Hasta este punto, ya hemos visto varias propiedades que las funciones continuas tienen entre espacios métricos. De acuerdo a la definición, la continuidad en un punto se da cuando los puntos cercanos a él, son enviados a puntos cercanos en el otro espacio métrico.
Representación del comportamiento de una función continua.
Dado $\varepsilon >0$, incluso cuando la función $\phi :X \to Y$ es continua en todos los puntos $x_0$ de $X$, el valor de una $\delta_{x_0}$ que cumple que $\phi (B_X(x_0,\delta_{x_0})) \subset B_Y(\phi(x_0), \varepsilon)$ podría ser diferente para cada punto.
Por ejemplo, sabemos que la función identidad $I:[0,1] \to [0,1]$ es continua en $[0,1].$ Si suponemos $\varepsilon = \frac{1}{3}$ podemos hablar más explícitamente de la continuidad en los puntos $\frac{1}{3}$ y $\frac{2}{3}$ asignando $\delta_1 = \frac{1}{3}$ y $\delta_2 = \frac{1}{6}$, respectivamente.
El área delimitada por los cuadrados es el espacio donde está la gráfica de la función. No rebasa el radio $\varepsilon,$ pues es continua.
Podemos comprobar que ambas deltas satisfacen la definición de continuidad y sin embargo son diferentes. No obstante, eligiendo $\delta$ como la mínima entre las dos, podemos argumentar también la continuidad en ambos puntos con la misma $\delta.$
El cuadrado verde se hace más pequeño al elegir $\delta$ pero la gráfica cerca del punto sigue quedando dentro de los límites de radio $\varepsilon.$
En general, en una cantidad finita de puntos donde la función es continua, también es posible elegir el valor de $\delta$ mínimo y este funciona para demostrar la continuidad en cada punto, pero si la continuidad es en un conjunto infinito no siempre existe una delta general .
En los ejemplos de continuidad que hemos visto, fijamos un punto en el espacio del dominio $X$ y observamos un conjunto en torno a él (la bola de radio $\delta$).
Representación del espacio donde está una función continua en un punto para un valor $\delta’$ que funciona para $\varepsilon’.$
¿Qué pasa si nos fijamos en bolas de radio $\delta$ de manera arbitraria en el dominio? ¿Serán enviados a puntos cercanos en el espacio métrico $Y$?
De acuerdo con el dibujo, este valor de $\delta$ no funciona en la segunda región, pues hay puntos de la curva que quedan fuera del cuadrado rosa.
Esta discusión incentiva la siguiente:
Definición. Función uniformemente continua. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos. Decimos que una función $\phi :X \to Y$ es uniformemente continua en $X$ si dada $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que para cualesquiera $x_1, x_2 \, \in \, X$, si satisfacen que $d_X(x_1,x_2)< \delta$, entonces $d_Y(\phi(x_1), \phi(x_2)) < \varepsilon.$
Representación del comportamiento de una función uniformemente continua.
Al final de esta sección se propone demostrar que toda función uniformemente continua es continua. No obstante, hay funciones continuas que no son uniformemente continuas.
Ejemplo: La función $f:(0,\infty) \to \mathbb{R}, \, f(x)= \frac{1}{x}$ es continua en $(0,\infty)$ pero no es uniformemente continua, pues si consideramos $\varepsilon=1$ y cualquier $\delta>0$ todos los pares de puntos en el intervalo $(0,\delta)$ tienen distancia menor que $\delta.$ Sea $x_2 \in (0,\delta).$ Como $f$ es decreciente y tiende a $\infty$ en cero por la derecha entonces existe $x_1 < x_2$ tal que $f(x_1)>1+f(x_2)$ por lo tanto, aunque $|x_2-x_1|< \delta$ se tiene que $|f(x_2)-f(x_1)|>1= \varepsilon$ y en consecuencia, la función no es uniformemente continua.
$f$ no es uniformemente continua.
Pero hay una propiedad que hace equivalentes ambos tipos de funciones:
Proposición. Sea $A$ un espacio métrico compacto. Si $\phi : A \to Y$ es una función continua, entonces $\phi$ es uniformemente continua.
Demostración: Supón por el contrario que $\phi:A \to Y$ no es uniformemente continua. Entonces existe $\varepsilon >0$ tal que para todo $\, \delta>0$ existen $a_1,a_2$ con distancia menor que $\delta$ pero cuya distancia correspondiente en $Y$ para $\phi(a_1)$ y $\phi(a_2)$ no es menor que $\varepsilon,$ esto es, $d_Y(\phi(a_1),\phi(a_2)) \geq \varepsilon.$
Particularmente, para cada $n \in \mathbb{N}$ existen $x_n,x’_n \in A$ tales que $d_A(x_n,x’_n)<\frac{1}{n}$ y $d_Y(\phi(x_n),\phi(x’_n)) \geq \varepsilon.$
Entonces la sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ que está en $A$ compacto, tiene una subsucesión $(x_{k_j})$ que converge en algún $x \in A.$ (Resultado visto en Compacidad en espacios métricos). La sucesión correspondiente $(x’_{k_j})$ también converge en $x,$ pues:
Entonces, como $\phi$ es continua se cumple que $\phi(x_{k_j}) \to \phi(x)$ y $\phi(x’_{k_j}) \to \phi(x)$ de modo que existe $J \in \mathbb{N}$ tal que.
