Cálculo Diferencial e Integral II: Series de potencia

Introducción

En la sección anterior vimos el criterio de la convergencia absoluta para las series alternantes, en esta sección veremos las series de potencia, que, como bien dice el nombre, son series polinómicas, veamos la siguiente definición.

Series de potencia

Definición. Una serie de potencia es la serie de la siguiente forma:

$$\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+…..$$

A la serie anterior, se le dice que es una serie de potencias alrededor de $x=0$, mientras que, la series de potencias alrededor de $x=a$ se le conoce como series de potencias centradas en $a$, y es de la siguiente forma:

$$\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+…..$$

Donde $c_{n}$ son coeficientes en ambos casos.

Un ejemplo de estas series son las series geométricas que ya hemos visto, al hacer los n-coeficientes $c_{n}$ igual a 1:

$$\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}…..$$

Veamos el siguiente teorema de convergencia llamado el teorema de Abel para las series de potencias.

Teorema de Abel:

Sea la siguiente serie: $\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n}$, entonces se cumple una y solo una de las siguientes afirmaciones:

$a)$ La serie converge solo cuando $x=a$.

$b)$ Existe un número positivo $R$ tal que la serie converge $|x-a|<R$ y diverge si $|x-a|>R$.

$c)$ La serie converge para toda $x$.

La demostración de este teorema es extensa, por lo que sería más conveniente analizarla que demostrarla.

Al número $R$ se le llama el radio de convergencia de la serie, notemos que la serie converge en el intervalo $(a-R, \space a+R)$, si $R=0$ tenemos el primer caso $a)$, es decir, el intervalo consta de un solo punto $x=a$, si $R \to \infty$ entonces tenemos el caso $c)$, es decir, el intervalo de convergencia en este caso es $(-\infty, \infty)$, en el intervalo $b)$ se tiene 4 casos posibles:

$$(a-R, \space a+R)$$

$$[a-R, \space a+R]$$

$$(a-R, \space a+R]$$

$$[a-R, \space a+R)$$

Es decir, la serie puede diverger en ambos extremos o solo un extremo, al igual que la convergencia de la serie.

El teorema de Cauchy-Hadamard nos permite conocer la convergencia de la serie de potencias:

Teorema de Cauchy-Hadamard:

Consideremos la serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n}$ y consideremos a $A$ como:

$$A=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|c_{n}|}$$

Entonces la serie de potencias converge si el radio de convergencia $R$ se define como:

$$R=\frac{1}{A}$$

De este teorema podemos concluir lo siguiente, dependiendo del valor de $A$ podemos decir que si:

  • $$A=0 \Rightarrow R \to \infty$$
  • $$A \to \infty \Rightarrow R=0$$
  • $$0<A<\infty \Rightarrow R=\frac{1}{A}$$

Demostración:

Sin perdida de generalidad podemos suponer que $a=0$. Supongamos que $|x|<R$, entonces:

$$|c_{n}x^{n}|\leq |c_{n}|R^{n} \tag{1}$$

Ahora, como:

$$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|c_{n}|}=A= \frac{1}{R}$$

Para casi todos los índices de $n$, ya que:

$$ \sqrt[n]{|c_{n}|} \leq \frac{1}{R} \Rightarrow |c_{n}| \leq R^{-n}$$

Por lo que en $(1)$:

$$|c_{n}x^{n}|\leq |c_{n}|R^{n} \leq R^{n} R^{-n}=1 $$

Lo cual vemos que es una serie absolutamente convergente, por el criterio de la absoluta convergencia:

$$ \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n} \space converge $$

Para el caso cuando $|x|>R $, de la misma manera anterior obtendremos que:

$$ |c_{n}x^{n}| \geq 1 $$

Lo que significa que no puede convergir a cero, lo que significa que la serie diverge.

$$ \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n} \space diverge $$

$\square$

El teorema nos dice que podemos usar el criterio de la raíz, también podemos usar el criterio de la razón.

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

  • $$\sum_{n=0}^{\infty}(n!)x^{n}$$

En esta serie notamos que $c_{n}=n!$, entonces calculamos al valor $A$ como sigue:

$$A=\lim_{n \to \infty}\frac{|a_{n}+1|}{|a_{n}|}=\lim_{n \to \infty}\frac{|(n+1)!|}{|n!|}=\lim_{n \to \infty}(n+1) \rightarrow \infty \Rightarrow R=0$$

Por lo que el radio de convergencia es $R=0$ y la serie solo converge cuando $x=0$ según el teorema de Abel.

  • $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^{2n+1}}{2^{n^{2}+1}}x^{n}$$

Vemos en este caso que $c_{n}=\frac{n^{2n+1}}{2^{n^{2}+1}}$, utilizamos el criterio de la raíz como sigue:

$$A=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|c_{n}|}=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{n^{2n+1}}{2^{n^{2}+1}}}=\lim_{n \to \infty}\frac{n^{2+1/n}}{2^{n+1/n}}=0 \Rightarrow R\rightarrow \infty$$

Por lo que el intervalo de convergencia es: $R \space \epsilon \space (-\infty, \infty)$ y la serie es convergente para cualquier valor de $x$.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Diga si la siguientes series convergen o diverge.

  1. $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^{3}}{4^{n}}x^{n}$$
  2. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}$$
  3. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{n}}{n^{2}}$$
  4. $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}$$
  5. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-3)^{n}x^{n}}{\sqrt{n+1}}$$

Más adelante…

En esta sección vimos las series de potencias y dos teoremas importantes para la convergencia de estas series que son el teorema de Abel y el teorema de Cauchy-Hadamard, en la siguiente sección veremos los polinomios de Taylor y de Mclaurin que están relacionados con estas series de potencias.

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