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Geometría Moderna II: Circunferencia de similitud

Por Armando Arzola Pérez

Introducción

Definición. La circunferencia de similitud (o de homotecia) de dos circunferencias no concéntricas, es la circunferencia que tiene como diámetro el segmento que une sus centros de similitud (o de homotecia).

Definición.

Sean dos círculos no concéntricos. Se unirá el centro $O$ de uno de ellos a cualquier punto $B$ de su círculo, no colineal con los centros. Si dibujamos el diámetro del otro círculo paralelo a $O B$ entonces interseca la circunferencia en $B^{'}$ y $B$ .

Si hacemos que $B B^{'}$ y $B B^{'}$ $^{'}$ intersequen la línea de los centros de las circunferencias en $H$ y $K$ , entonces $△ O B H \sim △ O^{'} B^{'} H$ , y $△ O B K \sim △ O^{'} B^{'}$ $^{'} K$ . De lo anterior los dos circulos son homoteticos y $H$ y $K$ los centros de Homotecia.

Circunferencia de Similitud, estudio del centro de similitud.

Teorema. La circunferencia de similitud de dos círculos no concéntricos es el lugar geométrico de los puntos, tales que la razón de las distancias entre sus centros es igual a la razón entre sus radios.

Demostración. Sean dos circunferencias dadas $C_{1} (O, r)$ y $C_{2} (O^{'}, r^{'})$ , donde existen $H$ y $K$ sus centros de Homotecia.

$\Rightarrow]$

Sea un punto $P$ talque $P O : P O^{'} = r : r^{'}$ , esto se ve como $\frac{P O}{P O^{'}} = \frac{r}{r^{'}}$ . Queremos demostrar que $P$ es un punto del lugar geométrico.

Entonces como $K O : K O^{'} = O H : H O^{'} = r : r^{'}$ , se sigue que $K$ y $H$ son puntos del lugar geometríco. Ahora como $P O^{'} : P O = r^{'} : r$ entonces $P O^{'} : P O = K O^{'} : K O = O^{'} H : H O .$

Por el Teorema de la Bisectriz interna y externa $P H$ y $P K$ son las bisectrices interior y externa del angulo $∠ O^{'} P O$ . Entonces $P H$ y $P K$ son perpendiculares, y $P$ está en el círculo de similitud.

$\Leftarrow]$

Supongamos que $P$ está en el círculo de similitud. En la línea de los centros tenemos $O^{'}$ $^{'}$ tal que $P H$ bisecta el angulo $O^{'} P O^{'}$ $^{'}$ .

Entonces, ya que $P H$ y $P K$ son perpendiculares y que bisecan los ángulos interior y exterior en $P$ del triángulo $△ O^{'}$ $^{'} P O^{'}$ , entonces

$O^{'}$ $^{'} H : H O^{'} = - O^{'}$ $^{'} K : K O^{'}$

además

$O H : H O^{'} = - O K : K O^{'}$

Entonces

$H O^{'}$ $^{'} : O^{'}$ $^{'} K = H O : O K$

Entonces $O^{'}$ $^{'}$ coincide con $O$ . Se tiene que $P O : P O^{'} = r : r^{'}$

Del teorema anterior es necesario que $r \neq r^{'}$ , ya que si $r = r^{'}$ syss $r / r^{'} = 1$ . Si dos círculos son iguales, su círculo de similitud degenera en la mediatriz del segmento que une sus centros y la línea al infinito.

Observación. la generalización del concepto de circunferencia de similitud es la circunferencia de Apolonio.

Teorema. El lugar geométrico de los puntos, cuyas razones de sus distancias a dos puntos fijos es una constante, es la circunferencia de Apolonio.

Sean los puntos fijos $O$ y $O^{'}$ la razón de sus distancias a $P$ desde $O$ y $O^{'}$ , sea $r : r^{'}$ . Construiremos círculos con centros en $O$ y $O^{'}$ cuyos radios tengan la razón $r : r^{'}$ . Por la demostración anterior, el lugar geométrico de los puntos $P$ es el círculo de similitud.

Más adelante…

Ya analizadas las circunferencias coaxiales, se verán aplicaciones al cuadrilátero completo.

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Variable Compleja I: Transformaciones lineales y transformaciones de Möbius

Por Pedro Rivera Herrera

2 respuestas

Introducción

En la entrada anterior definimos el concepto de transformación compleja, como una función $T$ del plano complejo en sí mismo y probamos algunos resultados básicos sobre estas transformaciones al considerar a $C$ como un $R$ -espacio vectorial. Además, definimos algunas de las transformaciones del plano más elementales como la traslación, la homotecia, la reflexión y la rotación.

Nuestro objetivo en ésta entrada es trabajar con un tipo de transformación compleja muy particular, que nos permitirá entender mejor la geometría de las funciones complejas en la siguiente entrada.

Definición 25.1. (Transformaciones afines lineales.)
Sean $a, b \in C$ con $a \neq 0$ . A las transformaciones de la forma:
$\begin{matrix} (25.1) & T (z) = a z + b, \end{matrix}$ se les llama transformaciones afines lineales o simplemente transformaciones lineales, las cuales son transformaciones dadas por una homotecia, una rotación y una traslación.

Observación 25.1.
En nuestros cursos de Geometría a las transformaciones de la forma (25.1), comúnmente se les llama transformaciones afines, sin embargo, en la mayoría de textos referentes a transformaciones del plano complejo $C$ se les suele llamar transformaciones lineales puesto que geométricamente a una expresión de la forma (25.1) se le puede asociar una recta en el plano. Tener esto en cuenta es de suma importancia para no confundir las definiciones 24.2 y 24.3 con la definición 25.1, puesto que las primeras dos definiciones, vistas en nuestros cursos de Álgebra Lineal, corresponden a una propiedad entre $R$ -espacios vectoriales, mientras que la última definición está dada por una interpretación geométrica.

De hecho, es fácil verificar que no toda transformación lineal, definición 25.1, es $C$ -lineal, ya que $T (0) = b$ y $b \in C$ no necesariamente es la constante cero.

Ejemplo 25.1.
Las transformaciones elementales del plano complejo son una transformación lineal particular.
a) Si $a = 1$ y $b \in C$ , entonces tenemos la traslación por $b$ , $T_{b} (z) = z + b$ .
b) Si $a = e^{i θ} \in C$ , con $θ \in R$ y $b = 0$ , entonces tenemos una rotación, $R_{θ} (z) = e^{i θ} z$ .
c) Si $b = 0$ y $a = k \in R$ , entonces tenemos una homotecia, $T (z) = k z$ .
d) Si $a = e^{i θ} \in C$ , con $θ \in R$ y $b \in C$ , entonces tenemos una reflexión respecto a una recta $L$ , $r_{L} (z) = e^{i θ} \overset{―}{z} + b$ .

Procedemos ahora a establecer algunas propiedades sobre las transformaciones lineales.

Lema 25.1.
Sean $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C$ tres puntos no colineales. El ángulo $α$ , figura 95, formado entre los vectores $z_{2} - z_{1}$ y $z_{3} - z_{1}$ está dado por:
$α = \arg (\frac{z_{3} - z_{1}}{z_{2} - z_{1}}) .$

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

Figura 95: Ángulo $α$ formado entre los vectores $z_{2} - z_{1}$ y $z_{3} - z_{1}$ .

Proposición 25.1.
Sea $T : C \to C$ una transformación lineal, entonces:

$T$ envía rectas en rectas.
$T$ envía circunferencias en circunferencias.

Demostración. Sea $T (z) = a z + b$ , con $a, b \in C$ y $a \neq 0$ .

Sea $L$ una recta en $C$ con ecuación: $\begin{matrix} (25.2) & c \overset{―}{z} + \overset{―}{c} z + d = 0, \end{matrix}$ para algún $c \in C$ , $c \neq 0$ , y $d \in R$ .

Veamos que $T (L)$ es también una recta. Notemos que cualquier $z \in L$ , bajo $T$ es de la forma $w = a z + b$ . Dado que $a \neq 0$ , entonces: $z = \frac{1}{a} (w - b),$ por lo que, al ser $z$ un punto de $L$ satisface (25.2), es decir: $\begin{aligned} 0 & = c \overset{―}{(\frac{1}{a} (w - b))} + \overset{―}{c} (\frac{1}{a} (w - b)) + d \\ = c \overset{―}{(\frac{w}{a})} + \overset{―}{c} (\frac{w}{a}) + d - (c \overset{―}{(\frac{b}{a})} + \overset{―}{c} (\frac{b}{a})) . \end{aligned}$ Dado que: $c \overset{―}{(\frac{b}{a})} + \overset{―}{c} (\frac{b}{a}) = c \overset{―}{(\frac{b}{a})} + \overset{―}{c \overset{―}{(\frac{b}{a})}} = 2 Re (c \overset{―}{(\frac{b}{a})}),$ entonces: $d - (c \overset{―}{(\frac{b}{a})} + \overset{―}{c} (\frac{b}{a})) \in R,$ por lo que todos los puntos $w \in T (L)$ satisfacen la ecuación de una recta, es decir, $T (L)$ es una recta.
Se deja como ejercicio al lector.

Proposición 25.2.
Toda transformación lineal preserva ángulos.

Demostración. Sea $T$ una transformación lineal, es decir, $T (z) = a z + b$ , con $a, b \in C$ y $a \neq 0$ .

Dado que $T$ envía rectas en rectas, basta probar que el ángulo formado entre dos rectas que se cortan en un punto es igual al de sus imágenes bajo $T$ .

Sean $L_{1}$ y $L_{2}$ dos rectas que se cortan en un punto $z_{0} \in C$ . Sean $z_{1} \in L_{1}$ y $z_{2} \in L_{2}$ . Veamos que:
$∠ (L_{1}, L_{2}) = ∠ (T (L_{1}), T (L_{2})) .$

Por el lema 24.1 tenemos que:
$\begin{aligned} ∠ (T (L_{1}), T (L_{2})) & = \arg (\frac{T (z_{2}) - T (z_{0})}{T (z_{1}) - T (z_{0})}) \\ = \arg (\frac{a z_{2} + b - a z_{0} - b}{a z_{1} + b - a z_{0} - b}) \\ = \arg (\frac{z_{2} - z_{0}}{z_{1} - z_{0}}) \\ = ∠ (L_{1}, L_{2}) . \end{aligned}$

Observación 25.2.
En general, es posible definir a una transformación compleja para la cual las transformaciones lineales son un caso particular. Dichas transformaciones resultan de gran interés en el estudio de las funciones complejas pues nos dicen mucho sobre su comportamiento geométrico.

Definición 25.2. (Transformaciones fraccionarias lineales.)
Sean $a, b, c, d \in C$ , con al menos $c$ ó $d$ distinto de cero. Una transformación de la forma:
$\begin{matrix} (25.3) & T (z) = \frac{a z + b}{c z + d}, \end{matrix}$ recibe el nombre de transformación fraccionaria lineal.

Observación 25.3.
Debe ser claro que una función $T$ dada por (25.3) está bien definida para todo $z \in C$ tal que $c z + d \neq 0$ . De hecho $T$ es una función analítica en $C ∖ A$ , donde:
$A = {z \in C : c z + d = 0} .$

Más aún, bajo la condición $c \neq 0$ , la función $T$ se restringe de $C ∖ {- \frac{d}{c}}$ en $C ∖ {\frac{a}{c}}$ .

Definición 25.3. (Transformaciones de Möbius.)
Sean $a, b, c, d \in C$ . Una transformación de la forma (25.3) tal que $a d - b c \neq 0$ recibe el nombre de transformación de Möbius.

Observación 25.4.
La condición $a d - b c \neq 0$ , impuesta sobre las constantes $a, b, c, d \in C$ , nos permite garantizar lo siguiente:
1) Las expresiones $a z + b$ y $c z + d$ no se anulan para los mismos valores de $z$ .
2) La transformación $T$ no puede ser constante, ya que $a$ y $c$ no pueden ser ambas cero, al igual que $b$ y $d$ no pueden ser ambas cero.
3) En general, el denominador no puede ser un múltiplo constante del numerador, es decir que $a z + b$ y $c z + d$ no tienen un factor común.

Además, no es difícil verificar que $T$ es biyectiva si y solo si $a d - b c \neq 0$ , por lo que se deja como ejercicio al lector.

Observación 25.5.
Notemos que toda transformación de la forma:
$w = T (z) = \frac{a z + b}{c z + d}, con a d - b c \neq 0,$ es equivalente a una expresión de la forma:
$A z w + B z + C w + D = 0, con A D - B C \neq 0,$ donde $A = c$ , $B = - a$ , $C = d$ y $D = - b$ .

Dado que ésta última expresión es lineal en $z$ y es lineal en $w$ , entonces es bilineal en $z$ y $w$ , por lo que una transformación de Möbius también suele llamarse una transformación bilineal.

Ejemplo 25.2.
Notemos que algunas de las transformaciones definidas antes, son un una transformación de Möbius particular.
a) Si $a = 1 = d$ y $b = 0 = c$ , entonces tenemos la transformación identidad, $T (z) = z$ .
b) Si $c = 0$ y $d = 1$ , entonces tenemos una transformación lineal, $T (z) = a z + b$ .
c) Si $a = d = 0$ y $b = c$ , entonces tenemos la transformación inversión, $T (z) = \frac{1}{z}$ , dada en el ejemplo 24.1.

Es común trabajar con las transformaciones de Möbius como funciones sobre el plano complejo extendido, por lo que, considerando la observación 15.5 y el ejercicio 4 de la entrada 12, podemos definir a una transformación de Möbius como una función continua en $C_{\infty}$ , como sigue:

Definición 25.4. (Transformaciones de Möbius en $C_{\infty}$ .)
Sean $a, b, c, d \in C$ . Si $a d - b c \neq 0$ , entonces diremos que una función racional $T : C_{\infty} \to C_{\infty}$ dada como:
$T (z) = {\begin{array}{lcc} \frac{a z + b}{c z + d}, & si & z \neq - \frac{d}{c}, z \neq \infty, \\ \infty, & si & z = - \frac{d}{c}, \\ \frac{a}{c}, & si & z = \infty, \end{array}$ es una transformación de Möbius en el plano complejo extendido.

