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Álgebra Lineal I: Introducción a espacio dual

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

14 respuestas

Introducción

En esta entrada empezamos la tercera unidad del curso de Álgebra Lineal I. Los conceptos fundamentales de esta nueva unidad son el de espacio dual y el de formas bilineales.

Hagamos un pequeño recordatorio, que será útil para entender los temas que vendrán. Ya definimos qué es un espacio vectorial y qué son las transformaciones lineales.

Para los espacios vectoriales, hablamos de subespacios, de conjuntos generadores, independientes y bases. A partir de ellos definimos qué quiere decir que un espacio sea de dimensión finita y, en ese caso, dijimos cómo definir la dimensión. Un lema fundamental para hacer esto fue el lema del intercambio de Steinitz.

Dijimos que las transformaciones lineales son funciones «bonitas» entre espacios vectoriales que «abren sumas» y «sacan escalares». Dimos como ejemplos a las proyecciones y las simetrías. Vimos lo que le hacen a generadores, linealmente independientes y bases. También, vimos que podemos expresarlas a través de matrices.

Un tipo de matrices de trasformaciones lineales muy importante son las matrices de cambios de base, que permiten conocer las coordenadas de vectores en distintas bases y pasar matrices de transformaciones lineales entre distintas bases. Finalmente, hablamos del rango para matrices y transformaciones lineales.

Es muy bueno entender estos temas lo mejor posible antes de continuar. Aunque no te queden 100% claras todas las demostraciones, por lo menos intenta sí conocer las hipótesis y los enunciados de los resultados principales.

Los temas que vendrán están basados en los capítulos 6 y 10 del libro de Titu Andreescu.

Dualidad y espacio dual

Antes de continuar, el siguiente ejemplo te debe de quedar clarísimo. Dice que hay una forma de hacer un espacio vectorial cuyos elementos son transformaciones lineales. Así es, cada vector de este espacio es una transformación lineal. Esto no debería de ser tan raro pues ya estudiamos algunos espacios vectoriales de funciones.

De ser necesario, verifica que en efecto se satisfacen los axiomas de espacio vectorial, para entender todavía mejor el ejemplo.

Ejemplo 1. Si $V$ y $W$ son espacios vectoriales sobre un mismo campo $F$, entonces el conjunto de transformaciones lineales de $V$ a $W$ es un espacio vectorial con las operaciones de suma de funciones y multiplicación por escalar.

Recordemos que la suma de funciones manda a las funciones $S:V\to W$ y $T:V\to W$ a la función $S+T:V\to W$ para la cual $$(S+T)(v)=S(v)+T(v)$$ y que la multiplicación por escalar manda al escalar $c\in F$ y a la función $T:V\to W$ a la función $cT:V\to W$ para la cual $$(cT)(v)=cT(v).$$

La razón por la cual este es un espacio vectorial es que es un subconjunto del espacio vectorial de todas las funciones de $V$ a $W$, y además es cerrado bajo sumas y multiplicaciones por escalar, de modo que es un subespacio.

A este espacio vectorial le llamamos $\text{Hom}(V,W)$.

$\triangle$

En esta unidad vamos a estudiar $\text{Hom}(V,W)$, pero para un caso particular muy concreto: para cuando $W$ es $F$, el campo sobre el cual está $V$. Podemos hacer esto, pues recuerda que podemos pensar al campo $F$ como un espacio vectorial sobre sí mismo.

A partir de ahora fijaremos el campo $F$. Si quieres, puedes pensarlo como $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ pero lo que digamos funcionará para campos arbitrarios.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$. El espacio dual $V^\ast$ de $V$ es el conjunto de transformaciones lineales $l:V\to F$ dotado con las operaciones suma dada por $$(l_1+l_2)(v)=l_1(v)+l_2(v)$$ y producto por escalar dado por $$(cl)(v)=c(l(v))$$ para $l_1,l_2, l$ en $V^\ast$, $v$ en $V$ y $c$ en $F$.

A cada elemento de $V^\ast$ le llamamos una forma lineal en $V$. Usamos la palabra «forma» para insistir en que es una transformación que va hacia el campo $F$ sobre el cual está $V$.

Ejemplo 2. Consideremos al espacio vectorial $\mathbb{R}^3$. Está sobre el campo $\mathbb{R}$. Una forma lineal aquí es simplemente una transformación lineal $S_1:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$, por ejemplo $$S_1(x,y,z)=x+y-z.$$ Otra forma lineal es $S_2:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ dada por $$S_2(x,y,z)=y+z-x.$$ Si sumamos ambas formas lineales, obtenemos la forma lineal $S_1+S_2$, la cual cumple $$(S_1+S_2)(x,y,z)=(x+y-z)+(y+z-x)=2y.$$

Estas son sólo dos formas lineales de las que nos interesan. Si queremos construir todo el espacio dual $(\mathbb{R}^3)^\ast$, necesitamos a todas las transformaciones lineales de $\mathbb{R}^3$ a $\mathbb{R}$.

Recordemos que cada transformación lineal $T$ de estas está representada de manera única por una matriz en $M_{1,3}(\mathbb{R})$ de la forma, digamos, $\begin{pmatrix} a & b & c\end{pmatrix}$. Así, toda transformación lineal de $\mathbb{R}^3$ a $\mathbb{R}$ lo que hace es enviar a $(x,y,z)$ a $$\begin{pmatrix} a& b & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=ax+by+cz.$$ Se puede verificar que la suma de matrices y el producto escalar corresponden precisamente con la suma de sus transformaciones lineales asociadas, y su producto escalar.

Dicho de otra forma, $(\mathbb{R}^3)^\ast$ se puede pensar como el espacio vectorial de matrices $M_{1,3}(\mathbb{R})$. Observa que $\mathbb{R}^3$ y $(\mathbb{R}^3)^\ast$ tienen ambos dimensión $3$.

$\triangle$

Ejemplo 3. Consideremos el espacio vectorial $V$ de funciones continuas del intervalo $[0,1]$ a $\mathbb{R}$. Una forma lineal es una transformación lineal que a cada vector de $V$ (cada función) lo manda a un real en $\mathbb{R}$. Un ejemplo es la forma lineal $T:V\to \mathbb{R}$ tal que $$T(f)=\int_0^1 f(t)\,dt.$$ Otro ejemplo es la forma lineal $\text{ev}_0:V\to \mathbb{R}$ que manda a cada función a lo que vale en $0$, es decir, $$\text{ev}_0(f)=f(0).$$ Aquí dimos dos formas lineales, pero hay muchas más. De hecho, en este ejemplo no está tan sencillo decir quienes son todos los elementos de $V^\ast$.

$\triangle$

Espacio dual de un espacio de dimensión finita

Sea $V$ un espacio de dimensión finita $n$ y $B=\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}$ una base de $V$. Como ya vimos antes, una transformación lineal queda totalmente definida por lo que le hace a los elementos de una base. Más concretamente, si $v=x_1e_1+\ldots+x_ne_n$, entonces lo que hace una forma lineal $l$ en $v$ es $$l(x_1e_1+\ldots+x_ne_n)=x_1a_1+\ldots+x_na_n,$$ en donde $a_i=l(e_i)$ son elementos en $F$.

Hay una manera canónica de combinar a un elemento $l$ de $V^\ast$ y a un elemento $v$ de $V$: evaluando $l$ en $v$. Así, definimos al emparejamiento canónico entre $V$ y $V^\ast$ como la función $$\langle\cdot, \cdot \rangle: V^\ast \times V$$ definida para $l$ en $V^\ast$ y $v$ en $V$ como $$\langle l,v\rangle = l(v).$$

Observa que $\langle\cdot, \cdot \rangle$ es lineal en cada una de sus entradas por separado, es decir para $c$ en $F$, para $l_1,l_2,l$ en $V^\ast$ y para $v_1,v_2,v$ en $V$ se tiene que $$\langle cl_1+l_2,v\rangle = c\langle l_1,v\rangle + \langle l_2,v\rangle$$ y que $$\langle l,cv_1+v_2\rangle = c\langle l,v_1\rangle +\langle l,v_2\rangle.$$ Esto es un ejemplo de una forma bilineal. Estudiaremos estas formas a detalle más adelante.

Vamos a hacer una pequeña pausa. Hasta ahora, para un espacio vectorial $V$ definimos:

  • Su espacio dual $V^\ast$.
  • El emparejamiento canónico entre $V$ y $V^\ast$.

