Introducción
En la entrada anterior hablamos acerca de formas bilineales y comenzamos a hablar de formas cuadráticas. Discutimos cómo a partir de estas nociones a la larga podremos hablar de geometría y cálculo en espacios vectoriales. El objetivo de esta entrada es entender mejor a las formas cuadráticas y su relación con formas bilineales.
Lo primero que haremos es demostrar la identidad de polarización, que a grandes rasgos dice que hay una biyección entre las formas bilineales simétricas y las formas cuadráticas. Veremos algunos ejemplos concretos de esta biyección. A partir de ella demostraremos algunas propiedades de formas cuadráticas. Finalmente, hablaremos brevemente de un bello resultado de Gauss que caracteriza las formas cuadráticas en en términos de formas lineales, de las cuales discutimos mucho cuando hablamos de espacio dual.
Como pequeño recordatorio de la entrada anterior, una forma bilineal de un espacio vectorial es una transformación
tal que cada que fijamos una coordenada, es lineal en la otra. Esta forma es simétrica si
para cada par de vectores
en
. Una forma cuadrática de
es una transformación
tal que
para alguna forma bilineal
.
Formas cuadráticas y polarización
En la entrada anterior enunciamos el siguiente teorema, que mostraremos ahora.
Teorema (identidad de polarización). Sea una forma cuadrática. Existe una única forma bilineal simétrica
tal que
para todo vector
. Esta forma bilineal está determinada mediante la identidad de polarización
Demostración. Tomemos una forma cuadrática de
. Por definición, está inducida por una forma bilineal
de
, es decir,
. Definamos la transformación
mediante

De aquí es muy claro que es forma bilineal, pues fijando
, set tiene que
es combinación lineal de dos formas lineales en
; y fijando
, se tiene que
es combinación lineal de dos formas lineales en
. Además, de esta igualdad (o directo de la definición de
) es claro que
.
También de esta igualdad obtenemos que
Para mostrar la unicidad, notemos que cualquier forma bilineal simétrica tal que
debe satisfacer, como en las cuentas que hicimos arriba, que
De aquí, despejando , se obtiene que debe tener la forma de
.
El teorema anterior justifica la siguiente definición.
Definición. Dada una forma cuadrática de
, a la única forma bilineal simétrica
de
tal que
le llamamos la forma polar de
.
Ejemplo. En el espacio vectorial , la transformación
dada por


Esto coincide con la construcción dada por la identidad de polarización, ya que
Ejemplo. En el espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales, la transformación
dada por
Propiedades de formas cuadráticas
Si es una forma cuadrática,
es un vector y
es un real, tenemos que
, pues sale una
por cada una de las coordenadas de la forma bilineal asociada. En particular,
.
La identidad de polarización nos permite probar otras propiedades de formas bilineales y formas cuadráticas.
Proposición. Sea una forma cuadrática en
con forma polar
. Entonces:
- Para todo par de vectores
y
en
, se tiene que
- (Ley del paralelogramo) Para todo par de vectores
y
en
, se tiene que
- (Teorema de Pitágoras) Para vectores
y
tales que
, se tiene que
- (Diferencia de cuadrados) Para todo par de vectores
y
en
, se tiene que
Demostración. Por la identidad de polarización tenemos que

Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos la primer propiedad. Sumando ambas obtenemos la ley del paralelogramo.
El teorema de Pitágoras es una consecuencia directa de la identidad de polarización.
La identidad de diferencia de cuadrados es una consecuencia de la primer propiedad aplicada a los vectores y
, y de usar que
y que
.
Forma de las formas cuadráticas
Otra consecuencia de la identidad de polarización es que establece una biyección entre las formas cuadráticas y las formas simétricas bilineales. Esta asociación nos permite decir cómo se ven exactamente las formas cuadráticas en espacios vectoriales de dimensión finita.
Toda forma cuadrática viene de una forma bilineal simétrica. En la entrada anterior, mencionamos que para definir una forma bilineal simétrica en un espacio vectorial de dimensión
, basta tomar una base
de
y decidir los valores
de
para
. Como
es simétrica, para
se tendría que
, es decir, que
.
De esta forma, para todo vector en
podemos encontrar el valor de
expresando
en la base
, digamos,
Ejemplo. Toda forma cuadrática en se obtiene de elegir reales
y definir




Teorema de Gauss de formas cuadráticas (opcional)
Para esta sección, fijemos al espacio vectorial como . Hay una forma muy natural de construir formas cuadráticas a partir de formas lineales. Tomemos números reales
y formas lineales
. Consideremos

Lo que descubrió Gauss es que todas las formas cuadráticas se pueden expresar de esta forma, y de hecho, es posible hacerlo usando únicamente formas lineales que sean linealmente independientes y coeficientes y
.
Teorema (clasificación de Gauss de formas cuadráticas). Sea una forma cuadrática en
. Entonces, existen enteros no negativos
y
, y formas lineares
en
, todas ellas linealmente independientes, tales que
Hay un pequeño refinamiento de este teorema, demostrado por Sylvester.
Teorema (teorema de la inercia de Sylverster). Los números y
en el teorema de clasificación de Gauss de formas cuadráticas son únicos.
Ejemplo. Tomemos la forma cuadrática en dada por
. Por el teorema de Gauss, esta forma se debe de poder poner como combinación lineal de cuadrados de formas lineales independientes. En efecto, tenemos que:
son formas lineales linealmente independientes.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Verifica que las formas cuadráticas de los ejemplos del teorema de polarización en efecto son formas cuadráticas.
- Muestra que
no es una forma cuadrática.
- Muestra que si
son reales y tomamos formas lineales
en
, entonces
- ¿Quién es la forma polar de la forma cuadrática
en el espacio vectorial de funciones continuas en el intervalo
?
Una demostración algorítmica del teorema de Gauss se puede encontrar en la Sección 10.1 del libro de Álgebra Lineal de Titu Andreescu.
Más adelante…
En esta entrada estudiamos a fondo la identidad de polarización; esto nos permitió concluir que existe una biyección entre las funciones bilineales simétricas y las fromas cuadráticas. También, pusimos mucho énfasis en ejemplos concretos de esta biyección.
Con esto estamos listos para empezar a pensar en cómo haríamos geometría o cálculo en espacios vectorias. Abordaremos estos temas al final de esta unidad. En la siguiente entrada hablaremos del producto interior.
Entradas relacionadas
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- Entrada anterior del curso: Problemas de transformaciones transpuestas y formas bilineales
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