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Álgebra Lineal II: Unicidad de la forma canónica de Jordan

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

En la entrada anterior enunciamos el teorema de la forma canónica de Jordan y demostramos la existencia de dicha forma bajo ciertas hipótesis. Como corolario, quedó pensar cuál es la versión para matrices. En esta entrada enunciamos la versión para matrices (totalmente equivalente a la de transformaciones lineales) y nos enfocamos en mostrar la unicidad de la forma canónica de Jordan.

Unicidad de la forma canónica de Jordan

El siguiente teorema es totalmente análogo al enunciado en la entrada anterior. Recuerda que $\leq$ es un orden total fijo de $F$ (en $R$ , es el orden usual).

Teorema. Sea $A$ una matriz $M_{n} (F)$ cuyo polinomio característico $χ_{A} (X)$ se divide en $F$ . Entonces, existen únicos valores $λ_{1} \leq \dots \leq λ_{n}$ en $F$ y únicos enteros $k_{1}, \dots, k_{d}$ tales que $\begin{aligned} k_{1} + k_{2} + \dots + k_{d} = n, \\ k_{1} \leq k_{2} \leq \dots \leq k_{d}, \end{aligned}$ para los cuales $A$ es similar a la siguiente matriz de bloques de Jordan:

$(\begin{matrix} J_{λ_{1}, k_{1}} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & J_{λ_{2}, k_{2}} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & J_{λ_{d}, k_{d}} \end{matrix}) .$

Usaremos esta versión para demostrar la unicidad, lo cual también implicará la unicidad para la versión de transformaciones lineales.

Mediante la demostración de existencia de la entrada anterior, llegamos a que si el polinomio característico de $A$ es

$χ_{A} (X) = (X - λ_{1})^{m_{1}} (X - λ_{2})^{m_{2}} \dots (X - λ_{r})^{m_{r}},$

entonces $A$ es similar a una matriz conformada por matrices de bloques de Jordan $J_{1}, J_{2}, \dots, J_{r}$ , en donde cada $J_{i}$ es de tamaño $m_{i}$ y de bloques de Jordan de eigenvalor $λ_{i}$ .

Si $A$ fuera similar a otra matriz $K$ de bloques de Jordan, podríamos agrupar por eigenvalores de los bloques $κ_{1} < \dots < κ_{s}$ en matrices de bloques de Jordan tamaños $o_{1}, \dots, o_{s}$ , digamos $K_{1}, \dots, K_{s}$ . El polinomio característico de $K$ sería entonces

$χ_{K} (X) = (X - κ_{1})^{o_{1}} (X - κ_{2})^{o_{2}} \dots (X - κ_{s})^{o_{s}} .$

Pero $K$ es similar a $A$ , y entonces deben tener el mismo polinomio característico, así que conciden en raíces y multiplicidad. Esto demuestra que $r = s$ y como los $λ_{i}$ y los $κ_{i}$ están ordenados, también demuestra las igualdades $λ_{i} = κ_{i}$ y $m_{i} = o_{i}$ para todo $i \in {1, \dots, r} .$

Sólo nos queda argumentar la igualdad entre cada $J_{i}$ y $K_{i}$ para $i \in {1, \dots, r}$ . Pero ambas una forma canónica de Jordan para la transformación nilpotente que se obtiene de restringir $T_{A - λ_{i} I}$ a $\ker (T_{A - λ_{i} I}^{m_{i}})$ . Por la unicidad que demostramos para la forma canónica de Jordan para transformaciones nilpotentes, concluimos que $J_{i} = K_{i}$ . Esto termina la demostración de la unicidad de la forma canónica de Jordan.

Una receta para encontrar la forma canónica de Jordan

Ya con el teorema demostrado, ¿cómo juntamos todas las ideas para encontrar la forma canónica de Jordan de una matriz $A$ en $M_{n} (F)$ cuyo polinomio característico se divida en $F$ ? Podemos proceder como sigue.

