciones que hemos revisado en esta entrada. De hecho quizá ya tengas una idea intuitiva de qué es un orden, concepto que ampliaremos más en lo que sigue.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sean $X,Y$ dos conjuntos y $R$ una relación de $X$ en $Y$.Demuestra que son equivalentes:
    1. $R$ es inyectiva
    2. $\forall y \forall x \big(((x,y)\in R \land (z,y) \in R) \Rightarrow x=z\big)$
    3. $\forall y \in Im(R) \big( Im^{-1}[\{y\}] \text{ tiene un solo elemento}\big)$
  2. Demuestra que las siguientes relaciones son inyectivas:
    • $R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2:x=y\}$
    • $R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2:x=2y\}$
    • $R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2:(0,y) \text{ si }y\text{ es par,}(1,y)\text{ en otro caso}\}$
  3. Sea la relación $R$ sobre el conjunto $X$ de los seres humanos dada por: $$R=\{(x,y) \in X^2:x \text{ tiene el mismo cumpleaños que }y\}.$$ Demuestra que $R$ es una relación reflexiva, simétrica y transitiva.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Lineal I: Transformaciones lineales en bases, conjuntos independientes y generadores

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

11 respuestas

Introducción

El objetivo de esta entrada es entender qué efecto tienen las transformaciones lineales en bases, en conjuntos linealmente independientes y en conjuntos generadores. En la siguiente lista recordamos brevemente estas nociones:

  • Una transformación lineal $T:V\to W$ entre espacios vectoriales $V$ y $W$ es una función que «abre sumas» (es decir $T(x+y)=T(x)+T(y)$) y «saca escalares» (es decir $T(cx)=cT(x)$). Recuerda que es necesario que $V$ y $W$ estén sobre el mismo campo, cosa que asumiremos cuando hablemos de transformaciones lineales.
  • Un conjunto de vectores $\{v_1,\ldots, v_n\}$ en $V$ es linealmente independiente si la única combinación lineal de ellos que da $0$ es la trivial, osea en la que todos los coeficientes son $0$.
  • Si cualquier vector de un espacio vectorial $V$ puede escribirse como combinación lineal de un conjunto de vectores $S=\{v_1,\ldots,v_n\}$, entonces decimos que $S$ genera a $V$.
  • Un conjunto de vectores en $V$ es base si es linealmente independiente y genera a $V$.

La idea de esta entrada es entender lo siguiente:

  • ¿Cuándo las imágenes de linealmente independientes/generadores/bases son linealmente independientes/generadores/bases tras aplicar una transformación lineal?
  • ¿Cómo saber si una transformación lineal es inyectiva?
  • ¿Cómo el efecto de transformaciones lineales en bases nos permite determinar exactamente qué le hacen al resto de los vectores?

Exploración

Tomemos espacios vectoriales $V$, $W$ y una transformación lineal $T:V\to W$. Si comenzamos con un conjunto $S=\{v_1,\ldots,v_n\}$ de vectores en $V$ que es linealmente independiente (o generador, o base) en $V$, ¿cuándo sucede que $T(S)=\{T(v_1),\ldots,T(v_n)\}$ es linealmente independiente (o generador, o base, respectivamente) en $W$?

Esto definitivamente no sucede siempre. La tranformación $Z:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}[x]$ que manda a todo vector $(x,y,z)$ al polinomio $0$ es una transformación lineal. Sin embargo, a la base canónica $\{e_1,e_2,e_3\}$ la manda al conjunto $\{0,0,0\}=\{0\}$, que no es un conjunto ni linealmente independiente, ni generador de los polinomios con coeficientes reales.

De esta forma, tenemos que pedirle más a la transformación $T$ para que preserve las propiedades mencionadas.

Intuitivamente, si la imagen de $T$ no cubre a todo $W$, entonces los vectores de la forma $T(v)$ con $v$ en $V$ no deberían de poder generar a $W$. Así, para que $T$ mande generadores a generadores, tiene que pasar que «$T$ pase por todo $W$». Esta noción queda capturada formalmente al pedir que $T$ sea suprayectiva.

Del mismo modo, también intuitivamente si «$T$ manda elementos distintos al mismo elemento», entonces perderemos familias linealmente independientes al aplicarla. Así, para preservar conjuntos linealmente independientes, necesitamos que vectores distintos vayan a valores distintos. En términos formales, necesitamos que $T$ sea inyectiva.

Resultados principales de transformaciones lineales en bases, generadores y linealmente independientes

El primer resultado es que los requisitos que descubrimos intuitivamente en la sección pasada son suficientes.

Teorema. Sea $T:V\to W$ una transformación lineal y $S=\{v_1,\ldots,v_n\}$ un conjunto de vectores de $V$. Entonces:

  • Si $T$ es inyectiva y $S$ es linealmente independiente, entonces $T(S)$ es linealmente independiente.
  • Cuando $T$ es suprayectiva y $S$ es generador, entonces $T(S)$ es generador.
  • Si $T$ es biyectiva y $S$ es base, entonces $T(S)$ es base.

