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Álgebra Superior I: Órdenes parciales y totales

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

En la entrada pasada, hemos introducido algunos tipos de relaciones de un conjunto en sí mismo. En esta entrada y en la siguiente, veremos algunos ejemplos de este tipo de relaciones, y lo haremos con un concepto que puede que te suene muy familiar desde algunas ideas básicas de los números: el órden.

Ordenes

En la vida cotidiana muchas veces nos surge la necesidad de comparar distintas cosas. Por ejemplo, podemos comparar qué tan lejos está un lugar a comparación de otros. Podemos decir que si una plaza comercial nos queda a dos kilómetros, está más cerca de un parque que queda a tres kilómetros de distancia. ¿Por qué pasa esto? Pues nosotros tenemos alguna noción de que dos kilómteros es menor distancia que tres. O al comparar el tamaño del disco duro de alguna computadora, podemos decir que $512$ Gb es mejor que $256$ Gb, puesto que el de $512$ tiene una mayor capacidad del de $256$. ¿Ves como es que usamos las palabras de mayor y menor? Cuando nosotros estamos usando la noción de ser mayor que o menor que, estamos hablando de un orden. Que es un tipo de relación entre un conjunto consigo mismo, por ahora veremos dos tipos de órdenes entre conjuntos: el orden parcial y el orden total.

Órdenes parciales

Piensa en la relación de $\mathbb{Z}^2$ dada por «ser menor o igual a», es decir la relación:

$$ \leq = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2: x \text{ es menor o igual a } y\}$$

Por ejemplo, $(1,2) \in \leq$ pues $1$ es menor o igual a $2$. Si dos elementos $x,y$ están relacionados mediante $\leq$, simplemente escribiremos $x\leq y$ en lugar de $(x,y) \in \leq$. Veamos algunas propiedades que tiene esta relación:

  1. $\leq$ es simétrica. Nota que para cualquier $x \in \mathbb{Z}$ sucede que $x=x$, en general $x \leq x$, pues la relación $\leq$ está dada por «ser menor o igual», y $x$ es igual a sí mismo.
  2. $\leq$ es antisimétrica. Para ver esto, nota que si sucede al mismo tiempo que $x \leq y$ y $y \leq x$, entonces estamos diciendo que $x$ es igual o menor a $y$ al mismo tiempo que $y$ es menor o igual a $x$. De tal forma que sucede que $$(x<y \lor x=y) \land (y<x \lor y=x) \Leftrightarrow (x<y \land y<x) \lor (x=y).$$ Nota que la primera condición no se cumple, entonces tiene que pasar que $x=y$
  3. $\leq$ es transitiva. Considera tres números $x,y,z \in \mathbb{Z}$ Y nota que si $x \leq y \land y \leq z$ entonces $x \leq z$.

Es por estas propiedades que decimos que la relación $\leq$ es un orden parcial.

Definición. Sea $X$ un conjunto y $R$ una relación de $X$ consigo misma. Diremos que $R$ es un orden parcial sobre $X$ si $R$ es relfexica, antisimétrica y transitiva a la vez.

Otro ejemplo de un orden parcial es la relación de inclusión $\subset$ dentro de los subconjuntos de algún conjunto $X$. Pues recordemos que esta relación está dada por «estar contenido en». Ahora, considera $A,B,C \in \mathcal{P}(X)$, entonces:

  • $\subset$ es reflexiva. Nota que como $A=A$, entonces $A \subset A$.
  • $\subset$ es antisimétrica. Si $A \subset B \land B \subset A$, entonces:$$\forall x ((x \in A \Rightarrow x \in B) \land (x \in B \Rightarrow x \in A)).$$ La cual es una equivalencia de $$\forall x (x \in A \Leftrightarrow x \in B) .$$ Es decir $A=B$.
  • $\subset$ es transitiva. Si $A \subset B \land B \subset C$ entonces:
    $$\begin{align*}
    \forall x((x \in A \Rightarrow x \in B) \land (x \in B \Rightarrow x \in C))
    \end{align*}$$ Y recordemos que podemos aplicar la regla de inferencia usada en demostraciones directas para demostrar que esto significa que
    $$\begin{align*}
    \forall x((x \in A \Rightarrow x \in B) \land (x \in B \Rightarrow x \in C)) &\Rightarrow \forall x(x \in A \Rightarrow x \in C)\\
    &\Leftrightarrow A \subset C.
    \end{align*}$$

