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Variable Compleja I: Funciones complejas elementales como series de potencias

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

En la entrada 16 abordamos algunas de las funciones elementales en el estudio de la variable compleja. Vimos que todas las funciones de dicha entrada estaban motivadas por la extensión de las funciones reales a $C$ , además de que todas las funciones definidas en dicha entrada estuvieron dadas en términos de la función exponencial compleja, por lo que nos resulta de gran interés estudiar a detalle las propiedades de dicha función y justificar el por qué la definición dada para dicha función realmente extiende a la función exponencial real.

En esta entrada abordaremos de nueva cuenta a algunas de las funciones elementales desde el sentido complejo, pero utilizando series de potencias. Como veremos, esta caracterización nos permitirá entender mejor la analicidad de dichas funciones.

Primeramente consideremos la definición de la función exponencial como una serie de potencias dada en nuestros cursos de cálculo. Si $x \in R$ , entonces:
$\begin{matrix} (31.1) & \exp (x) = e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} . \end{matrix}$

De acuerdo con la definición 20.1, tenemos que si $z = x + i y \in C$ , entonces la función exponencial compleja está dada por:
$\begin{matrix} (31.2) & \exp (z) = e^{x} [\cos (y) + i sen (y)] . \end{matrix}$

Por la fórmula de Euler tenemos que si $z \in C$ es un número complejo puro, es decir, $z = i y$ con $y \in R$ , entonces:
$\begin{matrix} (31.3) & \exp (i y) = \cos (y) + i sen (y) . \end{matrix}$

Motivados en la definición de la función exponencial para el caso real (31.1), veamos que mediante series de potencias podemos dar una definición similar para el caso complejo, que extienda de manera natural a la exponencial real a su versión compleja. Más aún, veamos que a través de dicha definición podemos justificar la definición (31.2) y todos los resultados de la entrada 20, como la fórmula de Euler (31.1), que resultarán ser consecuencia de esta expansión en series y sus propiedades.

Entonces, la pregunta fundamental es ¿cómo podemos llegar a una expresión similar a la de (31.1) para el caso complejo?

Sea $z \in C$ . Definimos a la función:
$f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} z^{n} .$

Dado que $f$ es nuestra función candidata a ser la exponencial compleja, de acuerdo con las propiedades de la exponencial compleja vistas en la entrada 20, planteamos la siguiente ecuación diferencial con condición inicial.
$\begin{matrix} (31.4) & f (z) = f^{'} (z), f (0) = 1 \end{matrix}$

La respuesta a nuestra pregunta está dada por la solución de la ecuación diferencial anterior.

Tenemos que:
$f (z) = c_{0} + c_{1} z + c_{2} z^{2} + c_{3} z^{3} + \dots,$ como la función exponencial es entera, entonces el radio de convergencia de la serie que define a $f$ debe ser infinito, entonces, por la proposición 30.2 tenemos que el de su derivada también es infinito y $f^{'}$ deberá estar dada por la derivada término a término de la serie que la define, es decir:
$\begin{array}{r} f (z) = c_{0} + c_{1} z + c_{2} z^{2} + c_{3} z^{3} + \dots, \\ f^{'} (z) = c_{1} + 2 c_{2} z + 3 c_{3} z^{2} + 4 c_{4} z^{3} + \dots . \end{array}$

Como $f (z) = f^{'} (z)$ , entonces, por el corolario 30.2, los coeficientes de ambas series deben ser iguales, es decir:
$c_{0} = c_{1}, c_{1} = 2 c_{2}, c_{2} = 3 c_{3}, \dots, c_{n - 1} = n c_{n},$ de donde $c_{n} = \frac{1}{n} c_{n - 1}$ , para todo $n \geq 1$ .

Considerando lo anterior y la condición inicial $f (0) = 1$ , entonces $c_{0} = 1$ , por lo que:
$c_{1} = 1, c_{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2!}, c_{3} = (\frac{1}{3}) (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3!}, \dots, c_{n} = (\frac{1}{n}) (\frac{1}{(n - 1)!}) = \frac{1}{n!} .$

Por lo que, la solución a la ecuación diferencial (31.4) es:
$f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}, \forall z \in C .$

Definición 31.1. (Exponencial compleja como serie de potencias.)
Sea $z \in C$ , entonces definimos a la exponencial compleja como la serie de potencias:
$\begin{matrix} (31.5) & \exp (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} . \end{matrix}$

Observación 31.1.
En el ejemplo 27.8 hemos probado que la serie de potencias que define a la exponencial compleja es absolutamente convergente para todo $z \in C$ . Por lo que la función exponencial compleja está bien definida para todo $z \in C$ .

Podemos mencionar algunas de las propiedades más importantes de esta función, dada como series de potencias, en la siguiente:

Proposición 31.1. (Propiedades de la exponencial compleja.)
La función exponencial compleja definida como en (31.5) satisface las siguientes propiedades.

Es una función entera y para todo $z \in C$ se cumple que $\frac{d}{d z} \exp (z) = \exp (z)$ .
$\exp (0) = 1$ .
$\exp (z_{1} + z_{2}) = \exp (z_{1}) \exp (z_{2})$ para todo $z_{1}, z_{2} \in C$ .
$\exp (z) \neq 0$ para todo $z \in C$ .
$\exp (- z) = \frac{1}{\exp (z)}$ y $\exp (z_{1} - z_{2}) = \frac{\exp (z_{1})}{\exp (z_{2})}$ , para cualesquiera $z, z_{1}, z_{2} \in C$ .
$\overset{―}{\exp (z)} = \exp (\overset{―}{z})$ para todo $z \in C$ .
Para todo $z \in C$ se cumple que $| \exp (z) | = \exp (Re (z))$ , de donde:
$| \exp (i θ) | = 1 ⟺ θ \in R y | \exp (z) | \leq \exp (| z |) .$

Demostración.

Sea $z \in C$ , entonces, por la proposición 30.2 se cumple que:
$\frac{d}{d z} \exp (z) = \frac{d}{d z} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n z^{n - 1}}{n (n - 1)!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} = \exp (z) .$
Es inmediata de la definición de la función exponencial compleja.
Sean $z_{1}, z_{2} \in C$ , entonces:
$\exp (z_{1}) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z_{1}^{n}}{n!} y \exp (z_{2}) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z_{2}^{n}}{n!} .$ Por el ejemplo 27.8 sabemos que ambas series son absolutamente convergentes. Del ejemplo 27.11, tenemos que el producto de Cauchy de dichas series es:
$\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(z_{1} + z_{2})^{n}}{n!} .$ Por último, por el ejemplo 27.12, sabemos que el producto de estas series absolutamente convergentes, converge a su producto de Cauchy, es decir:
$\begin{aligned} \exp (z_{1}) \exp (z_{2}) & = (\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z_{1}^{n}}{n!}) (\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z_{2}^{n}}{n!}) \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(z_{1} + z_{2})^{n}}{n!} \\ = \exp (z_{1} + z_{2}) . \end{aligned}$ Por inducción es fácil verificar que:
$\prod_{i = 1}^{n} \exp (z_{i}) = \exp (\sum_{i = 1}^{n} z_{i}), \forall n \geq 2.$
Se sigue de los incisos 2 y 3, por lo que los detalles se dejan como ejercicio al lector.
Se sigue de los incisos 2 y 3, por lo que los detalles se dejan como ejercicio al lector.
El resultado se sigue de la proposición 27.2(2).
Sea $z \in C$ . Sabemos que:
$Re (z) = \frac{z + \overset{―}{z}}{2} y | z |^{2} = z \overset{―}{z} .$ De los incisos 3, 4 y 6 tenemos que:
$| \exp (z) |^{2} = \exp (z) \overset{―}{\exp (z)} = \exp (z) \exp (\overset{―}{z}) = \exp (z + \overset{―}{z}) = \exp (2 Re (z)) = {[\exp (Re (z))]}^{2} > 0,$ de donde:
$| \exp (z) | = \exp (Re (z)) .$ La parte restante del resultado se sigue de esta última igualdad, por lo que los detalles se dejan como ejercicio al lector.

Es claro que si $z = x \in R$ , entonces las definiciones (31.5) y (31.1), correspondientes con la exponencial compleja y la exponencial real, coinciden. Sin embargo, procedemos a verificar que en efecto la exponencial compleja extiende a la exponencial real de manera formal.

Recordemos los siguientes resultados de Cálculo.

Teorema 31.1. (Teorema del Valor Intermedio.)
Sea $f : [a, b] \to R$ una función continua en $[a, b]$ . Entonces, para todo $y$ entre $f (a)$ y $f (b)$ existe $c \in [a, b]$ tal que $f (c) = y$ .

Teorema 31.2. (Teorema del Valor Medio.)
Sea $f : [a, b] \to R$ una función continua en $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$ . Entonces, existe $c \in (a, b)$ tal que:
$f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} .$

Lema 31.1.
Si $f : (a, b) \to R$ es una función diferenciable en $(a, b)$ tal que $f^{'} (x) > 0$ para todo $x \in (a, b)$ , entonces $f$ es estrictamente creciente en $(a, b)$ .

Demostración. Es una consecuencia de teorema del valor medio, por lo que se deja como ejercicio al lector.

Lema 31.2.
Si $f : [a, b] \to R$ es una función estrictamente creciente en $[a, b]$ , entonces $f$ es inyectiva.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

Lema 31.3.
Sea $I \subset R$ un intervalo. Si $f : I \to R$ es una función continua e inyectiva. Entonces $f^{- 1}$ es continua.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

Puede consultarse la prueba de estos resultados en alguno de los siguientes textos:

Elementary Analysis: The Theory of Calculus de Kenneth A. Ross.
An Introduction to Analysis de William R. Wade.
An Introduction to Analysis de James R. Kirkwood.

Procedemos con el resultado.

Corolario 31.1. ( $e^{x} = \exp |_{R} (x) e^{x} = \exp |_{R} (x)$ .)
Si $z = x + i 0 \in C$ , con $x \in R$ , entonces la función $u (x) = \exp |_{R} (x)$ , es decir, la exponencial compleja restringida a $R$ , satisface lo siguiente:

$u$ es una función real, continua y estrictamente creciente en su dominio $R$ .
$u (R) = (0, \infty)$ .
$u$ es un homeomorfismo, definición 9.2, entre $R$ y $(0, \infty)$ y la única solución de la ecuación $u (0) = 1$ es $x = 0$ .

Demostración. Dadas las hipótesis.

De acuerdo con la definición 30.1, es claro que al evaluar la expresión (31.5) con $z = x \in R$ , la función $u (x) = \exp (x)$ es una función real de variable real. La continuidad de la función $u$ se sigue de la proposición 31.1(1), pues la exponencial compleja es una función entera y por tanto continua en $C$ , proposición 16.1, en particular es continua en $R \subset C$ .

Por otra parte, de la proposición 31.1(4) sabemos que para todo $z \in C$ se cumple que $\exp (z) \neq 0$ , y por el inciso 2, de la misma proposición, para todo $z = x \in R$ tenemos que:
$u (x) = \exp (x) = \exp (\frac{x}{2} + \frac{x}{2}) = {[\exp (\frac{x}{2})]}^{2} > 0.$ Dado que $u^{'} (x) = u (x) > 0$ , proposición 31.1(1), entonces se sigue del lema 31.1 que la función $u$ es estrictamente creciente en $R$ .
Como $u$ es continua y $R$ es un conjunto conexo, entonces de la proposición 10.3 se sigue que $u (R) = \exp (R) \subset R$ debe ser un conjunto conexo, por lo tanto, proposición 10.1, es un intervalo. Puesto que para todo $z = x \in R$ se cumple que $u (x) > 0$ , entonces $u (R) \subset (0, \infty)$ .

Probemos la otra contención. De acuerdo con la definición de $u$ , es claro que para $z = x > 0$ se cumple que:
$u (x) = \exp (x) > 1 + x,$ por lo que:
$\begin{matrix} (31.6) & lim_{x \to \infty} u (x) = \infty . \end{matrix}$ Dado que para todo $z \in C$ se cumple que $\exp (z) = 1 / \exp (- z)$ , proposición 31.1(5), entonces, para $z = t \in R$ tal que $t < 0$ , es claro que:
$\begin{matrix} (31.7) & lim_{t \to - \infty} u (t) = lim_{- t \to \infty} \frac{1}{u (- t)} = lim_{x \to \infty} \frac{1}{u (x)} = 0. \end{matrix}$ Sea $L > 0$ . De acuerdo con la definición del límite, de (31.6) se sigue que si $K = L > 0$ , entonces existe $M > 0$ tal que:
$f (x) > K, si x > M .$ En particular, para $x = M + 1$ tenemos que $u (M + 1) > L$ .

Análogamente, considerando la definición del límite (31.7), si $ε = L > 0$ , entonces existe $N < 0$ tal que:
$| u (x) - 0 | = | u (x) | = u (x) < L, si x < N .$ Entonces, para $x = N - 1$ tenemos que $u (N - 1) < L$ . Por lo tanto, dado $L > 0$ existen $a = N - 1 < 0$ y $b = M + 1 > 0$ tales que:
$u (a) < L < u (b) .$ Como $u$ es continua en $R$ , en particular lo es en $(a, b)$ , entonces, del teorema del valor intermedio se sigue que existe $c \in (a, b)$ tal que $u (c) = L$ , lo cual prueba la contención restante, por lo que $u (R) = (0, \infty)$ .
Dado que $u$ es estrictamente creciente, entonces, del lema 31.2 se sigue que es una función inyectiva. Por otra parte, del inciso anterior tenemos que $u : R \to (0, \infty)$ es una función suprayectiva, por lo que $u$ es una función biyectiva y por tanto invertible. Denotamos a $u^{- 1} (y) = x$ como la función inversa, entonces $u^{- 1}$ es continua, lema 31.3, ya que $u$ es continua e inyectiva, por lo que $R$ y $(0, \infty)$ son homeomorfos, definición 9.2.

Como $u$ es inyectiva es claro que la única solución de la ecuación $u (0) = 1$ es $x = 0$ .

Observación 31.2.
De acuerdo con estos resultados, es claro que para $z = x \in R$ , la definición de la exponencial compleja dada en (31.5) se reduce al caso real dado por (31.1), por lo que de manera natural hemos hecho una extensión de la función exponencial real a $C$ , y como la serie que define a la exponencial converge absolutamente para todo $z \in C$ , entonces podemos utilizar las expresiones $e^{z}$ y $\exp (z)$ de manera indistinta para referirnos a la función exponencial compleja.

De nuestros cursos de cálculo, sabemos que las series de potencias de las funciones trigonométricas reales seno y coseno son:
$\begin{array}{r} sen (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}, \\ \cos (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n}}{(2 n)!} . \end{array}$

Notemos que si $z = i y \in C$ , con $y \in R$ , entonces:
$\begin{aligned} \exp (i y) & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(i y)^{n}}{n!} \\ = 1 + i y - \frac{y^{2}}{2!} - i \frac{y^{3}}{3!} + \frac{y^{4}}{4!} + i \frac{y^{5}}{5!} - \frac{y^{6}}{6!} - i \frac{y^{7}}{7!} + \frac{y^{8}}{8!} + \dots \\ = (1 - \frac{y^{2}}{2!} + \frac{y^{4}}{4!} - \frac{y^{6}}{6!} + \frac{y^{8}}{8!} - \dots) + i (y - \frac{y^{3}}{3!} + \frac{y^{5}}{5!} - \frac{y^{7}}{7!} - \dots) \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} y^{2 n}}{(2 n)!} + i \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} y^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} \\ = \cos (y) + i sen (y) . \end{aligned}$

De acuerdo con la proposición 31.1(3), para $z = x + i y \in C$ se tiene que:
$\begin{aligned} e^{z} = \exp (z) & = \exp (x + i y) \\ = \exp (x) \exp (i y) \\ = e^{x} [\cos (y) + i sen (y)], \end{aligned}$ lo cual justifica la definición 20.1 y por tanto todos los resultados de las entradas 20, 21, 22 y 23 son válidos.

De manera análoga, se puede utilizar la definición en series de potencias de la función exponencial compleja y las definiciones de las funciones trigonométricas e hiperbólicas, dadas en la entrada 22, para obtener sus correspondientes definiciones en series de potencias, que extienden de manera natural a $C$ a sus versiones reales.

Proposición 31.2. (Series de las funciones trigonométricas e hiperbólicas seno y coseno.)
Sea $z \in C$ , entonces:
$\begin{array}{r} (31.8) & sen (z) := \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} z^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}, \\ (31.9) & \cos (z) := \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} z^{2 n}}{(2 n)!}, \\ (31.10) & senh (z) := \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}, \\ (31.11) & \cosh (z) := \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{2 n}}{(2 n)!} . \end{array}$

Demostración. La demostración es análoga para las cuatro funciones y se sigue de las definiciones 22.1, 22.3, 31.1 y de la proposición 27.2(1). Para ejemplificar el procedimiento realicemos la prueba de la serie de la función coseno hiperbólico y el resto de las series se dejan como ejercicio al lector.