Pero esto es una contradicción, pues al principio se seleccionaron términos que satisfacen que $d_Y(\phi(x_{k_j}),\phi(x’_{k_j})) \geq \varepsilon.$ Por lo tanto la función sí es uniformemente continua.
Más adelante…
Ya que conocemos algunos resultados de la compacidad en los conjuntos, mostraremos una herramienta para identificarla en espacios de funciones: el teorema de Arzelá-Azcoli. En la siguiente sección veremos las definiciones que nos llevarán a ella.
Tarea moral
Demuestra que toda función uniformemente continua es continua.
¿Es cierto que toda función Lipschitz continua es uniformemente continua?
¿Es cierto que toda función uniformemente continua es Lipschitz continua?
En esta sección mostraremos los fundamentos de uno de los términos más importantes de las matemáticas. Una descripción histórica la presenta Yanina del Carmen Rodríguez Reyes, en la tesis «Desarrollo histórico-pedagógico del concepto de compacidad» en la Universidad de Panamá, República de Panamá 2018.
«La compacidad surgió de uno de los periodos más productivos de la actividad matemática. En la segunda mitad del siglo XIX en Europa las matemáticas avanzadas comenzaron a tomar la forma que conocemos actualmente. Muchos matemáticos, incluyendo Weierstrass, Hausdorff y Dedekind estaban preocupados por los fundamentos de las matemáticas y comenzaron a hacer muchas rigurosidades de las ideas que durante siglos habían sido dadas por sentado. Mientras que algunos de los trabajos del siglo XIX se pueden remontar a las preocupaciones matemáticas de los antiguos griegos, el nivel de rigor y la abstracción refleja una revolución en el pensamiento matemático. Fréchet fue influenciado por muchos contemporáneos y predecesores pero parece que merece el crédito como el padre de la compacidad. Fue Fréchet quien dio el nombre al concepto en un documento que conduce a su tesis doctoral de 1906. Fréchet también define por primera vez espacios métricos aunque no usando ese término y de hecho incursiona en el análisis funcional proporcionando así un contexto para el cual la importancia de la compacidad se hizo indiscutible”. (Rodríguez, 2018).
Conjuntos compactos
Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $A \subset X.$ Podemos pensar en «cubrir» este subconjunto a través de otros a modo de la siguiente imagen, es decir, conjuntos cuya unión logre contener a $A.$
$A$ cubierto por conjuntos.
La cantidad de subconjuntos que forman parte de la cubierta elegida puede ser finita, numerable o no numerable, entonces, para ser formales, cada subconjunto se puede indexar con los elementos de algún conjunto $\mathcal{I}.$ Así tenemos la siguiente:
Definición. Cubiertade un conjunto. Sea $A \subset X.$ Decimos que una familia de subconjuntos $\mathcal{C} = \{A_{i} \subset X \, | \, i \in \mathcal{I} \}$ es una cubierta de $A$ en $X$ si $$A \subset \underset{i \in \mathcal{I}}{\cup} \, A_{i} \,$$
Representación de conjuntos cuya unión contiene a $A,$ es decir, una cubierta de $A.$
Definición. Cubierta abierta. Si para toda $i \in \mathcal{I}$ se cumple que el conjunto $A_i \,$ es abierto, diremos que $\mathcal{C}$ es una cubierta abierta de $A$ en $X.$
Representación de conjuntos abiertos cuya unión contiene a $A,$ es decir, una cubierta abierta de $A.$
Definición. Subcubierta. Si tomamos conjuntos de una cubierta $\mathcal{C}$, digamos, una familia $\mathcal{C’} \subset \mathcal{C} \, $ y $\, \mathcal{C’}$ es también una cubierta de $A$ diremos que $\mathcal{C’}$ es unasubcubiertade $\mathcal{C}.$
Los conjuntos en rosa son una subcubiertade $\mathcal{C}.$
Definición. Conjunto compacto. Sea $A$ un conjunto de un espacio métrico $(X,d).$ Decimos que $A$ es un conjunto compacto si dada cualquier cubierta abierta $\mathcal{C}$ de $A$, existe una subcubierta finita de $\mathcal{C}.$
El concepto de compacidad suele tomar mayor relevancia cuando en un espacio topológico se considera el subespacio generado por el conjunto compacto. En estos casos se le denomina espacio topológico compacto.
Representación de una subcubierta finita abierta (de conjuntos abiertos). Decimos que $A$ es compacto.
Según la definición, para demostrar que un conjunto $A$ no es compacto, bastará con identificar una cubierta abierta de la cual no sea posible extraer una subcubierta finita (conjuntos cuya unión logre contener el conjunto $A$).
Ejemplos
El conjunto $\mathbb{R}$ con la métrica euclidiana no es compacto.
Demostración: El conjunto de intervalos abiertos con centro en $0$ y radio $n, \, n \in \mathbb{N}$ es decir, $\mathcal{C}=\{(-n,n) \, | \, n \in \mathbb{N}\}$ es una cubierta abierta de $\mathbb{R}.$ Pero si consideramos un subconjunto finito $\mathcal{C’} \subset \mathcal{C}$ entonces $\mathcal{C’} = \{(-k_1,k_1),(-k_2,k_2),…,(-k_m,k_m)\}$ con $k_1,k_2,…,k_m \in \mathbb{N}.$ Sea $k=max\{k_1,k_2,…,k_m\}$ podemos ver que la unión de los elementos en $\mathcal{C’}$ es el intervalo $(-k,k)$ que claramente, no contiene a $\mathbb{R}$, por lo tanto $\mathbb{R}$ no es compacto.
