Geometría Moderna I: Teorema de Menelao

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

En esta ocasión presentamos el teorema de Menelao, una herramienta muy útil que nos da condiciones necesarias y suficientes para que tres puntos, cada uno sobre los lados de un triángulo, sean colineales.

Teorema de Menelao

Teorema 1, de Menelao. Sean $\triangle ABC$ y $X$, $Y$, $Z$ puntos en los lados $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente, tal que uno o los tres puntos se encuentran en la extensión de los lados de $\triangle ABC$, entonces $X$, $Y$ y $Z$ son colineales si y solo si
$\dfrac{AZ}{ZB} \dfrac{BX}{XC} \dfrac{CY}{YA} = – 1$.

Demostración. Supongamos que $X$, $Y$ y $Z$ son colineales, sea $D \in XYZ$ tal que $CD \parallel AB$ entonces $\triangle XZB \sim \triangle XDC$ y $\triangle YAZ \sim \triangle YCD$, esto es

$\dfrac{DC}{ZB} = \dfrac{XC}{XB} \Leftrightarrow DC = \dfrac{ZB \times XC}{XB}$,

$\dfrac{DC}{ZA} = \dfrac{YC}{YA} \Leftrightarrow DC = \dfrac{ZA \times YC}{YA}$.

Figura 1

Por lo tanto,
$ \dfrac{ZA}{YA} \dfrac{YC}{ZB} \dfrac{XB}{XC} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{AZ}{ZB} \dfrac{BX}{XC} \dfrac{CY}{YA} = – 1$.

La última ecuación se obtiene al considerar segmentos dirigidos.

$\blacksquare$

Conversamente, ahora supongamos sin pérdida de generalidad que $Z$ e $Y$ se encuentran en $AB$ y $CA$ respectivamente y $X$ en la extensión de $BC$ (izquierda figura 1), el caso en que los tres puntos están en las extensiones de los lados es análogo, y supongamos que
$\dfrac{AZ}{ZB} \dfrac{BX}{XC} \dfrac{CY}{YA} = – 1$.

Sea $X’ = YZ \cap BC$, entonces por la implicación que ya probamos tenemos que
$\dfrac{AZ}{ZB} \dfrac{BX’}{X’C} \dfrac{CY}{YA} = – 1$.

Esto, junto con nuestra hipótesis nos dice que $\dfrac{BX’}{X’C} = \dfrac{BX}{XC}$, es decir $BC$ es dividido exteriormente por $X$ y $X’$ en la misma razón.

Por lo tanto, $X = X’$, entonces $X$, $Y$ y $Z$ son colineales.

$\blacksquare$

Forma trigonométrica del teorema de Menelao

Lema de la razón. Considera $\triangle ABC$ y sea $X$ un punto en $BC$ o su extensión, entonces
$\begin{equation} \dfrac{BX}{XC} = \dfrac{AB}{CA} \dfrac{\sin \angle BAX}{\sin \angle CAX}. \end{equation}$.

Demostración. Aplicamos la ley de los senos a los triángulos $\triangle BAX$ y $\triangle XAC$ (figura 1),
$\begin{equation} \dfrac{BX}{\sin \angle BAX} = \dfrac{AB}{\sin \angle AXB}, \end{equation}$

$\begin{equation} \dfrac{CX}{\sin \angle CAX} = \dfrac{AC}{\sin \angle AXC}. \end{equation}$

Notemos que $\sin \angle AXB = \sin \angle AXC$, pues si $X$ está en la extensión de $BC$ entonces $\angle AXB = \angle AXC$ o si $X$ está en el segmento $BC$ entonces $\angle AXB$ y $\angle AXC$ son suplementarios.

Por lo tanto, haciendo el cociente de $(2)$ entre $(3)$ obtenemos $(1)$.

$\blacksquare$

Forma trigonométrica del teorema de Menelao. Sea $\triangle ABC$ y $X$, $Y$, $Z$ puntos en los lados $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente, tal que uno o los tres puntos se encuentran en la extensión de los lados de $\triangle ABC$, entonces $X$, $Y$ y $Z$ son colineales si y solo si

$\dfrac{\sin \angle BAX}{\sin \angle XAC} \dfrac{\sin \angle CBY}{\sin \angle YBA} \dfrac{\sin \angle ACZ}{\sin \angle ZCB} = – 1$.

Demostración. Aplicamos el lema de la razón a $X$, $Y$ y $Z$, entonces:
$-1 = \dfrac{AZ}{ZB} \dfrac{BX}{XC} \dfrac{CY}{YA}$

$= (\dfrac{CA}{BC} \dfrac{\sin \angle ACZ}{\sin \angle ZCB}) (\dfrac{AB}{CA} \dfrac{\sin \angle BAX}{\sin \angle XAC}) (\dfrac{BC}{AB} \dfrac{\sin \angle CBY}{\sin \angle YBA})$

$= \dfrac{\sin \angle BAX}{\sin \angle XAC} \dfrac{\sin \angle CBY}{\sin \angle YAC} \dfrac{\sin \angle ACZ}{\sin \angle ZCB}$.

En consecuencia, por el teorema de Menelao la igualdad es cierta si y solo si $X$, $Y$ y $Z$ son colineales.

$\blacksquare$

Bisectrices

Proposición 1.
$i)$ Dos bisectrices internas y la bisectriz externa del tercer ángulo de un triángulo intersecan a los lados opuestos del triángulo en tres puntos colineales,
$ii)$ las tres bisectrices externas de un triángulo intersecan a los lados opuestos del triángulo en tres puntos colineales.

Demostración. Sean $\triangle ABC$, $X’$, la intersección de la bisectriz externa de $\angle A$ con $BC$, $Y$ y $Z$ las intersecciones de las bisectrices internas de $\angle B$ y $\angle C$ con $CA$ y $AB$ respectivamente.

Figura 2

Por el teorema de la bisectriz tenemos las siguientes igualdades
$\dfrac{BX’}{X’C} = \dfrac{AB}{AC}$,
$\dfrac{CY}{YA} = \dfrac{BC}{BA}$,
$\dfrac{AZ}{ZB} = \dfrac{CA}{CB}$.

