«Se entiende por un conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente».
Georg Cantor
Para iniciar tu aventura por la teoría de los conjuntos es importante plantear un sistema axiomático pues en este curso entenderemos por conjunto todo aquello que los axiomas nos permitan obtener como conjunto. Una particularidad de nuestros axiomas es que los elementos de conjuntos siempre serán otros conjuntos y es que de hecho en este curso todo es conjunto.
Axioma de existencia
Para siquiera hablar de conjuntos, es importante garantizar que hay por lo menos un conjunto. El axioma de existencia nos garantiza eso.
Axioma de existencia. Existe un conjunto que no tiene elementos.
Hay diversas formas para describir a un conjunto que no tiene elementos. Una de las propiedades que podemos utilizar es la siguiente:
«$P(x): x\ \text{es un conjunto distinto de sí mismo}$».
Si lo piensas, no existe nadie que cumpla esta propiedad pues cualquier conjunto que demos siempre será igual a sí mismo. Una forma de imaginarnos a este conjunto es pensar en una bolsa que no tenga nada adentro, como se muestra en la siguiente imagen.
Ten cuidado, pues esta manera de pensar a un conjunto sin elementos es informal. Sin embargo, en los ejercicios al final, verás cómo formalizarla.
La siguiente noción importante que nos dan los axiomas es la de igualdad de conjuntos.
Axioma de extensión. $X=Y$ si para cualquier conjunto $x$, $x\in X$ si y sólo si $x\in Y$.
Este axioma nos permite decir cuándo dos conjuntos $X$ e $Y$ son iguales. Esto ocurre cuando todos los conjuntos que son elementos de $X$ también lo son de $Y$ y viceversa.
Definición. Sean $X$ y $Y$ conjuntos. Diremos que $X$ está contenido en $Y$, en símbolos $X\subseteq Y$, si para todo $x\in X$ se tiene $x\in Y$.
Para demostrar la igualdad entre conjuntos, tenemos que probar que $X\subseteq Y$ y $Y\subseteq X$ de acuerdo al axioma de extensión.
Con este axioma y la definición de contención, podemos probar que el conjunto que nos otorga el axioma de existencia es único. Podríamos pensar, a partir de nuestra imagen anterior, que si tenemos dos bolsas de un color distinto que no tengan nada adentro, resultarían en dos conjuntos distintos. Sin embargo, dado que solo nos interesa quienés son los elementos de estas bolsas, si ambas no tienen nada adentro resultará que son iguales.
Antes de realizar la demostración de que el conjunto que nos da el axioma de existencia es único, acordaremos que, para demostrar la igualdad entre conjuntos $x$ y $y$, es necesario demostrar que $x\subseteq y$ y $y\subseteq x$, por lo que para referirnos a que se esta demostrando la primera contención pondremos «$\subseteq$]» al inicio de la prueba y para probar la segunda contención pondremos «$\supseteq$]» al inicio de la prueba.
Previo a realizar la demostración haremos una pausa para hablar acerca del argumento por vacuidad. En la entrada anterior hicimos mención de que las propiedades en el lenguaje de la teoría de los conjuntos nos permitirian describir propiedades que pueden o no satisfacer conjuntos dados.
De esta manera, si consideramos a $z$ como un conjunto sin elementos, la propiedad $\forall x(x\in z\rightarrow \varphi(x))$ es verdadera siempre, pues no hay conjunto $x$ que cumpla la propiedad ya que $z$ no tiene elementos.
Proposición. Existe un único conjunto sin elementos.
Demostración. Sean $A$ y $B$ conjuntos que no tienen elementos, veamos que $A=B$.
$\subseteq$] Por vacuidad, si $x\in A$, entonces $x\in B$, pues no hay nadie en $A$.
$\supseteq$] Por vacuidad, si $x\in B$, entonces $x\in A$, pues no hay nadie en $B$.
Por lo tanto, $A=B$.
$\square$
Definición. Al único conjunto que no tiene elementos le llamaremos conjunto vacío y será denotado por $\emptyset$.
Presentamos el último ingrediente axiomático de esta entrada. En vez de llamarse «axioma» se llama «esquema» pues condensa muchos axiomas, uno por cada propiedad $P$ y cada conjunto $A$.