Representación de intervalos de la subcubierta finita. Su unión no contiene a $\mathbb{R}.$
Un espacio discreto es compacto si y solo si es finito.
Considera un conjunto $X$ con la métrica discreta. Entonces, para cada $x \in X$ el conjunto $\{ x \}$ es abierto, así $\, \mathcal{C}=\{\{x\} \, | \, x \in X\}$ es una cubierta abierta de $X.$ Un subconjunto finito de esta cubierta estaría dada por $\mathcal{C’}=\{\{x_1\},\{x_2\},…,\{x_k\}\}, \, k \in \mathbb{N}$ cuya unión de conjuntos contiene $k$ elementos. Por lo tanto, si $X$ es infinito no es compacto con la métrica discreta. La prueba de que si $X$ es finito entonces es compacto se deja como ejercicio al final de esta sección.
Si $(X,d_{disc})$ es infinito no hay subcubierta finita.
Proposición. Si $A$ es un conjunto compacto en $(X,d)$, entonces toda sucesión en $A$ tiene una subsucesión que converge en $A.$
Demostración: Sea $A \subset X$ compacto y $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión en $A.$ Demostraremos primero que existe un punto $x \in A$ tal que toda bola abierta con centro en $x$ tiene una subsucesión de $(x_n).$ Supón por el contrario que no es así, es decir, para todo punto $x \in A$ existe $\varepsilon_x >0$ y existe $k_x \in \mathbb{N}$ tal que para toda $k \geq k_x, \, x_k \, \notin \, B(x,\varepsilon_x).$
No hay subsucesión dentro de la bola abierta pues todos los últimos términos de la sucesión están fuera de ella.
El conjunto de todas estas bolas abiertas, $\{B(x, \varepsilon_x) \, | \, x \in A\}$ es una cubierta abierta del conjunto $A.$ Como $A$ es compacto, existe $\{B(x_1, \varepsilon_{x_1}),B(x_2, \varepsilon_{x_2}),…,B(x_m, \varepsilon_{x_m})\}$ subcubierta finita. Sea $l := max \{k_{x_1},k_{x_2},…,k_{x_m} \}$ entonces para toda $k \geq l,$ el término $x_k \notin \underset{1\leq i \leq m}{\cup} \, B(x_i, \varepsilon_{x_i}) \supset A,$ en consecuencia $x _k \notin A$ lo cual es una contradicción, pues todos los términos de la sucesión están en $A$, por lo tanto existe un punto $x \in A$ tal que toda bola abierta con centro en $x$ tiene una subsucesión de $(x_n).$
Cubierta finita de bolas abiertas con centros $x_1, \, x_2,…, x_m.$
Sea $x \in A$ dicho punto. Por la propiedad mencionada es posible seleccionar un punto $x_{k_j}$ de la sucesión que esté en cada bola $B(x,\frac{1}{j}), \, j \in \mathbb{N}$ tal que no se repita con los anteriores y conserven el orden de la sucesión original. Por lo tanto $(x_{k_j})$ es subsucesión de $(x_n)$ y $x_{k_{j}} \to x.$ Así probamos que toda sucesión de un conjunto compacto tiene una subsucesión que converge en él.
El punto verde representa a $x_{k_1} \in B(x,1).$
El punto verde representa a $x_{k_2} \in B(x,\frac{1}{2}).$
El punto verde representa a $x_{k_3} \in B(x, \frac{1}{3}).$
Proposición.Si $A \subset X$ es compacto entonces es cerrado y acotado.
Demostración: Recordemos que un conjunto es cerrado si y solo si es igual a su cerradura. Como $A \subset \overline{A}$ basta demostrar que $\overline{A} \subset A.$ Sea $x \in \overline{A}$ entonces existe una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ en $A$ que converge en $x,$ (visto en Convergencia). Pero por la proposición que acabamos de ver, $(x_n)$ tiene una subsucesión que converge en $A.$ Por la unicidad del límite, ese punto de convergencia es $x$, por lo tanto $x \in A.$
La subsucesión converge en $x.$ Por lo tanto $x \in A.$
Para probar que $A$ es acotado notemos lo siguiente. Si fijamos un punto $x_0 \in X$, podemos poner cada $x \in A$ en una bola abierta con centro en $x_0$ y radio mayor a la distancia $d(x,x_0).$ Elegimos el radio como un número natural $k \,$ suficientemente grande, tal que $d(x,x_0)<k.$ Entonces $x \in B(x_0,k).$
Cada punto de $A$ está en una bola abierta de $x_0.$
En consecuencia el conjunto de bolas abiertas $\{B(x_0,n) \, | \, n \in \mathbb{N}\}$ es una cubierta abierta del conjunto $A$ que, como es compacto, tiene una subcubierta finita $\{B(x_0,n_1), B(x_0,n_2),…,B(x_0,n_m)\}.$ Sea $M := max \{n_1,n_2,…,n_m\}$ entonces $A \subset B(x_0,M)$ por lo tanto $A$ es acotado.
$A \subset B(x_0,M).$
Ejemplos
A continuación recordamos un resultado conocido de los cursos de cálculo:
Teorema de Heine Borel.Considera $\mathbb{R}^n$ con la métrica euclidiana y $A \subset \mathbb{R}^n.$ Entonces $A$ es un conjunto compacto si y solo si es cerrado y acotado. La demostración la puedes consultar en Criterio de Cauchy, Conjuntos Compactos y compacidad por sucesiones.
