Variable Compleja I: Consecuencias de las ecuaciones de Cauchy-Riemann

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

En las entradas anteriores hemos determinado condiciones necesarias y suficientes para garantizar la analicidad de una función compleja. En particular hemos deducido las ecuaciones de C-R y hemos visto que dichas condiciones nos permiten caracterizar por completo la diferenciabilidad en el sentido complejo. Además, a través de dichas ecuaciones hemos probado que la diferenciabilidad en el sentido real de una función vectorial de dos variables no es equivalente a la diferenciabilidad de una función compleja, por lo que debe ser claro que no toda función vectorial de dos variables resultará ser una función analítica.

En esta entrada abordaremos algunos resultados que son consecuencia directa de las ecuaciones de C-R y veremos que es posible extender algunas resultados vistos en nuestros cursos de Cálculo para las funciones complejas a través de las funciones reales correspondientes con las partes real e imaginaria de una función compleja.

Observación 19.1.
De nuestros cursos de Cálculo sabemos que para una función $u:U \to \mathbb{R}$ de clase $C^1$, con $U\subset\mathbb{R}^2$ una región, se cumple que $u$ no depende de la variable $x$ si y solo si $\partial u/ \partial x = 0$ para todo punto en $U$. Análogamente para la variable $y$. Más aún, tenemos que: \begin{align*} \frac{\partial}{\partial x} x = 1, \quad \frac{\partial}{\partial y} x = 0,\\ \frac{\partial}{\partial x} y = 0, \quad \frac{\partial}{\partial y} y = 1. \end{align*}

Para motivar los siguientes planteamientos consideremos el siguiente:

Ejemplo 19.1.
Determinemos si la función compleja $f(z) = 2xy + i(y^2-x^2)$ es analítica o no.

Solución. Es claro que podemos estudiar la analicidad de esta función a través de los resultados de la entrada anterior, sin embargo notemos que operando un poco a la función, para $z=x+iy\in \mathbb{C}$, tenemos que: \begin{align*} f(z) & = 2xy + i(y^2-x^2)\\ & = -i(i2xy) + i(y^2-x^2)\\ & = -i \left[-(y^2-x^2) + i2xy \right]\\ & = -i \left(x^2 -y^2 + i2xy \right)\\ & = – i\left(x+iy\right)^2\\ & = -i z^2, \end{align*} es decir que para todo $z\in \mathbb{C}$ se tiene que $f(z) = -iz^2$, la cual es una función polinómica y por tanto analítica en todo $\mathbb{C}$. Es importante notar que en la función anterior no aparecen términos que dependan del conjugado de $z$.

Debe ser claro que el conjugado de un número complejo $z$, es decir $\overline{z}$, resulta ser una función compleja de la variable $z$. En el ejemplo 17.2, de la entrada 17, hemos visto que la función $f(z)=\overline{z}$ no es analítica en $\mathbb{C}$ desde que no se cumplen las ecuaciones de C-R en ningún punto. Sin embargo, esta función en particular cumple que $u_x = – v_y$ y $u_y = v_x$ para todo $z=x+iy\in \mathbb{C}$.

De acuerdo con la observación 12.5 de la entrada 12, estamos interesados en caracterizar a las funciones complejas que solo dependen de la variable $z$, es decir que no tienen términos que dependan de su conjugado.

Lo anterior nos motiva a considerar a $\overline{z} = x-iy$ como una variable «independiente» de $z=x+iy$. Entonces, nuestro objetivo es determinar un criterio similar al de la observación 19.1 para garantizar la analicidad de una función compleja $f$ cuando esta dependa únicamente de la variable $z$. Tenemos que si $z$ y $\overline{z}$ son variables independientes, entonces: \begin{align*} \frac{\partial}{\partial z} z = 1, \quad \frac{\partial}{\partial \overline{z}} z = 0,\\ \frac{\partial}{\partial z} \overline{z} = 0, \quad \frac{\partial}{\partial \overline{z}} \overline{z} = 1. \end{align*}