Esquema de comprensión. Sea $P(x)$ una propiedad. Para cualquier conjunto $A$ existe un conjunto $B$ tal que $x\in B$ si y sólo si $x\in A$ y satisface $P(x)$.
Este esquema nos permite construir conjuntos con elementos de otro conjunto que satisfacen una propiedad. Esto último evitará tener contradicciones como la paradoja del barbero que veremos en la siguiente entrada.
Tarea moral
Da 2 propiedades diferentes tal que para cualquier conjunto que des, no exista un conjunto que las cumpla y nos den otra forma de escribir al conjunto vacío.
¿Es verdadero o falso $\emptyset\in \emptyset$? Argumenta tu respuesta.
Prueba que si $P(x)$ es una propiedad, para todo conjunto $A$ existe un único conjunto $B$ tal que $x\in B$ si y sólo si $x\in A$ y $P(x)$. (Esto prueba que el conjunto que nos otorga el esquema de comprensión es único).
Imagina que cambiamos el axioma de existencia por «Existe por lo menos un conjunto $X$.» Mediante este nuevo axioma y el esquema de comprensión, demuestra la existencia del conjunto vacío. Como sugerencia usa la discusión intuitiva que dimos del vacío.
Más adelante…
En esta entrada hablamos de axiomas básicos y de construcción, los cuales nos permitirán hablar de nuevos conjuntos, así mismo, con ellos probaremos teoremas importantes de la teoría de los conjuntos. En la siguiente sección, abordaremos una de las famosas paradojas que tiene las matemáticas en esta área, la cual es conocida como la paradoja del barbero o la paradoja de Russell.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
Habiendo establecido los axiomas de la teoría de conjuntos, ahora vamos a empezar a trabajar con ellos. En particular en esta entrada nos intereseran tres operaciones: La intersección, la unión y el complemento de conjuntos.
Pensando en conjuntos
Para empezar a hablar de las operaciones que usaremos, pues primero debemos de ponernos de acuerdo a qué nos referiremos y qué queremos construir cuando hablamos de operaciones. Para estos fines, nos interesa qué podemos hacer con los conjuntos y cómo se relacionan los unos a los otros. Por ejemplo: ¿Habrá algunos elementos que pertenezcan a dos conjuntos a la vez? o ¿Qué pasa con el con elementos que sí están en unos conjuntos y en otros no? Pues veremos algunas operaciones, sin embargo hay que ver la idea intuitiva detrás de algunos de ellos.
Será bueno que de igual manera tengas los axiomas a la mano, pues serán útiles para la definición de algunas de estas operaciones:
Axioma 1
Existe un conjunto.
Axioma 2
Podemos hacer conjuntos a partir de proposiciones que cumplen o no cumplen elementos de algún conjunto.
Axioma 3
Si $X$ y $Y$ son conjuntos, entonces $\{X,Y\}$ es un conjunto.
Axioma 4
Dos conjuntos son iguales si todos sus elementos son iguales.
Axioma 5
Existe un conjunto que tiene como elementos a todos los elementos que pertenecen a algún elemento de $X$.
Axioma 6
Para cada conjunto $X$, existe su conjunto potencia $\mathcal P (X)$ cuyos elementos son los subconjuntos de $X$.
Intersección
Supongamos que tenemos dos conjuntos $X,Y$ de números enteros positivos del 1 al 20. $X$ es el conjunto de los números pares y $Y$ es el conjunto de los números primos. Entonces $X$ lo podemos ver como:
Mientras que $Y$ se podría ver como:
Nota que hay un elemento en común con ambos conjuntos, pues $2$ es el único par primo, es decir hay un punto de intersección que es el $2$:
En este caso diremos que $2$ se encuentra en la intersección de $X$ con $Y$, pues está en ambos conjuntos. Con esto en mente definiremos la intersección:
Definición. Sean $X$ y $Y$ dos conjuntos, entonces el conjunto intersección de $X$ y $Y$, $X \cap Y$ es: $$X\cap Y = \{x \in X : x \in Y\} $$
En nuestro ejemplo anterior, $X=\{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20\}, Y=\{2,3,5,7,11,13,17,19\}$, y $X \cap Y = \{2\}$ pues es el único par primo.
