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Ecuaciones Diferenciales l: Ecuación de Bernoulli y ecuación de Riccati

“Obvio” es la palabra más peligrosa del mundo en matemáticas.
– E. T. Bell

Introducción

Con esta entrada concluiremos el desarrollo de métodos de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Presentaremos dos ecuaciones diferenciales no lineales más, conocidas como ecuación diferencial de Bernoulli y ecuación diferencial de Riccati en honor a sus formuladores Jacob Bernoulli y Jacopo Francesco Riccati, respectivamente.

Ecuación diferencial de Bernoulli

La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden formulada por Jacob Bernoulli en el siglo XVll.

Definición: La ecuación diferencial

$$a_{1}(x)\dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = g(x) y^{n} \label{1} \tag{1}$$

donde $n$ es cualquier número real, se llama ecuación de Bernoulli.

Si a la ecuación de Bernoulli la dividimos por la función $a_{1}(x) \neq 0$, obtenemos

$$\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{a_{0}(x)}{a_{1}(x)} y = \dfrac{g(x)}{a_{1}(x)} y^{n}$$

Definimos las siguientes funciones.

$$P(x)=\dfrac{a_{0}(x)}{a_{1}(x)} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} Q(x)=\dfrac{g(x)}{a_{1}(x)} \label{2} \tag{2}$$

Entonces una ecuación de Bernoulli se puede reescribir como

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) y^{n} \label{3} \tag{3}$$

La ecuación (\ref{3}) es también una definición común de ecuación de Bernoulli.

Notemos que si $n = 0$, la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación diferencial lineal no homogénea.

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \label{4} \tag{4}$$

Y si $n = 1$, la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación diferencial lineal homogénea.

\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} + P(x) y &= Q(x) y \\
\dfrac{dy}{dx} + [P(x) -Q(x)] y &= 0 \\
\end{align*}

Si definimos

$$R(x) = P(x) -Q(x)$$

entonces

$$\dfrac{dy}{dx} + R(x) y = 0 \label{5} \tag{5}$$

Las ecuaciones (\ref{4}) y (\ref{5}) ya las sabemos resolver.

Nuestro objetivo será resolver la ecuación de Bernoulli para el caso en el que $n \neq 0$ y $n \neq 1$.

Una propiedad de las ecuaciones de Bernoulli es que la sustitución

$$u(x) = y^{1 -n} \label{6} \tag{6}$$

la convierte en una ecuación lineal, de tal manera que podremos resolverla usando algún método de resolución visto para ecuaciones diferenciales lineales.

Consideremos la ecuación de Bernoulli en la forma (\ref{3}).

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) y^{n}$$

Dividimos toda la ecuación por $y^{n} \neq 0$.

$$\dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx} + P(x) y^{1-n} = Q(x) \label{7} \tag{7}$$

La derivada de la función (\ref{6}) es

$$\dfrac{du}{dx} = (1 -n) y^{-n} \dfrac{dy}{dx} = (1 -n) \dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx}$$

de donde,

$$\dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 -n} \dfrac{du}{dx} \label{8} \tag{8}$$

Sustituyamos (\ref{6}) y (\ref{8}) en la ecuación (\ref{7}).

$$\dfrac{1}{1-n} \dfrac{du}{dx} + P(x)u = Q(x) \label{9} \tag{9}$$

Multipliquemos por $1 -n$ en ambos lados de la ecuación.

$$\dfrac{du}{dx} + (1 -n)P(x)u = (1 -n)Q(x)$$

Definimos las funciones

$$R(x) = (1 -n)P(x) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} S(x) = (1 -n)Q(x)$$

En términos de estas funciones la ecuación (\ref{9}) se puede escribir de la siguiente forma.

$$\dfrac{du}{dx} + R(x)u = S(x) \label{10} \tag{10}$$

Este resultado corresponde a una ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea y, por tanto, puede ser resuelta aplicando el algoritmo descrito para resolver ecuaciones diferenciales lineales.

Los pasos que se recomiendan seguir para resolver una ecuación diferencial de Bernoulli se presentan a continuación.

Método para resolver ecuaciones de Bernoulli

  1. El primer paso es escribir a la ecuación de Bernoulli en la forma (\ref{3}).
  1. Dividimos toda la ecuación por $y^{n}$ y consideramos el cambio de variable $u = y^{1 -n}$, así como la respectiva derivada $$\dfrac{du}{dx} = (1 -n)\dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx}$$
  1. Sustituimos $$y^{1 -n} = u \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 -n}\dfrac{du}{dx}$$ en la ecuación resultante del paso anterior y haciendo un poco de álgebra podremos reducir la ecuación de Bernoulli en una ecuación lineal de primer orden no homogénea.
  1. Resolvemos la ecuación resultante usando el método de resolución de ecuaciones diferenciales lineales lo que nos permitirá obtener la función $u(x)$.
  1. Regresamos a la variable original para obtener finalmente la solución $y(x)$.

Realicemos un ejemplo en el que apliquemos estos pasos.