Observación 25.6.
Como hemos mencionado anteriormente, la condición $a d - b c \neq 0$ se impone para evitar que trabajemos con una transformación constante. Sin embargo, podemos utilizar dicha condición para plantear de una forma equivalente a la definición 25.4 considerando los siguientes casos:
1) Si $c = 0$ , entonces la condición $a d - b c \neq 0$ se reduce a $a d \neq 0$ , en dicho caso tenemos que $T (\infty) = \infty$ y:
$T (z) = \frac{a z + b}{d} = \frac{a}{d} z + \frac{b}{d} .$ 2) Si $c \neq 0$ , tenemos $a d - b c \neq 0$ , entonces $T (\infty) = a / c$ , $T (- d / c) = \infty$ y:
$T (z) = \frac{a z + b}{c z + d} = \frac{a}{c} + \frac{b c - a d}{c} \frac{1}{c z + d} .$

Ejemplo 25.3.
La transformación:
$f (z) = \frac{z - 1}{i z + i},$ es una transformación de Möbius desde que $a = 1$ , $b = - 1$ , $c = i = d$ y $a d - b c = i - (- i) = 2 i \neq 0$ .

Dado que $c = i \neq 0$ , entonces la transformación de Möbius $f$ es una función restringida, es decir:
$f : C ∖ {- 1} \to C ∖ {- i} .$

Podemos extender dicha transformación de Möbius al plano complejo extendido como sigue:
$f (z) = \frac{z - 1}{i z + i}, si z \neq - 1 y z \neq \infty,$

mientras que:
$f (- 1) = \infty y f (\infty) = - i .$

Proposición 25.3.
Sean $T_{1}$ y $T_{2}$ dos transformaciones de Möbius dadas por:
$T_{1} (z) = \frac{a_{1} z + b_{1}}{c_{1} z + d_{1}} y T_{2} (z) = \frac{a_{2} z + b_{2}}{c_{2} z + d_{2}}$
con $a_{1} d_{1} - b_{1} c_{1} \neq 0$ y $a_{2} d_{2} - b_{2} c_{2} \neq 0$ . Entonces su composición es también una transformación de Möbius.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

Proposición 25.4.
Toda transformación de Möbius es una biyección de $C_{\infty}$ en $C_{\infty}$ . En particular la inversa de una transformación de Möbius es también una transformación de Möbius.

Demostración. Sea $T : C_{\infty} \to C_{\infty}$ una transformación de Möbius dada por:
$T (z) = \frac{a z + b}{c z + d}, con a d - b c \neq 0.$

De acuerdo con la observación 25.6 tenemos que si $c = 0$ , entonces $T (\infty) = \infty$ y si $c \neq 0$ , entonces $T (\infty) = a / c$ y $T (- d / c) = \infty$ .

Primeramente verifiquemos que $T$ es inyectiva. Supongamos que $T (z_{1}) = T (z_{2})$ . Notemos que si $c \neq 0$ , entonces tenemos la condición $a d - b c \neq 0$ , por lo que:
$\begin{aligned} \frac{a z_{1} + b}{c z_{1} + d} & = \frac{a z_{2} + b}{c z_{2} + d} \\ ⟺ a d z_{1} + b c z_{2} = a d z_{2} + b c z_{1} \\ ⟺ (a d - b c) (z_{1} - z_{2}) = 0 \\ ⟺ z_{1} = z_{2} . \end{aligned}$

Por otra parte, notemos que si $c = 0$ , entonces tenemos la condición $a d \neq 0$ , por lo que:
$\begin{aligned} \frac{a z_{1} + b}{d} & = \frac{a z_{2} + b}{d} \\ ⟺ a z_{1} + b = a z_{2} + b \\ ⟺ z_{1} = z_{2} . \end{aligned}$

Verifiquemos ahora que $T$ es suprayectiva. Sea $w \in C_{\infty}$ . Veamos que existe $z \in C_{\infty}$ tal que $T (z) = w$ . Notemos que si $w = \infty$ , entonces $z = - d / c$ corresponde con dicho valor si $c = 0$ . Sin pérdida de generalidad supongamos que $w \neq \infty$ , entonces tenemos que $c \neq 0$ y por tanto se cumple la condición $a d - b c \neq 0$ , por lo que planteamos la ecuación:
$w = \frac{a z + b}{c z + d} .$

Resolviendo para $z$ tenemos que:
$z = T^{- 1} (w) = \frac{- d w + b}{c w - a},$ por lo que $T$ es suprayectiva.

Dado que $T$ es biyectiva entonces existe $T^{- 1}$ tal que $T \circ T^{- 1} = T^{- 1} \circ T = I_{C}$ para todo $z \in C_{\infty}$ , la cual está dada por:
$T^{- 1} (z) = \frac{- d z + b}{c z - a}, con a d - b c \neq 0,$ tal que si $c = 0$ , entonces $T^{- 1} (\infty) = \infty$ y si $c \neq 0$ , entonces $T^{- 1} (a / c) = \infty$ y $T^{- 1} (\infty) = - d / c$ . Es claro que $T^{- 1}$ es también una transformación de Möbius.

Observación 25.7.
De acuerdo con las proposiciones 25.3 y 25.4 no es díficil verificar que el conjunto de todas las transformaciones de Möbius dotado con la operación de composición de funciones forma un grupo.

Proposición 25.5.
Toda transformación de Möbius $T : C_{\infty} \to C_{\infty}$ se puede expresar como la composición de transformaciones lineales (homotecias, rotaciones y traslaciones) y la inversión.

Demostración. Sea $T : C_{\infty} \to C_{\infty}$ una transformación de Möbius dada por:
$T (z) = \frac{a z + b}{c z + d}, con a d - b c \neq 0,$ tal que si $c = 0$ , entonces $T (\infty) = \infty$ y si $c \neq 0$ , entonces $T (\infty) = a / c$ y $T (- d / c) = \infty$ .\

Por la observación 25.6(1) tenemos que, para $c = 0$ la transformación $T$ se puede ver como la composición $T_{2} \circ T_{1}$ , donde:
$T_{1} (z) = \frac{a}{d} z, T_{2} (z) = z + \frac{b}{d},$ con $a d \neq 0$ , por lo que en dicho caso se cumple el resultado.

Por otra parte, por la observación 25.6(2), para $c \neq 0$ tenemos que la transformación $T$ se puede ver como la composición $T_{3} \circ T_{2} \circ T_{1}$ , donde:
$T_{1} (z) = c z + d, T_{2} (z) = \frac{1}{z}, T_{3} (z) = \frac{a}{c} + \frac{b c - a d}{c} z,$ con $a d - b c \neq 0$ , por lo que en dicho caso también se cumple el resultado.

Procedemos a analizar algunas propiedades geométricas importantes de las transformaciones de Möbius. Para ello nos apoyaremos de algunos resultados para la transformación inversión.

Tenemos que la transformación:
$\begin{matrix} (25.4) & w = T (z) = \frac{1}{z}, \end{matrix}$ establece una biyección entre los puntos distintos de cero de los planos $z$ y $w$ . Dado que $z \overset{―}{z} = | z |^{2}$ , entonces podemos reescribir a (25.4) mediante la composición de las siguientes transformaciones:
$\begin{matrix} (25.5) & T_{1} (z) = \frac{1}{\overset{―}{z}} = \frac{z}{| z |^{2}}, T_{2} (z) = \overset{―}{z}, \end{matrix}$ entonces es claro que $T (z) = (T_{2} \circ T_{1}) (z)$ .

Notemos que la primer transformación en (25.5) nos describe una inversión con respecto a la circunferencia unitaria $C (0, 1)$ , es decir, la imagen de un punto $z \neq 0$ es el punto $w_{1} = T_{1} (z)$ con las siguientes propiedades:
$| w_{1} | = \frac{1}{| z |}, \arg w_{1} = \arg z .$

Por lo que los puntos fuera de la circunferencia unitaria $| z | = 1$ serán mapeados, mediante $T_{1}$ , en los puntos $w_{1} \neq 0$ dentro de dicha circunferencia y viceversa. Mientras que los puntos que caigan sobre la circunferencia unitaria $| z | = 1$ , bajo $T_{1}$ , serán mapeados en ellos mismos. Por otra parte, la segunda transformación dada en (16.2) es simplemente una reflexión a través del eje real de cada $w_{1} = T_{1} (z) \neq 0$ , es decir $w = \overset{―}{w_{1}}$ , figura 96.

Figura 96: Gráfica de la transformación inversión vista como la composición de las transformaciones $T_{1}$ y $T_{2}$ dadas en (25.5).

Podemos visualizar lo anterior en el siguiente applet de GeoGebra: https://www.geogebra.org/m/z3cf2kyt.

Desde que:
$lim_{z \to 0} \frac{1}{z} = \infty, lim_{z \to \infty} \frac{1}{z} = 0,$ entonces podemos definir una biyección entre los planos $z$ y $w$ extendidos, es decir entre $C_{\infty}$ y $C_{\infty}$ , mediante:
$T (z) = {\begin{array}{lcc} \frac{1}{z}, & si & z \neq 0, z \neq \infty, \\ 0, & si & z = \infty, \\ \infty, & si & z = 0. \end{array}$

Es claro que la transformación $T$ , definida previamente, es una función continua en $C_{\infty}$ .

Considerando lo anterior, estamos listos para probar la siguiente:

Proposición 25.6.
La transformación inversión mapea el conjunto de circunferencias y rectas en el conjunto de circunferencias y rectas.

Demostración. Sea $T (z) = 1 / z$ la transformación inversión. De nuestros cursos de geometría analítica sabemos que para $A, D, E, F$ números reales tales que $D^{2} + E^{2} > 4 A F$ , la ecuación:
$\begin{matrix} (25.6) & A (x^{2} + y^{2}) + D x + E y + F = 0, \end{matrix}$ representa una circunferencia o una recta, si $A \neq 0$ ó $A = 0$ , respectivamente.

Dado que $z \overset{―}{z} = | z |^{2}$ , tenemos que si $w = u + i v$ es la imagen de $z = x + i y \neq 0$ bajo la transformación inversión, es decir:
$w = T (z) = \frac{1}{z} = \frac{\overset{―}{z}}{| z |^{2}},$ entonces:
$\begin{matrix} (25.7) & u = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}, v = - \frac{y}{x^{2} + y^{2}} . \end{matrix}$

Considerando que la transformación inversión establece una biyección entre los planos $z$ y $w$ , entonces podemos plantear:
$z = T^{- 1} (w) = \frac{1}{w} = \frac{\overset{―}{w}}{| w |^{2}},$ de donde:
$\begin{matrix} (25.8) & x = \frac{u}{u^{2} + v^{2}}, y = - \frac{v}{u^{2} + v^{2}} . \end{matrix}$

Supongamos que $z = x + i y \neq 0$ satisface (25.6), veamos que $w = u + i v = T (z) \neq 0$ también satisface una ecuación similar. Sustituyendo las ecuaciones dadas en (25.8) tenemos que:
$\begin{aligned} 0 & = A [\frac{u^{2} + v^{2}}{(u^{2} + v^{2})^{2}}] + D (\frac{u}{u^{2} + v^{2}}) + E (- \frac{v}{u^{2} + v^{2}}) + F \\ = A (\frac{1}{u^{2} + v^{2}}) + D u (\frac{1}{u^{2} + v^{2}}) - E v (\frac{1}{u^{2} + v^{2}}) + F, \end{aligned}$ de donde se sigue que $w = u + i v$ satisface la ecuación:
$\begin{matrix} (25.9) & F (u^{2} + v^{2}) + D u - E v + A = 0, \end{matrix}$ la cual corresponde con la ecuación de una circunferencia o una recta, si $F \neq 0$ ó $F = 0$ , respectivamente.

De manera análoga se puede mostrar que si $w = u + i v$ satisface (25.9), entonces, utilizando (25.7), $z = x + i y$ satisface (25.6).

Observación 25.8.
Si consideramos a $T$ la transformación inversión, entonces de las ecuaciones (25.6) y (25.9) tenemos que:
1) Si $A \neq 0$ y $F \neq 0$ , en el plano $z$ se tiene una circunferencia que no pasa a través del origen, la cual, bajo $T$ , será mapeada en una circunferencia que tampoco pasa por el origen en el plano $w$ .
2) Si $A \neq 0$ y $F = 0$ , en el plano $z$ se tiene una circunferencia que pasa a través del origen, la cual, bajo $T$ , será mapeada en una recta que no pasa por el origen en el plano $w$ .
3) Si $A = 0$ y $F \neq 0$ , en el plano $z$ se tiene una recta que no pasa a través del origen, la cual, bajo $T$ , será mapeada en una circunferencia que pasa por el origen en el plano $w$ .
4) Si $A = 0$ y $F = 0$ , en el plano $z$ se tiene una recta que pasa a través del origen, la cual será mapeada, bajo $T$ , en una recta que pasa por el origen en el plano $w$ .

Podemos visualizar lo anterior en el siguiente applet de GeoGebra: https://www.geogebra.org/m/eqh4nbab.

De acuerdo con las proposiciones 25.1, 25.5 y 25.6 se tiene el siguiente:

Corolario 25.1.
Toda transformación de Möbius mapea el conjunto de rectas y circunferencias en el conjunto de rectas y circunferencias.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

Ejemplo 25.4.
Muestra que la recta $L : 3 y = x$ , en el plano $z$ , es enviada en una circunferencia, en el plano $w$ , bajo la transformación de Möbius:
$\begin{matrix} (25.10) & w = T (z) = \frac{i z + 2}{4 z + i} . \end{matrix}$

Solución. Sean $z = x + i y$ y $w = u + i v$ . Para determinar la imagen de la recta $3 y = x$ bajo $T$ , debemos encontrar los valores de $x$ y de $y$ en términos de $u$ y de $v$ .

