Introducción

En una recta, el vector unitario tangente $T$ no cambia su dirección y por tanto $T^{\prime}=0$. Si la curva no es una linea recta, la derivada $T^{\prime}$ mide la tendencia de la tangente a cambiar su dirección. El coeficiente de variación o derivada de la tangente unitaria respecto a la longitud de arco se denomina vector curvatura de la curva. Se designa por $\displaystyle{dT/ds}$ donde s representa la
longitud de arco.

Sea $f:[a,b]\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ una curva dos veces diferenciable parametrizada por longitud de arco y T su vector tangente unitario. La curvatura de f es la función
$$\kappa=\left\|\frac{dT}{ds}\right\|=\|f^{\prime\prime}(s)\|$$
La letra $\kappa$ es la letra griega kappa. La curvatura mide la flexión de la curva.
Mostraremos que una recta, es una curva que no se flexiona, tiene curvatura 0
Ejemplo. Calcule la curvatura en todo punto de la recta $f(t)=(x_{0},y_{0},z_{0})+t(u_{1},u_{u},u_{3})$ donde $\|u\|=1$
tenemos:
\[ f^{\prime}(t)=(u_{1},u_{2},u_{3})\ \ \ \ \ \text{y}\ \ \ \ \ \|f^{\prime}(t)\|=\|u\|=1
\]
Por lo tanto la curva esta parametrizada por longitud de arco
Por lo tanto $\kappa=\|f^{\prime\prime}(t)\|=0$, por lo tanto
$\kappa=0$.$~~\blacksquare$
Ejemplo Calcule la curvatura de una circunferencia. Para un círculo de radio $R$ dado por la ecuación
$$f(t)=(R\cos t,R \sin t)$$
tenemos:
La parametrizacion por longitud de arco es:
$$s=\int_{0}^{t}\|f'(u)\|du=\int_{0}^{t}Rdt=Rt~\rightarrow~s=Rt~\Rightarrow~t=\frac{s}{R}$$
de esta manera se tiene
\begin{align*} \overline{f}(s) &=f\left(\frac{s}{R}\right)=\left(R\cos\left(\frac{s}{R}\right),R\sin\left(\frac{s}{R}\right)\right) \\ \overline{f}^{\prime}(s)&=\left(-\sin \left(\frac{s}{R}\right), \cos \left(\frac{s}{R}\right)\right) \\ \overline{f}^{\prime\prime}(s)&=\left(-\frac{1}{R}\cos \left(\frac{s}{R}\right),-\frac{1}{R} \sin \left(\frac{s}{R}\right)\right) \end{align*}
Por lo tanto $\displaystyle{\kappa=\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|=\frac{1}{R}}$.
Esto prueba que una circunferencia tiene curvatura constante.
El siguiente teorema nos proporciona otras fórmulas que nos permiten calcular la
curvatura parametrizada por otro parámetro t, que no es necesariamente la longitud
de arco.
Teorema. Sea $f(t)$ una curva dos veces diferenciable. Entonces
$$\kappa(t)=\frac{\|T'(t)\|}{\|f'(t)\|}$$
Demostración. Sabemos que $\displaystyle{s^{\prime}(t)=\|f^{\prime}(t)\|}$. Además usando la regla de la cadena
$\begin{align*} T'(t)&=\frac{dT}{dt}=\frac{dT}{ds}\frac{ds}{dt}=\frac{dT}{ds}\|f'(t)\| \\ &~\Rightarrow~\frac{dT}{ds}=\frac{T'(t)}{\|f'(t)\|} \\ &~\Rightarrow~\left\|\frac{dT}{ds}\right\|=\frac{\|T'(t)\|}{\|f'(t)\|} \\ &~\Rightarrow~\kappa(t)=\frac{\|T'(t)\|}{\|f'(t)\|}.~~ \blacksquare \end{align*}$
Ejemplo.
Calcule la curvatura $\kappa$ de la hélice
$x(t)=a\cos(wt)$, $y(t=a\sin(wt))$, $z(t)=bt$.
Solución. Tenemos que: \[f^{\prime}(t)=(-wa\sin(wt),aw\cos(wt),b)\ \ \Rightarrow\ \ \|f^{\prime}(t)\|=\sqrt{a^2w^2+b^2}\] Por lo tanto \[ T=(-aw\sin(wt),aw\cos(wt),b)\frac{1}{\sqrt{a^2w^2+b^2}} \] Por lo tanto \[ k=\frac{\|T^{\prime}\|}{\|f^{\prime}\|}= \|-aw^2\cos(wt),-aw^2\sin(wt),0\|\frac{1}{\sqrt{a^2w^2+b^2}}= \] \[ =\sqrt{(aw^2)^2(\cos^2(wt)+\sin^2(wt))}\ \frac{1}{\sqrt{a^2w^2+b^2}}= \frac{aw^2}{\sqrt{a^2w^2+b^2}}.~~ \blacksquare \]

Teorema . Sea $f(t)$ una curva dos veces diferenciable. Entonces
$$\kappa(t)=\frac{\|f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\|}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}$$
Demostración. Si $$T=\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\Rightarrow
T~\|f^{\prime}(t)\|=f^{\prime}(t)\Rightarrow
T\frac{ds}{dt}=f^{\prime}(t)$$Por lo tanto
$$f^{\prime\prime}(t)=T\frac{d^{2}s}{dt^{2}}+\frac{ds}{dt}T^{\prime}$$
Haciendo el producto cruz $$f^{\prime}(t)\times
f^{\prime\prime}(t)=T\frac{ds}{dt}\times
\left(T\frac{d^{2}s}{dt^{2}}+\frac{ds}{dt}T^{\prime}\right)=\cancel{T\frac{ds}{dt}\times
T\frac{d^{2}s}{dt^{2}}}+T\frac{ds}{dt}\times
\frac{ds}{dt}T^{\prime}$$Por lo tanto
$$\|f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\|=\left\|T\frac{ds}{dt}\times
\frac{ds}{dt}T^{\prime}\right\|=\left(\frac{ds}{dt}\right)\left\|T\right\|\left(\frac{ds}{dt}\right)\left\|T^{\prime}\right\|\sin(T,T^{\prime})=\left(\frac{ds}{dt}\right)^{2}\left\|T^{\prime}\right\|$$En
cosecuencia$$\frac{\|f^{\prime}(t)\times
f^{\prime\prime}(t)\|}{\left(\frac{ds}{dt}\right)^{2}}=\|T^{\prime}|\Rightarrow
\|T^{\prime}\|=\frac{\|f^{\prime}(t)\times
f^{\prime\prime}(t)\|}{\|f^{\prime}(t)\|^{2}}$$ sustituimos en
$$k(t)=\frac{\|T^{\prime}(t)\|}{\|f^{\prime}(t)\|}\Rightarrow \kappa(t)=\frac{\frac{\|f^{\prime}(t)\times
f^{\prime\prime}(t)\|}{\|f^{\prime}(t)\|^{2}}}{\|f^{\prime}(t)\|}\Rightarrow
\kappa(t)=\frac{\|f^{\prime}(t)\times
f^{\prime\prime}(t)\|}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}.~~ \blacksquare $$
Ejemplo. Hallar la función curvatura $\kappa(t)$ de la curva
$$f(t)=\left(t^{2},t,\frac{2t^{3}}{3}\right)$$
Solución. Según la fórmula anterior
\begin{align*} f'(t) & =(2t,1,2t^{2}) \\\ f^{\prime\prime}(t) & =(2,0,4t) \\ \|f'(t)\| & =\sqrt{4t^{2}+1+4t^{4}}=2t^{2}+1 \end{align*}
Por lo que
\begin{align*} f'(t)\times f^{\prime\prime}(t) & =\left|\begin{matrix}i&j&k\\2t&1&2t^{2}\\2&0&4t\end{matrix}\right| \\ & =2(2t,-2t^{2},-1) \\ \|f'(t)\times f^{\prime\prime}(t)\|&=2\sqrt{4t^{2}+4t^{4}+1}=2(2t^{2}+1) \end{align*}
Luego
$$\kappa(t)=\frac{\|f^{\prime}(t)\times
f^{\prime\prime}(t)\|}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}=\frac{2(2t^{2}+1)}{(2t^{2}+1)^{3}}=\frac{2}{(2t^{2}+1)^{2}}.~~ \blacksquare $$
Ejemplo. Para el caso especial de una curva plana con ecuación $y=f(x)$ podemos escoger $x$ como el parámetro y escribir $r(x)=x\hat{i}+f(x)\hat{j}$ entonces
\begin{align*}r^{\prime}(x)&=\hat{i}+f^{\prime}(x)\hat{j}\\r^{\prime
\prime}(x)&=f^{\prime \prime}(x)\hat{j}\end{align*} y al efectuar:
\[
r^{\prime}(x)\ \text{x}\ r^{\prime \prime}(x)=
\left|
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
1 & f^{\prime}(x) & 0 \\
0 & f^{\prime \prime}(x) & 0 \\
\end{array}
\right|= f^{\prime \prime}(x)\hat{k}
\]