De las definiciones 22.3 y 30.1, para todo $z \in C$ , por la proposición 27.2(1) tenemos que:
$\begin{aligned} \cosh (z) & = \frac{\exp (z) + \exp (- z)}{2} \\ = \frac{\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- z)^{n}}{n!}}{2} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n} + (- z)^{n}}{2 \cdot n!} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n} [1 + (- 1)^{n}]}{2 \cdot n!} . \end{aligned}$

Sea $c_{n} = \frac{1 + (- 1)^{n}}{2 \cdot n!}$ , para todo $n \in N$ . Notemos que:
$c_{n} = {\begin{array}{lcc} 0 & si & n = 2 k + 1, \\ \frac{1}{(2 k)!} & si & n = 2 k, \end{array}$ donde $k \in N$ .

Entonces:
$\cosh (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{2 n}}{(2 n)!} .$

De manera análoga es posible deducir las series de potencias del resto de funciones trigonométricas e hiperbólicas, por lo que se deja como ejercicio al lector.

Observación 31.2.
De estas definiciones para las funciones trigonométricas e hiperbólicas seno y coseno es claro que para todo $z \in C$ se cumple que:
$sen (- z) = - sen (z) y \cos (- z) = \cos (z),$
$senh (- z) = - senh (z) y \cosh (- z) = \cosh (z),$ ya que las series de potencias de las funciones $sen$ y $senh$ solo consideran a las potencias impares de $z$ , mientras que las series de potencias de las funciones $\cos$ y $\cosh$ solo consideran potencias pares de $z$ .

Observación 31.3.
De acuerdo con las definiciones en series de las funciones hiperbólicas seno y coseno es claro que si restringimos el dominio de estas funciones al conjunto de los números reales positivos, entonces estas funciones serán positivas y estrictamente crecientes.

Más aún, por la observación 22.5, sabemos que para todo $z = x + i y \in C$ se cumplen las identidades:
$\begin{array}{r} | sen (z) |^{2} = {sen}^{2} (x) + {senh}^{2} (y), \\ | \cos (z) |^{2} = \cos^{2} (x) + {senh}^{2} (y), \end{array}$ de donde es claro que los únicos ceros de las series (31.8) y (31.9), que definen al seno y coseno complejos, son reales ya que $senh (y) = 0$ si y solo si $y = 0$ .

Considerando las propiedades que hemos probado para las series de números complejos a lo largo de esta unidad, podemos probar fácilmente algunas de las identidades con las que estamos familiarizados para el caso real, mediante la manipulación algebraica de las series de potencias que definen a las funciones trigonométricas e hiperbólicas.

Ejemplo 31.1.
Verifiquemos que para todo $z \in C$ se cumple que:
a) $\cos^{2} (z) = \frac{1 + \cos (2 z)}{2} .$
b) $sen (2 z) = 2 sen (z) \cos (z) .$

Solución.

a) Notemos que:
$\begin{aligned} \frac{1 + \cos (2 z)}{2} & = \frac{1}{2} + \frac{\cos (2 z)}{2} \\ = \frac{1}{2} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (2 z)^{2 n}}{2 (2 n)!} \\ = \frac{1}{2} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{i^{2 n} 2^{2 n - 1} z^{2 n}}{(2 n)!} . \end{aligned}$

Por otra parte:
$\begin{aligned} \cos^{2} (z) & = {(\frac{\exp (i z) + \exp (- i z)}{2})}^{2} \\ = \frac{1}{4} [\exp (2 i z) + 2 + \exp (- 2 i z)] \\ = \frac{1}{2} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2 i z)^{n}}{4 \cdot n!} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 2 i z)^{n}}{4 \cdot n!} \\ = \frac{1}{2} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{2^{n - 2} i^{n} z^{n}}{n!} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} 2^{n - 2} i^{n} z^{n}}{n!} \\ = \frac{1}{2} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{2^{n - 2} i^{n} z^{n} [1 + (- 1)^{n}]}{n!} . \end{aligned}$

Sea $c_{n} = \frac{2^{n - 2} i^{n} [1 + (- 1)^{n}]}{n!}$ , para todo $n \in N$ . Notemos que:
$c_{n} = {\begin{array}{lcc} 0 & si & n = 2 k + 1, \\ \frac{2^{2 k - 1} i^{2 k}}{(2 k)!} & si & n = 2 k, \end{array}$ donde $k \in N$ .

Entonces:
$\frac{1 + \cos (2 z)}{2} = \frac{1}{2} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{i^{2 n} 2^{2 n - 1} z^{2 n}}{(2 n)!} = \cos^{2} (z) .$ b) De acuerdo con el inciso anterior tenemos que:
$\cos^{2} (z) = \frac{1}{2} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{i^{2 n} 2^{2 n - 1} z^{2 n}}{(2 n)!},$ la cual es una serie con radio de convergencia infinito.

Derivando ambos lados de ésta última igualdad, por la proposición 30.2 tenemos que:
$\begin{aligned} - 2 sen (z) \cos (z) & = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{i^{2 n} 2^{2 n - 1} 2 n z^{2 n - 1}}{2 n (2 n - 1)!} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (2 z)^{2 n - 1}}{(2 n - 1)!} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + 1} (2 z)^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} \\ = - sen (2 z), \end{aligned}$ de donde:
$sen (2 z) = 2 sen (z) \cos (z) .$

Ejemplo 31.2.
Las funciones complejas exponencial, seno y coseno son analíticas, definición 30.1, en $C$ .

Solución. Sea $z_{0} \in C$ fijo. Tenemos que:
$\begin{aligned} e^{z} = e^{z_{0} + z - z_{0}} & = e^{z_{0}} e^{z - z_{0}} \\ = e^{z_{0}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(z - z_{0})^{n}}{n!} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} e^{z_{0}} \frac{(z - z_{0})^{n}}{n!}, \forall z \in C . \end{aligned}$

Por otra parte, por la proposición 22.1 sabemos que para todo $z \in C$ se cumple que:
$\begin{array}{r} sen (z) = sen (z_{0} + z - z_{0}) = sen (z_{0}) \cos (z - z_{0}) + sen (z - z_{0}) \cos (z_{0}), \\ \cos (z) = \cos (z_{0} + z - z_{0}) = \cos (z_{0}) \cos (z - z_{0}) - sen (z_{0}) sen (z - z_{0}) . \end{array}$

Entonces:
$sen (z) = sen (z_{0}) \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (z - z_{0})^{2 n}}{(2 n)!} + \cos (z_{0}) \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (z - z_{0})^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}, \forall z \in C,$
$\cos (z) = \cos (z_{0}) \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (z - z_{0})^{2 n}}{(2 n)!} - sen (z_{0}) \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (z - z_{0})^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}, \forall z \in C .$

Ejemplo 31.3.
Determinemos el radio de convergencia y la suma de la serie:
$\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n}{(n - 2)!} z^{n} .$

Solución. Por la forma de la serie, al tener un factorial en el denominador, inferimos que la función suma que describe la serie dada debe estar en términos de la exponencial compleja.

Sabemos que la serie de potencias, centrada en $z_{0} = 0$ , de la exponencial es:
$f (z) = e^{z} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}, \forall z \in C,$ entonces, al derivar dos veces de ambos lados de la igualdad, por el corolario 30.1 tenemos que:
$f » (z) = e^{z} = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n (n - 1) z^{n - 2}}{n!} = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{z^{n - 2}}{(n - 2)!}, \forall z \in C .$

Multiplicando ambos lados por $z^{2}$ tenemos:
$z^{2} e^{z} = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{z^{n}}{(n - 2)!} = \sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} z^{k}, \forall z \in C,$ de donde:
$c_{k} = {\begin{array}{lc} \frac{1}{(n - 2)!}, & si existe n \in N tal que k = n, \\ 0, & en otro caso. \end{array}$

Por lo que $c_{0} = c_{1} = 0$ y para todo $k \geq 2$ :
$c_{k} = \frac{1}{(k - 2)!} .$

Considerando lo anterior no es difícil verificar que esta última serie tiene radio de convergencia infinito, por lo que podemos volver a aplicar la proposición 30.2 y derivar de ambos lados de la igualdad, de donde se sigue que:
$\begin{aligned} \frac{d}{d z} z^{2} e^{z} = 2 z e^{z} + z^{2} e^{z} & = \sum_{k = 1}^{\infty} k c_{k} z^{k - 1} \\ = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n z^{n - 1}}{(n - 2)!}, \forall z \in C . \end{aligned}$

Por último, si multiplicamos por $z$ ésta última igualdad tenemos que:
$e^{z} (2 z^{2} + z^{3}) = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n z^{n}}{(n - 2)!}, \forall z \in C,$ la cual es la función suma correspondiente a la serie dada y tiene también radio de convergencia infinito.

Para cerrar esta entrada analicemos ahora a la función multivaluada logaritmo complejo, para ello consideremos el siguiente:

Ejemplo 31.4.
Veamos que la serie de potencias para la función $Log (1 + z)$ es:
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} z^{n + 1}}{n + 1},$ y determinemos su dominio de convergencia.

Solución. De acuerdo con el ejercicio 10 de la entrada 21, sabemos que la función $Log (1 + z)$ es analítica en $C ∖ (- \infty, - 1]$ y para todo punto en dicho dominio su derivada es:
$\begin{matrix} (31.12) & \frac{d}{d z} Log (1 + z) = \frac{1}{1 + z} . \end{matrix}$

En particular, dicha función es analítica en $B (0, 1)$ y para $| z | < 1$ se cumple (31.12).

Por otra parte, considerando la serie geométrica, tenemos que:
$\sum_{n = 0}^{\infty} (- z)^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} z^{n} = \frac{1}{1 + z}, si | z | < 1.$

Entonces:
$\frac{d}{d z} Log (1 + z) = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} z^{n} = \frac{1}{1 + z}, si | z | < 1.$

Notemos que si definimos a una función $f$ considerando la serie de potencias dada, tenemos que:
$f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} z^{n + 1}}{n + 1} = \sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} z^{k},$ de donde:
$c_{k} = {\begin{array}{lc} \frac{(- 1)^{n}}{n + 1}, & si existe n \in N tal que k = n + 1, \\ 0, & en otro caso. \end{array}$

Por lo que, $c_{0} = 0$ y para $k \geq 1$ se tiene que:
$c_{k} = \frac{(- 1)^{k - 1}}{k} .$

Es claro que para $k \geq 1$ se tiene que $c_{k} \neq 0$ y como:
$λ = lim_{k \to \infty} \frac{| c_{k + 1} |}{| c_{k} |} = lim_{k \to \infty} | \frac{k (- 1)^{k}}{(k + 1) (- 1)^{k - 1}} | = lim_{k \to \infty} \frac{k}{k + 1} = 1,$ entonces, del corolario 29.3 se sigue que $R = 1 / λ = 1$ , es decir, la serie que define a $f$ tiene radio de convergencia 1, por lo que su dominio de convergencia es el disco $B (0, 1)$ .

Lo anterior nos garantiza que tanto $f (z)$ como $Log (1 + z)$ están bien definidas en el disco abierto $B (0, 1)$ .

De acuerdo con la proposición 30.2 y la definición 30.1, tenemos que $f$ es analítica en $B (0, 1)$ y su derivada es:
$\begin{aligned} f^{'} (z) & = \sum_{k = 1}^{\infty} k c_{k} z^{k - 1} \\ = \sum_{k = 1}^{\infty} k (\frac{(- 1)^{k - 1}}{k}) z^{k - 1} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} z^{n} \\ = \frac{1}{1 + z}, si | z | < 1. \end{aligned}$

Sea $g (z) = f (z) - Log (1 + z)$ . Claramente $g$ es analítica en $B (0, 1)$ y su derivada es:
$g^{'} (z) = \frac{d}{d z} [f (z) - Log (1 + z)] = 0, \forall z \in B (0, 1),$ por lo que $g$ es una función constante en $B (0, 1)$ , proposición 19.2. Para $z = 0$ tenemos que:
$g (0) = f (0) - Log (1 + 0) = 0,$ entonces:
$f (z) - Log (1 + z) = 0 ⟹ f (z) = Log (1 + z) .$

Por lo tanto:
$Log (1 + z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} z^{n + 1}}{n + 1}, si | z | < 1.$

Observación 31.4.
Notemos que si sustituimos a $z$ por $z - 1$ en el resultado anterior, entonces:
$Log (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (z - 1)^{n + 1}}{n + 1}, si | z - 1 | < 1.$

Tarea moral

Prueba los lemas 31.1, 31.2 y 31.3.
Completa la demostración de la proposición 31.1.
Completa la demostración de la proposición 31.2.
Utilizando las definiciones en series de potencias de las funciones seno y coseno prueba la identidad Pitagórica ${sen}^{2} (z) + \cos^{2} (z) = 1$ para todo $z \in C$ .
Determina la serie de potencias de la función $Log (\frac{1}{1 - z})$ y determina su región de convergencia.

Hint: Recuerda que para la rama principal del logaritmo se cumple que $Log (w^{- 1}) = - Log (w)$ si $w \in C ∖ (- \infty, 0]$ .
a) Considera el desarrollo en serie de potencias para la función $f (z) = Log (z)$ dado en la observación 31.4 y muestra que $f^{'} (z) = 1 / z$ .

b) Sea $z_{0} \neq 0$ . Para $z \in B (z_{0}, 1)$ define a la función:
$f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{n} {(\frac{z - z_{0}}{z_{0}})}^{n} .$ Muestra que $f^{'} (z) = 1 / z$ .
Determina la función suma y el dominio de convergencia de las siguientes series de potencias.
a) $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + 1}}{n!} z^{3 n}$ .
b) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^{2 n + 1}}{(2 n - 1)!}$ .
c) $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{2^{n + 1} (z - i)^{n + 2}}{(n + 1)!}$ .
Se definen a los números de Bernoulli $B_{n}$ a través de la serie de potencias:
$\frac{z}{e^{z} - 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{B_{n}}{n!} z^{n} .$ a) Prueba la fórmula recursiva:
$\frac{B_{0}}{n! 0!} + \frac{B_{1}}{(n - 1)! 1!} + \dots + \frac{B_{n - 1}}{1! (n - 1)!} = {\begin{array}{lcc} 1 & si & n = 1, \\ 0 & si & n > 1. \end{array}$ Entonces $B_{0} = 1$ .

b) Calcula $B_{1}$ , $B_{2}$ , $B_{3}$ , $B_{4}$ .

c) Muestra que $B_{n} = 0$ si $n$ es un número impar distinto de $1$ .
Define a la función $f : R \to R$ como:
$f (x) = {\begin{array}{lcc} 0 & si & x \leq 0, \\ e^{- 1 / x} & si & x > 0. \end{array}$ Muestra que $f$ es infinitamente diferenciable y que $f^{(n)} = 0$ para todo $n \in N$ .

Más adelante…

Esta entrada es la última de la tercera unidad, correspondiente al tema de series de números complejos. En ella hemos abordado de manera general algunas de las funciones complejas elementales vistas como series de potencias, cabe mencionar que muchas de las propiedades referentes a estas funciones las hemos estudiado a detalle en la segunda unidad. Es importante notar que muchas de las definiciones dadas en esta entrada coinciden con las definiciones de estas funciones como series para el caso real, por lo que resulta natural la extensión de estas funciones al caso complejo.

En la siguiente entrada iniciamos con la cuarta unidad, correspondiente con el tema de integración compleja, en la cual veremos algunos de los resultados más importantes para las funciones complejas que sin duda son fundamentales en la teoría de la variable compleja en sí, mismos que nos permitirán caracterizar de manera clara a las funciones complejas y distinguirlas de las funciones reales.

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Variable Compleja I: Series de potencias. Introducción y criterios de convergencia

Por Pedro Rivera Herrera

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Introducción

En esta entrada abordaremos el concepto de serie de potencias, la cual es un tipo particular de serie de números complejos y/o serie de funciones de números complejos, por lo que los resultados de las dos entradas anteriores nos serán de gran utilidad para caracterizar a dichas series.

En general, las series de potencias resultan de gran interés puesto que nos permiten aproximar y definir funciones, en particular a las funciones complejas elementales como lo haremos en las siguientes entradas. Nuestro objetivo en esta entrada es establecer algunos resultados elementales para determinar cuándo y en qué conjuntos estas series convergen.

Definición 29.1. (Serie de Potencias.)
Sean $z_{0} \in C$ y ${c_{n}}_{n \geq 0} \subset C$ una sucesión de números complejos. Una serie de la forma: $\begin{matrix} (29.1) & \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n}, \end{matrix}$ para cada $z \in C$ , es llamada serie de potencias centrada en $z_{0}$ y los números $c_{n} \in C$ son llamados los coeficientes de la serie.

Observación 29.1.
Recordemos que hemos hecho antes la convención $(z - z_{0})^{0} = 1$ para todo $z - z_{0} \in C$ .

Considerando lo anterior, podemos pensar a una serie de potencias como una serie de números complejos o como una serie de funciones, por lo que, en cualquiera de los dos casos podemos hablar de los conceptos de convergencia, convergencia absoluta, convergencia puntual y convergencia uniforme establecidos en las entradas anteriores.

Si consideramos a una serie de potencias, dada en (29.1), como una serie de funciones, entonces dicha serie está definida por la sucesión de funciones:
$f_{0} (z) = c_{0}, f_{n} (z) = c_{n} {(z - z_{0})}^{n}, \forall n \geq 1.$

Bajo esta idea, es claro que cada serie de potencias define a una función compleja, de variable $z$ , cuyo dominio natural consistirá de todos los $z \in C$ para los cuales la serie de funciones (29.1) converge. Por tanto, en caso de ser necesario podemos elegir distintos dominios para dicha función, correspondientes con subconjuntos del dominio natural dado por la convergencia de la serie.