Órdenes totales

Ahora, vamos a ver el siguiente concepto que es el de órdenes totales, que en pocas palabras son órdenes parciales con la propiedad de la tricotomía. Veamos de qué trata.

Cuando estemos hablando de un órden total, necesitamos que además de ser un orden parcial, tengamos siempre alguna forma de comparar los elementos de dicho conjunto. Por ejemplo, cuando tengamos dos números enteros $x,y$ siempre podemos decir que $x < y \lor x=y \lor x>y$, es decir, se cumple la propiedad de la tricotomía.

Definición. Sea $X$ un conjunto y $R$ una relación de $X$ en sí misma. Diremos que $R$ tiene la propiedad de la tricotomía, si para cada par de elementos $x,y \in X$ pasa que $x=y$ ó $(x,y) \in R$ ó $(y,x) \in R$.

Esta última definición hace que se nos permita poder «comparar» los elementos de $X$, siempre podemos decir cuál es el orden entre cada par de elementos. Piénsalo como un: si una relación tiene la tricotomía, entonces podemos siempre saber cómo se relacionan todos los elementos entre sí. Un orden total será un orden parcial que tiene esta propiedad.

Definición. Sea $X$ un conjunto y $R$ una relación de $X$ en sí misma. Diremos que $R$ es un orden total si es parcial y tiene la propiedad de la tricotomía.

Algunos ejemplos de órdenes totales son:

  • El orden de $\leq$ en $\mathbb{Z}^2$.
  • Las letras del abecedario con el orden usual. $A<B<C<\dots<Z$
  • Las palabras del diccionario forman un orden de acuerdo a cómo son las letras en las palabras, por ejemplo, si buscamos la palabra «oso», esta vendrá antes que la palabra «ratón», pues antes viene la letra «o» que la «r». A su vez, «casa» viene antes que la palabra «caspa», pues todas las letras «cas» son iguales, pero «a» viene antes que la «p». A este orden se le conoce como el orden lexicográfico. Si quieres saber más, revisa la tarea moral.

Otras definiciones sobre el orden

Dentro de un conjunto $X$ total o parcialmente ordenado mediante una relación $\leq$, podemos tener elementos especiales que tendrán nombres particulares. Como por ejemplo:

Definición. Sea $X$ un conjunto con un orden parcial $\leq$ y $x \in X$. Diremos que:

  • $x$ es un elemento maximal si para cualquier $y \in X$ distinta que $x$ no se cumple que $y \leq x$.
  • $x$ es un elemento minimal si para cualquier $y \in X$ distinta que $x$ no se cumple que $x \leq y$.
  • $x$ es un elemento máximo si para cualquier $y \in X$ se cumple que $y \leq x$.
  • $x$ es un elemento mínimo si para cualquier $y \in X$ se cumple que $x \leq y$.

Lo que nos quieren decir estas definiciones es que un elemento es maximal (o minimal) si no existe algún elemento por «arriba (o debajo)» de $x$. Es decir que no podemos encontrar un elemento que esté «después (o antes)» con respecto al orden $\leq$. Lo que nos dice un elemento máximo (o mínimo) es que todo elemento va a ser «menor o igual (mayor o igual)» a $x$. Si lo piensas, pueden sonar a definiciones muy parecidas, y de hecho siempre que un elemento sea máximo (o mínimo), será maximal (o minimal), pero el inverso puede no ser cierto.

