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Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones exponenciales y logarítmicas

Por Karen González Cárdenas

Introducción

En esta entrada veremos un par de tipos de funciones muy particular: las exponenciales y las logarítmicas. Probablemente en alguno de tus cursos anteriores te encontraste con funciones del tipo:
\begin{align*}
f(x)&= 3^{x} & g(x)&= ln(x)\\
\end{align*}

Aquí veremos su representación gráfica, ejercicios relacionados y algunos resultados importantes cómo las leyes de los exponentes y de los logaritmos. Se verá un desarrollo más detallado sobre este conjunto de funciones en el curso de Cálculo Diferencial e Integral II.

Funciones exponenciales

Definición (función exponencial): Sea $f$ una función. Decimos que $f$ es una función exponencial si está definida como:
$$f: \r \rightarrow (0, \infty)$$
$$f(x)=a^{x}$$
con $a \in {\r}$ y $a>0$.
En este tipo de funciones tenemos que la variable $x$ está como exponente.
Observemos que tenemos los siguientes casos:

Veamos que al tomar $a=1$ tenemos que su gráfica se vería:
$$f(x)=1^{x}$$

Leyes de los exponentes

Teorema (Leyes de los exponentes): Consideremos a $a, m, n \in \r$ y $a>0$. Vemos que se cumplen las siguientes propiedades:

  1. $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$
  2. $(a^{n})^{m}=a^{(n\cdot m)}$
  3. $a^{0}=1$
  4. $a^{-1}=\frac{1}{a}$
  5. $a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$
  6. $a^{n-m}=\frac{a^{n}}{a^{m}}$
  7. $a^{\frac{1}{q}}=\sqrt[q]{x}$
  8. $a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{x^{p}}$

Por el momento no daremos las pruebas pertinentes, ya que las herramientas necesarias se verán durante el próximo curso de cálculo. Así pasaremos a revisar otros resultados relacionados a las funciones exponenciales.

Otros resultados sobre funciones exponenciales

Proposición: Consideremos $a>0$ y $r=\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$.

  1. Si $a>1$ y $r>0$ entonces $a^{r}>1$
  2. Si $0<a<1$ y $r>0$ entonces $a^{r}<1$
  3. Si $a>1$ y $r<0$ entonces $a^{r}<1$
  4. Si $0<a<1$ y $r<0$ entonces $a^{r}>1$

Demostración:

  1. Cómo $a>1$ se sigue que:
    \begin{align*}
    a>1 &\Rightarrow \sqrt[q]{a}>\sqrt[q]{1}\\
    &\Rightarrow (\sqrt[q]{a})^{p}>(\sqrt[q]{1})^{p}\\
    &\Rightarrow a^{\frac{p}{q}}>1\\
    &\Rightarrow a^{r}>1
    \end{align*}
  2. Ahora tenemos que $0<a<1$:
    \begin{align*}
    &\Rightarrow \sqrt[q]{a}< \sqrt[q]{1}\\
    &\Rightarrow (\sqrt[q]{a})^{p}<(\sqrt[q]{1})^{p}\\
    &\Rightarrow a^{r}<1
    \end{align*}
  3. Tarea moral
  4. Ya que $0<a<1$ observamos que:
    $$1< \frac{1}{a}$$
    Adicionalmente como $r<0$ se sigue:
    \begin{align*}
    &\Rightarrow (\frac{1}{a})^{r}<1\\
    &\Rightarrow (a^{-1})^{r}<1\\
    &\Rightarrow a^{-r}<1\\
    &\Rightarrow \frac{1}{a^{r}}<1\\
    &\Rightarrow 1<a^{r}
    \end{align*}

$\square$

Teorema: Sea $f: A \subseteq \r \rightarrow \r$.

  1. Si $f$ es una función creciente $\Rightarrow f$ es inyectiva.
  2. Si $f$ es una función decreciente $\Rightarrow f$ es inyectiva.