Por lo tanto $\|r^{\prime}(x)\ \times r^{\prime\prime}(x)\|=|f^{\prime\prime}(x)|$.
Por lo tanto, para una curva plana
\[
\kappa(x)=\frac{\|r'(t)\times r^{\prime\prime}(t)\|}{\|r'(t)\|^{3}}=\frac{|f^{\prime\prime}(x)|}{\left(1+[f^{\prime}(x)]^2\right)^{3/2}}.~~ \blacksquare
\]
Ejemplo. Calcular la curvatura del gráfico $f(x)=e^{-x}$.
Solución. Tenemos que: $f'(x)=-e^{-x}$ y $f^{\prime\prime}(x)=e^{-x}$. Luego
$$\kappa(x)=\frac{|f^{\prime\prime}(x)|}{\left[1+\left(f'(x)\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}=\frac{e^{-x}}{\left[1+\left(-e^{-x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}=\frac{e^{-x}}{\left[e^{-2x}+1\right]^{\frac{3}{2}}}.~~ \blacksquare$$

Circunferencia y radio de curvatura

Sea $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ una curva plana y un punto $P$ sobre una curva plana donde $\kappa\neq 0$. Se llama circunferencia de curvatura o circunferencia osculadora de la curva en el punto P a la circunferencia que cumple las siguientes condiciones:
(a) Es tangente a la curva en P. (la circunferencia y la curva tienen la misma recta tangente en el punto P).
(b) Tiene la misma curvatura ($\kappa$) que la curva en P.
(c) Se encuentra hacia el lado concavo o interior de la curva.
(d) El radio de la curvatura de la curva P es el radio del círculo de curvatura o círculo osculador. $$\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}$$

Asi el centro del círculo osculador (llamado centro de curvatura)
debe estar en:

\[
c(t)=f(t)+\frac{1}{k(t)}N(t)
\]
Ejemplo. Determine los vectores $T$ y $N$, la curvatura $k$, el centro de la curvatura y la circunferencia osculadora de la parábola $y=x^2$ en el punto $(1,1)$.
Solución. Si la parábola esta
parametrizada por $x=t$ y por $y=t^2$, entonces su vector de
posición es $f(t)=(t,t^2)$, por lo tanto
\begin{align*}f(t)=(t,t^2)&\Rightarrow f^{\prime}(t)=(1,2t)\\&\Rightarrow\|f^{\prime}(t)\|=\sqrt{1+4t^2}\\&\Rightarrow f^{\prime\prime}(t)=(0,2)\end{align*}
por lo tanto:
\[ T(t)=\frac{(1,2t)}{\sqrt{1+4t^2}}\ \ \ \ \ \ \ T(1)=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\ \ \ \ \ \ \ N(1)=\left(\frac{-2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \] la curvatura $\kappa$, \[ k=\frac{\|f^{\prime\prime}(t)\|}{\left(\sqrt{1+[f^{\prime}(t)]^2}\right)^3}= \frac{2}{\left(\sqrt{1+4t^2}\right)^3}\ \ \ \ \ \ \ k(1)=\frac{2}{5\sqrt{5}}\ \ \Rightarrow\ \ \rho=\frac{5\sqrt{5}}{2} \] Por lo tanto el centro de la curvatura es \[ c(t)=f(1,1)+\frac{1}{\frac{2}{5\sqrt{5}}}\left(\frac{-2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right)= \left(-4,\frac{7}{2}\right) \] Y la ecuación del círculo osculador a la parábola es, por tanto: \[ (x+4)^2+\left(y-\frac{7}{2}\right)^2= \left(\frac{5\sqrt{5}}{2}\right)^2=\frac{125}{4}.~~ \blacksquare \]

Torsión

Sea $f:I\subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{3}$ una curva tres veces diferenciable parametrizada por longitud de arco. Nuestro objetivo consistira en estimar con que rapidez una curva se aleja de su plano osculador

La forma de medir la rapidez de alejamiento de la curva f de su plano osculador es por medio del vector binormal $B(s)=T(s)\times N(s)$, que sabemos es un vector unitario ortogonal al plano osculador de f en P. Puesto que $\|B(s)\|=1$, $\forall~s\in I$, la magnitud de la derivada $\|B'(s)\|$ de $B(s)$ medirá precisamente la rapidez con la que el vector binormal $B(s)$ está cambiando de dirección en los alrededores del punto estudiado.
Puesto que $B(s)=T(s)\times N(s)$, tenemos, derivando
$$B'(s)=T(s)\times N'(s)+T'(s)\times N(s)$$
El sumando $T'(s)\times N(s)$ que aparece en esta expresión es igual a cero, ya que $T'(s)=f^{\prime\prime}(s)$ es un vector en la dirección de $N(s)$ (y por lo tanto son colineales; por lo que su producto cruz es cero). Entonces nos queda
$$B'(s)=T(s)\times N'(s)$$
También tenemos que
$$\|B\|=1~\Rightarrow~\frac{d \|B\|^{2}}{ds}=0~\Rightarrow~\frac{d(B\cdot B)}{ds}=0~\Rightarrow~B\cdot B’+B’\cdot B=0~\Rightarrow~B’\cdot B=0~\Rightarrow~B’\bot B $$ Esto nos permite concluir que $B'(s)$ es un vector en el plano osculador de f en s. Por otro lado $$B\cdot T=0~\Rightarrow~(B\cdot T)’=0~\Rightarrow~B’\cdot T+T’\cdot B=0~\underbrace{\Rightarrow}_{\textcolor{red}{T’\cdot B=N~ \|T’\|\cdot B=0}}~B’\cdot T=0~\Rightarrow~B’\bot T$$
De lo anterior podemos concluir que $B’$ tiene la dirección del vector $N$. Debe entonces existir un escalar $\tau(s)$ tal que
$$B'(s)=\tau(s)N(s)$$
Definición. Sea $f:I\subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{3}$ una curva tres veces diferenciable parametrizada por longitud de arco tal que $f»(s)\neq 0$ $\forall~s\in I$. El número $\tau(s)$ tal que $B'(s)=-\tau(s)N(s)$ se llama torsión de f en s.
Notese que
$$\|B'(s)\|=|\tau(s)|$$
Ejemplo. Dada la función
$$f(t)=(\cos(t),\sin(t),t)$$
cuya reparametrización por longitud de arco es:
$$\overline{f}(s)=\left(\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\frac{s}{\sqrt{2}}\right)$$
cuyo vector normal es
$$N(s)=\left(-\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),-\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),0\right)$$
cuyo vector binormal es
$$B(s)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),-\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),1\right)$$
de modo que
$$B'(s)=\frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),0\right)$$
y por lo tanto se tiene
$$|\tau(s)|=\|B'(s)\|=\frac{1}{2}.~~ \blacksquare$$
Una curva es plana (es decir, es la imagen de un camino $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ tal que f(s) se encuentra en un plano en $\mathbb{R}^{3}$ para toda $s\in [a,b]$) si y sólo si su torsión es igual a cero $(\forall~s\in [a,b])$.
En efecto, si $\tau(s)=0$, se tiene que $B'(s)=0$, por lo que el vector binormal $B(s)$ debe ser constante, es decir $B(s)=v$ para todo $s\in[a,b]$. De aquí se tiene que
$$f'(s)\cdot B(s)=f'(s)\cdot v=0~~~\forall~s\in[a,b]$$
(pues $f'(s)$ es ortogonal a $B(s)$), o sea
$$\frac{d(f(s)\cdot v)}{ds}=0$$
de donde $f(s)\cdot v=cte~~~\forall~s\in[a,b]$, y por lo tanto, concluimos que $f(s)$ se encuentra en el plano cuyo vector normal es v, $\forall~s\in[a,b]$.