Como para todo $z=x+iy\in\mathbb{C}$ se cumple que: \begin{equation*} x = \frac{z+\overline{z}}{2}, \quad y = \frac{z-\overline{z}}{2i}, \tag{19.1} \end{equation*} entonces, dada una función compleja $f(z)=u(x,y) + iv(x,y)$ definida en un conjunto abierto $U\subset \mathbb{C}$ de clase $C^1$, podemos pensarla como una función de las variables independientes $x$ e $y$ o bien de las variables «independientes» $z$ y $\overline{z}$, y así definir: \begin{equation*} g(z,\overline{z}) = \hat{f}(x,y):= f(z) = u\left( \frac{z+\overline{z}}{2}, \frac{z-\overline{z}}{2i}\right) + i v\left( \frac{z+\overline{z}}{2}, \frac{z-\overline{z}}{2i}\right). \end{equation*}

Lo anterior resulta de gran utilidad al considerar a $z$ y $\overline{z}$ como variables independientes, ya que bajo este supuesto podemos obtener a las derivadas parciales complejas $g_z$ y $g_{\overline{z}}$ mediante la regla de la cadena como sigue: \begin{align*} g_{z} = \frac{\partial g}{\partial z} = \frac{\partial g}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial z} + \frac{\partial g}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial z} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial g}{\partial x} – i \frac{\partial g}{\partial y} \right),\\ g_{\overline{z}} = \frac{\partial g}{\partial \overline{z}} = \frac{\partial g}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \overline{z}} + \frac{\partial g}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \overline{z}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial g}{\partial x} + i \frac{\partial g}{\partial y} \right). \end{align*}

De lo anterior obtenemos la siguiente:

Definición 19.1. (Operadores diferenciales complejos de Wirtinger.)
Sea $U\subset \mathbb{C}$ un conjunto abierto y $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ una función compleja definida en $U$ de clase $C^1$. Definimos los operadores direrenciales complejos de Wirtinger como: \begin{align*} f_z := \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x} – i \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u }{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} \right) + \frac{i}{2} \left(\frac{\partial v }{\partial x} – \frac{\partial u}{\partial y} \right),\\ f_{\overline{z}} := \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x} + i \frac{\partial f }{\partial y} \right) = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u }{\partial x} – \frac{\partial v}{\partial y} \right) + \frac{i}{2} \left(\frac{\partial v }{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right). \end{align*}

Observación 19.2.
Notemos que la condición $\dfrac{\partial f}{\partial \overline{z}} =0$, intuitivamente nos dice que la función $f$ no depende de la variable $\overline{z}$ como lo planteamos inicialmente. Más aún, considerando la definición anterior se tiene el siguiente:

Lema 19.1.
Sean $U \subset \mathbb{C}$ un conjunto abierto y $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ una función definida en $U$ de clase $C^1$. Entonces $u$ y $v$ satisfacen las ecuaciones de C-R en $U$ si y solo si $\dfrac{\partial f}{\partial \overline{z}} =0$ para todo $z=x+iy\in U$.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

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Ejemplo 19.2.
Sea $z\in\mathbb{C}$. Consideremos a la función $f(z) = |\,z\,|$. Determinemos a la función $g(z,\overline{z})$ y a las derivadas parciales $f_z$ y $f_{\overline{z}}$.

Solución. Tenemos que $f(z) = |\,z\,| = \left(z \overline{z}\right)^{1/2}$, por lo que $g(z,\overline{z}) = \left(z \overline{z}\right)^{1/2}$.

Por otra parte, si $z\neq 0$, entonces: \begin{align*} f_z(z) = \frac{\partial g}{\partial z}(z,\overline{z}) = \frac{1}{2}\left(z \overline{z}\right)^{-1/2} \overline{z} = \frac{\overline{z}}{2|\,z\,|},\\ f_{\overline{z}}(z) = \frac{\partial g}{\partial \overline{z}}(z,\overline{z}) = \frac{1}{2}\left(z \overline{z}\right)^{-1/2} z = \frac{z}{2|\,z\,|}. \end{align*}

Observación 19.2.
De acuerdo con el ejercicio 7 de la entrada 16, sabemos que la función $f(z)=|\,z\,|$ no es analítica en ningún punto de $\mathbb{C}$. Podemos analizar esto mediante el lema anterior.