Como puedes ver, gráficamente el área que representa la intersección entre dos conjuntos es:
Ahora vamos a ver algunas propiedades como: la conmutatividad y la asociatividad .
Proposición. La intersección es conmutativa, es decir: $$X \cap Y = Y \cap X .$$
Demostración. Recuerda que por el axioma 4, tenemos que demostrar dos cosas: primero que $X \cap Y \subset Y \cap X$ y después que $Y \cap X \subset X \cap Y$. Vas a ver una similitud en demostrar este tipo de proposiciones de igualdad de conjuntos a las demostraciones que usan el «si y solo si», pues primero tendremos que demostrar la contención de «ida» y después la del «regreso». Y esto tiene sentido, pues demostrar la igualdad entre conjuntos es demostrar la doble implicación de que un elemento pertenezca a alguno de los dos conjuntos, pues habría que demostrar:
$$\forall x \big( x \in X \cap Y \Leftrightarrow x \in Y \cap X) .$$
Así que empezamos nuestra demostración probando una contención.
$\subset)$ Consideremos $x \in X\cap Y$. Para demostrar que $X \cap Y \subset Y \cap X$, habría que demostrar que cada elemento del primer conjunto se encuentra en el segundo, así que hay que demostrar que $ x \in Y \cap X$. Para ello, nota que $$X \cap Y = \{x \in X: x \in Y\} = \{x \in X: P(x)\}$$ son los elementos de $X$ que cumplen la proposición $P(x):x \in Y$. Entonces sabemos que $x \in Y$. Por otro lado, sabemos que la proposición $Q(x): x \in X$ se cumple, entonces $x$ pertenece al conjunto
$$x \in \{y \in Y: Q(y)\} = \{y \in Y: y \in X\} = Y \cap X$$
puesto que $x$ pertenece a $Y$ y cumple $Q(x)$. De esta forma $X \cap Y \subset Y \cap X$.
$\supset )$ Nota que para demostrar la otra contención, únicamente deberíamos copiar la demostración anterior cambiando de lugar $X$ con $Y$, es decir que nuestra demostración sería muy parecida a la primera contención que hicimos. Lo podríamos poner tal cual haciendo los cambios mencionados, sin embargo puede ser redundante. En este caso diremos que «La demostración de este caso es análoga a la anterior», que significa: para hacer esta demostración tendríamos un razonamiento muy parecido a la anterior sin ningún modificación interesante, pues seguiríamos los mismos pasos. Muchas veces verás este tipo de oraciones en demostraciones, siendo una herramienta para ahorrar palabras y no ser redundante, pues el razonamiento para hacer alguna demostración (en este caso la segunda contención), sigue un razonamiento casi idéntico a algo ya hecho (en este caso la primera contención).
De esta manera, al ser esta contención análoga a la anterior, $Y \cap X \subset X \cap Y$
$\square$
Proposición. La intersección es asociativa, es decir $$X \cap (Y \cap Z) = (X \cap Y) \cap Z$$.
Demostración. Podríamos hacer esta demostración como la anterior donde hicimos la conmutatividad, sin embargo emplearemos otro razonamiento en donde cada uno de los pasos es válido. Para ello nota que queremos demostrar que $$X \cap (Y \cap Z) = (X \cap Y) \cap Z$$ y que $$(X \cap Y) \cap Z = X \cap (Y \cap Z)$$. Y para esto debemos de demostrar que $$\big( x \in X \cap (Y \cap Z) \big) \Leftrightarrow \big(x \in (X \cap Y) \cap Z\big).$$
Ahora nota que
\begin{align*} x \in X \cap (Y \cap Z)& \Leftrightarrow (x \in X) \land \big((x \in Y)\land(x \in Z) \big)\\ & \Leftrightarrow \big((x \in X) \land (x \in Y)\big) \land (x \in Z) \ \ \ (\text{Por la asociatividad de la disyunción}) \\ & \Leftrightarrow x \in (X \cap Y) \cap Z \\ \end{align*}
De esta manera hicimos una cadena de equivalencias lógicas válidas, empezamos con un elemento en el conjunto $X \cap (Y \cap Z)$ y demostramos que ese elemento estaba en $(X \cap Y) \cap Z$ y viceversa. Esto lo hicimos con el conocimiento que ya sabíamos, y como antes ya habíamos demostrado que la disyunción es asociativa, entonces cada paso lógico es válido y con esto demostramos la igualdad entre conjuntos.