Ejemplo: Resolver la ecuación de Bernoulli

$$3(1 + x^{2}) \dfrac{dy}{dx} = 2xy (y^{3} -1)$$

Solución: El primer paso es escribir la ecuación de Bernoulli en la forma (\ref{3}).

\begin{align*}
3(1 + x^{2}) \dfrac{dy}{dx} &= 2xy (y^{3} -1) \\
\dfrac{dy}{dx} & =\dfrac{2xy (y^{3} -1)}{3(1 + x^{2})} \\
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{2xy^{4}}{3(1 + x^{2})} -\dfrac{2xy}{3(1 + x^{2})} \\
\dfrac{dy}{dx} + \left( \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \right) y &= \left( \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \right) y^{4}
\end{align*}

La última relación muestra a la ecuación en la forma (\ref{3}) con $n = 4$, ahora dividamos toda la ecuación por $y^{4}$.

$$\dfrac{1}{y^{4}} \dfrac{dy}{dx} + \left( \dfrac{2x}{3(1+x^{2})} \right) y^{-3} = \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \label{11} \tag{11}$$

Consideremos la sustitución

$$u = y^{1 -n} = y^{1 -4} = y^{-3} = \dfrac{1}{y^{3}}$$

y

$$\dfrac{du}{dx} = -3 y^{-4} \dfrac{dy}{dx}$$

De donde,

$$\dfrac{1}{y^{4}} \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{3} \dfrac{du}{dx} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} y^{-3} = u$$

Sustituimos estos resultados en la ecuación (\ref{11}).

\begin{align*}
-\dfrac{1}{3} \dfrac{du}{dx} + \left( \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \right) u &= \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \\
\dfrac{du}{dx} +\left( -\dfrac{2x}{1 + x^{2}} \right) u &= -\dfrac{2x}{1 + x^{2}} \label{12} \tag{12}
\end{align*}

La última ecuación es una expresión en la forma (\ref{10}). Con esto hemos logrado reducir la ecuación de Bernoulli en una ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea.

Establecemos las siguientes funciones.

$$R(x) = -\dfrac{2x}{1 + x^{2}} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} S(x) = -\dfrac{2x}{1 + x^{2}}$$

A partir de aquí aplicamos el método de resolución de ecuaciones diferenciales lineales.

La ecuación ya se encuentra en su forma canónica. Determinemos el factor integrante dado por

$$\mu (x) = e^{\int {R(x)dx}} \label{13} \tag{13}$$

Resolvamos la integral del exponente omitiendo la constante de integración.

\begin{align*}
\int {R(x)dx} &= -\int \dfrac{2x}{1 + x^{2}} dx \\
&= -\ln|1 + x^{2}|
\end{align*}

Por lo tanto,

$$\mu (x) = e^{-\ln|1 + x^{2}|} = \dfrac{1}{1+x^{2}}$$

Multipliquemos a la ecuación (\ref{12}) por el factor integrante.

$$\dfrac{1}{1 + x^{2}} \dfrac{du}{dx} -\dfrac{1}{1 + x^{2}} \left( \dfrac{2x}{1 + x^{2}} \right) u = -\dfrac{1}{1 + x^{2}} \left( \dfrac{2x}{1 + x^{2}} \right)$$

Identificamos que el lado izquierdo de la ecuación es la derivada del producto del factor integrante $\mu(x)$ por la función $u(x)$, de esta manera

$$\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{u}{1 + x^{2}} \right) = -\dfrac{2x}{(1 + x^{2})^{2}}$$

Integramos ambos lados de la ecuación con respecto a $x$. Por tratarse del último paso sí consideramos a la constante de integración.

$$\int \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{u}{1 + x^{2}} \right) dx = -\int \dfrac{2x}{(1 + x^{2})^{2}} dx$$

En el lado izquierdo aplicamos el teorema fundamental del cálculo y en el lado derecho consideramos la sustitución $a(x) = 1 + x^{2}$ para resolver la integral. El resultado que se obtiene es

\begin{align*}
\dfrac{u}{1 + x^{2}} &= \dfrac{1}{1 + x^{2}} + c \\
u &= 1 + (1 + x^{2})c \\
\end{align*}

Regresamos a la variable original $u = y^{-3}$.

$$\dfrac{1}{y^{3}} = 1 + (1 + x^{2})c$$

Por lo tanto, la solución general (implícita) de la ecuación diferencial de Bernoulli

$$3(1 + x^{2}) \dfrac{dy}{dx} = 2xy (y^{3} -1)$$

es

$$y^{3}(x) = \dfrac{1}{1 + (1 + x^{2}) c}$$

$\square$

Ahora revisemos la ecuación de Riccati.

Ecuación diferencial de Riccati

La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinara no lineal de primer orden, inventada y desarrollada en el siglo XVlll por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati.

Definición: La ecuación diferencial

$$\dfrac{dy}{dx} = q_{0}(x) + q_{1}(x) y +q_{2}(x) y^{2} \label{14} \tag{14}$$

se llama ecuación de Riccati.