Conjuntos compactos en $\mathbb{R}^3.$
No obstante, hay espacios métricos en los que no es suficiente que un conjunto sea cerrado y acotado para que sea compacto:
Ejercicio: Considera el conjunto $\mathbb{R}$ y $d$ definida como $d(x,y):=min\{1, |x-y|\}, \, x,y \in \mathbb{R}$ entonces tenemos lo siguiente:
$d$ es una métrica en $\mathbb{R}.$
$d$ induce en $\mathbb{R}$ los mismos conjuntos abiertos que la métrica usual. Entonces un conjunto es compacto en $(\mathbb{R},d)$ si y solo si lo es en $(\mathbb{R},d_2).$
El conjunto $[0,\infty)$ es cerrado y acotado en $(\mathbb{R},d),$ pero no es compacto, pues no lo es en $(\mathbb{R},d_2).$
Pero no solo hay espacios cerrados y acotados que no son compactos. Otro hecho que probablemente te llame la atención es conocer que, contrario a lo que ocurre en el espacio euclidiano en $\mathbb{R}^n,$ hay espacios donde hay bolas cerradas que no son compactas:
Ejemplo. Considera el espacio $\ell_{\infty}.$ El conjunto dado por $\overline{B}(\mathcal{0},1)$ (donde $\mathcal{0}$ es la sucesión que en todos los términos vale 0), es cerrado y acotado en $\ell_{\infty}$ pero no es compacto.
Demostración: Es inmediato notar que $\overline{B}(\mathcal{0},1)$ es acotado. Por otro lado, en la entrada Nociones topológicas básicas en espacios métricos se dejó como tarea moral (ejercicio 4) que una bola cerrada en un espacio métrico es un conjunto cerrado. No obstante, no se da la compacidad: Sea $\varepsilon = \frac{1}{2}.$ Vamos a cubrir la bola $\overline{B}(\mathcal{0},1)$ con bolitas de radio $\frac{1}{2},$ esto es, $\{B(x,\frac{1}{2}) \, | \, x \in \overline{B}(\mathcal{0},1) \}$ es una cubierta abierta para $\overline{B}(\mathcal{0},1).$
Nota que las sucesiones $e_i$ donde $e_i$ toma a $1$ como valor en la entrada $i$ y $0$ en el resto, son elementos de la bola, pues para cada $i \in \mathbb{N}$ se cumple que $\norm{e_i}_{\infty}=1.$
$e_i$ vale $1$ en la posición $i.$
Veamos ahora que hay a lo más una sucesión $e_i$ en cada bolita de la cubierta, pues si existen $j,k \in \mathbb{N}$ y $x \in \overline{B}(\mathcal{0},1)$ tales que $e_j, \, e_k \in B(x,\frac{1}{2})$ tenemos por la desigualdad del triángulo que $\norm{e_j- e_k}_{\infty} \leq \norm{e_j- x}_{\infty} + \norm{x- e_k}_{\infty} < \frac{1}{2}+\frac{1}{2} = 1.$ Pero esto no es verdad, pues para cualesquiera $j,k \in \mathbb{N}$ se satisface $\norm{e_j- e_k}_{\infty}=1.$
Por lo tanto no es posible cubrir, en principio, con una cantidad finita al conjunto $\{e_i \, | \, i \in \mathbb{N}\} \subset \overline{B}(\mathcal{0},1)$ en consecuencia, la bola cerrada $\overline{B}(\mathcal{0},1)$ no es compacta. Un argumento análogo al que acabamos de mostrar puede usarse para concluir que el espacio de sucesiones $\{e_i \, | \, i \in \mathbb{N}\}$ en $\ell_1$ no es compacto. En la siguiente entrada probaremos que no tiene la propiedad que se denomina como «totalmente acotado», lo cual también implica que no es compacto.
Veamos una condición que hereda la compacidad a un subconjunto de un conjunto compacto:
Proposición. Un subconjunto cerrado $B$ de un conjunto compacto $A$ también es compacto.
Demostración:
Sea $B \subset A$ con $B$ cerrado y $A$ compacto. Considera $\mathcal{C} = \{B_{i} \subset X \, | \, i \in \mathcal{I} \}$ una cubierta abierta de $B.$
Representación de una cubierta abierta de $B.$
Como $B$ es cerrado, entonces el conjunto $X \setminus B$ es abierto.
$X \setminus B$ es abierto.
Dado que $B \subset A,$ si agregamos $X \setminus B$ a la cubierta de $B$ tenemos que $\mathcal{C} \cup \{X \setminus B\}$ es una cubierta abierta de $A.$
$\mathcal{C} \cup \{X \setminus B\}$ es una cubierta abierta de $A.$
Al ser el conjunto $A$ compacto, se sigue que esta cubierta tiene una subcubierta finita que satisface: $$B \subset A \subset B_{i_1} \cup…\cup B_{i_n} \cup (X \setminus B).$$ con $n \in \mathbb{N}.$
Por lo tanto $\mathcal{C’}=B_{i_1},…,B_{i_n}$ es una subcubierta finita de $\mathcal{C}$ lo cual concluye que $B$ es compacto.
La cubierta abierta de $B$ tiene una subcubierta finita.