$\square$
Unión
Ahora en vez de fijarnos en donde dos conjuntos se intersectan, pensemos en cuando dos conjuntos se unen. Para esto, considera el siguiente ejemplo. Digamos que $X = \{ 1,2,3,4,5\}$ y $Y = \{4, 5,6,7 \}$ son conjuntos de números enteros.
Los conjuntos $X,Y$ son los siguientes:
El siguiente paso es construir el conjunto que tiene como elementos a los elementos de ambos conjuntos ¿Recuerdas el axioma 4? Este nos hablaba de un conjunto que contiene a todos los elementos que son elementos del mismo conjunto. Suena confuso pero este axioma junto al axioma 3 justifican la existencia de este conjunto. Veamos como lo podemos construir:
Por el axioma 3, existe el conjunto $\{X,Y\}$, es decir que existe el conjunto $A = \{\{1,2,3,4,5\}\{4,5,6,7\}\}$.
Después, como existe este conjunto $A$, por el axioma 4, existe un conjunto cuyos elementos son elementos que pertenecen a elementos de $\{X,Y\}$, entonces para dicho conjunto que llamaremos $X \cup Y$, sus elementos son $$X \cup Y = \{x: x \in X \lor x \in Y\}$$.
Entonces el conjunto unión de $X$ y $Y$ $X \cup Y = \{1,2,3,4,5,6,7\}$, pues es el conjunto que contiene a todos los elementos de ambos conjuntos.
Definición. El conjunto unión de dos conjuntos $X,Y$ es el conjunto: $$X \cup Y = \{x: x \in X \lor x \in Y\} $$
De manera gráfica, podemos ver la unión como:
Ahora enunciaremos las proposiciones que demostramos para la intersección, pero ahora usando la unión:
Proposición. La unión es conmutativa.
Demostración. Considera a $X$ y $Y$ dos conjuntos, entonces
\begin{align*} x \in X \cup Y & \Leftrightarrow (x \in X) \lor (x \in Y)\\ & \Leftrightarrow (x \in Y) \lor (x \in X) \ \ \ (\text{Por la conmutatividad de la conjunción}) \\ & \Leftrightarrow x \in Y \cup X \end{align*}
$\square$
Proposición. La unión es asociativa.
Para esta última no daremos demostración, sin embargo es una demotración parecida a su contraparte de la intersección.
Una vez que hemos establecido estas dos operaciones, solo falta una más por revisar ahora. Si la intersección es la disyunción y la unión es la conjunción, la siguiente que definiremos es la negación.
Complemento de conjuntos
Cuando estemos hablando de conjuntos, muchas veces estaremos dentro de un contexto de conjuntos, o un Conjunto universal, dentro del cual siempre estaremos trabajando. Por ejemplo, si estamos en cálculo de una variable, todos los conjuntos o casi todos sobre los que estemos trabajando serán conjuntos de números reales. Nota ahora que cuando estuvimos dando los ejemplos de conjuntos paraexplicar la unión y la intersección, decíamos que $X,Y$ eran conjuntos de números enteros. Es decir, estábamos acordando que nuestro conjunto universal eran los números enteros $\mathbb{Z}$.
Muchas veces el contexto sobre el conjunto universal sobre el que estamos trabajando no será especificado y se puede inferir, pues si estamos trabajando por ejemplo con números reales, no es posible que un conjunto tenga números complejos, por ejemplo.
Ahora con esto acordado, vamos a ver que cualquier conjunto $X$ en un conjunto universal $U$ se puede escribir de la siguiente manera: $$ X = \{x \in U: x \in X\}.$$
Es decir, podemos escribir al conjunto $X$ como los elementos del conjunto universal que están en $X$. Así, definiremos el complemento de $X$ o $X^c$ como: $$X^c = \{x \in U:x \not \in X\}. $$
Definición. Sea $X$ un conjunto sobre el conjunto universal $U$, entonces definimos el complemento de $X$ como $$X^c = \{x \in U: x\not \in X\}^* $$
Por ejemplo, considera $X = \{2,4,6,8,10\}$ al conjunto de los números pares dentro del conjunto de los números enteros del 1 al 10. Entonces en este caso $U = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ y su complemento es $X^c = \{1,3,5,7,9\}$.