Resolver la ecuación de Riccati requiere del conocimiento previo de una solución particular de la ecuación, llamemos a dicha solución $\hat{y}(x)$. Si hacemos la sustitución

$$y(x) = \hat{y}(x) + u(x) \label{15} \tag{15}$$

La ecuación de Riccati adquiere la forma de una ecuación de Bernoulli, de tarea moral comprueba este hecho. Ya vimos que para resolver una ecuación de Bernoulli debemos reducirla a una ecuación lineal no homogénea, así que veamos directamente cómo reducir una ecuación de Riccati a una ecuación lineal no homogénea.

Sea $\hat{y}(x)$ una solución particular de la ecuación de Riccati y consideremos la sustitución

$$y(x) = \hat{y}(x) + \dfrac{1}{u(x)} \label{16} \tag{16}$$

Derivemos esta ecuación.

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d\hat{y}}{dx} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \label{17} \tag{17}$$

Como $\hat{y}(x)$ es una solución de la ecuación de Riccati, entonces satisface la ecuación diferencial.

$$\dfrac{d\hat{y}}{dx} = q_{0}(x) + q_{1}(x) \hat{y} + q_{2}(x) \hat{y}^{2} \label{18} \tag{18}$$

Sustituyendo (\ref{18}) en (\ref{17}) obtenemos la siguiente ecuación.

$$\dfrac{dy}{dx} = q_{0}(x) + q_{1}(x) \hat{y} + q_{2}(x) \hat{y}^{2} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \label{19} \tag{19}$$

Ahora podemos igualar la ecuación (\ref{19}) con la ecuación de Riccati (\ref{14}).

\begin{align*}
q_{0}(x) + q_{1}(x) y +q_{2}(x) y^{2} &= q_{0}(x) + q_{1}(x) \hat{y} + q_{2}(x) \hat{y}^{2} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \\
q_{1}(x) y +q_{2}(x) y^{2} &= q_{1}(x) \hat{y} + q_{2}(x) \hat{y}^{2} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \\
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= q_{1}(x) \hat{y} -q_{1}(x) y + q_{2}(x) \hat{y}^{2} -q_{2}(x) y^{2} \\
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= q_{1}(x)(\hat{y} -y) + q_{2}(x)(\hat{y}^{2} -y^{2})
\end{align*}

En la última relación sustituimos la función (\ref{16}).

\begin{align*}
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= q_{1}(x) \left[ \hat{y} -\left( \hat{y} + \dfrac{1}{u} \right) \right] + q_{2}(x) \left [ \hat{y}^{2} -\left( \hat{y} + \dfrac{1}{u} \right) ^{2} \right ] \\
&= q_{1}(x) \left( \hat{y} -\hat{y} -\dfrac{1}{u} \right) + q_{2}(x) \left( \hat{y}^{2} -\hat{y}^{2} -2 \hat{y} \dfrac{1}{u} -\dfrac{1}{u^{2}} \right) \\
&= q_{1}(x) \left( -\dfrac{1}{u} \right ) + q_{2}(x) \left( -2\dfrac{\hat{y}}{u} -\dfrac{1}{u^{2}} \right) \\
&= -\dfrac{q_{1}(x)}{u} -2 q_{2}(x) \dfrac{\hat{y}}{u} -\dfrac{q_{2}(x)}{u^{2}}
\end{align*}

Esto es,

$$\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} = -\dfrac{q_{1}(x)}{u} -2 q_{2}(x) \dfrac{\hat{y}}{u} -\dfrac{q_{2}(x)}{u^{2}}$$

Multipliquemos ambos lados de la ecuación por $u^{2}$.

\begin{align*}
\dfrac{du}{dx} &= -q_{1}(x)u -2q_{2}(x) \hat{y} u -q_{2}(x) \\
\dfrac{du}{dx} &= -\left( q_{1}(x) + 2q_{2}(x) \hat{y} \right) u -q_{2}(x)
\end{align*}

Vemos que

$$\dfrac{du}{dx} + \left( q_{1}(x) + 2q_{2}(x) \hat{y} \right) u = -q_{2}(x) \label{20} \tag{20}$$

Definamos las funciones

$$R(x) = q_{1}(x) + 2q_{2}(x) \hat{y}(x) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} S(x) = -q_{2}(x)$$

Por lo tanto, la ecuación (\ref{20}) queda de la siguiente forma.

$$\dfrac{du}{dx} + R(x) u = S(x) \label{21} \tag{21}$$

Queda demostrado que la sustitución (\ref{16}) convierte a la ecuación de Riccati en una ecuación diferencial lineal y, por tanto, puede ser resuelta con el método de resolución de ecuaciones lineales.

Como es usual, enunciemos la serie de pasos que se recomienda seguir para resolver las ecuaciones diferenciales de Riccati.