Recíprocamente, si $f(s)$ se encuentra en un plano para toda s en $[a,b]$, entonces dicho plano es el plano osculador de la curva en todo punto de ella, por tanto el vector unitario $B(s)$ no cambia de dirección, por lo que $B'(s)=0$. de donde $\tau(s)=0$ para toda s en $[a,b]$. $\blacksquare$

Fórmula para calcular la Torsión en términos de la parametrización por longitud de arco

La torsión representa una variación en la dirección del vector binormal, procederemos ahora a desarrollar una fórmula para calcularla
Sea $\overline{f}:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ la reparametrización por longitud de arco de f, $\overline{f}=f\circ\varphi$. Queremos calcular la torsión de f en t, donde $t=\varphi(s)$. Sabemos que
\begin{align*} T(s) & =\overline{f}'(s)=\frac{f'(t)}{\|f'(t)\|} \\ T'(s)&=\overline{f}»(s)=\frac{d\left(\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)}{ds} \\ &=\frac{d\left(\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)}{dt}\frac{dt}{ds}=\frac{d\left(\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)}{dt}\frac{1}{\frac{ds}{dt}}\\ &=\frac{d\left(\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)}{dt}\frac{1}{\varphi^{\prime}(s)}\\ &=\frac{d\left(\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)}{dt}\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|}\\ &=\left(\frac{\|f^{\prime}(t)\|f^{\prime\prime}-f^{\prime}(t)\frac{d\left(\|f^{\prime}(t)\|\right)}{dt}}{\|f^{\prime}(t)\|^{2}}\right)\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|}\\ &=\left(\frac{\|f^{\prime}(t)\|f^{\prime\prime}-f^{\prime}(t)\frac{f^{\prime}\cdot f^{\prime\prime}}{\|f^{\prime}(t)\|}}{\|f^{\prime}(t)|^{2}}\right)\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|}~~\left(\frac{d\left(\|f^{\prime}(t)\|\right)}{dt}=\frac{d\sqrt{f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime}(t)}}{dt}=\frac{f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)\\ &=\left(\frac{\|f^{\prime}(t)\|^{2}f^{\prime\prime}-\left(f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)\right)f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}\\ &=\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{4}}\left(\|f^{\prime}(t)\|^{2}f^{\prime\prime}(t)-\left(f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)\right)f^{\prime}(t)\right)\\ N(s) &=\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)}{\kappa(s)} =\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|} \end{align*}
calculemos
$$B'(s)=T(s)\times N'(s)$$ en este caso
\begin{align*} N^{\prime}(s) & =\frac{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|\overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)-\overline{f}^{\prime\prime}(s)\left(\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|}\right)}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|^{2}} \\ &=\frac{\overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|}-\overline{f}^{\prime\prime}(s)\left(\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|^{3}}\right) \end{align*}
Luego si $B^{\prime}(s)=T(s) \times N^{\prime}(s)$ entonces se tiene que
\begin{align*} B^{\prime}(s) &=\overline{f}^{\prime}(s)\times \left(\frac{\overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{|\overline{f}^{\prime\prime}(s)|}-\overline{f}^{\prime\prime}(s)\left(\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{|\overline{f}^{\prime\prime}(s)|^{3}}\right)\right) \\ &=\frac{1}{|\overline{f}^{\prime\prime}(s)|}\overline{f}^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)-\left(\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{|\overline{f}^{\prime\prime}(s)|^{3}}\right)\overline{f}^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime}(s) \end{align*}
La torsión esta dada por
\begin{align*} B^{\prime}(s) &=\tau(s)N(s) \\ &\Rightarrow B^{\prime}(s)\cdot N(s)=\tau(s)N(s)\cdot N(s) \\ &\Rightarrow B^{\prime}(s)\cdot N(s)=\tau(s)\|N(s)\|^{2} \\ &\Rightarrow B^{\prime}(s)\cdot N(s)=|\tau(s)| \end{align*}
Entonces
\begin{align*} \tau(s) &=B^{\prime}(s)\cdot N(s) \\ &=\left(\frac{1}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|}\overline{f}^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)-\left(\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{|\overline{f}^{\prime\prime}(s)|^{3}}\right)f^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime}(s)\right)\cdot \frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|} \\ &=\frac{1}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|^{2}}\overline{f}^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime}(s)-\cancel{\left(\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|^{4}}\right)\overline{f}^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime}(s)} \\ &=\frac{1}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|^{2}}\overline{f}^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime}(s) \end{align*}
La cancelación es porque $$\overline{f}^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot
\overline{f}^{\prime\prime}(s)=0$$ y como $$k(s)=\|\overline{f}^{\prime\prime}\|$$ se
tiene entonces que $$\boxed{\tau(s)=\frac{\overline{f}^{\prime}(s)\times
\overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime}(s)}{k(s)^{2}}=-\frac{\overline{f}^{\prime}(s)\times
\overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{k(s)^{2}}}$$