Gráficamente, podemos ver al complemento como:
Algunas de las cosas que podemos decir del complemento son:
Proposición. Sea $X$ un conjuntos dentro del conjunto universal $U$. Entonces:
$X \cup X^c = U$
$U^c = \emptyset$
Demostración.
Esta proposición nos quiere decir que un conjunto junto al complemento «llenan» todo el espacio. Para esto, nota que \begin{align*} x \in X^c \cup X & \Leftrightarrow x \in X^c \lor x \in X \\ & \Leftrightarrow x \in \{x \in U : x \in X \lor x \not \in X\} \end{align*} Ahora nota que $P(x): x \in X \lor x \not \in X$ es una tautología, es decir, cualquier elemento de $U$ cumple dicha definición, así, \begin{align*} x \in X^c \cup X & \Leftrightarrow x \in X^c \lor x \in X \\ & \Leftrightarrow x \in \{x \in U : x \in X \lor x \not \in X\}\\ & \Leftrightarrow x \in U \end{align*}
Nota primero que ya hemos dicho que $\emptyset$ es subconjunto de cualquier conjunto, así se tiene la contención $\emptyset \subset U$. Para la otra contención, supón que no sucede que $U \subset \emptyset$. Entonces se tiene que existe un elemento $x\in U$ que cumple:$$ x\in \{x \in U: x \not \in U\}. $$ Donde se tendría que $x \in U \land x \not \in U$, lo cual es imposible. Entonces $U \subset \emptyset$. De esta manera se tiene la igualdad entre conjuntos.
$\square$
Nota
*: En la literatura, también puedes encontrar escrito el complemento de un conjunto $A$ escrito como $\bar A$ en lugar de $A^c$
Más adelante…
Ahora ya hemos visto tres operaciones básicas en la teoría de conjuntos, junto a la definición del conjunto universal, que recuerda: no siempre verás implícitamente y puede ser un conjunto que dependa del contexto. En la siguiente entrada veremos dos operaciones más que se pueden definir en términos de las que vimos ahora, así como otras propiedades de las operaciones.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
Sea $N = \{1,2,3,4,6,9,10,15,20,30\}$ y $X = \{x \in \mathbb{Z}: x= 2n, n \in N \}$, encuentra:
$X \cap N$
$X \cup N$
Demuestra que la unión es asociativa.
Demuestra que la unión de subconjuntos de un conjunto $X$ siempre está contenida en $X$.
Demuestra que si $Y \subset X $ y $Z \subset X$ entonces $Y \cup Z \subset X$
Demuestra que si $X \subset Y$ son dos conjuntos, entonces:
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
Hasta ahora, hemos introducido intuitivamente la idea de qué es un conjunto, cómo describirlos y qué representan. En esta entrada vamos a hablar de tres temas importantes para trabajar con más ideas de los conjuntos: contención, subconjuntos y conjunto potencia.
Las primeras dos van de la mano, y serán una forma de definir subcolecciones dentro de una colección (a la que ahora llamamos conjunto) y nos permitirán manejar con mayor facilidad conceptos que veremos más adelante sobre las operaciones entre conjuntos.
Mientras tanto, el conjunto potencia nos hablará de la forma de combinar elementos dentro de un mismo conjunto, que es un concepto que tiene propiedades muy interesantes.
Estos tres conceptos serán fundamentales para axiomatizar la teoría de los conjuntos.
Axiomatizando los conjuntos
En la entrada pasada, dimos una peequeña introducción a la teoría de conjuntos. Hablamos de su idea intuitiva y algunos ejemplos de su uso en otras materias. Ahora nos toca entrar un poco más en fondo a sus reglas, esto es, sus axiomas.
Para poder hablar de los conjuntos, su idea y la forma en que se manejan, vamos a establecer algunos axiomas que describirán la teoría de conjuntos. Todo objeto matemático que sigan el sistema axiomático, serán conjuntos. Para ello, primero es fundamental declarar que existen los conjuntos, de otra forma no estaríamos trabajando con nada:
Axioma 1. Existe al menos un conjunto.