Observación 29.2.
Notemos que la serie dada por (29.1) siempre converge en el centro, es decir, si $z = z_{0}$ entonces para $n \geq 1$ todos los términos de la serie se anulan, mientras que para $n = 0$ se obtiene la constante $c_{0} \in C$ , por lo que la serie de potencias converge.

Por otra parte, para $z \neq z_{0}$ la serie de potencias puede converger o diverger, como veremos más adelante.

Si planteamos el cambio de variable:
$\begin{matrix} (29.2) & ζ = z - z_{0}, \end{matrix}$ es claro que $ζ = 0$ si y solo si $z = z_{0}$ y $ζ \neq 0$ si y solo si $z \neq z_{0}$ , entonces la serie de potencias dada en (29.1) toma la forma:
$\begin{matrix} (29.3) & \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} ζ^{n}, \forall ζ \in C, \end{matrix}$ de donde (29.3) converge si $ζ = 0$ , mientras que para $ζ \neq 0$ la serie puede converger o diverger.

El cambio de variable dado en (29.2) puede simplificar un poco las cuentas, por lo que trabajaremos indistintamente con una serie de potencias de la forma (29.1) ó (29.3), simplemente considerando $z = ζ$ y a la serie centrada en el origen, es decir, $z_{0} = 0$ . Para recuperar el caso general bastará con realizar el cambio de variable (29.2).

Ejemplo 29.1.
Veamos que para una serie de potencias, de la forma (29.1) ó (29.3), se cumple alguna de las siguientes condiciones.

La serie converge para todo $z \in C$ ó $ζ \in C$ .
La serie converge solo para $z = z_{0}$ ó $ζ = 0$ .
La serie converge solo para los $z$ ó $ζ$ en alguna región del plano complejo $C$ .

Solución. Por ahora, para verificar la afirmación basta con dar un ejemplo para cada caso. Más adelante, corolario 29.1, probaremos esta afirmación.

Veamos que cada condición se cumple sin importar si la serie de potencias es de la forma (29.1) ó (29.3).

Consideremos a las series de potencias: $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(z - 1 + i)^{n}}{(n!)^{2}} y \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{ζ^{n}}{n!} .$ Para la primera serie tenemos que $z_{0} = 1 - i$ . Es claro que para $z = z_{0}$ la serie de potencias converge. Supongamos que $z \neq z_{0}$ , entonces: $\begin{aligned} λ = lim_{n \to \infty} \frac{| \frac{(z - 1 + i)^{n + 1}}{{[(n + 1)!]}^{2}} |}{| \frac{(z - 1 + i)^{n}}{(n!)^{2}} |} & = lim_{n \to \infty} | \frac{(z - 1 + i)^{n + 1} (n!)^{2}}{(z - 1 + i)^{n} {[(n + 1)!]}^{2}} | \\ = lim_{n \to \infty} \frac{| z - 1 + i | (n!)^{2}}{(n + 1)^{2} (n!)^{2}} \\ = lim_{n \to \infty} \frac{| z - 1 + i |}{(n + 1)^{2}} = 0. \end{aligned}$ Entonces, por el criterio del cociente de D’Alembert, proposición 27.5, para todo $z \neq z_{0}$ la serie converge absolutamente. Por lo tanto, para todo $z \in C$ la primera serie de potencias converge.

Por otra parte, para la segunda serie de potencias, por el ejemplo 27.8, sabemos que la serie es absolutamente convergente para todo $ζ \in C$ , por lo que la segunda serie de potencias también converge para todo $ζ \in C$ .
Consideremos a las series de potencias: $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{n} (z - i)^{n}}{n} y \sum_{n = 0}^{\infty} n! ζ^{n} .$ Para la primera serie tenemos que $z_{0} = i$ , $c_{0} = 0$ y $c_{n} = \frac{n^{n}}{n}$ para $n \geq 1$ . Es claro que para $z = z_{0}$ la serie de potencias converge. Supongamos que $z \neq z_{0}$ , entonces: $λ = lim_{n \to \infty} {| \frac{n^{n} (z - i)^{n}}{n} |}^{1 / n} = lim_{n \to \infty} \frac{n | z - i |}{n^{1 / n}} = \infty,$ ya que $lim_{n \to \infty} n = \infty$ y $lim_{n \to \infty} n^{1 / n} = 1$ .

Entonces, por el criterio de la raíz, proposición 27.6, tenemos que la serie diverge para toda $z \neq z_{0}$ . Por lo tanto, la primera serie de potencias converge solo para $z = z_{0}$ .

Por otra parte, para la segunda serie de potencias es claro que la serie converge si $ζ = 0$ . Mientras que para $ζ \neq 0$ tenemos que: $lim_{n \to \infty} n! ζ^{n} = \infty,$ desde que $lim_{n \to \infty} n! = \infty$ y $| ζ^{n} | \geq r > 0$ para toda $n \in N$ , es decir, la sucesión ${ζ^{n}}_{n \geq 0}$ , con $ζ \neq 0$ , está separada de cero, proposición 8.2(5).

Por lo tanto, la segunda serie solo converge para $ζ = 0$ .
Consideremos a las series de potencias: $\sum_{n = 0}^{\infty} (- 2)^{n} \frac{(z + 2)^{n}}{n + 1} y \sum_{n = 0}^{\infty} ζ^{n} .$ Para la primera serie tenemos que $z_{0} = - 2$ . Es claro que para $z = z_{0}$ la serie de potencias converge. Si $z \neq z_{0}$ , tenemos: $\begin{aligned} λ = lim_{n \to \infty} \frac{| (- 2)^{n + 1} \frac{(z + 2)^{n + 1}}{n + 2} |}{| (- 2)^{n} \frac{(z + 2)^{n}}{n + 1} |} & = lim_{n \to \infty} | - 2 | | \frac{(n + 1) (z + 2)^{n + 1}}{(n + 2) (z + 2)^{n}} | \\ = lim_{n \to \infty} (2) | z + 2 | \frac{n + 1}{n + 2} \\ = 2 | z + 2 | . \end{aligned}$ Entonces, por el criterio del cociente de D’Alembert, proposición 27.5, tenemos que la serie converge si $λ = 2 | z + 2 | < 1$ , es decir, para todo $z \in C$ tal que $| z + 2 | < 1 / 2$ , mientras que la serie diverge si $| z + 2 | > 1 / 2$ .

Por último, para la segunda serie de potencias, por el ejemplo 27.3 sabemos que la serie geométrica es convergente para todo $ζ \in C$ tal que $| ζ | < 1$ y divergente si $| ζ | \geq 1$ .

Observación 29.3.
Al trabajar con una serie de potencias, ya sea de la forma (29.1) ó (29.3), debemos ser cuidadosos al identificar los coeficientes de la serie, puesto que no siempre están dados de forma explícita y esto puede llegar a causar errores al manipular a las series de potencias y/o al deducir algo relacionado con su convergencia.

Una vez que estemos seguros de que los coeficientes de la serie corresponden con la regla explícita dada en la serie, podemos trabajar con dicha regla para obtener los coeficientes.

Ejemplo 29.2.
Identifiquemos los coeficientes de las siguientes series de potencias.
a) $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{2^{n}} z^{2 n}$ .
b) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n}$ .
c) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} z^{n - 1}}{n (n + 1)}$ .

Solución. Es claro que las tres series están centradas en $z_{0} = 0$ . Procedemos a escribir a las series de potencias de acuerdo con la definición 29.1.

a) Tenemos que:
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{2^{n}} z^{2 n} = \sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} z^{k},$ de donde:
$c_{k} = {\begin{array}{lc} \frac{(- 1)^{n}}{2^{n}}, & si existe n \in N tal que k = 2 n, \\ 0, & en otro caso. \end{array}$

Por lo que:
$c_{0} = 1, c_{1} = 0, c_{2} = - \frac{1}{2}, c_{3} = 0, \dots, c_{2 n} = \frac{(- 1)^{n}}{2^{n}}, c_{2 n + 1} = 0,$

es decir:
$c_{k} = {\begin{array}{lcc} \frac{(- 1)^{n}}{2^{n}}, & si & k = 2 n, \\ 0, & si & k = 2 n + 1, \end{array} con n \in N .$

b) Tenemos que:
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n} = \sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} z^{k},$ de donde:
$c_{k} = {\begin{array}{lc} \frac{1}{n}, & si existe n \in N tal que k = n, \\ 0, & en otro caso. \end{array}$

Por lo que:
$c_{0} = 0, c_{1} = 1, c_{2} = \frac{1}{2}, c_{3} = \frac{1}{3}, \dots, c_{n} = \frac{1}{n},$ es decir:
$c_{k} = {\begin{array}{lcc} \frac{1}{k}, & si & k \geq 1, \\ 0, & si & k = 0. \end{array}$

c) Tenemos que:
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} z^{n - 1}}{n (n + 1)} = \sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} z^{k},$ de donde:
$c_{k} = {\begin{array}{lc} \frac{(- 1)^{n}}{n (n + 1)}, & si existe n \in N tal que k = n - 1, \\ 0, & en otro caso. \end{array}$

Por lo que:
$c_{0} = \frac{(- 1)^{1}}{1 (1 + 1)} = - \frac{1}{2}, c_{1} = \frac{(- 1)^{2}}{2 (2 + 1)} = \frac{1}{6}, c_{2} = \frac{(- 1)^{3}}{3 (3 + 1)} = - \frac{1}{12}, \dots,$ es decir:
$c_{k} = \frac{(- 1)^{k + 1}}{(k + 1) (k + 2)}, k \in N .$

Nuestra primera tarea es determinar bajo qué condiciones una serie de potencias converge, pues como vimos en el ejemplo 29.1, existen series de potencias que convergen en todo $C$ , en un sólo punto o en alguna región del plano complejo. Es claro que un ejemplo no es una prueba de este hecho, por lo que procedemos a verificarlo de manera formal.

Proposición 29.1. (Lema de Abel.)
Si la serie de potencias $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} z^{n}$ converge para algún $z = z_{0} \neq 0$ , entonces la serie converge absolutamente para todo $z \in C$ tal que $| z | < | z_{0} |$ .

Más aún, si la serie diverge para algún $z = z_{1} \neq 0$ , entonces la serie diverge para todo $z \in C$ tal que $| z_{1} | < | z |$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, procedemos a verificar la primera parte de la proposición.

Si la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} z_{0}^{n}$ converge, con $z_{0} \neq 0$ , entonces, por el corolario 27.1, se cumple que:
$lim_{n \to \infty} c_{n} z_{0}^{n} = 0,$

es decir, la sucesión ${c_{n} z_{0}^{n}}_{n \geq 0}$ converge a 0, por lo que, proposición 8.1, es una sucesión acotada. Entonces, existe $M > 0$ tal que:
$| c_{n} | | z_{0} |^{n} = | c_{n} z_{0}^{n} | \leq M, \forall n \in N .$

Como $z_{0} \neq 0$ , tenemos que:
$| c_{n} | \leq \frac{M}{| z_{0} |^{n}}, \forall n \in N,$

de donde:
$| c_{n} z^{n} | \leq M {| \frac{z}{z_{0}} |}^{n}, \forall n \in N .$

Si $| z | < | z_{0} |$ , entonces la serie geométrica $\sum_{n = 0}^{\infty} M {| \frac{z}{z_{0}} |}^{n}$ es convergente, por lo que, se sigue del criterio de comparación, proposición 27.4, que la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} z^{n}$ es absolutamente convergente.

Por último, para la segunda parte procedemos por reducción al absurdo. Supongamos que $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} z_{1}^{n}$ diverge. Si $| z_{1} | < | z |$ y la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} z^{n}$ converge, entonces de la primera parte se sigue que $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} z_{1}^{n}$ converge, lo cual claramente es una contradicción. Por lo tanto $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} z^{n}$ diverge si $| z | > | z_{1} |$ .

El lema de Abel es de suma importancia para poder establecer el siguiente resultado, el cual será un parteaguas para los resultados de esta entrada.

Proposición 29.2. (Radio de convergencia.)
Sea $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n}$ una serie de potencias, entonces existe un número $R \in [0, \infty]$ tal que:

la serie es absolutamente convergente si $| z - z_{0} | < R$ ;
la serie converge absoluta y uniformemente en todo disco cerrado $\overset{―}{B} (z_{0}, r)$ , con $r$ fijo tal que $r < R$ ;
si $| z - z_{0} | > R$ la serie diverge.

Demostración. Sea $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n}$ una serie de potencias, definimos:
$S := {ρ \in [0, \infty) : \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} ρ^{n} converge} .$

Notemos que $S \neq \emptyset$ desde que $0 \in S$ .

Afirmamos que el número $R$ que cumple lo anterior está dado por $R := sup S$ .

De acuerdo con el enunciado de la proposición, debe ser claro que podemos tener dos casos extremos: si $R = 0$ ó si $R = \infty$ , los cuales están dados por la definición de $R$ como sigue.

Si $S$ no es acotado superiormente, adoptamos la convención $R = \infty$ . Veamos que en tal caso, la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n}$ converge absoluta y uniformemente en $\overset{―}{B} (z_{0}, r)$ , para cualquier $r \geq 0$ .

Si elegimos a $ρ \in S$ tal que $| z - z_{0} | \leq r < ρ$ , entonces la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} ρ^{n}$ es convergente y de la proposición 27.4(1) tenemos que la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} r^{n}$ es absolutamente convergente. Dado que: $| c_{n} (z - z_{0})^{n} | \leq | c_{n} r^{n} | = | c_{n} | r^{n}, \forall n \in N,$ entonces del criterio $M$ de Weierstrass, proposición 28.3, se sigue que la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n}$ converge absoluta y uniformemente en $\overset{―}{B} (z_{0}, r)$ . Como $r$ es arbitario, entonces tenemos el caso $R = \infty$ .

Supongamos que $S$ es acotado superiormente. Si $R = 0$ , entonces la serie solo converge si $z = z_{0}$ , por lo que, lema de Abel, la serie converge absolutamente solo en el centro.

Si $R > 0$ y $| z - z_{0} | < R$ , entonces, por la definición de $R$ , existe $r \in S$ tal que: $| z - z_{0} | < r \leq R .$ Dado que $r \in S$ , entones la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} r^{n}$ es convergente. Notemos que la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n}$ converge para $z = r + z_{0}$ , por lo que, lema de Abel, la serie converge absolutamente para $| z - z_{0} | < r \leq R$ , lo cual completa el caso $| z - z_{0} | < R$ .
Sea $z \in \overset{―}{B} (z_{0}, r)$ , con $r$ fijo tal que $r < R$ , entonces, por la definición de $R$ , podemos elegir $ρ \in S$ tal que $r < ρ \leq R$ . Como la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} ρ^{n}$ converge, entonces, proposición 27.4(1), la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} | c_{n} | r^{n}$ converge, por lo que, criterio $M$ de Weierstrass, la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n}$ es absoluta y uniformemente convergente en $\overset{―}{B} (z_{0}, r)$ .
Supongamos que $| z - z_{0} | > R$ , entonces, por la definición de $R$ , existe $r \notin S$ tal que: $R \leq r < | z - z_{0} | .$ Como la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} r^{n}$ diverge, entonces la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n}$ diverge para $z = z_{0} + r$ , por lo que, por lema de Abel, la serie diverge para todo $z \in C$ tal que $R \leq r < | z - z_{0} |$ .

Definición 29.2. (Radio de convergencia.)
Se llama radio de convergencia de la serie de potencias $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n}$ al número $R$ dado en la proposición 29.2.

Al conjunto $B (z_{0}, R) = {z \in C : | z - z_{0} | < R}$ se le llama su disco de convergencia asociado, figura 108. En algunos textos suele hablarse del círculo de convergencia de la serie, el cual se asocia al conjunto $\overset{―}{B} (z_{0}, R) = {z \in C : | z - z_{0} | \leq R}$ , ya que geométricamente corresponde con el interior y la frontera de una circunferencia de radio $R$ centrada en $z_{0}$ .

Observación 29.4.
Notemos que la proposición no nos dice nada sobre la convergencia o divergencia de la serie para el caso en que $R = | z - z_{0} |$ . Como veremos en la proposición 29.3, no podemos afirmar nada sobre tal caso.

La proposición 29.2 nos da la prueba de la afirmación hecha en el ejemplo 29.1.

Corolario 29.1.
Sea $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n}$ una serie de potencias y sea $R$ su radio de convergencia. Entonces:

Si $R = \infty$ , la serie converge absolutamente para todo $z \in C$ .
Si $R = 0$ , la serie converge solo para $z = z_{0}$ .
Si $0 < R < \infty$ , la serie converge solo para los $z \in C$ tales que $| z - z_{0} | < R$ y diverge para $| z - z_{0} | > R$ .

Demostración. Es inmediato de la proposición 29.2.

Ejemplo 29.3.
Analicemos la siguiente serie y determinemos su radio de convergencia.
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{2^{n}} z^{2 n} = 1 - \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{4}}{2^{2}} - \frac{z^{6}}{2^{3}} + \dots .$

Solución. Por el ejemplo 29.2 sabemos que se trata de una serie de potencias con centro en $z_{0} = 0$ y coeficientes:
$c_{k} = {\begin{array}{lcc} \frac{(- 1)^{n}}{2^{n}}, & si & k = 2 n, \\ 0, & si & k = 2 n + 1, \end{array} con n \in N .$

Notemos que si hacemos $w = \frac{- z^{2}}{2}$ entonces:
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{2^{n}} z^{2 n} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{- z^{2}}{2})}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} w^{n} .$

Entonces, tenemos una serie geométrica convergente si $| w | < 1$ , es decir, si $| z^{2} | < 2$ . En tal caso la serie converge a:
$\frac{1}{1 - w} = \frac{2}{2 - z^{2}} .$

Para esta serie es claro que su radio de convergencia es $R = \sqrt{2}$ .