La diferencia entre maximal y máximo está en que un máximo $x$ nos indica que siempre podemos comparar cualquiera otro de los elementos $y$ con el máximo y siempre resultará que $y \leq x$. Mientras que un maximal solo nos dice que no existirá un elemento $y$ tal que $x \leq y$, es decir no encontraremos una comparación en el que $x$ resulte ser menor. Lo mismo pasará con el minimal y mínimo.

Por ejemplo, piensa en el conjunto $X=\{1,2,3\}$ y el orden parcial $\leq = \{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(2,3)\}$. Nota que aquí $3$ es un máximo, pues pasa que $1 \leq 3, 2 \leq 3, 3 \leq 3 $, pero $1$ es minimal, pues $1 \leq 3$ y como $2$ no se compara con $1$, entonces se cumple que no existe algún elemento por «debajo» de él. De la misma manera, $2$ es minimal.

Ahora, considera otro orden parcial sobre el mismo conjunto, dado por $\leq* = \{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(1,2)\}$. Y nota que ahora sucede que bajo este orden, $1$ es mínimo y $2,3$ son elementos maximales.

Más adelante…

En esta entrada nos hemos enfocado en dos tipos de orden, que son los parciales y totales, y estos no solo serán útiles en este curso, pues será un concepto recurrente en temas de cálculo, geometría y demás materias. Por ahora, introdujimos este concepto y pasaremos a otro que igual se usarán mucho, que son las relaciones de equivalencia, que nos permite «partir conjuntos» de acuerdo a elementos que se relacionen entre sí.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Define la relación de orden lexicográfico $\leq_{lex}$ en $\mathbb{Z}^2 \times \mathbb{Z}^2$ en donde $(x,y) \leq_{lex} (w,z)$ si $x \leq y \lor (x=y \land (b \leq d))$. Muestra que $\leq_{lex}$ es un orden total.
  2. Demuestra que si un conjunto con un orden parcial tiene máximo (o mínimo), este es único.
  3. Considera al conjunto $X=\{1,2,3,6,18\}$ y a la relación $|$ «dividir a » dada por:
    $$\begin{align*}
    |=\{&(1,1),(1,2),(1,3),(1,6),(1,18),\\
    &(2,2),(2,6),(2,18),(3,3),(3,6),\\
    &(3,18),(6,6),(6,18),(18,18)\}.
    \end{align*}$$ Y resuelve lo siguiente:
    • Demuestra que $X$ es un orden parcial pero no total.
    • Encuentra el elemento mínimo.
    • Encuentra el elemento máximo.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Cálculo Diferencial e Integral I: Propiedades de orden de los números reales

Por Karen González Cárdenas

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Introducción

Comenzaremos a revisar un conjunto de propiedades muy particular que nos permitirán ordenar a los números reales. De acuerdo a este orden podremos decir para un par de números reales, quién es mayor o menor que otro. Así a la lista de propiedades vista previamente le agregaremos las siguientes.

Noción de orden en $\r$

O1.-Existe un subconjunto $P\subseteq \r$ tal que para todo $a\in\r$ ocurre una y sólo una de las siguientes afirmaciones:

  • $a=0$,
  • $a\in P$,
  • $-a\in P \text{.}$

O2.-Si $a,b \in P$ entonces $a+b \in P$.

O3.-Si $a,b \in P$ entonces $a\cdot b \in P$.

Los elementos de $P$ son llamados números reales positivos.

Definición: Decimos que:

  • $a>b \quad$ si $\quad a-b \in P$.
  • $a<b \quad$ si $\quad b>a$.
  • $a\geq b \quad$ si $\quad a-b \in P \quad$ o $\quad a=b$.
  • $a\leq b \quad$ si $\quad b-a \in P\quad$ o $\quad a=b$.