Este axioma nos permitirá trabajar con conjuntos, pues nos asegurará que al menos existe un conjunto $V$ con el que podremos trabajar los siguientes axiomas. Sin este axioma, no podríamos seguir trabajando la teoría, pues no tendríamos con qué trabajar.
Los siguientes axiomas serán los que nos darán la intuición de qué se puede y no puede hacer con un conjunto.
Axioma 2. Si X es un conjunto y $P(x)$ es una proposición que depende de elementos $x \in X$, entonces:
$$\{x \in X : P(x) \text{ se cumple}\} $$
también es un conjunto.
En la entrada pasada, dimos una idea intuitiva de este axioma, que nos dice que si tenemos un conjunto $X$ y cualquier proposición $P(x)$ de elementos de $X$ entonces podemos construir nuevos conjuntos a partir de los elementos de $X$ que cumplen cierta propiedad. Por ejemplo, piensa que $X$ es el conjunto de todos los zapatos, entonces un conjunto nuevo puede formarse a partir de la proposición $P(x): $»$x$ es amarillo», entonces el nuevo conjunto $\{ x \in X : P(x) $ se cumple $\}$ es el conjunto de los zapatos amarillos. Otro ejemplo de esto, sería el conjunto de los números pares que podemos definir a partir de los números enteros $\mathbb{Z} = \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}$. Los número pares se pueden definir como: $2\mathbb{Z} = \{x \in \mathbb{Z} : x = 2n, n \in \mathbb{Z} \}$ es decir, es el conjunto creado por los número enteros multiplicados por dos.
Creando el conjunto vacío.
Antes de seguir con los demás axiomas, vamos a mostrar una consecuencia de los dos primeros axiomas. Observa que por el primer axioma, existe al menos un conjunto al que llamaremos $X$. Y el segundo axioma nos dice que con cualquier conjunto, se puede obtener un conjunto a partir de aquellos elementos que cumplan alguna proposición que depende de elementos de $X$, entonces consideremos la siguiente propocisión:
$$P(x) : x \neq x $$
Esta proposición nos dice que un objeto $x$ no es igual a sí mismo, lo cual es imposible, ninguna cosa u objeto matemático va a cumplir esta proposición. Es decir:
$$\forall x (\neg P(x)) $$
se cumple. ¿Entonces qué conjunto será el conjunto: $\{x \in X : P(x)\} = \{x \in X : x \neq x\} $?
Pues es un conjunto que no tiene a ningún elemento, pues ningún elemento $x$ de $X$ puede cumplir esa definición. Esto no representa ninguna contradicción a algún axioma, lo que nos dice es que existe un conjunto que no tiene a ningún elemento. A este conjunto lo conocemos como conjunto vacío y lo representamos como $\emptyset$. A veces también lo encontrarás como unas llaves sin nada adentro, es decir $\{\}$.
Una vez dicho esto, vamos construyendo poco a poco más resultados, sigamos con los siguientes axiomas:
Axioma 3. Si $X$ y $Y$ son conjuntos, entonces $\{X,Y\}$ es un conjunto.
Esto nos permite «poner» conjuntos, dentro de un conjunto. Es decir, podemos hacer dos conjuntos en los que cada elemento sea un conjunto. Por ejemplo, considera $X = $ el conjunto de zapatos amarillos y $Y = $ el conjunto de los Blergs. Entonces existe el conjunto $Z=\{X,Y\}$ un conjunto que solo tiene dos elementos: el conjunto de los zapatos amarillos y el conjunto de los Blergs. OJO: un zapato amarillo NO pertenece al conjunto $Z$, lo que sí pertenece al conjunto es el conjunto de todos los zapatos amarillos. Es decir, si $x$ es un zapato amarillo, entonces $x \in X$ pero no sucede que $x \in Z$. Lo que sí sucede es $X \in Z$.
De este axioma, podemos deducir la siguiente proposición:
Proposición: Si $X$ es un conjunto entonces $\{X\}$ tambien es un conjunto.
Demostración. Sea $X$ un conjunto. No hay nada en la definición del axioma 3 que impida que $X=Y$, entonces lo que nos dice el axioma es que si tenemos dos conjuntos $X,Y$ donde $X=Y$ entonces el conjunto $W=\{X,Y\}$ es un conjunto, y podemos reescribir este como $\{X,X\}$. Ahora, recuerda que hemos dicho con anterioridad que realmente al describir a un conjunto, solo nos interesan los elementos distintos que lo conforman, es decir, está de más repetir dos veces $X$ dentro de los corchetes que representan los elementos del conjunto $W$, entonces $W=\{X\}$ es un conjunto.