Para $z = 0$ es claro que $f$ no es diferenciable en dicho punto desde que no existe: \begin{equation*} \lim_{h \to 0 } \frac{f(0+h) – f(0)}{h} = \lim_{h \to 0 } \frac{|h|}{h}. \end{equation*}

Por otra parte, para $z\neq 0$ se tiene que: \begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{z}{2|\,z\,|} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad z = 0, \end{equation*} lo cual claramente no es posible, por lo que no se satisfacen las ecuaciones de C-R para ningún $z\neq 0$, es decir que $f$ no es analítica en ningún punto de $\mathbb{C}$.

El ejemplo anterior motiva la siguiente:

Proposición 19.1.
Sean $U\subset \mathbb{C}$ un conjunto abierto y $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ una función definida en $U$ de clase $C^1$. Las siguientes condiciones son equivalentes:

  1. $f$ es analítica en $U$.
  2. $\dfrac{\partial f}{\partial \overline{z}} = 0$ para todo $z_0\in U$. En tal caso: \begin{equation*} f'(z_0) = \frac{\partial f}{\partial z} (z_0) = \frac{\partial f}{\partial x} (z_0) = -i\frac{\partial f}{\partial y} (z_0), \quad z_0 \in U. \end{equation*}

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

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Observación 19.3.
La trascendencia de este resultado radica en que podemos pensar a las funciones analíticas como «auténticas funciones complejas» en el sentido de que si $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ es una función analítica, entonces al sustituir a las variables $x$ e $y$ por $\dfrac{z+\overline{z}}{2}$ y $\dfrac{z-\overline{z}}{2i}$ respectivamente, dicha función no depende de la variable $\overline{z}$ como mencionamos en la observación 19.2.

Ejemplo 19.3.
Consideremos a la función compleja $f(z) = |\,z\,|^2 + \dfrac{z}{\overline{z}}$. Veamos que $f$ no es analítica en ningún punto en $\mathbb{C}$, determinemos dónde $f$ es al menos diferenciable y obtengamos a las derivadas parciales $f_z$ y $f_{\overline{z}}$.

Solución. La función $f$ está definida en el dominio $U = \mathbb{C}\setminus\{0\}$. Para $z=x+iy \in U$ tenemos que: \begin{align*} f(z) & = |\,z\,|^2 + \frac{z}{\overline{z}}\\ & = |\,z\,|^2 + \frac{z^2}{|\,z\,|^2}\\ & = x^2 + y^2 + \frac{x^2+2ixy -y^2}{x^2 + y^2}\\ & = \left(x^2 + y^2 + \frac{x^2 -y^2}{x^2 + y^2}\right) + i \left(\frac{2xy}{x^2 + y^2}\right)\\ & := u(x,y) + i v(x,y). \end{align*}

Para mostrar la utilidad de obtener las derivadas parciales complejas pensando a $f$ como una función $g$ de las variables $z$ y $\overline{z}$, primeramente procedemos a obtener las derivadas parciales $f_z$ y $f_{\overline{z}}$ mediante la definición 19.1.

Derivamos parcialmente a las funciones $u$ y $v$. Sea $z = x+iy \neq 0$, entonces:
\begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{2x^5 + 4x^3y^2 + 2xy^4 + 4xy^2}{(x^2+y^2)^2},\\ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{2y^5 + 4y^3x^2 + 2yx^4 – 4yx^2}{(x^2+y^2)^2}, \end{align*} \begin{align*} \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{2y^3-2yx^2}{(x^2+y^2)^2},\\ \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{2x^3 – 2xy^2}{(x^2+y^2)^2}. \end{align*}

Por tanto, para $z\neq 0$ tenemos que: \begin{align*} \frac{\partial f}{\partial z} & = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u }{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} \right) + \frac{i}{2} \left(\frac{\partial v }{\partial x} – \frac{\partial u}{\partial y} \right),\\ & = \left(x + \frac{x}{x^2+y^2}\right) – i \left(y – \frac{y}{x^2+y^2} \right), \end{align*} \begin{align*} \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} &= \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u }{\partial x} – \frac{\partial v}{\partial y} \right) + \frac{i}{2} \left(\frac{\partial v }{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right)\\ & = \left(x + \frac{3xy^2 – x^3}{(x^2+y^2)^2}\right) + i \left(y – \frac{3x^2y – y^3}{(x^2+y^2)^2} \right). \end{align*}