Finalizamos esta sección con los siguientes resultados para así cumplir con una deuda pendiente correspondiente a la última proposición de La métrica de Hausdorff que decía que si $(X,d)$ es un espacio métrico compacto y $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de subespacios compactos en él, se cumple que si $A_{n+1} \subset A_n$, entonces $A_n \to \underset{n \in \mathbb{N}}{\cap}A_n$ en $\mathcal{M}(X).$ Veremos que podemos hablar del conjunto límite porque no es vacío.
Teorema. Considera $ \{ A_{\alpha} \, | \, \alpha \in \mathcal{A} \}$ una colección de subconjuntos compactos de un espacio métrico $(X,d).$ Si ocurre que cualquier intersección finita de elementos de $\{A_{\alpha}\}$ es no vacía, entonces la intersección de todos los elementos también es no vacía. Es decir: $$\underset{\alpha \in \mathcal{A}}{\bigcap} \, A_{\alpha} \, \neq \emptyset$$
Demostración: Supón por el contrario que la intersección es vacía. Sea $A_1 \in \{A_{\alpha}\}$ entonces no existe punto de $A_1$ que pertenezca al mismo tiempo, a todos los elementos de $\{A_{\alpha}\}$ Sea $C_{\alpha} := X \setminus A_{\alpha}.$ Entonces $ \{ C_{\alpha} \, | \, \alpha \in \mathcal{A} \}$ es una cubierta abierta de $A_1$ que, por ser compacto, tiene una subcubierta finita, así: $A_1 \subset (C_{\alpha_1} \cup … \cup C_{\alpha_n})$ para algunos ${\alpha_1},…{\alpha_n}, \in \mathcal{A},$ de modo que para cada $x \in A_1, \, x \in C_{\alpha_i}$ para algún $i \in \{1,…,n\}$ lo que implica que $x \notin A_{\alpha_i}$ y también que $x \notin A_{\alpha_1} \cap … \cap A_{\alpha_n}.$ En consecuencia $A_1 \cap A_{\alpha_1} \cap … \cap A_{\alpha_n} = \emptyset$ lo cual es una contradicción a la hipótesis, por lo tanto $$\underset{\alpha \in \mathcal{A}}{\bigcap} \, A_{\alpha} \, \neq \emptyset$$
Corolario.Si $ \{ A_{n} \, | \, n \in \mathbb{N} \}$ es una colección de subconjuntos compactos no vacíos de un espacio métrico $(X,d)$ tales que para cada $n \in \mathbb{N} , \, A_n \supset A_{n+1}$ se cumple que $\underset{n \in \mathbb{N}}{\bigcap} \, A_n \neq \emptyset .$
Proposición. Sea $A$ un espacio métrico compacto, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de funciones continuas con $f_n:A \to \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$ tal que $(f_n)$ converge puntualmente a una función continua $f.$ Si para cada $x \in A$ y $n \in \mathbb{N} \, f_n(x) \geq f_{n+1}(x),$ entonces $(f_n)$ converge a $f$ uniformemente en $A.$
Demostración: Para cada $n \in \mathbb{N}$ definimos $g_n := f_n – f.$ Entonces $(g_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es una sucesión de funciones continuas en $A.$ Es sencillo probar que $(g_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge puntualmente a $0.$
Sea $\varepsilon >0.$ Ahora, para cada $n \in \mathbb{N}$ definimos un conjunto con los puntos de $A$ que bajo la función $g_n \,$ quedan fuera de la bola de radio $\varepsilon$ con centro en $0.$ Formalmente:
Nota que este conjunto es complemento de la imagen inversa de la función continua $g_n \,$ en la bola abierta $B(0,\varepsilon).$ Por lo tanto $A_n$ es cerrado en $A.$ Esa propiedad se vio en Funciones continuas en espacios métricos. Arriba vimos que cada conjunto cerrado de un compacto hereda la compacidad, en consecuencia cada $A_n$ es compacto.
Nota además que para cada $n \in \mathbb{N}, \, A_{n+1} \subset A_n.$ La intersección de todos estos conjuntos es vacía, pues si existe $x_0 \in \underset{n \in \mathbb{N}}{\cap} \, A_n$ entonces para toda $n \in \mathbb{N}, \, g_n(x_0) \notin \, B(0,\varepsilon)$ lo cual no puede ser, pues $g_n(x_0) \to 0.$ A partir del corolario visto un par de lineas arriba se sigue que existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $A_N$ es vacío. Entonces, para todo $k \geq N, \, A_k = \emptyset.$ Así para cada $a \in A$ se cumple que $0 \leq g_k(a) < \varepsilon.$ Por lo tanto $(f_n)$ converge a $f$ uniformemente en $A.$
Más adelante…
Conoceremos los efectos que producen algunas funciones al ser aplicadas en conjuntos compactos. ¿Será posible conservar la compacidad al enviar conjuntos de un espacio métrico a otro? ¿Qué propiedades tendrá la imagen de una función continua?
Tarea moral
Resuelve el ejercicio planteado arriba.
Prueba que un espacio discreto finito es compacto. ¿Es necesario que tenga asociada la métrica discreta?
Demuestra que cada subconjunto infinito de un conjunto compacto posee un punto de acumulación en el conjunto compacto.
Da un ejemplo de un conjunto $A$ que sea cerrado pero no acotado y una cubierta abierta y numerable de $A$ que no tenga una subcubierta finita.
Prueba que si $A$ es cerrado y $B$ es compacto, entonces $A \cap B$ es compacto.
Prueba que la intersección arbitraria de conjuntos compactos es compacta.