Método para resolver ecuaciones de Riccati

  1. El primer paso es escribir a la ecuación de Riccati en la forma (\ref{14}) y estar seguros de que conocemos previamente una solución particular $\hat{y}(x)$ de la ecuación.
  1. Como queremos reducir la ecuación de Riccati en una ecuación lineal no homogénea consideramos la sustitución $$y(x) = \hat{y}(x) + \dfrac{1}{u(x)}$$ con $\hat{y}(x)$ la solución particular dada.

    Si se deseara reducirla a una ecuación de Bernoulli se hace la sustitución $$y(x) = \hat{y}(x) + u(x)$$
  1. Debido a que $\hat{y}(x)$ es solución de la ecuación de Riccati, el siguiente paso es derivar la sustitución $y = \hat{y} + \dfrac{1}{u}$ y en el resultado sustituir $\dfrac{d\hat{y}}{dx}$ por la ecuación de Riccati para la solución particular, esto es

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d\hat{y}}{dx} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} = \left[ q_{1}(x) + q_{2}(x) \hat{y} + q_{3}(x) \hat{y}^{2} \right] -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx}$$

  1. Igualamos la ecuación anterior con la ecuación de Riccati original en la forma (\ref{14}) y hacemos la sustitución $$y(x) = \hat{y}(x) + \dfrac{1}{u(x)}$$
  1. Hecho lo anterior y haciendo un poco de álgebra podremos reducir la ecuación de Riccati en una ecuación lineal de primer orden y así aplicar el método de resolución para este tipo de ecuaciones.
  1. Una vez obtenida la función $u(x)$ la sustituimos en $y(x)$ para obtener la solución deseada.

Realicemos un ejemplo para poner en practica este método.

Ejemplo: Resolver la ecuación de Riccati

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{y}{x} + y^{2}$$

dada la solución particular $\hat{y} = \dfrac{2}{x}$.

Solución: La ecuación diferencial prácticamente se encuentra en la forma de la ecuación (\ref{14}), sólo para que sea claro escribimos

$$\dfrac{dy}{dx} = \left( -\dfrac{4}{x^{2}} \right) + \left( -\dfrac{1}{x} \right) y + y^{2}$$

Comencemos por verificar que la solución particular dada efectivamente satisface la ecuación de Riccati. Por un lado,

$$\dfrac{d \hat{y}}{dx} = -\dfrac{2}{x^{2}}$$

Por otro lado,

\begin{align*}
-\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{\hat{y}}{x} + \hat{y}^{2} &= -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{1}{x} \left( \dfrac{2}{x} \right) + \left( \dfrac{2}{x} \right)^{2} \\
&= -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{4}{x^{2}} \\
&= -\dfrac{2}{x^{2}}
\end{align*}

En efecto,

$$\dfrac{d \hat{y}}{dx} = -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{\hat{y}}{x} + \hat{y}^{2} = -\dfrac{2}{x^{2}}$$

El siguiente paso es hacer la sustitución (\ref{16}).

$$y(x) = \hat{y}(x) + \dfrac{1}{u(x)} = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u}$$

De acuerdo a (\ref{19}), tenemos

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{1}{x} \left( \dfrac{2}{x} \right) + \left( \dfrac{2}{x} \right)^{2} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx}$$

Igualemos este resultado con la ecuación de Riccati original.

\begin{align*}
-\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{y}{x} + y^{2} &= -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \\
-\dfrac{y}{x} + y^{2} &= \dfrac{2}{x^{2}} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \\
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= \dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{y}{x} -y^{2}
\end{align*}

En la última ecuación sustituimos $y = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u}$.

\begin{align*}
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= \dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{1}{x} \left( \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u} \right) -\left( \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u} \right)^{2} \\
&= \dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{1}{xu} -\left( \dfrac{4}{x^{2}} + \dfrac{4}{xu} + \dfrac{1}{u^{2}} \right) \\
&= \dfrac{4}{x^{2}} + \dfrac{1}{xu} -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{4}{xu} -\dfrac{1}{u^{2}} \\
&= -\dfrac{3}{xu} -\dfrac{1}{u^{2}} \\
\end{align*}

De donde,

$$\dfrac{du}{dx} + \dfrac{3}{x}u = -1$$

Esta expresión tiene la forma de una ecuación diferencial lineal (\ref{21}), de donde podemos determinar que

$$R(x) = \dfrac{3}{x} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} S(x) = -1$$

La ecuación de Riccati ha sido reducida a una ecuación lineal no homogénea, ahora apliquemos el método de resolución de ecuaciones diferenciales lineales.