$\square$
Axioma 4. Si $X$ y $Y$ son dos conjuntos, diremos que $X=Y$ (el conjunto $X$ es igual al conjunto $Y$) si tienen exactamente los mismos elementos. Esto se puede describir usando lógica proposicional de la siguiente manera:
$$\big( X=Y\big) \Leftrightarrow \forall x\big(x \in X \Leftrightarrow x \in Y \big)$$
Axioma 5. Si $X$ es un conjunto, entonces el conjunto de los elementos que pertenecen a por lo menos un elemento de $X$ forman un conjunto (unión).
Vamos a leer con más calma el axioma. Primero tenemos un conjunto $X$, digamos el conjunto de todos los grupos dentro de una universidad. Entonces un alumno de esa universidad pertenece al menos a algún grupo. De esta manera, el conjunto de todos los alumnos de la universidad, forma un conjunto. Veamos esto con notación matemática:
Sea $U$ los grupos de la universidad: $\{G_1,G_2,G_3\}$, es decir, cada elemento cada grupo está formado de estudiantes, es decir cada alumno es elemento de un grupo, digamos
$$G_1 = \{A_1,A_2,A_3\}$$
$$G_2 = \{B_1,B_2,B_3\}$$
$$G_3 = \{C_1,C_2,C_3\}$$
Entonces el axioma nos dice que el conjunto de todos los elementos (alumnos) que pertenecen al menos a un elemento de $X$ (grupos del conjunto $U$), forma otro conjunto. En nuestro caso, sería el conjunto de todos los alumnos: $\{A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3,C_1,C_2,C_3\}$.
Quizá esta idea de «los elementos de un conjunto a su vez también tienen elementos» puede ser un poco difícil de entender y quizá hasta un poco filosófica: ¿Hasta qué punto podríamos usar el raciocinio para extraer las partes que componen a un todo? Es decir: Si consideramos el conjunto de todos los zapatos: ¿Qué significa ahora que haya un elemento que pertenezca a un zapato? las respuestas pueden ser variadas, y puede que incluso se te ocurran unas distintas a otra persona que lea esto, así que velo de la siguiente forma: si tenemos la capacidad de hacer una intuición de separar un elemento de algún conjunto en sus partes, entonces podemos hacer otro conjunto con esas partes. Conforme vayas avanzando en tu carrera matemática, vas a poder ir aclarando muchas de estas ideas, volveremos a este axioma más adelante.
Para el siguiente axioma, primero introduciremos algunos conceptos:
Contención entre conjuntos
Recuerda que los conjuntos los pensamos como «colecciones de algo», pueden ser conjuntos de zapatos, conuntos de autos o conjuntos de animales, por mencionar algunos. Para introducir el axioma que sigue, primero hablaremos de la contención y para explicarlo, veamos el conjunto de unas criaturas a las que les llamamos Blorgs y nos ayudaron en la entrada anterior. Lo que tienes que saber de ellos, es que se dividen en Blargs, Blergs y Blurgs según su color (amarillo,rojo y azul respectivamente), como lo puedes ver en la siguiente imagen:
Ahora, llamemos a los 3 Blargs: «blargmino», «blargastacia» y «blargencio», de manera que el conjunto de los Blargs es:
Ahora, nota que decimos que «blargmino pertenece al conjunto de los Blorgs», pero a su vez también pertenece al conjunto de los Blargs, entonces también podríamos decir blargmino pertenece al conjunto de los Blorgs». ¿Notas que no necesitamos rigor al decir qué es y qué no es un conjunto? Con el simple hecho de poder abstraer sus partes o elementos, es suficiente. Pero ahora surge una pregunta natural: ¿Existe alguna relación entre el conjunto de los $B_a$ Blargs y el conjunto $B_o$ de todos los Blorgs? En cuyo caso, nota que:
$$\forall x(x \in B_a \Rightarrow x \in B_o) $$
Es decir, todo blarg es un blorg. Diremos entonces que los Blargs con un subconjunto de los Blorgs. Ya que todo elemento de $B_a$ está en $B_o$.