Demostración de 1:
Tomemos $x_{1},x_{2} \in A$ tales que $x_{1} \neq x_{2}$ por lo que tenemos los siguientes casos:
Caso 1: Si $x_{1}>x_{2}$ entonces al aplicar la función $f$ tenemos
$$f(x_{1})>f(x_{2})$$
Por lo que:
$$f(x_{1}) \neq f(x_{2})$$

Caso 2: Ahora si $x_{1}<x_{2}$ y aplicamos la función $f$
$$f(x_{1})< f(x_{2})$$
Así:
$$f(x_{1}) \neq f(x_{2})$$
De los casos anteriores concluimos que:
$f$ es inyectiva

$\square$

Afirmación: Si tenemos $a>0$ y $f: \r \rightarrow \r^{+}$
$$f(x)=a^{x}$$

  1. Si $a>1$ entonces $f$ es creciente.
  2. Si $0<a<1$ entonces $f$ es decreciente.

Demostración:

  1. Si $a>1$ y tomamos $x<y$ entonces $y-x>0$
    \begin{align*}
    &\Rightarrow a^{y-x}>1\\
    &\Rightarrow \frac{a^{y}}{a^{x}}>1\\
    &\Rightarrow a^{y}>a^{x}
    \end{align*}
  2. En cambio si $0<a<1$ y ahora consideramos $x<y$. Queremos probar que:
    $f(x)>f(y)$
    \begin{align*}
    x<y &\Rightarrow y-x>0\\
    &\Rightarrow a^{y-x}<1\\
    &\Rightarrow \frac{a^{y}}{a^{x}}<1\\
    &\Rightarrow a^{y}< a^{x}\\
    &\Rightarrow f(y)<f(x)
    \end{align*}

$\square$

Observación: Si $a>0$ y $a \neq 1$ entonces $f(x)=a^{x}$ es inyectiva.
Observación: $f(x)=a^{x}$ es sobreyectiva.

Ahora hablemos del número $e$

Si consideramos $a= e$ donde:
$$e=2.718282 \ldots$$
que es llamado el número de Euler.
Obtenemos la función:
$$f(x)=e^{x}$$
llamada función exponencial, ésta es quizá las más conocida de este tipo de funciones.

Su gráfica se ve del siguiente modo:

¿Y su función inversa?

Si tomas la función $f(x)=a^{x}$, la función identidad y reflejamos su gráfica, obtenemos que $f^{-1}$ se ve cómo:

Observamos que $f^{1}$ esta definida como:
$$f^{-1}: (0, \infty) \rightarrow \r$$
que vemos también cumple ser inyectiva.
A $f^{-1}(x)$ la denotaremos por:
$$f^{-1}(x)= log_{a}(x)$$

Funciones logarítmicas

Definición (función logarítmica): Sea $g$ una función en los reales. Decimos que $g$ es una función logarítmica si:
$$g: (0, \infty) \rightarrow \r$$
$$g(x)=log_{a}(x)$$
donde $log_{a}(x)$ se lee como logaritmo base $a$ de $x$.
Notación:

  • Si tomamos $a=e$:
    $$log_{e}(x):= ln(x)$$
    llamado logaritmo natural de $x$.
  • Si tomamos $a=10$ escribiremos:
    $$log_{10}(x):= log(x)$$

Leyes de los logaritmos

Teorema (Leyes de los logaritmos): Sean $a \in (0, \infty)$ con $a\neq 1$, $x,y \in (0, \infty)$ y $r \in \r$. Tenemos que se cumplen las siguientes igualdades:

  1. $log_{a}(x \cdot y)=log_{a}(x)+log_{b}(y)$
  2. $r log_{a}(x)= log_{a}(x^{r})$
  3. $log_{a}(\frac{x}{y})= log_{a}(x)- log_{a}(y)$

Demostración:
Tomemos $log_{a}(x)=z$ y $log_{a}(y)=w$ y notemos que:
\begin{align*}
a^{z}&= x & a^{w}&=y
\end{align*}

  1. Para este punto consideremos el producto de $x$ con $y$:
    \begin{align*}
    x \cdot y &= a^{z}\cdot a^{w}\\
    &= a^{z+w}
    \end{align*}
    Así sustituyendo al logaritmo del producto tenemos:
    \begin{align*}
    log_{a}(x \cdot y)&= log_{a}(a^{z+w})\\
    &= z+w\\
    &=log_{a}(x)+ log_{a}(y)
    \end{align*}
  2. Ahora si elevamos $a^{z}=x$ a la $r$ obtenemos:
    $$(a^{z})^{r}= x^{r} \Rightarrow a^{rz}=x^{r}$$
    Tomando el $log_{a}(x^{r})$ se sigue:
    \begin{align*}
    log_{a}(x^{r})&= log_{a}(a^{rz})\\
    &= rz\\
    &=r log_{a}(x)
    \end{align*}
  3. Por último veamos que:
    $$x=\frac{x}{y}\cdot y$$
    Tomando lo anterior y aplicando logaritmo:
    \begin{align*}
    log_{a}(x)&= log_{a}\left(\frac{x}{y}\cdot y \right)\\
    &= log_{a}\left(\frac{x}{y }\right)+ log_{a}(y)
    \end{align*}
    Reacomodando obtenemos:
    $$log_{a} \left(\frac{x}{y}\right)= log_{a}(x)- log_{a}(y)$$