Demuestra que una sucesión de Cauchy en un conjunto compacto es convergente.
Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $A \subset X$ un conjunto compacto. Demuestra que el subespacio $(A,d)$ es completo.
Ahora que hemos recordado las derivadas y de haber estudiado los teoremas fundamentales, podemos definir integrales inmediatas que surgen de estos temas.
La bondad de estos teoremas es que podemos encontrar formas y métodos de integración que se desprenden directamente de los procesos de derivación.
Para facilitar la notación de esta entrada, utilicemos la integral indefinida, es decir, sin considerar los límites de integración.
Recordemos que si tenemos una integral definida, tiene la siguiente representación:
Donde $F(x)$ es la integral de $f(x)$ y posteriormente se evalúa en los límites correspondientes.
En contraste con las integrales sin límites de integración o indefinidas, se verían de la siguiente manera:
$$\int f(x) \ dx = F(x) \ + \ C.$$
Ya que no tenemos límites, al momento de integrar encontramos una función que depende de nuestra variable pero podríamos tener una pérdida de información ya que, si recordamos las derivadas, la derivada de una constante es $0$, lo que, al momento de integrar esta derivada perdemos el valor de esta constante, (constante de integración).
Por ejemplo:
$$f(x) = x^2 + 3x + 5.$$
Si aplicamos derivamos esta función, tenemos lo siguiente.
$$\frac{d}{dx} f(x) = f'(x) = 2x + 3.$$
Lo que, al integrar esta derivada utilizando el teorema fundamental del cálculo, tenemos lo siguiente.
Pero, si integramos tal cual la derivada que se encontró, se tiene la siguiente integral.
$$\int 2x + 3 = x^2 + 3x. $$
Vemos que no es exactamente lo mismo. En realidad, lo único que difiere es en la constante y esto no nos genera mayor problema, ya que al considerar los límites de integración se puede ajustar.
Nota: Solo se puede ajustar mediante una constante. No se pueden añadir términos que dependan de la misma variable de la función.
Si falta una constante, no hay problema. La integral quedará de la siguiente forma:
$$\int 2x + 3 = x^2 + 3x + C.$$
Donde $C$ se le conoce como la constante de integración.
Entonces, tomando el ejemplo anterior, hay que identificar el valor de $C$, y ya solo se tendría que despejar.
$$ x^2 + 3x + 5= x^2 + 3x + C.$$
$$C = 5.$$
Entonces, por practicidad en la sección, utilizaremos la notación de la integral sin límites de integración sin olvidar la constante de integración.
Integral de una constante
$$\int z \ dx = z \ x +C.$$
En particular, si $z=1$.
$$\int \ dx = x + C.$$
Integral de potencias
Tendríamos funciones del estilo $f(x) = x^n$.
$$\int x^n \ dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}; \ n \neq -1.$$
Integral de un cociente
Tendríamos funciones del estilo $f(x) = \frac{1}{x}$.
A partir de ahora podemos calcular integrales de forma inmediata, solo viendo la función sin necesidad de elaborar o desarrollar la definición.
Esto considerando que las funciones cumplen con los supuestos necesarios, como la continuidad de la función sobre el intervalo de integración.
Entonces, ¿Qué pasa si al momento de integrar, nuestro dominio presenta un problema? ¿Qué se hace si nuestra función original o la que encontramos después de realizar la integral, tiene puntos conflictivos, alguna discontinuidad o el rango de integración se vuelve infinito?
En la siguiente sección se verán las integrales impropias donde se explicará cual es el tratamiento correspondiente a este tipo de funciones o que hacer en esos casos.
Para este momento, se definió la integral definida, la integral indefinida y rememoramos de forma práctica las reglas de derivación.
Adicionalmente, en algunas de las entradas anteriores se ha mencionado la relación entre la diferencial y la integral, y esta relación se hace explícita en los teoremas fundamentales del cálculo.
Para poder ver y demostrar íntegramente estos teoremas que sustentan esta relación, es importante ilustrar de forma intuitiva la motivación, así como algunos posibles uso de ellos.
Intuición a los teoremas
Los teoremas fundamentales del cálculo mencionan la relación entre la integración y la diferenciación y, hasta cierto nivel, se puede observar que la integración es la función inversa una de la otra.
Entonces, para empezar a mencionar y observar la relación entre estos procesos podemos enumerar ejemplos de cada uno de ellos y comparar sus resultados.
Si definimos a $D$ como la función diferencial que se aplica a una función $f$ y que, al momento de aplicar la diferenciación a $f$ genera una nueva función $D(f)$, por ejemplo,
Por otro lado, si se define la operación $\int \limits_a$ como la función integral.
En otras palabras, el símbolo $\int \limits_a$ es la representación del operador integral, así como los símbolos $+, \ – \ , \times , \div $ son los correspondientes a la operación suma, resta, multiplicación y división.
Entonces, se define $G= \int \limits_a f$ donde $G$ es la función con regla de correspondencia $G(x) = \int \limits_a^x f$.
De esta forma, el dominio de $G$ queda definido por el conjunto de todas las $x$ para las cuales la integral queda definida, en otras palabras, el dominio de $G$ es el conjunto de todas las $x$ tales que $f$ es integrable sobre $[a,x]$ teniendo que $a < x$ o sobre $[x,a]$ si $x < a$.
