Introducción

En entradas anteriores hemos estudiado algunas transformaciones lineales especiales con respecto a la transformación adjunta asociada. Estudiamos, por ejemplo, las transformaciones normales que son aquellas que conmutan con su adjunta. El siguiente paso es estudiar las transformaciones lineales entre espacios euclidianos que preservan las distancias. Estas transformaciones son muy importantes, pues son aquellas transformaciones que además de ser lineales, coinciden con nuestra intuición de movimiento rígido. Veremos que esta condición garantiza que la transformación en cuestión preserva el producto interior de un espacio a otro.

Isometrías y transformaciones ortogonales

Definición. Sean $V_1,V_2$ espacios euclidianos con productos interiores $\langle \cdot, \cdot \rangle_1$ y $\langle \cdot, \cdot \rangle_2$, y con correspondientes normas $||\cdot||_1$ y $||\cdot||_2$. Una isometría entre $V_1$ y $V_2$ es un isomorfismo $T:V_1\to V_2$ tal que para cualesquiera $x,y\in V_1$ se cumple que $$\langle T(x), T(y) \rangle_2 = \langle x,y\rangle_1.$$

Por lo tanto, una isometría es una transformación lineal biyectiva que preserva el producto interior. El siguiente problema nos da una mejor idea de esta preservación.

Problema. Sea $T:V_1\to V_2$ un isomorfismo de espacios vectoriales. Las siguientes dos condiciones son equivalentes.

1. $\langle T(x),T(y) \rangle_2 = \langle x,y \rangle_1 $ para cualesquiera $x,y\in V_1$.
2. $||T(x)||_2=||x||_1$ para cualquier $x\in V_1$.

Solución. $(1)\Rightarrow (2).$ Tomando $y=x$ se obtiene
$$||T(x)||_2^2=||x||_1^2$$ y por lo tanto $||T(x)||_2=||x||_1$, lo cual muestra el inciso 2.

$(2) \Rightarrow (1).$ Usando la identidad de polarización y la linealidad de $T$, podemos mostrar que
\begin{align*}
\langle T(x), T(y) \rangle_2 &=\frac{||T(x)+T(y)||_2^2-||T(x)||_2^2 – ||T(y)||_2^2}{2}\\
&= \frac{||T(x+y)||_2^2-||T(x)||_2^2 – ||T(y)||_2^2}{2}\\
&=\frac{||x+y||_2^2-||x||_2^2 – ||y||_2^2}{2}=\langle x,y \rangle_1,
\end{align*} lo cual muestra 1.

$\square$

Observación. Si $T$ es una transformación como la del problema anterior, entonces $T$ es automáticamente inyectiva: si $T(x)=0$, entonces $||T(x)||_2=0$, de donde $||x||_1=0$ y por lo tanto $x=0$. Recuerda que si $T$ es transformación lineal y $\text{ker}(T)=\{0\}$, entonces $T$ es inyectiva.

Definición. Sea $V$ un espacio euclidiano. Diremos que una transformación lineal $T:V\to V$ es ortogonal si $T$ es una isometría de $V$ en $V$. En otras palabras, $T$ es ortogonal si $T$ es biyectiva y para cualesquiera $x,y\in V$ se tiene que $$\langle T(x), T(y) \rangle = \langle x,y \rangle.$$

Nota que la biyectividad de $T$ es consecuencia de la relación anterior, gracias a la observación. Por lo tanto $T$ es ortogonal si y sólo si $T$ preserva el producto interior.

Similarmente, diremos que una matriz $A\in M_n(\mathbb{R})$ es ortogonal si
$$A^tA=I_n.$$

Estas nociones de ortogonalidad parecen algo distintas entre sí, pero la siguiente sección ayudará a entender la conexión que existe entre ellas.

Ejemplo. La matriz $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ es ortogonal, pues $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

$\triangle$

Equivalencias de transformaciones ortogonales

Entendamos un poco más qué quiere decir que una matriz $A\in M_n(\mathbb{R})$ sea ortogonal. Supongamos que sus filas son $R_1,\dots,R_n$. Notemos que la entrada $(i,j)$ de la matriz $A^tA$ es precisamente el producto punto $\langle R_i, R_j \rangle$. De esta manera, pedir que $$A^tA=I_n$$ es equivalente a pedir que $$\langle R_i, R_j \rangle = \begin{cases} 1 &\text{si $i=j$}\\ 0 & \text{en otro caso.}\end{cases}.$$

Esto es exactamente lo mismo que pedir que los vectores $R_1,\ldots,R_n$ formen una base ortonormal de $\mathbb{R}^n$.

También, de la igualdad $A^tA=I_n$ obtenemos que $A$ y $^tA$ son inversas, de modo que también tenemos $^tAA=I_n$, de donde $^tA$ también es ortogonal. Así, las filas de $^tA$ también son una base ortonormal de $\mathbb{R}^n$, pero estas filas son precisamente las columnas de $A$. Por lo tanto, prácticamente hemos probado el siguiente teorema.