$\square$

Cambio de base de logaritmos

Proposición (Cambio de base): Consideremos $a,b \in (0, \infty)$ donde $a\neq 1, b \neq 1$, $x \in \r$ y $y>0$. Se cumplen las siguientes propiedades:

  1. $a^{x}=b^{x log_{b}(a)}$
  2. $log_{a}(y)=\frac{log_{b}(y)}{log_{b}(a)}$

Demostración:

  1. Si aplicamos la segunda ley de los logaritmos en la siguiente igualdad y simplificamos tenemos:
    \begin{align*}
    b^{x log_{b}(a)}&= b^{log_{b}(a^{x})}\\
    &= a^{x}
    \end{align*}
  2. Cómo $y>0$ entonces podemos considerar $x=log_{a}(y)$. Así sustituyendo en el punto 1:
    \begin{align*}
    a^{log_{a}(y)}&= b^{log_{a}(y)log_{b}(a)}
    \end{align*}
    De lo anterior tenemos:
    $$y=b^{log_{a}(y)log_{b}(a)}$$
    Tomando el logaritmo base $b$ en ambos lados de la igualdad:
    \begin{align*}
    log_{b}(y)&= log_{b}(b^{log_{a}(y)log_{b}(a)})\\
    &= log_{a}(y)\cdot log_{b}(a)
    \end{align*}
    $$\therefore log_{a}(y)=\frac{log_{b}(y)}{log_{b}(a)}$$

$\square$

Ejercicio

Resuelve la ecuación:
\begin{equation*}
log_{4}(log_{3}(log_{2}(x)))=0
\end{equation*}
Solución:
Comenzaremos realizando un cambio de variable considerando:
$$\beta =log_{3}(log_{2}(x))$$
Por lo que tendríamos:
\begin{equation*}
log_{4}(\beta)=0
\end{equation*}
Lo anterior ocurre implica que:
\begin{equation*}
4^{log_{4}(\beta)}=4^{0}=1
\end{equation*}
$$\therefore \beta = 1$$
$$\therefore log_{3}(log_{2}(x))=1$$
Procedemos con un razonamiento similar para $log_{3}(log_{2}(x))=1$:
\begin{equation*}
3^{log_{3}(log_{2}(x))}=3^{1}=3
\end{equation*}
Por lo que concluimos:
$$log_{2}(x)=3$$
Finalmente de $log_{2}(x)=3$ obtenemos:
\begin{equation*}
2^{log_{2}(x)}=2^{3}=8
\end{equation*}
Así tenemos que el valor para $x$ sería:
$$x=8$$

Realizando la comprobación vemos que se cumple:
\begin{align*}
log_{4}(log_{3}(log_{2}(x)))&=log_{4}(log_{3}(log_{2}(8)))\\
&=log_{4}(log_{3}(3))\\
&=log_{4}(1)\\
&=0
\end{align*}

Tarea moral

  • Demuestra el punto 3 de la Proposición.
  • Gráfica las siguientes funciones:
    • $f(x)=ln(x-2)$
    • $f(x)=1-e^{x}$
  • Demuestra que dado $a \in (0, \infty)- \left\{1 \right\}$:
    \begin{equation*}
    log_{\frac{1}{a}}(x)=-log_{a}(x)
    \end{equation*}
  • Resuelve los siguientes ejercicios:
    • $log_{2}(log_{3}(log_{2}(x)))=1$
    • $log_{16}(x)+log_{4}(x)+log_{2}(x)=7$

Más adelante

Ahora que hemos terminado la unidad de funciones, en la próxima entrada comenzaremos con la unidad dedicada al estudio de un tipo especial de funciones: las sucesiones de números reales. Encontrarás una introducción intuitiva sobre el concepto de sucesión para pasar a su definición formal y una serie de ejemplos.