Considerando segmentos dirigidos,
$\dfrac{AZ}{ZB} \dfrac{BX’}{X’C} \dfrac{CY}{YA} = \dfrac{CA}{CB} \dfrac{AB}{AC} \dfrac{BC}{BA} = -1$.

Por lo tanto, $X’$, $Y$ y $Z$ son colineales.

Análogamente, si $Y’$ y $Z’$ son las intersecciones de las bisectrices externas de $\angle B$ y $\angle C$ con $CA$ y $AB$ respectivamente, entonces por el teorema de la bisectriz
$\dfrac{CY’}{Y’A} = \dfrac{BC}{BA}$,
$\dfrac{AZ’}{Z’B} = \dfrac{CA}{CB}$.

Por lo tanto
$\dfrac{AZ’}{Z’B} \dfrac{BX’}{X’C} \dfrac{CY’}{Y’A} = \dfrac{CA}{CB} \dfrac{AB}{AC} \dfrac{BC}{BA} = -1$.

Por lo tanto, por el teorema de Menelao, $X’$, $Y’$ y $Z’$ son colineales.

$\blacksquare$

Recta de Lemoine y recta de Gergonne

Teorema 2. Las rectas tangentes al circuncírculo de un triángulo a través de sus vértices intersecan a los lados opuestos del triángulo en tres puntos colineales.

Demostración. Sean $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ su triángulo tangencial, sean $X = EF \cap BC$, $Y = DF \cap CA$ y $Z = DE \cap AB$.

Figura 3

Como el ángulo semiinscrito $\angle XAB$ abarca el mismo arco que el ángulo inscrito $\angle ACB$ entonces son iguales, por criterio de semejanza AA, $\triangle AXB \sim \triangle CXA$, por lo tanto,
$\dfrac{AX}{CX} = \dfrac{AB}{CA}$ $\Leftrightarrow \dfrac{AX^2}{CX^2} = \dfrac{AB^2}{CA^2}$.

Por otro lado, la potencia de $X$ respecto al circuncírculo de $\triangle ABC $ es
$AX^2 = XB \times XC$.

Por lo tanto,
$\begin{equation} \dfrac{XB}{XC} = \dfrac{AB^2}{CA^2}. \end{equation}$

Igualmente podemos encontrar,
$\dfrac{YC}{YA} = \dfrac{BC^2}{BA^2}$ y $\dfrac{ZB}{ZA} = \dfrac{CB^2}{CA^2}$.

Por lo tanto,
$\dfrac{XB}{XC} \dfrac{YC}{YA} \dfrac{ZA}{ZB} = \dfrac{AB^2}{CA^2} \dfrac{BC^2}{BA^2} \dfrac{CA^2}{CB^2} = 1$.

Considerando segmentos dirigidos tenemos
$\dfrac{AZ}{ZB} \dfrac{BX}{XC} \dfrac{CY}{YA} = – 1$.

Como resultado, por el teorema de Menelao, $X$, $Y$ y $Z$ son colineales.

A la recta $XYZ$ se le conoce como recta de Lemoine de $\triangle ABC$.

$\blacksquare$

Observación 1. Notemos que $X$, $Y$ y $Z$ son los centros de las circunferencias de Apolonio de $\triangle ABC$.

Observación 2. También hemos mostrado que la tangente al circuncírculo de un triangulo por uno de sus vértices divide al lado opuesto al vértice, en la razón de los cuadrados de los lados que concurren en el vértice, ecuación $(4)$.

Corolario. Los lados del triángulo cuyos vértices son los puntos de tangencia del incírculo de un triángulo dado con sus lados, intersecan a los lados opuestos del triángulo dado en tres puntos colineales.

Demostración. Notemos que en el teorema anterior si el triángulo dado es $\triangle DEF$, entonces su incírculo es el circuncírculo de $\triangle ABC$.

Por lo tanto, se tiene el resultado.

A la recta $XYZ$ se le conoce como recta de Gergonne de $\triangle DEF$.

$\blacksquare$

Teorema de Monge

Teorema 3. Las tangentes externas comunes a tres circunferencias, tales que ninguna esta completamente contenida en las otras dos, se intersecan dos a dos en tres puntos colineales.

Demostración. Sean $\Gamma(A)$, $\Gamma(B)$ y $\Gamma(C)$, tres circunferencias que cumplen las hipótesis. Sean $X = X_bX_c \cap X’_bX’_c$, $Y = Y_aY_c \cap Y’_aY’_c$ y $Z = Z_aZ_b \cap Z’_aZ’_b$, las intersecciones de las tangentes comunes a $\Gamma(B)$, $\Gamma(C)$; $\Gamma(A)$, $\Gamma(C)$  y $\Gamma(A)$, $\Gamma(B)$ respectivamente (figura 4).

Figura 4

Recordemos que la intersección de dos tangentes externas comunes a dos circunferencias es un centro de homotecia entre dichas circunferencias.

Entonces $X$ es un centro de homotecia para $\Gamma(B)$ y $\Gamma(C)$, por lo tanto
$\dfrac{XB}{XC} = \dfrac{BX_b}{CX_c}$.

Igualmente vemos que
$\dfrac{YC}{YA} = \dfrac{CY_c}{AY_a}$ y $\dfrac{ZB}{ZA} = \dfrac{BZ_b}{AZ_a}$.

Tomando en cuenta que $AZ_a = AY_a$, $BZ_b = BX_b$ y $CX_c = CY_c$, tenemos
$\dfrac{AZ}{ZB} \dfrac{BX}{XC} \dfrac{CY}{YA} = \dfrac{- AZ_a}{BZ_b} \dfrac{- BX_b}{CX_c} \dfrac{- CY_c}{AY_a} = – 1$.

Por lo tanto, por el teorema de Menelao $X$, $Y$ y $Z$ son colineales.

$\blacksquare$

Puntos isotómicos

Proposición 2. Los puntos isotómicos de tres puntos colineales son colineales.

Demostración. Recordemos que dos puntos en uno de los lados de un triángulo son isotómicos si equidistan al punto medio de ese lado.

Sean $\triangle ABC$ y $X$, $Y$, $Z$ en los lados $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente tal que $XYZ$ es una recta, consideremos $X’$, $Y’$ y $Z’$ sus correspondientes puntos isotómicos.