Fórmula para calcular la Torsión en términos del parámetro t

Ahora vamos a expresar la torsión en términos de t. Ya hemos visto que
\begin{align*} \overline{f}^{\prime}(s)&=\frac{f^{\prime}(t)}{|f^{\prime}(t)|} \\ f^{\prime\prime}(s) & =\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{4}}\left(|f^{\prime}(t)|^{2}f^{\prime\prime}(t)-\left(f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)\right)f^{\prime}(t)\right) \end{align*}
Por lo tanto
\begin{align*} f^{\prime}(s)\times f^{\prime\prime}(s) &=\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\times \left(\frac{1}{\|f^{\prime}\|^{4}}\left(\|f^{\prime}(t)\|^{2}f^{\prime\prime}(t)-\left(f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)\right)f^{\prime}(t)\right)\right) \\ &=\left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}\right)f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)-\left(\frac{f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|^{5}}\right)\cancel{f^{\prime}(t)\times f^{\prime}(t)} \\ &=\left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}\right)f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t) \end{align*}
Mientras que
\begin{align*} f^{\prime\prime\prime}(s) &=\frac{df^{\prime\prime}(s)}{ds}=\left(\frac{df^{\prime\prime}(s)}{dt}\right)\frac{dt}{ds}=\left(\frac{df^{\prime\prime}(s)}{dt}\right)\frac{1}{\frac{ds}{dt}} \\ &=\left(\frac{df^{\prime\prime}(s)}{dt}\right)\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|} \\ &=\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|}\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\|f^{\prime}\|^{4}}\left(\|f^{\prime}(t)\|^{2}f^{\prime\prime}(t)-\left(f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)\right)f^{\prime}(t)\right)\right) \\ &=\left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)\left[\left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{2}}f^{\prime\prime}(t)\right)+\left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{2}}\right)^{\prime}f^{\prime\prime}(t)\right. \\ &\left.-\left(\frac{f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|^{4}}\right)f^{\prime\prime}(t)-f^{\prime}(t)\left(\frac{f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|^{4}}\right)^{\prime}~\right] \end{align*}
Por lo tanto
\begin{align*} f^{\prime}(s)\times f^{\prime\prime}(s)\cdot f^{\prime\prime\prime}(s) &=\left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}\right)f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\cdot \left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)\left[\left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{2}}f^{\prime\prime}(t)\right)\right. \\ &\left.+\cancel{\left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{2}}\right)^{\prime}f^{\prime\prime}(t)}-\cancel{\left(\frac{f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|^{4}}\right)f^{\prime\prime}(t)}-\cancel{f^{\prime}(t)\left(\frac{f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}}{\|f^{\prime}(t)\|^{4}}\right)^{\prime}}~\right] \\ &=\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\cdot \frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}f^{\prime\prime\prime}(t) \\ &=\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{6}}f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime\prime}(t) \end{align*}
finalmente
\begin{align*} \tau(t) &=\frac{f^{\prime}(s)\times f^{\prime\prime\prime}(s)\cdot f^{\prime\prime}(s)}{k(s)^{2}} \\ &=-\frac{f^{\prime}(s)\times f^{\prime\prime}(s)\cdot f^{\prime\prime\prime}(s)}{k(s)^{2}} \\ &=-\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{6}}\frac{f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime\prime}}{\left(\frac{\|f^{\prime}\times f^{\prime\prime}(t)\|}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}\right)^{2}} \end{align*}
Tenemos que
la torsión esta dada por $$\boxed{\tau(t)=-\frac{f^{\prime}(t)\times
f^{\prime\prime}(t)\cdot
f^{\prime\prime\prime}(t)}{\left(\|f^{\prime}(t)\times
f^{\prime\prime}(t)\|\right)^{2}}}$$
Ejemplo. Probar que la torsión de la hélice $f(t)=(a\cos(t),a\sin(t),bt)$ es
$$\tau(t)=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}$$
Solución. En este caso
\begin{align*} f'(t) & =(-a\sin(t),a\cos(t),b) \\ f^{\prime\prime}(t) & =(-a\cos(t),-a\sin(t),0) \\ f^{\prime\prime\prime}(t) & =(a\sin(t),-a\cos(t),0) \end{align*}
Por lo que
$$f'(t)\times f^{\prime\prime}(t)=\left|\begin{matrix}i&j&k\\-a\sin(t)&a\cos(t)&b\\-a\cos(t)&-a\sin(t)&0\end{matrix}\right|=(ab\sin(t),-ab\cos(t),a^{2})$$
tenemos entonces
$$f'(t)\times f^{\prime\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime\prime}(t)=(ab\sin(t),-ab\cos(t),a^{2})\cdot (a\sin(t),-a\cos(t),0)=a^{2}b$$
$$\|f'(t)\times f»(t)\|=\|(ab\sin(t),-ab\cos(t),a^{2})\|=\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{4}}=|a|\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$
luego,
$$\tau(t)=\frac{[f'(t)\times f^{\prime\prime}(t)]\cdot f^{\prime\prime\prime}(t)}{\|f'(t)\times f^{\prime\prime}(t)\|^{2}}=\frac{a^{2}b}{\left(|a|\sqrt{a^{2}+b^{2}}\right)^{2}}=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}.~~ \blacksquare$$

Más adelante

Tarea Moral

Enlaces

Introducción

En esta sección se definen los distintos planos que podemos definir en el espacio $\mathbb{R}^n$ y sus respectivos vectores que ayudan a definirlos.

Plano Tangente

Sea $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ una curva tal que el vector derivada $f'(t)\neq 0$ para todo $t\in[a,b]$, es tangente a f y apunta en la dirección que el parámetro t crece.
Definición. Dada una curva $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$, el vector unitario tangente $T$ es otra función vectorial asociada a la curva, y está definida por:
\[
T(t)=\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\ \ \ \ \text{si}\ \ \ \|f^{\prime}(t)\| \neq 0.
\]
Si en la definición anterior, la curva está parametrizada por longitud de arco, considerando que $\|\overline{f}'(s)\|=1$, se tiene que
$$T(s)=\overline{f}'(s)$$

Propiedades del Vector Tangente

(a) En este caso se tiene que
\[
\|T(t)\|= \left\| \frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|} \right\|=
\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|} \|f^{\prime}(t)\|=1
\]
por lo tanto $T$ es de magnitud constante.
(b) Tenemos que
\begin{align*} \|T(t)\|=1&\Rightarrow \|T(t)\|^2=1\\&\Rightarrow \frac{d}{dt}\left(\|T(t)\|^2\right)=0\\&\Rightarrow \frac{d}{dt}\left(T(t)\cdot T(t)\right)=0\\&\Rightarrow T'(t)\cdot T(t)+T(t)\cdot T'(t)=0\\&\Rightarrow 2T(t)\cdot T'(t)=0\\&\rightarrow T(t)\cdot T'(t)=0\end{align*}
Esto es $T(t)$ y $T'(t)$ son ortogonales. Este resultado nos permite definir un vector unitario ortogonal a $T(t)$ y que tiene la misma dirección que $T'(t)$.

Vector Normal Principal

Definición. Si $\|T^{\prime}(t)\|\neq 0$ el vector unitario que tiene la misma dirección que $T^{\prime}$ se llama Normal Principal a la curva y se designa por $N(t)$. Asi pues $N(t)$ es una nueva función vectorial asociada a la curva y esta dada por la ecuación:
\[
N(t)=\frac{T^{\prime}(t)}{\|T^{\prime}(t)\|},\ \ \ \ \text{si} \ \ \|T^{\prime}(t)\| \neq 0
\]
Notese que
$$\|N(t)\|=\left\|\frac{T^{\prime}(t)}{\|T^{\prime}(t)\|}\right\|=1$$
Si en la definición anterior, la curva está parametrizada por
longitud de arco, considerando que $T(s)=\overline{f}'(s)$ , se tiene
$$N(s)=\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)}{|\overline{f}^{\prime\prime}(s)|}=\frac{T'(s)}{\|T'(s)\|}$$

Vector Binormal

Un tercer vector definido mediante
$$B(t)=T(t)\times N(t)$$
recibe el nombre de Vector binormal.
Notese que $$\|B(t)\|=\|T(t)\times
N(t)\|=\|T(t)\|\|N(t)\|\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$$
En el punto correspondiente a $f(t)$ en la curva, los vectores $T(t)$, $N(t)$ y $B(t)$ conforman un trío de vectores unitarios y mutuamente ortogonales. Estos dan lugar a un sistema de coordenadas llamado sistema de referencia TNB o sistema de referencia de Frenet-Serret de la curva C.
Los vectores $T(t)$, $N(t)$ y $B(t)$ juegan en el punto de la curva correspondiente a $f(t)$ un papel similar al que juega la tríada i, j y k en el origen del espacio tridimensional. Esta última tríada permace fija, en cambio los vectores $T(t)$, $N(t)$ y $B(t)$ conforman una tríada movil que se mueve a lo largo de la curva.

Ejemplo. Dada la curva $r(t)=\cos t \hat{i}+\sin t \hat{j} + t\hat{k}$ cuya parametrización por longitud de arco es
\[
\bar{r}(s)=\left(\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\frac{s}{\sqrt{2}}\right)
\]
Hallar los vectores Tangente, Normal y Binormal en un punto $r(s)$.
Solución.