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Álgebra Lineal I: Problemas de cambio de base

Por Blanca Radillo

Introducción

En las entradas anteriores platicamos acerca de matrices de cambio de base. Vimos cómo nos ayudan a pasar un vector expresado en una base a otra. También vimos cómo nos ayudan a entender una transformación lineal en bases distintas. En esta entrada, veremos algunos ejemplos para repasar estos conceptos.

Problemas resueltos

Problema. Considera las familias de vectores $B=\{v_1,v_2,v_3\}$, $B’=\{w_1,w_2,w_3\}$, donde $$v_1=(0,1,1), \ v_2=(1,0,1), \ v_3=(1,1,0)$$ y $$w_1=(1,1,-1), \ w_2=(1,0,-1), \ w_3=(-1,-1,0).$$

  1. Prueba que $B$ y $B’$ son bases de $\mathbb{R}^3$.
  2. Encuentra la matriz de cambio de base $P$ de $B$ a $B’$ usando la definición de $P$.
  3. Encuentra la matriz de cambio de base $P$ usando la base canónica de $\mathbb{R}^3$ y la última proposición de esta entrada.

Solución. (1) Dado que $\dim \mathbb{R}^3=3$ y estas familias son de tres vectores, basta con demostrar que son vectores linealmente independientes. Una manera de hacerlo es formando la matriz obtenida al colocar a los vectores como renglones y reducirla hasta la matriz identidad $I_3$.

Para $B$, la matriz asociada es $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Haciendo los cálculos de la reducción, obtenemos que

\begin{align*}
&\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\\
\to&\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\
\to &\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\
\to &\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \\
\to &\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
\end{align*}

Esto implica que los vectores en $B$ son linealmente independientes y, por lo tanto, forman una base $\mathbb{R}^3$.

Para $B’$, la matriz asociada es $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Reduciendo la matriz, tenemos que

\begin{align*}&\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \\
\to &\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \\
\to &\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\end{align*}

Por lo tanto, $B’$ también es una base de $\mathbb{R}^3$.

(2) Recordemos que la matriz de cambio de base $P$ está definida como la matriz $[p_{ij}]$ cuya columna $j$ tiene como entradas a las coordenadas de $w_j$ escrito en términos de la base $B$. Entonces, expresemos

\begin{align*}
(1,1,-1)&=w_1=av_1+bv_2+cv_3=(b+c,a+c,a+b),\\
(1,0,-1)&=w_2=dv_1+ev_2+fv_3=(e+f,d+f,d+e),\\
(-1,-1,0)&=w_3=gv_1+hv_2+kv_3=(h+k,g+k,g+h),
\end{align*}

obteniendo que

\begin{align*}
b+c&=1\\
a+c&=1\\
a+b&=-1\\
e+f&=1\\
d+f&=0\\
d+e&=-1\\
h+k&=-1\\
g+k&=-1\\
g+h&=0.
\end{align*}

Si resolvemos el sistema anterior, concluimos que $a=b=-\frac{1}{2}$, $c=\frac{3}{2}$, $d=-1$, $e=0$, $f=1$, $g=h=0$, $k=-1$. Por lo tanto

$$P=\begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & k \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{3}{2} & 1 & -1 \end{pmatrix}.$$

(3) Sea $B»=\{e_1,e_2,e_3\}$ la base canónica de $\mathbb{R}^3$. Queremos encontrar la matriz de cambio de base denotada como $\text{Mat}_B (B’)$. Usando la última proposición de la clase del lunes, tenemos que

$$\text{Mat}_B (B’)=\text{Mat}_{B} (B») \cdot \text{Mat}_{B»} (B’)=(\text{Mat}_{B»} (B))^{-1} \cdot \text{Mat}_{B»} (B’).$$

Por definición,

$$\text{Mat}_{B»} (B)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \ \text{Mat}_{B»} (B’)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Para calcular $(\text{Mat}_{B»} (B))^{-1}$, lo haremos como ya lo hemos visto en clases: pegando a la derecha una matriz identidad y aplicando reducción gaussiana:

\begin{align*} &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\
\rightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \rightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \\
\rightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & -1 \end{array} \right) \\ \rightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 1/2 & 1/2 & -1/2 \end{array} \right).
\end{align*}

Por lo tanto, $$(\text{Mat}_{B»}(B))^{-1}=\begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}.$$

Finalmente, usando la proposición, tenemos que

$$P=\text{Mat}_B (B’)=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{3}{2} & 1 & -1 \end{pmatrix}. $$

Esto coincide con el cálculo que hicimos previamente.