Calculemos el factor integrante $\mu(x) = e^{\int R(x)dx}$.

$$\int {R(x)dx} = \int {\dfrac{3}{x}dx} = 3\ln|x|$$

El factor integrante es

$$\mu (x) = e^{3 \ln|x|} = x^{3}$$

Multipliquemos la ecuación diferencial por el factor integrante.

\begin{align*}
x^{3} \dfrac{du}{dx} + x^{3} \left( \dfrac{3}{x} \right ) u &= -x^{3} \\
x^{3} \dfrac{du}{dx} + 3x^{2}u &= -x^{3}
\end{align*}

Identificamos que el lado izquierdo de la ecuación corresponde a la derivada del producto entre el factor integrante $\mu(x)$ y la función $u(x)$, entonces

$$\dfrac{d}{dx} \left( x^{3}u \right) = -x^{3}$$

Integramos ambos lados de la ecuación con respecto a $x$.

\begin{align*}
\int {\dfrac{d}{dx} \left( x^{3}u \right) dx} &= \int {-x^{3}dx} \\
x^{3}u &= -\dfrac{x^{4}}{4} + c \\
u(x) &= -\dfrac{x}{4} + \dfrac{c}{x^{3}}
\end{align*}

Ya determinamos el valor de $u(x)$, ahora sólo lo sustituimos en la función $y = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u}$.

Por lo tanto, la solución general de la ecuación de Bernoulli

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{y}{x} + y^{2}$$

es

$$y(x) = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{\dfrac{c}{x^{3}} -\dfrac{x}{4}} = \dfrac{2}{x} + \dfrac{4x^{3}}{4c -x^{4}}$$

$\square$

Hemos concluido con el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Resolver las siguientes ecuaciones de Bernoulli.
  • $\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{1}{x}y = \dfrac{2}{3}x^{4}y^{4}$
  • $3x \dfrac{dy}{dx} -2y = x^{3}y^{-2}$
  • $x^{2} \dfrac{dy}{dx} -2xy = 3y^{4} \hspace{0.8cm}$ con la condición inicial $\hspace{0.5cm} y(1) = \dfrac{1}{2}$
  1. Resolver las siguientes ecuaciones de Riccati.
  • $x^{3} \dfrac{dy}{dx} = x^{4}y^{2} -2x^{2}y -1 \hspace{0.8cm}$ con solución particular $\hspace{0.5cm} \hat{y} = \dfrac{1}{x^{2}}$
  • $\dfrac{dy}{dx} = xy^{2} + y + \dfrac{1}{x^{2}} \hspace{0.8cm}$ con solución particular $\hspace{0.5cm} \hat{y} = -\dfrac{1}{x}$
  1. Demostrar que la sustitución $$y(x) = \hat{y}(x) + u(x)$$ convierte a una ecuación de Riccati en una ecuación de Bernoulli. $\hat{y}(x)$ es una solución particular de la ecuación de Riccati.

Más adelante…

Con esta entrada concluimos el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden, a lo largo de la unidad vimos una descripción cualitativa y posteriormente una descripción analítica en la que desarrollamos varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden tanto lineales como no lineales.

Antes de pasar a la siguiente unidad y comenzar con el estudio de las ecuaciones diferenciales de segundo orden, es importante hacer un estudio con mayor detalle sobre el teorema de existencia y unicidad ya que es este teorema el que justifica toda la teoría que hemos desarrollado a lo largo de la unidad.

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– Georg Cantor

Introducción

Hemos dado inicio con el desarrollo de métodos de resolución de ecuaciones diferenciales. Hasta este momento sólo sabemos resolver ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas de primer orden. En esta entrada estudiaremos el caso no lineal.

Estudiaremos dos tipos de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden conocidas como ecuaciones diferenciales separables y ecuaciones diferenciales homogéneas. Cabe mencionar que las ecuaciones no lineales homogéneas que estudiaremos en esta entrada no tienen que ver con las ecuaciones homogéneas que estudiamos con anterioridad. En este caso el término homogéneo hace referencia a una propiedad que satisfacen las ecuaciones no lineales.

Comencemos con las ecuaciones diferenciales separables.

Ecuaciones diferenciales separables

Definición: Una ecuación diferencial de primer orden de la forma

$$\dfrac{dy}{dx} = H(x, y) \label{1} \tag{1}$$

se dice que es separable o que tiene variables separables siempre que $H(x, y)$ puede escribirse como el producto de una función de $x$ y una función de $y$

$$H(x, y) = g(x)h(y) \label{2} \tag{2}$$

Inmediatamente nos damos cuenta que es una ecuación diferencial no lineal debido a que aparece una función dependiente de la variable dependiente $y$.

Veamos cómo encontrar la solución general de este tipo de ecuaciones.

Solución a ecuaciones separables

Es conveniente definir la función

$$h(y) = \dfrac{1}{f(y)} \label{3} \tag{3}$$

de tal manera que la ecuación (\ref{1}) se pueda escribir de la siguiente forma.

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{g(x)}{f(y)} \label{4} \tag{4}$$

Esta ecuación la podemos reescribir como

$$f(y) \dfrac{dy}{dx} = g(x) \label{5} \tag{5}$$

Notemos que en el lado derecho de la igualdad tenemos la función que depende de la variable independiente $x$, mientras que en el lado izquierdo tenemos la función que depende de la variable dependiente $y$, en esta situación decimos que hemos separado a la ecuación diferencial.