En general, obtener el radio de convergencia de una serie de potencias no es una tarea fácil, el ejemplo anterior resultó sencillo pues conocemos bien a la serie geométrica, pero en general las series de potencias pueden resultar más complejas. Por ello, procedemos a establecer una serie de resultados que nos permitan determinar el radio de convergencia de una serie de potencias a través de la sucesión de números complejos ${c_{n}}_{n \geq 0}$ , correspondiente con los coeficientes de la serie.

Primeramente, recordemos los siguientes conceptos y resultados estudiados y probados en nuestros cursos de Cálculo y/o Análisis.

Definición 29.3.
Sea ${a_{n}}_{n \geq 0} \subset R$ una sucesión de números reales acotada. Se define:
$\begin{aligned} l_{0} = sup {a_{n} : n \geq 0} & = sup {a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}, \dots}, \\ l_{1} = sup {a_{n} : n \geq 1} & = sup {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots}, \\ l_{2} = sup {a_{n} : n \geq 2} & = sup {a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, \dots}, \\ ⋮ \\ l_{k} = sup {a_{n} : n \geq k} & = sup {a_{k}, a_{k + 1}, \dots, a_{n}, \dots} . \end{aligned}$

Es claro que:
${a_{n} : n \geq k + 1} \subset {a_{n} : n \geq k}, \forall k \in N,$

por lo que:
$l_{k + 1} = sup {a_{n} : n \geq k + 1} \leq l_{k} = sup {a_{n} : n \geq k},$

es decir, la sucesión ${l_{k}}_{k \geq 0}$ es decreciente.

Dado que ${a_{n}}_{n \geq 0}$ es acotada, entonces existe $M > 0$ tal que $| a_{n} | \leq M$ para todo $n \in N$ , es decir:
$- M \leq a_{n} \leq M, \forall n \in N,$

de donde:
$- M \leq l_{k} \leq M, \forall k \in N,$ es decir, la sucesión ${l_{k}}_{k \geq 0}$ también es acotada.

Por lo tanto, se sigue del teorema de la convergencia monótona para sucesiones, teorema 27.1, que la sucesión ${l_{k}}_{k \geq 0}$ converge.

Si la sucesión ${a_{n}}_{n \geq 0}$ no es acotada superiormente, tenemos que $l_{k} = \infty$ para todo $k \in N$ , en tal caso se define:
$\begin{matrix} (29.4) & lim_{k \to \infty} l_{k} = \infty . \end{matrix}$

Análogamente, se define a la sucesión:
$m_{k} = inf {a_{n} : n \geq k}, k \in N .$

Claramente $m_{k} \leq m_{k + 1}$ para todo $k \in N$ y ${m_{k}}_{k \geq 0}$ es acotada, entonces, teorema 27.1, la sucesión ${m_{k}}_{k \geq 0}$ converge.

Si la sucesión ${a_{n}}_{n \geq 0}$ no es acotada inferiormente, tenemos que $m_{k} = - \infty$ para todo $k \in N$ , en tal caso se define:
$\begin{matrix} (29.5) & lim_{k \to \infty} m_{k} = - \infty . \end{matrix}$

Definición 29.4. (Límite superior e inferior de una sucesión.)
Sea ${a_{n}}_{n \geq 0} \subset R$ una sucesión de números reales arbitraria. Considerando a las sucesiones ${l_{k}}_{k \geq 0}$ y ${m_{k}}_{k \geq 0}$ , dadas como en la definición 29.3, se define el límite inferior y superior de ${a_{n}}_{n \geq 0}$ , respectivamente, como:
$\begin{aligned} lim_{k \to \infty} m_{k} & = lim_{k \to \infty} inf {a_{n} : n \geq k}, \\ lim_{k \to \infty} l_{k} & = lim_{k \to \infty} sup {a_{n} : n \geq k}, \end{aligned}$

a los cuales se denota, respectivamente, como:
$\begin{array}{r} \underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} = lim_{k \to \infty} m_{k}, \\ \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} = lim_{k \to \infty} l_{k} . \end{array}$

Observación 29.5.
Dado que una sucesión monótona (acotada) siempre tiene límite, entonces si permitimos que se cumplan (29.4) y (29.5), es claro que $lim_{k \to \infty} m_{k}$ y $lim_{k \to \infty} l_{k}$ siempre existen y por tanto los límites inferior y superior de una sucesión arbitraria de números reales ${a_{n}}_{n \geq 0}$ siempre existen.

Más aún, de acuerdo con las definiciones 29.3 y 29.4 es claro que se cumple:
$\begin{aligned} m_{0} & \leq m_{1} \leq \dots \leq m_{k} \leq \dots, \\ \dots & \leq l_{k} \leq \dots \leq l_{1} \leq l_{0}, \end{aligned}$ y $m_{i} \leq l_{j}$ , por lo que:
$\underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} .$

Observación 29.6.
Dada una sucesión arbitraria de números reales ${a_{n}}_{n \geq 0}$ , de acuerdo con la definición 7.7 de la entrada 7, tenemos que $\underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n}$ y $\underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n}$ corresponden, respectivamente, con el menor y mayor punto de acumulación del conjunto ${a_{n} : n \in N}$ .

Es importante notar que $\underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n}$ y $\underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n}$ no son necesariamente, el valor más pequeño o más grande, respectivamente, del conjunto ${a_{n} : n \in N}$ .

Ejemplo 29.4.
a) Para la sucesión ${(- 1)^{n}}_{n \geq 0} = {1, - 1, 1, - 1, \dots}$ tenemos que:
$sup {(- 1)^{n} : n \geq k} = 1 e inf {(- 1)^{n} : n \geq k} = - 1 \forall k \in N,$

por lo que:
$\underset{n \to \infty}{lim inf} (- 1)^{n} = - 1 y \underset{n \to \infty}{lim sup} (- 1)^{n} = 1.$

b) Para la sucesión ${(- 1)^{n} n}_{n \geq 0} = {0, - 1, 2, - 3, \dots}$ tenemos que:
$sup {(- 1)^{n} n : n \geq k} = \infty e inf {(- 1)^{n} n : n \geq k} = - \infty \forall k \in N,$

por lo que:
$\underset{n \to \infty}{lim inf} (- 1)^{n} n = - \infty y \underset{n \to \infty}{lim sup} (- 1)^{n} n = \infty .$

c) Para la sucesión ${\frac{1}{n}}_{n \geq 1} = {1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots}$ tenemos que:
$sup {\frac{1}{n} : n \geq k} = \frac{1}{k} e inf {\frac{1}{n} : n \geq k} = 0, \forall k \in N,$ por lo que: $\underset{n \to \infty}{lim inf} \frac{1}{n} = 0 = \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{1}{n},$

aún cuando cada término de la sucesión es más mayor que $0$ .

Teorema 29.1.
Una sucesión de números reales ${a_{n}}_{n \geq 0} \subset R$ converge si y solo si $\underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n}$ y $\underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n}$ , existen, son finitos y son iguales. En tal caso:
$\underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} = \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} = lim_{n \to \infty} a_{n} .$

Teorema 29.2.
Una sucesión ${a_{n}}_{n \geq 0} \subset R$ converge a $L \in R$ si y solo si toda subsucesión de ${a_{n}}_{n \geq 0}$ converge a $L$ .

Lema 29.1.
Una sucesión ${a_{n}}_{n \geq 0} \subset R$ converge a $L \in R$ si y solo si las subsucesiones ${a_{2 n}}_{n \geq 0}$ y ${a_{2 n + 1}}_{n \geq 0}$ convergen ambas a $L$ .

Demostración. Dadas las hipótesis.

$\Rightarrow)$ Si $lim_{n \to \infty} a_{n} = L$ , entonces, por el teorema 29.2, ambas subsucesiones ${a_{2 n}}_{n \geq 0}$ y ${a_{2 n + 1}}_{n \geq 0}$ convergen a $L$ .

$(\Leftarrow$ Supongamos que ambas subsucesiones ${a_{2 n}}_{n \geq 0}$ y ${a_{2 n + 1}}_{n \geq 0}$ convergen a $L$ . Sea $ε > 0$ , entonces existen $N_{1}, N_{2} \in N$ tales que:
$\begin{aligned} | a_{2 n} - L | & < ε, para todo n \geq N_{1}, \\ | a_{2 n + 1} - L | & < ε, para todo n \geq N_{2} . \end{aligned}$

Sea $N = max {2 N_{1}, 2 N_{2} + 1}$ . Para $n \geq N$ , tenemos que $n \geq 2 N_{1}$ y $n \geq 2 N_{2} + 1$ .

Si $n = 2 k$ , para algún $k \in N$ , y $n \geq N$ , entonces $k \geq N_{1}$ , por lo que:
$| a_{n} - L | = | a_{2 k} - L | < ε .$

Análogamente, si $n = 2 k + 1$ , para algún $k \in N$ , y $n \geq N$ , entonces $k \geq N_{2}$ , por lo que:
$| a_{n} - L | = | a_{2 k + 1} - L | < ε .$

De ambos casos concluimos que, dado $ε > 0$ existe $N \in N$ , tal que si $n \geq N$ , entonces $| a_{n} - L | < ε$ .

Ejemplo 29.5.
a) Para la sucesión ${a_{n}}_{n \geq 1}$ , con $a_{n} = \frac{(- 1)^{n} + n}{n}$ , tenemos que:
$a_{2 n} = \frac{(- 1)^{2 n} + 2 n}{2 n} = 1 + \frac{1}{2 n} ⟹ lim_{n \to \infty} a_{2 n} = 1,$

$a_{2 n + 1} = \frac{(- 1)^{2 n + 1} + (2 n + 1)}{2 n + 1} = 1 - \frac{1}{2 n + 1} ⟹ lim_{n \to \infty} a_{2 n + 1} = 1,$

por lo que, del lema 29.1 y el teorema 29.1 se sigue que:
$lim_{n \to \infty} a_{n} = 1 = \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} = \underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} .$

Figura 106: Gráfica de puntos de la sucesión ${a_{n}}_{n \geq 1}$ .

Consideremos a la sucesión ${b_{n}}_{n \geq 1}$ dada por:
$b_{n} = {\begin{array}{lcc} \frac{n}{n + 1} & si & n = 2 k, \\ \frac{1}{n + 1} & si & n = 2 k + 1, \end{array} k \in N^{+} .$

Tenemos que:
${b_{n}}_{n \geq 1} = {\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \dots} .$

Notemos que para dicha sucesión, los puntos $1$ y $0$ son de acumulación del conjunto ${b_{n} : n \in N^{+}}$ , proposición 8.6, ya que existen las subsucesiones ${b_{2 k}}_{k \geq 1}$ y ${b_{2 k + 1}}_{k \geq 1}$ de la sucesión original tales que $1 \neq b_{2 k}$ y $0 \neq b_{2 k + 1}$ para todo $k \in N^{+}$ y se cumple que:
$b_{2 k} = \frac{2 k}{2 k + 1} ⟹ lim_{k \to \infty} b_{2 k} = 1,$
$b_{2 k + 1} = \frac{1}{2 k + 1} ⟹ lim_{k \to \infty} b_{2 k + 1} = 0.$

Más aún, es claro que la sucesión está acotada superiormente e inferiormente por $1$ y $0$ , respectivamente, por lo que:
$\underset{n \to \infty}{lim sup} b_{n} = 1 y \underset{n \to \infty}{lim inf} b_{n} = 0.$

De acuerdo con el teorema 29.1, tenemos que la sucesión no converge ya que estos límites son distintos.

Figura 107: Gráfica de puntos de la sucesión ${b_{n}}_{n \geq 1}$ .

Teorema 29.3.
Sea ${a_{n}}_{n \geq 1} \subset R$ una sucesión de números reales positivos, entonces:
$\begin{matrix} (29.6) & \underset{n \to \infty}{lim inf} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \leq \underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n}^{1 / n} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n}^{1 / n} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} . \end{matrix}$

Corolario 29.2.
Si ${a_{n}}_{n \geq 1} \subset R$ es una sucesión de números reales positivos tales que $lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ existe, entonces las cuatro cantidades dadas en (29.6) son iguales, por lo que:
$lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = lim_{n \to \infty} a_{n}^{1 / n} .$

Observación 29.7.
Puede suceder que la sucesión ${\sqrt[n]{a_{n}}}_{n \geq 1}$ sea convergente, pero que la sucesión ${\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}}_{n \geq 1}$ sea divergente.

Ejemplo 29.6.
Sea ${a_{n}}_{n \geq 1}$ dada por:
$a_{2 n} = a_{2 n - 1} = \frac{1}{2^{n}}, n \in N^{+},$

es decir:
${a_{n}}_{n \geq 1} = {\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, \dots, \frac{1}{2^{n}}, \frac{1}{2^{n}}, \dots} .$

Tenemos que:
$\sqrt[2 n]{a_{2 n}} = {(\frac{1}{2^{n}})}^{1 / 2 n} = \frac{1}{\sqrt{2}} ⟹ lim_{n \to \infty} \sqrt[2 n]{a_{2 n}} = \frac{1}{\sqrt{2}},$
$\sqrt[2 n - 1]{a_{2 n - 1}} = {(\frac{1}{2^{n}})}^{\frac{1}{2 n - 1}} = \frac{1}{2^{\frac{n}{2 n - 1}}} ⟹ lim_{n \to \infty} \sqrt[2 n - 1]{a_{2 n - 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} .$

Entonces, por el lema 29.1, tenemos que:
$lim_{n \to \infty} a_{n} = \frac{1}{\sqrt{2}},$ es decir, la sucesión ${\sqrt[n]{a_{n}}}_{n \geq 1}$ converge.

Por otra parte, notemos que:
$\frac{a_{2 n}}{a_{2 n - 1}} = \frac{\frac{1}{2^{n}}}{\frac{1}{2^{n}}} = 1 ⟹ lim_{n \to \infty} \frac{a_{2 n}}{a_{2 n - 1}} = 1,$
$\frac{a_{2 n + 1}}{a_{2 n}} = \frac{\frac{1}{2^{n + 1}}}{\frac{1}{2^{n}}} = \frac{1}{2} ⟹ lim_{n \to \infty} \frac{a_{2 n + 1}}{a_{2 n}} = \frac{1}{2},$ por lo tanto, del lema 29.1 se sigue que ${\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}}_{n \geq 1}$ no converge.

Puede consultarse la prueba de estos resultados en alguno de los siguientes textos:

Elementary Analysis: The Theory of Calculus de Kenneth A. Ross.
An Introduction to Analysis de William R. Wade.

Una vez recordados estos resultados, procedemos a establecer el resultado esperado para poder determinar el radio de convergencia a través de la sucesión de números complejos dada por los coeficientes de una serie de potencias.

Proposición 29.3. (Fórmula de Cauchy-Hadamard para el radio de convergencia.)
Sea $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n}$ una serie de potencias y sea $λ = \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| c_{n} |}$ . Definimos a $R \in [0, \infty]$ como el radio de convergencia de la serie dado por $R = 1 / λ$ , con la definición de $R = 0$ si $λ = \infty$ y $R = \infty$ si $λ = 0$ . Entonces:

Si $R = \infty$ , la serie converge absolutamente para todo $z \in C$ .
Si $R = 0$ , la serie solo converge para $z = z_{0}$ .
Si $0 < r < R < \infty$ entonces la serie es absolutamente convergente para $| z - z_{0} | < R$ y uniformemente convergente en $\overset{―}{B} (z_{0}, r)$ . La serie diverge si $| z - z_{0} | > R$ y no podemos afirmar nada para $| z - z_{0} | = R$ .

Demostración. Dadas las hipótesis.