$\square$

Problema. Considera la matriz $$A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$

y sea $T:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ la transformación lineal asociada, es decir $T(X)=AX$ para todo $X\in\mathbb{R}^3$. Considera los vectores

$$v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \ v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \ v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}.$$

  1. Prueba que $v_1,v_2,v_3$ forman una base de $\mathbb{R}^3$ y calcula la matriz de $T$ con respecto a esta base.
  2. Encuentra la matriz de cambio de base de la base canónica a la base $\{v_1,v_2,v_3\}$.
  3. Calcula $A^n$ para todo entero positivo $n$.

Antes de ver la solución a este problema este problema, observa que sería muy difícil decir quién es $A^{100}$ «a mano» si procedes directamente. Se tendrían que hacer muchas multiplicaciones matriciales, que son difíciles. Ten en mente esto cuando leas la solución de la parte 3.

Solución. (1) Dado que la dimensión de $\mathbb{R}^3$ es 3 y $\{v_1,v_2,v_3\}$ son tres vectores, basta con demostrar que éstos son linealmente independientes para probar que forman una base. Sean $a,b,c\in\mathbb{R}$ tales que $av_1+bv_2+cv_3=0$, entonces

\begin{align*}
&a+b+c=0, \ a-c=0, \ -a-b=\\
\Rightarrow &a=c, -a=b, a-a+a=0 \\
\Rightarrow &a=0, c=0, b=0.
\end{align*}

Entonces, son linealmente independientes y, por lo tanto, forman una base de $\mathbb{R}^3$.

Nota: Otra manera de demostrarlo es considerar la matriz formada por los vectores $v_1,v_2,v_3$ como sus columnas, reducirla y llegar a que la matriz reducida es la matriz identidad.

Ahora, para calcular la matriz de $T$ con respecto a la nueva base, expresaremos $T(v_1),T(v_2), T(v_3)$ en términos de $v_1,v_2,v_3$. Entonces tenemos que

$$T(v_1)=Av_1=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}=v_1,$$

$$T(v_2)=Av_2=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}=2v_2,$$

$$T(v_3)=Av_3=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}=3v_3.$$

Por lo tanto, la matriz que buscamos es $$B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.$$

(2) Lo haremos de la misma manera que en el inciso (2) del problema anterior, que consiste en escribir a los $v_1,v_2,v_3$ en la base canónica, pero ésto es obvio ya que están escritos de esa manera, por lo tanto $$P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.$$

(3) Sabemos que la matriz de $T$ con respecto a $v_1,v_2,v_3$ (que nombramos en el inciso (1) como $B$) es igual a $P^{-1}AP$, gracias al último corolario de la sección «Matrices de cambio de base y transformaciones lineales» de la entrada anterior. Entonces $$P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.$$

Es fácil ver (pero lo pueden demostrar por inducción en $n$) que $$(P^{-1}AP)^n=(P^{-1}AP)(P^{-1}AP)\dots (P^{-1}AP)=P^{-1}A^n P.$$

Esto implica que $P^{-1}A^n P=B^n$, es decir $$P^{-1}A^n P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix}.$$

Multiplicando por $P$ a la izquierda y por $P^{-1}$ a la derecha, obtenemos que $$A^n=P\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix}P^{-1} .$$

Para ello, nos falta calcular la inversa de $P$, y eso lo haremos como siempre lo hemos hecho: reduciendo la matriz. Entonces

\begin{align*} &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\\rightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \\
\rightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \\\rightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right). \end{align*}

Como consecuencia, tenemos que $$P^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Por lo tanto,

\begin{align*}
A^n &=P \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix} P^{-1}\\
&=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{align*}

$$A^n= \begin{pmatrix} 1-2^n+3^n & 1-2^n & 1-2^{n+1}+3^n \\ 1-3^n & 1 & 1-3^n \\ 2^n-1 & 2^n-1 & 2^{n+1}-1 \end{pmatrix}.$$

$\square$

El ejercicio anterior deja una moraleja importante de álgebra lineal: si tenemos una matriz $A$ y logramos encontrar una matriz diagonal $B$ similar a ella, entonces será fácil encontrar $A^n$. Para finalizar esta sesión, tenemos el siguiente problema.

Problema. Prueba que las matrices $$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \ \text{y} \ B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ son similares.