Es común encontrar en la literatura que la ecuación (\ref{5}) se escribe como

$$g(x) dx = f(y) dy \label{6} \tag{6}$$

Esta es la forma diferencial de la ecuación (\ref{4}), es una notación informal pero nos permite visualizar que hemos sido capaz de separar a las variables, el lado izquierdo sólo depende de $x$ y el lado derecho sólo depende de $y$.

Podemos integrar ambos lados de la ecuación. Si consideramos la ecuación en la forma (\ref{5}), entonces integramos ambos lados con respecto a la variable $x$ y si consideramos la ecuación en la forma (\ref{6}) integramos con respecto a la variable correspondiente.

\begin{align*}
\int f(y) \dfrac{dy}{dx} dx &= \int g(x) dx \\
\int f(y) dy &= \int g(x) dx
\end{align*}

Sólo es necesario que las antiderivadas

$$F(y) = \int f(y) dy \label{7} \tag{7}$$

y

$$G(x) = \int g(x) dx \label{8} \tag{8}$$

existan y puedan resolverse. Una vez resueltas las integrales obtendremos una familia uniparamétrica de soluciones que usualmente se expresa de forma implícita.

Método de separación de variables

De acuerdo a lo anterior, el algoritmo que se recomienda seguir para resolver ecuaciones diferenciales separables es el siguiente.

  1. Dada una ecuación diferencial no lineal de primer orden, el primer paso es identificar si es posible que podamos determinar una función $g = g(x)$ que sólo depende de la variable independiente $x$ y una función $f = f(y)$ que sólo depende de la variable dependiente $y$, si esto es posible escribimos a la ecuación diferencial en la siguiente forma.

$$f(y) \dfrac{dy}{dx} = g(x)$$

  1. El segundo paso es integrar ambos lados de la ecuación con respecto a la variable $x$. En este caso debemos considerar en todo momento las constantes de integración.
  1. Al resolver la integral $\int f(y) dy$ obtendremos la solución $y(x)$ que estamos buscando, ya sea de forma implícita o explicita, ambas formas son válidas.

Realicemos un ejemplo en el que apliquemos este método.

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial

$$\dfrac{dy}{dx} e^{(y -x)} = x$$

con la condición inicial $y(0) = \ln(2)$.

Solución: El primer paso es determinar si la ecuación es separable, es decir, si podemos hallar las funciones $g(x)$ y $f(y)$. Vemos que

\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} e^{(y -x)} &= x \\
\dfrac{dy}{dx} e^{y} e^{-x} &= x \\
e^{y} \dfrac{dy}{dx} &= x e^{x}
\end{align*}

Ya logramos escribir a la ecuación en la forma (\ref{5}), de donde podemos establecer que

$$g(x) = x e^{x} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} f(y) = e^{y}$$

Usando la notación diferencial podemos escribir a la ecuación como

$$e^{y} dy = x e^{x} dx$$

Integremos ambos lados de la ecuación ante la respectiva variable.

$$\int {e^{y} dy} = \int {x e^{x} dx}$$

Por un lado,

$$\int {e^{y} dy} = e^{y} + k_{1}$$

Por otro lado, para la integral de $x$ usemos integración por partes considerando $u(x) = x$ y $dv(x) = e^{x}$.

\begin{align*}
\int {x e^{x} dx} &= x e^{x} -\int{e^{x} dx} \\
&= x e^{x} -(e^{x} + k_{2})\\
&= x e^{x} -e^{x} -k_{2}
\end{align*}

Igualando ambos resultados obtenemos lo siguiente.

\begin{align*}
e^{y} + k_{1} &= x e^{x} -e^{x} -k_{2} \\
e^{y} &= x e^{x} -e^{x} -k_{2} -k_{1} \\
e^{y} &= x e^{x} -e^{x} + c
\end{align*}

En donde $c = -k_{2} -k_{1}$. Por lo tanto, la solución implícita es

$$e^{y} = x e^{x} -e^{x} + c$$

Para conocer la solución explícita sólo tomamos el logaritmo natural.

$$y(x) = \ln|x e^{x} -e^{x} + c|$$

Obtengamos la solución particular aplicando la condición inicial $y(0) = \ln(2)$.

\begin{align*}
y(0) &= \ln|0 e^{0} -e^{0} + c| = \ln(2) \\
y(0) &= \ln|0 -1 + c| = \ln(2)
\end{align*}

De donde,

$$\ln|c -1| = \ln(2)$$

Aplicando la exponencial en ambos lados, se tiene

$$c -1 = 2$$

De donde $c = 3$. Por lo tanto, la solución particular es

$$e^{y} = x e^{x} -e^{x} + 3$$

O bien,

$$y(x) = \ln| x e^{x} -e^{x} + 3|$$

$\square$

Este tipo de ecuaciones son muy sencillas de resolver, prácticamente se resuelven aplicando una integración directa.

Veamos ahora las ecuaciones diferenciales no lineales homogéneas, lo interesante de este tipo de ecuaciones es que si hacemos un cambio de variable adecuado las podremos reducir a una ecuación separable las cuales ya sabemos resolver.