Si $R = \infty$ , entonces tenemos que $λ = \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| c_{n} |} = 0$ . Notemos que para todo $z \in C$ se cumple: $\underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| c_{n} (z - z_{0})^{n} |} = | z - z_{0} | \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| c_{n} |} = | z - z_{0} | λ = 0.$ Dado que la sucesión ${\sqrt[n]{| c_{n} (z - z_{0})^{n} |}}_{n \geq 1}$ es una sucesión de números reales no negativos, entonces: $0 \leq \underset{n \to \infty}{lim inf} \sqrt[n]{| c_{n} (z - z_{0})^{n} |} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| c_{n} (z - z_{0})^{n} |} = 0,$ es decir: $\underset{n \to \infty}{lim inf} \sqrt[n]{| c_{n} (z - z_{0})^{n} |} = \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| c_{n} (z - z_{0})^{n} |} = 0.$ Considerando lo anterior, por el teorema teorema 29.1, tenemos que: $lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| c_{n} (z - z_{0})^{n} |} = 0 < 1,$ por lo que, se sigue del criterio de la raíz, proposición 27.6, que la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n}$ es absolutamente convergente para todo $z \in C$ .
Si $R = 0$ , entonces tenemos que $λ = \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| c_{n} |} = \infty$ . Es claro que para $z = z_{0}$ la serie converge: $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z_{0} - z_{0})^{n} = c_{0} .$ Veamos que la serie no puede converger en ningún otro punto. Procedamos por contradicción, supongamos que la serie converge para $z = a \neq z_{0}$ , entonces, corolario 27.1, se cumple que: $lim_{n \to \infty} c_{n} (a - z_{0})^{n} = 0,$ lo cual es equivalente, considerando el ejercicio 6 de la entrada 8, a que: $lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| c_{n} |} | a - z_{0} | = 0,$ es decir, para todo $ε > 0$ existe $N \in N$ tal que si $n \geq N$ , entonces: $\sqrt[n]{| c_{n} |} | a - z_{0} | = | \sqrt[n]{| c_{n} |} | a - z_{0} | | < ε,$ por lo que: $\sqrt[n]{| c_{n} |} < \frac{ε}{| a - z_{0} |}, \forall n \geq N,$ de donde, teorema 29.1: $lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| c_{n} |} = \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| c_{n} |} = λ < \infty,$ lo cual contradice nuestro supuesto de que $λ = \infty$ . Por lo que, la serie solo converge para $z = z_{0}$ .
Supongamos que $| z - z_{0} | < R$ . De acuerdo con la definición 29.3: $λ = \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| c_{n} |} = lim_{k \to \infty} sup {\sqrt[n]{| c_{n} |} : n \geq k},$ por lo que, de la definición del límite tenemos que para todo $ε > 0$ existe $N \in N$ tal que si $k \geq N$ , entonces: $| sup {\sqrt[n]{| c_{n} |} : n \geq k} - λ | < ε ⟺ - ε + λ < sup {\sqrt[n]{| c_{n} |} : n \geq k} < ε + λ,$ de donde: $- ε + λ < \sqrt[n]{| c_{n} |} < ε + λ, \forall n \geq N .$ Sea $ρ = \frac{| z - z_{0} | + R}{2} > 0$ , entonces $| z - z_{0} | < ρ < R$ . Tenemos que: $0 < ρ < R = \frac{1}{λ} ⟹ λ < \frac{1}{ρ},$ por lo que, para $ε = \frac{1}{ρ} - λ > 0$ existe $N \in N$ tal que:
$\sqrt[n]{| c_{n} |} < \frac{1}{ρ} - λ + λ, \forall n \geq N,$ es decir: $| c_{n} | < \frac{1}{ρ^{n}}, \forall n \geq N .$ De lo anterior se sigue que: $| c_{n} (z - z_{0})^{n} | = | c_{n} | | z - z_{0} |^{n} < {(\frac{| z - z_{0} |}{ρ})}^{n}, \forall n \geq N .$ Dado que $| z - z_{0} | < ρ$ , entonces la serie geométrica: $\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{| z - z_{0} |}{ρ})}^{n},$ es convergente. Por tanto, del criterio de comparación, proposición 27.4, se sigue que la serie: $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n},$ es absolutamente convergente para todo $z \in C$ tal que $| z - z_{0} | < R$ .

Supongamos que $0 < r < R$ . Sea $ρ = \frac{r + R}{2} > 0$ , entonces $r < ρ < R = \frac{1}{λ}$ , por lo que $λ < \frac{1}{ρ}$ . Entonces, para $ε = \frac{1}{ρ} - λ > 0$ existe $N \in N$ tal que: $| c_{n} | < \frac{1}{ρ^{n}}, \forall n \geq N .$ Como $r < ρ$ , tenemos que la serie geométrica es convergente: $\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{r}{ρ})}^{n} .$ Si $| z - z_{0} | \leq r$ , de lo anterior se sigue que: $| c_{n} (z - z_{0})^{n} | = | c_{n} | | z - z_{0} |^{n} \leq {(\frac{r}{ρ})}^{n}, \forall n \geq N,$ por lo que, se sigue del criterio $M$ de Weierstrass, proposición 28.3, que la serie: $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n},$ es absoluta y uniformemente convergente en $\overset{―}{B} (z_{0}, r)$ , para $0 < r < R$ .

Supongamos ahora que $| z - z_{0} | > R$ . Sea $r = \frac{| z - z_{0} | + R}{2} > 0$ tal que $R < r < | z - z_{0} |$ , de donde $\frac{1}{r} < \frac{1}{R} = λ$ . Entonces, para $ε = λ - \frac{1}{r} > 0$ existe $N \in N$ tal que: $\frac{1}{r} = - ε + λ < \sqrt[n]{| c_{n} |}, \forall n \geq N,$ de donde: ${(\frac{| z - z_{0} |}{r})}^{n} < | c_{n} | | z - z_{0} |^{n} = | c_{n} (z - z_{0})^{n} |, \forall n \geq N .$ Como $0 < r < | z - z_{0} |$ , entonces la serie geométrica: $\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{| z - z_{0} |}{r})}^{n},$ es divergente. Por el criterio de comparación, proposición 27.4, concluimos que la serie de potencias diverge.

Por último, consideremos a la serie de potencias: $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n} .$ Es claro que dicha serie está centrada en $z_{0} = 0$ y del ejemplo 29.2(b) tenemos que: $c_{n} = {\begin{array}{lcc} \frac{1}{n}, & si & n \geq 1, \\ 0, & si & n = 0. \end{array}$ Dado que: $sup {\sqrt[n]{| c_{n} |} : n \geq k} = {(\frac{1}{k})}^{1 / k}, \forall k \geq 1,$ entonces: $λ = \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| c_{n} |} = lim_{k \to \infty} {(\frac{1}{k})}^{1 / k} = 1.$ Notemos que, para $z = 1$ tenemos que $| z - z_{0} | = 1 = R = \frac{1}{λ}$ y en ese caso tenemos a la serie armónica: $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n},$ la cual diverge.

Mientras que, para $z = - 1$ tenemos que $| z - z_{0} | = 1 = R = \frac{1}{λ}$ y la serie es convergente: $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n} .$ Por lo tanto, no podemos afirmar nada para el caso $| z - z_{0} | = R$ .

Considernado lo anterior, podemos dar de manera equivalente la siguiente:

Definición 29.5. (Radio de convergencia.)
Sea $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n}$ una serie de potencias y sea $λ = \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| c_{n} |}$ . Entonces definimos a $R \in [0, \infty]$ como el radio de convergencia de la serie de potencias, dado por:

$R = \infty$ si $λ = 0$ .
$R = 0$ si $λ = \infty$ .
$R = 1 / λ$ si $0 < λ < \infty$ .

Figura 108: Disco de convergencia $B (z_{0}, R)$ , de una serie de potencias $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n}$ .

Definición 29.6. (Dominio de convergencia.)
Sea $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n}$ una serie de potencias. El conjunto de valores de $z \in C$ para los cuales la serie de potencias converge es llamado su dominio de convergencia.

Ejemplo 29.7.
Determinemos el radio de convergencia de las siguientes series de potencias y veamos dónde la convergencia es uniforme.
a) $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} z^{n} = 1 + 4 z + 5^{2} z^{2} + 4^{3} z^{3} + 5^{4} z^{4} + 4^{5} z^{5} + \dots$ .
b) $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(z - 1 + i)^{n}}{(2 - i)^{n}}$ .
c) $\sum_{n = 1}^{\infty} z^{n^{2}}$ .

Solución.
a) Tenemos que:
$c_{0} = 1, c_{n} = {\begin{array}{lcc} 5^{n}, & si & n = 2 k, \\ 4^{n}, & si & n = 2 k + 1, \end{array} con k \in N^{+},$

por lo que:
$sup {| c_{n} |^{1 / n} : n \geq k} = 5, \forall k \geq 1.$

Entonces:
$λ = \underset{n \to \infty}{lim sup} | c_{n} |^{1 / n} = lim_{k \to \infty} sup {| c_{n} |^{1 / n} : n \geq k} = 5, ⟹ R = \frac{1}{λ} = \frac{1}{5} .$

De la proposición 29.3 se sigue que la serie converge uniformemente en todo disco cerrado $\overset{―}{B} (0, r)$ , con $r < R$ .

b) Tenemos que:
$z_{0} = 1 - i, c_{0} = 1 y c_{n} = \frac{1}{(2 - i)^{n}}, \forall n \in N^{+},$

por lo que:
$sup {| c_{n} |^{1 / n} : n \geq k} = {(\frac{1}{| 2 - i |^{k}})}^{1 / k} = \frac{1}{| 2 - i |} = \frac{1}{\sqrt{5}}, \forall k \geq 1.$

Entonces:
$λ = \underset{n \to \infty}{lim sup} | c_{n} |^{1 / n} = lim_{k \to \infty} sup {| c_{n} |^{1 / n} : n \geq k} = \frac{1}{\sqrt{5}}, ⟹ R = \frac{1}{λ} = \sqrt{5} .$

De la proposición 29.3 se sigue que la serie converge uniformemente en todo disco cerrado $\overset{―}{B} (1 - i, r)$ , con $r < \sqrt{5}$ .

c) Tenemos que:
$\sum_{n = 0}^{\infty} z^{n^{2}} = \sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} z^{k},$

de donde:
$c_{k} = {\begin{array}{lc} 1, & si existe n \in N tal que k = n^{2}, \\ 0, & en otro caso, \end{array}$

es decir:
$c_{0} = 1, c_{1} = 1, c_{2} = 0, c_{3} = 0, c_{4} = 1, \dots .$

Considerando lo anterior es claro que la serie tiene un número infinitos de coeficientes que son $0$ . Sin embargo, notemos que:
$sup {| c_{n} |^{1 / n} : n \geq k} = | 1 |^{1 / k} = 1, \forall k \geq 1.$

Entonces:
$λ = \underset{n \to \infty}{lim sup} | c_{n} |^{1 / n} = lim_{k \to \infty} sup {| c_{n} |^{1 / n} : n \geq k} = 1, ⟹ R = \frac{1}{λ} = 1.$

De la proposición 29.3 se sigue que la serie converge uniformemente en todo disco cerrado $\overset{―}{B} (0, r)$ , con $r < 1$ .

Corolario 29.3. (Determinación del radio de convergencia de una serie de potencias.)
El radio de convergencia $R \in [0, \infty]$ , de una serie de potencias $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n}$ puede determinarse por alguno de los siguientes métodos.

Criterio de D’Alembert del radio de convergencia. Si $λ = lim_{n \to \infty} \frac{| c_{n + 1} |}{| c_{n} |}$ existe o es infinito, entonces: $R = \frac{1}{λ} .$
Criterio de la raiz de Cauchy. Si $λ = lim_{n \to \infty} | c_{n} |^{1 / n}$ existe o es infinito, entonces: $R = \frac{1}{λ} .$

En ambos casos consideramos la definición natural de $R = 0$ si $λ = \infty$ y $R = \infty$ si $λ = 0$ .

Demostración. Los dos casos son una consecuencia de la proposición 29.3, de los teoremas 29.1 y 29.3 y del corolario 29.1, por lo que los detalles se dejan como ejercicio al lector.

Observación 29.8.
Es posible dar una formulación de los criterios de convergencia de D’Alembert y de la raíz, proposiciones 27.5 y 27.6 respectivamente, en términos del límite superior, es decir, considerando:
$\begin{array}{r} λ = \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{| z_{n + 1} |}{| z_{n} |}, \\ λ = \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| z_{n} |}, \end{array}$ respectivamente, en cada caso. Esta formulación de dichos criterios es de gran utilidad cuando los límites $lim_{n \to \infty} \frac{| z_{n + 1} |}{| z_{n} |}$ , $lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| z_{n} |}$ no existen.

Ejemplo 29.8.
Veamos que la serie:
$\sum_{n = 1}^{\infty} z_{n}, con z_{n} = \frac{1}{2^{n}} [1 + (- 1)^{n}] + \frac{1}{3^{n}} [1 - (- 1)^{n}],$ converge.

Solución. Tenemos que:
$z_{2 n} = \frac{2}{2^{2 n}} y z_{2 n + 1} = \frac{2}{3^{2 n + 1}} .$

Entonces, el límite $lim_{n \to \infty} \frac{| z_{n + 1} |}{| z_{n} |} = lim_{n \to \infty} \frac{z_{n + 1}}{z_{n}}$ no existe, lema 29.1, ya que las subsucesiones:
$\frac{z_{2 n + 2}}{z_{2 n}} = \frac{z_{2 n + 2}}{z_{2 n + 1}} \frac{z_{2 n + 1}}{z_{2 n}} y \frac{z_{2 n + 3}}{z_{2 n + 1}} = \frac{z_{2 n + 3}}{z_{2 n + 2}} \frac{z_{2 n + 2}}{z_{2 n + 1}},$

tienen diferentes límites:
$\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} \frac{z_{2 n + 2}}{z_{2 n}} = lim_{n \to \infty} \frac{2 (2^{- 2 (n + 1)})}{2 (2^{- 2 n})} = \frac{1}{4}, \\ lim_{n \to \infty} \frac{z_{2 n + 3}}{z_{2 n + 1}} = lim_{n \to \infty} \frac{2 (3^{- (2 n + 3)})}{2 (3^{- (2 n + 1)})} = \frac{1}{9} . \end{array}$

Sin embargo, notemos que:
$\underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{| z_{n + 1} |}{| z_{n} |} = \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{z_{n + 1}}{z_{n}} = \frac{1}{4} < 1,$

por lo que, de acuerdo con el criterio de D’Alembert, la serie converge.

Ejemplo 29.9.
Determinemos el radio de convergencia de las siguientes series de potencias.

a) $\sum_{n = 1}^{\infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n^{2}} z^{n}$ .
b) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(n + 1) z^{n}}{(n + 2) (n + 3)}$ .
c) $\sum_{n = 1}^{\infty} {(a + i b)}^{n} z^{n}$ , con $a, b \in R$ no ambos cero.
d) $\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{n + 2}{3 n + 1})}^{n} (z - 4)^{n}$ .

Solución. Para las cuatro series utilizaremos el corolario 29.3.
a) Tenemos que:
$\sum_{n = 1}^{\infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n^{2}} z^{n} = \sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} z^{k},$

de donde:
$c_{k} = {\begin{array}{lc} {(1 + \frac{1}{n})}^{n^{2}}, & si existe n \in N tal que k = n, \\ 0, & en otro caso, \end{array}$

es decir:
$c_{0} = 0 y c_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n^{2}}, \forall n \geq 1.$

Entonces:
$λ = lim_{n \to \infty} | c_{n} |^{1 / n} = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e, ⟹ R = \frac{1}{λ} = \frac{1}{e} .$

b) Tenemos que:
$c_{n} = \frac{n + 1}{(n + 2) (n + 3)}, \forall n \in N,$

por lo que:
$c_{n + 1} = \frac{n + 2}{(n + 3) (n + 4)} .$

Entonces:
$\begin{aligned} λ = lim_{n \to \infty} \frac{| c_{n + 1} |}{| c_{n} |} & = lim_{n \to \infty} \frac{(n + 2)^{2} (n + 3)}{(n + 1) (n + 3) (n + 4)} \\ = lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} + 4 n + 4}{n^{2} + 5 n + 4} \\ = 1, \end{aligned}$ de donde $R = 1 / λ = 1$ .

c) Tenemos que:
$c_{n} = {(a + i b)}^{n} \forall n \in N,$ con $a, b \in R$ no ambos cero, por lo que:
$c_{n + 1} = {(a + i b)}^{n + 1} .$

Entonces:
$λ = lim_{n \to \infty} \frac{| c_{n + 1} |}{| c_{n} |} = lim_{n \to \infty} | \frac{{(a + i b)}^{n + 1}}{{(a + i b)}^{n}} | = lim_{n \to \infty} | a + i b | = \sqrt{a^{2} + b^{2}},$ de donde $R = 1 / λ$ .

d) Tenemos que:
$z_{0} = 4, c_{0} = 1 y c_{n} = {(\frac{n + 2}{3 n + 1})}^{n} \forall n \in N^{+} .$

Entonces:
$λ = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| c_{n} |} = lim_{n \to \infty} {({| \frac{n + 2}{3 n + 1} |}^{n})}^{1 / n} = lim_{n \to \infty} \frac{n + 2}{3 n + 1} = \frac{1}{3},$ de donde $R = 1 / λ = 3$ .

Ejemplo 29.10.
Determinemos el dominio de convergencia de la siguiente serie de potencias e identifiquemos gráficamente a dicho conjunto en el plano complejo.
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2 n - 1)}{n!} {(\frac{1 - z}{z})}^{n} .$

Solución. Sea $w = \frac{1 - z}{z}$ , entonces:
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2 n - 1)}{n!} w^{n} = \sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} w^{k},$

de donde:
$c_{k} = {\begin{array}{lc} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2 n - 1)}{n!}, & si existe n \in N tal que k = n, \\ 0, & en otro caso, \end{array}$

es decir:
$c_{0} = 0 y c_{n} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2 n - 1)}{n!} \forall n \geq 1.$

Tenemos que:
$c_{n + 1} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2 n - 1) (2 n + 1)}{(n + 1)!},$

por lo que:
$\begin{aligned} λ = lim_{n \to \infty} \frac{| c_{n + 1} |}{| c_{n} |} & = lim_{n \to \infty} | \frac{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2 n - 1) (2 n + 1)}{(n + 1)!}}{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2 n - 1)}{n!}} | \\ = lim_{n \to \infty} | \frac{(2 n + 1) n!}{(n + 1)!} | \\ = lim_{n \to \infty} \frac{2 n + 1}{n + 1} \\ = 2, \end{aligned}$ de donde $R = 1 / λ = 1 / 2$ .