Solución. Para resolverlo usaremos el corolario de la entrada anterior. Al escribirlo en este contexto, dice lo siguiente:

Corolario. Sea $T:\mathbb{R}^4\rightarrow \mathbb{R}^4$ una transformación lineal. Sean $B’$ y $B»$ bases de $\mathbb{R}^4$ y $P$ la matriz de cambio de base de $B’$ a $B»$. Entonces $\text{Mat}_{B»}(T)=P^{-1} \text{Mat}_{B’}(T) P.$

Si podemos encontrar una transformación $T$ y bases $B’$ y $B»$ tales que $\text{Mat}_{B’}(T)=A$ y $\text{Mat}_{B»} (T)=B$, podemos calcular la matriz de cambio de base $P$, y satisface que $B=P^{-1}AP$, implicando que $A$ y $B$ sean matrices similares. Entonces, el problema se reduce a encontrar la transformación, las bases y calcular $P$.

Dado que $\text{Mat}_{B’}(T)=A$, si $B’$ es la base canónica, es claro que la transformación $T$ satisface que $T(X)=AX$ para todo $X\in\mathbb{R}^4$.

Ahora, encontremos $B»$. Sea $B»=\{ v_1,v_2,v_3,v_4 \}$ con

$$v_1=\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \\ w_1 \end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \\ w_2 \end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix} x_3 \\ y_3 \\ z_3 \\ w_3 \end{pmatrix}, v_4=\begin{pmatrix} x_4 \\ y_4 \\ z_4 \\ w_4 \end{pmatrix}.$$

Dado que $\text{Mat}_{B»}(T)=B$, entonces satisface

$$T(v_1)=Av_1=v_1, \ T(v_2)=Av_2=2v_1+v_2,$$

$$T(v_3)=Av_3=3v_1+2v_2+v_3, \ T(v_4)=Av_4=4v_1+3v_2+2v_3+v_4.$$

Resolviendo lo anterior, obtenemos que

$$Av_1=\begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ y_1+z_1 \\ z_1+w_1 \\ w_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \\ w_1 \end{pmatrix} \ \Rightarrow \ v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},$$

$$Av_2=\begin{pmatrix} x_2+y_2 \\ y_2+z_2 \\ z_2+w_2 \\ w_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_2+2 \\ y_2 \\ z_2 \\ w_2 \end{pmatrix} \ \Rightarrow \ v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},$$

$$Av_3=\begin{pmatrix} x_3+y_3 \\ y_3+z_3 \\ z_3+w_3 \\ w_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_3+5 \\ y_3+4 \\ z_3 \\ w_3 \end{pmatrix} \ \Rightarrow \ v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix},$$

y por último

$$Av_4=\begin{pmatrix} x_4+y_4 \\ y_4+z_4 \\ z_4+w_4 \\ w_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_4+9 \\ y_4+16 \\ z_4+8 \\ w_4 \end{pmatrix} \ \Rightarrow \ v_4=\begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 16 \\ 8 \end{pmatrix}$$

Aquí estamos usando que los sistemas de ecuaciones que se obtienen tienen como variables libres a $x_1,x_2,x_3,x_4$, las cuales las estamos tomando todas ellas iguales a $1$.

Estos vectores son linealmente independientes pues la matriz con ellos como columnas es triangular superior con entradas en la diagonal distintas de cero, de modo que su matriz reducida es la identidad. Como $\mathbb{R}^4$ es de dimensión $4$ y $B»$ es un conjunto de cuatro vectores linealmente independientes, entonces $B»$ es una base. Más aún, $B»$ es una base tal que $\text{Mat}_{B»} (T)=B$, por construcción.

Finalmente, podemos calcular la matriz de cambio de base $P$ de $B’$ a $B»$, pero es fácil ya que $B’$ es la base canónica, entonces $$P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 5 & 9 \\ 0 & 0 & 4 & 16 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}.$$

Por propiedades de la matriz de cambio de base, sabemos que $P$ es invertible. Entonces, para terminar la prueba, podemos encontrar $P^{-1}$ y verificar que $B=P^{-1}AP$, o simplemente verificamos que $PB=AP$, y por lo tanto $A$ y $B$ son matrices similares. Lo haremos de la segunda manera. En efecto,

$$PB=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 5 & 9 \\ 0 & 0 & 4 & 16 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 6 & 10 \\ 0 & 2 & 9 & 25 \\ 0 & 0 & 4 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}$$

$$AP=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 5 & 9 \\ 0 & 0 & 4 & 16 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 6 & 10 \\ 0 & 2 & 9 & 25 \\ 0 & 0 & 4 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}.$$

Por lo tanto, $A$ y $B$ son matrices similares.