Podemos ver los siguientes ejemplos sobre la aplicación de la integral en funciones:
Es decir, utilizando únicamente el operador sin límites de integración o siendo una integral indefinida:
\begin{align*} \int \limits_0 c \ dt =c \ I + C, \\ \int \limits_0 t \ dt = \frac{I^2}{2} + C, \\ \int \limits_0 4t^3 \ dt = I^4 + C . \end{align*}
No olvidemos que en integrales indefinidas, se tiene la constante de integración.
En los ejemplos presentado podemos observar que existe uno con su contraparte en las funciones, el primero y el tercero correspondiente, esto da pie en ver la relación entre estos operadores.
En este ejemplo se ve claramente que, al momento de integrar el resultado del valor de la integral, recuperamos la función original, previo a realizar la derivación.
Pero son funciones y procesos independientes, así que también aplica la observación de forma inversa.
Esto es que, al momento de derivar el resultado del proceso de integración, de igual forma se obtiene la función original.
Existen dos teoremas que demuestran esta relación, los cuales se desarrollarán en las siguientes entradas.
La derivada de la integral
Recordemos la notación de la integral indefinida que vimos al inicio de este capítulo. Se definió de la siguiente manera, utilizando el símbolo integral.
Lo que se verá en el primer teorema fundamental es que, si tenemos una función originada por una integral indefinida $ \phi (x) $ de una función continua $f(x)$, siempre existe la derivada $ \phi’ (x) $ y, además.
$$ \phi’ (x) = f(x).$$
Si se sustituyen los símbolos por la notación completa de la derivada y de la integral, se tiene lo siguiente.
$$\frac{d}{dx} \int \limits_a^x f(u)~du = f(x).$$
Aquí se puede observar que las operaciones son inversas, siempre y cuando se estén cumpliendo las hipótesis del teorema. Esto se puede demostrar utilizando el teorema del valor medio para la integral, ya que es una consecuencia de este teorema.
Ahora, si tomamos la diferencia de la integral indefinida valuada en los puntos extremos del intervalo y la dividimos por $h$, se ve de la siguiente manera.
$$\frac{\phi(x+h) \ – \ \phi(x)}{h} = \ f(\xi).$$
Y ahora, tomemos el límite haciendo que $h$ se vaya a $0$.
Si somos observadores, el lado izquierdo es la definición de la derivada, ya que, por hipótesis, la función $f$ es continua.
Ahora, uno pensaría que el límite en lado derecho no tiene sentido, ya que $\xi$ es un punto y $f$ solo está valuada en $\xi$ y no depende de $h$. Pero recordemos que la forma en identificar este punto $\xi$ es porque está dentro del intervalo $[x, x+h]$, de forma tal que, al considerar un limite haciendo que $h$ se vaya a $0$, el intervalo se reduce y colapsa en el punto $x$. Entonces el límite sí tiene sentido.
Y como ya vimos que el lado izquierdo es la definición de derivada y el derecho se colapsa el intervalo en $x$, lo anterior queda de la siguiente manera.
$$\phi'(x) = f(x).$$
$\square$
La función primitiva
El teorema muestra que la integral indefinida $ \phi (x) $, que es la integral de una función $f(u)$, cuyo límite superior depende de $x$ es una solución para el siguiente problema: Dada $f(x)$, determina una función $F(x)$ tal que.
$$F'(x) = f(x).$$
Para resolver este problema es necesario realizar el proceso contrario de la derivación. Con ello, se define como función primitiva de $f(x)$ o solamente primitiva de $f(x)$ a cualquier función $F(x)$ tal que $F'(x) = f(x)$.
Entonces, ocupamos la función $F(x)$ como la función primitiva de $f(x)$ y el proceso para determinar $f(x)$ es derivando la primitiva.
De forma que, tenemos la siguiente afirmación:
Toda integral indefinida $\phi(x)$ de la función $f(x)$ es una primitiva de $f(x)$.
Algo que hay que ponerle atención en la afirmación anterior es que dice «una«. Entonces se puede pensar que hay más de una función primitiva que al momento de derivar se encuentra la misma función para las diversas que hay.
Y aunque esto pueda parecer muy complicado, recordemos que la derivada de una constante se hace cero. Entonces, al momento de integrar cualquier función, se le puede adicionar la constante de integración de forma que ajuste con la información extra que nos dé el problema (esta idea se profundizará más adelante). De forma que, cada vez que se deriva una función de la misma forma excepto por una constante, se obtiene la misma función. Por poner un ejemplo:
$A_1 = x^2 + 3x + 4.$
$A_2 = x^2 + 3x \ – \ 5.$
Si nos damos cuenta, las funciones son diferentes salvo por la constante. Entonces, al momento de derivar se tiene lo siguiente.
$A’_1 = 2x +3.$
$A’_2 = 2x +3.$
Se obtiene la misma función. Entonces, si tomamos $f(x) = 2x+3$ y queremos encontrar su primitiva, esta sería:
$\phi(x) = x^2 + 3x + C.$
Pero teníamos 2 funciones, entonces.
$\phi_1(x) = x^2 + 3x + C_1.$
$\phi_2(x) = x^2 + 3x + C_2$
Por lo tanto, tenemos la siguiente afirmación.
La diferencia de dos funciones primitivas $F_1(x)$ y $F_2(x)$ de la misma función $f(x)$ siempre es una constante.
$$F_1(x) \ – \ F_2(x) = C_1 \ – \ C_2 = C.$$
Por lo tanto, si se tiene la función primitiva de una función $f(x)$, se pueden encontrar todas las demás a partir de la siguiente forma.
$$F(x) \ + \ C.$$
Por esto se dice que no hay una única forma función primitiva, con esta forma, se tienen una infinidad.