Entonces, el dominio de convergencia de la serie está dado por la condición $| w | < 1 / 2$ , es decir:
$\begin{aligned} | \frac{1 - z}{z} | < \frac{1}{2} & ⟹ 2 | 1 - z | < | z |, \\ ⟹ 4 | 1 - z |^{2} < | z |^{2}, \\ ⟹ 4 (1 - z) \overset{―}{(1 - z)} < z \overset{―}{z}, \\ ⟹ 4 - 4 \overset{―}{z} - 4 z + 3 z \overset{―}{z} < 0, \\ (29.7) & ⟹ z \overset{―}{z} - \frac{4}{3} \overset{―}{z} - \frac{4}{3} z + \frac{4}{3} < 0 . \end{aligned}$

De acuerdo con los resultados de la entrada 6, sabemos que la ecuación general de una circunfernecia en el plano complejo $C$ es:
$z \overset{―}{z} + a \overset{―}{z} + \overset{―}{a} z + b = 0,$ cuyo centro es el punto $- a$ y $r = \sqrt{| a |^{2} - b}$ su radio.

De (29.7) tenemos:
$z \overset{―}{z} + (- \frac{4}{3}) \overset{―}{z} + (- \frac{4}{3}) z + \frac{4}{3} = 0,$

de donde:
$- a = \frac{4}{3}, b = \frac{4}{3} y r = \sqrt{| a |^{2} - b} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} .$

Por lo que, la expresión en (29.7) corresponde con el interior de la circunferencia $C (\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$ , es decir, el disco abierto $B (\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$ es el dominio de convergencia de la serie de potencias, figura 109.

Figura 109: Dominio de convergencia de la serie de potencias del ejemplo 29.10.

Tarea moral

Muestra que el radio de convergencia de la serie de potencias: $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n} z^{n (n + 1)},$ es 1 y analiza la convergencia para $z = 1$ , $z = - 1$ y $z = i$ .

Hint: Observa que el $(n + 1)$ -ésimo coeficiente de la serie no es $\frac{(- 1)^{n}}{n}$ . Procede como en el ejemplo 29.1.
Determina el dominio de convergencia de las siguientes series de potencias y gráficalo.
a) $\sum_{n = 0}^{\infty} {[\frac{(i z - 1)}{3 + 4 i}]}^{n}$ .
b) $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(z + 2)^{n - 1}}{(n + 1)^{3} 4^{n}}$ .
Muestra que el radio de convergencia de las siguientes series de potencias es infinito.
a) $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}$ .
b) $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} z^{2 n}}{(2 n)!}$ .
c) $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} z^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}$ .
Considera las tres series del ejemplo 29.2 y obtén su radio de convergencia, ¿en qué conjuntos la convergencia es uniforme?
Prueba el corolario 29.3.
Sean $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n}$ y $\sum_{n = 0}^{\infty} d_{n} (z - z_{0})^{n}$ dos series de potencias con radio de convergencia $R_{1}$ y $R_{2}$ , respectivamente.
a) ¿Cuál es el radio de convergencia de la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} (c_{n} + d_{n}) (z - z_{0})^{n}$ ?
b) ¿Cuál es el radio de convergencia de la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} (c_{n} \cdot d_{n}) (z - z_{0})^{n}$ ?
Obtén el radio de convergencia de las siguientes series de potencias:
a) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n}$ .
b) $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{4 n}}{4 n + 1}$ .
c) $\sum_{n = 0}^{\infty} n^{2} {(\frac{z^{2} + 1}{1 + i})}^{n}$ .
d) $\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{2 i}{x + i + 1})}^{n}$ .
e) $\frac{1}{2} z + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 5} z^{2} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 5 \cdot 8} z^{3} + \dots$
f) $\sum_{n = 1}^{\infty} (\ln (n))^{n} z^{n}$ .
Si $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} z^{n}$ tiene radio de convergencia $R$ , determina el radio de convergencia de las siguientes series de potencias:
a) $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} z^{2 n}$ .
b) $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n}^{2} z^{n}$ .
c) $\sum_{n = 0}^{\infty} n^{d} c_{n} z^{n}$ , para cualquier $d \in N^{+}$ .
d) $\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} c_{n} z^{n}$ .

Más adelante…

En esta entrada definimos de manera formal el concepto de serie de potencias y establecimos una serie de resultados relacionados con su convergencia. En particular, vimos que a través del concepto del radio de convergencia de una serie de potencias es posible establecer su dominio de convergencia, que geométricamente corresponde con discos abiertos, a los cuales comúnmente se les llama círculos de convergencia.

En la siguiente entrada estudiaremos algunas propiedades importantes de las series de potencias como la continuidad y analicidad de las mismas, propiedades que nos serán de utilidad en el estudio de las funciones complejas, pues como veremos, toda función compleja que es analítica en un dominio $D \subset C$ puede tener un desarrollo en series de potencias en todo disco abierto completamente contenido en $D$ .

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Cálculo Diferencial e Integral II: Series de potencia

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En la sección anterior vimos el criterio de la convergencia absoluta para las series alternantes, en esta sección veremos las series de potencia, que, como bien dice el nombre, son series polinómicas, veamos la siguiente definición.

Series de potencia

Definición. Una serie de potencia es la serie de la siguiente forma:

$\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + \dots . .$

A la serie anterior, se le dice que es una serie de potencias alrededor de $x = 0$ , mientras que, la series de potencias alrededor de $x = a$ se le conoce como series de potencias centradas en $a$ , y es de la siguiente forma:

$\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n} = c_{0} + c_{1} (x - a) + c_{2} (x - a)^{2} + \dots . .$

Donde $c_{n}$ son coeficientes en ambos casos.

Un ejemplo de estas series son las series geométricas que ya hemos visto, al hacer los n-coeficientes $c_{n}$ igual a 1:

$\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = 1 + x + x^{2} + x^{3} \dots . .$

Veamos el siguiente teorema de convergencia llamado el teorema de Abel para las series de potencias.

Teorema de Abel:

Sea la siguiente serie: $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n}$ , entonces se cumple una y solo una de las siguientes afirmaciones:

$a)$ La serie converge solo cuando $x = a$ .

$b)$ Existe un número positivo $R$ tal que la serie converge $| x - a | < R$ y diverge si $| x - a | > R$ .

$c)$ La serie converge para toda $x$ .

La demostración de este teorema es extensa, por lo que sería más conveniente analizarla que demostrarla.

Al número $R$ se le llama el radio de convergencia de la serie, notemos que la serie converge en el intervalo $(a - R, a + R)$ , si $R = 0$ tenemos el primer caso $a)$ , es decir, el intervalo consta de un solo punto $x = a$ , si $R \to \infty$ entonces tenemos el caso $c)$ , es decir, el intervalo de convergencia en este caso es $(- \infty, \infty)$ , en el intervalo $b)$ se tiene 4 casos posibles:

$(a - R, a + R)$

$[a - R, a + R]$

$(a - R, a + R]$

$[a - R, a + R)$

Es decir, la serie puede diverger en ambos extremos o solo un extremo, al igual que la convergencia de la serie.

El teorema de Cauchy-Hadamard nos permite conocer la convergencia de la serie de potencias:

Teorema de Cauchy-Hadamard:

Consideremos la serie de potencias $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n}$ y consideremos a $A$ como:

$A = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| c_{n} |}$

Entonces la serie de potencias converge si el radio de convergencia $R$ se define como:

$R = \frac{1}{A}$

De este teorema podemos concluir lo siguiente, dependiendo del valor de $A$ podemos decir que si:

$A = 0 \Rightarrow R \to \infty$
$A \to \infty \Rightarrow R = 0$
$0 < A < \infty \Rightarrow R = \frac{1}{A}$

Demostración:

Sin perdida de generalidad podemos suponer que $a = 0$ . Supongamos que $| x | < R$ , entonces:

$\begin{matrix} (1) & | c_{n} x^{n} | \leq | c_{n} | R^{n} \end{matrix}$

Ahora, como:

$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| c_{n} |} = A = \frac{1}{R}$

Para casi todos los índices de $n$ , ya que:

$\sqrt[n]{| c_{n} |} \leq \frac{1}{R} \Rightarrow | c_{n} | \leq R^{- n}$

Por lo que en $(1)$ :

$| c_{n} x^{n} | \leq | c_{n} | R^{n} \leq R^{n} R^{- n} = 1$

Lo cual vemos que es una serie absolutamente convergente, por el criterio de la absoluta convergencia:

$\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n} c o n v e r g e$

Para el caso cuando $| x | > R$ , de la misma manera anterior obtendremos que:

$| c_{n} x^{n} | \geq 1$

Lo que significa que no puede convergir a cero, lo que significa que la serie diverge.

$\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n} d i v e r g e$

El teorema nos dice que podemos usar el criterio de la raíz, también podemos usar el criterio de la razón.

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

$\sum_{n = 0}^{\infty} (n!) x^{n}$

En esta serie notamos que $c_{n} = n!$ , entonces calculamos al valor $A$ como sigue:

$A = lim_{n \to \infty} \frac{| a_{n} + 1 |}{| a_{n} |} = lim_{n \to \infty} \frac{| (n + 1)! |}{| n! |} = lim_{n \to \infty} (n + 1) \to \infty \Rightarrow R = 0$

Por lo que el radio de convergencia es $R = 0$ y la serie solo converge cuando $x = 0$ según el teorema de Abel.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{2 n + 1}}{2^{n^{2} + 1}} x^{n}$

Vemos en este caso que $c_{n} = \frac{n^{2 n + 1}}{2^{n^{2} + 1}}$ , utilizamos el criterio de la raíz como sigue:

$A = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| c_{n} |} = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n^{2 n + 1}}{2^{n^{2} + 1}}} = lim_{n \to \infty} \frac{n^{2 + 1 / n}}{2^{n + 1 / n}} = 0 \Rightarrow R \to \infty$

Por lo que el intervalo de convergencia es: $R ϵ (- \infty, \infty)$ y la serie es convergente para cualquier valor de $x$ .

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Diga si la siguientes series convergen o diverge.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{3}}{4^{n}} x^{n}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(2 x)^{n}}{n^{2}}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{x^{n}}{n}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 3)^{n} x^{n}}{\sqrt{n + 1}}$

Más adelante…

En esta sección vimos las series de potencias y dos teoremas importantes para la convergencia de estas series que son el teorema de Abel y el teorema de Cauchy-Hadamard, en la siguiente sección veremos los polinomios de Taylor y de Mclaurin que están relacionados con estas series de potencias.

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Ecuaciones Diferenciales I: Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables – Soluciones en series de potencias respecto a puntos ordinarios

Por Omar González Franco

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El mundo de las matemáticas no es un lugar aburrido en el que estar.
Es un lugar extraordinario; merece la pena pasar el tiempo allí.
– Marcus du Sautoy

Introducción

Hasta este punto de la unidad dos hemos desarrollado distintos métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, en particular de segundo orden con coeficientes constantes a excepción de la ecuación de Cauchy – Euler.

Para finalizar con la segunda unidad es el turno de estudiar las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes variables. Estas ecuaciones suelen ser mucho más complicadas de resolver ya que no se resuelven en términos de funciones elementales, sino que tienen forma de serie de potencias infinitas.

Nos parece adecuado comenzar esta entrada con un repaso sobre series de potencias, posteriormente veremos su utilidad en los métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales antes mencionadas, así mismo, introduciremos algunos conceptos nuevos relacionados con el tipo de solución que tienen estas ecuaciones diferenciales.

Series de potencias

Definición: A la serie

\begin{matrix} (1) & \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n} \end{matrix}

se le denomina serie de potencias centrada en $a$ o serie de Taylor.

Definición: A la serie centrada en

a = 0

\begin{matrix} (2) & \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} \end{matrix}

se le denomina serie de Maclaurin.

Algunas propiedades y conceptos importantes que debemos recordar son los siguientes.

Definición: Se dice que una serie de potencias (

1

) es convergente en un valor especificado de

x

si su sucesión de sumas parciales

{S_{N} (x)}

converge, es decir, si el siguiente límite existe

\begin{matrix} (3) & lim_{N \to \infty} S_{N} (x) = lim_{N \to \infty} \sum_{n = 0}^{N} c_{n} (x - a)^{n} \end{matrix}

Si el límite no existe en

x

, entonces se dice que la serie es divergente.

Definición: El intervalo de convergencia

I

es el conjunto de todos los números reales

x

para los que converge la serie.

Toda serie de potencias tiene un intervalo de convergencia.

Definición: El radio de convergencia

R

es la mitad de la longitud del intervalo de convergencia.

Si $R > 0$ , entonces la serie de potencias ( $1$ ) converge para $| x - a | < R$ y diverge para $| x - a | > R$ .

Si la serie converge sólo en su centro $a$ , entonces $R = 0$ .

Si la serie converge para toda $x$ , entonces se escribe $R = \infty$ .

Una serie de potencias podría converger o no en los puntos extremos $a - R$ y $a + R$ de este intervalo.

El radio de convergencia también se puede determinar con las siguientes expresiones.

$\begin{matrix} (4) & R = {(lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| c_{n} |})}^{- 1} o R = lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n}}{c_{n + 1}} | \end{matrix}$

Definición: Dentro de su intervalo de convergencia, una serie de potencias converge absolutamente. En otras palabras, si

x

es un número en el intervalo de convergencia y no es un extremo del intervalo, entonces la serie de valores absolutos

\sum_{n = 0}^{\infty} | c_{n} (x - a)^{n} |

converge.

Teorema: Dada la serie de potencias (

1

), suponiendo que

c_{n} \neq 0

para toda

n

y que

\begin{matrix} (5) & lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n + 1} (x - a)^{n + 1}}{c_{n} (x - a)^{n}} | = | x - a | lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n + 1}}{c_{n}} | = L \end{matrix}

L < 1

, la serie converge absolutamente,

L > 1

, la serie diverge,

L = 1

, no se concluye nada.

Teorema: Si

\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n} = 0

con

R > 0

, para los números

x

en el intervalo de convergencia, entonces

c_{n} = 0

para toda

n

Realicemos un ejemplo.

Ejemplo: Hallar el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie de potencias

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}} {(x - 1)}^{n}$

Solución: Para determinar el radio de convergencia utilicemos la segunda expresión de ( $4$ ). De la serie de potencias identificamos que

$c_{n} = \frac{n^{2}}{2^{n}} y c_{n + 1} = \frac{(n + 1)^{2}}{2^{n + 1}}$

Calculemos el límite.

$R = lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n}}{c_{n + 1}} | = lim_{n \to \infty} | \frac{\frac{n^{2}}{2^{n}}}{\frac{(n + 1)^{2}}{2^{n + 1}}} | = 2 lim_{n \to \infty} | \frac{n^{2}}{(n + 1)^{2}} |$

Sabemos que

$lim_{n \to \infty} | \frac{n^{2}}{(n + 1)^{2}} | = 1$

Por lo tanto, el radio de convergencia es $R = 2$ .

Para determinar el intervalo de convergencia utilicemos la expresión ( $5$ ).

$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n + 1} (x - a)^{n + 1}}{c_{n} (x - a)^{n}} | & = lim_{n \to \infty} | \frac{\frac{(n + 1)^{2}}{2^{n + 1}} (x - 1)^{n + 1}}{\frac{n^{2}}{2^{n}} (x - 1)^{n}} | \\ = | x - 1 | lim_{n \to \infty} \frac{2^{n} (n + 1)^{2}}{2^{n + 1} n^{2}} \\ = \frac{1}{2} | x - 1 | lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} + 2 n + 1}{n^{2}} \\ = L \end{aligned}$

Es claro que

$lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} + 2 n + 1}{n^{2}} = 1$

Entonces,

$\frac{1}{2} | x - 1 | = L$

La condición de convergencia nos indica que $L < 1$ , considerando esto tenemos que

$\begin{aligned} \frac{1}{2} | x - 1 | & < 1 \\ | x - 1 | & < 2 \\ - 2 < x - 1 & < 2 \\ - 1 < x & < 3 \end{aligned}$

Por lo tanto, el intervalo de convergencia es $I = (- 1, 3)$ .

Notemos que la mitad de la longitud del intervalo de convergencia efectivamente corresponde al valor del radio de convergencia obtenido.

$R = \frac{3 - (- 1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Series de potencias como funciones

Definición: Una serie de potencias define una función

\begin{matrix} (6) & f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n} \end{matrix}

cuyo dominio es el intervalo de convergencia de la serie.

Teorema: Si el radio de convergencia es

R > 0

, entonces la función (

6

) es continua, derivable e integrable en el intervalo

(a - R, a + R)

. Además,

\frac{d f (x)}{d x}

\int f (x) d x

se deducen derivando e integrando término a término.

Nota: La convergencia en un extremo se podría perder por derivación o ganar por integración. Algo similar ocurre con los índices de una serie, supongamos que

$y = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$

es una serie de potencias en $x$ , las primeras dos derivadas están dadas como

$\frac{d y}{d x} = \sum_{n = 0}^{\infty} n x^{n - 1} y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} n (n - 1) x^{n - 2}$

Sin embargo, notemos que el primer término en la primera derivada y los dos primeros términos de la segunda derivada son cero, entonces los podemos omitir y correr el índice para escribir

$\begin{matrix} (7) & \frac{d y}{d x} = \sum_{n = 1}^{\infty} n x^{n - 1} y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) x^{n - 2} \end{matrix}$

Definición: La serie de Taylor de una función real o compleja

f (x)

infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo

a

está dada como

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (a) (x - a)^{n}}{n!}

Un concepto de bastante importancia y utilidad en las próximas entradas es el siguiente.