Nota: si calculas la inversa de $P$, obtienes como resultado que $$P^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{8} & -\frac{5}{16} \\ 0 & \frac{1}{2} & -\frac{5}{8} & \frac{11}{16} \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{8} \end{pmatrix}.$$

$\square$

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Álgebra Lineal I: Cambio de base de transformaciones lineales

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

En la entrada anterior definimos las matrices de cambio de base. Vimos algunas de sus propiedades básicas y mostramos cómo nos pueden ayudar para resolver el primero de los siguientes dos problemas.

  • Supongamos que tenemos dos bases $B_1$ y $B_2$ de un espacio vectorial $V$ y que tomamos un vector $v$ en $V$. Si ya sabemos la combinación lineal de elementos de $B_1$ que da $v$, ¿cómo podemos saber la combinación lineal de elementos de $B_2$ que da $v$? En otras palabras, ¿cómo podemos pasar a $v$ de su expresión en base $B_1$ a su expresión en base $B_2$?
  • Supongamos que tenemos una transformación lineal $T:V\to W$ entre dos espacios vectoriales $V$ y $W$, dos bases $B_1$ y $B_2$ de $V$ y dos bases $C_1$ y $C_2$ de $W$. Si ya sabemos qué le hace $T$ a los elementos de $V$ en términos de las bases $B_1$ y $C_1$, ¿cómo podemos saber qué hace $T$ en términos de las bases $B_2$ y $C_2$?

El objetivo de esta entrada es ver cómo con las matrices de cambio de base también podemos resolver el segundo problema. Después de hacer esto, hablaremos de una noción fundamental en álgebra lineal: la de matrices similares.

Matrices de cambio de base y transformaciones lineales

Las matrices de cambios de base nos ayudan a entender a las matrices de transformaciones lineales en bases diferentes.

Teorema. Sea $T:V\to W$ una transformación lineal entre espacios de dimensión finita $V$ y $W$. Sean $B_1$ y $B_2$ bases de $V$, y $C_1$ y $C_2$ bases de $W$. Entonces $$\Mat_{C_2,B_2}(T) = \Mat_{C_2}(C_1)\Mat_{C_1,B_1}(T)\Mat_{B_1}(B_2).$$

Observa cómo la elección de orden en la notación está rindiendo fruto. En el lado derecho «van apareciendo las bases» en el «orden natural» $C_2$, $C_1$, $B_1$, $B_2$.

Demostración. Sean $P=\Mat_{C_1}(C_2)$ y $Q=\Mat_{B_1}(B_2)$. Por un resultado de la entrada anterior, $P$ es la matriz que representa a la transformación identidad en $W$ con respecto a las bases $C_1$ y $C_2$, es decir, $P=\Mat_{C_1,C_2}(\text{id}_W)$.

Por cómo son las matrices de composiciones de transformaciones lineales, y usando que $\text{id}_W\circ T=T$, tenemos que $$\Mat_{C_1,C_2}(\text{id}_W)\Mat_{C_2,B_2}(T)=\Mat_{C_1,B_2}(T).$$

De manera análoga, $Q$ es la matriz que representa a la transformación identidad en $V$ con respecto a las bases $B_1$ y $B_2$, de donde tenemos que $$\Mat_{C_1,B_1}(T)\Mat_{B_1,B_2}(\text{id}_V)=\Mat_{C_1,B_2}(T).$$

De esta forma, $$P\Mat_{C_2,B_2}(T) = \Mat_{C_1,B_2}(T) = \Mat_{C_1,B_1}(T) Q.$$ El resultado se obtiene multiplicando por la izquierda ambos lados de esta ecuación por $P^{-1}=\Mat_{C_2}(C_1)$.

$\square$

En la siguiente entrada se verán varios ejemplos que involucran crear matrices para transformaciones lineales, matrices de cambios de base y multiplicarlas para entender una transformación lineal en distintas bases.

Por el momento, dejamos únicamente un corolario del teorema anterior, para el caso en el que tenemos una transformación lineal de un espacio vectorial a sí mismo expresado en términos de dos bases.