Figura 5

Entonces
$\dfrac{AZ’}{Z’B} \dfrac{BX’}{X’C} \dfrac{CY’}{Y’A} = \dfrac{ZB}{AZ} \dfrac{XC}{BX} \dfrac{YA}{CY} = (\dfrac{AZ}{ZB} \dfrac{BX}{XC} \dfrac{CY}{YA})^-1 = – 1$.

Por lo tanto, por el teorema de Menelao $X’$, $Y’$ y $Z’$ son colineales.

$\blacksquare$

Proposición 3. Si sobre los lados de $\triangle ABC$ tenemos pares de puntos isotómicos $X$, $X’ \in BC$, $Y$, $Y’ \in CA$ y $Z$, $Z’ \in AB$ entonces las áreas de los triángulos $\triangle XYZ$ y $\triangle X’Y’Z’$ coinciden.

Demostración. Sean $U = ZY \cap BC$ y $U’ = Z’Y’ \cap BC$, consideremos $D$ y $F$ las proyecciones de $X$ y $C$ en $ZU$, entonces $\triangle XDU \sim \triangle CEU$.

Figura 6

Entonces,
$\dfrac{(\triangle XYZ)}{(\triangle CYZ)} = \dfrac{XD}{CE} = \dfrac{XU}{CU}$.

Igualmente vemos que, $\dfrac{(\triangle X’Y’Z’)}{(\triangle BY’Z’)} = \dfrac{X’U’}{BU’}$.

Por la proposición anterior, el punto isotómico de $U$ debe ser colineal con $Y’$ y $Z’$, por lo tanto, $U$ y $U’$ son isotómicos $\Rightarrow CU = U’B$ y $XU = U’X’$.

Por lo tanto $\dfrac{(\triangle XYZ)}{( \triangle CYZ)} = \dfrac{(\triangle X’Y’Z’)}{( \triangle BY’Z’)}$.

Pero $(\triangle CYZ) = (\triangle AY’Z) = (\triangle BY’Z’)$.

Por lo tanto, $\triangle XYZ$ y $\triangle X’Y’Z’$ tienen la misma área.

$\blacksquare$

Más adelante…

Con la ayuda del teorema de Menelao, en la próxima entrada definiremos y estableceremos algunos resultados sobre triángulos en perspectiva. También mostraremos el teorema de Pascal.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Prueba que si una recta que pasa por el centroide $G$ de un triangulo $\triangle ABC$ interseca a $AB$ y $AC$ en $Z$ e $Y$ respectivamente, entonces $AZ \times YC + AY \times ZB = AZ \times AY$.
  2. Una recta interseca los lados de un cuadrilátero $\square ABCD$, $BC$, $CD$, $DA$ y $AB$ en $X$, $Y$, $Z$ y $W$ respectivamente, muestra que $\dfrac{BX}{XC} \dfrac{CY}{YD} \dfrac{DZ}{ZA} \dfrac{AW}{WB} = 1$.
  3. Una circunferencia cuyo centro es equidistante a los vértices $B$ y $C$ de un triángulo $\triangle ABC$ interseca a $AB$ en $P$ y $P’$ y a $AC$ en $Q’$ y $Q$, las rectas $PQ$ y $P’Q’$ intersecan a $BC$ en $X$ y $X’$ respectivamente, muestra que:
    $i)$ $BX \times BX’ = CX \times CX’$,
    $ii)$ $X$ y $X’$ son puntos isotómicos.
  4. Sean $\triangle ABC$ y $B’$ el punto medio de $CA$, considera $G$ el centroide de $\triangle ABC$, sea $P$ tal que $B’$ es el punto medio de $GP$, la paralela a $AC$ por $P$ interseca a $BC$ en $X$, la paralela a $AB$ por $P$ corta a $AC$ en $Y$, la paralela a $BC$ por $P$ interseca a $AB$ en $Z$ (figura 7), muestra que $X$, $Y$ y $Z$ son colineales.
Figura 7
  1. Demuestra que las mediatrices de las bisectrices de los ángulos internos de un triángulo, intersecan a los lados opuestos a los ángulos desde donde se trazo la bisectriz, en tres puntos colineales. Considera el segmento de bisectriz formado por el vértice y el punto de intersección con el lado opuesto.
  2. Considera $XYZ$ y $X’Y’Z’$ dos rectas transversales a los lados de un triángulo $\triangle ABC$, tales que $X$, $X’ \in BC$, $Y$, $Y’ \in CA$ y $Z$, $Z’ \in AB$, sean $D = Z’Y \cap BC$, $E = X’Z \cap CA$ y $F = Y’X \cap AB$, prueba que $D$, $E$ y $F$ son colineales.
  3. Demuestra el teorema de la recta de Simson usando el teorema de Menelao.
  4. Dadas tres circunferencias tales que dos a dos sus interiores son ajenos, muestra que las tangentes comunes externas de dos de ellas se intersecan en un punto colineal con las intersecciones de las tangentes comunes internas de esas dos circunferencias con la tercera.

Entradas relacionadas

Fuentes

  • Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 153-158.
  • Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 57-68.
  • Posamentier, A. y Salkind, C; Challenging Problems in Geometry. New York: Dover, 1996, pp 36-42.
  • Cárdenas, S., Notas de Geometría. México: Ed. Prensas de Ciencias, 2013, pp 85-88.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral II: Cálculo de volúmenes por secciones transversales y por rotación alrededor de un eje

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En la entrada anterior vimos como calcular la longitud de arco de una curva. Otra aplicación de las integrales es calcular el volumen de sólidos de revolución, por lo que en esta entrada se aprenderá a calcular el volumen de un sólido $S$ mediante secciones transversales o también llamado el método de los discos, además, veremos el método de las arandelas o también llamado el método de los anillos.

Superficies de revolución

Antes de comenzar a estudiar el método de los discos, definiremos lo que es una superficie de revolución.

Una superficie de revolución es una figura sólida que se obtiene al girar una curva plana alrededor de un eje que se encuentra en el mismo plano, a este eje se le conoce como eje de revolución. Veamos unos ejemplos.