Resolvemos (25.10) para $z$ :
$\begin{aligned} w = \frac{i z + 2}{4 z + i} & ⟹ 4 z w + i w = i z + 2 \\ ⟹ z (4 w - i) = 2 - i w \\ ⟹ z = \frac{2 - i w}{4 w - i} . \end{aligned}$

Entonces:
$\begin{aligned} x + i y & = \frac{v + 2 - i u}{4 u + i (4 v - 1)} \frac{4 u - i (4 v - 1)}{4 u - i (4 v - 1)} \\ = \frac{(v + 2 - i u) [4 u + i (4 v - 1)]}{16 u^{2} + (4 v - 1)^{2}} \\ = \frac{9 u - i (4 u^{2} + 4 v^{2} + 7 v - 2)}{16 u^{2} + (4 v - 1)^{2}}, \end{aligned}$ de donde:
$x = \frac{9 u}{16 u^{2} + (4 v - 1)^{2}}, y = - \frac{4 u^{2} + 4 v^{2} + 7 v - 2}{16 u^{2} + (4 v - 1)^{2}} .$

Sustituyendo en la ecuación de la recta tenemos que:
$\frac{9 u}{16 u^{2} + (4 v - 1)^{2}} = \frac{- 3 (4 u^{2} + 4 v^{2} + 7 v - 2)}{16 u^{2} + (4 v - 1)^{2}},$ es decir:
$u^{2} + v^{2} + \frac{3}{4} u + \frac{7}{4} v - \frac{1}{2} = 0,$ la cual corresponde con la ecuación de una circunferencia, en el plano $w$ , con centro en $(- 3 / 8, - 7 / 8)$ y radio $r = (3 / 8) \sqrt{10}$ .

Figura 97: Imagen de la recta $3 y = x$ bajo la transformación de Möbius (25.10).

Podemos generalizar la definición 24.10, de punto fijo de una transformación, para las funciones complejas definidas sobre el plano complejo extendido.

Definición 25.5.(Punto fijo.)
Sea $S \subset C_{\infty}$ y sea $f : S \to C_{\infty}$ una función. Diremos que un punto $z_{0} \in S$ es un punto fijo de $f$ si y solo si $f (z_{0}) = z_{0}$ .

Ejemplo 25.5.
a) La función $f (z) = z^{2}$ fija a los puntos $0, 1$ e $\infty$ .
b) La función $f (z) = \frac{1}{z}$ fija a los puntos $1$ y $- 1$ .
c) La función $f (z) = z + i$ fija al $\infty$ .

Una pregunta interesante que podemos hacernos es ¿cuáles son los puntos fijos de una transformación de Möbius?

Para responder a esta pregunta consideremos los siguientes resultados.

Proposición 25.7.
Toda transformación de Möbius $T : C_{\infty} \to C_{\infty}$ deja fijo 1, 2 o todos los puntos de $C_{\infty}$ .

Demostración. Sea $T : C_{\infty} \to C_{\infty}$ una transformación de Möbius dada por:
$T (z) = \frac{a z + b}{c z + d}, con a d - b c \neq 0.$

Para encontrar los puntos fijos de $T$ planteamos la siguiente ecuación:
$T (z) = \frac{a z + b}{c z + d} = z,$ resolviendo para $z$ obtenemos la ecuación cuadrática:
$\begin{matrix} (25.11) & c z^{2} + (d - a) z - b = 0. \end{matrix}$

Caso 1. Si $c \neq 0$ , por la observación 25.6 tenemos que $T (\infty) = a / c$ y $T (- d / c) = \infty$ , es decir, $T$ no fija al punto $z = \infty$ . Por otra parte, es claro que la ecuación (25.11) tiene exactamente 1 ó 2 soluciones, por lo que en dicho caso tenemos que $T$ fija 1 ó 2 puntos de $C_{\infty}$ .

Caso 2. Si $c = 0$ , por la observación 25.6 tenemos que $T (\infty) = \infty$ , es decir, $T$ fija al punto $z = \infty$ . Por otra parte, para $c = 0$ tenemos la condición $a d \neq 0$ , por lo que $a \neq 0$ y $d \neq 0$ , entonces procedemos a analizar los siguientes casos:

Si $a \neq d$ , entonces la transformación $T$ es de la forma: $T (z) = \frac{a z + b}{d} .$ De (25.11) tenemos la solución: $z = \frac{b}{d - a} \neq \infty,$ la cual es otro punto fijo de $T$ , por lo que tenemos exactamente 2 puntos fijos, es decir, $T$ deja fijos a 2 puntos de $C_{\infty}$ .
Si $a = d$ , entonces la ecuación (25.11) se reduce a $b = 0$ , por lo que la transformación $T$ es de la forma: $T (z) = \frac{a z + 0}{0 z + a} = z,$ la cual es la transformación identidad, por lo que claramente $T$ fija a todo punto de $C_{\infty}$ .

Corolario 25.2.
Si $T$ es una transformación de Möbius que fija tres puntos distintos de $C_{\infty}$ , entonces $T$ es la identidad.

Demostración. Es inmediata del resultado anterior.

Corolario 25.3.
Si $T_{1}$ y $T_{2}$ son dos transformaciones de Möbius que fijan a tres puntos distintos de $C_{\infty}$ , entonces $T_{1} = T_{2}$ .

Demostración. Se sigue de las proposiciones 25.3, 25.4 y del corolario 25.3, por lo que los detalles se dejan como ejercicio al lector.

Observación 25.9.
El último resultado es de suma importancia pues nos dice que el comportamiento de una transformación de Möbius está completamente descrito por su acción sobre tres puntos distintos de $C_{\infty}$ .

Observación 25.10.
Notemos que si $T$ es una transformación de Möbius, digamos:
$T (z) = \frac{a z + b}{c z + d}, con a d - b c \neq 0,$ entonces para $λ \in C$ , tal que $λ \neq 0$ , se cumple que:
$S (z) = \frac{λ a z + λ b}{λ c z + λ d}$ también es una transformación de Möbius desde que $λ^{2} (a d - b c) \neq 0$ . Más aún, es claro que $T = S$ .

Ejemplo 25.6.
Determina la transformación de Möbius que envía los puntos del plano $z$ , en los puntos del plano $w$ , respectivamente.
a) $- 1 \mapsto - i$ , $0 \mapsto 1$ y $1 \mapsto i$ .
b) $1 \mapsto 0$ , $i \mapsto 1$ y $- 1 \mapsto \infty$ .
c) $1 \mapsto i$ , $0 \mapsto \infty$ y $- 1 \mapsto 1$ .

Solución. Sea $T$ una transformación de Möbius, es decir:
$w = T (z) = \frac{a z + b}{c z + d}, con a d - b c \neq 0.$

a) Dado que $T (0) = 1$ , tenemos que:
$1 = \frac{b}{d} ⟹ b = d,$ por lo que $b (a - c) \neq 0$ , es decir $b \neq 0$ y $a \neq c$ , entonces:
$T (z) = \frac{a z + b}{c z + b}, con b (a - c) \neq 0.$ Como $T (- 1) = - i$ y $T (1) = i$ , tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
${\begin{matrix} \frac{- a + b}{- c + b} = - i, \\ \frac{a + b}{c + b} = i . \end{matrix} ⟹ {\begin{matrix} - a + b = i c - i b, \\ a + b = i c + i b . \end{matrix}$ Resolviendo tenemos $a = i b$ y $c = - i b$ .

Como $b \neq 0$ , entonces:
$T (z) = \frac{b (i z + 1)}{b (- i z + 1)} = \frac{i z + 1}{- i z + 1} = \frac{i - z}{i + z} .$

b) Puesto que $T (- 1) = \infty$ , de la observación 25.6 tenemos que $c \neq 0$ y $- d / c = - 1$ , es decir, $c = d$ .

Como $T (1) = 0$ , entonces $a + b = 0$ , es decir $a = - b$ , entonces:
$T (z) = \frac{- b (z - 1)}{d (z + 1)}, - 2 b d \neq 0.$ Por último, como $T (i) = 1$ , entonces:
$\frac{- b (i - 1)}{d (i + 1)} = 1 ⟹ b = d (\frac{1 + i}{1 - i}) = i d .$ Por lo tanto, como $d \neq 0$ , tenemos que:
$T (z) = \frac{- i d (z - 1)}{d (z + 1)} = - i (\frac{z - 1}{z + 1}) .$

c) Dado que $T (0) = \infty$ , de la observación 25.6 tenemos que $c \neq 0$ y $d = 0$ , por lo que:
$T (z) = \frac{a z + b}{c z}, con b c \neq 0.$ Como $T (1) = i$ y $T (- 1) = 1$ , tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
${\begin{matrix} \frac{a + b}{c} = i, \\ \frac{- a + b}{- c} = 1. \end{matrix} ⟹ {\begin{matrix} a + b = i c, \\ - a + b = - c . \end{matrix}$ Resolviendo tenemos $2 a = c (1 + i)$ y $2 b = c (i - 1)$ .

De acuerdo con la observación 25.10 y considerando que $c \neq 0$ , entonces tenemos que:
$\begin{aligned} T (z) = \frac{a z + b}{c z} & = \frac{2 a z + 2 b}{2 c z} \\ = \frac{c [(1 + i) z + (i - 1)]}{2 c z} \\ = \frac{(1 + i) z + (i - 1)}{2 z} . \end{aligned}$

Proposición 25.8.
Sean $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C_{\infty}$ tres puntos distintos. Entonces existe una única transformación de Möbius tal que:
$\begin{matrix} (25.12) & T (z_{1}) = 0, T (z_{2}) = 1 y T (z_{3}) = \infty . \end{matrix}$

Demostración. Sean $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C_{\infty}$ tres puntos distintos. La unicidad se sigue del corolario 25.3.

Supongamos primeramente que los tres puntos son finitos, entonces para la existencia definimos a la transformación:
$\begin{matrix} (25.13) & T (z) = \frac{(z - z_{1}) (z_{2} - z_{3})}{(z - z_{3}) (z_{2} - z_{1})}, \forall z \in C . \end{matrix}$ Primero veamos que $T$ es una transformación de Möbius. Notemos que:
$\begin{aligned} T (z) & = \frac{(z - z_{1}) (z_{2} - z_{3})}{(z - z_{3}) (z_{2} - z_{1})} \\ = \frac{(z_{2} - z_{3}) z + z_{1} (z_{3} - z_{2})}{(z_{2} - z_{1}) z + z_{3} (z_{1} - z_{2})} \\ =: \frac{a z + b}{c z + d}, \end{aligned}$ de donde:
$\begin{aligned} a d - b c & = z_{3} (z_{2} - z_{3}) (z_{1} - z_{2}) + z_{1} (z_{3} - z_{2}) (z_{1} - z_{2}) \\ = (z_{2} - z_{3}) (z_{1} - z_{2}) (z_{3} - z_{1}) . \end{aligned}$ Dado que $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ son distintos, entonces $z_{2} - z_{3} \neq 0$ , $z_{1} - z_{2} \neq 0$ y $z_{3} - z_{1} \neq 0$ , es decir, $a d - b c \neq 0$ , por lo que $T$ es una transformación de Möbius.

Veamos ahora que $T$ cumple (25.12). Es claro que:
$\begin{aligned} T (z_{1}) & = \frac{(z_{1} - z_{1}) (z_{2} - z_{3})}{(z_{1} - z_{3}) (z_{2} - z_{1})} = 0, \\ T (z_{2}) & = \frac{(z_{2} - z_{1}) (z_{2} - z_{3})}{(z_{2} - z_{3}) (z_{2} - z_{1})} = 1, \\ T (z_{3}) & = \frac{(z_{3} - z_{1}) (z_{2} - z_{3})}{(z_{3} - z_{3}) (z_{2} - z_{1})} = \infty . \end{aligned}$

Por otra parte, si alguno de los $z_{k}$ ’s es $\infty$ , definimos a $T (z)$ de modo que $z_{k}$ tienda a $\infty$ en (25.13). Sin pérdida de generalidad, supongamos que $z_{1} = \infty$ , entonces reescribimos el lado derecho de la igualdad en (25.13) como sigue:
$\frac{\frac{z}{z_{1}} - 1}{z - z_{3}} \frac{z_{2} - z_{3}}{\frac{z_{2}}{z_{1}} - 1},$ entonces:
$T (z) := lim_{z_{1} \to \infty} \frac{\frac{z}{z_{1}} - 1}{z - z_{3}} \frac{z_{2} - z_{3}}{\frac{z_{2}}{z_{1}} - 1} = \frac{z_{2} - z_{3}}{z - z_{3}} .$ Claramente $T$ es una transformación de Möbius pues $z_{3} - z_{2} \neq 0$ . Notemos que:
$T (\infty) = 0, T (z_{2}) = 1 y T (z_{3}) = \infty .$ Análogamente, si $z_{2} = \infty$ podemos definir:
$T (z) = \frac{z - z_{1}}{z - z_{3}},$ mientras que si $z_{3} = \infty$ definimos:
$T (z) = \frac{z - z_{1}}{z_{2} - z_{1}} .$ En ambos casos $T$ es una transformación de Möbius y se cumple (25.12).

El resultado anterior nos motiva a dar la siguiente:

Definición 25.6. (Razón cruzada.)
Sean $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C_{\infty}$ tres puntos distintos y sea $z \in C_{\infty}$ . La {\bf razón cruzada} de $z, z_{1}, z_{2}$ y $z_{3}$ , denotada como $(z; z_{1}, z_{2}, z_{3})$ , es el valor $T (z) \in C_{\infty}$ , donde $T$ es la única transformación de Möbius tal que $T (z_{1}) = 0$ , $T (z_{2}) = 1$ y $T (z_{3}) = \infty$ .

Observación 25.11.
De acuerdo con la proposición 25.8 es claro que:
$(z; z_{1}, z_{2}, z_{3}) = T (z) = {\begin{array}{lcc} \frac{(z - z_{1}) (z_{2} - z_{3})}{(z - z_{3}) (z_{2} - z_{1})} & si & z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C, \\ \frac{z_{2} - z_{3}}{z - z_{3}} & si & z_{1} = \infty, \\ \frac{z - z_{1}}{z - z_{3}} & si & z_{2} = \infty, \\ \frac{z - z_{1}}{z_{2} - z_{1}} & si & z_{3} = \infty . \end{array}$

Ejemplo 25.7.
Determina el valor de las siguientes razones cruzadas.
a) $(z; 0, 1, \infty)$ .
b) $(z; 1, \infty, 0)$ .
c) $(z_{2}; z_{1}, z_{2}, z_{3})$ .
d) $(2; \infty, i, - 1)$ .