Considerando las igualdades dadas en (19.1), tenemos que: \begin{equation*} f_z = \overline{z} + \frac{1}{\overline{z}}, \quad \text{y} \quad f_{\overline{z}} = z – \frac{z}{\overline{z}^2}. \end{equation*}

Notemos que podemos evitar todo el desarrollo anterior si consideramos que: \begin{align*} f(z) & = |\,z\,|^2 + \dfrac{z}{\overline{z}}\\ & = z \overline{z} + \dfrac{z}{\overline{z}}\\ & := g(z,\overline{z}), \quad \forall z \neq 0, \end{align*}

entonces para todo $z\neq 0$ existen las derivadas parciales complejas: \begin{align*} f_z = \frac{\partial g}{\partial z} = \overline{z} + \frac{1}{\overline{z}},\\ f_{\overline{z}} = \frac{\partial g}{\partial \overline{z}} = z – \frac{z}{\overline{z}^2}. \end{align*}

De estas últimas expresiones es claro que las funciones $f_z$ y $f_{\overline{z}}$ son continuas en $U = \mathbb{C}\setminus\{0\}$, por lo que lo son también las derivadas parciales $u_x$, $u_y$, $v_x$ y $v_y$ , es decir que $f$ es de clase $C^1(U)$.

Por otra parte, dado que: \begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad z – \frac{z}{\overline{z}^2} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \overline{z}^2 = 1 \quad \Longleftrightarrow \quad z = \pm 1, \end{equation*} entonces $f$ solo es diferenciable en los puntos $z=1$ y $z=-1$. Puesto que no existe disco abierto alrededor de dichos puntos donde $f$ sea diferenciable, concluimos que $f$ no es analítica en ningún punto en $\mathbb{C}$.

Observación 19.4.
Debe ser claro que si tenemos una función compleja $f$ diferenciable en un punto $z_0$, entonces se cumple que $f_{\overline{z}}(z_0) = 0$. Sin embargo, debemos enfatizar en que la existencia de $f_{\overline{z}}(z_0)$ no garantiza la existencia de $f'(z_0)$, desde que las ecuaciones de C-R no son una condición suficiente para la diferenciabilidad en el sentido complejo.

Ejemplo 19.4.
Consideremos el ejercicio 6 de la entrada 17. Tenemos que la función: \begin{equation*} f(z)= \left\{\begin{array}{lcc} \dfrac{z^5}{|\,z\,|^4}& \text{si} & z\neq 0, \\ 0 & \text{si} & z = 0, \end{array} \right. \end{equation*} satisface las ecuaciones de C-R en $z=0$, pero $f'(0)$ no existe.

Notemos que para $z=x+iy \neq 0$ tenemos que: \begin{equation*} f(z) = \frac{x^5-10x^3y^2 + 5xy^4}{(x^2+y^2)^2} + i \left(\frac{x^4-10x^2y^3 + y^5}{(x^2+y^2)^2}\right), \end{equation*} por lo que: \begin{align*} \frac{\partial u }{\partial x}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{u(h,0) – u(0,0)}{h} = 0\\ \frac{\partial u }{\partial y}(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{u(0,k) – u(0,0)}{k} = 0\\ \frac{\partial v}{\partial x}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{v(h,0) – v(0,0)}{h} = 0\\ \frac{\partial v}{\partial y}(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{v(0,k) – u(0,0)}{k} = 0, \end{align*}

entonces, considerando la definición 19.1, tenemos que: \begin{align*} \frac{\partial f}{\partial z}(0,0) = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u }{\partial x}(0,0) + \frac{\partial v}{\partial y}(0,0) \right) + \frac{i}{2} \left(\frac{\partial v }{\partial x}(0,0) – \frac{\partial u}{\partial y}(0,0) \right) = 0,\\ \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} (0,0)= \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u }{\partial x}(0,0) – \frac{\partial v}{\partial y}(0,0) \right) + \frac{i}{2} \left(\frac{\partial v }{\partial x}(0,0) + \frac{\partial u}{\partial y}(0,0) \right) = 0, \end{align*}