Definición: Una función

f

es analítica en un punto

a

si se puede representar mediante una serie de potencias en

x - a

con un radio positivo o infinito de convergencia.

\begin{matrix} (8) & f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (a) (x - a)^{n}}{n!} \end{matrix}

Teorema: Analiticidad.

f (x)

g (x)

son analíticas en

a

, entonces las siguientes funciones son analíticas en

a

f (x) + g (x), f (x) g (x) y \frac{f (x)}{g (x)}, g (x) \neq 0

f (x)

es analítica en

a

f^{- 1} (x)

es la función inversa, continua, con

f^{'} (a) \neq 0

, entonces

f^{- 1} (x)

es analítica en

a

g (x)

es analítica en

a

f (x)

es analítica en

g (a)

, entonces

f (g (x))

es analítica en

a

Podemos hacer operaciones con series de potencias, a continuación se muestran algunas de ellas.

Suma: Dos series de potencias pueden sumarse término a término.

Sean

$f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n} y g (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} (x - a)^{n}$

dos series de potencias con radio de convergencia $R > 0$ , entonces

$\begin{matrix} (9) & f (x) + g (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} (c_{n} + b_{n}) (x - a)^{n} \end{matrix}$

Para toda $| x - a | < R$ .

Producto: Dos series de potencias pueden multiplicarse término a término (cada término de la primera por cada término de la segunda).

Sean

$f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n} y g (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} (x - a)^{n}$

dos series de potencias con radio de convergencia $R > 0$ , entonces

$\begin{matrix} (10) & f (x) g (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} (c_{0} b_{n} + c_{1} b_{n - 1} + \dots + c_{n} b_{0}) (x - a)^{n} \end{matrix}$

Para toda $| x - a | < R$ .

Derivación: Una serie de potencias puede derivarse término a término.

Sea

$f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n}$

una serie de potencias convergente para $| x - a | < R$ con $R > 0$ . La derivada de la serie $f$ es

$\begin{matrix} (11) & F (x) = \frac{d f}{d x} = \sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} (x - a)^{n - 1} \end{matrix}$

y también es convergente y tiene el mismo radio de convergencia que $f (x)$ .

Integración: Una serie de potencias puede integrarse término a término.

Sea

$f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n}$

una serie de potencias convergente para $| x - a | < R$ con $R > 0$ . La integral de la serie $f$ es

$\begin{matrix} (12) & F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c_{n}}{n + 1} (x - a)^{n + 1} \end{matrix}$

y tiene a $R$ como radio de convergencia.

A lo largo de ésta y las siguientes entradas será de suma importancia y utilidad simplificar la suma de dos o más series de potencias, cada una expresada en notación de suma, en una sola expresión de suma, muchas veces esto implica que se deba hacer un cambio en el índice de la suma.

Para poder sumar dos series en necesario que ambos índices de las sumas comiencen con el mismo número y las potencias de $x$ sean las mismas y estén en fase. Por ejemplo, consideremos las siguientes dos series

$f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} = \frac{n}{n + 2} x^{n + 1} y g (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} = \frac{1}{n^{2} + 1} x^{n + 1}$

Como ambas series comienzan con el mismo número $n = 1$ y en ambas la potencia de $x$ es la misma $n + 1$ , entonces podemos combinar ambas series en una sola de acuerdo a la expresión ( $9$ )

$\begin{aligned} f (x) + g (x) & = \sum_{n = 1}^{\infty} [\frac{n}{n + 2} + \frac{1}{n^{2} + 1}] x^{n + 1} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{3} + 2 n + 2}{n^{3} + 2 n^{2} + n + 2} x^{n + 1} \end{aligned}$

¿Pero que ocurre si no comienzan con el mismo número y/o las potencias de $x$ no coinciden?. En estos casos será necesario hacer un cambio en el índice de la suma y por tanto en la potencia de $x$ . A continuación se muestra un ejemplo en el que describimos la forma de hacerlo.

Ejemplo: Reescribir la expresión

$f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} 2 n c_{n} x^{n - 1} + \sum_{n = 0}^{\infty} 6 c_{n} x^{n + 1}$

como una sola serie de potencias cuyo término general tenga $x^{k}$ .

Solución: Notemos que la potencia de $x$ en la primer serie para $n = 1$ es $x^{0}$ , mientras que en la segunda serie para $n = 0$ es $x^{1}$ , como ambas potencias son distintas decimos que no están en fase, para corregir esto y hacer que estén en fase extraemos el primer término de la primer serie.

$\sum_{n = 1}^{\infty} 2 n c_{n} x^{n - 1} = 2 c_{1} + \sum_{n = 2}^{\infty} 2 n c_{n} x^{n - 1}$

Así, la potencia de $x$ para $n = 2$ es $x^{1}$ . Con esto hemos logrado que ambas series estén en fase a pesar de que tengan distintas potencias en $x$ y comiencen con distintos números para $n$ .

Procedemos a hacer el cambio de índice, para ello se toman como guía los exponentes de $x$ . Para la primer serie tomamos $k = n - 1$ , de donde $n = k + 1$ . Si $n = 2$ , entonces $k = 1$ con esto podemos escribir a la primer serie de la siguiente manera.

$\sum_{n = 1}^{\infty} 2 n c_{n} x^{n - 1} = 2 c_{1} + \sum_{k = 1}^{\infty} 2 (k + 1) c_{k + 1} x^{k}$

Para la segunda serie tomamos $k = n + 1$ , de donde $n = k - 1$ , si $n = 0$ , entonces $k = 1$ , así la segunda serie se puede escribir de la siguiente manera.

$\sum_{n = 0}^{\infty} 6 c_{n} x^{n + 1} = \sum_{k = 1}^{\infty} 6 c_{k - 1} x^{k}$

Ahora podemos escribir

$\sum_{n = 1}^{\infty} 2 n c_{n} x^{n - 1} + \sum_{n = 0}^{\infty} 6 c_{n} x^{n + 1} = 2 c_{1} + \sum_{k = 1}^{\infty} 2 (k + 1) c_{k + 1} x^{k} + \sum_{k = 1}^{\infty} 6 c_{k - 1} x^{k}$

Observemos que ambas series ya comienzan con el mismo número $k = 1$ y la potencia de $x$ es $k$ para ambas, entonces ya podemos combinar las series en una sola, de tal manera que

$f (x) = 2 c_{1} + \sum_{k = 1}^{\infty} [2 (k + 1) c_{k + 1} + 6 c_{k - 1}] x^{k}$

En el caso de una sola serie es mucho mas sencillo pues basta tomar a $k$ como la potencia de $x$ y evaluar el valor del primer número en la serie, por ejemplo para la serie

$\sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} x^{n + 2}$

Si queremos que el termino $x$ tenga potencia $k$ hacemos $k = n + 2$ , de donde $n = k - 2$ , la serie comienza en $n = 1$ , sustituyendo en $k$ obtenemos que $k = 3$ , por lo tanto la serie en términos del índice $k$ se puede escribir de la siguiente manera.

$\sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} x^{n + 1} = \sum_{k = 3}^{\infty} (k - 2) c_{k - 2} x^{k}$

Puedes desglosar ambas sumas para convencerte de la igualdad.

Hasta aquí concluimos nuestro repaso de series de potencias, es momento de aplicarlo en la resolución de ecuaciones diferenciales.

Soluciones en series de potencias de ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes variables tienen la forma

$\begin{matrix} (13) & a_{2} (x) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + a_{1} (x) \frac{d y}{d x} + a_{0} (x) y = g (x) \end{matrix}$

Comenzaremos por considerar que $g (x) = 0$ .

$\begin{matrix} (14) & a_{2} (x) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + a_{1} (x) \frac{d y}{d x} + a_{0} (x) y = 0 \end{matrix}$

Si dividimos la ecuación por $a_{2} (x) \neq 0$ y definimos

$P (x) = \frac{a_{1} (x)}{a_{2} (x)} y Q (x) = \frac{a_{0} (x)}{a_{2} (x)}$

podemos escribir la ecuación ( $14$ ) en su forma estándar.

$\begin{matrix} (15) & \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + P (x) \frac{d y}{d x} + Q (x) y = 0 \end{matrix}$

En base a la ecuación estándar ( $15$ ) establecemos las siguientes definiciones.

Definición: Un punto

x_{0}

es un punto ordinario de la ecuación (

15

) si las funciones

P (x)

Q (x)

son analíticas en

x_{0}

, es decir, pueden representarse en series de potencias de

(x - x_{0})

con radio de convergencia

R > 0

Definición: Un punto

x_{0}

en el que al menos una de las funciones

P (x)

Q (x)

no tiene representación en serie de potencias de

(x - x_{0})

se dice que es un punto singular de (

15

De acuerdo a estas definiciones notamos que un punto singular $x_{0}$ es un punto no ordinario.

Realicemos un ejemplo.

Ejemplo: Hallar los puntos ordinarios y singulares de la ecuación diferencial

$x^{2} (x - 1) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + x^{3} (x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + x y = 0$

Solución: El primer paso es escribir a la ecuación diferencial en su forma estándar, para ello dividimos toda la ecuación por el coeficiente de la segunda derivada suponiendo que es distinto de cero.

$\begin{aligned} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{x^{3} (x^{2} - 1)}{x^{2} (x - 1)} \frac{d y}{d x} + \frac{x}{x^{2} (x - 1)} y & = 0 \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + x (x + 1) \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x (x - 1)} y & = 0 \end{aligned}$

Identificamos que

$P (x) = x (x + 1) y Q (x) = \frac{1}{x (x - 1)}$

Para el caso de la función $P (x)$ notamos que es analítica para toda $x \in R$ , mientras que la función $Q (x)$ no está definida en $x = 0$ ni $x = 1$ , es decir, no es analítica en dichos puntos.

Por lo tanto, los puntos ordinarios de la ecuación diferencial son todas las $x \in R$ excepto $x = 0$ y $x = 1$ , éstos puntos corresponde a los puntos singulares de la ecuación.

Una observación interesante es que la ecuación de Cauchy-Euler

$\begin{matrix} (16) & a x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + b x \frac{d y}{d x} + c y = 0 \end{matrix}$

en su forma estándar

$\begin{matrix} (17) & \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{b}{a x} \frac{d y}{d x} + \frac{c}{a x^{2}} y = 0 \end{matrix}$

nos muestra que las funciones

$P (x) = \frac{b}{a x} y Q (x) = \frac{c}{a x^{2}}$

no están definidas en $x = 0$ , por tanto $x = 0$ es un punto singular y todos los demás puntos (reales o complejos) son puntos ordinarios, es por ello que toda la teoría realizada en la entrada correspondiente fue para $x > 0$ .

De acuerdo al título de esta entrada, nos enfocaremos en soluciones respecto a puntos ordinarios, sin embargo, cabe mencionar que en la siguiente entrada estudiaremos soluciones respecto a puntos singulares y será necesario hacer una distinción entre dos tipos de puntos singulares que definiremos como punto singular regular y punto singular irregular. Estos conceptos los revisaremos en la siguiente entrada.

Como ya hemos mencionando, las soluciones de la ecuación diferencial ( $15$ ) son soluciones en forma de series de potencias. Si una ecuación diferencial es analítica en un punto $x_{0}$ , entonces su solución también lo es en $x_{0}$ , y como dicha solución será una función desarrollable en series de potencias, podemos suponer que, en forma general, tendrá la siguiente forma.

$\begin{matrix} (18) & y (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - x_{0})^{n} \end{matrix}$

donde $c_{n}$ cambia para cada función específica.

Definición: Se dice que una solución de la forma (

18

) es una solución respecto a un punto ordinario

x_{0}

A continuación enunciamos el teorema que establece la existencia y forma de las soluciones de ( $15$ ).

Teorema: Sea

x = x_{0}

un punto ordinario de la ecuación diferencial (

15

), entonces existen dos soluciones linealmente independientes en la forma de una serie de potencias centradas en

x_{0}

, es decir, de la forma

y (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - x_{0})^{n}

en donde

c_{0}

c_{1}

son constantes arbitrarias.

Una solución en serie converge, por lo menos, en un intervalo definido por $| x - x_{0} | < R$ , donde $R$ es la distancia desde $x_{0}$ al punto singular más cercano, es decir, es el valor mínimo o límite inferior del radio de convergencia de las soluciones en serie de la ecuación diferencial respecto a $x_{0}$ .

La demostración a este teorema suele ser bastante larga pero intuitiva. En esta ocasión no lo demostraremos y en su lugar desarrollaremos varios ejemplos que ilustran el resultado. Sin embargo, en la sección de videos de este mismo curso se puede encontrar con todo detalle la demostración de este teorema, además del método para hallar el radio de convergencia de la solución en serie de potencias cerca de un punto ordinario.

Método de resolución

Si bien, en la demostración del teorema de existencia y forma de la solución en series de potencias se describe el método de resolución, nosotros vamos a describirlo de manera breve y realizaremos algunos ejemplos para que quede bastante claro.

Recordemos que el método de coeficientes indeterminados desarrollado para ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes ya involucraba soluciones en forma de series de potencias y lo que hacíamos al final del método era igualar los coeficientes de ambos lados de la ecuación para satisfacer la igualdad, la diferencia ahora es que el lado derecho de la ecuación es cero y no una función $g (x)$ , sin embargo el procedimiento es bastante similar.

Debido a que se trata de un método bastante laborioso, por simplicidad encontraremos soluciones en series de potencias sólo con respecto al punto ordinario $x_{0} = 0$ . Así, las soluciones serán de la forma

$\begin{matrix} (19) & y (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} \end{matrix}$

La descripción del método se muestra a continuación:

El método de resolución implica considerar la solución ( $19$ ) y su primera y segunda derivada ( $7$ ) para sustituirlas en la ecuación diferencial ( $14$ ).

$a_{2} (x) [\sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) c_{n} x^{n - 2}] + a_{1} (x) [\sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} x^{n - 1}] + a_{0} (x) [\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}] = 0$

El siguiente paso es reescribir toda la ecuación en una sola serie lo que, en la mayoría de los casos, requerirá de hacer cambios de índices para que se tenga la misma potencia de $x$ .

Como el resultado será idénticamente cero será necesario que el coeficiente de cada potencia de $x$ se iguale a cero. Como veremos más adelante, esto nos generará una ecuación general para los coeficientes de $y (x)$ , dicha expresión se conoce como relación de recurrencia.

La tarea final será usar la relación de recurrencia para obtener el valor de los coeficientes $c_{n}$ de ( $19$ ) y con ello la forma de la solución de la ecuación diferencial en cuestión.

Es importante aclarar que la sola suposición de la solución ( $19$ ) conduce a dos conjuntos de coeficientes, de manera que se tendrán dos series de potencias distintas $y_{1}$ y $y_{2}$ , ambas desarrolladas respecto al punto ordinario $x_{0}$ . Se puede demostrar que la solución general de la ecuación diferencial ( $14$ ) es

$\begin{matrix} (20) & y (x) = C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x) \end{matrix}$

en donde $C_{1} = c_{0}$ y $C_{2} = c_{1}$ , es decir, los primeros coeficientes de la serie ( $19$ ).

Este método no solo es aplicable a ecuaciones de la forma ( $14$ ), sino que se puede aplicar a distintas ecuaciones que satisfagan las propiedades necesarias descritas a lo largo de la entrada.

Para comprender el método resolvamos una ecuación bastante sencilla de primer orden y veamos que resultado obtenemos.

Ejemplo: Determinar la solución de la ecuación diferencial

$\frac{d y}{d x} - y = 0$

usando series de potencias respecto al punto ordinario $x_{0} = 0$ .

Solución: La solución debe ser de la forma

$y = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$

La derivada de esta función es

$\frac{d y}{d x} = \sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} x^{n - 1}$

Sustituimos en la ecuación diferencial.

$\sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} x^{n - 1} - \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} = 0$

Hay que reescribir esta ecuación en una sola serie en la que la potencia de $x$ sea $k$ .

Guiándonos en los exponentes de $x$ , en la primer serie tomamos $k = n - 1$ , de donde $n = k + 1$ , si la serie comienza en $n = 1$ , entonces $k = 1 - 1 = 0$ . En el caso de la segunda serie basta hacer $k = n$ , entonces tenemos que

$\sum_{k = 0}^{\infty} (k + 1) c_{k + 1} x^{k} - \sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} x^{k} = 0$

Ahora si podemos unir las series en una sola de acuerdo a ( $9$ )

$\sum_{k = 0}^{\infty} [(k + 1) c_{k + 1} - c_{k}] x^{k} = 0$

Como $x^{k} \neq 0$ por ser la solución propuesta, entonces necesariamente

$(k + 1) c_{k + 1} - c_{k} = 0$

Como $k$ es un número entero que comienza en cero hacía infinito, entonces $k$ no puede ser negativo, lo que significa que no hay valor de $k$ , tal que $k + 1 = 0$ , es así que podemos despejar a $c_{k + 1}$ de la expresión anterior sin problema.