Corolario. Sea $T:V\to V$ una transformación lineal de un espacio vectorial $V$ de dimensión finita a sí mismo. Sean $B$ y $B’$ bases de $V$ y $P$ la matriz de cambio de base de $B$ a $B’$. Entonces $$\Mat_{B’}(T)=P^{-1}\Mat_{B}(T)P.$$

Matrices similares

Definición. Decimos que dos matrices $A$ y $B$ en $M_{n}(F)$ son similares o conjugadas si existe una matriz invertible $P$ en $M_n(F)$ tal que $B=P^{-1}AP$.

En otras palabras, $A$ y $B$ son matrices similares si representan a una misma transformación lineal en diferentes bases.

Proposición. La relación «ser similares» es una relación de equivalencia en $M_n(F)$.

Demostración. Toda matriz es similar a sí misma usando $P=I_n$, la identidad. Si $A$ y $B$ son similares con matriz invertible $P$, entonces $B$ y $A$ son similares con matriz invertible $P^{-1}$. Si $A$ y $B$ son similares con matriz invertible $P$ y $B$ y $C$ son similares con matriz invertible $Q$, notemos que $A=P^{-1}BP=P^{-1}(Q^{-1}CQ)P=(QP)^{-1}C(QP)$, de modo que $A$ y $C$ son similares con matriz invertible $QP$.

$\square$

¿Por qué es importante saber si dos matrices son similares? Resulta que dos matrices similares comparten muchas propiedades, como su traza, su determinante, su rango, etc. Para algunas matrices es más sencillo calcular estas propiedades. Así que una buena estrategia en álgebra lineal es tomar una matriz $A$ «complicada» y de ahí encontrar una matriz similar $B$ «más simple», y usar $B$ para encontrar propiedades de $A$.

Veamos un ejemplo de esto. Mediante un sencillo argumento inductivo se puede mostrar lo siguiente.

Proposición. Si $A$ y $B$ son matrices similares con $A=P^{-1}BP$, entonces $A^n=P^{-1}B^nP$.

Si $B$ fuera una matriz diagonal, entonces es fácil encontrar $B^n$: basta con elevar cada una de las entradas de su diagonal a la $n$ (lo cual es mucho más fácil que hacer productos de matrices). Así, esto da una forma muy fácil de encontrar $A^n$: basta con encontrar $B^n$, y luego hacer dos multiplicaciones de matrices más, por $P^{-1}$ a la izquierda y por $P$ a la derecha.

Tarea moral

  • Deduce el corolario del teorema principal de esta entrada.
  • Considera $\mathbb{R}[x]_2$ de polinomios con coeficientes reales y grado a lo más dos. Sea $T: \mathbb{R}[x]_2$ la transformación tal qur $T(p)=p’$, el polinomio derivado. Encuentra la matriz que representa a la transformación en la base $\{1+x+x^2,1+2x,1\}$ y la matriz que representa a la transformación en la base $\{1,x,x^2\}$. Encuentra también la matriz de cambio de base de la primera a la segunda. Verifica que se cumple la conclusión del corolario.
  • Sean $A$ y $B$ matrices similares. Muestra que $A$ es invertible si y sólo si $B$ lo es.
  • Sean $A$ y $B$ matrices similares. Muestra que $A$ y $B$ tienen la misma traza.
  • Completa el argumento inductivo para demostrar la última proposición.
  • Considera la matriz con entradas complejas $A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & i & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$. Encuentra $A^{105}$.

Más adelante…

En estas últimas dos entradas aprendimos a hacer «cambios de base», tanto para coordenadas, como para formas matriciales. También, introdujimos el concepto de similitud de matrices. Cuando $A$ es una matriz similar a una matriz diagonal, decimos que $A$ es diagonalizable. Que una matriz sea diagonalizable trae muchas ventajas. Como ya mencionamos, una de ellas es poder elevar la matriz a potencias de manera sencilla. Otra ventaja es que en las matrices diagonalizables es sencillo calcular rangos, determinantes y otras invariantes de álgebra lineal.

Una parte importante de lo que resta del curso consistirá en entender por qué las matrices simétricas con entradas reales son diagonalizables. El teorema principal del curso (el teorema espectral), consistirá en mostrar que toda matriz simétrica con entradas reales es diagonalizable mediante matrices ortogonales. Para poder demostrarlo, necesitaremos primero estudiar teoría geométrica de espacios vectoriales y teoría de determinantes.

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