Teorema. Sea $A\in M_n(\mathbb{R})$ una matriz y considera a $\mathbb{R}^n$ con el producto interior canónico. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. $A$ es ortogonal.
2. Las filas de $A$ forman una base ortonormal de $\mathbb{R}^n$.
3. Las columnas de $A$ forman una base ortonormal de $\mathbb{R}^n$.
4. Para cualquier $x\in\mathbb{R}^n$ se tiene $$||Ax||=||x||.$$

Las afirmaciones restantes quedan como tarea moral. Tenemos un resultado muy similar para el caso de transformaciones lineales.

Teorema. Sea $V$ un espacio euclidiano y $T:V\to V$ una transformación lineal. Demuestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. $T$ es ortogonal, es decir, $\langle T(x),T(y) \rangle = \langle x,y \rangle$ para cualesquiera $x,y\in V$.
2. $||T(x)||=||x||$ para cualquier $x\in V$.
3. $T^*\circ T=Id$.

Demostración.$(1) \Rightarrow (2).$ Haciendo la sustitución $x=y$.

$(2) \Rightarrow (3).$ Usando polarización (haz los detalles de tarea moral)

$(3) \Rightarrow (1).$ Pensemos que $2$ se satisface. Entonces

\begin{align*}
\langle T^*\circ T(x)-x,y \rangle&=\langle y, T^*(T(x)) \rangle-\langle x,y \rangle\\
&= \langle T(x),T(y) \rangle – \langle x,y \rangle=0
\end{align*}

para cualesquiera $x,y \in V$ y por lo tanto $T^*(T(x))=x$, lo que prueba $(4)$.

$(4) \Rightarrow (1).$ Si $(4)$ se satisface, entonces $T$ es biyectiva, con inversa $T^*$, por lo que bastará ver que se cumple $(3)$ (pues a su vez implica $(2)$. Notemos que para cualquier $x\in V$ tenemos: $$||T(x)||^2=\langle T(x),T(x) \rangle =\langle x,T^*(T(x)) \rangle=\langle x,x \rangle=||x||^2.$$ Se concluye el resultado deseado.

$\square$

Las transformaciones ortogonales forman un grupo

Las propiedades anteriores nos hablan de una transformación ortogonal. Sin embargo, al tomar un espacio vectorial $V$ y considerar todas las posibles transformaciones ortogonales, tenemos una estructura algebraica bonita: un grupo. Este es el contenido del siguiente teorema.

Teorema. Sea $V$ un espacio euclideano y $O(V)$ el conjunto de transformaciones ortogonales de $V$. Se tiene que $O(V)$ es un grupo bajo composición. En otras palabras, la composición de dos transformaciones ortogonales es una transformación ortogonal y la inversa de una transformación ortogonal es una transformación ortogonal.

Demostración. Veamos la cerradura por composición. Sean $T_1,T_2$ transformaciones lineales ortogonales de $V$. Entonces $T_1\circ T_2$ es lineal y además
$$||(T_1\circ T_2)(x)||=||T_1(T_2(x))||=||T_2(x)||=||x||$$
para todo $x\in V$. Por lo tanto $T_1\circ T_2$ es una transformación lineal ortogonal.

Análogamente tenemos que si $T$ es ortogonal, entonces
$$||x||=||T(T^{-1}(x))||=||T^{-1}(x)||$$
para todo $x\in V$, lo que muestra que $T^{-1}$ es ortogonal.

$\square$

Definición. A $O(V)$ se le conoce como el grupo ortogonal de $V$.

Más adelante…

En esta entrada definimos y estudiamos las transformaciones ortogonales. También hablamos de las matrices ortogonales. Dimos algunas caracterizaciones para este tipo de transformaciones. Vimos que las transformaciones ortogonales de un espacio vectorial forman un grupo $O(V)$.

Las transformaciones que fijan el producto interior también fijan la norma y las distancias, de modo que geométricamente son muy importantes. En cierto sentido, entender quiénes son las transformaciones ortogonales de un espacio vectorial nos ayuda a entender «de qué maneras podemos cambiarlo linealmente, pero sin cambiar su métrica». En las siguientes entradas entenderemos con más profundidad al grupo $O(\mathbb{R}^n)$, el cual nos dará un excelente ejemplo de este fenómeno.

Tarea moral

1. Verifica que la matriz
   $$A=\begin{pmatrix}
   \frac{3}{5} & \frac{4}{5}\\
   -\frac{4}{5} & \frac{3}{5}
   \end{pmatrix}$$ es ortogonal.
2. Sea $\beta$ una base ortnormal de un espacio euclidiano $V$ y sea $\beta’$ otra base de $V$. Sea $P$ la matriz de cambio de base de $\beta$ a $\beta’$. Demuestra que $\beta’$ es ortonormal si y sólo si $P$ es ortogonal.
3. Termina las demostraciones de las caracterizaciones de matrices ortogonales y de transformaciones ortogonales.
4. Demuestra que el producto de matrices ortogonales es también una matriz ortogonal.
5. Encuentra todas las posibles transformaciones ortogonales de $\mathbb{R}$.

Entradas relacionadas

• Ir a Álgebra Lineal II
• Entrada anterior del curso: Transformaciones normales, simétricas y antisimétricas
• Siguiente entrada del curso: El teorema de clasificación de transformaciones ortogonales

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»