Encontramos el polinomio característico $χ_{A} (X)$ y su factorización, digamos $χ_{A} (X) = (X - λ_{1})^{m_{1}} (X - λ_{2})^{m_{2}} \dots (X - λ_{r})^{m_{r}} .$
Nos enfocamos en encontrar las matrices de bloque de Jordan $J_{i}$ para cada eigenvalor $λ_{i}$ . Sabemos que la matriz $J_{i}$ será de tamaño $m_{i}$ .
Para saber exactamente cuál matriz de bloques de Jordan es $J_{i}$ , pensaremos en que tiene $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m_{i}}$ bloques de Jordan de eigenvalor $λ_{i}$ de tamaños $1, 2, \dots, m_{i}$ . Consideramos la matriz $A_{i} = A - λ_{i} I$ . Los $b_{1}, \dots, b_{m_{i}}$ son la solución al siguiente sistema de ecuaciones en las variables $x_{1}, \dots, x_{m_{i}}$ .
$\begin{aligned} m_{i} & = 1 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 3 \cdot x_{3} + \dots + m_{i} \cdot x_{m_{i}} \\ m_{i} - n + rango (A_{i} - λ_{i} I) & = 0 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} + 2 \cdot x_{3} + \dots + (m_{i} - 1) \cdot x_{m_{i}} \\ m_{i} - n + rango ({A_{i} - λ_{i} I}^{2}) & = 0 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} + 1 \cdot x_{3} + \dots + (m_{i} - 2) \cdot x_{m_{i}} \\ m_{i} - n + rango ({A_{i} - λ_{i} I}^{3}) & = 0 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} + 0 \cdot x_{3} + \dots + (m_{i} - 3) \cdot x_{m_{i}} \\ ⋮ \\ m_{i} - n + rango ({A_{i} - λ_{i} I}^{m_{i} - 1}) & = 0 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} + 0 \cdot x_{3} + \dots + 1 \cdot x_{m_{i}} . \end{aligned}$
Juntamos todos los $J_{i}$ en una misma matriz y los ordenamos apropiadamente.

El paso número $3$ está motivado por lo que sabemos de las matrices nilpotentes, y es bueno que pienses por qué se estudia específicamente ese sistema de ecuaciones para cada eigenvalor $λ_{i}$ y multiplicidad $m_{i}$ .

Ejemplo de obtener la forma canónica de Jordan

Veamos un ejemplo del procedimiento descrito en la sección anterior.

Ejemplo. Encontraremos la forma canónica de Jordan de la siguiente matriz: $A = (\begin{matrix} - 226 & - 10 & - 246 & 39 & 246 \\ 234 & 23 & 236 & - 46 & - 236 \\ - 198 & - 20 & - 192 & 41 & 195 \\ - 93 & 10 & - 122 & 10 & 122 \\ - 385 & - 30 & - 393 & 74 & 396 \end{matrix}) .$

Con herramientas computacionales, podemos darnos cuenta de que el polinomio característico de esta matriz es $χ_{A} (X) = X^{5} - 11 X^{4} + 46 X^{3} - 90 X^{2} + 81 X - 27.$

Este polinomio se puede factorizar como $(X - 1)^{2} (X - 3)^{3} .$ Así, la submatriz de bloques de Jordan $J_{1}$ de eigenvalor $1$ tendrá tamaño $2$ y la $J_{3}$ de eigenvalor $3$ tendrá tamaño $3$ . Pero, ¿de qué tamaño son cada uno de los bloques de Jordan en cada una de estas matrices?

Para respondernos esto para $J_{1}$ , notamos que sus bloques son de tamaño $1$ y $2$ solamente. Si hay $b_{1}$ bloques de tamaño $1$ y $b_{2}$ bloques de tamaño $2$ , por la teoría desarrollada arriba tendremos:

$\begin{aligned} b_{1} + 2 b_{2} & = 2 \\ b_{2} & = 2 - 5 + rango (A - I) = 2 - 5 + 4 = 1. \end{aligned}$

El rango de $A - I$ lo obtuvimos computacionalmente, pero recuerda que también puede ser obtenido con reducción gaussiana. Resolviendo el sistema, $b_{2} = 1$ y entonces $b_{1} = 0$ . Concluimos que en $J_{1}$ hay un bloque de Jordan de tamaño $2$ .