Si a $V^\ast$ le estamos llamando «el dual» es porque esperamos que sea «muy parecido» a $V$. También, en una operación de dualidad nos gustaría que al aplicar dualidad dos veces «regresemos» al espacio original.

Por esta razón, nos gustaría a cada elemento $v$ de $V$ asociarle un elemento de $V^ {\ast \ast} $, el espacio dual del espacio dual. Afortunadamente, hay una forma muy natural de hacerlo. Para cada $v$ en $V$ podemos considerar la forma lineal $\text{ev}_v:V^\ast \to F$ que a cada forma lineal $l$ en $V^\ast$ le asigna $l(v)$.

Ejemplo. Considera el espacio vectorial de matrices $M_{2}(\mathbb{R})$. El espacio dual $M_{2}(\mathbb{R})^\ast$ consiste de todas las transformaciones lineales $T: M_{2}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$. Un ejemplo de estas transformaciones es la transformación $T$ que a cada matriz la manda a la suma de sus entradas, $T\begin{pmatrix}a& b\\c & d\end{pmatrix}=a+b+c+d$. Otro ejemplo es la transformación $S$ que a cada matriz la manda a su traza, es decir, $S\begin{pmatrix}a& b\\c & d\end{pmatrix}=a+d$.

Consideremos ahora a la matriz $A=\begin{pmatrix} 5 & 2\\ 1 & 1\end{pmatrix}$.

A esta matriz le podemos asociar la transformación $\text{ev}_A:M_{2}(\mathbb{R})^\ast\to F$ tal que a cualquier transformación lineal $L$ de $ M_{2}(\mathbb{R})$ a $\mathbb{R}$ la manda a $L(A)$. Por ejemplo, a las $T$ y $S$ de arriba les hace lo siguiente $$\text{ev}_A(T)=T(A)=5+2+1+1=9$$ y $$\text{ev}_A(S)=S(A)=5+1=6.$$

$\triangle$

La discusión anterior nos permite dar una transformación lineal $\iota: V \to V {\ast \ast}$ tal que a cada $v$ la manda a $\text{ev}_v$, a la cual le llamamos la bidualidad canónica entre $V$ y $V^ {\ast \ast} $. Nota que $$\langle \iota(v), l\rangle=\langle l, v\rangle.$$ Un teorema importante que no probaremos en general, sino sólo para espacios vectoriales de dimensión finita, es el siguiente.

Teorema. Para cualquier espacio vectorial $V$, la bidualidad canónica es inyectiva.

De hecho, para espacios vectoriales de dimensión finita veremos que es inyectiva y suprayectiva, es decir, que es un isomorfismo entre $V$ y $V^{\ast \ast}$.

Formas coordenadas

En esta sección hablaremos de cómo encontrar una base para el espacio dual de un espacio vectorial $V$ de dimensión finita.

Supongamos que $V$ es de dimensión finita $n$ y sea $B=\{e_1,\ldots,e_n\}$ una base de $V$. A partir de la base $B$ podemos obtener $n$ formas lineales $e_i^\ast:V\to F$ como sigue. Para obtener el valor de $e_i^\ast$ en un vector $v$, expresamos a $v$ en términos de la base $$v=x_1e_1+x_2e_2+\ldots+x_n e_n$$ y definimos $e_i^\ast(v)=x_i$. A $e_i^\ast$ le llamamos la $i$-ésima forma coordenada para la base $B$ de $V$.

Directamente de las definiciones que hemos dado, tenemos que $$v=\sum_{i=1}^n e_i^\ast(v) e_i = \sum_{i=1}^n \langle e_i^\ast, v\rangle e_i.$$

Otra relación importante es que $e_i^\ast(e_j)=0$ si $i\neq j$ y $e_i^\ast(e_j)=1$ si $i=j$. De hecho, muchas veces tomaremos esta como la definición de la base dual.

Ejemplo. Si estamos trabajando en $F^n$ y tomamos la base canónica $e_i$, entonces la forma canónica $e_i^\ast$ manda al vector $(x_1,\ldots,x_n)$ a $x_i$, que es precisamente la $i$-ésima coordenada. De aquí el nombre de formas coordenadas. En efecto, tenemos que $$v=x_1e_1+x_2e_2+\ldots+x_ne_n.$$

$\triangle$

Estamos listos para enunciar el teorema principal de esta entrada introductoria a dualidad lineal.

Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$ y $B=\{e_1,\ldots,e_n\}$ una base de $V$. Entonces el conjunto de formas coordenadas $B^\ast=\{e_1^\ast, \ldots,e_n^\ast\}$ es una base de $V^\ast$. En particular, $V^\ast$ es de dimensión finita $n$. Además, la bidualidad canónica $\iota:V\to V^{\ast \ast}$ es un isomorfismo de espacios vectoriales.

Más adelante…

Esta primera entrada introduce los conceptos de espacio dual. Estos conceptos son bastante útiles más adelante. Veremos que gracias a ellos, podemos dar una interpretación en términos de transformaciones lineales de la matriz transpuesta. En esta primer entrada también hablamos de formas lineales. Más adelante, veremos como éstas nos llevan de manera natural al concepto de «hiperplanos» en cualquier espacio vectorial. Uno de los resultados clave que demostraremos con la teoría de dualidad es que cualquier subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita se puede pensar como intersección de hiperplanos. Gracias a esto encontraremos una fuerte relación entre subespacios y sistemas de ecuaciones lineales.

Antes de poder hacer estas cosas bien, necesitamos desarrollar bases sólidas. Por ello, en la siguiente entrada demostraremos el último teorema enunciado. También, veremos algunas recetas para resolver problemas de bases duales.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Revisa por definición que si $V$ y $W$ son espacios vectoriales sobre $F$, entonces $\text{Hom}(V,W)$ es un espacio vectorial sobre $F$.
  • Encuentra más formas lineales en el espacio de funciones continuas del intervalo $[0,1]$ a $\mathbb{R}$.
  • Justifica por qué $\iota:V\to V^{\ast \ast}$ es una transformación lineal y argumenta por qué $\langle \iota (v),l\rangle = \langle l,v\rangle$.
  • En el espacio de polinomios $\mathbb{R}_n[x]$ con coeficientes reales y grado a lo más $n$, ¿quienes son las formas coordenadas para la base ordenada $(1,x,x^2,\ldots,x^{n-1},x^n)$?, ¿quiénes son las formas coordenadas para la base ordenada $(1,1+x,\ldots,1+\ldots+x^{n-1},1+\ldots+x^n)$?
  • Aplica el último teorema a la base canónica $E_{ij}$ de $M_2(\mathbb{R})$ para encontrar una base de $M_2(\mathbb{R})^\ast$
  • Considera el espacio vectorial $V$ de matrices en $M_2(\mathbb{R})$. ¿Quién es el kernel de la forma lineal en $V$ que a cada matriz la manda a su traza? ¿Quién es el kernel de la forma lineal $\text{ev}_A$ en $V^\ast$, donde $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Rango de transformaciones lineales y matrices

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

4 respuestas

Introducción

En entradas anteriores hablamos de transformaciones lineales, cómo actúan en conjuntos especiales de vectores y de cómo se pueden representar con matrices. Hablamos también de cómo cambiar de una base a otra y cómo usar esto para entender transformaciones en varias bases. Estamos listos para introducir un concepto fundamental de álgebra lineal, el de rango de una transformación lineal y de una matriz.

Antes de entrar en las definiciones formales, vale la pena hablar un poco de rango de manera intuitiva. Supongamos que $V$ es un espacio vectorial de dimensión $n$ y que $W$ es un espacio vectorial sobre el mismo campo que $V$. Una transformación lineal $T:V\to W$ puede «guardar mucha independencia lineal» o «muy poquita». Si $T$ es inyectiva, ya vimos antes que $T$ manda linealmente independientes a linealmente independientes. Si $T$ es la transformación $0$, entonces se «pierde toda la independencia».

El rango mide algo intermedio entre estos dos extremos. Mientras mayor sea el rango, más independencia lineal se preserva y viceversa. Si mantienes esta intuición en mente, varias de las proposiciones te resultarán más naturales.

Otro buen ejemplo para tener en mente es tomar una transformación lineal $T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$. Si es la transformación identidad, la base canónica se preserva. Si es la proyección al plano $xy$, entonces «perdemos» al vector $(0,0,1)$, pues se va al $(0,0,0)$. Si es la proyección al eje $x$, «perdemos» al $(0,1,0)$ y al $(0,0,1)$ pues ambos se van a $(0,0,0)$. Y si es la transformación $0$, perdemos a todos. El rango precisamente va a medir esto, y para estos ejemplos tendremos rango $3$, $2$, $1$ y $0$ respectivamente.