Solución. Tenemos que:
a) $(z; 0, 1, \infty) = \frac{z - 0}{1 - 0} = z .$ b)
$(z; 1, \infty, 0) = \frac{z - 1}{z - 0} = \frac{z - 1}{z} .$ c)
$(z_{2}; z_{1}, z_{2}, z_{3}) = \frac{(z_{2} - z_{1}) (z_{2} - z_{3})}{(z_{2} - z_{3}) (z_{2} - z_{1})} = 1.$ d)
$(2; \infty, i, - 1) = \frac{i - (- 1)}{2 - (- 1)} = \frac{1 + i}{3} .$

Ejemplo 25.8.
De acuerdo con la definición 25.6, la transformación de Möbius del ejemplo 25.6(b) puede escribirse como $T (z) = (z; 1, i, - 1)$ .

Corolario 25.4.
Sean $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C_{\infty}$ tres puntos distintos y $w_{1}, w_{2}, w_{3} \in C_{\infty}$ tres puntos distintos. Entonces, existe una única transformación de Möbius tal que:
$H (z_{1}) = w_{1}, H (z_{2}) = w_{2} y H (z_{3}) = w_{3} .$

Demostración. Dadas las hipótesis, sean $T (z) = (z; z_{1}, z_{2}, z_{3})$ y $S (w) = (w; w_{1}, w_{2}, w_{3})$ . Definimos $H = S^{- 1} \circ T$ , entonces es claro que:
$\begin{aligned} H (z_{1}) & = (S^{- 1} \circ T) (z_{1}) = S^{- 1} (T (z_{1})) = S^{- 1} (0) = w_{1}, \\ H (z_{2}) & = (S^{- 1} \circ T) (z_{2}) = S^{- 1} (T (z_{2})) = S^{- 1} (1) = w_{2}, \\ H (z_{3}) & = (S^{- 1} \circ T) (z_{3}) = S^{- 1} (T (z_{3})) = S^{- 1} (\infty) = w_{3} . \end{aligned}$ La unicidad se sigue del corolario 25.3.

Proposición 25.9.
Toda transformación de Möbius preserva la razón cruzada.

Demostración. Sea $T$ una transformación de Möbius y sean $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C_{\infty}$ tres puntos distintos. Veamos que:
$(z; z_{1}, z_{2}, z_{3}) = (T (z); T (z_{1}), T (z_{2}), T (z_{3})) .$

Sea $S (z) = (z; z_{1}, z_{2}, z_{3})$ . Definimos $H = S \circ T^{- 1}$ , la cual claramente es una transformación de Möbius. Tenemos que:
$\begin{aligned} H (T (z_{1})) & = S (z_{1}) = 0, \\ H (T (z_{2})) & = S (z_{2}) = 1, \\ H (T (z_{3})) & = S (z_{3}) = \infty, \end{aligned}$ por lo que, por la unicidad de la razón cruzada:
$H (z) = (z; T (z_{1}), T (z_{2}), T (z_{3})), \forall z \in C_{\infty} .$ Entonces:
$S (z) = H (T (z)) = (T (z); T (z_{1}), T (z_{2}), T (z_{3})), \forall z \in C_{\infty} .$

Observación 25.12.
Podemos reescribir el resultado anterior como:
$\frac{(z - z_{1}) (z_{2} - z_{3})}{(z - z_{3}) (z_{2} - z_{1})} = \frac{(w - w_{1}) (w_{2} - w_{3})}{(w - w_{3}) (w_{2} - w_{1})},$ donde $w = T (z)$ y $T$ es una transformación de Möbius. En caso de que algún $z_{k}$ ó algún $w_{k}$ , con $k = 1, 2, 3$ , sea igual a $\infty$ , entonces consideramos la definición de la observación 25.11.

Obtener una transformación de Möbius resulta sencillo mediante la razón cruzada.

Ejemplo 25.9.
Consideremos los incisos a) y c) del ejemplo 25.6.

Para el inciso a) queremos una transformación de Möbius tal que:
$- 1 \mapsto - i, 0 \mapsto 1 y 1 \mapsto i .$ Considerando la observación 25.12 tenemos que:
$\frac{(z - (- 1)) (0 - 1)}{(z - 1) (0 - (- 1))} = \frac{(w - (- i)) (1 - i)}{(w - i) (1 - (- i))},$ es decir:
$\frac{- (z + 1)}{z - 1} = \frac{(w + i) (1 - i)}{(w - i) (1 + i)},$ de donde:
$- 2 (z + i) = 2 w (z + i) ⟹ w = T (z) = \frac{i - z}{i + z} .$

Por otra parte, para el inciso c) queremos una transformación de Möbius tal que:
$1 \mapsto i, 0 \mapsto \infty y - 1 \mapsto 1.$ Considerando la observación 25.12 tenemos que:
$\frac{(z - 1) (0 - (- 1))}{(z - (- 1)) (0 - 1)} = \frac{w - i}{w - 1},$ es decir:
$\frac{z - 1}{- (z + 1)} = \frac{w - i}{w - 1},$ de donde:
$z (1 + i) + i - 1 = 2 z w ⟹ w = T (z) = \frac{(1 + i) z + (i - 1)}{2 z} .$

Ejemplo 25.10.
Determina la transformación de Möbius tal que:
$0 \mapsto i, 1 \mapsto 2 y - 1 \mapsto 4.$

Solución. Tenemos que:
$(z; 0, 1, - 1) = \frac{(z - 0) (1 - (- 1)}{(z - (- 1)) (1 - 0)} = \frac{2 z}{z + 1},$ mientras que:
$(w; i, 2, 4) = \frac{(w - i) (2 - 4)}{(w - 4) (2 - i)} = \frac{- 2 (w - i)}{(w - 4) (2 - i)},$ por lo que:
$\frac{2 z}{z + 1} = \frac{- 2 (w - i)}{(w - 4) (2 - i)},$ de donde, al resolver para $w$ tenemos:
$w [(6 - 2 i) z + 2] = [(16 - 6 i) z + 2 i] ⟹ w = T (z) = \frac{(16 - 6 i) z + 2 i}{(6 - 2 i) z + 2} .$

Corolario 25.5.
Sea $C \subset C_{\infty}$ una circunferencia (o una recta), sean $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C$ tres puntos distintos y $z \in C_{\infty}$ . Entonces $(z; z_{1}, z_{2}, z_{3}) \in R$ si y solo si $z \in C$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, consideremos a $T (z) = (z; z_{1}, z_{2}, z_{3})$ . Dado que $T$ es una transformación de Möbius, del corolario 25.1 se sigue que $T$ mapea a $C$ en una circunferencia (o en una recta) en $C_{\infty}$ que pasa por $0, 1$ e $\infty$ , entonces $T (C) = R \cup {\infty}$ .

Por lo que:
$\begin{aligned} T (z) = (z; z_{1}, z_{2}, z_{3}) \in R & ⟺ T (z) \in R \cup {\infty} = T (C) \\ ⟺ z \in C . \end{aligned}$

Tarea moral

Completa la demostración de la proposición 25.1.
Realiza la demostración de la proposición 25.3.
Prueba la observación 25.7.
Demuestra los corolarios 25.1 y 25.3.
a) Muestra que la ecuación (25.6) se puede escribir de la forma: $2 A z \overset{―}{z} + (D - E i) z + (D + E i) \overset{―}{z} + 2 F = 0,$ donde $z = x + i y$ . b) Muestra que bajo la transformación inversión, $f (z) = 1 / z$ , la ecuación del inciso anterior se convierte en: $2 F w \overset{―}{w} + (D + E i) w + (D - E i) \overset{―}{w} + 2 A = 0.$ Después prueba que si $w = u + i v$ , entonces la ecuación anterior es la misma que la ecuación (25.9).
Hint: Utiliza coordenadas complejas conjugadas.
Determina de forma explícita la transformación de Möbius determinada por las siguientes correspondencias de puntos. Verifica tu resultado utilizando la razón cruzada.
a) $1 + i \mapsto 0$ , $2 \mapsto \infty$ , $0 \mapsto i - 1$ .
b) $0 \mapsto 1$ , $1 \mapsto 1 + i$ , $\infty \mapsto 2$ .
c) $\infty \mapsto 0$ , $1 + i \mapsto 1$ , $2 \mapsto \infty$ .
d) $- 2 \mapsto 1 - 2 i$ , $i \mapsto 0$ , $2 \mapsto 1 + 2 i$ .
e) $1 \mapsto 1$ , $i \mapsto 0$ , $- 1 \mapsto - 1$ .
Obtén los puntos fijos de las siguientes transformaciones.
a) $T (z) = \frac{i z + 2}{z + 1}$ .
b) $T (z) = i (\frac{z - i}{z + i})$ .
c) $T (z) = \frac{z}{z + 1}$ .
d) $T (z) = \frac{1 + i}{z + 1}$ .
a) Determina la transformación de Möbius tal que: $1 \mapsto 0, i \mapsto - 1 y 0 \mapsto - i .$
b) Considera la transformación $T$ del inciso anterior. ¿Cuál es la imagen de la circunferencia, en el plano $z$ , que pasa por los puntos $z_{1} = 1, z_{2} = i$ y $z_{3} = 0$ , bajo $T$ ? ¿Cuál es la imagen del interior de dicha circunferencia bajo $T$ ?
Prueba que si el origen es un punto fijo de una transformación de Möbius $T$ , entonces dicha transformación es de la forma: $w = T (z) = \frac{z}{c z + d}, d \neq 0.$
Muestra que la transformación: $w = T (z) = \frac{i z + 2}{4 z + i},$ envía el eje real, en el plano $z$ , en una circunferencia en el plano $w$ . Determina el centro y el radio de dicha circunferencia. ¿Cuál es el punto en el plano $z$ que es enviado en el centro de la circunferencia?
Determina la transformación de Möbius tal que envía el punto $i$ en el punto $- i$ y que fija el punto $1 + 2 i$ .

Más adelante…

En esta entrada hemos definido el concepto de transformación de Möbius o bilineal y establecimos algunos resultados elementales, en el estudio de estas transformaciones del plano complejo (extendido), las cuales resultan de suma importancia para entender de manera clara la geometría de algunas de las funciones complejas más elementales, como veremos en la siguiente entrada.

En general, las transformaciones de Möbius tienen muchas aplicaciones en el análisis complejo. Dejando de lado la aparente simplicidad en su definición, éstas transformaciones son el corazón de algunas áreas matemáticas modernas de investigación, por su conexión con las geometrías no Euclidianas como la geometría hiperbólica. De hecho, éstas transformaciones están estrechamente ligadas con la teoría de la relatividad de Einstein.

La siguiente entrada es la última de ésta segunda unidad y en ella abordaremos una alternativa básica para poder estudiar el comportamiento geométrico de las funciones complejas más elementales.

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Variable Compleja I: Transformaciones del plano complejo $C$

Por Pedro Rivera Herrera

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Introducción

En las entradas anteriores hemos abordado de manera formal el concepto de función en el sentido complejo así como algunas de sus propiedades más importantes como la continuidad y la diferenciablidad.

Para esta entrada, así como para las últimas dos entradas de esta unidad, nuestro objetivo será darle una interpretación geométrica a las funciones complejas de variable compleja. Para ello recurriremos al concepto de transformación, desde una perspectiva Geométrica, es decir, como una transformación del plano en sí mismo y desde la perspectiva del Álgebra Lineal considerando lo que sabemos de $R^{2}$ como un $R$ -espacio vectorial.

Observación 24.1.
Recordemos que una transformación del plano $R^{2}$ es una función $T : R^{2} \to R^{2}$ , es decir, una función del plano en sí mismo. En algunos textos suele pedirse que $T$ sea una función biyectiva, sin embargo, como veremos en esta entrada, la mayoría de las transformaciones con las que trabajaremos cumplirán esta propiedad.

Definición 24.1. (Transformación compleja.)
Una transformación compleja o simplemente una transformación del plano complejo es una función $T : C \to C$ , es decir, una función del plano complejo $C$ en sí mismo.

Considerando que hemos construido a $C$ mediante $R^{2}$ y el hecho de que $R^{2}$ es un $R$ -espacio vectorial, podemos definir el concepto de linealidad para transformaciones complejas.

Definición 24.2. (Transformación compleja $R$ -lineal.)
Sea $T : C \to C$ una transformación. Entonces, $T$ es $R$ -lineal si:

$T (z_{1} + z_{2}) = T (z_{1}) + T (z_{2})$ , para todo $z_{1}, z_{2} \in C$ ,
$T (λ z) = λ T (z)$ , para todo $λ \in R$ y para todo $z \in C$ .

Definición 24.3. (Transformación compleja $C$ -lineal.)
Sea $T : C \to C$ una transformación. Entonces, $T$ es $C$ -lineal si:

$T (z_{1} + z_{2}) = T (z_{1}) + T (z_{2})$ , para todo $z_{1}, z_{2} \in C$ ,
$T (λ z) = λ T (z)$ , para todo $λ \in C$ y para todo $z \in C$ .

Proposición 24.1.
Toda transformación $T : C \to C$ que es $R$ -lineal es de la forma:
$T (z) = λ z + μ \overset{―}{z},$
donde $λ = \frac{a - i b}{2}$ , $μ = \frac{a + i b}{2}$ , con $a = T (1)$ y $b = T (i)$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, sea $z = x + i y \in C$ . Como $T$ es $R$ -lineal, entonces:
$T (z) = T (x + i y) = x T (1) + y T (i) .$

Definimos $a := T (1)$ y $b := T (i)$ , dado que:
$x = \frac{z + \overset{―}{z}}{2} y y = - i (\frac{z - \overset{―}{z}}{2}),$

entonces:
$T (z) = a (\frac{z + \overset{―}{z}}{2}) - i b (\frac{z - \overset{―}{z}}{2}) = λ z + μ \overset{―}{z},$ donde $λ = \frac{a - i b}{2}$ y $μ = \frac{a + i b}{2}$ .

Proposición 24.2.
Toda transformación $T : C \to C$ que es $C$ -lineal es de la forma:
$T (z) = λ z,$ donde $λ = T (1) \in C$ es una constante.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

Proposición 24.3.
Sea $T$ una transformación $R$ -lineal, cuya matriz asociada es $A \in M_{2 \times 2} (R)$ (considerando la base estándar de $R^{2}$ ). Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

$T$ es $C$ -lineal, definición 24.3.
$T (i z) = i T (z)$ para todo $z \in C$ .
$A = (\begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix})$ para algunos $a, b \in R$ .
$T$ es una multiplicación compleja, es decir, existe algún $λ \in C$ tal que $T (z) = λ z$ para todo $z \in C$ .