es decir que $f_z(0,0) = f_{\overline{z}}(0,0) = 0$. Sin embargo, notemos que para $z\neq 0$ se tiene que: \begin{align*} \lim_{z\to 0} \frac{f(z) – f(0)}{z-0} & = \lim_{z\to 0} \frac{z^4}{|\,z\,|^4}\\ & = \lim_{z\to 0} \frac{z^2}{\overline{z}^2}, \end{align*} pero dicho límite no existe pues si nos aproximamos a $0$ a través de la recta $y=x$ tenemos que: \begin{align*} \lim_{z\to 0} \frac{f(z) – f(0)}{z-0} & = \lim_{x\to 0} \frac{x^2 \left(1+i\right)^2}{x^2 \left(1-i\right)^2}\ & = \left(\frac{ 1+i}{1-i}\right)^2 = -1, \end{align*}

mientras que si nos aproximamos a $0$ a través del eje $x$ tenemos que: \begin{equation*} \lim_{z\to 0} \frac{f(z) – f(0)}{z-0} = \lim_{x\to 0} \frac{\left(x + i0\right)^2}{\left(x-i0\right)^2} = 1, \end{equation*} por lo que $f'(0)$ no existe.

El resultado obtenido en este ejemplo no contradice el teorema 18.1 de la entrada anterior ni a la proposición 19.1 de esta entrada, sino que en ambos casos no se cumple la hipótesis de continuidad de las derivadas parciales de las funciones $u$ y $v$ que determinan a $f$.

Lema 19.2.
Sea $D\subset\mathbb{R}^2$ un conjunto abierto y conexo. Si $u:D\to\mathbb{R}$ es una función real tal que $u_x(z) = u_y(z) = 0$ para todo $z=(x,y)\in D$, entonces $u$ es una función constante en $D$.

Demostración. Dadas las hipótesis, tomemos a $z_0=(x_0,y_0)\in D$ fijo, entonces existe algún $r>0$ tal que $B(z_0,r)\subset D$. Sea $z=(x,y)\in B(z_0,r)$, procediendo como en la prueba del teorema 18.1 de la entrada anterior, concluimos, por el teorema del valor intermedio para funciones reales, que existen $\alpha, \beta\in(0,1)$, tales que:
\begin{align*} u(z)-u(z_0) & = u(x,y)-u(x_0,y_0)\\ & = (x-x_0) u_x(x_0+\alpha(x-x_0),y) + (y-y_0) u_y(x_0, y_0+\beta(y-y_0)).\tag{19.2} \end{align*}

Sean $\zeta_1 = (x_0+\alpha(x-x_0),y)$ y $\zeta_2 = (x_0,y_0+\beta(y-y_0))$, para algunos $\alpha, \beta\in(0,1)$. Es claro que, figura 75: \begin{equation*} \left| \zeta_1 – z_0 \right| \leq \left| z – z_0 \right|<r, \quad \left| \zeta_2 – z_0\right| \leq \left| z – z_0 \right|<r, \end{equation*} por lo que, la igualdad en (19.2) es equivalente a decir que existen $\zeta_1, \zeta_2 \in B(z_0,r)$ tales que: \begin{equation*} u(z)-u(z_0) = (x-x_0) u_x(\zeta_1) + (y-y_0) u_y(\zeta_2). \tag{19.3} \end{equation*}

Figura 75: $\zeta_1, \zeta_2 \in B(z_0,r)$ dados por el segmento de recta $[z_0, z]$ contenido en el disco abierto con centro en $z_0$ y radio $r>0$.

De acuerdo con la igualdad (19.3), como $\zeta_1, \zeta_2 \in D$, entonces por hipótesis se cumple que: \begin{equation*} u(z)-u(z_0) = (x-x_0) \cdot 0 + (y-y_0) \cdot 0 = 0, \end{equation*} por lo que para todo $z\in B(z_0, r)$ se cumple que $u(z) = u(z_0)$, es decir que $u$ es una función constante en todo disco abierto completamente contenido en $D$.