Ecuaciones homogéneas

Definición: Una ecuación diferencial homogénea es de la forma

$$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 \label{9} \tag{9}$$

donde $M$ y $N$ tienen la propiedad de que para todo $t > 0$, la sustitución de $x$ por $tx$ y la de $y$ por $ty$ hacen que $M$ y $N$ sean del mismo grado $n$, esto es

$$M(tx, ty) = t^{n} M(x, y) \label{10} \tag{10}$$

$$N(tx, ty) = t^{n} N(x, y) \label{11} \tag{11}$$

Recordemos que un polinomio homogéneo es aquel en el que todos los términos son del mismo grado, por ejemplo, el polinomio

$$x^{2}y^{2} -5xy^{3} + x^{4} -y^{4}$$

es un polinomio homogéneo de grado $4$ ya que la suma de los exponentes del primer término es $2 + 2 = 4$, del segundo término es $1 + 3 = 4$ y evidentemente el exponente de los dos últimos términos es $4$. En este sentido es que la ecuación (\ref{9}) se dice que es homogénea si se satisfacen las ecuaciones (\ref{10}) y (\ref{11}) conjuntamente.

Este tipo de ecuaciones se pueden reducir a la forma de una ecuación separable (\ref{5}) y aplicando el procedimiento anterior es como podremos determinar la solución de las ecuaciones diferenciales no lineales homogéneas.

Reducción de una ecuación homogénea a una de variables separables

La ecuación diferencial que intentamos resolver es de la forma

$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$

Por definición se cumple que

$\dfrac{M(tx, ty)}{N(tx, ty)} = \dfrac{M(x, y)}{N(x, y)}$

Si se considera el valor $t = \dfrac{1}{x}$, la ecuación anterior queda como

$\dfrac{M(x, y)}{N(x, y)} = \dfrac{M(tx, ty)}{N(tx, ty)} = \dfrac{M \left( 1, \dfrac{y}{x} \right) }{N \left( 1, \dfrac{y}{x} \right) } = f \left( \dfrac{y}{x} \right)$

Consideremos el cambio de variable $y = xu$, con $u = u(x)$ una función de la variable independiente $x$ y derivable. Si derivamos la función $y(x)$ aplicando la regla de la cadena, obtenemos lo siguiente.

$$\dfrac{dy}{dx} = u \dfrac{dx}{dx} + x \dfrac{du}{dx} = u + x \dfrac{du}{dx} \label{12} \tag{12}$$

De (\ref{9}) notemos lo siguiente.

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{M(x, y)}{N(x, y)} = -f \left( \dfrac{y}{x} \right) = -f(u)$$

es decir,

$$f(u) = -\dfrac{dy}{dx} \label{13} \tag{13}$$

Sustituyamos (\ref{13}) en el resultado (\ref{12}).

\begin{align*}
f(u) &= -\left( u + x \dfrac{du}{dx} \right) \\
f(u) &= -u -x \dfrac{du}{dx} \\
f(u) + u &= -x \dfrac{du}{dx} \\
-\dfrac{1}{x} (f(u) + u) &= \dfrac{du}{dx}
\end{align*}

De manera que

$$\dfrac{du}{dx} = \left( -\dfrac{1}{x} \right) \left( u + f(u) \right) \label{14} \tag{14}$$

Definamos las funciones

$$g(x) = -\dfrac{1}{x} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} h(u) = u + f(u)$$

Entonces podemos escribir a la ecuación (\ref{14}) como

$$\dfrac{du}{dx} = g(x) h(u) \label{15} \tag{15}$$

Este resultado corresponde a la definición de una ecuación diferencial de variables separables. Si resolvemos esta ecuación usando el método de separación de variables habremos resuelto la ecuación homogénea.

Método de resolución de las ecuaciones diferenciales homogéneas

A continuación se establecen, como recomendación, los pasos a seguir para resolver una ecuación diferencial homogénea (\ref{9}).

  1. El primer paso es verificar que en efecto la ecuación sea homogénea, para ello verificamos que $M$ y $N$ sean del mismo grado, es decir, que se cumplan las relaciones (\ref{10}) y (\ref{11}) conjuntamente.
  1. Una vez que comprobemos que la ecuación es homogénea, reescribimos a la ecuación (\ref{9}) como
    $$M(x, y) + N(x, y) \dfrac{dy}{dx} = 0 \label{16} \tag{16}$$
  1. Hacemos el cambio de variable
    $$y = ux \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{dy}{dx} = u + x \dfrac{du}{dx} \label{17} \tag{17}$$
    Y sustituimos en la ecuación (\ref{16}).
  1. Una vez hecha la correspondiente sustitución podremos separar las variables reduciendo el problema a una ecuación de variables separables.

Realicemos un ejemplo de una ecuación diferencial no lineal homogénea.

Ejemplo: Verificar que la siguiente ecuación diferencial es homogénea, determinar su grado y resolver la ecuación.