Figura 1: Rectángulo (Figura de la izquierda) y el cilindro de revolución (figura de la derecha).

En la figura $(1)$ tenemos un rectángulo con altura y ancho, variables (figura de la izquierda), obsérvese que está en un plano, es decir, es una figura en 2 dimensiones, si nosotros hacemos girar esta figura alrededor del eje $x$ obtenemos un cilindro como en la figura de la derecha.

En la siguiente figura $(2)$ tenemos un triángulo rectángulo isósceles (figura de la izquierda), si nosotros hacemos girar este triángulo alrededor del eje $y$ lo que obtendremos es una pirámide como el lado derecho de la figura 2.

Figura 2: Triangulo iscóceles (figura de la izquierda) y pirámide (figura de la derecha).

A estas figuras «creadas» se les conoce como superficies de revolución, a continuación veremos como calcular su volumen por el método de los discos.

Método de los discos

Supongamos que tenemos una función $f(x)$ en un intervalo $[a, b]$ y que cortamos una «rebanada» con un ancho $\Delta x$ de la función $f(x)$ como se muestra en la figura $(3)$.

Figura 3: Aproximación con un polígono regular a $f(x)$.

Al hacer girar esta función alrededor del eje $x$ obtendremos una superficie de revolución (figura $(4)$), la «rebanada» que tomamos al girarlo alrededor del eje obtendremos un cilindro de radio $r$ y ancho $\Delta x$.

Figura 4: Superficie de revolución

Para calcular el volumen de esta superficie de revolución la «rebanamos» $n$ veces y sumamos estos pedazos, es decir:

Volumen de la superficie de revolución $\approx \sum_{i=1}^{n}$ volúmenes de los cilindros

Recordemos que el volumen de un cilindro está dado como $V=\pi r^{2}h$, entonces el volumen de nuestra superficie de revolución es:

$$V \approx \sum_{i=1}^{n}\pi r^{2}\Delta x=\sum_{i=1}^{n}\pi [f(x)]^{2}\Delta x$$

Si tomamos el límite cuando $n \to \infty$ obtenemos:

$$V=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}\pi [f(x)]^{2}\Delta x=\pi \int_{a}^{b}[f(x)]^{2}dx$$

Por lo que definimos el volumen de una superficie de revolución alrededor del eje $x$ como:

$$V=\int_{a}^{b} Área(x)dx=\pi \int_{a}^{b}[R(x)]^{2}dx \tag{1}$$

Análogamente, se puede deducir lo mismo para una superficie de revolución generado por una curva plana alrededor del eje $y$. Se define el volumen de una superficie de revolución alrededor del eje $y$ como:

$$V=\pi \int_{c}^{d}[R(y)]^{2}dy \tag{2}$$

Observación: Para el método de los discos el corte siempre debe ser perpendicular al eje de rotación.

Método de las arandelas

Si la región que se hace girar para generar el sólido de revolución no se acerca al eje de rotación, ni está en él, tendremos que al girarlo sobre el eje se obtendrá un agujero en su centro, es decir, un sólido de revolución con un agujero alrededor del eje de rotación. Si utilizamos el mismo método visto anteriormente para calcular su volumen, en vez de discos, tendremos que las secciones transversales perpendiculares al eje de rotación son arandelas, el área de la arandela está dada como:

$$A=\pi R^{2}(x)-\pi r^{2}(x)=\pi\left ( R^{2}(x)-r^{2}(x) \right )$$

Donde $R(x)$ es el radio mayor y $r(x)$ es el radio menor de la arandela como se muestra en la figura $(5)$, por lo que nos interesa el volumen entre $R(x)$ y $r(x)$.

Figura 5: Solido de revolución generado por las funciones $R(x)$ y $r(x)$ alrededor del eje $x$.

Por consecuencia, el volumen lo podemos calcular como:

$$V=\pi \int_{a}^{b} \left ( R^{2}(x)-r^{2}(x) \right )dx \tag{3}$$

Veamos un ejemplo.

Ejemplos

  • Calcula el volumen del sólido de revolución formado al hacer girar la región acotada por la grafica $f(x)=\sqrt{\sin(x)}$, alrededor del eje $x$ y acotadas por las rectas $x=0$ y $x=\pi$.

En este caso obtenemos la siguiente figura $(6)$.

Figura 6: Función $f(x)=\sqrt{\sin(x)}$ (figura de la izquierda) y la superficie de revolución alrededor del eje x (figura derecha).

Utilizamos la relación $(1)$, ya que la función gira alrededor del eje $x$, por lo que el volumen de este sólido de revolución es:

$$V=\pi \int_{0}^{\pi}\left ( \sqrt{\sin(x)}\right )^{2}dx=\pi \int_{0}^{\pi}\sin(x)dx=\pi (-\cos(x))\bigg|_{0}^{\pi}=\pi -(-1-1)=2 \pi$$

  • Determinar el volumen del sólido de revolución generado alrededor de $y=g(x)=1$ por la función $y=\sqrt{x}$ y las rectas $x=1$ y $x=4$ (figura $(7)$).
Figura 7: Grafica de $f(x)=\sqrt{x}$ y $g(x)=1$.

Al girar la función $f(x)=\sqrt{x}$ alrededor de $y=1$ tendremos una especie de parábola.

Observamos que:

$$R(x)=f(x)-g(x)=\sqrt{x}-1 \Rightarrow R^{2}(x)=x-2\sqrt{x}+1$$

Por ende, utilizamos la relación $(1)$ para calcular el volumen como:

$$V=\pi \int_{1}^{4} \left (x-2\sqrt{x}+1 \right )dx=\pi \left ( \frac{x^{2}}{2}-2\frac{2}{3}x^{3/2}+x \right )\bigg|_{1}^{4}=\frac{7\pi}{6}$$

  • Determina el volumen del sólido de revolución acotada por las curvas $y=x^{2}+1$ y la recta $y=-x+3$ alrededor del eje $x$.

Para saber en qué intervalo vamos a integrar, igualamos las funciones:

$$x^{2}+1=-x+3 \Rightarrow x^{2}+x-2=0 \Rightarrow (x+2)(x-1)=0$$

Por lo que integramos desde $x=-2$ a $x=1$

Del eje de rotación, sea el radio menor $r(x)=x^{2}+1$ por estar más próximo a este eje en este intervalo, y sea el radio mayor $R(x)=-x+3$, como se muestra en la figura $(8)$.