$c_{k + 1} = \frac{c_{k}}{k + 1}, k = 0, 1, 2, 3, \dots$

Ésta última expresión corresponde a la relación de recurrencia, de la que se obtiene cada una de las constantes para cada uno de los términos de la serie solución.

Comencemos con $k = 0$ .

$c_{1} = \frac{c_{0}}{0 + 1} = c_{0}$

Para $k = 1$ , tenemos

$c_{2} = \frac{c_{1}}{1 + 1} = \frac{c_{0}}{2}$

$k = 2$ .

$c_{3} = \frac{c_{2}}{2 + 1} = \frac{c_{0}}{6}$

$k = 3$ .

$c_{4} = \frac{c_{3}}{3 + 1} = \frac{c_{0}}{24}$

Etcétera, entonces la solución va teniendo la siguiente forma.

$\begin{aligned} y (x) & = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} + c_{4} x^{4} + \dots \\ = c_{0} + c_{0} x + \frac{c_{0}}{2} x^{2} + \frac{c_{0}}{6} x^{3} + \frac{c_{0}}{24} x^{4} + \dots \\ = c_{0} [1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24} + \dots] \\ = c_{0} [1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + \dots] \end{aligned}$

En algunas ocasiones las series de potencias resultan ser series conocidas, como lo es en este caso, pues sabemos que

$e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + \dots$

Por lo tanto, si definimos $c = c_{0}$ , la solución de la ecuación diferencial es

$y (x) = c e^{x}$

Para asegurarnos del resultado se puede sustituir en la ecuación diferencial y ver que la satisface, o bien, podemos usar separación de variables para resolver la ecuación y verificar el resultado.

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} - y & = 0 \\ \frac{d y}{d x} & = y \\ \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} & = 1 \\ \int \frac{d y}{y} & = \int d x \\ \ln (y) & = x + k \\ y & = e^{x + k} \\ y & = e^{k} e^{x} \\ y (x) & = c e^{x} \end{aligned}$

¡Verificado!. Interesante ¿no?.

Con este ejemplo se espera que se comprenda la noción del método, como se puede notar es un proceso largo a pesar de ser una ecuación muy simple. Concluiremos esta entrada resolviendo dos ecuaciones diferenciales de las que si estamos interesados en resolver, es decir, de la forma ( $14$ ).

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + x y = 0$

respecto al punto ordinario $x_{0} = 0$ .

Solución: Debido a que no hay puntos singulares, el teorema garantiza dos soluciones en serie de potencias centradas en $x_{0} = 0$ , convergentes para $| x | < \infty$ .

Consideremos la solución

$y = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$

y su segunda derivada

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) c_{n} x^{n - 2}$

Sustituyamos en la ecuación diferencial.

$\begin{aligned} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + x y & = [\sum_{n = 2}^{\infty} c_{n} n (n - 1) x^{n - 2}] + x [\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}] \\ = \sum_{n = 2}^{\infty} c_{n} n (n - 1) x^{n - 2} + \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n + 1} \end{aligned}$

Para que practiques muestra que

$\sum_{n = 2}^{\infty} c_{n} n (n - 1) x^{n - 2} + \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n + 1} = 2 c_{2} + \sum_{k = 1}^{\infty} [(k + 1) (k + 2) c_{k + 2} + c_{k - 1}] x^{k}$

Por lo tanto,

$2 c_{2} x^{0} + \sum_{k = 1}^{\infty} [(k + 1) (k + 2) c_{k + 2} + c_{k - 1}] x^{k} = 0$

Para que esta igualdad se cumpla es necesario que el coeficiente de cada potencia de $x$ se iguale a cero. Para el caso de la potencia $k = 0$ tenemos que $2 c_{2} = 0$ , de donde $c_{2} = 0$ , para el resto de potencias formamos la relación de recurrencia.

$(k + 1) (k + 2) c_{k + 2} + c_{k - 1} = 0, k = 1, 2, 3, \dots$

Esta expresión determina los coeficientes $c_{k}$ que buscamos. Como $(k + 1) (k + 2) \neq 0$ para los valores de $k$ , podemos escribir $c_{k + 2}$ en términos de $c_{k - 1}$ .

$c_{k + 2} = - \frac{c_{k - 1}}{(k + 1) (k + 2)}, k = 1, 2, 3, \dots$

Esta relación genera coeficientes consecutivos de la solución propuesta una vez que $k$ toma los valores enteros sucesivos indicados.

Comencemos con $k = 1$ .

$c_{3} = - \frac{c_{0}}{2 \cdot 3}$

Para $k = 2$ , se tiene

$c_{4} = - \frac{c_{1}}{3 \cdot 4}$

Para $k = 3$ hacemos uso de que $c_{2} = 0$ .

$c_{5} = - \frac{c_{2}}{4 \cdot 5} = 0$

A partir de $k = 4$ hacemos uso de los valores previos.

$c_{6} = - \frac{c_{3}}{5 \cdot 6} = - (- \frac{c_{0}}{2 \cdot 3}) \frac{1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6} c_{0}$

$k = 5$ .

$c_{7} = - \frac{c_{4}}{6 \cdot 7} = - (- \frac{c_{1}}{3 \cdot 4}) \frac{1}{6 \cdot 7} = \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7} c_{1}$

Para $k = 6$ recordamos que $c_{5} = 0$ .

$c_{8} = - \frac{c_{5}}{7 \cdot 8} = 0$

$k = 7$ .

$c_{9} = - \frac{c_{6}}{8 \cdot 9} = \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 9} c_{0}$

$k = 8$ .

$c_{10} = - \frac{c_{7}}{9 \cdot 10} = \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 10} c_{1}$

$k = 9$ .

$c_{11} = - \frac{c_{8}}{10 \cdot 11} = 0$

Podemos hacer estos cálculos para la $k$ que deseemos, el objetivo es intentar determinar que tipo de serie numérica es la que se logra formar. En este caso nos detendremos hasta $k = 9$ , con ello hemos logrado obtener los primeros $11$ coeficientes de la solución que buscamos (recordemos que $c_{0}$ y $c_{1}$ tienen valores arbitrarios).

$\begin{aligned} y (x) & = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} + c_{4} x^{4} + c_{5} x^{5} + c_{6} x^{6} \\ + c_{7} x^{7} + c_{8} x^{8} + c_{9} x^{9} + c_{10} x^{10} + c_{11} x^{11} + \dots \end{aligned}$

Sustituyamos los coeficientes obtenidos.

$\begin{aligned} y (x) & = c_{0} + c_{1} x + 0 - \frac{c_{0}}{2 \cdot 3} x^{3} - \frac{c_{1}}{3 \cdot 4} x^{4} + 0 + \frac{c_{0}}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6} x^{6} + \frac{c_{1}}{3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7} x^{7} + 0 \\ - \frac{c_{0}}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 9} x^{9} - \frac{c_{1}}{3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 10} x^{10} + 0 + \dots \end{aligned}$

Para obtener la solución general

$y (x) = c_{0} y_{1} (x) + c_{1} y_{2} (x)$

agrupemos los términos que contienen $c_{0}$ y por otro lado los que tienen $c_{1}$ .

$\begin{aligned} y (x) & = c_{0} [1 - \frac{1}{2 \cdot 3} x^{3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6} x^{6} - \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 9} x^{9} + \dots] \\ + c_{1} [x - \frac{1}{3 \cdot 4} x^{4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7} x^{7} - \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 10} x^{10} + \dots] \end{aligned}$

Por lo tanto,

$\begin{aligned} y_{1} (x) & = 1 - \frac{1}{2 \cdot 3} x^{3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6} x^{6} - \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 9} x^{9} + \dots \\ = 1 + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{2 \cdot 3 \dots (3 k - 1) (3 k)} \end{aligned}$

$\begin{aligned} y_{2} (x) & = x - \frac{1}{3 \cdot 4} x^{4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7} x^{7} - \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 10} x^{10} + \dots \\ = x + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{3 \cdot 4 \dots (3 k) (3 k + 1)} x^{3 k + 1} \end{aligned}$

Con esto hemos concluido el ejercicio. Los coeficientes $c_{0}$ y $c_{1}$ quedan completamente indeterminados de manera que se pueden elegir de forma arbitraria.

Por el teorema de existencia y forma de la solución también se puede deducir que las series que forman a $y_{1}$ y $y_{2}$ convergen para $| x | < \infty$ .

Como dato interesante, la ecuación diferencial que acabamos de resolver es una forma de lo que se conoce como ecuación de Airy y se encuentra en el estudio de la difracción de la luz, la difracción de ondas de radio alrededor de la superficie de la tierra, la aerodinámica y la deflexión de una columna vertical delgada uniforme que se curva bajo su propio peso.

Realicemos un ejemplo más en el que los coeficientes de la ecuación no sean polinomios, esto nos permitirá poner en práctica la multiplicación de dos series de potencias.

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \cos (x) y = 0$

respecto al punto ordinario $x_{0} = 0$ .

Solución: Se puede comprobar que la función coseno es analítica en $x = 0$ , esto verifica que efectivamente $x_{0} = 0$ es un punto ordinario. De hecho, al ser analítica en $x = 0$ su serie de Maclaurin es

$\begin{aligned} \cos (x) & = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots + \frac{(- 1)^{k} x^{2 k}}{(2 k)!} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n}}{(2 n)!} \end{aligned}$

Resolvamos la ecuación. Consideremos la solución

$y = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$

y su segunda derivada

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) c_{n} x^{n - 2}$

Sustituyamos en la ecuación diferencial.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \cos (x) y = \sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) c_{n} x^{n - 2} + [\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n}}{(2 n)!}] \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} = 0$

En este caso no intentaremos reescribir la ecuación en una sola serie ya que puede ser más complicado al tratarse de un producto de series, en su lugar vamos a determinar el valor de los coeficientes de cada $x^{k}$ , $k = 0, 1, 2, 3, \dots$ , realizando las operaciones correspondientes, para ello desglosemos las sumas para los primeros términos. Por un lado

$\sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) c_{n} x^{n - 2} = 2 c_{2} + 6 c_{3} x + 12 c_{4} x^{2} + 20 c_{5} x^{3} + \dots$

Por otro lado,

$[\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n}}{(2 n)!}] \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} = (1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + \dots) (c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} + \dots)$

Si se hacen las cuentas correspondientes podremos obtener los coeficientes de cada $x^{k}$ , $k = 0, 1, 2, 3, \dots$ .

Hasta $k = 3$ se obtiene lo siguiente.

$(2 c_{2} + c_{0}) + (6 c_{3} + c_{1}) x + (12 c_{4} + c_{2} - \frac{1}{2} c_{0}) x^{2} + (20 c_{5} + c_{3} - \frac{1}{2} c_{1}) x^{3} + \dots = 0$

Igualamos cada coeficiente a cero.

$\begin{aligned} 2 c_{2} + c_{0} & = 0 \\ 6 c_{3} + c_{1} & = 0 \\ 12 c_{4} + c_{2} - \frac{1}{2} c_{0} & = 0 \\ 20 c_{5} + c_{3} - \frac{1}{2} c_{1} & = 0 \\ ⋮ \end{aligned}$

etcétera. Esto nos da como resultados

$\begin{aligned} c_{2} & = - \frac{1}{2} c_{0} \\ c_{3} & = - \frac{1}{6} c_{1} \\ c_{4} & = \frac{1}{12} c_{0} \\ c_{5} & = \frac{1}{30} c_{1} \\ ⋮ \end{aligned}$

En este caso no se obtuvo una relación de recurrencia, pero $c_{0}$ y $c_{1}$ siguen siendo coeficientes indeterminados que pueden tomar valores arbitrarios. Sustituyendo los valores determinados en la solución propuesta se obtiene

$\begin{aligned} y (x) & = c_{0} + c_{1} x - \frac{c_{0}}{2} x^{2} - \frac{c_{1}}{6} x^{3} + \frac{c_{0}}{12} x^{4} + \frac{c_{1}}{30} x^{5} + \dots \\ = c_{0} [1 - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{12} x^{4} + \dots] + c_{1} [x - \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{30} x^{5} + \dots] \end{aligned}$

Recordando que la solución general es

$y (x) = c_{0} y_{1} (x) + c_{1} y_{2} (x)$

entonces,

$y_{1} (x) = 1 - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{12} x^{4} + \dots$

$y_{2} (x) = x - \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{30} x^{5} + \dots$

Ambas series de potencias convergen para $| x | < \infty$ .

Con esto concluimos esta entrada.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Determinar el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n} x^{n}$

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{n + 2} x^{n}$

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(x - 1)^{n}}{n!}$

Reescribir la siguiente expresión como una sola serie de potencias cuyo término general tenga $x^{k}$ .

$\sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) c_{n} x^{n} + 2 \sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) c_{n} x^{n - 2} + 3 \sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} x^{n}$

Comprobar por sustitución directa que la siguiente serie de potencias es una solución particular de la ecuación diferencial dada.

$y (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{2^{2 n} (n!)^{2}} x^{2 n}, x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} + x y = 0$

Encontrar la solución general en series de potencias de las siguientes ecuaciones diferenciales respecto al punto ordinario $x_{0} = 0$ .

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 0$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \sin (x) y = 0$

Usar el método de series de potencias para resolver el siguiente problema con valores iniciales.

$(x + 1) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - (2 - x) \frac{d y}{d x} + y = 0, y (0) = 2, y^{'} (0) = - 1$

Más adelante…

En esta entrada aprendimos a resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes variables respecto al punto ordinario $x_{0} = 0$ .

En la siguiente entrada resolveremos ecuaciones diferenciales del mismo tipo, pero ahora con respecto a puntos singulares. El método de resolución es conocido como Método de Frobenius.

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Video relacionado al tema: Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables. Solución por series de potencias cerca de un punto ordinario

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables. Solución por series de potencias cerca de un punto ordinario

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

A lo largo de las entradas anteriores que forman parte de la segunda unidad hemos estudiado a detalle ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes, es decir, ecuaciones de la forma $a \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + b \frac{d y}{d t} + c y = g (t), a \neq 0$ y hemos desarrollado diversos métodos para resolverlas. Es momento de revisar ecuaciones lineales de segundo orden, pero ahora con coeficientes variables, es decir, del tipo $a_{0} (t) \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + a_{1} (t) \frac{d y}{d t} + a_{2} (t) y = g (t) .$

Hallar soluciones para este tipo de ecuaciones no resulta tan sencillo como para el caso con coeficientes constantes, y en ocasiones no podremos encontrar soluciones en términos de funciones elementales como polinomios, exponenciales, trigonométricas, etc., por lo que una manera de hallar soluciones es suponiendo que la solución puede escribirse como una serie de potencias alrededor de un punto dado.

Estudiaremos entonces soluciones por series de potencias en dos tipos de puntos: cuando los coeficientes tienen desarrollo en series de Taylor alrededor del punto dado, y cuando lo anterior no ocurre. En particular, en esta entrada revisaremos el primer caso. Definiremos los conceptos de puntos ordinarios y singulares, y demostraremos la existencia de soluciones en series de potencias cerca de un punto ordinario,.

¡Manos a la obra!

Soluciones en series de potencias cerca de un punto ordinario

En el primer video ofrecemos la definición de puntos ordinarios y puntos singulares, y probamos la existencia de soluciones en series de potencias cerca de un punto ordinario, a la ecuación diferencial $a_{0} (t) \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + a_{1} (t) \frac{d y}{d t} + a_{2} (t) y = 0.$ La solución encontrada será, además, la solución general a la ecuación diferencial.

Radio de convergencia de la solución en serie de potencias cerca de un punto ordinario

En el segundo video de la entrada encontramos el radio de convergencia para la solución en serie de potencias cerca de un punto ordinario.

Ejemplos

En el último video de la entrada resolvemos un par de ejemplos de ecuaciones diferenciales con coeficientes variables, con el método desarrollado a lo largo de esta misma entrada.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

¿Qué sucede si suponemos que $a_{0} = 0$ en la demostración del primer video?

¿Qué pasa si suponemos que $c = 1$ en la demostración del primer video?

Prueba que las series de potencias que aparecen en la solución general a la ecuación diferencial $\frac{d^{2} y}{d t^{2}} - t y = 0$ son soluciones particulares a la misma ecuación, y que estas son linealmente independientes. Por tanto, la solución general efectivamente lo es para la ecuación diferencial.

Encuentra la solución general a la ecuación $\frac{d^{2} y}{d t^{2}} - y = 0$ usando series de potencias alrededor de $t_{0} = 0$ .

Encuentra la solución al problema de valor inicial $\frac{d^{2} y}{d t^{2}} - t y = 0$ $y (1) = 0; \frac{d y}{d t} (1) = 2$ calculando una solución por serie de potencias alrededor de $t_{0} = 1$ .

Más adelante

Terminamos de estudiar las soluciones cerca de un punto ordinario. Lo siguientes será revisar el caso cuando el punto en cuestión no es un punto ordinario, es decir, es un punto singular de nuestra ecuación diferencial $a_{0} (t) \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + a_{1} (t) \frac{d y}{d t} + a_{2} (t) y = 0.$

Pero antes analizaremos un caso particular sencillo de resolver: la ecuación de Euler que tiene la forma $t^{2} \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + α t \frac{d y}{d t} + β y = 0.$

A partir de la solución para esta ecuación podremos generalizar más adelante el método a una clase más general de ecuaciones diferenciales con puntos singulares.

¡No se lo pierdan!

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»