$(x^{2} + y^{2}) dx -xy dy = 0$

Solución: De acuerdo a (\ref{9}) identificamos a las funciones $M$ y $N$ como

$$M(x, y) = x^{2} + y^{2} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} N(x, y) = -xy$$

Para obtener el grado de la ecuación diferencial hagamos la sustitución $x$ por $tx$ y $y$ por $ty$. Por una lado,

$$M(tx, ty) = (tx)^{2} + (ty)^{2} = t^{2} (x^{2} + y^{2}) = t^{2} M(x, y)$$

Por otro lado,

$$N(tx, ty) = -(tx)(ty) = t^{2} (-xy) = t^{2} N(x, y)$$

Se cumple entonces que

$$M(tx, ty) = t^{2} M(x, y) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} N(tx, ty) = t^{2} N(x, y)$$

Por lo tanto la ecuación sí es homogénea y el grado es $n = 2$. Reduzcamos la ecuación homogénea a una de variables separables y apliquemos el método correspondiente para resolverla.

De acuerdo al algoritmo, una vez que ya vimos que sí es homogénea, escribimos a la ecuación diferencial en la forma (\ref{16}).

$$(x^{2} + y^{2}) -(xy) \dfrac{dy}{dx} = 0$$

Hacemos el cambio de variable (\ref{17}) y sustituimos en la ecuación diferencial.

$$\left( x^{2} + (xu)^{2} \right) -x(xu) \left( u + x \dfrac{du}{dx} \right) = 0$$

Realicemos un poco de álgebra hasta reducirla a una ecuación de variables separables.

\begin{align*}
\left( x^{2} + (xu)^{2} \right) -x(xu) \left( u + x \dfrac{du}{dx} \right) &= 0 \\
x^{2} + x^{2} u^{2} -x^{2}u \left( u + x \dfrac{du}{dx} \right) &= 0 \\
x^{2} + x^{2} u^{2} -x^{2}u^{2} -x^{3}u \dfrac{du}{dx} &= 0 \\
x^{2} -x^{3}u \dfrac{du}{dx} &= 0 \\
x^{2} \left( 1 -xu \dfrac{du}{dx} \right) &= 0 \\
\end{align*}

Para $x \neq 0$, se tiene

\begin{align*}
1 -xu \dfrac{du}{dx} &= 0 \\
xu \dfrac{du}{dx} &= 1 \\
u \dfrac{du}{dx} &= \dfrac{1}{x} \\
\end{align*}

Ya logramos separar a las variables. Podemos escribir la última igualdad en la forma diferencial

$$u du = \dfrac{1}{x}dx$$

Integremos ambos lados de la ecuación sobre la variable correspondiente.

\begin{align*}
\int{u du} &= \int{\dfrac{dx}{x}} \\
\dfrac{u^{2}}{2} + k_{1} &= \ln|x| + k_{2} \\
\dfrac{u^{2}}{2} &= \ln|x| + k_{2} -k_{1} \\
u^{2} &= 2 \ln|x| + 2(k_{2} -k_{1}) \\
u^{2} &= 2 \ln|x| + c
\end{align*}

Donde $c = 2(k_{2} -k_{1})$, como $u = \dfrac{y}{x}$, sustituimos en el resultado anterior para regresar a las variables originales.

\begin{align*}
\left( \dfrac{y}{x} \right) ^{2} &= 2\ln|x| + c \\
\dfrac{y^{2}}{x^{2}} &= 2\ln|x| + c \\
y^{2} &= x^{2} (2\ln|x| + c)
\end{align*}

Por lo tanto, la solución implícita de la ecuación diferencial dada es

$$y^{2}(x) = x^{2} (2\ln|x| + c)$$

O bien, la solución explícita es

$$|y(x)| = x \left( \sqrt{2 \ln|x| + c} \right)$$

$\square$

Hasta aquí concluimos con esta entrada, en la siguiente continuaremos con un método más para resolver ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden.

Tarea Moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales separables.
  • $\dfrac{ds}{dt} = -\sin(3t)$
  • $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{1 + x^{2}}$
  1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas.
  • $(x -y)dx + xdy = 0$
  • $(y^{2} +yx)dx -x^{2}dy = 0$
  1. Resolver los siguientes problemas con valores iniciales.
  • $\dfrac{dy}{dx} = e^{3x + 2y}$ $\hspace{1.7cm}$ con $\hspace{0.3cm}$ $y(0) = 0$
  • $\dfrac{ds}{dr} = \dfrac{\cos^{2}(r)}{s^{2}} $ $\hspace{1.3cm}$ con $\hspace{0.3cm}$ $s(\pi) = -1$
  • $xy \dfrac{dy}{dx} = y^{3} -x^{3}$ $\hspace{1cm}$ con $\hspace{0.3cm}$ $y(1) = 2$

Más adelante …

En esta entrada estudiamos dos tipos de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden, las separables y las homogéneas. En próximas entradas revisaremos las ecuaciones exactas, la ecuación de Bernoulli y la ecuación de Riccati.

Dedicaremos la siguiente entrada al estudio de las ecuaciones diferenciales exactas.

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