Vector Tangente
\[
T(s)=\frac{f^{\prime}(s)}{\|f^{\prime}(s)\|}=
\left(
-\frac{1}{\sqrt{2}} \sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),
\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),
\frac{1}{\sqrt{2}}
\right)
\]
Vector Normal
\[
N(s)=\frac{T^{\prime}(s)}{\|T^{\prime}(s)\|}=
\left(
-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right),
-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),0
\right)
\]
Vector Binormal
\[
B(s)=T(s)\times N(s)=\left|
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
\frac{-1}{\sqrt{2}}\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right) & \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right) & \frac{1}{\sqrt{2}}\\
-\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right) & -\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right) & 0\\
\end{array}
\right|=
\left(
\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),
\frac{-1}{\sqrt{2}}\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),
\frac{1}{\sqrt{2}}
\right).~~ \blacksquare
\]

Plano Osculador

Sea $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ una curva con triada móvil $T(t)$, $N(t)$ y $B(t)$. Sea $P=(x_{0},y_{0},z_{0})$ un punto de la curva f tal que $f(t_{0})=(x_{0},y_{0},z_{0})$. Se llama Plano Osculador de f en el punto P, al plano que pasa por P y es paralelo a los vectores $T(t_{0})$ y $N(t_{0})$. Este plano tiene por ecuación
$$\boxed{B(t_{0})\cdot [(x,y,z)-(x_{0},y_{0},z_{0})]=0}$$ El plano osculador es el plano que mejor se adapta a la curva en cada uno de sus puntos. Si la curva es plana, el plano osculador coincide con el plano de la curva.
Ejemplo. Consideremos la curva $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^3$ dado por:
\[ f(s)=\left(
\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),
\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),
\frac{s}{\sqrt{2}}
\right)
\]
el cual es dos veces diferenciable parametrizado por longitud de arco y que describe una hélice circular en $\mathbb{R}^3$. Obtenga la ecuación del plano osculador en el punto $f(\sqrt{2}\pi)=(-1,0,\pi)$.
Solución.
Tenemos que:
\[ T(s)=\frac{f^{\prime}(s)}{\|f^{\prime}(s)\|}= \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right), \frac{1}{\sqrt{2}}\cos \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right), \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \]
y $T(\sqrt{2}\pi)=\left(0,-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$, por otro lado:
\begin{align*}N(s)&=\frac{T^{\prime}(s)}{\|T^{\prime}(s)\|}\\&=\left(
-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right),
-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),0
\right)\\&=\left(
-\left(\frac{1}{2}\right)\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}},\right),-\left(\frac{1}{2}\right)\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),0
\right)\end{align*}
y $N(\sqrt{2}\pi)=(1,0,0)$.
Por lo que
\[ T(\sqrt{2}\pi)\times N(\sqrt{2}\ \pi) =\left| \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{-1}{\sqrt{2}}\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right) & \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right) & \frac{1}{\sqrt{2}}\\-\left(\frac{1}{2}\right)\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right) & -\left(\frac{1}{2}\right)\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right) & 0\\ \end{array}\right|= \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\frac{-1}{2\sqrt{2}}\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\frac{1}{2\sqrt{2}} \right) \]
al evaluar en $\sqrt{2}\ \pi$ nos queda $\displaystyle{\left(0,\frac{1}{2\sqrt{2}},\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)}$. Por lo tanto la ecuación del plano osculador en $P=(-1,0,\pi)$ es: \[ (x+1,y,z-\pi)\cdot\left(0,\frac{1}{2\sqrt{2}},\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)=0 \] \[ \Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{2}} (y) +\frac{1}{2\sqrt{2}} (z-\pi)=0 \] \[ \Rightarrow y+z=\pi.~~ \blacksquare \]

Plano Normal

Se llama Plano Normal de f en el punto P, al plano que pasa por P y es paralelo a los vectores $N(t_{0})$ y $B(t_{0})$. Este plano tiene por ecuación
$$\boxed{T(t_{0})\cdot [(x,y,z)-(x_{0},y_{0},z_{0})]=0}$$
Ejemplo. Consideremos la curva $f:\mathbb{R}\rightarrow
\mathbb{R}^3$ dado por:
\[ f(t)=\left( 2\cos\left(t\right), 2\sin\left(t\right), t \right) \] el cual es dos veces diferenciable y que describe una hélice circular en $\mathbb{R}^3$. Obtenga la ecuación del plano normal en el punto $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\left(0,2,\frac{\pi}{2}\right)$.
Solución. Tenemos que:
\[ T(t)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(-2\sin(t),2\cos(t),1\right) \] y $\displaystyle{T\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(-2,0,1\right)}$. Por lo tanto la ecuación del plano normal es: \[ \frac{1}{\sqrt{5}}(-2,0,1)\cdot\left[(x,y,z)-\left(0,2,\frac{\pi}{2}\right)\right]=0 \] \[ \Rightarrow 4x-2z+\pi=0.~~\blacksquare \]

Plano Rectificador

Se llama Plano rectificador de f en el punto P, al plano que pasa por P y es paralelo a los vectores $T(t_{0})$ y $B(t_{0})$. Este plano tiene por ecuación
$$\boxed{N(t_{0})\cdot [(x,y,z)-(x_{0},y_{0},z_{0})]=0}$$
Ejemplo. Consideremos la curva $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^3$ dada por:
\[ f(t)=\left( 2\cos\left(t\right), 2\sin\left(t\right), t \right) \] la cual es dos veces diferenciable y que describe una hélice circular en $\mathbb{R}^3$. Obtenga la ecuación del plano rectificador en el punto $\displaystyle{f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\left(0,2,\frac{\pi}{2}\right)}$.
Solución. Tenemos que: \[ N(t)=\left(-\cos(t),-\sin(t),0\right) \] y $\displaystyle{N\left(\frac{\pi}{2}\right)=\left(0,-1,0\right)}$. Por lo tanto la ecuación del plano rectificador es: \[ (0,-1,0)\cdot\left[(x,y,z)-\left(0,2,\frac{\pi}{2}\right)\right]=0 \] \[ \Rightarrow y-2=0.~~\blacksquare \]

Introducción

Definición. Si C es un arco de curva rectificable, definimos su longitud $L(C)$ como la suma
$$\boxed{L_{C}=\sup{s(P)}=\sup\left\{\Sigma\|f(t_{k})-f(t_{k-1})\|\right\}}$$
Ahora vamos a obtener una fórmula para la longitud de arco.
Sea $\overline{\alpha}:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ ó $\mathbb{R}^{3}$, continua en $[a,b]$, derivable en (a,b) y $\overline{\alpha^{\prime}}(t)\neq 0$ para todo $t\in [a,b]$ y sea $P={t_{0},t_{1},…,t_{n}}$ una partición de $[a,b]$

entonces según la figura se tiene que
$$\ell(\overline{\alpha})\approx \sum_{i=1}^{n}\|\alpha(t_{i})-\alpha(t_{i-1})\|=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\left[\alpha_{1}(t_{i})-\alpha_{1}(t_{i-1})\right]^{2}+…+\left[\alpha_{n}(t_{i})-\alpha_{n}(t_{i-1})\right]^{2}}$$
Aplicando el teorema del valor medio en cada subintervalo $[t_{i-1},t_{i}]$ tenemos que
$$\frac{\alpha_{i}(t_{i})-\alpha_{i}(t_{i-1})}{t_{i}-t_{i-1}}=\alpha^{\prime}(t^*),~~~t^*\in(t_{i-1},t_{i})$$
se tiene que
\begin{align*}&\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\left[\alpha_{1}(t_{i})-\alpha_{1}(t_{i-1})\right]^{2}+…+\left[\alpha_{n}(t_{i})-\alpha_{n}(t_{i-1})\right]^{2}}=\\&\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\left[\alpha_{1}^{\prime}(t_{1})(t_{i}-t_{i-1})\right]^{2}+…+\left[\alpha_{n}^{\prime}(t_{n})(t_{i}-t_{i-1})\right]^{2}}=\\&\sum_{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})\sqrt{\left[\alpha_{1}^{\prime}(t_{1})\right]^{2}+…+\left[\alpha_{n}^{\prime}(t_{n})\right]^{2}}=\\&\sum_{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})\sqrt{\left[\alpha_{1}^{\prime}(t_{1})\right]^{2}+…+\left[\alpha_{n}^{\prime}(t_{n})\right]^{2}}=\\&\sum_{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})\sqrt{\left[\alpha_{1}^{\prime}(t)\right]^{2}+…+\left[\alpha_{n}^{\prime}(t)\right]^{2}}=\\&\sum_{i=1}^{n}\|\alpha^{\prime}(t^*)\|(t_{i}-t_{i-1})\\&Si~{n\rightarrow \infty}~~entonces~~\sum_{i=1}^{n}\|\alpha^{\prime}(t^*)\|(t_{i}-t_{i-1})\rightarrow \int_{a}^{b}\|\alpha^{\prime}(t)\|~dt\end{align*}
Definición. Sea $f:I\subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ ó $\mathbb{R}^{3}$ una curva parametrizable. Sean $a,b\in I$ con $a<b$. Para cualquier partición $P={t_{0},…,t_{n}}$ del intervalo $[a,b]$ definimos
$$sup\left\{\sum_{i=1}^{n}\|\alpha^{\prime}(t)\|(t_{i}-t_{i-1})\right\}=\int_{a}^{b}\|\alpha^{\prime}(t)\|~dt$$
curva o la longitud de arco de la curva en caso de que la integral exista.
Ejemplo. Calcular la longitud de arco de $\sigma(t)=(rt-r\sin(t),r-r\cos(t))$. En este caso
tenemos que $\sigma^{\prime}=(r-r\cos(t),r\sin(t))$ para $t\in[0,2\pi]$ $\therefore$ la longitud de arco es:
\begin{align*} \int_{0}^{2\pi}\sqrt{(r-r\cos(t))^{2}+(r\sin(t))^{2}} &=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{r^{2}-2r^{2}\cos(t)+r^{2}\cos^{2}(t)+r^{2}\sin^{2}(t)}dt \\ &=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{2r^{2}-2r^{2}\cos(t)}dt \\ &=\sqrt{2}r\int_{0}^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)}dt\\ &=\sqrt{2}r\int_{0}^{2\pi}\sqrt{2}\sin\left(\frac{t}{2}\right)dt\\&=2r\int_{0}^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right)dt \\ &=2r\left(2\cdot\left(-\cos\left(\frac{t}{2}\right)\right|_{0}^{2\pi}\right) \\ &=8r.~ \blacksquare \end{align*}