Figura 8: Área de interés entre las curvas (figura de la izquierda) con su respectivo solido de revolución (figura de la derecha).

Para calcular el volumen de este sólido, utilizamos la relación $(3)$, por lo que:

$$V=\pi \int_{a}^{b} \left ( R^{2}(x)-r^{2}(x) \right )dx=\int_{-2}^{1}\pi \left [ \left ( -x+3 \right )^{2}-\left ( x^{2}+1 \right )^{2} \right ]dx$$

$$=\int_{-2}^{1}\pi \left ( 8-6x-x^{2}-x^{4} \right )dx=\pi \left [ 8x-3x^{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{5}}{5} \right ]\bigg|_{-2}^{1}=\frac{117\pi}{5}$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Determine el volumen del solido resultante al hacer girar la región comprendida entre el eje $y$ y la curva $x=2/y$, donde $1\leq y \leq 4$, alrededor del eje y.
  2. Encuentre el volumen del solido generado al giran la región acotada por las graficas $y=\sqrt{x}$, $y=x^{2}$ en torno al eje x.
  3. Encuentre el volumen del solido generado al giran la región acotada por las graficas $y=x^{2}+1$, $y=0$, $x=0$ y $x=1$ en torno al eje y.
  4. La circunferencia $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ se hace girar alrededor del eje y, calcular su volumen.
  5. Un fabricante diseña un objeto en forma de esfera con un radio de 5 pulgadas y con un orificio cilíndrico en su interior. El hueco tiene un radio de 3 pulgadas ¿Cuál es el volumen del objeto resultante?

Más adelante…

En esta entrada deducimos las relaciones para calcular el volumen de un sólido generado por rotación alrededor de un eje por el método del disco y también deducimos la relación para calcular el volumen de un sólido generado por rotación entre dos curvas dadas por el método del anillo, en la siguiente entrada veremos otro método para calcular el volumen de un sólido generado llamado el método de las capas cilíndricas.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Longitud de arco

Por Miguel Ángel Rodríguez García

2 respuestas

Introducción

En la sección anterior vimos como calcular el área delimitada entre dos curvas, otra aplicación de la integral es calcular la longitud de una curva a lo largo de un intervalo dado, lo cual veremos en esta sección. Comenzamos deduciendo la fórmula de la longitud de arco o también llamada la longitud de curva.

Longitud de arco

Supóngase que tenemos una curva $C$ que se define mediante la ecuación $y=f(x)$, continua en el intervalo $[a, b]$. El objetivo es medir la longitud de esa curva en el intervalo dado $[a, b]$, para esto se divide el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos con puntos extremos $x_{0}, x_{1}, …, x_{n}$ y amplitud $\Delta x$, por tanto, conseguimos un polígono con vértices $P_{0}, P_{1}, …, P_{n}$ para aproximar a la curva $C$ como se muestra en la figura $(1)$. Calculamos la distancia entre los vértices $P_{i-1}$ y $P_{i}$, para aproximarnos mejor a la curva $C$, sumamos $n$ vértices y tomamos el límite cuando $n \to \infty$, tenemos que la longitud de la curva la podemos aproximar como:

$$L=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n}d(P_{i-1},P_{i})$$

Figura 1: Aproximación de la longitud de la curva función $f(x)$ (azul) por medio de polígonos (líneas rojas).

Podemos reescribir a $d(P_{i-1},P_{i})$ como:

$$d(P_{i-1},P_{i})=\sqrt{(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(y_{i}-y_{i-1})^{2}}=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$$

Utilizamos el teorema de valor medio y la aplicamos a la función $f(x)$ en el intervalo $[x_{i-1},x_{i}]$, lo cual encontramos un número $x^{*}_{i}$ tal que:

$$f(x_{i})-f(x_{i-1})=f'(x^{*}_{i})(x_{i}-x_{i-1})$$

Podemos reescribir la anterior relación como: $\Delta y=f'(x^{*}_{i})\Delta x$ así, se tiene que: $$d(P_{i-1},P_{i})=\sqrt{(\Delta x)^{2}+[f'(x^{*}_{i})\Delta x]^{2}}=\sqrt{1+[f'(x^{*}_{i})]^{2}}\sqrt{(\Delta x)^{2}}=\sqrt{1+[f'(x^{*}_{i})]^{2}}{\Delta x}$$

Por tanto:

$$L=\lim_{n \to \infty }\sum_{i=1}^{n}\sqrt{(1+[f'(x^{*}_{i})]^{2}}{\Delta x}$$

Si $n \to \infty$ entonces la fórmula de longitud de arco donde $f'(x)$ es continua en $[a, b]$ esta dada como:

$$L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f'(x)]^{2}}dx \tag{1}$$

En notación de Leibniz, se puede reescribir la longitud de arco como:

$$L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^{2}}dx$$

La longitud de curva no depende de la elección de los ejes coordenados, si una curva tiene como ecuación $x=g(y)$, con $c\leq y\leq d$ y $g'(y)$ continua, entonces la longitud de arco se reescribe como.

$$L=\int_{c}^{d}\sqrt{1+\left ( \frac{dx}{dy} \right )^{2}}dy \tag{2}$$

Veamos los ejercicios a continuación para el cálculo de algunas longitudes de arco de algunos funciones en un intervalo.

Ejemplos

  • Determinar la longitud de arco de la parábola dada como: $y^{2}=x^{3}$ entre los puntos $(1, 1)$ y $(4, 8)$.
Figura 2: Longitud de arco que se quiere calcular (rojo), función $f(x)=x^{3/2}$ (azul).

Tenemos que $y^{2}=x^{3} \Rightarrow y=x^{\frac{3}{2}}$

Derivando la función anterior, se tiene que:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}x^{1/2}$$

Así, utilizando la relación $(1)$, la longitud del arco se calcula como:

$$L=\int_{1}^{4}\sqrt{1+\left (\frac{3}{2}x^{1/2} \right )^{2}}dx$$

Integramos por el método de cambio de variable.