Para $J_{3}$ , reciclemos las variables $b_{i}$ (para no introducir nuevas). Los bloques pueden ser de tamaño $1, 2, 3$ . Supongamos que de estos tamaños respectivamente hay $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ bloques. Los $b_{i}$ cumplen:

$\begin{aligned} b_{1} + 2 b_{2} + 3 b_{3} & = 3 \\ b_{2} + 2 b_{3} & = 3 - 5 + rango (A - 3 I) = 3 - 5 + 3 = 1 \\ b_{3} & = 3 - 5 + rango ((A - 3 I)^{2}) = 3 - 5 + 2 = 0. \end{aligned}$

Así, $b_{3} = 0$ , y en consecuencia $b_{2} = 1$ y entonces $b_{1} = 1$ . Concluimos que $J_{3}$ tiene un bloque de tamaño $1$ y uno de tamaño $3$ . Por lo tanto, la forma canónica de Jordan de $A$ es:

$(\begin{matrix} J_{1} & 0 \\ 0 & J_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} J_{1, 2} & 0 & 0 \\ 0 & J_{3, 1} & 0 \\ 0 & 0 & J_{3, 2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix})$

$△$

Otro problema sobre forma canónica de Jordan

La receta anterior funciona en general y da la forma canónica de Jordan. Esto es algo que probablemente en la práctica en aplicaciones no tendrás que hacer manualmente nunca, pues hay herramientas computacionales que te pueden ayudar. Sin embargo, es importante entender con profundidad el teorema y la receta de manera teórica, pues hay problemas conceptuales en los que no podrás usar herramientas computacionales. A continuación veremos un ejemplo.

Problema. Sea $A$ una matriz en $M_{6} (R)$ con polinomio característico $χ_{A} (X) = X^{6} - 2 X^{4} + X^{2} .$

¿Cuántas posibilidades hay para la forma canónica de Jordan de $A$ ?
Demuestra que si el rango de $A$ es $5$ , entonces $A$ no es diagonalizable.

Solución. Podemos factorizar el polinomio característico de $A$ como sigue:

$χ_{A} (X) = X^{2} (X + 1)^{2} (X - 1)^{2} .$

Así, la forma canónica de Jordan está conformada por una matriz de bloques de Jordan $J_{0}$ de eigenvalor $0$ y tamaño $2$ ; una $J_{1}$ de eigenvalor $1$ y tamaño $2$ ; y una $J_{- 1}$ de eigenvalor $- 1$ y tamaño $2$ .

Cada $J_{i}$ tiene dos chances: o es un bloque de Jordan de tamaño $2$ , o son dos bloques de Jordan de tamaño $1$ . Así, en total tenemos $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ posibilidades.

Si $A$ es de rango $5$ , entonces tendríamos en las cuentas de cantidad de bloques $b_{1}$ y $b_{2}$ para eigenvalor $0$ que

$\begin{aligned} b_{1} + 2 b_{2} & = 2 \\ b_{2} & = 2 - 6 + rango (A) = 2 - 6 + 5 = 1, \end{aligned}$

de donde en $J_{0}$ tendría $1$ bloque de tamaño $2$ y ninguno de tamaño $1$ . Si $A$ fuera diagonalizable, su diagonalización sería una forma canónica de Jordan donde para eigenvalor $0$ se tendrían $2$ bloques de tamaño $1$ y ninguno de tamaño $2$ . Así, $A$ tendría dos formas canónicas de Jordan distintas, lo cual es imposible.

Más adelante…

Con esta entrada terminamos de demostrar el teorema de la forma canónica de Jordan, uno de los teoremas más bonitos de álgebra lineal. ¿Te das cuenta de todo lo que utilizamos en su demostración? Forma matricial de transformaciones lineales, el teorema de Cayley-Hamilton, polinomio característico, subespacios estables, teoría de dualidad, sistemas de ecuaciones lineales, resultados auxiliares de polinomios, etc. Es un resultado verdaderamente integrador.