Reparametrización de curvas

Consideremos la curva $f:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R}^{2}$
dada por $f(t)=(-t,\sqrt{1-t^{2}})$ la cual describe un arco de la
circunferencia $x^{2}+y^{2}=1$ entre -1 y 1.

Sea $\overline{f}:[0,\pi]\rightarrow[0,1]$ la función $\overline{f}(s)=[\cos(s),\sin(s)]$

Si definimos una función $\varphi:[0,\pi]\rightarrow[-1,1]$ dada por $\varphi(s)=-cos(s)$ tenemos que $\overline{f}=f\circ\varphi$, es decir
$$\overline{f}(s)=f\circ \varphi(s)=f(\varphi(s))=f(-cos(s))=[-(-cos(s)),\sqrt{1-(-\cos(s))^{2}}]=[cos(s),\sin(s)]$$

Decimos que $\overline{f}$ es una reparametrización de $f$.$~~\blacksquare$
Definición. Sea $f:[a,b]\subset\mathbb{R}^{n}$ una curva con derivada distinta de cero. Sea $\varphi:[c,d]\rightarrow[a,b]$ una función con derivada continua sobreyectiva tal que $\varphi’\neq0$ $\forall s\in [a,b]$. Entonces la curva $\overline{f}=f\circ\varphi:[c,d]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ se llama reparametrización de la curva f.
Nota:
La condición $\varphi’\neq0$ nos conduce a $\varphi’>0$ o $\varphi'<0$. Si $\varphi’>0$ entonces $\varphi$ es una función creciente en [c,d] de modo que $\varphi(c)=a$ y $\varphi(d)=b$ y asi los puntos inicial y final de $\overline{f}$ coinciden con los respectivos de f$$\overline{f}(c)=f\circ\varphi(c)=f(\varphi(c))=f(a)~~~y~~~ \overline{f}(d)=f\circ\varphi(d)=f(\varphi(d))=f(b)$$
como $\overline{f}'(s)=\varphi'(s)f'(\varphi(s))$ entonces $f’$ y $\overline{f}’$ tienen la misma dirección y en este caso como $\varphi’~>0$, entonces, el camino en el que $\overline{f}$ recorre la curva descrita por f es en la misma dirección. Por lo tanto diremos que $\overline{f}$ es una reparametrización de f que conserva la orientación.
Ejemplo. Obtenga una reparametrización de la curva $f:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ dada por $f(t)=(3t+2,t^{3}+3)$.
Solución. Proponemos la función $t=\varphi(s)=2s$, en la cual se tiene $\varphi'(s)=2>0$,
es decir si su derivada es constante, entonces no se anula para ningun valor. Ahora bien si $t=0\Rightarrow s=0$ y $t=2\Rightarrow s=1$ por lo tanto $\varphi:[0,1]\rightarrow[0,2]$ mientras que
$$\overline{f}(s)=f(\varphi(s))=f(2s)=(3(2s)+2,(2s)^{3}+3)=(6s+2,8s^{3}+3)\quad
s\in[0,1]$$ tenemos entonces que $\overline{f}$ es una reparametrización de f. Vamos a comprobar que representan el mismo lugar geométrico. Para $f(t)$ se tiene $\displaystyle{x=3t+2\rightarrow t=\frac{x-2}{3}}$ y si $y=t^{3}+3$ entonces $\displaystyle{y=\left(\frac{x-2}{3}\right)^{3}+3}$ mientras que para $\overline{f}(s)$, $\displaystyle{x=6s+2\rightarrow s=\frac{x-2}{6}}$ por tanto si $y=8s^{3}+3$ entonces $\displaystyle{y=8\left(\frac{x-2}{6}\right)^{3}+3}$ por lo que igualando coordenadas de cada representación paramétrica, se tiene$$\left(\frac{x-2}{3}\right)^{3}+3=8\left(\frac{x-2}{6}\right)^{3}+3\Rightarrow \frac{1}{3^{3}}=\frac{8}{6^{3}}$$ lo cual es cierto y por lo tanto representan el mismo lugar geometrico.$~~\blacksquare$
Proposición. Supongamos que $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ es una curva con $f’\neq 0$ y que $\overline{f}:[c,d]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ es una reparametrización de f. Entonces
$$\int_{a}^{b}\|f'(t)\|~dt=\int_{c}^{d}\|\overline{f}'(s)\|~ds$$
Demostración. Tenemos que $\overline{f}=f\circ \varphi$, donde $\varphi:[c,d]\rightarrow[a,b]$ es de clase $c^{1}$, biyectiva y $\varphi’\neq 0~~\forall~s\in [c,d]$. Entonces
\begin{align*} L(\overline{f}) &=\int_{c}^{d}|\overline{f}'(s)|~ds \\ &=\int_{c}^{d}\|\varphi'(s)f'(\varphi(s))\|~ds \\ &=\int_{c}^{d}\|\overline{f}'(\varphi(s))\|~|\varphi'(s)|~ds~~~(si~\varphi’>0)\\
&=\int_{c}^{d}\|\overline{f}'(\varphi(s))\|~\varphi'(s)~ds \\
&=\int_{a}^{b}\|f'(t)\|~dt,~~(t=\varphi(s),~~dt=\varphi'(s)~ds) \\
&=L(f).~~ \blacksquare \end{align*}

Función Longitud de Arco

A continuación introducimos la función longitud de arco de una curva. Esta función nos permitirá prporcionar una nueva reparametrización de una curva, lo cual será de gran
utilidad más adelante.
Definición. Sea $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ una curva de longitud L. Se llama función \textbf{longitud de arco} de la curva $f(t)$ a la función $s:[a,b]\rightarrow[0,L]$ dada por
$$s(t)=\int_{a}^{t}\|f'(u)\|~du$$
$s(t)$ es la longitud del arco entre los puntos $P_{0}$ y $P$, que son los puntos terminales de $f(a)$ y $f(t)$