Demostración.

1. $\Rightarrow)$ 2.

Es inmediata de la definición.

2. $\Rightarrow)$ 3.

Sea $A = (\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix})$ , con $a, b, c, d \in R$ la matriz asociada a $T$ . Entonces tenemos:
$\begin{aligned} T (i) & = (\begin{array}{c} a & c \\ b & d \end{array}) (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} c \\ d \end{array}) \\ = c + i d . \end{aligned}$

Por otra parte:
$\begin{aligned} i T (1) & = i (\begin{array}{c} a & c \\ b & d \end{array}) (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) \\ = i (\begin{array}{c} a \\ b \end{array}) \\ = i (a + i b) \\ = - b + i a . \end{aligned}$

Por hipótesis tenemos que $T (i) = i T (1)$ , por lo que $c = - b$ y $d = a$ , de donde se sigue el resultado.

3. $\Rightarrow)$ 4.

Sea $z = x + i y \in C$ , entonces:
$\begin{aligned} T (z) & = A z \\ = (\begin{array}{c} a & - b \\ b & a \end{array}) (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) \\ = (a x - b y) + i (b x + a y) \\ = (a + i b) (x + i y), \end{aligned}$

por lo que tomando $λ = a + i b \in C$ se tiene que $T (z) = λ z$ , para toda $z \in C$ .

4. $\Rightarrow)$ 1.

Se deja como ejercicio al lector.

Observación 24.2.
El resultado anterior nos dice cuáles transformaciones $R$ -lineales, pueden ser vistas también como transformaciones $C$ -lineales.

Más aún, dado que $R \subset C$ , debe ser claro que una transformación que es $C$ -lineal en particular es $R$ -lineal, sin embargo el recíproco no se cumple.

Ejemplo 24.1.
a) Sea $T : C \to C$ dada por $T (z) = \overset{―}{z}$ . Es fácil verificar que $T$ es una transformación $R$ -lineal, por lo que se deja como ejercicio al lector. Por otra parte, notemos que para todo $z = x + i y \in C$ :
$T (z) = \overset{―}{z} = x - i y,$ por lo que:
$T (i) = \overset{―}{i} = - i,$ mientras que:
$i T (1) = i \overset{―}{1} = i (1) = i,$ entonces considerando la proposición 16.2 es claro que $T$ no es $C$ -lineal.

b) Sea $T : C ∖ {0} \to C ∖ {0}$ dada por $T (z) = \frac{1}{z}$ . Es fácil verificar que $T$ no es una transformación $R$ -lineal ni tampoco $C$ -lineal, por lo que se deja como ejercicio al lector. A esta transformación se le llama inversión.

De acuerdo con los resultados de la entrada 18 y considerando la proposición 24.3, debe ser claro que existe una estrecha relación entre a diferenciabilidad en el sentido complejo y las transformaciones $C$ -lineales, pues como sabemos, la diferenciabilidad en el sentido real de una función $f : R^{2} \to R^{2}$ no basta para garantizar la diferenciabilidad compleja.

Proposición 24.4.
Sean $U \subset C$ un conjunto abierto y $f : U \to C$ una función. Se dice que $f$ es complejo diferenciable en $z \in U$ si existe:
$\begin{matrix} (24.1) & lim_{h \to 0} \frac{f (z + h) - f (z)}{h} . \end{matrix}$

Mientras que, se dice que $f$ es real diferenciable en $z \in U$ si existe una transformación $φ : C \to C$ , la cual es $R$ -lineal, tal que:
$\begin{matrix} (24.2) & lim_{h \to 0} \frac{f (z + h) - f (z) - φ (h)}{h} = 0. \end{matrix}$

Entonces se cumple que:

si $f$ es complejo diferenciable en $z \in U$ , entonces $f$ es real diferenciable en $z \in U$ ;
si $f$ es real diferenciable en $z \in U$ y la transformación $R$ -lineal $φ : C \to C$ también es $C$ -lineal, entonces $f$ es complejo diferenciable en $z \in U$ ;
si $f$ es real diferenciable en $z \in U$ y existe el límite:
$\begin{matrix} (24.3) & lim_{h \to 0} | \frac{f (z + h) - f (z)}{h} |, \end{matrix}$ entonces $f$ ó $\overset{―}{f}$ es complejo diferenciable en $z \in U$ .

Demostración. Dadas las hipótesis.

Se deja como ejercicio al lector.
Se deja como ejercicio al lector.
Como $f$ es real diferenciable en $z \in U$ , entonces existe una transformación $R$ -lineal $φ : C \to C$ tal que (24.2) se cumple. De acuerdo con la desiguladad del triángulo, proposición 3.3, tenemos que:
$0 \leq | | \frac{f (z + h) - f (z)}{h} | - | \frac{φ (h)}{h} | | \leq | \frac{f (z + h) - f (z) - φ (h)}{h} | .$ Por hipótesis el límite (24.2) existe, entonces al tomar limites en las desigualdades anteriores se sigue que:
$lim_{h \to 0} | | \frac{f (z + h) - f (z)}{h} | - | \frac{φ (h)}{h} | | = 0,$ de donde:
$lim_{h \to 0} | \frac{f (z + h) - f (z)}{h} | = lim_{h \to 0} | \frac{φ (h)}{h} |,$ dado que (24.3) existe, entonces el límite del lado derecho de la igualdad existe.

Como $φ$ es $R$ -lineal, entonces, proposición 24.1, es de la forma $φ (h) = λ h + μ \overset{―}{h}$ donde: $\begin{matrix} (24.4) & λ = \frac{φ (1) - i φ (i)}{2} y μ = \frac{φ (1) + i φ (i)}{2} . \end{matrix}$ Notemos que: ${| \frac{φ (h)}{h} |}^{2} = {| \frac{λ h + μ \overset{―}{h}}{h} |}^{2} = | λ |^{2} + | μ |^{2} + 2 Re (λ \overset{―}{μ} \frac{h}{\overset{―}{h}}),$ por lo que, al tomar límites en ambos lados de la igualdad, al existir el límite del lado izquierdo, también debe existir el límite: $lim_{h \to 0} Re (λ \overset{―}{μ} \frac{h}{\overset{―}{h}}) .$ Sea $h = a + i b$ . Procedemos a calcular el límite cuando $h \to 0$ a lo largo de las rectas $a = 0$ y $b = 0$ , respectivamente. Por la unicidad del límite tenemos que: $lim_{b \to 0} Re (λ \overset{―}{μ} [\frac{i b}{- i b}]) = lim_{a \to 0} Re (λ \overset{―}{μ} [\frac{a}{a}]),$ es decir: $- Re (λ \overset{―}{μ}) = Re (- λ \overset{―}{μ}) = Re (λ \overset{―}{μ}),$ de donde: $Re (λ \overset{―}{μ}) = 0.$ Procediendo de manera análoga, si ahora consideramos el límite cuando $h \to 0$ a lo largo de las rectas $a = b$ y $a = - b$ , respectivamente, por la unicidad del límite tenemos que: $Re (i λ \overset{―}{μ}) = - Re (i λ \overset{―}{μ}) ⟺ - Im (λ \overset{―}{μ}) = Im (λ \overset{―}{μ}),$ de donde: $Im (λ \overset{―}{μ}) = 0.$ Por lo tanto $λ \overset{―}{μ} = 0$ , es decir, $λ = 0$ ó $\overset{―}{μ} = 0$ .

De $(24.4)$ se sigue que: $φ (1) = i φ (i) ó \overset{―}{φ} (1) = i \overset{―}{φ} (i) .$ Del primer caso se sigue de la proposición 24.3 que $φ$ es $C$ -lineal y por el inciso anterior de esta proposición, tenemos que $f$ es complejo diferenciable en $z \in U$ .

Por último, notemos que si $f$ es real diferenciable con respecto a $φ$ , entonces $\overset{―}{f}$ es real diferenciable con respecto a $\overset{―}{φ}$ desde que: $\begin{aligned} lim_{h \to 0} \frac{f (z + h) - f (z) - φ (h)}{h} & = 0 \\ ⟺ lim_{h \to 0} | \frac{f (z + h) - f (z) - φ (h)}{h} | & = 0 \\ ⟺ lim_{h \to 0} \frac{| \overset{―}{f (z + h) - f (z) - φ (h)} |}{| h |} & = 0 \\ ⟺ lim_{h \to 0} \frac{\overset{―}{f} (z + h) - \overset{―}{f} (z) - \overset{―}{φ} (h)}{h} & = 0. \end{aligned}$ Por lo que, para el segundo caso se sigue de la proposición 24.3, que $\overset{―}{φ}$ es $C$ -lineal y por tanto $\overset{―}{f}$ es complejo diferenciable en $z \in U$ .

Entonces $f$ ó $\overset{―}{f}$ es complejo diferenciable en $z \in U$ .

Procedemos ahora a definir algunas de las transformaciones del plano complejo más importantes, con las que ya estamos familiarizados por nuestros cursos de Geometría.

Definición 24.4. (Transformación identidad en $C$ .)
La transformación $I_{C} : C \to C$ dada por $I_{C} (z) = z$ , es llamada la transformación identidad del plano complejo $C$ .

Definición 24.5. (Homotecia.)
Sea $k \in R ∖ {0}$ . Se define a una homotecia del plano complejo $C$ , con centro en el origen y razón (o factor) $k$ como la transformación $h_{k} : C \to C$ dada por $h_{k} (z) = k z$ .

Si el punto $O$ es el origen, $M$ es un punto cualquiera en el plano complejo, dado por $z \in C$ , entonces la posición del punto $M^{'} = h_{k} (z) \in C$ depende del signo de $k$ , es decir, si $k > 0$ figura 86, ó $k < 0$ figura 87. Al punto $M^{'}$ se le llama el punto homotético de $M$ con centro en $O$ y razón $k$ .

En cualquiera de ambos caso se cumple que:
$| \overset{―}{O M^{'}} | = | k | | \overset{―}{O M} |,$ es decir, el módulo del punto homotético $M^{'}$ es igual al valor absoluto de $k$ por el módulo del punto $M$ .

No es difícil verificar que la composición de dos homotecias también es una homotecia.

Figura 86: Homotecia del plano complejo $C$ cuando $k > 0$ .

Figura 87: Homotecia del plano complejo $C$ cuando $k < 0$ .

Definición 24.6. (Traslación.)
Sea $z_{0} \in C$ fijo y sea $t_{z_{0}} : C \to C$ la transformación dada por:
$t_{z_{0}} (z) = z + z_{0} .$

La transformación $t_{z_{0}}$ es llamada la traslación del plano complejo $C$ por un número $z_{0}$ .

Teniendo en cuenta la interpretación geométrica de la suma de dos números complejos, entrada 3, podemos dar fácilmente una interpretación geométrica de la traslación analizando la imagen de cualquier $z \in C$ , bajo $t_{z_{0}}$ , figura 88.

En la figura 88, $O M_{0} M^{'} M$ es un paralelogramo y el segmento $\overset{―}{O M^{'}}$ es una de sus diagonales. Por lo que, la transfromación $t_{z_{0}}$ corresponde en el plano complejo $C$ con la traslación $t_{\vec{O M_{0}}}$ dada por el vector $\vec{O M_{0}}$ en el caso del plano Euclidiano.

Debe ser claro que la composición de dos traslaciones $t_{z_{1}}$ y $t_{z_{2}}$ cumple que:
$t_{z_{1}} \circ t_{z_{2}} = t_{z_{1} + z_{2}} .$

Figura 88: Traslación del plano complejo $C$ por un número $z_{0}$ .

Observación 24.3.
Notemos que el conjunto $τ$ de todas las traslaciones del plano complejo forma un grupo con respecto de la composición de funciones. El grupo $(τ, \circ)$ es abeliano y su unidad es la transformación identidad $I_{C} = t_{0}$ , es decir, la traslación por el número complejo $0$ .

Definición 24.7. (Reflexión respecto al eje real y respecto a un punto.)
Sea $s : C \to C$ dada por $s (z) = \overset{―}{z}$ . A la transformación $s$ se le llama la reflexión con respecto al eje real.

Si $M$ es un punto en el plano dado por el número complejo $z \in C$ , entonces el punto $M^{'} = s (z) \in C$ es obtenido al reflejar a $M$ respecto al eje real, figura 89. Además, es claro que:
$s \circ s = I_{C} .$

Figura 89: Reflexión en el plano complejo $C$ con respecto al eje real.

Por otra parte, a la transformación $s_{0} : C \to C$ dada por $s_{0} (z) = - z$ , se le llama la reflexión con respecto al origen, desde que $s_{0} (z) + z = 0$ , entonces para un punto $M = z \in C$ , el origen $O$ es el punto medio del segmento $\overset{―}{M M^{'}}$ , con $M^{'} = s_{0} (z)$ , es decir, el punto $M^{'}$ es la reflexión del punto $M$ en el origen, figura 90.

Debe ser claro que:
$s_{0} \circ s_{0} = I_{C} .$

Figura 90: Reflexión en el plano complejo $C$ con respecto al origen.

Por último, para $z_{0} \in C$ fijo, se define a la reflexión con respecto a $z_{0} z_{0}$ como la transformación $s_{z_{0}} : C \to C$ dada por $s_{z_{0}} (z) = 2 z_{0} - z$ .

Si $M, M_{0}$ y $M^{'}$ son los puntos en el plano dados por $z, z_{0}, s_{z_{0}} (z) \in C$ , respectivamente, entonces $M_{0}$ es el punto medio del segmento $\overset{―}{M M^{'}}$ y así $M^{'}$ es la reflexión de $M$ en $M_{0}$ , figura 91.

Es sencillo verificar que:
$s_{z_{0}} \circ s_{z_{0}} = I_{C} .$

Figura 91: Reflexión en el plano complejo $C$ con respecto a un punto fijo $z_{0} \in C$ .

Observación 24.4.
A pesar de que la transformación $T (z) = \overset{―}{z}$ no es $C$ -lineal, es importante recordar su interpretación geométrica, ya que dicha transformación nos representa una reflexión en el plano complejo a través del eje real.