Rango para transformaciones lineales

Como en otras ocasiones, cuando hablemos de transformaciones lineales entre espacios vectoriales, serán sobre un mismo campo $F$.

Definición. Sean $V$ y $W$ espacios de dimensión finita. El rango de una transformación lineal $T:V\to W$ es la dimensión de la imagen de $T$, es decir, $$\rank(T)=\dim\Ima T.$$

Si $B$ es una base de $V$, entonces genera a $V$. La transformación $T$ es suprayectiva de $V$ a $\Ima T$, de modo que $T(B)$ es generador de $\Ima T$. De esta forma, para encontrar el rango de una transformación lineal $T:V\to W$ basta:

  • Tomar una base $B$ de $V$.
  • Aplicar $T$ a cada elemento de $B$.
  • Determinar un conjunto linealmente independiente máximo en $T(B)$.

Para hacer este último paso, podemos poner a los vectores coordenada de $T(B)$ con respecto a una base de $W$ como los vectores fila de una matriz $A$ y usar reducción gaussiana. Las operaciones elementales no cambian el espacio generado por las filas, así que el rango de $T$ es el número de vectores fila no cero en la forma escalonada reducida $A_{\text{red}}$ de $A$.

Ejemplo. Encuentra el rango de la transformación lineal $T:\mathbb{R}^3\to M_{2}(\mathbb{R})$ que manda $(x,y,z)$ a $$\begin{pmatrix}x+y-z & 2x \\ 2y-2z & x+z-y\end{pmatrix}.$$

Solución. Tomemos $e_1,e_2,e_3$ la base canónica de $\mathbb{R}^3$. Tenemos que $T(e_1)=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 1\end{pmatrix}$, $T(e_2)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1\end{pmatrix}$ y $T(e_3)=\begin{pmatrix}-1 & 0\\ -2 & 1\end{pmatrix}$.

Tomando la base canónica $E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}$ de $M_2(\mathbb{R})$, podemos entonces poner a las coordenadas de $T(e_1),T(e_2),T(e_2)$ como vectores fila de una matriz $$\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 2 & -1\\ -1& 0 & -2 & 1\end{pmatrix}.$$ Sumando la segunda fila a la tercera, y después restando la primera a la segunda,obtenemos la matriz $$\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 1\\ 0 & -2 & 2 & -2\\ 0& 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.$$ De aquí, sin necesidad de terminar la reducción gaussiana, podemos ver que habrá exactamente dos filas no cero. De este modo, el rango de la transformación es $2$.

$\triangle$

Propiedades del rango

Demostremos ahora algunas propiedades teóricas importantes acerca del rango de una transfromación lineal.

Proposición. Sean $U$, $V$ y $W$ espacios de dimensión finita. Sean $S:U\to V$, $T:V\to W$, $T’:V\to W$ transformaciones lineales. Entonces:

  1. $\rank(T)\leq \dim V$
  2. $\rank(T)\leq \dim W$
  3. $\rank(T\circ S)\leq \rank(T)$
  4. $\rank(T\circ S)\leq \rank(S)$
  5. $\rank(T+T’)\leq \rank(T) + \rank(T’)$

Demostración. (1) Pensemos a $T$ como una transformación $T:V\to \Ima(T)$. Haciendo esto, $T$ resulta ser suprayectiva, y por un resultado anterior tenemos que $\dim V\geq \dim \Ima T = \rank (T)$.

(2) Sabemos que $\Ima (T)$ es un subespacio de $W$, así que $\rank(T)=\dim \Ima T \leq \dim W$.

(3) La imagen de $T$ contiene a la imagen de $T\circ S$, pues cada vector de la forma $T(S(v))$ es de la forma $T(w)$ (para $w=S(v)$). Así, \begin{align*}\rank(T) &=\dim \Ima T \geq \dim \Ima T\circ S\\ &= \rank (T\circ S).\end{align*}

(4) La función $T\circ S$ coincide con la restricción $T_{\Ima S}$ de $T$ a $\Ima S$. Por el inciso (1), $\rank(T_{\Ima S})\leq \dim \Ima S = \rank(S)$, así que $\rank (T\circ S) \leq \rank(S)$.

(5) Tenemos que $\Ima (T+T’) \subseteq \Ima T + \Ima T’$. Además, por un corolario de la fórmula de Grassman, sabemos que
\begin{align*}
\dim (\Ima T + \Ima T’)&\leq \dim \Ima T + \dim \Ima T’\\
&= \rank(T) + \rank(T’).
\end{align*}

Así,
\begin{align*}
\rank(T+T’)&\leq \rank(\Ima T + \Ima T’)\\
&\leq \rank(T)+\rank(T’).
\end{align*}

$\square$

Proposición. Sean $R:U\to V$, $T:V\to W$ y $S:W\to Z$ transformaciones lineales con $R$ suprayectiva y $S$ inyectiva. Entonces $$\rank(S\circ T\circ R)=\rank (T).$$

Dicho de otra forma «composición por la izquierda con transformaciones inyectivas no cambia el rango» y «composición por la derecha con transformaciones suprayectivas no cambia el rango». Un corolario es «composición con transformaciones invertibles no cambia el rango».

Demostración. De la proposición anterior, tenemos que $\rank(S\circ T)\leq \rank (T)$. La restricción $S_{\Ima T}$ de $S$ a la imagen de $T$ es una transformación lineal de $\Ima T$ a $\Ima (S\circ T)$ que es inyectiva, de modo que $\dim \Ima T \leq \dim \Ima (S\circ T)$, que es justo $\rank(T)\leq \rank(S\circ T)$, de modo que tenemos la igualdad $\rank(S\circ T)=\rank (T)$.

Como $R$ es suprayectiva, $\Ima R= V$, de modo que $\Ima(S\circ T \circ R)=\Ima(S\circ T)$. Así, \begin{align*}\rank (S\circ T \circ R) &= \rank (S\circ T)\\&=\rank(T).\end{align*}

$\square$

Teorema de rango-nulidad

Una transformación lineal $T:V\to W$ determina automáticamente dos subespacios de manera natural: el kernel $\ker T$ y la imagen $\Ima T$. Resulta que las dimensiones de $\ker T$, de $\Ima T$ y de $V$ están fuertemente relacionadas entre sí.

Teorema. Sean $V$ y $W$ espacios de dimensión finita. Sea $T:V\to W$ una transformación lineal. Entonces $$\dim\ker T + \rank(T) = \dim V.$$

Demostración. Supongamos que $\dim V=n$ y $\dim \ker T = k$. Queremos mostrar que $\rank(T)=n-k$. Para ello, tomemos una base $B$ de $\ker T$ y tomemos $B’=\{v_1,\ldots,v_{n-k}\}$ tal que $B\cup B’$ sea base de $V$. Basta mostrar que $T(B’)=\{T(v_1),\ldots,T(v_{n-k})\}\subset \Ima T$ es base de $\Ima T$. Sea $U$ el generado por $B’$, de modo que $V=U \oplus \ker T$.

Veamos que $T(B’)$ es generador de $\Ima T$. Tomemos $T(v)$ en $\Ima T$. Podemos escribir $v=z+u$ con $z\in \ker T$ y $u\in U$. Así, $T(v)=T(z)+T(u)=T(u)$, y este último está en el generado por $T(B’)$.

Ahora veamos que $T(B’)$ es linealmente independiente. Si $$\alpha_1T(v_1)+\ldots+\alpha_{n-k}T(v_{n-k})=0,$$ entonces $T(\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_{n-k}v_{n-k})=0$, de modo que $\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_{n-k}v_{n-k}$ está en $U$ y en $\ker T$, pero la intersección de estos espacios es $\{0\}$. Como esta combinación lineal es $0$ y $B’$ es linealmente independiente, $\alpha_1=\ldots=\alpha_n=0$.

De esta forma, $T(B’)$ es linealmente independiente y genera a $\Ima T$, de modo que $\rank(T) =|B’|=n-k$.

$\square$

Ejemplo. Consideremos de nuevo la transformación lineal $T:\mathbb{R}^3\to M_{2}(\mathbb{R})$ que manda $(x,y,z)$ a $$\begin{pmatrix}x+y-z & 2x \\ 2y-2z & x+z-y\end{pmatrix}.$$ Muestra que $T$ no es inyectiva.