Más adelante…
Acabamos de ilustrar de forma sencilla, con ejemplos prácticos que se han visto, lo que implican los teoremas fundamentales.
En las entradas siguientes mostraremos a detalle cada uno de ellos y las aplicaciones que estos tienen.
Vale la pena mencionar que, por lo mismo que son fundamentales, su remembranza en diferentes asignaturas y áreas es basta por la importancia de los teoremas, así que escucharas de ellos un buen rato en tu carrera académica.
En la entrada anterior se dio el paso de generalizar la integral. Ya no solo considerarla como un valor, si no como una función.
Al momento de precisar esta generalización, pudimos encontrar el paralelismo que existe con la integral definida, lo podemos ver de la siguiente forma.
Como lo mencionamos anteriormente, la diferencia reside en el intervalo de integración, como se observa arriba sería el límite superior.
Pero, sin perdida de generalidad, se puede considerar el límite inferior o ambos, ya que el hecho de que sea indefinida es que no tiene un inicio o fin especifico, si no que estos dependen de una variable.
Entonces, el resultado de la integral no es un número real, ahora es una función que depende de la variable $x$, en este caso.
Se pueden tener diferentes casos al momento de pedir la integral de la función, ya que se puede partir el intervalo dependiendo del valor de $x$.
a) Si $ 0 \leq x \leq 3.$
Entonces, la integral de $f(u)$ se plantea como sigue.
$$\int \limits_0^x u^2 \ du.$$
Ya que es la parte donde la función tiene el dominio que se quiere integrar.
b) Si $ 3 < x \leq 10.$
Entonces la integral se ve de la siguiente manera.
$$\int \limits_3^x sin(u) \ du.$$
Y tenemos el mismo argumento que en el caso anterior.
c) Si $x \in [0,10] \ y \ x > 3.$
En este caso la $x$ corre en todo el intervalo y está condicionado que $x$ tiene que ser mayor que 3, entonces la integral se ve de la siguiente manera.
$$\int \limits_0^x f(u) \ du = \int \limits_0^3 u^2 \ du + \int \limits_3^x sin(u) \ du.$$
Y este caso, como se mencionó en la propiedad de la Aditividad, genera una integral definida y una integral indefinida.
d) Si $x \in [0,10] .$
Este caso solo condiciona a que el valor de $x$ tiene que estar dentro del dominio de la función, por lo que la integral queda de la siguiente manera.
$$ \int \limits_a^x f(u) \ du .$$
Y que se podrá dar solución en el momento en que se defina el valor de $x$.
II. Suma
Sea $h(u)$ una función tal que:
$$h(u) = f(u) + g(u).$$
Donde $f(u)$ y $g(u)$ también son funciones. Entonces, para calcular la integral de $h(x)$, tenemos la siguiente propiedad.
$$\int \limits_a^x h(u) \ du = \int \limits_a^x [f(u) \ + \ g(u)] \ du = \int \limits_a^x f(u) \ du + \int \limits_a^x g(u) \ du. $$
Entonces, la integral de una suma, es la suma de las integrales.
III. Producto por una constante
Sea $h(u)$ una función tal que $h(u)= c \cdot f(u)$, donde $c$ es cualquier real y $f(u)$ una función. Entonces,
$$\int \limits_a^x h(u) \ du = \int \limits_a^x c \cdot f(u) \ du = c \int \limits_a^x f(u) \ du.$$
Las constantes que se encuentran multiplicando a una función pueden entrar y salir de la integral.
IV. Linealidad
Sean $f(x)$ y $h(x)$ dos funciones y sean $\alpha$ y $\beta$ dos números reales. Entonces:
Esta propiedad contiene a las dos anteriores (suma y producto), lo que la hace sumamente útil y provoca que se mencione en múltiples ocasiones.
Más adelante…
Ya que tenemos estás propiedades, podemos simplificar el proceso para desarrollar la integral y poder descomponerla en integrales más simples ó, en caso contrario, podemos aplicarlas para poder simplificarlas (reducirlas) o encontrar una sustitución adecuada para que se pueda integrar con mayor facilidad.
En la siguiente sección, tendremos un recordatorio de derivadas. Esto es necesario ya que existe una relación importante entre la derivada y la integral. Es posible que para este momento de tu formación, haz escuchado que la integral es el proceso contrario a o la inversa de la derivación.
Entonces, para poder explicar esta relación entre ambos procesos, es necesario recordar como funciona la derivada, que significa y como se calcula.
Aplique las reglas correspondientes para expandir la forma de la integral, para los diferentes casos. $$f(x) = \left\lbrace\begin{array}{c} 3x^2 \ – \ x + 13 \ \ [0, 5] \\ \frac{7}{x} \ \ (5,10] \end{array}\right.$$ i) Integral indefinida para cualquier $x$ entre 5 y 9. ii) Integral indefinida para cualquier $x$ entre 0 y 5. ii) Integral indefinida para cualquier $x$ entre 3 y 8, pasando por el 5.
Aplique las reglas correspondientes para dejar en una sola integral la siguiente integral. $$1/7 \int \limits_a^x u^6 \ du \ – \ 7 \int \limits_a^x cos(u) \ du \ + \ 8 \int \limits_a^x \frac{1}{u+1} \ du.$$