Sea $u=1+\frac{9}{4}x \space \Rightarrow \space du=\frac{9}{4}dx$, cambiamos los límites de integración, si $x=1 \Rightarrow u=\frac{13}{4}$, si $x=4 \Rightarrow u=10$, por tanto, la integral la reescribimos como:

$$\int_{\frac{13}{4}}^{10}\frac{4}{9}\sqrt{u}du=\frac{4}{9}\frac{2}{3}\left [ u^{2/3} \right ]\bigg|_{10}^{\frac{13}{4}}=\frac{8}{27}\left [ 10^{3/2}-\left ( \frac{13}{4} \right )^{3/2} \right ]=\frac{1}{27}\left ( 80\sqrt{10}-13\sqrt{13} \right )$$

  • Encuentre la longitud de arco de la parábola $x=y^{2}$ de $(0, 0)$ a $(1, 1)$
Figura 3: Longitud de arco que se quiere calcular (rojo), función $f(y)=y^{2}$ (azul).

Tenemos que la curva es $x=y^{2} \Rightarrow x’=2y$, en este caso tenemos que la curva es función de $f(y)$ por lo que utilizamos la relación $(2)$, así la longitud de arco lo calculamos como:

$$L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+(2y)^{2}}dy=\int_{0}^{1}\sqrt{1+4y^{2}}dy$$

Utilizamos el método de sustitución trigonométrica, observamos en que caso se puede aplicar para resolver esta integral, por lo que hacemos la sustitución siguiente:

$$y=\frac{1}{2}\tan(\theta ) \Rightarrow dy=\frac{1}{2}\sec^{2}(\theta )d\theta$$

Así: $\sqrt{1+4y^{2}}=\sqrt{1+\tan(\theta)^{2}}=\sec(\theta)$, veamos los límites de integración:

Si $y=0 \Rightarrow \theta=0 $ y si $y=1 \Rightarrow \tan(\theta)=2 \Rightarrow \theta=arctan(2)$ por tanto:

$$L=\int_{0}^{\arctan(2)}\sec(\theta )\frac{1}{2}\sec^{2}(\theta)d\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{\arctan(2)}\sec^{3}(\theta)d\theta$$

Recordemos que esta integral la resolvimos en la entrada de productos de potencias de tan(x) y sec(x), por lo que:

$$L=\frac{1}{2}\int_{0}^{\arctan(2)}\sec^{3}(\theta)d\theta=\frac{1}{2}\frac{1}{2}\left [ \sec(\theta)\tan(\theta)+ln(|\sec(\theta)+\tan(\theta)|) \right ]\bigg|_{0}^{\arctan(2)}$$

$$=\frac{1}{4}\left [\sec(\arctan(2))\tan(\arctan(2))+ln(|\sec(\arctan(2))+\tan(\arctan(2))|) -0 \right]$$

Puesto que:

$$\tan(\arctan(2))=2 \Rightarrow tan^{2}(arctan(2))=4$$ y

$$\sec^{2}(\theta)=1+\tan^{2}(\theta) \Rightarrow \sec^{2}(\arctan(2))=1+4 \Rightarrow \sec(\arctan(2))=\sqrt{5}$$ Así la longitud de arco es:

$$L=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{ln(\sqrt{5}+2)}{4}$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Calcule la longitud de arco de la curva que tiene como ecuación $y=ln(\cos(x))$ en $[0, \frac{\pi }{4}]$
  2. Calcule la longitud de arco de la curva que tiene como ecuación $y=1+6x^{\frac{3}{2}}$ en $[0, 1]$
  3. Calcule la longitud de arco de la curva que tiene como ecuación $x=\sin(y)$ en $0\leq y \leq \pi$
  4. Calcule la longitud de arco entre $(x_{1}, y_{1})$ y $(x_{2}, y_{2})$ de la gráfica $y=mx+b$
  5. Muestre que la longitud de la circunferencia de radio $1$ es $2\pi$, recuerde que la curva viene dada por $x^{2}+y^{2}=1$ Hint: Tome un cuarto de la curva e integre.

Más adelante…

En esta sección vimos como calcular la longitud de arco de una curva que tiene como ecuación $y=f(x)$ o $x=f(y)$ dentro de un intervalo dado. Como ya sabemos como calcular áreas, en la siguiente entrada veremos como calcular el volumen de un sólido, para esto, veremos el método de secciones transversales.

Entradas relacionadas

Cálculo Diferencial e Integral II: Área entre curvas

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

Para esta unidad veremos diferentes aplicaciones de la integral en algunas diferentes ramas en donde son de utilidad las integrales para calcular algún objetivo en concreto.

En la unidad anterior vimos las técnicas de integración para resolver integrales, ahora que ya sabemos unas cuantas técnicas que nos permitirá facilitar los temas que vienen por delante. En esta sección veremos como calcular el área entre curvas, es decir, determinar el área entre dos gráficas acotadas por dos funciones.

Área entre curvas

Figura 1: Rectángulos de aproximación al área entre las curvas $f(x)$ y $g(x)$ (rojo y azul respectivamente).

Queremos encontrar el área que está acotada por una curva $y=f(x)$ y $y=g(x)$ entre las rectas verticales $x=a$ y $x=b$ como se muestra en la figura $(1)$, donde $f$ y $g$ son funciones continuas en el intervalo $[a,b]$, supóngase que $f(x) \geq g(x)$, para encontrar esa área, aproximamos la región con $n$ rectángulos basándonos en una partición $P=\left \{ x_{0}, x_{1},…, x_{n} \right \}$ en $[a, b]$ como se ve en la figura $(1)$, donde el área del k-ésimo rectángulo con base $\Delta x$ y altura $f(x_{i}^{*})-g(x_{i}^{*})$ es:

$$A=(f(x_{i}^{*})-g(x_{i}^{*}))\Delta x$$

Por tanto, sumando las áreas de todos los $n$ rectángulos aproximando al área entre las gráficas, obtenemos:

$$\sum_{i=1}^{n}(f(x_{i}^{*})-g(x_{i}^{*}))\Delta x$$

Tendremos una mejor aproximación si $n \rightarrow \infty$. Por tanto, definimos el área $A$ de $S$ como el valor límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación como:

$$A=\lim_{n \rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}(f(x_{i}^{*})-g(x_{i}^{*}))\Delta x$$

Vemos que esta suma es una suma de Riemann [Hipervinculo: Calculo II. Definicion de la integral ],por lo que definimos el área entre curvas como sigue.