En la siguiente entrada, la última del curso, hablaremos de algunas de las consecuencias del teorema de la forma canónica de Jordan. Discutiremos cómo lo podemos utilizar para clasificar a las matrices por similaridad. Veremos una aplicación con respecto a una matriz y su transpuesta. También, esbozaremos un poco de por qué en cierto sentido el resultado no sólo vale para las matrices cuyo polinomio se divide sobre el campo, sino que para cualquier matriz. Con ello terminaremos el curso.

Tarea moral

Calcula la forma canónica de Jordan $J$ de la matriz $A = (\begin{matrix} 1 & 0 & - 3 \\ 1 & - 1 & - 6 \\ - 1 & 2 & 5 \end{matrix}) .$ Además de encontrar $J$ , encuentra de manera explícita una matriz invertible $P$ tal que $A = P^{- 1} J P$ .
Calcula la forma canónica de Jordan de la matriz $(\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix})$
Explica y demuestra cómo obtener lo siguiente para una matriz de bloques de Jordan:
- Su polinomio característico.
- Su polinomio mínimo.
- Su determinante.
- Su traza.
- Sus eigenespacios.
Justifica con más detalle por qué la receta que se propone para calcular la forma canónica de Jordan en efecto funciona. Necesitarás varios de los argumentos que dimos en la entrada anterior.
Demuestra que una matriz $A \in M_{n} (F)$ para la cual su polinomio característico se divide en $F$ es diagonalizable si y sólo si cada bloque de cada matriz de bloques de la forma canónica de Jordan tiene tamaño $1$ .

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Álgebra Lineal II: Matrices y transformaciones nilpotentes

Por Elizabeth Chalnique Ríos Alvarado

2 respuestas

Introducción

Hemos estudiado varias clases importantes de matrices y transformaciones lineales: diagonales, triangulares superiores, simétricas, ortogonales, normales, etc. Es momento de aprender sobre otro tipo fundamental de matrices y transformaciones lineales: las transformaciones nilpotentes. Nos hemos encontrado con estas matrices ocasionalmente a lo largo del primer curso de álgebra lineal y de éste. Ahora las trataremos de manera más sistemática.

Matrices y transformaciones nilpotentes

En la última unidad estuvimos trabajando únicamente en $R$ o en $C$ . Los resultados que presentaremos a continuación son válidos para espacios vectoriales sobre cualquier campo $F$ .

Definición. Sea $A$ una matriz en $M_{n} (F)$ . Diremos que $A$ es nilpotente si $A^{m} = O_{n}$ para algún entero positivo $m$ . Al menor entero positivo $m$ para el cual suceda esto le llamamos el índice de $A$ .

Ejemplo 1. La matriz $A = (\begin{matrix} 3 & - 9 \\ 1 & - 3 \end{matrix})$ es nilpotente. En efecto, tenemos que $A^{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$ . Como $A^{1} \neq 0$ , entonces el índice de $A$ es igual a dos.

$△$

Tenemos una definición correspondiente para transformaciones lineales.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$ y sea $T : V \to V$ una transformación lineal. Diremos que que $T$ es nilpotente si $T^{m}$ es la transformación lineal cero para algún entero positivo $m$ . Al menor entero positivo $m$ para el cual suceda esto le llamamos el índice de $T$ .

Recuerda que por definición $T^{m}$ es la transformación $T$ compuesta consigo misma $m$ veces.

Ejemplo 2. Si estamos trabajando en el espacio $V = R_{n} [x]$ de polinomios reales de grado a lo más $n$ , entonces la transformación derivada $D : V \to V$ para la cual $D (p) = p^{'}$ es una transformación lineal nilpotente. En efecto, tras aplicarla $n + 1$ veces a cualquier polinomio de grado a lo más $n$ obtenemos al polinomio $0$ . Su índice es exactamente $n + 1$ pues derivar $n$ veces no anula al polinomio $x^{n}$ de $V$ .