Para $z_0\in D$ un punto fijo, definimos los siguientes conjuntos: \begin{equation*} U=\{ z\in D : u(z) = u(z_0)\} \quad \text{y} \quad V=\{ z\in D : u(z) \neq u(z_0)\}. \end{equation*}

Probemos que $U$ y $V$ son conjuntos abiertos en $D$.

Sea $z\in U$, entonces $u(z) = u(z_0)$. Por otra parte, como $D$ es abierto entonces existe $r>0$ tal que $B(z,r) \subset D$. Veamos que $B(z,r) \subset U$.

De acuerdo con lo que probamos antes, es claro que para todo $z^* \in B(z,r)$ la función $u$ es constante en dicho disco, por lo que $u(z) = u(z^*)$, entonces para todo $z^* \in B(z,r)$ se cumple que $u(z^*) = u(z_0)$, es decir que $z^* \in U$, así: \begin{equation*} B(z,r) \subset U, \end{equation*} entonces concluimos que $U$ es un conjunto abierto. De manera análoga se verifica que $V$ es un conjunto abierto, por lo que se deja como ejercicio al lector.

Tenemos entonces que $D = U \cup V$ y $U \cap V = \emptyset$, pero como $D$ es un conjunto conexo, entonces uno de los dos conjuntos $U$ o $V$ debe ser vacío. Por construcción es claro que $z_0\in U$, por lo que $V = \emptyset$, por lo tanto $D = U$, entonces para todo $z\in D$ se cumple que $u(z) = u(z_0)$, es decir que $u$ es una función constante en $D$.

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Proposición 19.2.
Sean $D\subset\mathbb{C}$ un dominio y $f:D\to\mathbb{C}$ una función analítica en $D$. Supongamos que $f'(z) = 0$ para todo $z\in D$, entonces $f$ es una función constante en $D$.

Demostración. Dadas las hipótesis, tomemos a $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ definida en $D$. Como $f$ es una función analítica en $D$, entonces las funciones $u$ y $v$ satisfacen las ecuaciones de C-R en $D$ y se cumple que: \begin{equation*} f'(z) = u_x(z) + iv_x(z), \quad \forall z = x+iy \in D. \end{equation*}

Por hipótesis tenemos que: \begin{equation*} 0 = f'(z) = u_x(z) + iv_x(z) = v_y(z) – i u_y(z), \end{equation*} para todo $z \in D$, es decir que para todo punto en $D$ se cumple que: \begin{equation*} u_x(x,y) = u_y(x,y) = v_x(x,y) = v_y(x,y) = 0. \end{equation*}

Considerando el lema 19.2 concluimos que las funciones $u$ y $v$ son constantes en $D$ y por tanto que $f$ es una función constante en $D$.

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Corolario 19.1.
Sean $D\subset\mathbb{C}$ un dominio y $f,g\in \mathcal{F}(D)$ dos funciones analíticas en $D$. Si $f$ y $g$ coinciden en un punto y tienen la misma derivada en $D$, entonces $f$ y $g$ son idénticas.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

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Observación 19.5.
La propiedad de conexidad del dominio $D$ es necesaria. Notemos que en la prueba de la proposición 19.2, de manera implícita, usamos fuertemente el hecho de que $D$ era un conjunto conexo, pero si $D$ solo es un conjunto abierto el resultado no es válido.

Ejemplo 19.5.
Consideremos al conjunto $U = \{ z=x+iy\in\mathbb{C} : x \neq 0\}$, el cual es abierto en $\mathbb{C}$. Definimos a la función: \begin{equation*} f(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} 1 & \text{si} & \operatorname{Re}(z)>0, \\ 2 & \text{si} & \operatorname{Re}(z)<0. \end{array} \right. \end{equation*} Claramente la función $f(z)$ es analítica en $U$ y $f'(z) = 0$ para todo $z\in U$, sin embargo $f$ no es una función constante.

Procedemos ahora a probar un resultado en el cual podemos ver que la analicidad de una función compleja es una propiedad más restrictiva que la diferenciabilidad en el sentido real.

Proposición 19.3.
Sean $D\subset\mathbb{C}$ un dominio y $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ una función analítica en $D$.

  1. Si $u$ ó $v$ son constantes en $D$, entonces $f$ también es una función constante en $D$.
  2. Si $|\,f\,|$ es constante en $D$, entonces $f$ también es una función constante en $D$.