Demostración. Comencemos suponiendo que $T$ es inyectiva y $S$ es linealmente independiente. Entonces $T(v_1),\ldots,T(v_n)$ son todos distintos. Tomemos una combinación lineal de elementos de $T(S)$ igual a cero, es decir, $$a_1T(v_1)+a_2T(v_2)+\ldots+a_nT(v_n)=0.$$ Debemos mostrar que todos los coeficientes son iguales a cero. Como $T$ es transformación lineal, podemos juntar las sumas y productos escalares como sigue: $$T(a_1v_1+a_2v_2+\ldots+a_nv_n)=0=T(0).$$

Como $T$ es inyectiva, esto implica que $$a_1v_1+a_2v_2+\ldots+a_nv_n=0,$$ pero como $S$ es linealmente independiente, concluimos que $$a_1=\ldots=a_n=0.$$ Así, $T(S)$ es linealmente independiente.

Supongamos ahora que $T$ es suprayectiva y $S$ es generador. Tomemos un $w\in W$. Como $T$ es suprayectiva, existe $v\in V$ tal que $T(v)=w$ y como $S$ es generador, existen $a_1,\ldots,a_n$ tales que $$a_1v_1+\ldots+a_nv_n=v.$$ Aplicando $T$ en ambos lados, abriendo las sumas y sacando escalares obtenemos que $$a_1T(v_1)+\ldots+a_nT(v_n)=T(v)=w.$$ Así, todo elemento de $W$ se puede escribir como combinación lineal de elementos de $T(S)$, como queríamos.

Finalmente, supongamos que $T$ es biyectiva y $S$ es base. Como $T$ es inyectiva y $S$ linealmente independiente, entonces $T(S)$ es linealmente independiente. Como $T$ es suprayectiva y $S$ generador, entonces $T(S)$ es generador. Así, $T(S)$ es base.

$\square$

Una consecuencia fudamental del resultado anterior es que si $V$ y $W$ son espacios de dimensión finita y existe una transformación lineal inyectiva $T:V\to W$, entonces $\dim(V)\leq \dim(W)$. En efecto, si $B$ es base de $V$ y $T$ es inyectiva, entonces $T(B)$ es linealmente independiente en $W$ y sabemos que $W$ tiene a lo más $\dim(W)$ vectores linealmente independientes, así que $\dim(V)=|B|=|T(B)|\leq \dim(W)$. De manera similar, si existe una transformación lineal $T:V\to W$ suprayectiva, entonces $\dim(V)\geq \dim(W)$. Demuestra esto. ¿Qué pasa con las dimensiones si existe una transformación lineal biyectiva entre $V$ y $W$?

¿Cuándo una transformación lineal es inyectiva?

El teorema anterior también sugiere que es importante saber cuándo una transformación lineal es inyectiva, suprayectiva o ambas. Resulta que en el caso de la inyectividad hay un criterio que nos ayuda.

Proposición. Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales. Una transformación lineal $T:V\to W$ es inyectiva y si sólo si el único vector $v$ de $V$ tal que $T(v)=0$ es el vector $v=0$. En otras palabras $T$ es inyectiva si y sólo si $\ker(T)=\{0\}$.

Demostración. Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales y $T:V\to W$ una transformación lineal. Recordemos que sabemos que $T(0)=0$.

Si $T$ es inyectiva y $T(x)=0$, entonces $T(x)=T(0)$ y por inyectividad $x=0$, de modo que $x$ es el único vector que va a $0$ bajo $T$.

Si el único vector que bajo $T$ va a $0$ es el $0$ y tenemos que $T(x)=T(y)$, entonces usando que $T$ es lineal tenemos que $0=T(y)-T(x)=T(y-x)$. Así, por hipótesis $y-x=0$, es decir, $x=y$. Con esto queda mostrado que $T$ es inyectiva.

$\square$

Transformaciones lineales en bases dan toda la información

Conociendo los valores de una transformación lineal en algunos vectores, es posible determinar el valor de la transformación en otros vectores que son combinación lineal de los primeros. Considera el siguiente ejemplo.

Problema. La transformación lineal $T:M_2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^2$ cumple que $T\begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}=(1,0)$, $T\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}=(0,-1)$, $T\begin{pmatrix}
0 & 0\\
1 & 1
\end{pmatrix}=(-1,0)$ y $T\begin{pmatrix}
1 & 0\\
1 & 0
\end{pmatrix}=(0,1)$. Determina el valor de $T\begin{pmatrix} 3 & 3\\ 3 & 3\end{pmatrix}$.

Intenta resolver el problema por tu cuenta antes de ver la solución. Para ello, intenta poner a la matriz $\begin{pmatrix} 3 & 3\\ 3 & 3\end{pmatrix}$ como combinación lineal de las otras matrices y usar que $T$ es lineal.