Solución. Ya determinamos previamente que esta transformación tiene rango $2$. Por el teorema de rango-nulidad, su kernel tiene dimensión $1$. Así, hay un vector $v\neq (0,0,0)$ en el kernel, para el cual $T(v)=0=T(0)$, de modo que $T$ no es inyectiva.

$\square$

Problema. Demuestra que para cualquier entero $n$ existe una terna $(a,b,c)\neq (0,0,0)$ con $a+b+c=0$ y tal que $$\int_0^1 at^{2n}+bt^n+c \,dt = 0.$$

Solución. Podríamos hacer la integral y plantear dos ecuaciones lineales. Sin embargo, daremos argumentos dimensionales para evitar la integral. Consideremos las transformaciones lineales $T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ y $S:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ dadas por
\begin{align*}
T(x,y,z)&=\int_0^1 xt^{2n}+yt^n+z \,dt\\
S(x,y,z)&=x+y+z.
\end{align*}
Notemos que $T(0,0,1)=\int_0^1 1\, dt = 1=S(0,0,1)$, de modo que ni $T$ ni $S$ son la transformación $0$. Como su rango puede ser a lo más $\dim\mathbb{R}=1$, entonces su rango es $1$. Por el teorema de rango-nulidad, $\dim \ker S= \dim \ker T = 2$. Como ambos son subespacios de $\mathbb{R}^3$, es imposible que $\ker S \cap \ker T=\{0\}$, de modo que existe $(a,b,c)$ no cero tal que $T(a,b,c)=S(a,b,c)=0$. Esto es justo lo que buscábamos.

$\square$

Rango para matrices

Definición. El rango de una matriz $A$ en $M_{m,n}(F)$ es el rango de la transformación lineal asociada de $F^n$ a $F^m$ dada por $X\mapsto AX$. Lo denotamos por $\rank(A)$.

A partir de esta definición y de las propiedades de rango para transformaciones lineales obtenemos directamente las siguientes propiedades para rango de matrices.

Proposición. Sean $m$, $n$ y $p$ enteros. Sea $B$ una matriz en $M_{n,p}(F)$ y $A$, $A’$ matrices en $M_{m,n}(F)$. Sea $P$ una matriz en $M_{n,p}(F)$ cuya transformación lineal asociada es suprayectiva y $Q$ una matriz en $M_{r,m}(F)$ cuya transformación lineal asociada es inyectiva. Entonces:

  1. $\rank(A)\leq \min(m,n)$
  2. $\rank(AB)\leq \min(\rank(A),\rank(B))$
  3. $\rank(A+A’)\leq \rank(A) + \rank(A’)$
  4. $\rank(QAP) = \rank(A)$

Como discutimos anteriormente, el rango de una transformación se puede obtener aplicando la transformación a una base y viendo cuál es el máximo subconjunto de imágenes de elementos de la base que sea linealmente independiente. Si tomamos una matriz $A$ en $M_{m,n}(F)$, podemos aplicar esta idea con los vectores $e_1,\ldots,e_n$ de la base canónica de $F^{n}$. Como hemos visto con anterioridad, para cada $i=1,\ldots, n$ tenemos que el vector $Ae_i$ es exactamente la $i$-ésima columna de $A$. Esto nos permite determinar el rango de una matriz en términos de sus vectores columna.

Proposición. El rango de una matriz en $M_{m,n}(F)$ es igual a la dimensión del subespacio de $F^m$ generado por sus vectores columna.

Problema. Determina el rango de la matriz $$\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 5 & 0\\ 0 & 8 & 2 & -9 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 4 & -2\end{pmatrix}.$$

Solución. Como es una matriz con $3$ filas, el rango es a lo más $3$. Notemos que entre las columnas están los vectores $(3,0,0)$, $(0,2,0)$ y $(0,0,-2)$, que son linealmente independientes. De esta forma, el rango de la matriz es $3$.

$\triangle$

A veces queremos ver que el rango de un producto de matrices es grande. Una herramienta que puede servir en estos casos es la desigualdad de Sylvester.

Problema (Desigualdad de Sylvester). Muestra que para todas las matrices $A$, $B$ en $M_n(F)$ se tiene que $$\rank(AB)\geq \rank(A)+\rank(B)-n.$$

Solución. Tomemos $T_1:F^n\to F^n$ y $T_2:F^n\to F^n$ tales que $T_1(X)=AX$ y $T_2(X)=BX$. Lo que tenemos que probar es que $$\rank(T_1\circ T_2) \geq \rank(T_1) + \rank(T_2) – n.$$

Consideremos $S_1$ como la restricción de $T_1$ a $\Ima T_2$. Tenemos que $\ker S_1 \subset \ker T_1$, así que $\dim \ker S_1 \leq \dim \ker T_1$. Por el teorema de rango-nulidad en $S_1$, tenemos que
\begin{align*}
rank(T_2) &= \dim \Ima T_2 \\
&= \dim \ker S_1 + \rank(S_1) \\
&= \dim \ker S_1 + \rank(T_1\circ T_2)\\
&\leq \dim \ker T_1 + \rank(T_1\circ T_2),
\end{align*} así que $$\rank(T_2)\leq \dim \ker T_1 + \rank(T_1\circ T_2).$$

Por el teorema de rango-nulidad en $T_1$ tenemos que $$\dim \ker T_1 + \rank(T_1)=n.$$

Sumando la desigualdad anterior con esta igualdad obtenemos el resultado.

$\square$

El teorema $PJQ$ (opcional)

El siguiente resultado no se encuentra en el temario usual de Álgebra Lineal I. Si bien no formará parte de la evaluación del curso, recomendamos fuertemente conocerlo y acostumbrarse a usarlo pues tiene amplias aplicaciones a través del álgebra lineal.

Teorema (Teorema PJQ). Sea $A$ una matriz en $M_{m,n}(F)$ y $r$ un entero en $\{0,\ldots,\min(m,n)\}$. El rango de $A$ es igual a $r$ si y sólo si existen matrices invertibles $P\in M_m(F)$ y $Q\in M_n(F)$ tales que $A=PJ_rQ$, en donde $J_r$ es la matriz en $M_{m,n}$ cuyas primeras $r$ entradas de su diagonal principal son $1$ y todas las demás entradas son cero, es decir, en términos de matrices de bloque, $$J_r=\begin{pmatrix}
I_r & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}.$$

No damos la demostración aquí. Se puede encontrar en el libro de Titu Andreescu, Teorema 5.68. Veamos algunas aplicaciones de este teorema.

Problema 1. Muestra que una matriz tiene el mismo rango que su transpuesta.

Solución. Llamemos $r$ al rango de $A$. Escribimos $A=PJ_rQ$ usando el teorema $PJQ$, con $P$ y $Q$ matrices invertibles. Tenemos que $^tA=^tQ\, ^tJ_r \,^tP$, con $^tQ$ y $^tP$ matrices invertibles. Además, $^t J_r$ es de nuevo de la forma de $J_r$. Así, por el teorema $PJQ$, tenemos que $^t A$ es de rango $r$.

Combinando el problema anterior con el resultado del rango de una matriz en términos de sus vectores columna obtenemos lo siguiente.

Proposición. El rango de una matriz en $M_{m,n}(F)$ es igual a la dimensión del subespacio de $F^n$ generado por sus vectores renglón.

Terminamos esta entrada con una aplicación más del teorema $PJQ$.

Problema 2. Muestra que una matriz $A$ de rango $r$ se puede escribir como suma de $r$ matrices de rango $1$. Muestra que es imposible hacerlo con menos matrices.

Solución. Expresamos $A=PJ_rQ$ usando el teorema $PJQ$. Si definimos $A_i=PE_{ii}Q$ para $i=1,\ldots,r$, donde $E_{ii}$ es la matriz cuya entrada $(i,i)$ es uno y las demás cero, claramente tenemos que $J_r=E_{11}+E_{22}+\ldots+E_{rr}$, por lo que $$A=PJ_rQ=A_1+A_2+\ldots+A_r.$$ Además, como $E_{ii}$ es de rango $1$, por el teorema $PJQ$ cada matriz $A_i$ es de rango $1$.

Veamos que es imposible con menos. Si $B_1,\ldots,B_s$ son matrices de rango $1$, como el rango es subaditivo tenemos que $\rank (B_1+\ldots+B_s)\leq s$. Así, si sumamos menos de $r$ matrices, no podemos obtener a $A$.

$\square$

Más adelante…

Esta entrada es solamente una breve introducción al concepto de rango y a algunas propiedades que pueden ser de utilidad al momento de calcular el rango de una matriz o una transformación lineal. Más adelante, veremos que el rango de una matriz está también relacionado con las soluciones de su sistema lineal homogéneo asociado.