Dadas las hipótesis, como $f$ es una función analítica en $D$, entonces las funciones $u$ y $v$ satisfacen las ecuaciones de C-R en $D$ y se tiene que: \begin{equation*} f'(z) = u_x(z) + iv_x(z) = v_y(z) – iu_y(z), \quad \forall z\in D\tag{19.4} \end{equation*}

  1. Probaremos el resultado considerando a la función $u$ como constante, el caso en el que la función $v$ es constante es completamente análogo.

Si suponemos que $u$ es una función constante en $D$, entonces se cumple que: \begin{equation*} u_x(z) = u_y(z) = 0, \quad \forall z=x+iy\in D. \end{equation*}

De acuerdo con (19.4) tenemos que: \begin{equation*} f'(z) = u_x(z) – iu_y(z) = 0, \end{equation*} para todo $z=x+iy\in D$, por lo que se sigue de la proposición 19.2 que $f$ es constante en $D$.

  1. Supongamos ahora que $|\,f\,|$ es una función constante en $D$, entonces tenemos que: \begin{equation*} |\,f(z)\,|^2 = u^2(x,y) + v^2(x,y) = c, \tag{19.5} \end{equation*} para todo $z=x+iy\in D$ y para alguna constante real $c\geq 0$.

Si $c = 0 $, entonces es claro que $f(z) = 0$ para todo $z=x+iy\in D$, por lo que en tal caso $f$ es constante.

Supongamos que $c > 0 $, entonces tomando derivadas parciales en (19.5), con respecto a $x$ e $y$, para todo $z=x+iy\in D$ tenemos que: \begin{align*} 2u(x,y) u_x(x,y) + 2 v(x,y) v_x(x,y) = 0,\\ 2u(x,y) u_y(x,y) + 2 v(x,y) v_y(x,y) = 0, \end{align*}

Por hipótesis sabemos que se cumplen las ecuaciones de C-R en $D$, por lo que para todo $z=x+iy \in D$ se tiene que: \begin{align*} u(x,y) u_x(x,y) – v(x,y) u_y(x,y) = 0,\\ u(x,y) u_y(x,y) + v(x,y) u_x(x,y) = 0. \end{align*}

Multiplicando por las funciones $u(x,y)$ y $v(x,y)$, respectivamente, en las igualdades anteriores, procedemos a sumarlas y restarlas, entonces para todo $z=x+iy\in D$ tenemos que: \begin{align*} u_x(x,y)\left(u^2(x,y) + v^2(x,y) \right) = 0,\\ u_y(x,y)\left(u^2(x,y) + v^2(x,y) \right) = 0, \end{align*} de donde $u_x(x,y) = u_y(x,y) = 0$ para todo $z=x+iy\in D$. De manera análoga podemos obtener que $v_x(x,y) = v_y(x,y) = 0$ en $D$. Considerando el lema 19.2 concluimos que $u$ es una función constante en $D$, por lo que, de acuerdo con la primera parte de la prueba, $f$ es una función constante en $D$.