Definición. Sean $A$ y $B$ dos conjuntos. Diremos que $A$ es un subconjunto de $B$ o que $A$ está contenido en $B$ si:
$$\forall x(x \in A \Rightarrow x \in B). $$
Y lo escribiremos como $A \subset B$*
Ahora, nota que cualquier conjunto contiene al conjunto vacío.
Proposición. Sea $X$ un conjunto, entonces $\emptyset \subset X$.
Demostración. Vamos a demostrar esto por contradicción, suponiendo que $\emptyset \not \subset X$, es decir supongamos que $\neg \big( \forall x(x \in \emptyset \Rightarrow x \in X) \big) = \exists x(x \in \emptyset \land x \not \in X) $. Entonces bajo nuestra suposición, existe un elemento $x$ en $\emptyset$ pero $x \not \in X$. ¿Puedes ver porqué esto es una contraidcción? Pues estamos suponiendo que existe un elemento en $\emptyset$, pero por la forma en que definimos al conjunto vacío, esto significaría que existe un elemento $x$ que cumple que $x \neq x$, lo cual es imposible. ¿Cuál fue nuestro error? Pues suponer que no se cumplía $\emptyset \subset X$. Por lo tanto, $\emptyset \subset X$
$\square$
Axioma 6. Si $X$ es un conjunto, entonces existe un conjunto conformado por todos los subconjuntos de $X$. Nos referiremos a este conjunto como el conjunto potencia y lo denotaremos por $\mathcal P (X)$.
Nota que nuestra definición de un subconjunto $Y$ de $X$ nos pide que todo elemento de $Y$ esté en $X$, así que el conjunto potencia será aquel conjunto en el que cada elemento será un conjunto que es subconjunto de nuestro conjunto original. Pongamos un ejemplo para que lo veas mejor:
Ejemplo. Considera al conjunto $X = \{1,2,3\}$ el conjunto con los números enteros del $1$ al $3$, entonces el conjunto potencia está dado por todos sus subconjuntos: $\emptyset, \{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\}$ es decir, el conjunto potencia de $X$ es: $$\mathcal P(X) =\{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}, X\} $$
Con estos seis axiomas serán con los que trabajaremos, en resumen, los axiomas son los siguientes:
Axioma 1
Existe un conjunto.
Axioma 2
Podemos hacer conjuntos a partir de proposiciones que cumplen o no cumplen elementos de algún conjunto.
Axioma 3
Si $X$ y $Y$ son conjuntos, entonces $\{X,Y\}$ es un conjunto.
Axioma 4
Dos conjuntos son iguales si todos sus elementos son iguales.
Axioma 5
Existe un conjunto que tiene como elementos a todos los elementos que pertenecen a algún elemento de $X$.
Axioma 6
Para cada conjunto $X$, existe su conjunto potencia $\mathcal P (X)$ cuyos elementos son los subconjuntos de $X$.
Notas
*: Algunos autores usan la notación $\subseteq$ para detonar que «el subconjunto está contenido estrictamente o es igual», por ejemplo si decimos «X \subseteq Y» diremos que cada elemento de $X$ está en $Y$ entonces puede que $X$ sea el mismo que $Y$, nosotros nos apegaremos a la notación $\subset$ para decir que un subconjunto está contenido estrictamente o es igual, y usaremos la notación $\subsetneq$ para denotar la contención estricta, es decir, $X \subsetneq Y$ si y solo si para cada $x \in X \rightarrow x \in Y$ pero existe $y \in Y \land y \not \in X$.
Más adelante…
Ahora que ya hemos establecido las reglas que seguirán los conjuntos, es hora de hablar sobre algunas operaciones dentro de esta teoría. Sobre todo hablaremos de Intersecciones, Uniones y Complementos de conjuntos.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
Demuestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
$X=Y$
$ \forall x (x \in X \Leftrightarrow x \in Y)$
$(X \subset Y) \land (Y \subset X) $
¿Es cierto que el conjunto vacío es único?
¿Cuál es el conjunto potencia de $\{1,2,3,4\}$?
Demuestra que $X=Y$ si y solo si $\mathcal P(X) = \mathcal P(Y)$.
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