Si estuviéramos trabajando en el espacio vectorial $R [x]$ de todos los polinomios reales, entonces la transformación derivada ya no sería nilpotente. En efecto, para cualquier $m$ siempre existe un polinomio tal que al derivarlo $m$ veces no se anula.

$△$

Bloques de Jordan de eigenvalor cero

Hay una familia importante de matrices nilpotentes.

Definición. Sea $F$ un campo. El bloque de Jordan de eigenvalor $0$ y tamaño $k$ es la matriz $J_{0, k}$ en $M_{k} (F)$ cuyas entradas son todas cero, a excepción de las que están inmediatamente arriba de la diagonal superior, las cuales son unos. En símbolos, $J_{0, k} = [a_{i j}]$ con $a_{i j} = {\begin{cases} 1 & si j = i + 1 \\ 0 & en otro caso. \end{cases}$

También podemos expresarlo de la siguiente manera:

$J_{0, k} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \end{matrix}),$ en donde estamos pensando que la matriz es de $k \times k$ .

Ejemplo 3. A continuación tenemos la matriz $J_{0, 4}$ :

$\begin{array}{r} J_{0, 4} = (\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Esta es una matriz nilpotente. En efecto, haciendo las cuentas de matrices correspondientes tenemos que:

$\begin{aligned} J_{0, 4}^{2} & = (\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{aligned}$

Luego que

$\begin{aligned} J_{0, 4}^{3} & = J_{0, 4} J_{0, 4}^{2} \\ = (\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{aligned}$

Y finalmente que

$\begin{aligned} J_{0, 4}^{4} & = J_{0, 4} J_{0, 4}^{3} \\ = (\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{aligned}$

De esta manera, hay una potencia de $J_{0, 4}$ que se hace igual a cero. Como la mínima potencia es $4$ , entonces $J_{0, 4}$ es nilpotente de índice $4$ . Observa cómo la diagonal de unos «se va recorriendo hacia arriba a la derecha».

$△$

Todos los bloques de Jordan son nilpotentes

El siguiente resultado generaliza el ejemplo anterior y nos da una mejor demostración, interpretando a la matriz como transformación lineal.

Teorema. La matriz $J_{0, k}$ es nilpotente de índice $k$ .

Demostración. Veamos qué hace la matriz $J_{0, k}$ cuando la multiplicamos por un vector: $J_{0, k} (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \\ x_{k - 1} \\ x_{k} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \\ x_{k - 1} \\ x_{k} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ ⋮ \\ x_{k} \\ 0 \end{matrix}) .$

En otras palabras, la matriz $J_{0, k}$ «recorre» las entradas del vector hacia arriba «empujando» con ceros desde abajo. Al hacer esto $k$ veces, claramente llegamos al vector $0$ , así, $J_{0, k}^{k}$ está asociada a la transformación lineal cero y por lo tanto es la matriz $O_{k}$ . Y $J_{0, k}^{k - 1}$ no es la matriz cero pues al aplicarla en $e_{k}$ , el $k$ -ésimo vector de la base canónica de $F^{k}$ tenemos por las mismas ideas de arriba que $J_{0, k}^{k - 1} e_{n} = e_{1}$ .

Una caracterización de matrices y transformaciones nilpotentes

El siguiente resultado nos da algunas equivalencias para que una transformación sea nilpotente.

Proposición. Sea $A \in M_{n} (F)$ una matriz. Todo lo siguiente es equivalente:

$A$ es nilpotente.
El polinomio mínimo de $A$ es de la forma $μ_{A} (X) = X^{k}$ .
El polinomio característico de $A$ es $χ_{A} (X) = X^{n}$ .

Demostración. $1) \Rightarrow 2) .$ Si $A$ es nilpotente, entonces hay un entero $m$ tal que $A^{m} = O_{n}$ . Entonces, el polinomio $p (X) = X^{m}$ anula a la matriz $A$ . Pero el polinomio mínimo divide a cualquier polinomio que anule a $A$ , entonces $μ_{A} (X) | X^{m}$ , de donde $μ_{A} (X)$ debe ser también de la forma $X^{k}$ . De hecho, no puede suceder que $k < m$ pues en dicho caso como el polinomio mínimo anula a la matriz, tendríamos que $A^{k} = O_{n}$ , pero esto es imposible pues $m$ es el menor entero tal que $A^{m} = O_{n}$ . Así, en este caso $k$ es justo el índice de $A$ .