Definición 24.8. (Rotación.)
Sea $a =\in C$ tal que $| a | = 1$ , es decir, $a = e^{i θ_{0}}$ . Se define a la rotación de $z = ρ e^{i θ} \in C$ alrededor del origen, en un ángulo $θ_{0} \in R$ , como la transformación $r_{a} : C \to C$ dada por:
$r_{a} (z) = a z = ρ e^{i (θ + θ_{0})} .$

Así, si $M$ es un punto en el plano complejo dado por $z = ρ e^{i θ} \in C$ , entonces $M^{'} = r_{a} (z)$ se obtiene al rotar $M$ alrededor del origen un ángulo $θ_{0}$ , figura 92.

Figura 92: Rotación del plano complejo $C$ alrededor del origen en un ángulo $θ_{0} \in R$ .

Observación 24.5.
De manera general es posible definir una reflexión en el plano complejo respecto a una recta $L$ arbitraria, la cual está dada por la composición de una rotación y/o una traslación del eje real, una reflexión respecto al eje real y las inversas de la rotación y la traslación, por lo que será de la forma:
$s_{L} (z) = e^{i θ} \overset{―}{z} + b,$ para algún ángulo $θ \in R$ y una constante $b \in C$ .

Analicemos lo anterior mediante el siguiente:

Ejemplo 24.2.
Determinemos la reflexión en el plano complejo dada sobre la recta $L : y = x + 3$ .

Solución. Primeramente, notemos que la recta dada se obtiene al rotar el eje real alrededor del origen un ángulo de $π / 4$ y luego trasladarlo verticalmente por $3 i$ .

Así, para reflejar a $z \in C$ respecto a $L$ , primero trasladamos verticalmente dicho punto por $- 3 i$ , luego lo rotamos alrededor del origen un ángulo de $- π / 4$ , después lo reflejamos respecto al eje real y por último, lo rotamos alrededor del origen un ángulo de $π / 4$ y lo trasladamos por $3 i$ .

Es decir, sean:
$\begin{aligned} t_{- 3 i} (z) & = z - 3 i, \\ r_{e^{- i \frac{π}{4}}} (z) & = e^{- i \frac{π}{4}} z, \\ s (z) & = \overset{―}{z}, \\ t_{3 i} (z) & = z + 3 i, \\ r_{e^{i \frac{π}{4}}} (z) & = e^{i \frac{π}{4}} z, \end{aligned}$

por lo que:
$\begin{aligned} (s \circ r_{e^{- i \frac{π}{4}}} \circ t_{- 3 i}) (z) & = s (r_{e^{- i \frac{π}{4}}} (t_{- 3 i} (z))) \\ = s (r_{e^{- i \frac{π}{4}}} (z - 3 i)) \\ = s (e^{- i \frac{π}{4}} (z - 3 i)) \\ = \overset{―}{e^{- i \frac{π}{4}} (z - 3 i)} \\ = e^{i \frac{π}{4}} (\overset{―}{z} + 3 i) . \end{aligned}$

Luego, como $e^{i \frac{π}{2}} = i$ , tenemos que:
$\begin{aligned} (t_{3 i} \circ r_{e^{i \frac{π}{4}}}) (e^{i \frac{π}{4}} (\overset{―}{z} + 3 i)) & = t_{3 i} (r_{e^{i \frac{π}{4}}} (e^{i \frac{π}{4}} (\overset{―}{z} + 3 i))) \\ = t_{3 i} (e^{i \frac{π}{4}} e^{i \frac{π}{4}} (\overset{―}{z} + 3 i)) \\ = e^{i \frac{π}{2}} (\overset{―}{z} + 3 i) + 3 i \\ = i (\overset{―}{z} + 3 i) + 3 i \\ = i \overset{―}{z} - 3 (1 - i) . \end{aligned}$

Entonces, la reflexión sobre la recta $L : y = x + 3$ , figura 93, está dada por:
$s_{L} (z) = i \overset{―}{z} - 3 (1 - i) .$

Por ejemplo, si consideramos al punto $z = - 1 + 4 i$ , entonces:
$\begin{aligned} s_{L} (z) & = i (\overset{―}{- 1 + 4 i}) - 3 (1 - i) \\ = i (- 1 - 4 i) - 3 + 3 i \\ = - i + 4 - 3 + 3 i \\ = 1 + 2 i . \end{aligned}$

Figura 93: Reflexión en $C$ respecto a la recta $y = x + 3$ .

Observación 24.6.
Como se verá en el ejercicio 7 de esta entrada, las reflexiones son transformaciones más sencillas que las rotaciones y las traslaciones, desde que estas últimas transformaciones son simplemente composiciones dos reflexiones particulares.

Recordemos ahora otro concepto importante visto en nuestros cursos de Geometría.

Definición 24.9. (Isometría.)
Sea $S \subset C$ . Una transformación $T : C \to C$ se llama una isometría si no modifica las distancias, es decir, si:
$| T (z_{1}) - T (z_{2}) | = | z_{1} - z_{2} |, \forall z_{1}, z_{2} \in C .$

Mientras que una función $f : S \to C$ se llama una isometría si:
$| f (z_{1}) - f (z_{2}) | = | z_{1} - z_{2} |,$ para todo par de números complejos $z_{1}$ y $z_{2}$ en el dominio $S$ de $f$ .

Observación 24.7.
No es difícil verificar que la composición de dos isometrías es también una isometría. Más aún, el conjunto de todas las isometrías del plano complejo, denotado como $Iso (C)$ es un grupo con respecto a la composición de funciones y el grupo de las traslaciones, $(τ, \circ)$ , es un subgrupo de dicho grupo.

Proposición 24.5.
Las traslaciones, reflexiones y las rotaciones alrededor de un punto $z_{0}$ son isometrías del plano.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

De acuerdo con el ejercicio 9 de esta entrada tenemos el siguiente:

Ejemplo 24.3.
a) Las transformaciones $s_{L_{1}} (z) = \overset{―}{z} + 3 i$ , $s_{L_{2}} (z) = \overset{―}{z} + 5 i$ y $s_{L_{3}} (z) = - \overset{―}{z} + 1$ corresponden con tres reflexiones, las primeras dos respecto a las rectas horizontales $L_{1} : - i z + i \overset{―}{z} - 3 = 0$ y $L_{2} : - i z + i \overset{―}{z} - 5 = 0$ , respectivamente, y la última respecto a la recta vertical $L_{3} : z + \overset{―}{z} - 1 = 0$ .

La composición:
$\begin{aligned} (s_{L_{1}} \circ s_{L_{2}}) (z) & = s_{L_{1}} (s_{L_{2}} (z)) \\ = s_{L_{1}} (\overset{―}{z} + 5 i) \\ = \overset{―}{\overset{―}{z} + 5 i} + 3 i \\ = z - 2 i, \end{aligned}$ corresponde con la traslación $t_{- 2 i} (z)$ en el plano complejo.

Por otra parte, la composición:
$\begin{aligned} (s_{L_{1}} \circ s_{L_{3}}) (z) & = s_{L_{1}} (s_{L_{3}} (z)) \\ = s_{L_{1}} (- \overset{―}{z} + 1) \\ = \overset{―}{- \overset{―}{z} + 1} + 3 i \\ = - z + (1 + 3 i), \end{aligned}$ corresponde con la rotación $r_{a} (z)$ alrededor del punto $z_{0} = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}$ y un ángulo $π$ , es decir, $a = e^{i π}$ , en el plano complejo.

b) La transformación $h (z) = \overset{―}{z} + 1$ está dada por la composición de la reflexión respecto al eje real $s (z) = \overset{―}{z}$ y la traslación $t_{1} (z) = z + 1$ .

c) La transformación $h (z) = \overset{―}{z} + 2 i = (\overset{―}{z} + i) + i$ está dada por la composición de la reflexión $s_{L} (z) = \overset{―}{z} + i$ , respecto a la recta horizontal $L : - i z + i \overset{―}{z} - 1 = 0$ , y la traslación $t_{i} (z) = z + i$ .

Definición 24.10.(Punto fijo.)
Sea $T : C \to C$ una transformación. Diremos que un punto $z_{0} \in C$ es un punto fijo de $T$ si y solo si $T (z_{0}) = z_{0}$ .

Ejemplo 24.4.
a) La transformación identidad fija a todos los puntos de $C$ .

b) Si $z_{0} \in C$ es tal que $z_{0} \neq 0$ , entonces la transformación $t_{z_{0}} (z) = z + z_{0}$ no tiene puntos fijos.

c) Si $a \in C$ es tal que $| a | = 1$ y $a \neq 1$ , entonces la rotación $r_{a} (z) = a z$ alrededor del origen solo fija al origen.

Lema 24.1.
Una isometría del plano que fija a los puntos $0, 1$ e $i$ debe ser la identidad.

Demostración. Dadas las hipótesis, sea $h : C \to C$ una isometría tal que: $h (0) = 0, h (1) = 1 y h (i) = i .$

Dado que $h$ es una isometría, entonces para cualesquiera $z, w \in C$ se cumple que:
$| h (z) - h (w) | = | z - w |,$ en particular, para $w \in {0, 1, i}$ tenemos que:
$| h (z) | = | z |, | h (z) - 1 | = | z - 1 | y | h (z) - i | = | z - i | .$

Elevando al cuadrado las tres igualdades anteriores tenemos que:
$\begin{aligned} (24.4) & h (z) \overset{―}{h (z)} & = z \overset{―}{z}, \\ (24.5) & (h (z) - 1) \overset{―}{(h (z) - 1)} & = (z - 1) \overset{―}{(z - 1)}, \\ (24.6) & (h (z) - i) \overset{―}{(h (z) - i)} & = (z - i) \overset{―}{(z - i)} . \end{aligned}$

Desarrollando (24.5) tenemos:
$h (z) \overset{―}{h (z)} - h (z) - \overset{―}{h (z)} + 1 = z \overset{―}{z} - z \overset{―}{z} + 1.$

Considerando (24.4) se tiene que:
$\begin{matrix} (24.7) & h (z) + \overset{―}{h (z)} = z + \overset{―}{z}, \end{matrix}$

Análogamente, de (24.6) obtenemos que:
$\begin{matrix} (24.8) & h (z) - \overset{―}{h (z)} = z - \overset{―}{z}, \end{matrix}$

Entonces, de (24.7) y (24.8) se sigue que:
$h (z) = z .$

Proposición 24.6.
Toda isometría del plano complejo es de la forma:
$h_{1} (z) = α z + β ó h_{2} (z) = α \overset{―}{z} + β,$ con $α, β \in C$ , únicos y $| α | = 1$ .

La primera función es una isometría que preserva la orientación y la segunda una isometría que la invierte.

Demostración. Sea $h : C \to C$ una isometría arbitraria. Primeramente notemos que una función de la forma:
$h_{1} (z) = α z + β ó h_{2} (z) = α \overset{―}{z} + β,$ con $α, β \in C$ , constantes y $| α | = 1$ es una isometría desde que:
$\begin{array}{r} | h_{1} (z) - h_{1} (w) | = | α (z - w) | = | z - w |, \\ | h_{2} (z) - h_{2} (w) | = | α \overset{―}{(z - w)} | = | z - w |, \end{array}$ para cualesquiera $z, w \in C$ .

Definimos:
$β := h (0) y α := h (1) - h (0),$ de donde se sigue la unicidad de dichas constantes. Además:
$| α | = | h (1) - h (0) | = | 1 - 0 | = 1.$

Consideremos a la función:
$H (z) := \frac{h (z) - β}{α} = \frac{h (z) - h (0)}{h (1) - h (0)},$ la cual está bien definida desde que $α \neq 0$ , pues cualquier isometría del plano en particular es una función inyectiva.

Veamos que $H$ también es una isometría, en particular que dicha función es igual a $z$ ó $\overset{―}{z}$ .

Sean $z, w \in C$ , entonces:
$\begin{aligned} | H (z) - H (w) | & = | \frac{h (z) - β}{α} - \frac{h (z) - β}{α} | \\ = \frac{| h (z) - h (w) |}{| α |} \\ = | z - w | . \end{aligned}$

Por otra parte, tenemos que:
$\begin{array}{r} H (0) = \frac{h (0) - h (0)}{h (1) - h (0)} = 0, \\ H (1) = \frac{h (1) - h (0)}{h (1) - h (0)} = 1. \end{array}$

Dado que $H$ es una isometría que fija a $0$ y a $1$ , se sigue que:
$\begin{array}{r} (24.9) & | H (i) | = | H (i) - H (0) | = | i - 0 | = 1, \\ (24.10) & | H (i) - 1 | = | H (i) - H (1) | = | i - 1 | = \sqrt{2} . \end{array}$

Geométricamente, lo anterior nos dice que $H (i)$ está en la intersección de la circunferencia unitaria y la circunferencia de radio $\sqrt{2}$ y centro en $1$ , pero en tal intersección únicamente están los puntos $i$ y $- i$ , figura 94.

Figura 94: Intersección de las circunferencias $C (0, 1)$ y $C (1, \sqrt{2})$ .

Es fácil verificar este hecho de manera algebraica elevando al cuadrado las ecuaciones (24.9) y (24.10) y resolviendo el sistema de ecuaciones como en la prueba del lema 24.1, por lo que esta verificación se deja como ejercicio al lector.

Si $H (i) = i$ , entonces por el lema 24.1 tenemos que:
$H (z) = z ⟹ h (z) = α z + β, \forall z \in C .$

Si $H (i) = - i$ , entonces $\overset{―}{H (z)}$ es una isometría del plano que fija a $0, 1$ e $i$ , por lo que, lema 24.1, debe ser la identidad:
$\overset{―}{H (z)} = z ⟹ H (z) = \overset{―}{z}, \forall z \in C,$

de donde:
$h (z) = α \overset{―}{z} + β .$

Corolario 24.1.
Toda isometría del plano complejo es una función biyectiva y su inversa es también una isometría.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

Corolario 24.2.
Una isometría del plano está determinada por sus imágenes en tres puntos no colineales, es decir, si $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C$ son tres puntos no colineales y $h_{1}$ y $h_{2}$ son dos isometrías tales que $h_{1} (z_{i}) = h_{2} (z_{i})$ , para $i = 1, 2, 3$ , entonces $h_{1} = h_{2}$ .

Demostración. Se sigue de la observación 24.5 y del corolario 24.1, por lo que los detalles se deja como ejercicio al lector.

Cerraremos esta entrada con la siguiente caracterización de las transformaciones $C$ -lineales.