Tricotomía

Proposición (Tricotomía): Para cualesquiera $a,b \in \r$, tenemos que cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones:

  1. $a=b$
  2. $a>b$
  3. $b>a$

Demostración:

Sean $a,b\in\r$. Como por la cerradura de la suma S1 tenemos que: $$a+(-b)= a-b\in\r$$

Por O1 se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones:

  • $a-b=0$,
  • $a-b\in P$,
  • $-(a-b)\in P$.

Aplicando las definiciones anteriores nos quedaría:

  • $a-b=0 \Rightarrow a=b$,
  • $a-b\in P \Rightarrow a>b$,
  • $-(a-b)\in P\Rightarrow b-a\in P \Rightarrow b>a \text{.}$

$\square$

Leyes de los signos

Definición: Diremos que $a$ es positivo si $a\in P$ y que es negativo si $-a\in P$.

Proposición (Leyes de los signos): Sean $a,b\in\r$. Se cumplen las siguientes afirmaciones:

  1. Si $a,b >0$ entonces $a\cdot b >0$.
  2. Si $a,b < 0$ entonces $a\cdot b >0$.
  3. Si $a>0$, $b<0$ entonces $a\cdot b < 0$.
  4. Si $a<0$, $b>0$ entonces $a\cdot b < 0$.

Demostración:

  1. Consideremos $a>0$ y $b>0$. Así tenemos que $a\in P$ y $b\in P$ entonces por O3 $a\cdot b \in P$.
    $$\therefore \quad a\cdot b > 0$$
  2. Ahora tomemos $a< 0$ y $b<0$. Por lo que $-a\in P$ y $-b\in P$ entonces por O3 $(-a)\cdot( -b) \in P$.
    $$\therefore \quad a\cdot b > 0$$

$\square$

Algunos resultados importantes

Proposición: Sean $a,b,c,d \in \r$. Tenemos que se cumplen los siguientes resultados:

  1. Si $a>b$ entonces $a+c>b+c$.
  2. Si $a<b$ y $c<0$ entonces $ac>bc$.
  3. Si $a<b$ y $c>0$ entonces $ac<bc$.
  4. Si $a<b$ y $c<d$ entonces $a+c<b+d$.
  5. Si $a<b$ y $c>d$ entonces $a-c<b-d$.
  6. Si $a<b$ entonces $-b<-a$.

Demostración:
Demostraremos los puntos 1,3,4 y 5, mientras que dejaremos como ejercicios al lector los puntos 2 y 6.

  1. Como $a>b$ esto significa que $a-b \in P$.
    Así se sigue que:
    \begin{align*}
    a-b &= a +0 -b\\
    &= a + (c -c)-b\\
    &= (a +c) – (c+b) \quad\text{.}\\
    \end{align*}
    De lo anterior concluimos que $(a +c) – (c+b) \in P$, es decir, $a +c > c+b$.
  2. Tarea moral.
  3. Por hipótesis tenemos que $a<b$ y $c>0$ por lo que ocurre: $b-a \in P$ y $c \in P$.
    Por O3 afirmamos que $c (b-a) \in P$. Observemos que: $c (b-a) = cb – ca = bc – ac$.
    $$\therefore \quad bc – ac \in P\text{.}$$
    $$\therefore \quad bc>ac \text{.}$$
  4. Ya que $a<b$ y $c<d$ se sigue que $b-a \in P$ y $d-c \in P$. Así por O2 tenemos:
    $$(b-a)+(d-c) \in P\text{.}$$
    Notemos que:
    \begin{align*}
    (b-a)+(d-c) &= b-a+d-c\\
    &= b+d -a-c\\
    &= (b+d) – (a+c)\quad\text{.}\\
    \end{align*}
    $$\therefore \quad (b+d) – (a+c) \in P\quad\text{.}$$
    $$\therefore \quad b+d > a+c\quad\text{.}$$
  5. Tenemos que $a<b$ y $c>d$ $\Rightarrow b-a \in P$ y $c-d \in P$.
    Por O2 se sigue que $(b-a) + (c-d) \in P$. Y como tenemos lo siguiente:
    \begin{align*}
    (b-a) + (c-d)&= b-a + c-d\\
    &= (b-d) + (-a +c)\\
    &= (b-d) – (a-c)\quad\text{.}\\
    \end{align*}
    Así concluimos que: $(b-d) – (a-c)\in P$.
    $$ \therefore b-d > a-c\quad\text{.}$$
  6. Tarea moral.