Ejemplo. Hallar la función longitud de arco de la hélice $f(t)=(\cos(t),\sin(t),t),~~t\in[0,2\pi]$.
Solución. En este caso tenemos que
\begin{align*} f'(t) & =(-\sin(t),\cos(t),1) \\ |f'(t)| & =\sqrt{(-\sin(t))^{2}+(\cos(t))^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} \end{align*}
Ahora, para $t\in[0,2\pi]$ tenemos
$$s(t)=\int_{0}^{t}\|f'(u)\|~du=\int_{0}^{t}\sqrt{2}~du=\sqrt{2}t$$
Si $t\in[0,2\pi]$ entonces
\begin{align*} s(0)&=0\\s(2\pi)&=2\pi\sqrt{2}\end{align*}
Luego, la función longitud de arco $s:[0,2\pi]\rightarrow[0,2\pi\sqrt{2}]$ de esta porción de hélice es
$$s(t)=\sqrt{2}t.~~ \blacksquare$$

Reparametrización por Longitud de Arco

Entre las muchas reparametrizaciones de una curva contamos con una que está muy relacionada con las características geométricas de la curva y además, posee propiedades importantes. Esta es la reparametrización por longitud de arco, la que se obtiene mediante la función de longitud de arco.
Sea $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ una curva diferenciable. Para reparametrizarla por longitud de arco se siguen los siguientes pasos:
(a) Hallar la función longitud de arco de la curva:
$$s:[a,b]\rightarrow[0,L],~~~\displaystyle{s(t)=\int_{a}^{t}\|f'(u)\|~du}$$
(b) Hallar la función inversa de la función longitud de arco:
$$\varphi=s^{-1}:[0,L]\rightarrow[a,b]$$
La reparametrización por longitud de arco de la curva $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ es
$$\overline{f}=f\circ \varphi:[0,L]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$$
Ejemplo. Sea $f(t)=(r \cos t , r\sin t)$ con $t\in[0,2\pi]$. Obtengamos su reparametrizacion por longitud de arco.
Solución.
(a) Hallamos la función longitud de arco s(t) que en éste caso es:
$$f'(t)=(-r\sin(t),r\cos(t))~~y~~\|f'(t)\|=\sqrt{(-r\sin(t))^{2}+(r\cos(t))^{2}}=r$$
$s:[0,2\pi]\rightarrow[0,2\pi r]$, $\displaystyle{s(t)=\int_{0}^{t}\|f'(u)\|~du=\int_{0}^{t}r~du=rt}$ esto es
$$s(t)=rt$$
Si $t\in[0,2\pi]$ entonces
\begin{align*}s(0)&=0\\s(2\pi)&=2\pi r\end{align*}
Por lo que $s\in[0,2\pi r]$
(b) Hallamos la función inversa de la longitud de arco
$$\varphi=s^{-1}:[0,2\pi r]\rightarrow[0,2\pi]$$
Sea $s=s(t)$. Entonces $s=rt$, por lo tanto despejando t tenemos $\displaystyle{t=\frac{s}{r}}$. Luego
$$t=\varphi(s)=s^{-1}=\frac{s}{r}$$
Por lo tanto la reparametrización buscada es
$$\overline{f}(s)=f\circ \varphi(s)=f\left(\varphi(s)\right)=f\left(\frac{s}{r}\right)=\left(r\cos
\left(\frac{s}{r}\right),r\sin\left(\frac{s}{r}\right)\right)~~\blacksquare$$
Observación.
En el ejemplo anterior notamos que:
$$\|\overline{f}^{\prime}(s)\|=
\left\|-r\sin\left(\frac{s}{r}\right)\frac{1}{r},r\cos \left(\frac{s}{r}\right)\frac{1}{r}\right\|=
\left\|-\sin\left(\frac{s}{r}\right),\cos\left(\frac{s}{r}\right)\right\|=1$$

Ejemplo. Sea $f(t)=(\cos t , \sin t,t),~~t\in[0,2\pi]$ . Obtengamos la reparametrizacion por la longitud de arco.
Solución.
(a) Hallamos la función longitud de arco s(t), que en éste caso es:
$$f'(t)=(-\sin(t),\cos(t),1)~~y~~\|f'(t)\|=\sqrt{(\sin(t))^{2}+(\cos(t))^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$$
Si $t\in[0,2\pi]$ entonces $s:[0,2\pi]\rightarrow[0,2\pi \sqrt{2}]$, por lo que$\displaystyle{s(t)=\int_{0}^{t}\|f'(u)\|~du=\int_{0}^{t}\sqrt{2}~du=\sqrt{2}t}$ esto es
$$s(t)=\sqrt{2}t$$
Hallamos la función inversa de la longitud de arco
$$\varphi=s^{-1}:[0,2\pi \sqrt{2}]\rightarrow[0,2\pi]$$
Sea $s=s(t)$. Entonces $s=\sqrt{2}t$, por lo tanto despejando t tenemos $\displaystyle{t=\frac{s}{\sqrt{2}}}$. Luego
$$t=\varphi(s)=s^{-1}=\frac{s}{\sqrt{2}}$$
y la reparametrización buscada es
$$\overline{f}(s)=f\circ h(s)=f\left(h(s)\right)=f\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)=\left(r\cos
\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\frac{s}{\sqrt{2}}\right),~~s\in[0,2\pi \sqrt{2}] \blacksquare$$

La reparametrización por longitud de arco tiene rapidez constante

Sabemos que si $\textbf{s}:[a,b]\rightarrow [c,d]$ es una función de clase $c^{1}$ tal que $\textbf{s}’\neq 0~~\forall~t\in[a,b]$, también se tiene $\textbf{s}^{-1}:[c,d]\rightarrow [a,b]$ es tal que $(\textbf{s}^{-1})’$ es de clase $c^{1}$.
Observamos que la función $\varphi=\textbf{s}^{-1}:[c,d]\rightarrow [a,b]$ tiene entonces las características que se necesitan para que $\overline{f}=f\circ \varphi$ sea una reparametrización de f.

Tenemos que para $s\in [c,d]$
$$\overline{f}(s)=(f\circ\varphi)(s)=f(\varphi(s))$$
por lo que
$$\overline{f}'(s)=(f\circ\varphi)'(s)=f'(\varphi(s))\varphi'(s)$$
Pero
$$\varphi'(s)=(\textbf{s}^{-1})'(s)=\frac{1}{\textbf{s}'(\textbf{s}^{-1}(s))}=\frac{1}{\textbf{s}'(\varphi(s))}=\frac{1}{\|f'(\varphi(s))\|}$$
Por lo tanto
$$\|\overline{f}'(s)\|=\|f'(\varphi(s))\varphi'(s)\|=\left\|f'(\varphi(s))\cdot\frac{1}{\|f'(\varphi(s))\|} \right\|=\|f'(\varphi(s))\|\cdot\frac{1}{\|f'(\varphi(s))\|}=1~~ \blacksquare$$

Propiedad de la reparametrización por longitud constante

Si $\overline{f}$ es una reparametrización de f tal que $\|\overline{f}(t)\|=1$ para toda $t\in [a,b]$ entonces
$$L(\overline{f})=\int_{a}^{b}\|\overline{f}(t)\|~dt=\int_{a}^{b}~dt=b-a$$
Por lo que $\overline{f}$ es una reparametrización tal que la longitud que describe es igual al tiempo que tarda en recorrerla.$~\blacksquare$

Introducción

Definición. Una arco de curva esta dado por una función vectorial $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$. Donde el dominio esta restringido al intervalo cerrado $[a,b]\in\mathbb{R}$.
Definición. Sea C un arco de curva en $\mathbb{R}^{n}$ dada por la función
$$f(t)=(f_{1}(t),f_{2}(t),…,f_{n}(t))$$
Consideremos el conjunto
$$P=\{P~\Big{|}~P~es~partici\acute{o}n~de~[a,b]\}$$
Para cada partición $P:~a=t_{0},t_{1},…,t_{n-1},t_{n}=b$ de $[a,b]$ consideramos la poligonal
$$f(t_{0}),f(t_{2}),…,f(t_{n-1}),f(t_{n})$$
y su correspondiente longitud
$$s(P)=|f(t_{1})-f(t_{0})|+|f(t_{2})-f(t_{1})|+\cdots+|f(t_{n-1})-f(t_{n})|=\sum_{i=1}^{n}||f(t_{i})-f(t_{i-1})||$$
Se dice C es rectificable si el conjunto ${s(P)}$ esta acotado.