Definición. Si $f$ y $g$ son continuas con $f(x) \geq g(x)$ en todo $[a, b]$, el área de la región entre las curvas $y=f(x)$ y $y=g(x)$ y las rectas $x=a$ y $x=b$, está dada por la integral:

$$A=\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)]dx$$

Por lo que al área que está acotada entre dos funciones lo podemos calcular por medio de una integral, veamos unos ejemplos.

Ejemplos

  • Determine el área de la región acotada entre las curvas $y=e^{x}$, $y=x$ y las rectas $x=0$ y $x=1$
Figura 2: Área entre las curvas $f(x)=e^{x}$ y $g(x)=x$.

Graficamos las curvas como se muestra en la figura $(2)$, vemos que $e^{x} > x$ en todo el intervalo $[0, 1]$, por definición, tenemos que el área de la región está dada como:

$$\int_{0}^{1}[e^{x}-x]dx=\int_{0}^{1}e^{x}dx-\int_{0}^{1}xdx=\left [ e^{x} \right ]\bigg|_{0}^{1}-\left [ \frac{x^{2}}{2} \right ]\bigg|_{0}^{1}=e-1-\frac{1}{2}$$

por lo que el área es: $$A=e-1.5$$

  • Encontrar el área de la región acotada por la parábola $y=2-x^{2}$ y la recta $y=-x$

En este caso tenemos que encontrar los límites de integración, para saber de donde a donde vamos a integrar, para eso igualamos las dos funciones:

$$2-x^{2}=-x \Rightarrow x^{2}-x-2=0 \Rightarrow (x+1)(x-2)=0$$

Figura 3: Área entre las curvas $f(x)=2-x^{2}$ y $g(x)=-x$.

Por lo que la región a integrar va de $x=-1$ a $x=2$, a veces es necesario graficar las funciones para ver quien es $f(x)$ y $g(x)$ en el intervalo deseado, ya que podríamos tener un área negativa si intercambiamos las funciones que no corresponden, de la figura $(3)$, vemos que $f(x)=2-x^{2}$ y $g(x)=-x$, así el área entre las curvas es:

$$\int_{-1}^{2}[2-x^{2}+x]dx=\int_{-1}^{2}2dx-\int_{-1}^{2}x^{2}dx+\int_{-1}^{2}xdx=\left [ 2x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2} \right ]\bigg|_{-1}^{2}=(4-\frac{8}{3}+2)-(-2+\frac{1}{3}+\frac{1}{2})=\frac{9}{2}$$

  • Calcule el área de la región acotada entre las curvas $y=\cos(x)$, $y=\sin(x)$ y las rectas $x=0$ y $x=\frac{\pi }{2}$

De la figura vemos que: $\cos(x) \geq \sin(x)$ cuando $0 \leq x \leq \frac{\pi }{4}$ y $\sin(x) \geq \cos(x)$ cuando $\frac{\pi }{4} \leq x \leq \frac{\pi }{2}$ por lo que dividimos el área total como: $A=A_{1}+A_{2}$ y las integrales quedan de la siguiente forma:

$$A=A_{1}+A_{2}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}[\cos(x)-\sin(x)]dx+\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}[\sin(x)-\cos(x)]dx=\left [ \sin(x)+\cos(x) \right ]\bigg|_{0}^{\frac{\pi }{4}}+\left [ -\cos(x)-\sin(x) \right ]\bigg|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}$$

$$=(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-0-1)+(-0-1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}})=2\sqrt{2}-2$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Encontrar el área de la región delimitada por la curva $y=x\sqrt{4-x^{2}}$ en el intervalo $[-2, 2]$
  2. Encontrar el área de la región delimitada por las curvas $y=1$ y $y=\cos^{2}(x)$ en el intervalo $[0, \pi]$
  3. Encontrar el área de la región delimitada por las curvas $y=\sqrt{x}$ y $y=x-2$
  4. Encontrar el área de la región delimitada por las curvas $y=x^{2}$ y $y=2-x$ en el intervalo $[0, 2]$
  5. Encontrar el área de la región delimitada por las curvas $y=\cos(x)$ y $y=\sin(x)$ en el intervalo $[0, 2\pi]$

Más adelante…

En esta sección deducimos la forma de calcular el área que está delimitada entre dos funciones mediante la aplicación de la fórmula deducida. La integral tiene más aplicaciones que solo calcular el área de la integral de una función, en la siguiente sección veremos ahora como calcular la longitud del arco de una función en un intervalo dado.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Criterios de convergencia para las integrales impropias.

Por Miguel Ángel Rodríguez García

2 respuestas

Introducción

En las secciones anteriores vimos las integrales impropias de primer, segundo tipo y tercer tipo, aprendiendo como dar solución a cada una de ella. En esta sección veremos distintos criterios para estudiar la convergencia o divergencia de las integrales impropias. Comencemos enunciando algunos teoremas de convergencia importantes para estas integrales.

Criterios de convergencia

Comencemos con el siguiente teorema.

Teorema: La integral $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ converge $\Leftrightarrow \forall \space \epsilon \space >0 \space \space \exists \space r$ tal que si $x, \space x^{‘} > r$ entonces:

$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$

Demostración:

Sea $\epsilon > 0, \space \int_{a}^{\infty}f(x)dx$ converge:

$$\Leftrightarrow \int_{a}^{\infty}f(x)dx=L \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty}\int_{a}^{x}f(t)dt=L$$

$$\Leftrightarrow \exists \space r \space tal \space que \space si \space x, \space x^{‘} > r$$

Por definición de limite:

$$\Rightarrow \bigg| \int_{a}^{x}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2} \space \space y \space \space \bigg| \int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2}$$

$$\Leftrightarrow \bigg| \int_{a}^{x}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2} \ \space \space y \space \space \bigg|L-\int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt \bigg|<\frac{\epsilon }{2}$$