Tarea moral

  1. Demuestra el lema 19.1 y la proposición 19.1.
  2. Sea $D\subset\mathbb{C}$ un dominio. Supón que $f$ y $|\,f\,|$ son funciones analíticas en $D$. Prueba que $f$ es una función constante en $D$.
  3. Obtén las derivadas parciales $f_z$ y $f_{\overline{z}}$ para las siguientes funciones complejas:
    a) $f(z) = 2x^3y^2 + i(x^2-y)$.
    b) $f(z) = \dfrac{x-1-iy}{(x-1)^2 + y^2}$.
    c) $f(z) = x^2+y^2+3x+1+i3y$.
    d) $f(z) = x^2-y^2+i3xy$.
    e) $f(z) = (x+iy)(x^2+y^2)$.
    ¿Son analíticas? ¿Son diferenciables?
  4. Sea $U\subset \mathbb{C}$ un conjunto abierto y $f:U\to\mathbb{C}$ una función de clase $C^1$. Muestra que para todo $z\in U$ se cumple que:
    a) $(\overline{f})_z = \overline{f_{\overline{z}}}$.
    b) $(\overline{f})_{\overline{z}} = \overline{f_z}$.
  5. Sean $D\subset\mathbb{C}$ un dominio y $f \in \mathcal{F}(D)$ una función analítica. Supón que existen $a,b,c\in\mathbb{R}$, constantes reales con $a^2 + b^2 > 0$, tales que: \begin{equation*} a \operatorname{Re} f(z) + b \operatorname{Im} f(z) = c, \quad \forall z \in D. \end{equation*} Prueba que la función $f$ es constante en $D$.
  6. Sea $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ un polinomio. Supón que: \begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial z} = 0 = \frac{\partial f}{\partial \overline{z}}, \quad \forall z\in \mathbb{C}. \end{equation*} Prueba que la función $f$ es constante.
  7. Demuestra el corolario 19.1.
  8. Sea $U\subset \mathbb{C}$ un conjunto abierto y sean $f,g:U \to \mathbb{C}$ dos funciones de clase $C^1$. Muestra que para cualesquiera constantes $a,b\in\mathbb{C}$ se cumple que:
    a) $\dfrac{\partial}{\partial z}\left( a f + b g\right) = a \dfrac{\partial f}{\partial z} + b \dfrac{\partial g}{\partial z}$.
    b) $\dfrac{\partial}{\partial \overline{z}}\left( a f + b g\right) = a \dfrac{\partial f}{\partial \overline{z}} + b \dfrac{\partial g}{\partial \overline{z}}$.
    c) $\dfrac{\partial}{\partial z}\left( fg\right) = g \dfrac{\partial f}{\partial z} + f \dfrac{\partial g}{\partial z}$.
    d) $\dfrac{\partial}{\partial \overline{z}}\left( fg\right) = g \dfrac{\partial f}{\partial \overline{z}} + f \dfrac{\partial g}{\partial \overline{z}}$.
  9. Sean $U, V\subset \mathbb{C}$ dos conjuntos abiertos. Supón que $f:U \to \mathbb{C}$ y $g:V \to \mathbb{C}$ son dos funciones de clase $C^1$ y que $f(U) \subset V$. Muestra que: \begin{align*} \left(g\circ f\right)_z = \left(g_z \circ f\right)f_z + \left(g_{\overline{z}} \circ f\right)\left(\overline{f}\right)_z,\\ \left(g \circ f\right)_{\overline{z}} = \left(g_z\circ f\right)f_{\overline{z}} + \left(g_{\overline{z}} \circ f\right)\left(\overline{f}\right)_{\overline{z}}. \end{align*} Concluye que:
    a) Si $f$ es analítica en $U$, entonces: \begin{equation*} \left(g\circ f\right)_z = \left(g_z \circ f\right)f’, \quad \left(g \circ f\right)_{\overline{z}} = \left(g_{\overline{z}} \circ f\right)\overline{f’}. \end{equation*}
    b) Si $g$ es analítica en $V$, entonces: \begin{equation*} \left(g\circ f\right)_z = \left(g’ \circ f\right)f_z, \quad \left(g\circ f\right)_{\overline{z}} = \left(g’ \circ f\right)f_{\overline{z}}.\end{equation*}

Más adelante…

En esta entrada hemos deducido una serie de resultados que son consecuencia directa de las ecuaciones de C-R, además de caracterizar aún más a la diferenciabilidad compleja a través del concepto de analicidad de una función, que como vimos resulta ser un concepto más restrictivo que el de diferenciabilidad real. Mediante los resultados de esta entrada hemos concluido que las «genuinas» funciones complejas que resultan ser analíticas son aquellas que solo están dadas en términos de la variable compleja $z$, es decir que no dependen de $\overline{z}$.

La siguientes entradas definiremos algunas de las funciones complejas elementales para la teoría. Mediante estas funciones haremos una extensión de las funciones reales como la exponencial, el logaritmo y las funciones trigonométricas. Veremos que para el caso complejo muchas de las propiedades que satisfacen dichas funciones reales se seguirán cumpliendo, aunque como es de esperarse veremos que en el caso complejo estas funciones cumplen otras propiedades como la periodicidad y retomaremos nuevamente el concepto de funciones multivaludas.

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