$\square$

Transitividad

Proposición (Transitividad): Para $a,b \in \r$ se cumplen las siguientes propiedades:

  1. Si $a>b$ y $b>c \Rightarrow a>c$.
  2. Si $a< b$ y $b<c \Rightarrow a<c$.

Demostración:

  1. Cómo $a>b$ y $b>c$ sabemos que $a-b \in P$ y $b-c \in P$.
    Entonces tenemos por O2 $(a-b)+(b-c)\in P$. Y como:
    $$(a-b)+(b-c) = a+(-b+b)-c = a-c \quad\text{.}$$
    Así $a-c \in P$ y por lo tanto $a>c$.
  2. Ya que $b>a$ y $c>b$. Aplicando el punto anterior se sigue que:
    $$c> a \Rightarrow a < c \quad\text{.}$$

$\square$

El cuadrado de un número real

Proposición: Para todo $a\in \r$ se cumple lo siguiente:

$$a^{2} \geq 0 \text{.}$$

Demostración: Tomemos $a\in \r$. Por la propiedad O1 debemos considerar los siguientes tres casos.

  • Caso $a =0$:
    Como $a=0$, al multiplicar por $a$ en ambos lados de la igualdad tenemos:
    \begin{align*}
    &\Rightarrow a\cdot a = 0\cdot a\\
    &\Rightarrow a\cdot a = 0\cdot 0\\
    &\Rightarrow a^{2} = 0 \quad \text{.}\\
    \end{align*}
    Concluimos así $a^{2} \geq 0$.
  • Caso $a>0$
    Así $a\in P$ y por O3 tenemos que $a \cdot a \in P$. Por lo que $a^{2} \in P$, es decir, $a^{2}> 0$. Se concluye $a^{2} \geq 0$.
  • Caso $a< 0$
    Ahora tenemos que $-a\in P$ y por O3 que $-a \cdot -a \in P$. Así $a^{2}= (-a)(-a) \in P$, por lo que $a^{2} \geq 0$.

De los casos anteriores probamos que $a^{2} \geq 0$ para todo $a\in \r$

$\square$

Más adelante

Ya que hemos definido las propiedades de orden y varios de sus resultados más importantes. En la siguiente entrada comenzaremos por definir a los intervalos en los reales y a resolver desigualdades apoyándonos en todo lo visto en esta entrada.

Tarea moral

Demuestra los puntos 3 y 4 de las Leyes de los signos.

  • Si $a>0$, $b<0$ entonces $a\cdot b < 0$.
    • Sugerencia: Prueba $a\cdot (-b)$ es inverso aditivo de $ab$, es decir, $ab + a\cdot (-b) =0$
  • Si $a<0$, $b>0$ entonces $a\cdot b < 0$.
    • Sugerencia: Aplica o prueba el resultado $(-a)(b)=-(ab)$.

Prueba los puntos 2 y 6 de la sección Algunos resultados importantes:

  • Si $a<b$ y $c<0$ entonces $ac>bc$.
  • Si $a<b$ entonces $-b<-a$.

Muestre que para $a,b \in \r$ se cumplen las siguientes propiedades:

  • Si $a>1$ entonces $a^{2} > a$.
  • Si $0<a<1$ entonces $a^{2} < a$.
  • Consideremos $0<a<b$, demostrar que se cumple la siguiente desigualdad:
    $$a< \sqrt{ab}< \frac{a+b}{2} <b$$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»