Solución. Sean $A$, $B$, $C$ y $D$ las matrices de las cuales conocemos cuánto vale $T$ en ellas y $E$ la matriz con puros $3$’s. Queremos determinar el valor de $T(E)$. Notemos que $E=\frac{3}{2}(A+B+C+D)$. Como $T$ es transformación lineal, tenemos que

\begin{align*}
T(E)&=\frac{3}{2}(T(A)+T(B)+T(C)+T(D))\\
&=\frac{3}{2}((1,0)+(0,-1)+(-1,0)+(0,1))\\
&=(0,0).
\end{align*}

$\square$

En este problema lo que sirvió para encontrar el valor de $T(E)$ fue poner a la matriz $E$ como combinación lineal de las matrices $A,B,C,D$. De hecho, para cualquier matriz que sea combinación lineal de las matrices $A,B,C,D$, pudiéramos haber hecho lo mismo.

A partir de esta observación, podemos intuir que al conocer el efecto de transformaciones lineales en bases, podemos saber qué le hacen a cada elemento del espacio vectorial. El siguiente teorema enuncia esto de manera formal y dice un poco más.

Teorema. Sean $V$, $W$ espacios vectoriales, $B=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ una base de $V$ y $w_1,w_2,\ldots, w_n$ vectores cualesquiera de $W$. Entonces, existe una y sólo una transformación lineal $T:V\to W$ tal que $$T(v_1)=w_1,\quad T(v_2)=w_2, \quad \ldots, \quad T(v_n)=w_n.$$

Demostración. Probemos primero la parte de existencia. Como $B$ es base, cualquier vector $v$ de $V$ se puede escribir como $$a_1v_1+a_2v_2+\ldots+a_nv_n.$$ Construyamos la función $T:V\to W$ tal que $$T(v)=a_1w_1+a_2w_2+\ldots+a_nw_n.$$

Como para cada $i=1,\ldots,n$ tenemos que la combinación lineal de $v_i$ en términos de $B$ es $v_i=1\cdot v_i$, tenemos que $T(v_i)=1\cdot w_i=w_i$, que es una de las cosas que queremos. La otra que queremos es que $T$ sea lineal. Mostremos esto. Si $$v=a_1v_1+a_2v_2+\ldots+a_nv_n$$ y $$w=b_1v_1+b_2v_2+\ldots+b_nv_n,$$ entonces $$v+w=(a_1+b_1)v_1+
(a_2+b_2)v_2+\ldots+ (a_n+b_n)v_n,$$ y por definición $$T(v+w)=(a_1+b_1)w_1+ (a_2+b_2)w_2+\ldots+ (a_n+b_n)w_n.$$ Notemos que el lado derecho es igual a $T(v)+T(w)$, de modo que $T$ abre sumas. De manera similar se puede mostrar que $T$ saca escalares.

Esbocemos ahora la demostración de la unicidad. Supongamos que $T$ y $T’$ son transformaciones lineales de $V$ a $W$ tales que $T(v_i)=T'(v_i)=w_i$ para toda $i=1,\ldots,n$. Tenemos que mostrar que $T(v)=T'(v)$ para toda $v$. Para ello procedemos como en el problema antes de este teorema: escribimos a $v$ como combinación lineal de elementos de $B$. Esto se puede hacer de una única forma. El valor de $T(v)$ a su vez depende únicamente de $w_1,\ldots,w_n$ y de la los coeficientes en combinación lineal. El de $T'(v)$ también. Por lo tanto son iguales.

$\square$

Una consecuencia del teorema anterior, en la que no es necesario enunciar a las imágenes de la base, es la siguiente.

Corolario. Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales, $B$ una base de $V$, y $T$ y $T’$ transformaciones lineales de $V$ a $W$. Si $T(v)=T'(v)$ para toda $v\in B$, entonces $T(v)=T'(v)$ para toda $v\in V$.

Más adelante…

Las propiedades que demostramos en esta entrada se usan con tanta frecuencia que muchas veces se aplican sin siquiera detenerse a argumentar por qué son válidas. Por esta razón, es importante que te familiarices con ellas. Otra ventaja de conocerlas a profundidad es que muchas veces ayudan a dar demostraciones sencillas o elegantes para algunos problemas. Finalmente, los hechos que aquí mostramos los usaremos prácticamente sin demostración en las siguientes entradas, en donde desarrollaremos la teoría de la forma matricial de transformaciones lineales.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Encuentra qué le hace al vector $(7,3)$ una transformación lineal $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ tal que $T(2,1)=20$ y $T(7,2)=5$.
  • Determina si las matrices $A,B,C,D$ del problema de la entrada son una base para $M_2(\mathbb{R})$. Si no son una base, ¿cuál es la dimensión del subespacio que generan?
  • En el último teorema se afirma que la función que construimos saca escalares. Muestra esto.
  • De ese mismo teorema, escribe los detalles de que dicha función es única.
  • Demuestra el corolario enunciado en la entrada.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»