El teorema de rango-nulidad es fundamental para el álgebra lineal. Muchas veces necesitamos calcular el rango de la imagen de una transformación lineal, pero es mucho más fácil calcular la dimensión de su kernel. O viceversa. En estas situaciones es muy importante recordar la forma en la que dicho teorema las relaciona.

Con este tema termina la segunda unidad del curso. Ahora estudiaremos aspectos un poco más geométricos de espacios vectoriales. En la siguiente unidad, hablaremos de dualidad, ortogonalidad, formas bilineales y productos interiores.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Termina de hacer la reducción gaussiana del primer ejemplo.
  • Sea $T$ una transformación de un espacio vectorial $V$ de dimensión finita a si mismo. Usa el teorema de rango-nulidad para mostrar que si $T$ es inyectiva o suprayectiva, entonces es biyectiva.
  • Determina el rango de la matriz $$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 8 & 3\\ 7 & 8 & -1 & -2 & 0\\ 3 & -1 & 4 & 4 & -9\end{pmatrix}.$$
  • Demuestra que aplicar operaciones elementales a una matriz no cambia su rango.
  • Demuestra que matrices similares tienen el mismo rango.
  • Demuestra por inducción que para matrices $A_1,\ldots, A_n$ del mismo tamaño tenemos que $$\rank (A_1+\ldots+A_n)\leq \sum_{i=1}^n \rank(A_i).$$
  • Escribe la demostración de la última proposición de la sección del teorema $PJQ$
  • Revisa la demostración del teorema de descomposición $PJQ$ en el libro de Titu Andreescu.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Problemas de cambio de base

Por Blanca Radillo

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Introducción

En las entradas anteriores platicamos acerca de matrices de cambio de base. Vimos cómo nos ayudan a pasar un vector expresado en una base a otra. También vimos cómo nos ayudan a entender una transformación lineal en bases distintas. En esta entrada, veremos algunos ejemplos para repasar estos conceptos.

Problemas resueltos

Problema 1. Considera las familias de vectores $B=\{v_1,v_2,v_3\}$, $B’=\{w_1,w_2,w_3\}$, donde $$v_1=(0,1,1), \ v_2=(1,0,1), \ v_3=(1,1,0)$$ y $$w_1=(1,1,-1), \ w_2=(1,0,-1), \ w_3=(-1,-1,0).$$

  1. Prueba que $B$ y $B’$ son bases de $\mathbb{R}^3$.
  2. Encuentra la matriz de cambio de base $P$ de $B$ a $B’$ usando la definición de $P$.
  3. Encuentra la matriz de cambio de base $P$ usando la base canónica de $\mathbb{R}^3$ y la última proposición de esta entrada.

Solución. (1) Dado que $\dim \mathbb{R}^3=3$ y estas familias son de tres vectores, basta con demostrar que son vectores linealmente independientes. Una manera de hacerlo es formando la matriz obtenida al colocar a los vectores como renglones y reducirla hasta la matriz identidad $I_3$.

Para $B$, la matriz asociada es $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Haciendo los cálculos de la reducción, obtenemos que

\begin{align*}
&\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\\
\to&\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\
\to &\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\
\to &\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \\
\to &\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
\end{align*}

Esto implica que los vectores en $B$ son linealmente independientes y, por lo tanto, forman una base $\mathbb{R}^3$.

Para $B’$, la matriz asociada es $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Reduciendo la matriz, tenemos que

\begin{align*}&\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \\
\to &\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \\
\to &\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\end{align*}

Por lo tanto, $B’$ también es una base de $\mathbb{R}^3$.

(2) Recordemos que la matriz de cambio de base $P$ está definida como la matriz $[p_{ij}]$ cuya columna $j$ tiene como entradas a las coordenadas de $w_j$ escrito en términos de la base $B$. Entonces, expresemos

\begin{align*}
(1,1,-1)&=w_1=av_1+bv_2+cv_3=(b+c,a+c,a+b),\\
(1,0,-1)&=w_2=dv_1+ev_2+fv_3=(e+f,d+f,d+e),\\
(-1,-1,0)&=w_3=gv_1+hv_2+kv_3=(h+k,g+k,g+h),
\end{align*}

obteniendo que

\begin{align*}
b+c&=1\\
a+c&=1\\
a+b&=-1\\
e+f&=1\\
d+f&=0\\
d+e&=-1\\
h+k&=-1\\
g+k&=-1\\
g+h&=0.
\end{align*}

Si resolvemos el sistema anterior, concluimos que $a=b=-\frac{1}{2}$, $c=\frac{3}{2}$, $d=-1$, $e=0$, $f=1$, $g=h=0$, $k=-1$. Por lo tanto

$$P=\begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & k \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{3}{2} & 1 & -1 \end{pmatrix}.$$

(3) Sea $B»=\{e_1,e_2,e_3\}$ la base canónica de $\mathbb{R}^3$. Queremos encontrar la matriz de cambio de base denotada como $\text{Mat}_B (B’)$. Usando la última proposición de la clase del lunes, tenemos que

$$\text{Mat}_B (B’)=\text{Mat}_{B} (B») \cdot \text{Mat}_{B»} (B’)=(\text{Mat}_{B»} (B))^{-1} \cdot \text{Mat}_{B»} (B’).$$

Por definición,

$$\text{Mat}_{B»} (B)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \ \text{Mat}_{B»} (B’)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Para calcular $(\text{Mat}_{B»} (B))^{-1}$, lo haremos como ya lo hemos visto en clases: pegando a la derecha una matriz identidad y aplicando reducción gaussiana:

\begin{align*} &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\
\rightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \rightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \\
\rightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & -1 \end{array} \right) \\ \rightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 1/2 & 1/2 & -1/2 \end{array} \right).
\end{align*}

Por lo tanto, $$(\text{Mat}_{B»}(B))^{-1}=\begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}.$$

Finalmente, usando la proposición, tenemos que

$$P=\text{Mat}_B (B’)=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{3}{2} & 1 & -1 \end{pmatrix}. $$

Esto coincide con el cálculo que hicimos previamente.

$\square$

Problema 2. Considera la matriz $$A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$

y sea $T:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ la transformación lineal asociada, es decir $T(X)=AX$ para todo $X\in\mathbb{R}^3$. Considera los vectores

$$v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \ v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \ v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}.$$

  1. Prueba que $v_1,v_2,v_3$ forman una base de $\mathbb{R}^3$ y calcula la matriz de $T$ con respecto a esta base.
  2. Encuentra la matriz de cambio de base de la base canónica a la base $\{v_1,v_2,v_3\}$.
  3. Calcula $A^n$ para todo entero positivo $n$.

Antes de ver la solución a este problema este problema, observa que sería muy difícil decir quién es $A^{100}$ «a mano» si procedes directamente. Se tendrían que hacer muchas multiplicaciones matriciales, que son difíciles. Ten en mente esto cuando leas la solución de la parte 3.

Solución. (1) Dado que la dimensión de $\mathbb{R}^3$ es 3 y $\{v_1,v_2,v_3\}$ son tres vectores, basta con demostrar que éstos son linealmente independientes para probar que forman una base. Sean $a,b,c\in\mathbb{R}$ tales que $av_1+bv_2+cv_3=0$, entonces

\begin{align*}
&a+b+c=0, \ a-c=0, \ -a-b=\\
\Rightarrow &a=c, -a=b, a-a+a=0 \\
\Rightarrow &a=0, c=0, b=0.
\end{align*}

Entonces, son linealmente independientes y, por lo tanto, forman una base de $\mathbb{R}^3$.

Nota: Otra manera de demostrarlo es considerar la matriz formada por los vectores $v_1,v_2,v_3$ como sus columnas, reducirla y llegar a que la matriz reducida es la matriz identidad.