Ejemplo. Muestre que el arco de parábola C dado por $f(t)=(t,t^{2})$ con $t\in(0,1)$ es rectificable.
En este caso sea $P\in[0,1]$ dada por $0=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=1$. Tenemos entonces
\begin{align*} s(P) & =\sum_{i=1}^{n}|f(t_{i})-f(t_{i-1})| \\ & =\sum_{i=1}^{n}|(t_{i},t_{i}^{2})-(t_{i-1},t_{i-1}^{2})| \\ &=\sum_{i=1}^{n}|(t_{i}-t_{i-1},t_{i}^{2}-t_{i-1}^{2})| \\ & \leq \sum_{i=1}^{n}|t_{i}-t_{i-1}|+|t_{i}^{2}-t_{i-1}^{2}| \\ &=\sum_{i=1}^{n}|t_{i}-t_{i-1}|+|(t_{i}-t_{i-1}|~|(t_{i}+t_{i-1}|\\ &=\sum_{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})(1+(t_{i}-t_{i-1})~~\textcolor{red}{Si~0\leq t_{i-1}\leq t_{1}\leq 1~entonces~1+t_{i-1}+t_{i}\leq 3}\\ &\leq 3\sum_{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})\\ &\leq 3 \end{align*}
esto quiere decir que la suma $s(P)$ es acotada y por lo tanto, el arco es rectificable.$~~ \blacksquare$
Ejemplo. Mostrar que la siguiente función vectorial (curva) $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ dada por $\displaystyle{f(t)=\left[t,t\cos\left(\frac{1}{t}\right)\right]}$ donde $f(0)=(0,0)$ no es rectificable.
En este caso consideramos particiones de $[0,1]$ de la forma
$$P:t_{0}=0,t_{1}=\frac{1}{(n-1)\pi},t_{2}=\frac{1}{(n-2)\pi},…,t_{n-2}=\frac{1}{2\pi},t_{n-1}\frac{1}{\pi},t_{n}=1$$
Los puntos de la poligonal que corresponden a la partición P son
$$f(t_{0})=(0,0),f(t_{1})=\left(\frac{1}{(n-1)\pi},\frac{1}{(n-1)\pi}\cos((n-1)\pi)\right),f(t_{2})=\left(\frac{1}{(n-2)\pi},\frac{1}{(n-2)\pi}\cos((n-2)\pi)\right),…$$
$$,f(t_{n-2})=\left(\frac{1}{2\pi},\frac{1}{2\pi}\cos(2\pi)\right),f(t_{n-1})=\left(\frac{1}{\pi},\frac{1}{\pi}\cos(\pi)\right),f(t_{n})=(1,\cos(1))$$
La suma de las distancias de los segmentos de la poligonal es
\begin{align*} s(P)&=|f(t_{1})-f(t_{0})|+|f(t_{2})-f(t_{1})|+\cdots|f(t_{n})-f(t_{n-1})| \\ &=\left|\left(\frac{1}{(n-1)\pi},\frac{1}{(n-1)\pi}\cos((n-1)\pi)\right)\right| \\ &+\left|\left(\frac{1}{(n-2)\pi}-\frac{1}{(n-1)\pi},\frac{1}{(n-2)\pi}\cos((n-2)\pi)-\frac{1}{(n-1)\pi}\cos((n-1)\pi)\right)\right| \\ &+\cdots+\left|\left(1-\frac{1}{\pi},\cos(1)-\frac{1}{\pi}\cos(\pi)\right)\right| \\ &\geq \sum_{k=1}^{n-2}\left|\left(\frac{1}{k\pi}-\frac{1}{(k+1)\pi},\frac{1}{k\pi}\cos(k\pi)-\frac{1}{(k+1)\pi}\cos((k+1)\pi)\right)\right| \\ &\geq \sum_{k=1}^{n-2}\left|\frac{1}{k\pi}\cos(k\pi)-\frac{1}{(k+1)\pi}\cos((k+1)\pi)\right|\\ &\geq \sum_{k=1}^{n-2}\left|\frac{(-1)^{k}}{k\pi}-\frac{(-1)^{k+1}}{(k+1)\pi}\right|\\ &=\sum_{k=1}^{n-2}\left|\frac{1}{k\pi}+\frac{1}{(k+1)\pi}\right|\\ &\geq \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{n-2}\frac{1}{k+1} \end{align*}
Entonces,
$$\lim_{n\rightarrow\infty}s(P)\geq \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{n-2}\frac{1}{k+1}=+\infty$$
lo cual implica que la suma $s(P)$ no es acotada y por lo tanto el arco de curva no es rectificable.$~~ \blacksquare$
Teorema. [Criterio para determinar si una curva es rectificable]
Todo arco de curva de clase $C^{1}$ (con derivada continua) es rectificable.
Demostración.Sea $f(t)=(f_{1}(t),f_{2}(t),…,f_{n}(t))$ un arco de curva de clase $C^{1}$. Entonces, las funciones $f'{i}$ son continuas en $[a,b]$ y por tanto estan acotadas es decir, existen constantes positivas $M{1},…,M_{n}$ tales que
$$|f'{1}(t)|\leq M{1},…,|f'{n}(t)|\leq M{n}~~~\forall~t\in[a,b]$$
Sea P una partición del intervalo $[a,b]$ determinada por los puntos $a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=b$. Para cada $i\in{1,2,…,n}$ tenemos
\begin{align*} \|f(t_{i})-f(t_{i-1})\|&=\sqrt{\sum_{j=1}^{n}\left(f_{j}(t_{i})-f_{j}(t_{i-1})\right)^{2}} \\ &\leq \sum_{j=1}^{n}\left|f_{j}(t_{i})-f_{j}(t_{i-1})\right| \end{align*}
Por el teorema del valor medio de Lagrange, existen $\xi_{1},\xi_{2},…,\xi_{n}$ en el intervalo $(t_{i-1},t_{i})$ tales que
\begin{align*} \left|f_{1}(t_{i})-f_{1}(t_{i-1})\right| &= |f'{1}(\xi{1})|(t_{i}-t_{i-1}) \\
\vdots & =\vdots \\
\left|f_{n}(t_{i})-f_{n}(t_{i-1})\right| &= |f'{n}(\xi{1})|(t_{i}-t_{i-1})
\end{align*}
En consecuencia,
\begin{align*} \|f(t_{i})-f(t_{i-1})\|&\leq \left|f_{1}(t_{i})-f_{1}(t_{i-1})\right|+\cdots +\left|f_{n}(t_{i})-f_{n}(t_{i-1})\right| \\ & \leq \left(|f'{1}(\xi{1})|+\cdots+|f'{n}(\xi{1})|\right)(t_{i}-t_{i-1})\\
&\leq (M_{1}+\cdots+ M_{n})(t_{i}-t_{i-1}).
\end{align*}
Si $s(P)$ es la longitud de la poligonal determinada por P tenemos
\begin{align*} s(P)&=\sum_{i=1}^{n}\|f(t_{i})-f(t_{i-1})\| \\ &\leq (M_{1}+\cdots+ M_{n})\sum_{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1}) \\ &=(M_{1}+\cdots+ M_{n})(b-a). \end{align*}
Es decir, el conjunto ${s(P)}$ con P partición de $[a,b]$ está acotado y por tanto el arco de curva es rectificable.$ \blacksquare$
Ejemplo. Muestre que el arco de curva C dado por $f(t)=(t,t^{3})$ con $t\in(0,1)$ es rectificable.
En este caso $f'(t)=(1,3t^{2})$, cada función componente es continua y por tanto $f(t)$ es de clase $C^{1}$ por lo que según el resultado anterior, se tiene que f es rectificable en el intervalo indicado.$~~\blacksquare$