$2) \Rightarrow 3) .$ Supongamos que el polinomio mínimo de $A$ es de la forma $μ_{A} (X) = X^{k}$ . Como el polinomio mínimo anula a la matriz tenemos que $A^{k} = O_{n}$ . Tomemos un escalar $λ$ en $F$ fijo. Tenemos que:

$\begin{aligned} λ^{k} I_{n} & = λ^{k} I_{n} - A^{k} \\ = (λ I_{n} - A) (λ^{k - 1} I_{n} + λ^{k - 2} A + \dots + λ A^{k - 2} + A^{k - 1}) \end{aligned}$

Al tomar determinante de ambos lados y usando en la derecha la multiplicatividad del determinante, tenemos:

$det (λ^{k} I_{n}) = det (λ I_{n} - A) det (λ^{k - 1} I_{n} + λ^{k - 2} A + \dots + λ A^{k - 2} + A^{k - 1}) .$

Del lado izquierdo tenemos $det (λ^{k} I_{n}) = λ^{n k}$ . Del lado derecho tenemos $χ_{A} (λ)$ multiplicado por otra expresión polinomial en $λ$ , digamos $P (λ)$ . Como esto se vale para todo escalar $λ$ , se vale polinomialmente que $X^{n k} = χ_{A} (X) P (X)$ . Así, $χ_{A} (X) | X^{n k}$ y como el polinomio característico es de grado exactamente $n$ , obtenemos que $χ_{A} (X) = X^{n}$ .

$3) \Rightarrow 1) .$ Si el polinomio característico de $A$ es $χ_{A} (X) = X^{n}$ , entonces por el teorema de Cayley-Hamilton tenemos que $A^{n} = O_{n}$ , de donde $A$ es nilpotente.

Como consecuencia del teorema anterior, obtenemos los siguientes resultados.

Corolario. Si $A$ es una matriz nilpotente en $M_{n} (F)$ , entonces $A^{n} = O_{n}$ y por lo tanto el índice de $A$ es menor o igual a $n$ . Análogamente, si $T : V \to V$ es nilpotente y $\dim (V) = n$ , entonces el índice de $T$ es menor o igual a $n$ .

Corolario. Si $A$ es una matriz nilpotente en $M_{n} (F)$ , entonces su traza, su determinante y cualquier eigenvalor son todos iguales a cero.

Más adelante…

En esta entrada definimos a las matrices y transformaciones nilpotentes. También enunciamos algunas de sus propiedades. En la siguiente entrada enunciaremos nuestra primer versión del teorema de Jordan, en donde nos enfocaremos únicamente en lo que nos dice para las matrices nilpotentes. Esto servirá más adelante como uno de los peldaños que usaremos para demostrar el teorema de Jordan en general.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Encuentra una matriz nilpotente de índice $2$ en $M_{7} (R)$ . En general, para cualquier entero positivo $n$ y cualquier entero $k$ con $1 \leq k \leq n$ , da una forma de construir una matriz nilpotente de índice $n$ en $M_{n} (R)$ .
Encuentra una matriz con determinante cero y que no sea una matriz nilpotente. Encuentra una matriz con traza cero y que no sea una matriz nilpotente.
Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$ . Demuestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. Una transformación $T : V \to V$ es nilpotente de índice $k$ .
2. Alguna forma matricial de $T$ es nilpotente de índice $k$ .
3. Todas las formas matriciales de $T$ son nilpotentes de índice $k$ .
4. $T^{n}$ es la transformación lineal $0$ .
Demuestra los dos corolarios al final de la entrada. Como sugerencia para el segundo, recuerda que la traza, determinante y los eigenvalores de una matriz están muy relacionados con su polinomio característico.
Prueba que la única matriz nilpotente diagonalizable en $M_{n} (F)$ es $O_{n}$ .

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