Ahora, para calcular la matriz de $T$ con respecto a la nueva base, expresaremos $T(v_1),T(v_2), T(v_3)$ en términos de $v_1,v_2,v_3$. Entonces tenemos que

$$T(v_1)=Av_1=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}=v_1,$$

$$T(v_2)=Av_2=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}=2v_2,$$

$$T(v_3)=Av_3=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}=3v_3.$$

Por lo tanto, la matriz que buscamos es $$B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.$$

(2) Lo haremos de la misma manera que en el inciso (2) del problema anterior, que consiste en escribir a los $v_1,v_2,v_3$ en la base canónica, pero ésto es obvio ya que están escritos de esa manera, por lo tanto $$P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.$$

(3) Sabemos que la matriz de $T$ con respecto a $v_1,v_2,v_3$ (que nombramos en el inciso (1) como $B$) es igual a $P^{-1}AP$, gracias al último corolario de la sección «Matrices de cambio de base y transformaciones lineales» de la entrada anterior. Entonces $$P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.$$

Es fácil ver (pero lo pueden demostrar por inducción en $n$) que $$(P^{-1}AP)^n=(P^{-1}AP)(P^{-1}AP)\dots (P^{-1}AP)=P^{-1}A^n P.$$

Esto implica que $P^{-1}A^n P=B^n$, es decir $$P^{-1}A^n P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix}.$$

Multiplicando por $P$ a la izquierda y por $P^{-1}$ a la derecha, obtenemos que $$A^n=P\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix}P^{-1} .$$

Para ello, nos falta calcular la inversa de $P$, y eso lo haremos como siempre lo hemos hecho: reduciendo la matriz. Entonces

\begin{align*} &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\\rightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \\
\rightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \\\rightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right). \end{align*}

Como consecuencia, tenemos que $$P^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Por lo tanto,

\begin{align*}
A^n &=P \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix} P^{-1}\\
&=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{align*}

$$A^n= \begin{pmatrix} 1-2^n+3^n & 1-2^n & 1-2^{n+1}+3^n \\ 1-3^n & 1 & 1-3^n \\ 2^n-1 & 2^n-1 & 2^{n+1}-1 \end{pmatrix}.$$

$\square$

El ejercicio anterior deja una moraleja importante de álgebra lineal: si tenemos una matriz $A$ y logramos encontrar una matriz diagonal $B$ similar a ella, entonces será fácil encontrar $A^n$. Para finalizar esta sesión, tenemos el siguiente problema.

Problema 3. Prueba que las matrices $$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \ \text{y} \ B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ son similares.

Solución. Para resolverlo usaremos el corolario de la entrada anterior. Al escribirlo en este contexto, dice lo siguiente:

Corolario. Sea $T:\mathbb{R}^4\rightarrow \mathbb{R}^4$ una transformación lineal. Sean $B’$ y $B»$ bases de $\mathbb{R}^4$ y $P$ la matriz de cambio de base de $B’$ a $B»$. Entonces $\text{Mat}_{B»}(T)=P^{-1} \text{Mat}_{B’}(T) P.$

Si podemos encontrar una transformación $T$ y bases $B’$ y $B»$ tales que $\text{Mat}_{B’}(T)=A$ y $\text{Mat}_{B»} (T)=B$, podemos calcular la matriz de cambio de base $P$, y satisface que $B=P^{-1}AP$, implicando que $A$ y $B$ sean matrices similares. Entonces, el problema se reduce a encontrar la transformación, las bases y calcular $P$.

Dado que $\text{Mat}_{B’}(T)=A$, si $B’$ es la base canónica, es claro que la transformación $T$ satisface que $T(X)=AX$ para todo $X\in\mathbb{R}^4$.

Ahora, encontremos $B»$. Sea $B»=\{ v_1,v_2,v_3,v_4 \}$ con

$$v_1=\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \\ w_1 \end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \\ w_2 \end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix} x_3 \\ y_3 \\ z_3 \\ w_3 \end{pmatrix}, v_4=\begin{pmatrix} x_4 \\ y_4 \\ z_4 \\ w_4 \end{pmatrix}.$$

Dado que $\text{Mat}_{B»}(T)=B$, entonces satisface

$$T(v_1)=Av_1=v_1, \ T(v_2)=Av_2=2v_1+v_2,$$

$$T(v_3)=Av_3=3v_1+2v_2+v_3, \ T(v_4)=Av_4=4v_1+3v_2+2v_3+v_4.$$

Resolviendo lo anterior, obtenemos que

$$Av_1=\begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ y_1+z_1 \\ z_1+w_1 \\ w_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \\ w_1 \end{pmatrix} \ \Rightarrow \ v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},$$

$$Av_2=\begin{pmatrix} x_2+y_2 \\ y_2+z_2 \\ z_2+w_2 \\ w_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_2+2 \\ y_2 \\ z_2 \\ w_2 \end{pmatrix} \ \Rightarrow \ v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},$$

$$Av_3=\begin{pmatrix} x_3+y_3 \\ y_3+z_3 \\ z_3+w_3 \\ w_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_3+5 \\ y_3+4 \\ z_3 \\ w_3 \end{pmatrix} \ \Rightarrow \ v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix},$$

y por último

$$Av_4=\begin{pmatrix} x_4+y_4 \\ y_4+z_4 \\ z_4+w_4 \\ w_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_4+9 \\ y_4+16 \\ z_4+8 \\ w_4 \end{pmatrix} \ \Rightarrow \ v_4=\begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 16 \\ 8 \end{pmatrix}$$

Aquí estamos usando que los sistemas de ecuaciones que se obtienen tienen como variables libres a $x_1,x_2,x_3,x_4$, las cuales las estamos tomando todas ellas iguales a $1$.

Estos vectores son linealmente independientes pues la matriz con ellos como columnas es triangular superior con entradas en la diagonal distintas de cero, de modo que su matriz reducida es la identidad. Como $\mathbb{R}^4$ es de dimensión $4$ y $B»$ es un conjunto de cuatro vectores linealmente independientes, entonces $B»$ es una base. Más aún, $B»$ es una base tal que $\text{Mat}_{B»} (T)=B$, por construcción.

Finalmente, podemos calcular la matriz de cambio de base $P$ de $B’$ a $B»$, pero es fácil ya que $B’$ es la base canónica, entonces $$P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 5 & 9 \\ 0 & 0 & 4 & 16 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}.$$

Por propiedades de la matriz de cambio de base, sabemos que $P$ es invertible. Entonces, para terminar la prueba, podemos encontrar $P^{-1}$ y verificar que $B=P^{-1}AP$, o simplemente verificamos que $PB=AP$, y por lo tanto $A$ y $B$ son matrices similares. Lo haremos de la segunda manera. En efecto,

$$PB=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 5 & 9 \\ 0 & 0 & 4 & 16 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 6 & 10 \\ 0 & 2 & 9 & 25 \\ 0 & 0 & 4 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}$$

$$AP=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 5 & 9 \\ 0 & 0 & 4 & 16 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 6 & 10 \\ 0 & 2 & 9 & 25 \\ 0 & 0 & 4 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}.$$

Por lo tanto, $A$ y $B$ son matrices similares.

Nota: si calculas la inversa de $P$, obtienes como resultado que $$P^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{8} & -\frac{5}{16} \\ 0 & \frac{1}{2} & -\frac{5}{8} & \frac{11}{16} \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{8} \end{pmatrix}.$$

$\square$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Cambio de base de transformaciones lineales

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

1 respuesta

Introducción

En la entrada anterior definimos las matrices de cambio de base. Vimos algunas de sus propiedades básicas y mostramos cómo nos pueden ayudar para resolver el primero de los siguientes dos problemas.

  • Supongamos que tenemos dos bases $B_1$ y $B_2$ de un espacio vectorial $V$ y que tomamos un vector $v$ en $V$. Si ya sabemos la combinación lineal de elementos de $B_1$ que da $v$, ¿cómo podemos saber la combinación lineal de elementos de $B_2$ que da $v$? En otras palabras, ¿cómo podemos pasar a $v$ de su expresión en base $B_1$ a su expresión en base $B_2$?
  • Supongamos que tenemos una transformación lineal $T:V\to W$ entre dos espacios vectoriales $V$ y $W$, dos bases $B_1$ y $B_2$ de $V$ y dos bases $C_1$ y $C_2$ de $W$. Si ya sabemos qué le hace $T$ a los elementos de $V$ en términos de las bases $B_1$ y $C_1$, ¿cómo podemos saber qué hace $T$ en términos de las bases $B_2$ y $C_2$?

El objetivo de esta entrada es ver cómo con las matrices de cambio de base también podemos resolver el segundo problema. Después de hacer esto, hablaremos de una noción fundamental en álgebra lineal: la de matrices similares.

Matrices de cambio de base y transformaciones lineales

Las matrices de cambios de base nos ayudan a entender a las matrices de transformaciones lineales en bases diferentes.