Observación 24.8.
Sean $λ = a_{1} + i a_{2}$ , $μ = b_{1} + i b_{2}$ , $z = x + i y$ y $w = u + i v$ números complejos y sea $T : C \to C$ una transformación $R$ -lineal. Por la proposición 24.1 sabemos que $T$ es de la forma:
$\begin{aligned} w = T (z) & = λ z + μ \overset{―}{z} \\ = (a_{1} + b_{1}) x - (a_{2} - b_{2}) y + i [(a_{2} + b_{2}) x + (a_{1} - b_{1}) y] . \end{aligned}$

De lo anterior se sigue que podemos representar a dicha transformación mediante las ecuaciones reales:
$\begin{array}{r} u = (a_{1} + b_{1}) x - (a_{2} - b_{2}) y, \\ v = (a_{2} + b_{2}) x + (a_{1} - b_{1}) y . \end{array}$

Por lo que, geométricamente una transformación $R$ -lineal del plano complejo, es una transformación afín de un plano $\overset{―}{y} = A \overset{―}{x}$ con:
$A = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} & - (a_{2} - b_{2}) \\ a_{2} + b_{2} & a_{1} - b_{1} \end{matrix}) .$

El Jacobiano de dicha transformación es:
$J = a_{1}^{2} - b_{1}^{2} + a_{2}^{2} - b_{2}^{2} = | λ |^{2} - | μ |^{2},$ es decir, la transformación es invertible si $| λ | \neq | μ |$ . Dicha transformación envía rectas en rectas, rectas paralelas en rectas paralelas y cuadrados en paralelogramos. Además, preserva la orientación cuando $| λ | > | μ |$ y la invierte cuando $| λ | < | μ |$ .

Sin embargo, una transformación $C$ -lineal, digamos $T (z) = λ z$ , puede no invertir la orientación desde que su Jacobiano es:
$J = | λ |^{2} \geq 0.$

En tal caso, dicha transformación no es invertible si $λ = 0$ . Considerando la interpretación geométrica de la multiplicación de dos números complejos, para $λ = | λ | e^{i θ_{0}}$ , tenemos que $T (z) = | λ | e^{i θ_{0}} z$ es la composición de una homotecia de razón $| λ |$ y una rotación alrededor del origen de un ángulo $θ_{0}$ . Tal transformación preserva ángulos y envía cuadrados en cuadrados.

Considerando lo anterior tenemos la siguiente caracterización de las transformaciones $C$ -lineales.

Proposición 24.7.
Si una transformación $R$ -lineal, digamos $T (z) = λ z + μ \overset{―}{z}$ , preserva la orientación y los ángulos entre tres vectores no paralelos $e^{i θ_{1}}, e^{i θ_{2}}, e^{i θ_{3}} \in C$ , con $θ_{k} \in R$ para $k = 1, 2, 3$ , entonces $T$ es $C$ -lineal.

La prueba de este resultado, así como de algunos otros resultados de ésta entrada se pueden consultar en el texto Introduction to Complex Analysis – excerpts de B.V.Shabat.

Tarea moral

Realiza la demostración de las proposiciones 24.2 y 24.5.
Completa la demostración de la proposiciones 24.3 y 24.4.
Prueba las observaciones 24.3 y 24.7.
Demuestra los corolarios 24.1 y 24.2.
Sean $z_{1}, z_{2} \in C$ . Supón que una isometría del plano complejo tiene como puntos fijos a $z_{1}$ y a $z_{2}$ . Demuestra que todo punto $z$ del segmento $[z_{1}, z_{2}]$ es un punto fijo de dicha transformación.
Prueba que las siguientes transformaciones son una isometría. En cada caso muestra que cada función se puede ver como la composición de una rotación con una traslación y posiblemente con una reflexión sobre el eje real.
a) $f : C \to C$ dada por $f (z) = i \overset{―}{z} + 4 - i$ .
b) $g : C \to C$ dada por $g (z) = - i z + 1 + 2 i$ .
c) $h : C \to C$ dada por $h (z) = - \overset{―}{z} + i$ .
Muestra que una traslación del plano complejo es la composición de dos reflexiones respecto dos rectas paralelas, mientras que una rotación en $C$ , alrededor de un punto fijo $z_{0} \in C$ , es la composición de dos reflexiones respecto dos rectas que se cortan en $z_{0}$ .
En cada inciso determina una expresión que describa a una reflexión en el plano complejo respecto a la recta dada.
a) $y = k$ con $k \in R$ constante.
b) $x = k$ con $k \in R$ constante.
c) $y = m x + b$ , con $m, b \in R$ y $m \neq 0$ .
Muestra que las siguientes transformaciones corresponden con una reflexión respecto a la recta dada.
a) $s_{L} (z) = \overset{―}{z} + 3 i$ con $L : - i z + i \overset{―}{z} - 3 = 0$ .
b) $s_{L} (z) = \overset{―}{z} + 5 i$ con $L : - i z + i \overset{―}{z} - 5 = 0$ .
c) $s_{L} (z) = - \overset{―}{z} + 1$ con $L : z + \overset{―}{z} - 1 = 0$ .
d) $s_{L} (z) = \overset{―}{z} + i$ con $L : - i z + i \overset{―}{z} - 1 = 0$ .

Más adelante…

En esta entrada hemos recordado algunos conceptos de Geometría Analítica y Álgebra Lineal relacionados con las transformaciones del plano Euclidiano. Como es de esperarse, las definiciones de estos conceptos para el caso complejo coinciden con las que se dan para $R^{2}$ . Sin embargo, debe ser claro que a través de las propiedades de los números complejos resulta más sencilla la prueba de los resultados dados en esta entrada.

La siguiente entrada estudiaremos algunas transformaciones del plano complejo muy particulares, llamadas transformaciones de Möbius, mediante las cuales podremos caracterizar la geometría de las funciones complejas.

Entradas relacionadas

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Siguiente entrada del curso: Transformaciones lineales y transformaciones de Möbius.

Cálculo Diferencial e Integral III: Formas cuadráticas

Por Alejandro Antonio Estrada Franco

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Introducción

En la entrada anterior hablamos de formas bilineales. A partir de esta noción podemos introducir otra más: la de formas cuadráticas. Las formas cuadráticas son cruciales, pues es a partir de ellas que podemos hacer geometría en espacios vectoriales.

Formas bilineales simétricas

Hay unas formas bilineales que son especiales pues al intercambiar los vectores argumento no cambian de valor.

Definición. Una forma bilineal $b \in B (R^{n})$ es simétrica si $b (\bar{u}, \bar{v}) = b (\bar{v}, \bar{u})$ para todos los $\bar{u}, \bar{v} \in R^{n}$ .

Cuando una forma bilineal es simétrica, la matriz que la representa también. En efecto, si $A$ es una representación matricial de la forma bilineal $b$ en la base $β$ , podemos escribir: $b (\bar{u}, \bar{v}) = [\bar{u}]^{t} A [\bar{v}] = {([\bar{u}]^{t} A [\bar{v}])}^{t} = [\bar{v}]^{t} A^{t} [\bar{u}] .$

En la igualdad de en medio usamos que $[\bar{u}]^{t} A [\bar{v}] \in R$ para obtener que este producto matricial es igual a su transpuesta (¿por qué?). Así pues, si $b$ es simétrica: $[\bar{v}]^{t} A^{t} [\bar{u}] = b (\bar{u}, \bar{v}) = b (\bar{v}, \bar{u}) = [\bar{v}]^{t} A [\bar{u}],$

para todo $\bar{u}, \bar{v} \in R^{n}$ . En particular, al evaluar $b ({\bar{e}}_{i}, {\bar{e}}_{j})$ para ${\bar{e}}_{i}, {\bar{e}}_{j}$ una pareja de elementos de la base $β$ obtenemos que $A$ y $A^{t}$ coinciden en cualquier entrada $(i, j)$ . Por lo tanto $A = A^{t}$ , entonces $A$ es simétrica.

Formas cuadráticas y su forma polar

Una forma cuadrática se obtiene de evaluar una forma bilineal usando el mismo vector para ambas entradas. Formalmente, tenemos lo siguiente.

Definición. Una función $q : R^{n} \to R$ es una forma cuadrática si existe una forma bilineal $b : R^{n} \times R^{n} \to R$ tal que $q (\bar{v}) = b (\bar{v}, \bar{v})$ para todo $\bar{v}$ en $R^{n}$ . A $q$ le llamamos la forma cuadrática asociada a $b$ .

Es posible que una misma forma cuadrática pueda ser creada por dos formas bilineales distintas.

Ejemplo. Tomemos la forma bilineal $b_{1} ((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) = 0$ para todos $\bar{u}, \bar{v} \in R^{2}$ y la forma bilineal $b_{2} ((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) = x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}$ . Si $q_{1}$ es la forma cuadrática asociada a $b_{1}$ y $q_{2}$ es la forma cuadrática asociada a $b_{2}$ , se tiene que $q_{1} ((x_{1}, x_{2})) = 0$ para todo $(x_{1}, x_{2})$ en $R^{2}$ , y también se tiene que $q_{2} ((x_{1}, x_{2})) = 0$ para todo $(x_{1}, x_{2})$ en $R^{2}$ (verifícalo). Así, aunque $b_{1} \neq b_{2}$ , se tiene que $q_{1} = q_{2}$ .

$△$

Si agregamos la hipótesis adicional de que la forma bilineal que se usa sea simétrica, entonces sí tenemos unicidad. De hecho, podemos saber exactamente de qué forma bilineal simétrica $b$ viene una forma cuadrática dada $q$ . Este es el contenido del siguiente teorema, que se llama el teorema de la identidad de polarización.

Teorema. Si $q$ es una forma cuadrática en $R^{n}$ , entonces existe una única forma bilineal $b$ simétrica tal que $q (\bar{v}) = b (\bar{v}, \bar{v})$ para todo $\bar{v} \in R^{n}$ . Más aún, $\begin{matrix} (1) & b (\bar{u}, \bar{v}) = \frac{1}{2} (q (\bar{u} + \bar{v}) - q (\bar{u}) - q (\bar{v})) . \end{matrix} .$

Demostración. Haremos sólo parte de la demostración: la de la unicidad. El resto puede consultarse, por ejemplo, en la entrada Formas cuadráticas, propiedades, polarización y teorema de Gauss. Supongamos que $q$ es forma cuadrática y que viene de la forma bilineal simétrica $B$ . Desarrollando el lado derecho de la ecuación tenemos

$\begin{aligned} \frac{1}{2} (q (\bar{u} + \bar{v}) - q (\bar{u}) - q (\bar{v})) & = \frac{1}{2} (B (\bar{u} + \bar{v}, \bar{u} + \bar{v}) - B (\bar{u}, \bar{u}) - B (\bar{v}, \bar{v})) \\ = \frac{1}{2} (B (\bar{u} + \bar{v}, \bar{u}) + B (\bar{u} + \bar{v}, \bar{v}) - B (\bar{u}, \bar{u}) - B (\bar{v}, \bar{v})) \\ = \frac{1}{2} (B (\bar{u}, \bar{u}) + B (\bar{v}, \bar{u}) + B (\bar{u}, \bar{v}) + B (\bar{v}, \bar{v}) - B (\bar{u}, \bar{u}) - B (\bar{v}, \bar{v})) \\ = \frac{1}{2} (2 B (\bar{u}, \bar{v})) = B (\bar{u}, \bar{v}) . \end{aligned}$

Esto muestra que la expresión del teorema es la única que podría servir para obtener la forma bilineal simétrica de la que viene $q$ . El resto de la demostración consiste en ver que, en efecto, la expresión propuesta es bilineal y es simétrica.

Por el teorema de la identidad de polarización, podemos siempre suponer que una forma cuadrática viene de una forma bilineal simétrica $b$ , a la que le llamaremos su forma polar.

Forma matricial de una forma cuadrática

Definición. Sea $q$ una forma cuadrática de $R^{n}$ y $β$ una base de $R^{n}$ . La forma matricial de $q$ en la base $β$ será la forma matricial de su forma polar en la base $β$ .

Por lo visto anteriormente, si $b$ es simétrica, se representa por una matriz simétrica $A = a_{i j}$ . Así, las formas matriciales de formas cuadráticas siempre son simétricas. Para evaluar $q$ , podemos hacer lo siguiente:

$\begin{aligned} q (\bar{v}) & = b (\bar{v}, \bar{v}) \\ = [\bar{v}]^{t} A [\bar{v}] \\ = (\begin{array}{c} x_{1} & \dots & x_{n} \end{array}) (\begin{array}{c} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{array}) (\begin{array}{c} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}) \end{aligned}$

Desarrollando el producto obtenemos $q (\bar{v}) = a_{11} x_{1}^{2} + a_{22} x_{2}^{2} + \dots + a_{n n} x_{n}^{2} + 2 \sum_{i < j} a_{i j} x_{i} x_{j} .$

Esta última ecuación en las variables $x_{i}$ se denomina el polinomio cuadrático correspondiente a la matriz simétrica $A$ .

Nota que si la matriz $A$ es diagonal, entonces $q$ tendrá el siguiente polinomio cuadrático: $\begin{matrix} (2) & q (\bar{v}) = [\bar{v}]^{t} A [\bar{v}] = a_{11} x_{1}^{2} + a_{22} x_{2}^{2} + \dots + a_{n n} x_{n}^{2} . \end{matrix}$

Este es un polinomio muy sencillo: no tendrá términos con «productos cruzados».

Teorema de Gauss para formas cuadráticas

Enseguida presentamos un teorema muy importante de formas cuadráticas. Su importancia radica en que siempre deseamos simplificar los objetos que tenemos.

Teorema. Sea $b$ una forma bilineal simétrica en $V$ , un espacio vectorial de dimensión finita $n$ sobre $R$ . Entonces $V$ tiene una base ${{\bar{v}}_{1}, \dots, {\bar{v}}_{n}}$ en la que $b$ se representa por una matriz diagonal, es decir, $b ({\bar{v}}_{i}, {\bar{v}}_{j}) = 0$ para $i \neq j$ .