Ya que $|r|<c$ si y sólo si $-c<r<c$, entonces:

$$\Leftrightarrow -\frac{\epsilon }{2}<\int_{a}^{x}f(t)dt-L <\frac{\epsilon }{2} \ \space \space y \space \space -\frac{\epsilon }{2}<L-\int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt<\frac{\epsilon }{2}$$

$$\Leftrightarrow -\epsilon<\int_{a}^{x}f(t)dt-\int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt<\epsilon$$

$$\Leftrightarrow -\epsilon<\int_{x}^{x^{‘}}f(t)dt<\epsilon$$

$$\Leftrightarrow \bigg| \int_{x}^{x^{‘}}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$

$$\Leftrightarrow \bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$

$$\therefore \int_{1}^{\infty}f(x)dx \space \space converge $$

$\square$

Lema: Sea una función $f(x)$ continua en $[a,b)$ entonces la integral impropia $\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente $\Leftrightarrow \forall \space \epsilon \space >0 \space \space \exists \space \delta >0 \space \space tal \space que \space si \space \space 0<b-x<\delta \space \space y \space \space 0<b-x^{‘}<\delta$ entonces:

$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$

Demostración:

$\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente:

$$\Leftrightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=L \Leftrightarrow \lim_{x \to b^{-}} \int_{a}^{b}f(x)dx=L$$

$$\exists \space \delta >0 \space tal \space que \space si \space \space 0<b-x<\delta \space \space y \space \space 0<b-x^{‘}<\delta$$

$$\Rightarrow \bigg| \int_{a}^{x}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2} \space \space y \space \space \bigg| \int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2}$$

Hacemos el mismo procedimiento como la demostración del teorema anterior, por lo que:

$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon \space \space converge$$

$\square$

Lema: Sea $f$ continua en $[a, b]$ entonces la integral impropia $\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente $\Leftrightarrow \exists \space \delta >0 \space tal \space que \space si \space 0<b-x<\delta \space y \space 0<b-x^{‘}<\delta$, entonces:

$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$

La demostración se dejará como ejercicio moral, ya que la demostración es muy similar a la demostración del lema anterior.

Teorema: Sea $f$ una función continua en $[a, b)$ y acotada en $[a, b]$ entonces $\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente.

Demostración:

Sea $\epsilon>0$, como $f$ está acotada en $[a, b]$ entonces:

$$\exists \space M \space tal \space que \space |f(x)|\leq M \space \forall \space x \space \epsilon \space [a,b]$$

Tomamos $\delta =\frac{\epsilon }{M}$.

Sea $x, x^{‘}$ tal que si $0<b-x<\delta$ y $0<b-x^{‘}<\delta$, entonces por propiedades de la integral: [Hipervinculo: Calculo II-Propiedad de valor absoluto de la integral menor o igual que la integral del valor absoluto de una funcion]:

$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg| \leq \int_{x^{‘}}^{x}|f(t)|dt \leq \int_{x^{‘}}^{x}Mdt=M|x-x^{‘}<\delta M$$

$$\Rightarrow \bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$

$$\forall \space x, x^{‘} \space tal \space que \space \space 0<b-x<\delta \space \space y \space \space 0<b-x^{‘}<\delta$$

Por el lema anterior:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx \space \space converge$$

$\square$

Teorema: Sea $f$ una función continua en $(a, b]$ y acotada en $[a, b]$ entonces $\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente.

La demostración se dejará como tarea moral, la idea de la demostración es muy similar a la demostración del teorema anterior.

Teorema: (Criterio de comparación)

Sean $f$ y $g$ dos funciones continuas en $[a, \infty)$ tal que si $0 \leq f(x) \leq g(x) \space \forall \space x \space \epsilon [a, \infty)$, Entonces:

Si $\int_{a}^{\infty}g(x)dx$ converge entonces $\int_{a}^{\infty}f(x)dx$ converge.

Mientras que si $\int_{a}^{\infty}f(x)dx$ diverge, entonces $\int_{a}^{\infty}g(x)dx$ diverge.

La demostración se dejará como tarea moral, la idea de la demostración es usar las definiciones de límite.

Una aplicación de las integrales impropias en el área de la física, es calcular la velocidad de escape de la superficie de la Tierra. Sabemos que la fuerza gravitacional está dada como:

$$F=G\frac{mM}{r^{2}}$$

Donde $G=6.67\cdot 10^{-11}\frac{Nm^{2}}{kg^{2}}$ es la constante gravitacional y $M$ la masa de la tierra. Así integramos desde un punto $R$ de la Tierra a la fuerza de gravedad, entonces:

$$\int_{a}^{b} Fdx=\int_{R}^{\infty}G\frac{mM}{r^{2}}dr=GmM\int_{R}^{\infty}\frac{1}{r^{2}}dr=-GmM\left [ \frac{1}{r} \right ]_{R}^{r \to \infty}=G\frac{mM}{R}$$

En ese te caso $R$ es el radio de la Tierra, cuyo valor es $R=6.37\cdot 10^{6}m$, $M=5.98\cdot 10^{24}kg$ es la masa de la Tierra, por lo que:

$$G\frac{mM}{R} \approx m \cdot 6.26 \cdot 10^{7}\frac{Nm}{kg}$$

Para calcular la velocidad de escape, igualamos la fuerza de gravedad con la energía cinética:

$$\frac{1}{2}mv^{2}=G\frac{mM}{R} \Rightarrow$$

$$v=\sqrt{\frac{2GM}{R}} \approx 11,91 \frac{m}{s}$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra el primer lema de esta sección.
  2. Demuestra el segundo lema de esta sección.
  3. Demuestra el teorema del criterio de la comparación.

Utiliza el criterio de la comparación para determinar la convergencia de las siguientes integrales:

  1. $$\int_{1}^{\infty}\frac{1+e^{-x}}{x}dx$$
  2. $$\int_{1}^{\infty}e^{-x^{2}}dx$$

Más adelante…

En esta sección vimos algunos teoremas y lemas para la determinación de la convergencia de las integrales impropias, por lo que son útiles en algunos casos para el mismo objetivo. Este tema es el último de esta unidad 5, por lo que comenzaremos a estudiar la unidad 6, en el cual se verán algunas aplicaciones de las integrales.

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