Teorema. Sea $T:V\to W$ una transformación lineal entre espacios de dimensión finita $V$ y $W$. Sean $B_1$ y $B_2$ bases de $V$, y $C_1$ y $C_2$ bases de $W$. Entonces $$\Mat_{C_2,B_2}(T) = \Mat_{C_2}(C_1)\Mat_{C_1,B_1}(T)\Mat_{B_1}(B_2).$$

Observa cómo la elección de orden en la notación está rindiendo fruto. En el lado derecho «van apareciendo las bases» en el «orden natural» $C_2$, $C_1$, $B_1$, $B_2$.

Demostración. Sean $P=\Mat_{C_1}(C_2)$ y $Q=\Mat_{B_1}(B_2)$. Por un resultado de la entrada anterior, $P$ es la matriz que representa a la transformación identidad en $W$ con respecto a las bases $C_1$ y $C_2$, es decir, $P=\Mat_{C_1,C_2}(\text{id}_W)$.

Por cómo son las matrices de composiciones de transformaciones lineales, y usando que $\text{id}_W\circ T=T$, tenemos que $$\Mat_{C_1,C_2}(\text{id}_W)\Mat_{C_2,B_2}(T)=\Mat_{C_1,B_2}(T).$$

De manera análoga, $Q$ es la matriz que representa a la transformación identidad en $V$ con respecto a las bases $B_1$ y $B_2$, de donde tenemos que $$\Mat_{C_1,B_1}(T)\Mat_{B_1,B_2}(\text{id}_V)=\Mat_{C_1,B_2}(T).$$

De esta forma, $$P\Mat_{C_2,B_2}(T) = \Mat_{C_1,B_2}(T) = \Mat_{C_1,B_1}(T) Q.$$ El resultado se obtiene multiplicando por la izquierda ambos lados de esta ecuación por $P^{-1}=\Mat_{C_2}(C_1)$.

$\square$

En la siguiente entrada se verán varios ejemplos que involucran crear matrices para transformaciones lineales, matrices de cambios de base y multiplicarlas para entender una transformación lineal en distintas bases.

Por el momento, dejamos únicamente un corolario del teorema anterior, para el caso en el que tenemos una transformación lineal de un espacio vectorial a sí mismo expresado en términos de dos bases.

Corolario. Sea $T:V\to V$ una transformación lineal de un espacio vectorial $V$ de dimensión finita a sí mismo. Sean $B$ y $B’$ bases de $V$ y $P$ la matriz de cambio de base de $B$ a $B’$. Entonces $$\Mat_{B’}(T)=P^{-1}\Mat_{B}(T)P.$$

Matrices similares

Definición. Decimos que dos matrices $A$ y $B$ en $M_{n}(F)$ son similares o conjugadas si existe una matriz invertible $P$ en $M_n(F)$ tal que $B=P^{-1}AP$.

En otras palabras, $A$ y $B$ son matrices similares si representan a una misma transformación lineal en diferentes bases.

Proposición. La relación «ser similares» es una relación de equivalencia en $M_n(F)$.

Demostración. Toda matriz es similar a sí misma usando $P=I_n$, la identidad. Si $A$ y $B$ son similares con matriz invertible $P$, entonces $B$ y $A$ son similares con matriz invertible $P^{-1}$. Si $A$ y $B$ son similares con matriz invertible $P$ y $B$ y $C$ son similares con matriz invertible $Q$, notemos que $A=P^{-1}BP=P^{-1}(Q^{-1}CQ)P=(QP)^{-1}C(QP)$, de modo que $A$ y $C$ son similares con matriz invertible $QP$.

$\square$

¿Por qué es importante saber si dos matrices son similares? Resulta que dos matrices similares comparten muchas propiedades, como su traza, su determinante, su rango, etc. Para algunas matrices es más sencillo calcular estas propiedades. Así que una buena estrategia en álgebra lineal es tomar una matriz $A$ «complicada» y de ahí encontrar una matriz similar $B$ «más simple», y usar $B$ para encontrar propiedades de $A$.

Veamos un ejemplo de esto. Mediante un sencillo argumento inductivo se puede mostrar lo siguiente.

Proposición. Si $A$ y $B$ son matrices similares con $A=P^{-1}BP$, entonces $A^n=P^{-1}B^nP$.

Si $B$ fuera una matriz diagonal, entonces es fácil encontrar $B^n$: basta con elevar cada una de las entradas de su diagonal a la $n$ (lo cual es mucho más fácil que hacer productos de matrices). Así, esto da una forma muy fácil de encontrar $A^n$: basta con encontrar $B^n$, y luego hacer dos multiplicaciones de matrices más, por $P^{-1}$ a la izquierda y por $P$ a la derecha.

Más adelante…

En estas últimas dos entradas aprendimos a hacer «cambios de base», tanto para coordenadas, como para formas matriciales. También, introdujimos el concepto de similitud de matrices. Cuando $A$ es una matriz similar a una matriz diagonal, decimos que $A$ es diagonalizable. Que una matriz sea diagonalizable trae muchas ventajas. Como ya mencionamos, una de ellas es poder elevar la matriz a potencias de manera sencilla. Otra ventaja es que en las matrices diagonalizables es sencillo calcular rangos, determinantes y otras invariantes de álgebra lineal.

Una parte importante de lo que resta del curso consistirá en entender por qué las matrices simétricas con entradas reales son diagonalizables. El teorema principal del curso (el teorema espectral), consistirá en mostrar que toda matriz simétrica con entradas reales es diagonalizable mediante matrices ortogonales. Para poder demostrarlo, necesitaremos primero estudiar teoría geométrica de espacios vectoriales y teoría de determinantes.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Deduce el corolario del teorema principal de esta entrada.
  • Considera $\mathbb{R}[x]_2$ de polinomios con coeficientes reales y grado a lo más dos. Sea $T: \mathbb{R}[x]_2$ la transformación tal que $T(p)=p’$, el polinomio derivado. Encuentra la matriz que representa a la transformación en la base $\{1+x+x^2,1+2x,1\}$ y la matriz que representa a la transformación en la base $\{1,x,x^2\}$. Encuentra también la matriz de cambio de base de la primera a la segunda. Verifica que se cumple la conclusión del corolario.
  • Sean $A$ y $B$ matrices similares. Muestra que $A$ es invertible si y sólo si $B$ lo es.
  • Sean $A$ y $B$ matrices similares. Muestra que $A$ y $B$ tienen la misma traza.
  • Completa el argumento inductivo para demostrar la última proposición.
  • Considera la matriz con entradas complejas $A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & i & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$. Encuentra $A^{105}$.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Problemas de transformaciones lineales, vectores independientes y forma matricial

Por Ayax Calderón

2 respuestas

Introducción

En esta entrada resolveremos algunos problemas acerca de transformaciones lineales, de su efecto en conjuntos generadores, independientes y bases, y de la forma matricial de transformaciones lineales.

Problemas resueltos

El siguiente problema es para repasar qué le hace una transformación lineal a una combinación lineal, y cómo podemos usar este hecho para saber cuánto vale una transformación lineal evaluada en un vector, sabiendo qué le hace a los elementos de una base.

Problema 1. Sean $$v_1=(1,0,0), v_2=(1,1,0), v_3=(1,1,1),$$

y sea $T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ una transformación lineal tal que \begin{align*}T(v_1)&=(3,2)\\ T(v_2)&=(-1,2)\\ T(v_3)&=(0,1).\end{align*}

Calcula el valor de $T(5,3,1)$.

Solución. Primero observemos que ${(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)}$ es una base de $\mathbb{R}^3$, entonces existen $a,b,c\in \mathbb{R}$ tales que $$(5,3,1)=a(1,0,0)+b(1,1,0)+c(1,1,1).$$
Si logramos expresar a $(5,3,1)$ de esta forma, después podremos usar que $T$ es lineal para encontrar el valor que queremos. Encontrar los valores de $a,b,c$ que satisfacen la ecuación anterior lo podemos ver como el sistema de ecuaciones $$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a\\
b\\
c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5\\
3\\
1\end{pmatrix}.$$

Para resolver este sistema, consideramos la matriz extendida del sistema y la reducimos
\begin{align*} & \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 5\\
0 & 1 & 1 & 3\\
0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \\ \to &\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2\\
0 & 1 & 1 & 3\\
0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \\ \to & \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2\\
0 & 1 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\end{align*}

Así, $a=2, b=2, c=1$.

Finalmente, usando que $T$ es transformación lineal,

\begin{align*}
T(5,3,1)&=T(2(1,0,0)+2(1,1,0)+(1,1,1))\\
&=2T(1,0,0)+2T(1,1,0)+T(1,1,1)\\
&=2(3,2)+2(-1,2)+(0,1)\\
&=(6,4)+(-2,4)+(0,1)\\
&=(4,9).
\end{align*}

$\triangle$

Veamos ahora un problema para practicar encontrar la matriz correspondiente a una base.