Demostración. Procederemos por inducción sobre $n = \dim V$ . Si $\dim V = 1$ , se cumple claramente (¿Por qué?). Por tanto, podemos suponer $\dim V > 1$ . Si $b = 0$ , también la afirmación es cierta inmediatamente, pues $b$ se representa por una matriz de puros ceros. Si $q (\bar{v}) = b (\bar{v}, \bar{v}) = 0$ para todo $\bar{v} \in V$ , al escribir $b$ en su forma polar se obtiene que $b = 0$ . Por esta razón se puede suponer que existe un vector ${\bar{v}}_{1} \in V$ tal que $b ({\bar{v}}_{1}, {\bar{v}}_{1}) \neq 0$ . Sean $U$ el subespacio generado por ${\bar{v}}_{1}$ y $W$ el conjunto de aquellos vectores $\bar{v} \in V$ para los que $b ({\bar{v}}_{1}, \bar{v}) = 0$ . Afirmamos que $V = U \oplus W$ .

$U \cap W = {\bar{0}}$ . Supongamos $\bar{u} \in U \cap W$ . Como $\bar{u} \in U$ , $\bar{u} = k {\bar{v}}_{1}$ para algún escalar $k \in R$ . Como $\bar{u} \in W$ , $0 = b ({\bar{v}}_{1}, \bar{u}) = b ({\bar{v}}_{1}, k {\bar{v}}_{1}) = k b ({\bar{v}}_{1}, {\bar{v}}_{1})$ . Pero $b ({\bar{v}}_{1}, {\bar{v}}_{1}) \neq 0$ ; luego $k = 0$ y por consiguiente $\bar{u} = \bar{0}$ . Así $U \cap W = {\bar{0}}$ .
Veamos que $V = U + W$ . Sea $\bar{v} \in V$ . Consideremos $\bar{w}$ definido como: $\bar{w} = \bar{v} - \frac{b ({\bar{v}}_{1}, \bar{v})}{b ({\bar{v}}_{1}, {\bar{v}}_{1})} {\bar{v}}_{1} .$ Entonces $b ({\bar{v}}_{1}, \bar{w}) = b ({\bar{v}}_{1}, \bar{v}) - \frac{b ({\bar{v}}_{1}, \bar{v})}{b ({\bar{v}}_{1}, {\bar{v}}_{1})} b ({\bar{v}}_{1}, {\bar{v}}_{1}) = 0.$ Así $\bar{w} \in W$ . Por tanto $\bar{v}$ es la suma de un elemento de $U$ y uno de $W$ . Entonces se cumple $V = U + W$ .
Ahora $b$ restringida a $W$ es una forma bilineal simétrica en $W$ . Pero $\dim W = n - 1$ , luego existe una base ${{\bar{v}}_{2}, \dots, {\bar{v}}_{n}}$ de $W$ tal que $b ({\bar{v}}_{i}, {\bar{v}}_{j}) = 0$ para $i \neq j$ y $2 \leq i, j \leq n$ . Por la propia definición de $W$ , $b ({\bar{v}}_{1}, {\bar{v}}_{j}) = 0$ para $j = 2, \dots n$ . Por tanto, la base ${{\bar{v}}_{1}, \dots, {\bar{v}}_{n}}$ de $V$ tiene la propiedad requerida de que $b ({\bar{v}}_{i}, {\bar{v}}_{j}) = 0$ para $i \neq j$ .

Tenemos pues que para toda forma bilineal simétrica tenemos una representación matricial diagonal. Dicho en otras palabras, para cualquier matriz simétrica $A$ en $M_{n} (R)$ , se tiene que es congruente a alguna matriz diagonal. También de aquí se tiene que para toda forma cuadrática tenemos una representación matricial diagonal.

Formas cuadráticas positivas y positivas definidas

Otra noción importante para formas cuadráticas es la siguiente.

Definición. Diremos que una forma cuadrática $q : R^{n} \to R$ es positiva si se cumple que $q (\bar{x}) \geq 0$ para todo $\bar{x} \in R^{n}$ . Diremos que es positiva definida si se cumple que $q (\bar{x}) > 0$ para todo $\bar{x} \in R^{n} ∖ {\bar{0}}$ .

Si $b$ es la forma bilineal simétrica que define a $q$ y $A$ es una matriz que represente a $b$ en alguna base $β$ , se puede ver que $q$ es positiva si y sólo si $X^{t} A X \geq 0$ para todo $X \in R^{n}$ . Así mismo, es positiva definida si y sólo si $X^{t} A X > 0$ para todo $X \neq 0$ en $R^{n}$ . Esto motiva la siguiente definición para matrices.

Definición. Sea $A \in R^{n}$ una matriz simétrica. Diremos que es positiva si se cumple que $X^{t} A X \geq 0$ para todo $X \in R^{n}$ . Diremos que es, es positiva definida si y sólo si $X^{t} A X > 0$ para todo $X \neq 0$ en $R^{n}$ .

Una propiedad importante que queda como tarea moral es que la propiedad de ser positiva (o positiva definida) es invariante bajo congruencia de matrices.

Hay otras maneras de saber si una matriz es positiva, o positiva definida. De hecho, en la entrada de Matrices positivas y congruencia de matrices de nuestro curso de Álgebra Lineal II puedes encontrar la siguiente caracterización:

Teorema. Sea $A$ una matriz simétrica en $M_{n} (R)$ . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

$A$ es positiva.
$A$ es congruente a una matriz diagonal con puras entradas mayores o iguales a cero.
$A$ puede ser escrita de la forma $B^{t} B$ para alguna matriz $B \in M_{n} (R)$ .

Hay otro resultado más que relaciona a las matrices positivas definidas con sus eigenvalores.

Teorema. Si $A$ es una matriz simétrica en $M_{n} (R)$ y es positiva definida, entonces todos sus eigenvalores son positivos.

Matriz Hessiana

Veamos cómo se aplican algunas de las ideas vistas en cálculo. Retomemos la discusión de la entrada Polinomio de Taylor para campos escalares. Hacia el final de la entrada enunciamos el teorema de Taylor en el caso especial de grado $2$ . Al tomar un campo escalar $f$ y un punto $\bar{a}$ , el polinomio de Taylor de grado $2$ estaba dado como sigue:

$T_{2, \bar{a}} (\bar{a} + \bar{v}) = f (\bar{a}) + \frac{(\bar{v} \cdot ▽) f (\bar{a})}{1!} + \frac{(\bar{v} \cdot ▽)^{2} f (\bar{a})}{2!} .$

Donde

$\frac{(\bar{v} \cdot ▽)^{2} f (\bar{a})}{2!} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} v_{i} v_{j} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{j} \partial x_{i}} (\bar{a}) .$

Observa que este sumando se puede pensar como una forma cuadrática:

$q (\bar{v}) = (\begin{matrix} v_{1} & \dots & v_{n} \end{matrix}) (\begin{matrix} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}} (a) & \dots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{_{n}}} (\bar{a}) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{_{n}} \partial x_{1}} (\bar{a}) & \dots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{_{n}}^{2}} (\bar{a}) \end{matrix}) (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix})$

La matriz de esta forma cuadrática tiene una importancia especial en el cálculo de varias variables, y por ello tiene su propia definición.

Definición. Sea $f$ un campo escalar definido sobre algún subconjunto abierto de $R^{n}$ . Si $f$ tiene derivadas parciales de segundo orden en el punto $\bar{a}$ , a la siguiente matriz la llamamos la matriz hessiana de $f$ en $\bar{a}$ :

$H_{f} (\bar{a}) = (\begin{matrix} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}} (\bar{a}) & \dots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{_{n}}} (\bar{a}) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{_{n}} \partial x_{1}} (\bar{a}) & \dots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{_{n}}^{2}} (\bar{a}) \end{matrix}) .$

Cuando hablemos de optimización, esta matriz tomará un significado especial. Por ahora, enfoquémonos en entender cómo obtenerla.

Ejemplo. Encontraremos la matriz Hessiana del campo escalar $f (x, y) = \sin (x y)$ en el punto $(1, \frac{π}{4})$ . Para ello, calculamos las siguientes derivadas parciales de orden $1$ y $2$ :

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \cos (x y), \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = - y^{2} \sin (x y), \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} = \cos (x y) - x y \sin (x y)$

$\frac{\partial f}{\partial y} = x \cos (x y), \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = - x^{2} \sin (x y), \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = \cos (x y) - x y \sin (x y) .$

Por lo tanto

$H (x, y) = (\begin{matrix} - y^{2} \sin (x y) & \cos (x y) - x y \sin (x y) \\ \cos (x y) - x y \sin (x y) & - x^{2} \sin (x y) \end{matrix}) .$

Evaluando en el punto $(1, \frac{π}{4}),$

$H (1, \frac{π}{4}) = (\begin{matrix} - \frac{π^{2}}{16} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - \frac{π}{4}) \\ \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - \frac{π}{4}) & - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}) .$

$△$

Mas adelante…

Con esto terminamos nuestro repaso de álgebra lineal, y con ello tenemos las herramientas necesarias para poder retomar nuestro estudio de las funciones en varias variables. En la siguiente entrada comenzaremos con el concepto de diferenciabilidad. A lo largo de las siguientes entradas, iremos viendo por qué las herramientas de álgebra lineal que desarrollamos son importantes.

Así mismo, cuando lleves un curso de Cálculo Diferencial e Integral IV también retomaras una parte importante de la teoría que hemos repasado.

Tarea moral

Responder en la primer definición porque $[\bar{u}]^{t} A [\bar{v}] \in R$ .
Demostrar que el espacio $W$ del último teorema es un subespacio vectorial de $V$ .
Explicar en la demostración del último teorema por qué éste se cumple cuando $b = 0$ o $\dim V = 1$ .
Explicar porque $\dim W = n - 1$ .
Verifica que si una matriz $A$ es positiva definida, entonces cualquier matriz $B$ congruente a $A$ también es positiva definida.
Demuestra el último teorema de esta entrada, es decir, que las matrices simétricas positivas definidas tienen eigenvalores positivos.

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Geometría Moderna II: Familias coaxiales

Por Armando Arzola Pérez

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Introducción

En esta entrada introduciremos un nuevo concepto: el de familias coaxiales. Veremos cómo se relaciona este concepto con el de eje radical.

Familias coaxiales

Definición. Un conjunto de círculos se llaman (Familias Coaxiales) círculos coaxiales si y solo si existe una recta llamada eje radical, que además es el eje radical de cada par de círculos del conjunto.

Además, como el eje radical de 2 circunferencias es ortogonal a la línea de los centros, entonces los centros de las circunferencias del sistema coaxial de circunferencias son colineales.

Se tienen distintas propiedades:

Si dos círculos de un conjunto coaxial son tangentes, todos los círculos del conjunto son tangentes.
Si dos círculos de un conjunto coaxial se intersecan en dos puntos, todos los círculos del conjunto pasan por estos dos puntos.
El eje radical de un conjunto coaxial es el lugar geométrico de los puntos cuya potencia respecto a todos los círculos del conjunto son iguales.
Dos circunferencias pertenecen a una única familia coaxial.
Dos circunferencias determinan una única familia coaxial.
Si dos puntos tienen la misma potencia respecto a 3 circunferencias, entonces las circunferencias son coaxiales.
Si una circunferencia corta ortogonalmente a 2 circunferencias de un sistema coaxial, entonces corta ortogonalmente a todos los círculos del sistema coaxial.
Dado un conjunto coaxial de círculos, entonces el conjunto de círculos ortogonales a estos círculos forman un conjunto coaxial de círculos.

Proposición. Sea una familia de circunferencias con centros colineales. Estas son un sistema coaxial de circunferencias si y solo si existe una circunferencia ortogonal a todas ellas.

Denotaremos como ${C_{i}}_{i = 1}^{n}$ una familia de circunferencias con centros colineales.

Demostración.

$\Rightarrow]$

Denotemos $l$ al eje radical. Sea $C (O, r)$ una circunferencia donde $O$ está en $l$ y además $C (O, r)$ es ortogonal a $C_{1}$ una circunferencia del sistema.

Ahora, como $O$ está en $l$ y $C (O, r)$ es ortogonal a $C_{1}$ , usando la proposición: Si el centro de una circunferencia está en el eje radical de 2 circunferencias dadas y es ortogonal a una de ellas, entonces la circunferencia es ortogonal también a la otra. Por lo cual $C (O, r)$ es ortogonal a cada circunferencia de ${C_{i}}_{i = 1}^{n}$ . $⌟$

$\Leftarrow]$

Sea $C (O, r)$ una circunferencia ortogonal a ${C_{i}}_{i = 1}^{n}$ . Además, $C (O, r)$ es ortogonal a $C_{1}$ y $C_{2}$ donde $C_{1}$ y $C_{2}$ pertenecen a ${C_{i}}_{i = 1}^{n}$ .

Llamemos a $l$ el eje radical de $C_{1}$ y $C_{2}$ , sabemos que $l$ es ortogonal a la línea $O_{1} O_{2}$ , y recordando la proposición: Si una circunferencia es ortogonal a 2 circunferencias dadas, entonces su centro está en el eje radical de las 2 circunferencias, por lo cual $O$ está en $l$ . Como $O_{1}, O_{2}, \dots, O_{n}$ son puntos colineales y los ejes radicales de cada par de circunferencias son líneas perpendiculares a $O_{1} O_{2}$ que pasan por $O$ , entonces $l$ es el eje radical de cada par de circunferencias.

$∴$ ${C_{i}}_{i = 1}^{n}$ es un sistema de circunferencias coaxiales.

Existen 3 tipos de sistemas de (Familias Coaxiales) circunferencias coaxiales: tangentes, que se intersecan y ajenas.

Circunferencias coaxiales tangentes

Se tiene un sistema de circunferencias coaxiales tangentes, además la familia de circunferencias con centro en el eje radical del sistema y que son ortogonales a todas y cada una de las circunferencias del sistema, también forman otro sistema coaxial de circunferencias tangentes.

Circunferencias coaxiales que se intersectan

Se tiene un sistema de circunferencias coaxiales que se intersecan en 2 puntos, la familia de circunferencias con centro en el eje radical del sistema y que son ortogonales a todas las circunferencias del sistema, forman un sistema coaxial de circunferencias ajenas.

Circunferencias coaxiales ajenas

Se tiene un sistema de circunferencias coaxiales ajenas, la familia de circunferencias con centro en el eje radical del sistema y que son ortogonales a todas las circunferencias del sistema, forman un sistema coaxial de circunferencias que se intersecan.

Más adelante…

Se abordará en la siguiente entrada la circunferencia de similitud.

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