Problema 2. Sea $\mathbb{R}_n[x]$ el espacio de los polinomios de grado a lo más $n$ con coeficientes reales.

Considera la transformación lineal $T:\mathbb{R}_3[x]\to \mathbb{R}_2[x]$ dada por $T(p(x))=p'(x)$, es decir, aquella que manda a cada polinomio a su derivada.

Sean $\beta=(1,x,x^2,x^3)$ y $\gamma=(1,x,x^2)$ las bases canónicas ordenadas de $\mathbb{R}_3[x]$ y $\mathbb{R}_2[x]$, respectivamente. Encuentra la representación matricial de la transformación $T$.

Solución. Primero le aplicamos $T$ a cada uno de los elementos de $\beta$, que simplemente consiste en derivarlos. Obtenemos que:

$T(1)=0=0\cdot 1 + 0\cdot x + 0\cdot x^2$
$T(x)=1=1\cdot 1 + 0\cdot x + 0\cdot x^2$
$T(x^2)=2x=0\cdot 1 + 2\cdot x + 0\cdot x^2$
$T(x^3)=3x^2=0\cdot 1 + 0\cdot x + 3\cdot x^2$

Para construir la matriz de cambio de base, lo que tenemos que hacer es formar una matriz con cuatro columnas (una por cada elemento de la base $\beta$). La primera columna debe tener las coordenadas de $T(1)$ en la base $\gamma$. La segunda columna, las coordenadas de $T(x)$ en la base $\gamma$. Y así sucesivamente. Continuando de este modo, llegamos a que

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3\end{pmatrix}$$
es la forma matricial de $T$ con respecto a las bases canónicas.

$\triangle$

Finalmente, el siguiente problema combina muchas de las ideas relacionadas con la forma matricial de una transformación. Se recomienda fuertemente que lo leas con detenimiento. Es un ejemplo en el que encontramos tres formas matriciales: las de dos transformaciones y las de su composición. Después, se verifica que la de la composición en efecto es el producto de las correspondientes a las dos transformaciones.

Problema 3. Considera las transformaciones

\begin{align*}
T:\mathbb{R}^3&\to \mathbb{R}_2[x]\quad\text{y}\\
S:\mathbb{R}_2[x] &\to M_2(\mathbb{R})
\end{align*}

dadas por

\begin{align*}
T(a,b,c)&=a+2bx+3cx^2\quad \text{y}\\
S(a+bx+cx^2)&=\begin{pmatrix}
a & a+b\\
a-c & b\end{pmatrix}.
\end{align*}

Consideramos la base ordenada $B_1=(1,x,x^2)$ de $\mathbb{R}_2[x]$, la base canónica ordenada $B_2$ de $\mathbb{R}^3$ y la base ordenada $B_3=(E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22})$ de $M_2(\mathbb{R})$.

  1. Verifica que $T$ y $S$ son transformaciones lineales.
  2. Escribe las matrices asociadas a $T$ y $S$ con respecto a las bases dadas.
  3. Encuentra la matriz asociada a la composición $S\circ T$ con respecto a las bases anteriores usando el resultado que dice que es el producto de las dos matrices que ya encontraste.
  4. Calcula explícitamente $S\circ T$, después encuentra directamente su matriz asociada con respecto a las bases anteriores y verifica que el resultado obtenido aquí es el mismo que en el inciso anterior.

Solucion. 1. Sea $u\in \mathbb{R}$ y sean $(a,b,c), (a’,b’,c’)\in \mathbb{R}^3$.
Entonces

\begin{align*}
T(u&(a,b,c)+(a’,b’,c’))\\
&=T(au+a’,bu+b’,cu+c’)\\
&=(au+a’)+2(bu+b’)x+3(cu+c’)x^2\\
&=u(a+2bx+3cx^2)+(a’+2b’x+3c’x^2)\\
&=uT(a,b,c)+T(a’,b’,c’).
\end{align*}

Así, $T$ es lineal.

Ahora, sea $u\in \mathbb{R}$ y sean $a+bx+cx^2, a’+b’x+c’x^2\in \mathbb{R}_2[x]$.
Entonces

\begin{align*}
S(u&(a+bx+cx^2)+(a’+b’x+c’x^2))\\
&=S(ua+a’+(ub+b’)x+(uc+c’)x^2)\\
&=\begin{pmatrix}
ua+a’ & (ua+a’)+(ub+b’)\\
ua+a’-(uc+c’) & ub+b’\end{pmatrix}\\
&=u\begin{pmatrix}
a & a+b\\
a-c & b\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
a’ & a’+b’\\
a’-c’ & b’\end{pmatrix}\\
&=uS(a+bx+cx^2)+S(a’+b’x+c’x^2).
\end{align*}

Así, $S$ es lineal.

2. Empezamos calculando la matriz $\Mat_{B_1,B_2}(T)$ de $T$ con respecto a $B_1$ y $B_2$. La base $B_2$ es la base canónica ordenada de $\mathbb{R}^3$, es decir, $B_2=(e_1,e_2,e_3)$. Aplicando $T$ en cada uno de estos vectores,

\begin{align*}
T(e_1)&=T(1,0,0)=1=1\cdot 1 + 0\cdot x + 0\cdot x^2,\\
T(e_2)&=T(0,1,0)=2x= 0\cdot 1 + 2\cdot x + 0 \cdot x^2,\\
T(e_3)&=T(0,0,1)=3x^2= 0\cdot 1 + 0\cdot x + 3 \cdot x^2.
\end{align*}

Así, $$\Mat_{B_1,B_2}(T)=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0& 0 & 3\end{pmatrix}.$$

De manera análoga, calculamos

\begin{align*}
S(1)&=\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & 0\end{pmatrix} \\
&= 1 \cdot E_{11} + 1 \cdot E_{12} + 1 \cdot E_{21} + 0\cdot E_{22},\\
S(x)&=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 1\end{pmatrix} \\
&= 0 \cdot E_{11} + 1 \cdot E_{12} + 0 \cdot E_{21} + 1\cdot E_{22},\\
S(x^2)&=\begin{pmatrix}
0 & 0\\
-1 & 0\end{pmatrix} \\
&= 0 \cdot E_{11} + 0 \cdot E_{12} + (-1) \cdot E_{21} + 0\cdot E_{22}.\end{align*}

Por lo tanto $$\Mat_{B_3,B_1}(S)=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -1\\
0 & 1 & 0\end{pmatrix}.$$

3. Usando el resultado de que la forma matricial de una composición de transformaciones es el producto de sus formas matriciales, $$\Mat_{B_3,B_2}(S\circ T)=\Mat_{B_3,B_1}(S)\cdot \Mat_{B_1,B_2}(T).$$

Así, tenemos que:
\begin{align*}
\Mat_{B_3,B_2}(S\circ T)&=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -1\\
0 & 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 3\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 0 & -3\\
0 & 2 & 0\end{pmatrix}.\end{align*}

4. Calculamos la composición directamente como sigue:

\begin{align*}
(S\circ T)(a,b,c)&=S(T(a,b,c))\\
&= S(a+2bx+3cx^2)\\
&=\begin{pmatrix}
a & a+2b\\
a-3c & 2b\end{pmatrix}.
\end{align*}

Para encontrar la matriz que representa a esta transformación lineal, evaluamos en cada elemento de $B_2$.

\begin{align*}
(S\circ T)(e_1)&=\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & 0\end{pmatrix}\\
& = 1\cdot E_{11} + 1 \cdot E_{12} + 1 \cdot E_{21} + 0 \cdot E_{22},\\
(S\circ T)(e_2)&=\begin{pmatrix}
0 & 2\\
0 & 2\end{pmatrix} \\
&= 0\cdot E_{11} + 2 \cdot E_{12} + 0 \cdot E_{21} + 2 \cdot E_{22},\\
(S\circ T)(e_2)&=\begin{pmatrix}
0 & 0\\
-3 & 0\end{pmatrix} \\
&= 0 \cdot E_{11} + 0 \cdot E_{12} +(-3) \cdot E_{21} + 0 \cdot E_{22}.
\end{align*}

Así, la matriz asociada a $S\circ T$ con las bases indicadas es $$\Mat_{B_3,B_2}(S\circ T)= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 0 & -3\\
0 & 2 & 0\end{pmatrix}.$$

Esto es, por supuesto, justo lo que se obtuvo en el inciso 3.

$\triangle$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»